പവർ എക്സ്പ്രഷനുകളും (പവർ ഉള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളും) അവയുടെ പരിവർത്തനവും. സംഖ്യാ, അക്ഷരമാല, വേരിയബിൾ എക്സ്പ്രഷനുകൾ: നിർവചനങ്ങൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

അക്ഷര പദപ്രയോഗം (അല്ലെങ്കിൽ വേരിയബിൾ എക്സ്പ്രഷൻ) എന്നത് അക്കങ്ങൾ, അക്ഷരങ്ങൾ, ഗണിത ചിഹ്നങ്ങൾ എന്നിവ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഗണിത പദപ്രയോഗമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം അക്ഷരാർത്ഥമാണ്:

a+b+4

അക്ഷരമാലാ ക്രമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് നിയമങ്ങൾ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങൾ, പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്നിവ എഴുതാം. അക്ഷര പദപ്രയോഗങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാനുള്ള കഴിവ് ബീജഗണിതത്തെയും ഉയർന്ന ഗണിതത്തെയും കുറിച്ചുള്ള നല്ല അറിവിന്റെ താക്കോലാണ്.

ഗണിതത്തിലെ ഏത് ഗുരുതരമായ പ്രശ്നവും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് അക്ഷരാർത്ഥത്തിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയണം.

അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ, നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാന ഗണിതത്തിൽ നന്നായി അറിയേണ്ടതുണ്ട്: സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, വിഭജനം, ഗണിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ, ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ, അനുപാതങ്ങൾ. പഠിക്കുക മാത്രമല്ല, നന്നായി മനസ്സിലാക്കുക.

വേരിയബിളുകൾ

അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന അക്ഷരങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു വേരിയബിളുകൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷനിൽ a+b+ 4 വേരിയബിളുകൾ അക്ഷരങ്ങളാണ് എഒപ്പം ബി. ഈ വേരിയബിളുകൾക്ക് പകരം ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അക്ഷര പദപ്രയോഗം a+b+ 4 ഒരു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗമായി മാറും, അതിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താനാകും.

വേരിയബിളുകൾക്ക് പകരമുള്ള സംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റാം എഒപ്പം ബി. മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റാൻ തുല്യ ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു

a = 2, b = 3

ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റി എഒപ്പം ബി. വേരിയബിൾ എഒരു മൂല്യം നൽകി 2 , വേരിയബിൾ ബിഒരു മൂല്യം നൽകി 3 . തത്ഫലമായി, അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗം a+b+4ഒരു സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗമായി മാറുന്നു 2+3+4 ആരുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:

വേരിയബിളുകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരുമിച്ച് എഴുതുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, റെക്കോർഡ് ചെയ്യുക എബിപ്രവേശനം പോലെ തന്നെ അർത്ഥമാക്കുന്നു a×b. നമ്മൾ വേരിയബിളുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ എഒപ്പം ബിസംഖ്യകൾ 2 ഒപ്പം 3 , അപ്പോൾ നമുക്ക് 6 ലഭിക്കും

പരാൻതീസിസിലെ ഒരു പദപ്രയോഗത്തിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗുണനം ഒരുമിച്ച് എഴുതാനും കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, പകരം a×(b + c)എഴുതാം a(b + c). ഗുണനത്തിന്റെ വിതരണ നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ലഭിക്കും a(b + c)=ab+ac.

സാധ്യതകൾ

അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് പലപ്പോഴും ഒരു സംഖ്യയും വേരിയബിളും ഒരുമിച്ച് എഴുതിയിരിക്കുന്ന ഒരു നൊട്ടേഷൻ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന് 3എ. ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ സംഖ്യ 3 നെ ഒരു വേരിയബിൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ചുരുക്കെഴുത്താണ്. എഈ എൻട്രി ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു 3×എ .

