Прототип на делото. Интеграли за кукли: како да се реши, правила за пресметување, објаснување

Калкулаторот решава интеграли со опис на дејствата ДЕТАЛНО на руски и бесплатно!

Решавање на неопределени интеграли

Ова е онлајн услуга во еден чекор:

Решавање определени интеграли

Ова е онлајн услуга во еден чекор:

• Внесете го интеградниот израз (интегрална функција)
• Внесете долна граница за интегралот
• Внесете горна граница за интегралот

Решавање на двојни интеграли

• Внесете го интеградниот израз (интегрална функција)

Решавање на неправилни интеграли

• Внесете го интеградниот израз (интегрална функција)
• Внесете го горниот регион на интеграција (или + бесконечност)
• Внесете го долниот регион на интеграција (или - бесконечност)

Решавање на тројни интеграли

• Внесете го интеградниот израз (интегрална функција)
• Внесете ги долните и горните граници за првиот регион за интеграција
• Внесете ја долната и горната граница за вториот регион за интеграција
• Внесете ја долната и горната граница за третиот регион на интеграција

Оваа услуга ви овозможува да ја проверите вашата пресметкиза исправност

Можности

• Ги поддржува сите можни математички функции: синус, косинус, експонент, тангента, котангента, квадратни и кубни корени, моќи, експоненцијали и други.
• Има примери за внесување, и за неопределени интеграли, и за неправилни и определени.
• Ги коригира грешките во изразите што ги внесувате и нуди свои опции за внесување.
• Нумеричко решение за определени и неправилни интеграли (вклучувајќи двојни и тројни интеграли).
• Поддршка за сложени броеви, како и за различни параметри (можете да ја наведете не само променливата за интеграција, туку и други променливи на параметри во изразот на интеградот)

Примери за интеграција по делови од сличен состав се дадени на студентите од 1 и 2 година. Овие задачи беа поставени за време на тестот во LNU наречен по име. I. Френк. За да не се повторат формулите во проблемите и одговорите, нема да ги опишуваме проблемите. Според условите на задачите, треба или „Најди го интегралот“ или „Пресметај го интегралот“.
Пример 8. Интегралот го наоѓаме користејќи го правилото за интеграција по делови int(u*dv)=u*v-int(v*du). Главната работа овде е да ги изберете вистинските функции за правилото. (За себе, запомнете дека за dv, ако е можно, изберете периодични функции или оние кои, кога ќе се диференцираат до фактор, си даваат - експоненцијална). Во овој интеграл треба да го ставите синусот под диференцијалот

Понатамошната интеграција е прилично едноставна и нема да се задржуваме на деталите.

Пример 9. Повторно треба да го примените правилото за интеграција по делови u*dv. Овде го имаме производот на периодична функција и експоненцијална, така што на вас е да изберете што е најдобро да се вклучи под диференцијалот. Можете да користите или експоненцијален или косинус (во секоја опција добиваме повторлива формула).

Повторно ја применуваме интеграцијата по делови

Стигнавме до рекурентна формула. Ако го запишеме интегралот што го баравме и резултатот од пресметките, добиваме два слични члена

Ги групираме и го наоѓаме потребниот интеграл


Пример 10. Имаме готов запис за интегралот според правилото u*dv. Најдете du и изврши интеграција


Вториот интеграл го сведуваме на табеларна формула и го пресметуваме

Пример 11. Да означиме cos(ln(x))=u како нова променлива и да најдеме du , а потоа да ја внесеме под диференцијалот


Во интегралот повторно го применуваме правилото за интеграција по делови


Стигнавме до рекурентната формула

со кој го пресметуваме непознатиот интеграл

Пример 12. За да го најдеме интегралот, избираме целосен квадрат во именителот. Следно, намалувајќи го именителот на добро познатата формула за интеграција, го добиваме арктангенсот


Добро запомнете го редоследот на наизменични множители. Единицата е поделена со коренот на слободниот член се појавува пред арктангенсот, а овој фактор е присутен и во арктангенсот пред променливата.
Пример 13. Имаме работа со сличен интеграл, само во именителот квадратната зависност е под коренот. Избираме совршен квадрат и го сведуваме на формулата за интеграција, која го дава логаритамот


Ова се примери на тестови или тестови. Добро запомнете ги основните шеми за интеграција.
Ако не можете сами да го решите интегралот, тогаш побарајте помош.

