Шестоаголна призма и нејзините елементи. Права призма – Хипермаркет на знаење

Призма. Паралелепипед

Призмае полиедар чии две лица се еднакви n-аголници (основи) , лежејќи во паралелни рамнини, а преостанатите n лица се паралелограми (странични лица) . Странично ребро Страната на призмата што не припаѓа на основата се нарекува страна на призмата.

Се нарекува призма чии странични рабови се нормални на рамнините на основите директно призма (сл. 1). Ако страничните рабови не се нормални на рамнините на основите, тогаш се нарекува призмата наклонет . Точно Призма е правилна призма чии основи се правилни многуаголници.

Висинапризма е растојанието помеѓу рамнините на базите. Дијагонала Призма е отсечка што поврзува две темиња кои не припаѓаат на истото лице. Дијагонален пресек се нарекува пресек на призма со рамнина што минува низ два странични рабови кои не припаѓаат на истото лице. Нормален пресек се нарекува пресек на призмата со рамнина нормална на страничниот раб на призмата.

Странична површина на призмата е збир од плоштините на сите странични лица. Вкупна површина се нарекува збир на плоштините на сите лица на призмата (т.е. збир на плоштините на страничните лица и плоштините на основите).

За произволна призма, следните формули се вистинити::

Каде л– должина на страничното ребро;

Х- висина;

П

П

S страна

С полни

S база- површина на основите;

В– волумен на призмата.

За права призма, следните формули се точни:

Каде стр– периметар на основата;

л– должина на страничното ребро;

Х- висина.

паралелепипеднаречена призма чија основа е паралелограм. Се нарекува паралелепипед чии странични рабови се нормални на основите директно (сл. 2). Ако страничните рабови не се нормални на основите, тогаш се нарекува паралелепипед наклонет . Права паралелепипед чија основа е правоаголник се нарекува правоаголна. Се нарекува правоаголен паралелепипед со сите рабови еднакви коцка

Лицата на паралелепипед кои немаат заеднички темиња се нарекуваат спротивно . Должините на рабовите што произлегуваат од едно теме се нарекуваат мерења паралелепипед. Бидејќи паралелепипедот е призма, неговите главни елементи се дефинирани на ист начин како што се дефинирани за призмите.

Теореми.

1. Дијагоналите на паралелепипед се сечат во една точка и ја преполовуваат.

2. Во правоаголен паралелепипед, квадратот на должината на дијагоналата е еднаков на збирот на квадратите на неговите три димензии:

3. Сите четири дијагонали на правоаголен паралелепипед се еднакви една со друга.

За произволен паралелепипед важат следните формули:

Каде л– должина на страничното ребро;

Х- висина;

П– периметар на нормален пресек;

П– Перпендикуларна површина на пресек;

S страна– странична површина;

С полни– вкупна површина;

S база- површина на основите;

В– волумен на призмата.

За десниот паралелепипед следните формули се точни:

Каде стр– периметар на основата;

л– должина на страничното ребро;

Х– висина на десен паралелепипед.

За правоаголен паралелепипед следните формули се точни:

(3)

Каде стр– периметар на основата;

Х- висина;

г– дијагонала;

а, б, в– мерења на паралелепипед.

Следниве формули се точни за коцка:

Каде а– должина на ребрата;

г- дијагонала на коцката.

Пример 1.Дијагоналата на правоаголен паралелепипед е 33 dm, а неговите димензии се во однос 2: 6: 9. Најдете ги димензиите на паралелепипедот.

Решение.За да ги најдеме димензиите на паралелепипедот, ја користиме формулата (3), т.е. со тоа што квадратот на хипотенузата на кубоид е еднаков на збирот на квадратите на неговите димензии. Да означиме со кфактор на пропорционалност. Тогаш димензиите на паралелепипедот ќе бидат еднакви на 2 к, 6ки 9 к. Да ја напишеме формулата (3) за податоците за проблемот:

Решавање на оваа равенка за к, добиваме:

Тоа значи дека димензиите на паралелепипедот се 6 dm, 18 dm и 27 dm.