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പദപ്രയോഗം 3എസംഖ്യ 3 ന്റെയും വേരിയബിളിന്റെയും ഗുണനമാണ് എ. നമ്പർ 3 ഈ ജോലിയിൽ അവർ വിളിക്കുന്നു ഗുണകം. വേരിയബിൾ എത്ര തവണ വർദ്ധിപ്പിക്കുമെന്ന് ഈ ഗുണകം കാണിക്കുന്നു എ. ഈ പദപ്രയോഗം ഇങ്ങനെ വായിക്കാം " എമൂന്ന് തവണ" അല്ലെങ്കിൽ "മൂന്ന് തവണ എ", അല്ലെങ്കിൽ "ഒരു വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം വർദ്ധിപ്പിക്കുക എമൂന്ന് തവണ", എന്നാൽ മിക്കപ്പോഴും വായിക്കുന്നത് "മൂന്ന്" എന്നാണ് എ«

ഉദാഹരണത്തിന്, വേരിയബിൾ ആണെങ്കിൽ എതുല്യമാണ് 5 , പിന്നെ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം 3എ 15 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

3 × 5 = 15

ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, അക്ഷരത്തിന് മുമ്പ് (വേരിയബിളിന് മുമ്പ്) ദൃശ്യമാകുന്ന സംഖ്യയാണ് ഗുണകം.

നിരവധി അക്ഷരങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം, ഉദാഹരണത്തിന് 5abc. ഇവിടെ ഗുണകം സംഖ്യയാണ് 5 . ഈ ഗുണകം കാണിക്കുന്നത് വേരിയബിളുകളുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ് abcഅഞ്ചിരട്ടി വർദ്ധിക്കുന്നു. ഈ പദപ്രയോഗം ഇങ്ങനെ വായിക്കാം " abcഅഞ്ച് തവണ" അല്ലെങ്കിൽ "പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം വർദ്ധിപ്പിക്കുക abcഅഞ്ച് തവണ" അല്ലെങ്കിൽ "അഞ്ച് abc «.

വേരിയബിളുകൾക്ക് പകരം എങ്കിൽ abc 2, 3, 4 എന്നീ സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, തുടർന്ന് പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം 5abcതുല്യമായിരിക്കും 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

2, 3, 4 എന്നീ സംഖ്യകൾ ആദ്യം ഗുണിച്ചതെങ്ങനെയെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മാനസികമായി സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം അഞ്ചിരട്ടിയായി വർദ്ധിച്ചു:

ഗുണകത്തിന്റെ അടയാളം ഗുണകത്തെ മാത്രം സൂചിപ്പിക്കുന്നു, വേരിയബിളുകൾക്ക് ബാധകമല്ല.

പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കുക −6b. ഗുണകത്തിന് മുമ്പുള്ള മൈനസ് 6 , ഗുണകത്തിന് മാത്രം ബാധകമാണ് 6 , കൂടാതെ വേരിയബിളിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല ബി. ഈ വസ്തുത മനസ്സിലാക്കുന്നത് ഭാവിയിൽ അടയാളങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് തെറ്റുകൾ വരുത്താതിരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താം −6bചെയ്തത് b = 3.

−6b −6×ബി. വ്യക്തതയ്ക്കായി, നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതാം −6bവിപുലീകരിച്ച രൂപത്തിൽ വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക ബി

−6b = -6 × b = -6 × 3 = -18

ഉദാഹരണം 2.ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക −6bചെയ്തത് b = -5

നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതാം −6bവിപുലീകരിച്ച രൂപത്തിൽ

−6b = -6 × b = -6 × (-5) = 30

ഉദാഹരണം 3.ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക −5a+bചെയ്തത് a = 3ഒപ്പം b = 2

−5a+bഇത് ഒരു ഹ്രസ്വ രൂപമാണ് −5 × a + b, അതിനാൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം എഴുതുന്നു −5×a+bവിപുലീകരിച്ച രൂപത്തിൽ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക എഒപ്പം ബി