Што е интеграција по делови? За да го совладате овој тип на интеграција, прво да се потсетиме на дериватот на производот:

$((\left(f\cdot g \десно))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Се поставува прашањето: каква врска имаат интегралите со тоа? Сега да ги интегрираме двете страни на оваа равенка. Па ајде да го запишеме:

$\int(((\left(f\cdot g \десно))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Но, што е антидериват на мозочен удар? Тоа е само самата функција, која е во внатрешноста на ударот. Па ајде да го запишеме:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Во оваа равенка, предлагам да го изразам терминот. Ние имаме:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Тоа е она што е интеграција по формула на делови. Така, ние во суштина ги заменуваме изводот и функцијата. Ако првично имавме интеграл на удар помножен со нешто, тогаш добиваме интеграл од ново нешто помножено со удар. Тоа е сето правило. На прв поглед, оваа формула може да изгледа комплицирана и бесмислена, но всушност, може многу да ги поедностави пресметките. Ајде да видиме.

Примери за интегрални пресметки

Задача 1. Пресметајте:

\[\int(\n x\,\text(d)x)\]\[\]

Ајде да го преработиме изразот со додавање 1 пред логаритмот:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Имаме право да го направиме ова бидејќи нема да се смени ниту бројот, ниту функцијата. Сега да го споредиме овој израз со она што е напишано во нашата формула. Улогата на $(f)"$ е 1, па пишуваме:

$\begin(порамни)& (f)"=1\Десна стрелка f=x \\& g=\n x\Десна стрелка (g)"=\frac(1)(x) \\\крај (порамни)$

Сите овие функции се во табелите. Сега, кога ги опишавме сите елементи што се вклучени во нашиот израз, ќе го преработиме овој интеграл користејќи ја формулата за интеграција по делови:

\[\почеток(порамни)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\n x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\n x-x+C=x\left(\ln x-1 \десно)+C \\\ крај (порамни)\]

Тоа е тоа, интегралот е пронајден.

Задача 2. Пресметајте:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d) )х))$

Ако земеме $x$ како извод, од кој сега треба да го најдеме антидериватот, ќе добиеме $((x)^(2))$, а конечниот израз ќе содржи $((x)^(2) )( (\text(e))^(-x))$.

Очигледно, проблемот не е поедноставен, па затоа ги заменуваме факторите под интегралниот знак:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$

Сега да ја претставиме ознаката:

$(f)"=((\текст(е))^(-x))\Десна стрелка f=\int(((\текст(е))^(-x))\,\текст(г)x) =-((\text(e))^(-x))$

Ајде да разликуваме $((\text(e))^(-x))$:

$((\ left (((\text(e))^(-x)) \десно))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ лево(-x \десно))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

Со други зборови, прво се додава минусот и потоа се интегрираат двете страни:

\[\почеток(порамни)& ((\лево(((\текст(д))^(-x)) \десно))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Десна стрелка ((\текст(д))^(-x))=-((\лево((\текст(д))^(-x)) \десно))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e)))^(- x)) \десно))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end (порамни)\]

Сега да ја погледнеме функцијата $g$:

$g=x\Десна стрелка (g)"=1$

Го пресметуваме интегралот:

$\begin(порамни)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e ))^(-x)) \десно)-\int(\лево(-((\текст(е))^(-x)) \десно)\cточка 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x) +1 \десно)+C \\\крај (порамни)$

Значи, ја извршивме втората интеграција по делови.