Одговор: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Пример 2.Најдете го волуменот на наклонета триаголна призма, чија основа е рамностран триаголник со страна од 8 cm, ако страничниот раб е еднаков на страната на основата и наклонет под агол од 60º кон основата.

Решение . Ајде да направиме цртеж (сл. 3).

За да го пронајдете волуменот на навалената призма, треба да ја знаете областа на нејзината основа и висина. Површината на основата на оваа призма е плоштина на рамностран триаголник со страна од 8 см. Да ја пресметаме:

Висината на призмата е растојанието помеѓу нејзините основи. Од врвот А 1 од горната основа, спуштете ја нормалната на рамнината на долната основа А 1 Д. Неговата должина ќе биде висината на призмата. Размислете за Д А 1 АД: бидејќи ова е аголот на наклон на страничниот раб А 1 Адо основната рамнина, А 1 А= 8 cm Од овој триаголник наоѓаме А 1 Д:

Сега го пресметуваме волуменот користејќи ја формулата (1):

Одговор: 192 см 3.

Пример 3.Латералниот раб на правилна шестоаголна призма е 14 см. Површината на најголемиот дијагонален пресек е 168 см 2. Најдете ја вкупната површина на призмата.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 4)

Најголемиот дијагонален дел е правоаголник А.А. 1 ДД 1 од дијагонала АДправилен шестоаголник ABCDEFе најголем. За да се пресмета страничната површина на призмата, неопходно е да се знае страната на основата и должината на страничниот раб.

Знаејќи ја областа на дијагоналниот пресек (правоаголник), ја наоѓаме дијагоналата на основата.

Од тогаш

Од тогаш АБ= 6 см.

Тогаш периметарот на основата е:

Дозволете ни да ја најдеме областа на страничната површина на призмата:

Површината на правилен шестоаголник со страна 6 cm е:

Најдете ја вкупната површина на призмата:

Одговор:

Пример 4.Основата на десниот паралелепипед е ромб. Површините на попречниот пресек на дијагоналата се 300 cm2 и 875 cm2. Најдете ја областа на страничната површина на паралелепипедот.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 5).

Да ја означиме страната на ромбот со А, дијагонали на ромб г 1 и г 2, паралелепипедна висина ч. За да се најде плоштината на страничната површина на десниот паралелепипед, потребно е да се помножи периметарот на основата со висината: (формула (2)). Основен периметар p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, бидејќи А БЕ ЦЕ ДЕ- ромб H = AA 1 = ч. Тоа. Треба да се најде АИ ч.

Да ги разгледаме дијагоналните делови. АА 1 СС 1 – правоаголник, чија една страна е дијагонала на ромб AC = г 1, втор - страничен раб АА 1 = ч, Потоа

Слично за делот ББ 1 ДД 1 добиваме:

Користејќи го својството на паралелограм така што збирот на квадратите на дијагоналите е еднаков на збирот на квадратите на сите негови страни, ја добиваме еднаквоста Го добиваме следново.

Различни призми се различни една од друга. Во исто време, тие имаат многу заедничко. За да ја пронајдете областа на основата на призмата, ќе треба да разберете каков тип има.

Општа теорија

Призма е секој полиедар чии страни имаат форма на паралелограм. Покрај тоа, неговата основа може да биде кој било полиедар - од триаголник до n-аголник. Покрај тоа, основите на призмата се секогаш еднакви една со друга. Она што не важи за страничните лица е тоа што тие може значително да се разликуваат по големина.

При решавање на проблеми, не се среќава само областа на основата на призмата. Може да бара познавање на страничната површина, односно сите лица кои не се основи. Целосната површина ќе биде спој на сите лица што ја сочинуваат призмата.

Понекогаш проблемите вклучуваат висина. Тоа е нормално на основите. Дијагоналата на полиедарот е отсечка која во парови ги поврзува сите две темиња кои не припаѓаат на истото лице.

Треба да се напомене дека основната површина на права или наклонета призма не зависи од аголот помеѓу нив и страничните лица. Ако имаат исти фигури на горните и долните лица, тогаш нивните области ќе бидат еднакви.