−5a + b = -5 × a + b = -5 × 3 + 2 = -15 + 2 = -13

ചിലപ്പോൾ അക്ഷരങ്ങൾ ഒരു ഗുണകം ഇല്ലാതെ എഴുതുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന് എഅഥവാ എബി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗുണകം ഏകതയാണ്:

എന്നാൽ പരമ്പരാഗതമായി യൂണിറ്റ് എഴുതിയിട്ടില്ല, അതിനാൽ അവർ ലളിതമായി എഴുതുന്നു എഅഥവാ എബി

അക്ഷരത്തിന് മുമ്പ് ഒരു മൈനസ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഗുണകം ഒരു സംഖ്യയാണ് −1 . ഉദാഹരണത്തിന്, പദപ്രയോഗം −aയഥാർത്ഥത്തിൽ തോന്നുന്നു −1a. മൈനസ് ഒന്നിന്റെയും വേരിയബിളിന്റെയും ഗുണനമാണിത് എ.ഇത് ഇതുപോലെ മാറി:

−1 × a = -1a

ഇവിടെ ഒരു ചെറിയ മീൻപിടിത്തമുണ്ട്. ആവിഷ്കാരത്തിൽ −aവേരിയബിളിന് മുന്നിലുള്ള മൈനസ് ചിഹ്നം എയഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു വേരിയബിളിനു പകരം "അദൃശ്യ യൂണിറ്റ്" സൂചിപ്പിക്കുന്നു എ. അതിനാൽ, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കണം.

ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷൻ നൽകിയാൽ −aഅതിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നു a = 2, പിന്നെ സ്കൂളിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു വേരിയബിളിന് പകരം രണ്ട് മാറ്റി എഉത്തരം ലഭിക്കുകയും ചെയ്തു −2 , അത് എങ്ങനെ സംഭവിച്ചു എന്നതിൽ കൂടുതൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാതെ. വാസ്തവത്തിൽ, മൈനസ് ഒന്നിനെ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു

−a = -1 × a

−1 × a = -1 × 2 = -2

എക്സ്പ്രഷൻ കൊടുത്താൽ −aനിങ്ങൾ അതിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് a = -2, പിന്നെ ഞങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുന്നു −2 ഒരു വേരിയബിളിന് പകരം എ

−a = -1 × a

−1 × a = -1 × (-2) = 2

തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ആദ്യം അദൃശ്യമായ യൂണിറ്റുകൾ വ്യക്തമായി എഴുതാം.

ഉദാഹരണം 4.ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക abcചെയ്തത് a=2 , b=3ഒപ്പം c=4

എക്സ്പ്രഷൻ abc 1×a×b×c.വ്യക്തതയ്ക്കായി, നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതാം abc എ, ബിഒപ്പം സി

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

ഉദാഹരണം 5.ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക abcചെയ്തത് a=−2 , b=-3ഒപ്പം c=-4

നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതാം abcവിപുലീകരിച്ച രൂപത്തിൽ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക എ, ബിഒപ്പം സി

1 × a × b × c = 1 × (-2) × (-3) × (−4) = -24

ഉദാഹരണം 6.ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക − abcചെയ്തത് a=3, b=5, c=7

എക്സ്പ്രഷൻ − abcഇത് ഒരു ഹ്രസ്വ രൂപമാണ് −1×a×b×c.വ്യക്തതയ്ക്കായി, നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതാം − abcവിപുലീകരിച്ച രൂപത്തിൽ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക എ, ബിഒപ്പം സി

-abc = -1 × a × b × c = -1 × 3 × 5 × 7 = -105

ഉദാഹരണം 7.ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക − abcചെയ്തത് a=−2, b=-4, c=-3

നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതാം − abcവിപുലീകരിച്ച രൂപത്തിൽ:

-abc = -1 × a × b × c

നമുക്ക് വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം എ , ബിഒപ്പം സി

-abc = -1 × a × b × c = -1 × (-2) × (-4) × (−3) = 24

ഗുണകം എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും

ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഗുണകം നിർണ്ണയിക്കേണ്ട ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തത്വത്തിൽ, ഈ ടാസ്ക് വളരെ ലളിതമാണ്. സംഖ്യകളെ കൃത്യമായി ഗുണിക്കാൻ കഴിഞ്ഞാൽ മതി.