Задача 3. Пресметајте:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

Во овој случај, што треба да земеме за $(f)"$, а што за $g$? Ако $x$ делува како дериват, тогаш при интеграцијата ќе добиеме $\frac(((x)^(2)) )(2 )$, а првиот фактор нема да исчезне никаде - ќе биде $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ Затоа, да ги замениме факторите повторно:

$\begin(порамни)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Десна стрелка f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Десна стрелка (g)"=1 \\\ крај(порамни)$

Го препишуваме нашиот оригинален израз и го прошируваме според формулата за интеграција по делови:

\[\begin(порамни)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\крај (порамни)\]

Тоа е тоа, третиот проблем е решен.

Како заклучок, ајде да погледнеме уште еднаш интеграција по формула на делови. Како да избереме кој фактор ќе биде изводот, а кој ќе биде вистинската функција? Тука има само еден критериум: елементот што ќе го разликуваме мора или да даде „убав“ израз, кој потоа ќе се намали или целосно ќе исчезне за време на диференцијацијата. Ова ја завршува лекцијата.

Интеграција по делови. Примери на решенија

Здраво повторно. Денес во лекцијата ќе научиме како да се интегрираме по делови. Методот на интеграција по делови е еден од темелите на интегралното сметање. За време на тестовите или испитите, од учениците речиси секогаш се бара да ги решат следниве видови интеграли: наједноставниот интеграл (види статија)или интеграл со замена на променлива (види статија)или интегралот е само вклучен метод на интеграција со делови.

Како и секогаш, треба да имате при рака: Табела на интегралиИ Табела со деривати. Ако сè уште ги немате, тогаш посетете ја просторијата за складирање на мојата веб-страница: Математички формули и табели. Нема да се уморам да повторувам - подобро е да испечатите сè. Ќе се обидам да го претставам целиот материјал доследно, едноставно и јасно. нема посебни потешкотии во интегрирањето на деловите.

Каков проблем решава методот на интеграција по делови? Начинот на интеграција по делови решава многу важен проблем, тој ви овозможува да интегрирате некои функции што не се во табелата; работафункции, а во некои случаи дури и количници. Како што се сеќаваме, не постои погодна формула: . Но, постои овој: – формула за интеграција по делови лично. Знам, знам, ти си единствениот - ќе работиме со неа во текот на целата лекција (сега е полесно).

И веднаш списокот во студио. Интегралите од следниве типови се земени по делови:

1) , , – логаритам, логаритам помножен со некој полином.

2) ,е експоненцијална функција помножена со некој полином. Ова исто така вклучува интеграли како - експоненцијална функција помножена со полином, но во пракса ова е 97 проценти, под интегралот има убава буква „е“. ... написот испаѓа донекаде лирски, о да ... дојде пролетта.

3) , , се тригонометриски функции помножени со некој полином.

4) , – инверзни тригонометриски функции („лакови“), „лакови“ помножени со некој полином.

Некои дропки се исто така земени во делови, ние исто така ќе ги разгледаме соодветните примери.

Интеграли на логаритми

Пример 1

Класичен. Од време на време овој интеграл може да се најде во табелите, но не е препорачливо да се користи готов одговор, бидејќи наставникот има пролетен недостаток на витамин и ќе пцуе многу. Бидејќи интегралот што се разгледува во никој случај не е табеларен - тој се зема во делови. Ние одлучуваме:

Го прекинуваме решението за меѓуобјаснувања.

Ја користиме формулата за интеграција по делови:

Формулата се применува од лево кон десно

Гледаме на левата страна: . Очигледно, во нашиот пример (и во сите други што ќе ги разгледаме) нешто треба да се означи како , и нешто како .

Во интегралите од типот што се разгледува, логаритамот секогаш се означува.

Технички, дизајнот на решението се спроведува на следниов начин:

Односно, логаритамот го означивме со, и со - преостанатиот делинтегранд израз.

Следна фаза: најдете го диференцијалот:

Диференцијалот е скоро ист како изводот, веќе разговаравме како да го најдеме во претходните лекции.