Триаголна призма

Во својата основа има фигура со три темиња, односно триаголник. Како што знаете, може да биде различно. Ако е така, доволно е да се запамети дека неговата површина е одредена со половина од производот на нозете.

Математичката нотација изгледа вака: S = ½ av.

За да ја дознаете областа на основата воопшто, корисни се формулите: Херон и онаа во која половина од страната е земена од висината што е привлечена кон неа.

Првата формула треба да се запише на следниов начин: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Оваа нотација содржи полупериметар (p), односно збир на три страни поделени со две.

Второ: S = ½ n a * a.

Ако сакате да ја дознаете областа на основата на триаголната призма, која е правилна, тогаш триаголникот излегува дека е рамностран. Постои формула за тоа: S = ¼ a 2 * √3.

Четириаголна призма

Нејзината основа е кој било од познатите четириаголници. Може да биде правоаголник или квадрат, паралелепипед или ромб. Во секој случај, за да ја пресметате областа на основата на призмата, ќе ви треба сопствена формула.

Ако основата е правоаголник, тогаш нејзината плоштина се одредува на следниов начин: S = ab, каде што a, b се страните на правоаголникот.

Кога ние зборуваме заоколу четириаголна призма, тогаш плоштината на основата на правилната призма се пресметува со помош на формулата за квадрат. Затоа што тој лежи на темелите. S = a 2.

Во случај кога основата е паралелепипед, ќе биде потребна следната еднаквост: S = a * n a. Се случува да бидат дадени страната на паралелепипед и еден од аглите. Потоа, за да ја пресметате висината, ќе треба да користите дополнителна формула: n a = b * sin A. Покрај тоа, аголот A е во непосредна близина на страната „b“, а висината n е спротивна на овој агол.

Ако има ромб на основата на призмата, тогаш за да ја одредите неговата површина ќе ви треба истата формула како и за паралелограм (бидејќи тоа е посебен случај за него). Но, можете да го користите и ова: S = ½ d 1 d 2. Овде d 1 и d 2 се две дијагонали на ромбот.

Правилна пентагонална призма

Овој случај вклучува делење на многуаголникот на триаголници, чии области полесно се откриваат. Иако се случува бројките да имаат различен број темиња.

Бидејќи основата на призмата е правилен петаголник, таа може да се подели на пет рамностран триаголници. Тогаш површината на основата на призмата е еднаква на плоштината на еден таков триаголник (формулата може да се види погоре), помножена со пет.

Правилна хексагонална призма

Користејќи го принципот опишан за пентагонална призма, можно е да се подели шестоаголникот на основата на 6 рамностран триаголници. Формулата за основната површина на таквата призма е слична на претходната. Само тоа треба да се помножи со шест.

Формулата ќе изгледа вака: S = 3/2 a 2 * √3.

Задачи

Бр. 1. Дадена е правилна права линија, нејзината дијагонала е 22 см, висината на полиедарот е 14 см. Пресметајте ја плоштината на основата на призмата и целата површина.

Решение.Основата на призмата е квадрат, но неговата страна е непозната. Неговата вредност можете да ја најдете од дијагоналата на квадратот (x), која е поврзана со дијагоналата на призмата (d) и нејзината висина (h). x 2 = d 2 - n 2. Од друга страна, овој сегмент „x“ е хипотенуза во триаголник чии краци се еднакви на страната на квадратот. Тоа е, x 2 = a 2 + a 2. Така излегува дека a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Заменете го бројот 22 наместо d и заменете го „n“ со неговата вредност - 14, излегува дека страната на квадратот е 12 cm. Сега само дознајте ја областа на основата: 12 * 12 = 144 cm 2.

За да ја дознаете површината на целата површина, треба да додадете двапати од основната површина и четирикратно да ја зголемите страничната површина. Вториот може лесно да се најде со помош на формулата за правоаголник: помножете ја висината на полиедарот и страната на основата. Тоа е, 14 и 12, овој број ќе биде еднаков на 168 cm 2. Вкупната површина на призмата се покажува дека е 960 cm 2.

Одговори.Површината на основата на призмата е 144 cm 2. Целата површина е 960 cm2.