ഒരു എക്സ്പ്രഷനിലെ കോഫിഫിഷ്യന്റ് നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഈ എക്സ്പ്രഷനിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളെ വെവ്വേറെ ഗുണിക്കുകയും അക്ഷരങ്ങൾ വെവ്വേറെ ഗുണിക്കുകയും വേണം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യാ ഘടകം ഗുണകമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 1. 7m×5a×(-3)×n

പദപ്രയോഗം നിരവധി ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. നിങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷൻ വിപുലീകരിച്ച രൂപത്തിൽ എഴുതിയാൽ ഇത് വ്യക്തമായി കാണാൻ കഴിയും. അതായത്, പ്രവർത്തിക്കുന്നു 7മീഒപ്പം 5എഫോമിൽ എഴുതുക 7×മീഒപ്പം 5×എ

7 × m × 5 × a × (-3) × n

ഏത് ക്രമത്തിലും ഘടകങ്ങളെ ഗുണിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഗുണനത്തിന്റെ അനുബന്ധ നിയമം പ്രയോഗിക്കാം. അതായത്, ഞങ്ങൾ അക്കങ്ങളെ വെവ്വേറെ ഗുണിക്കുകയും അക്ഷരങ്ങൾ (വേരിയബിളുകൾ) വെവ്വേറെ ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യും:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = -105മാൻ

ഗുണകം ആണ് −105 . പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, അക്ഷരത്തിന്റെ ഭാഗം അക്ഷരമാലാക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്:

−105amn

ഉദാഹരണം 2.എക്സ്പ്രഷനിലെ ഗുണകം നിർണ്ണയിക്കുക: -a×(-3)×2

-a × (−3) × 2 = -3 × 2 × (-a) = -6 × (-a) = 6a

ഗുണകം 6 ആണ്.

ഉദാഹരണം 3.എക്സ്പ്രഷനിലെ ഗുണകം നിർണ്ണയിക്കുക:

നമുക്ക് അക്കങ്ങളും അക്ഷരങ്ങളും വെവ്വേറെ ഗുണിക്കാം:

ഗുണകം -1 ആണ്. ഗുണകം 1 എഴുതാതിരിക്കുന്നത് പതിവായതിനാൽ യൂണിറ്റ് എഴുതിയിട്ടില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഏറ്റവും ലളിതമായി തോന്നുന്ന ഈ ജോലികൾ നമ്മിൽ വളരെ ക്രൂരമായ തമാശ കളിക്കും. ഗുണകത്തിന്റെ അടയാളം തെറ്റായി സജ്ജീകരിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് ഇത് പലപ്പോഴും മാറുന്നു: ഒന്നുകിൽ മൈനസ് കാണുന്നില്ല അല്ലെങ്കിൽ നേരെമറിച്ച്, അത് വെറുതെ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ ശല്യപ്പെടുത്തുന്ന തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, അത് നല്ല തലത്തിൽ പഠിക്കണം.

അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു

നിരവധി സംഖ്യകൾ ചേർക്കുമ്പോൾ, ഈ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ലഭിക്കും. കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്ന സംഖ്യകളെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിരവധി നിബന്ധനകൾ ഉണ്ടാകാം, ഉദാഹരണത്തിന്:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

ഒരു പദപ്രയോഗം പദങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുമ്പോൾ, അത് വിലയിരുത്തുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, കാരണം കുറയ്ക്കുന്നതിനേക്കാൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. എന്നാൽ പദപ്രയോഗത്തിൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ മാത്രമല്ല, കുറയ്ക്കലും അടങ്ങിയിരിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ, 3-ഉം 5-ഉം അക്കങ്ങൾ ഉപഗ്രഹങ്ങളാണ്, കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകളല്ല. പക്ഷേ, കുറയ്ക്കലിനെ സങ്കലനം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ഒന്നും നമ്മെ തടയുന്നില്ല. തുടർന്ന് നമുക്ക് വീണ്ടും നിബന്ധനകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗം ലഭിക്കും:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