Сега ја наоѓаме функцијата. За да ја пронајдете функцијата што треба да ја интегрирате десна странапомала еднаквост:

Сега го отвораме нашето решение и ја конструираме десната страна на формулата: .
Патем, еве пример од конечното решение со неколку забелешки:

Единствената поента во работата е што веднаш го заменив и , бидејќи е вообичаено да се пишува факторот пред логаритамот.

Како што можете да видите, примената на формулата за интеграција по делови во суштина го намали нашето решение на два едноставни интеграли.

Ве молиме имајте предвид дека во некои случаи веднаш попримена на формулата, нужно се врши поедноставување под преостанатиот интеграл - во примерот што се разгледува, интеградот го сведевме на „x“.

Ајде да провериме. За да го направите ова, треба да го земете дериватот на одговорот:

Добиена е оригиналната интегранд функција, што значи дека интегралот е правилно решен.

За време на тестот, го користевме правилото за диференцијација на производот: . И ова не е случајно.

Формула за интеграција по делови и формула – ова се две меѓусебно инверзни правила.

Пример 2

Најдете го неопределениот интеграл.

Интеграндот е производ на логаритам и полином.
Ајде да одлучиме.

Уште еднаш детално ќе ја опишам постапката за примена на правилото во иднина, примерите ќе бидат претставени пократко, а доколку имате потешкотии да го решите сами, треба да се вратите на првите два примери од лекцијата; .

Како што веќе споменавме, неопходно е да се означи логаритамот (фактот дека е моќност не е важно). Означуваме со преостанатиот делинтегранд израз.

Во колоната пишуваме:

Прво го наоѓаме диференцијалот:

Овде го користиме правилото за диференцијација на сложена функција . Не случајно на првата лекција од темата Неопределен интеграл. Примери на решенијаСе фокусирав на фактот дека за да се совладаат интегралите, неопходно е да се „добијат“ дериватите. Ќе мора да се занимавате со деривати повеќе од еднаш.

Сега ја наоѓаме функцијата, за ова се интегрираме десна странапомала еднаквост:

За интеграција ја користевме наједноставната табеларна формула

Сега сè е подготвено за примена на формулата . Отворете со ѕвездичка и „конструирајте го“ решението во согласност со десната страна:

Под интегралот повторно имаме полином за логаритам! Затоа, решението повторно се прекинува и по втор пат се применува правилото за интеграција по делови. Не заборавајте дека во слични ситуации логаритмот секогаш се означува.

Добро би било до сега да знаеш усно да ги најдеш наједноставните интеграли и деривати.

(1) Не се збунувајте за знаците! Многу често тука се губи минусот, исто така забележете дека минусот се однесува на на ситезаграда , и овие загради треба правилно да се прошират.

(2) Отворете ги заградите. Го поедноставуваме последниот интеграл.

(3) Го земаме последниот интеграл.

(4) „Чешлање“ на одговорот.

Потребата да се примени правилото за интеграција по делови двапати (или дури три пати) не се јавува многу ретко.

И сега неколку примери за ваше решение:

Пример 3

Најдете го неопределениот интеграл.

Овој пример се решава со промена на променливата (или замена под диференцијалниот знак)! Зошто да не - можете да се обидете да го земете во делови, ќе испадне смешна работа.

Пример 4

Најдете го неопределениот интеграл.

Но, овој интеграл е интегриран со делови (ветената дропка).

Ова се примери кои треба сами да ги решите, решенија и одговори на крајот од часот.

Се чини дека во примерите 3 и 4 интеградите се слични, но методите за решавање се различни! Ова е главната тешкотија во совладувањето на интегралите - ако изберете погрешен метод за решавање на интеграл, тогаш можете да го чепкате со часови, како со вистинска загатка. Затоа, колку повеќе решавате разни интеграли, толку подобро, толку полесно ќе биде тестот и испитот. Дополнително, во втората година ќе има диференцијални равенки, а без искуство во решавање интеграли и изводи нема што да се прави таму.