бр 2. Даден Во основата има триаголник со страна од 6 cm Во овој случај дијагоналата на страничното лице е 10 cm Пресметај ги плоштините: основата и бочната површина.

Решение.Бидејќи призмата е правилна, нејзината основа е рамностран триаголник. Затоа, неговата површина излегува дека е 6 квадрат, помножена со ¼ и квадратен корен од 3. Едноставната пресметка води до резултатот: 9√3 cm 2. Ова е областа на една основа на призмата.

Сите странични лица се исти и се правоаголници со страни од 6 и 10 см.За да ги пресметате нивните површини, само помножете ги овие бројки. Потоа помножете ги со три, бидејќи призмата има точно толку странични страни. Тогаш површината на страничната површина на раната се покажува дека е 180 cm 2.

Одговори.Површини: основа - 9√3 cm 2, странична површина на призмата - 180 cm 2.

Полиедра

Главниот предмет на проучување на стереометријата се просторните тела. Телопретставува дел од просторот ограничен со одредена површина.

Полиедаре тело чија површина се состои од конечен број рамни многуаголници. Полиедар се нарекува конвексен ако се наоѓа на едната страна од рамнината на секој рамнински многуаголник на неговата површина. Заедничкиот дел на таквата рамнина и површината на полиедар се нарекуваат раб. Лицата на конвексен полиедар се рамни конвексни многуаголници. Страните на лицата се нарекуваат рабовите на полиедарот, а темињата се темиња на полиедарот.

На пример, една коцка се состои од шест квадрати, кои се нејзините лица. Содржи 12 рабови (страните на квадратите) и 8 темиња (врвовите на квадратите).

Наједноставните полиедри се призмите и пирамидите, кои понатаму ќе ги проучуваме.

Призма

Дефиниција и својства на призма

Призмае полиедар кој се состои од два рамни многуаголници кои лежат во паралелни рамнини комбинирани со паралелно преведување и сите отсечки што ги поврзуваат соодветните точки на овие многуаголници. Се нарекуваат многуаголници основи на призма, а отсечките што ги поврзуваат соодветните темиња на многуаголниците се странични рабови на призмата.

Висина на призматасе нарекува растојание помеѓу рамнините на неговите основи (). Се нарекува отсечка што поврзува две темиња на призма кои не припаѓаат на истото лице дијагонала на призмата(). Призмата се нарекува n-јаглерод, ако неговата база содржи n-аголник.

Секоја призма ги има следните својства, што произлегуваат од фактот што основите на призмата се комбинираат со паралелен превод:

1. Основите на призмата се еднакви.

2. Страничните рабови на призмата се паралелни и еднакви.

Површината на призмата се состои од основи и странична површина. Страничната површина на призмата се состои од паралелограми (ова произлегува од својствата на призмата). Областа на страничната површина на призмата е збир на површините на страничните лица.

Права призма

Призмата се нарекува директно, ако неговите странични рабови се нормални на основите. Во спротивно се нарекува призмата наклонет.

Лицата на правилната призма се правоаголници. Висината на права призма е еднаква на нејзините странични лица.

Целосна површина на призматасе нарекува збир на страничната површина и плоштините на основите.

Со вистинската призманаречена десна призма со правилен многуаголник во основата.

Теорема 13.1. Областа на страничната површина на права призма е еднаква на производот на периметарот и висината на призмата (или, што е исто, со страничниот раб).

Доказ. Страничните лица на правата призма се правоаголници, чии основи се страните на многуаголниците во основите на призмата, а височините се страничните рабови на призмата. Тогаш, по дефиниција, страничната површина е:

,

каде е периметарот на основата на права призма.

Паралелепипед

Ако паралелограмите лежат на основите на призмата, тогаш таа се нарекува паралелепипед. Сите лица на паралелепипед се паралелограми. Во овој случај, спротивните лица на паралелепипедот се паралелни и еднакви.

Теорема 13.2. Дијагоналите на паралелепипед се сечат во една точка и се делат на половина со пресечната точка.