−3, −5 എന്നീ സംഖ്യകൾക്ക് ഇപ്പോൾ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ടെന്നത് പ്രശ്നമല്ല. പ്രധാന കാര്യം, ഈ എക്സ്പ്രഷനിലെ എല്ലാ അക്കങ്ങളും ഒരു സങ്കലന ചിഹ്നത്താൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്, എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു തുകയാണ്.

രണ്ട് ഭാവങ്ങളും 1 + 2 − 3 + 4 − 5 ഒപ്പം 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) ഒരേ മൂല്യത്തിന് തുല്യം - മൈനസ് ഒന്ന്

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

അതിനാൽ, എവിടെയെങ്കിലും സങ്കലനത്തിന് പകരം വ്യവകലനം നടത്തിയാൽ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം ബാധിക്കില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് ലിറ്ററൽ എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ സങ്കലനം ഉപയോഗിച്ച് കുറയ്ക്കൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കുക:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (-4s)

വേരിയബിളുകളുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി എ ബി സി ഡിഒപ്പം എസ്ഭാവങ്ങൾ 7a + 6b - 3c + 2d - 4s ഒപ്പം 7a + 6b + (−3c) + 2d + (-4s) ഒരേ മൂല്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

സ്‌കൂളിലെ ഒരു അദ്ധ്യാപകനോ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിലെ ഒരു അദ്ധ്യാപകനോ കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകളല്ലാത്ത ഇരട്ട നമ്പറുകളിലേക്ക് (അല്ലെങ്കിൽ വേരിയബിളുകൾ) വിളിക്കാം എന്ന വസ്തുതയ്ക്കായി നിങ്ങൾ തയ്യാറായിരിക്കണം.

ഉദാഹരണത്തിന്, വ്യത്യാസം ബോർഡിൽ എഴുതിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ a−b, അപ്പോൾ ടീച്ചർ അങ്ങനെ പറയില്ല എഒരു മൈനന്റ് ആണ്, ഒപ്പം ബി- കുറയ്ക്കാവുന്നത്. അവൻ രണ്ട് വേരിയബിളുകളെയും ഒരു പൊതു വാക്ക് ഉപയോഗിച്ച് വിളിക്കും - നിബന്ധനകൾ. എല്ലാറ്റിനും കാരണം രൂപത്തിന്റെ പ്രകടനമാണ് a−bതുക എങ്ങനെയെന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ കാണുന്നു a+(-b). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു തുകയായി മാറുന്നു, വേരിയബിളുകൾ എഒപ്പം (-ബി)നിബന്ധനകളായി മാറുന്നു.

സമാനമായ നിബന്ധനകൾ

സമാനമായ നിബന്ധനകൾ- ഇവ ഒരേ അക്ഷര ഭാഗമുള്ള പദങ്ങളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കുക 7a + 6b + 2a. ഘടകങ്ങൾ 7aഒപ്പം 2aഒരേ അക്ഷര ഭാഗം - വേരിയബിൾ എ. അതിനാൽ നിബന്ധനകൾ 7aഒപ്പം 2aസമാനമാണ്.

സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുന്നതിനോ ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനോ സമാനമായ പദങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു സമാന നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവരുന്നു.