Во однос на логаритмите, ова е веројатно повеќе од доволно. Како настрана, можам да се сетам и дека студентите по инженерство користат логаритми за да ги нарекуваат женските гради =). Патем, корисно е да се знаат напамет графиконите на главните елементарни функции: синус, косинус, арктангенс, експонент, полиноми од трет, четврти степен итн. Не, се разбира, кондом на земјината топка
Нема да го истегнам, но сега ќе запомните многу од делот Табели и функции =).

Интеграли на експоненцијал помножен со полином

Општо правило:

Пример 5

Најдете го неопределениот интеграл.

Користејќи познат алгоритам, интегрираме по делови:

Ако имате потешкотии со интегралот, тогаш треба да се вратите на статијата Метод на промена на променливата во неопределен интеграл.

Единственото друго нешто што можете да направите е да го измените одговорот:

Но, ако вашата техника за пресметка не е многу добра, тогаш најпрофитабилната опција е да ја оставите како одговор или дури

Односно, примерот се смета за решен кога ќе се земе последниот интеграл. Нема да биде грешка, тоа е друго прашање што наставникот може да побара од вас да го поедноставите одговорот.

Пример 6

Најдете го неопределениот интеграл.

Ова е пример за да го решите сами. Овој интеграл е интегриран двапати со делови. Посебно внимание треба да се посвети на знаците - лесно е да се збуниме во нив, исто така се сеќаваме дека ова е сложена функција.

Нема што повеќе да се каже за изложувачот. Можам само да додадам дека експоненцијалниот и природниот логаритам се меѓусебно инверзни функции, ова сум јас на тема забавни графикони од вишата математика =) Стоп, застани, не се секирај, предавачот е трезен.

Интеграли на тригонометриски функции помножени со полином

Општо правило: for секогаш означува полином

Пример 7

Најдете го неопределениот интеграл.

Ајде да се интегрираме по делови:

Хммм...и нема што да се коментира.

Пример 8

Најдете го неопределениот интеграл

Ова е пример за да се решите сами

Пример 9

Најдете го неопределениот интеграл

Друг пример со дропка. Како и во двата претходни примери, for означува полином.

Ајде да се интегрираме по делови:

Доколку имате потешкотии или недоразбирања со наоѓање на интегралот, препорачувам да присуствувате на лекцијата Интеграли на тригонометриски функции.

Пример 10

Најдете го неопределениот интеграл

Ова е пример за да го решите сами.

Совет: Пред да го користите методот интеграција по делови, треба да примените некоја тригонометриска формула која го претвора производот од две тригонометриски функции во една функција. Формулата може да се користи и при примена на методот на интеграција по делови, кој и да е попогоден за вас.

Тоа е веројатно сè во овој пасус. Поради некоја причина се сетив на еден ред од химната за физика и математика „И синусниот график оди бран по бран по оската на апсцисата“….

Интеграли на инверзни тригонометриски функции.
Интеграли на инверзни тригонометриски функции помножени со полином

Општо правило: секогаш ја означува инверзната тригонометриска функција.

Дозволете ми да ве потсетам дека инверзните тригонометриски функции вклучуваат лаксин, аркозин, арктангенс и лактангенс. Заради краткост на записот ќе ги наречам „арки“

Интеграција по делови- метод кој се користи за решавање на определени и неопределени интеграли, кога еден од интеградите е лесно интеграбилен, а другиот е диференцијабилен. Прилично вообичаен метод за наоѓање интеграли, и неопределени и определени. Главниот знак кога треба да го користите е одредена функција која се состои од производ на две функции кои не можат да се интегрираат во точка-празно.

Формула

За успешно да го користите овој метод, треба да ги разберете и научите формулите.

Формула за интеграција по делови во неопределен интеграл:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Формула за интеграција по делови во одреден интеграл:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Примери на решенија

Да разгледаме во пракса примери на решенија за интеграција по делови, кои честопати ги предлагаат наставниците за време на тестовите. Ве молиме имајте предвид дека под интегралниот симбол има производ од две функции. Ова е знак дека овој метод е погоден за решение.