Доказ. Размислете за две произволни дијагонали, на пример, и . Бидејќи лицата на паралелепипед се паралелограми, потоа и , што значи според To има две прави паралелни на третата. Покрај тоа, тоа значи дека прави линии и лежат во иста рамнина (рамнина). Оваа рамнина пресекува паралелни рамнини и по паралелни прави и . Така, четириаголник е паралелограм, а според својството на паралелограм, неговите дијагонали се сечат и се делат на половина со пресечната точка, што требаше да се докаже.

Права паралелепипед чија основа е правоаголник се нарекува правоаголен паралелепипед. Сите лица на правоаголен паралелепипед се правоаголници. Должините на непаралелните рабови на правоаголен паралелепипед се нарекуваат негови линеарни димензии (димензии). Постојат три такви големини (ширина, висина, должина).

Теорема 13.3. Во правоаголен паралелепипед, квадратот на која било дијагонала е еднаков на збирот на квадратите на неговите три димензии (докажано со примена на Питагорова Т два пати).

Се нарекува правоаголен паралелепипед со сите рабови еднакви коцка.

Задачи

13.1 Колку дијагонали има? n-јаглеродна призма

13.2 Во наклонета триаголна призма, растојанијата меѓу страничните рабови се 37, 13 и 40. Најдете го растојанието помеѓу поголемиот страничен раб и спротивниот страничен раб.

13.3 Низ страната на долната основа на правилна триаголна призма се повлекува рамнина, вкрстувајќи ги страничните страни по отсечки со агол меѓу нив. Најдете го аголот на наклонетост на оваа рамнина до основата на призмата.

Дефиниција 1. Призматична површина
Теорема 1. На паралелни пресеци на призматична површина
Дефиниција 2. Нормален пресек на призматична површина
Дефиниција 3. Призма
Дефиниција 4. Висина на призмата
Дефиниција 5. Десна призма
Теорема 2. Областа на страничната површина на призмата

Паралелепипед:
Дефиниција 6. Паралелепипед
Теорема 3. На пресекот на дијагоналите на паралелепипед
Дефиниција 7. Десен паралелепипед
Дефиниција 8. Правоаголен паралелепипед
Дефиниција 9. Мерења на паралелепипед
Дефиниција 10. Коцка
Дефиниција 11. Ромбоедрон
Теорема 4. На дијагоналите на правоаголен паралелепипед
Теорема 5. Волумен на призма
Теорема 6. Волумен на права призма
Теорема 7. Волумен на правоаголен паралелепипед

Призмае полиедар чии две лица (основи) лежат во паралелни рамнини, а рабовите што не лежат во овие лица се паралелни еден со друг.
Лицата кои не се основите се нарекуваат странично.
Страните на страничните лица и основите се нарекуваат призма ребра, се нарекуваат краевите на рабовите темињата на призмата. Странични ребрасе нарекуваат рабовите кои не припаѓаат на основите. Соединувањето на страничните лица се нарекува странична површина на призмата, и се нарекува соединување на сите лица целосната површина на призмата. Висина на призматанаречен нормално паѓање од точката на горната основа до рамнината на долната основа или должината на оваа нормална. Директна призманаречена призма чии странични ребра се нормални на рамнините на основите. Точнонаречена права призма (сл. 3), во чија основа лежи правилен многуаголник.

Ознаки:
l - странично ребро;
P - основен периметар;
S o - основна површина;
H - висина;
P^ - периметар на нормален пресек;
S b - странична површина;
V - волумен;
S p е плоштината на вкупната површина на призмата.

Дефиниција 2 . Нормален пресек на призматична површина е дел од оваа површина со рамнина нормална на нејзините рабови. Врз основа на претходната теорема, сите нормални пресеци на иста призматска површина ќе бидат еднакви многуаголници.

Дефиниција 3 . Призма е полиедар ограничен со призматична површина и две рамнини паралелни една на друга (но не и паралелни со рабовите на призматската површина)
Се нарекуваат лицата што лежат во овие последни рамнини основи на призма; лица кои припаѓаат на призматичната површина - странични лица; рабовите на призматичната површина - странични ребра на призмата. Врз основа на претходната теорема, основата на призмата е еднакви многуаголници. Сите странични лица на призмата - паралелограми; сите странични ребра се еднакви едни на други.
Очигледно, ако се дадени основата на призмата ABCDE и еден од рабовите AA" по големина и насока, тогаш можно е да се конструира призма со исцртување на рабовите BB", CC", ... еднакви и паралелни на работ AA" .

Дефиниција 4 . Висината на призмата е растојанието помеѓу рамнините на нејзините основи (HH").

Дефиниција 5 . Призмата се нарекува права ако нејзините основи се нормални пресеци на призматската површина. Во овој случај, висината на призмата е, се разбира, нејзина странично ребро; страничните рабови ќе бидат правоаголници.
Призмите може да се класифицираат според бројот на странични лица еднаков на бројот на страни на многуаголникот што служи како негова основа. Така, призмите можат да бидат триаголни, четириаголни, петоаголни итн.

Теорема 2 . Областа на страничната површина на призмата е еднаква на производот на страничниот раб и периметарот на нормалниот пресек.
Нека ABCDEA"B"C"D"E" е дадена призма и abcde нејзиниот нормален пресек, така што отсечките ab, bc, .. се нормални на неговите странични рабови. Лицето ABA"B" е паралелограм; неговата плоштина е еднаков на производот на основата AA " до висина што се совпаѓа со ab; површината на лицето ВСВ „С“ е еднаква на производот на основата ВВ по висината bc, итн. Следствено, страничната површина (т.е. збирот на површините на страничните лица) е еднаква на производот на страничниот раб, со други зборови, вкупната должина на сегментите AA", ВВ", .., за износот ab+bc+cd+de+ea.

Во училишната програма за курс по стереометрија, проучувањето на тридимензионални фигури обично започнува со едноставно геометриско тело - полиедар на призма. Улогата на неговите основи ја вршат 2 еднакви многуаголници кои лежат во паралелни рамнини. Посебен случај е правилна четириаголна призма. Нејзините основи се 2 идентични правилни четириаголници, на кои страните се нормални, со облик на паралелограми (или правоаголници, ако призмата не е наклонета).

Како изгледа призмата?

Правилна четириаголна призма е шестоаголник, чии основи се 2 квадрати, а страничните лица се претставени со правоаголници. Друго име за оваа геометриска фигура е праволиниски паралелепипед.

Подолу е прикажан цртеж што прикажува четириаголна призма.

Можете да видите и на сликата најважните елементи што го сочинуваат геометриското тело. Тие вклучуваат:

Понекогаш во проблемите со геометријата може да се сретнете со концептот на дел. Дефиницијата ќе звучи вака: дел се сите точки на волуметриското тело што припаѓаат на рамнината за сечење. Пресекот може да биде нормален (ги пресекува рабовите на фигурата под агол од 90 степени). За правоаголна призма, се смета и дијагонален пресек (максималниот број на делови што може да се конструираат е 2), поминувајќи низ 2 рабови и дијагоналите на основата.

Ако делот е нацртан на таков начин што рамнината за сечење не е паралелна ниту со основите ниту со страничните лица, резултатот е скратена призма.

За пронаоѓање на намалените призматични елементи се користат различни релации и формули. Некои од нив се познати од курсот за планиметрија (на пример, за да се најде плоштината на основата на призмата, доволно е да се потсетиме на формулата за плоштина на квадрат).

Површина и волумен

За да го одредите волуменот на призмата со помош на формулата, треба да ја знаете областа на нејзината основа и висина:

V = Сбас ч

Бидејќи основата на правилната тетраедрална призма е квадрат со страна а,Формулата можете да ја напишете во подетална форма:

V = a²·h

Ако зборуваме за коцка - правилна призма со еднаква должина, ширина и висина, волуменот се пресметува на следниов начин:

За да разберете како да ја пронајдете страничната површина на призмата, треба да го замислите нејзиниот развој.

Од цртежот се гледа дека страничната површина е составена од 4 еднакви правоаголници. Неговата површина се пресметува како производ на периметарот на основата и висината на фигурата:

Страна = Позн ч

Имајќи предвид дека периметарот на квадратот е еднаков на P = 4a,формулата има форма:

Страна = 4а ч

За коцка:

Страна = 4a²

За да ја пресметате вкупната површина на призмата, треба да додадете 2 основни области на страничната површина:

Sfull = Страна + 2 Smain

Во однос на четириаголна правилна призма, формулата изгледа вака:

Вкупно = 4a h + 2a²

За површината на коцка:

Полна = 6a²

Знаејќи го волуменот или површината, можете да ги пресметате поединечните елементи на геометриското тело.

Наоѓање елементи на призмата

Честопати има проблеми во кои е даден волуменот или се знае вредноста на страничната површина, каде што е неопходно да се одреди должината на страната на основата или висината. Во такви случаи, формулите може да се изведат:

• должина на основната страна: a = Страна / 4h = √(V / h);
• висина или должина на страничните ребра: h = Страна / 4a = V / a²;
• основна област: Sbas = V / h;
• област на странично лице: Страна gr = Страна / 4.

За да одредите колкава површина има дијагоналниот пресек, треба да ја знаете должината на дијагоналата и висината на фигурата. За квадрат d = a√2.Затоа:

Sdiag = ах√2

За да ја пресметате дијагоналата на призмата, користете ја формулата:

dprize = √(2a² + h²)

За да разберете како да ги примените дадените односи, можете да вежбате и решите неколку едноставни задачи.

Примери на проблеми со решенија

Еве неколку задачи пронајдени на државните завршни испити по математика.

Вежба 1.

Песок се истура во кутија во облик на редовна четириаголна призма. Висината на неговото ниво е 10 см.Колкаво ќе биде нивото на песок ако го преместите во контејнер со иста форма, но со основа двојно подолга?

Треба да се образложи на следниов начин. Количината на песок во првиот и вториот контејнер не се промени, односно неговиот волумен во нив е ист. Должината на основата можете да ја означите со а. Во овој случај, за првата кутија волуменот на супстанцијата ќе биде:

V1 = ha² = 10a²

За втората кутија, должината на основата е 2а, но висината на нивото на песок е непозната:

V2 = h (2a)² = 4ha²

Затоа што V1 = V2, можеме да ги изедначиме изразите:

10a² = 4ha²

Откако ќе ги намалиме двете страни на равенката за a², добиваме:

Како резултат на тоа, новото ниво на песок ќе биде h = 10 / 4 = 2,5цм.

Задача 2.

ABCDA1B1C1D1 е правилна призма. Познато е дека BD = AB1 = 6√2. Најдете ја вкупната површина на телото.

За полесно да разберете кои елементи се познати, можете да нацртате фигура.

Бидејќи станува збор за правилна призма, можеме да заклучиме дека во основата има квадрат со дијагонала 6√2. Дијагоналата на страничното лице има иста големина, затоа, страничното лице исто така има облик на квадрат еднаков на основата. Излегува дека сите три димензии - должина, ширина и висина - се еднакви. Можеме да заклучиме дека ABCDA1B1C1D1 е коцка.

Должината на кој било раб се одредува преку позната дијагонала:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Вкупната површина се наоѓа со помош на формулата за коцка:

Полна = 6a² = 6 6² = 216

Задача 3.

Собата се реновира. Познато е дека неговиот под има форма на квадрат со површина од 9 m². Висината на просторијата е 2,5 m. Која е најниската цена за тапет на просторијата ако 1 m² чини 50 рубли?

Бидејќи подот и таванот се квадрати, односно правилни четириаголници, а неговите ѕидови се нормални на хоризонталните површини, можеме да заклучиме дека е правилна призма. Неопходно е да се одреди површината на неговата странична површина.

Должината на собата е a = √9 = 3м.

Областа ќе биде покриена со тапет Страна = 4 3 2,5 = 30 m².

Најниската цена на тапет за оваа соба ќе биде 50·30 = 1500рубли

Така, за да се решат проблемите што вклучуваат правоаголна призма, доволно е да може да се пресмета плоштината и периметарот на квадрат и правоаголник, како и да се знаат формулите за наоѓање на волуменот и површината.

Како да се најде плоштината на коцка