സമാന പദങ്ങൾ കൊണ്ടുവരാൻ, നിങ്ങൾ ഈ പദങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലത്തെ പൊതുവായ അക്ഷരഭാഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷനിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാം 3a + 4a + 5a. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എല്ലാ നിബന്ധനകളും സമാനമാണ്. നമുക്ക് അവയുടെ ഗുണകങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് ഫലത്തെ പൊതുവായ അക്ഷരഭാഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം - വേരിയബിൾ കൊണ്ട് എ

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

അത്തരം നിബന്ധനകൾ സാധാരണയായി മനസ്സിൽ കൊണ്ടുവരികയും ഫലം ഉടനടി എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു:

3a + 4a + 5a = 12a

കൂടാതെ, ഒരാൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്യാം:

3 വേരിയബിളുകൾ a, 4 വേരിയബിളുകൾ a, 5 വേരിയബിളുകൾ a എന്നിവ അവയിൽ ചേർത്തു. തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് 12 വേരിയബിളുകൾ ലഭിച്ചു a

സമാനമായ നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവരുന്നതിനുള്ള നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം. ഈ വിഷയം വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതാണെന്ന് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ആദ്യം ഞങ്ങൾ എല്ലാ ചെറിയ വിശദാംശങ്ങളും വിശദമായി എഴുതും. ഇവിടെ എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണെങ്കിലും, മിക്ക ആളുകളും നിരവധി തെറ്റുകൾ വരുത്തുന്നു. പ്രധാനമായും അശ്രദ്ധമൂലമാണ്, അറിവില്ലായ്മയല്ല.

ഉദാഹരണം 1. 3a+ 2a+ 6a+ 8എ

നമുക്ക് ഈ പദപ്രയോഗത്തിലെ ഗുണകങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലത്തെ പൊതുവായ അക്ഷരഭാഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം:

3a+ 2a+ 6a+ 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19എ

നിർമ്മാണം (3 + 2 + 6 + 8) ×എനിങ്ങൾ അത് എഴുതേണ്ടതില്ല, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഉത്തരം ഉടൻ എഴുതും

3 a+ 2 a+ 6 a+ 8 a = 19 എ

ഉദാഹരണം 2.പദപ്രയോഗത്തിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകുക 2a+a

രണ്ടാം ടേം എഒരു കോഫിഫിഷ്യന്റ് ഇല്ലാതെ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്, എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ അതിന്റെ മുന്നിൽ ഒരു ഗുണകം ഉണ്ട് 1 , രേഖപ്പെടുത്താത്തതിനാൽ നമ്മൾ കാണുന്നില്ല. അതിനാൽ, പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

2a + 1a

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സമാനമായ നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കാം. അതായത്, ഞങ്ങൾ ഗുണകങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ഫലത്തെ പൊതുവായ അക്ഷരഭാഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

നമുക്ക് പരിഹാരം ഹ്രസ്വമായി എഴുതാം:

2a + a = 3a

2a+a, നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്തമായി ചിന്തിക്കാം:

ഉദാഹരണം 3.പദപ്രയോഗത്തിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകുക 2a-a

നമുക്ക് കുറയ്ക്കൽ സങ്കലനം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

2a + (-a)

രണ്ടാം ടേം (-എ)ഒരു കോഫിഫിഷ്യന്റ് ഇല്ലാതെ എഴുതിയത്, പക്ഷേ വാസ്തവത്തിൽ ഇത് പോലെ കാണപ്പെടുന്നു (-1a).ഗുണകം −1 അത് രേഖപ്പെടുത്താത്തതിനാൽ വീണ്ടും അദൃശ്യമാണ്. അതിനാൽ, പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

2a + (-1a)

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സമാനമായ നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് ഗുണകങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് ഫലത്തെ പൊതുവായ അക്ഷരഭാഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം:

2a + (−1a) = (2 + (-1)) × a = 1a = a

സാധാരണയായി ചുരുക്കി എഴുതുന്നു:

2a - a = a

എക്സ്പ്രഷനിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകുന്നു 2a-aനിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്തമായി ചിന്തിക്കാം:

2 വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ടായിരുന്നു, ഒരു വേരിയബിൾ a കുറയ്ക്കുക, അതിന്റെ ഫലമായി ഒരു വേരിയബിൾ മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ

ഉദാഹരണം 4.പദപ്രയോഗത്തിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകുക 6a - 3a + 4a - 8a

6a - 3a + 4a - 8a = 6a + (-3a) + 4a + (-8a)

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സമാനമായ നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് ഗുണകങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് ഫലത്തെ മൊത്തം അക്ഷരഭാഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം

(6 + (-3) + 4 + (−8)) × a = -1a = -a

നമുക്ക് പരിഹാരം ഹ്രസ്വമായി എഴുതാം:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

സമാന പദങ്ങളുടെ വിവിധ ഗ്രൂപ്പുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, 3a + 3b + 7a + 2b. അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക്, മറ്റുള്ളവയുടെ അതേ നിയമങ്ങൾ ബാധകമാണ്, അതായത്, ഗുണകങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ഫലത്തെ പൊതുവായ അക്ഷരഭാഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുക. എന്നാൽ തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, വ്യത്യസ്ത വരികൾ ഉപയോഗിച്ച് വ്യത്യസ്ത ഗ്രൂപ്പുകളുടെ പദങ്ങൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷനിൽ 3a + 3b + 7a + 2bഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾ എ, ഒരു വരി ഉപയോഗിച്ച് അടിവരയിടാം, കൂടാതെ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾ ബി, രണ്ട് വരികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഊന്നിപ്പറയാം:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സമാനമായ പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാം. അതായത്, ഗുണകങ്ങൾ ചേർക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലത്തെ മൊത്തം അക്ഷരഭാഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുക. രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകൾക്കും ഇത് ചെയ്യണം: ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾക്ക് എഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾക്കും ബി.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

വീണ്ടും, ഞങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്നു, പദപ്രയോഗം ലളിതമാണ്, സമാനമായ പദങ്ങൾ മനസ്സിൽ നൽകാം:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

ഉദാഹരണം 5.പദപ്രയോഗത്തിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകുക 5a - 6a -7b + b

സാധ്യമാകുന്നിടത്ത് നമുക്ക് സങ്കലനം ഉപയോഗിച്ച് കുറയ്ക്കൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

5a - 6a -7b + b = 5a + (-6a) + (-7b) + b

വ്യത്യസ്ത വരികൾ ഉപയോഗിച്ച് സമാനമായ പദങ്ങൾക്ക് അടിവരയിടാം. വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾ എഞങ്ങൾ ഒരു വരി ഉപയോഗിച്ച് അടിവരയിടുന്നു, കൂടാതെ വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയ നിബന്ധനകൾ ബി, രണ്ട് വരികൾ കൊണ്ട് അടിവരയിടുക:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സമാനമായ പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാം. അതായത്, ഗുണകങ്ങൾ ചേർക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലത്തെ പൊതുവായ അക്ഷരഭാഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുക:

5a + (-6a) + (-7b) + b = (5 + (−6))×a + ((-7) + 1)×b = -a + (-6b)

പദപ്രയോഗത്തിൽ അക്ഷര ഘടകങ്ങളില്ലാത്ത സാധാരണ സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അവ പ്രത്യേകം ചേർക്കും.

ഉദാഹരണം 6.പദപ്രയോഗത്തിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകുക 4a + 3a - 5 + 2b + 7

സാധ്യമാകുന്നിടത്ത് നമുക്ക് സങ്കലനം ഉപയോഗിച്ച് കുറയ്ക്കൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (-5) + 2b + 7

നമുക്ക് സമാനമായ നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കാം. നമ്പറുകൾ −5 ഒപ്പം 7 അക്ഷര ഘടകങ്ങൾ ഇല്ല, എന്നാൽ അവ സമാന പദങ്ങളാണ് - അവ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒപ്പം കാലാവധിയും 2ബിമാറ്റമില്ലാതെ തുടരും, കാരണം ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ ഒരു അക്ഷര ഘടകം മാത്രമാണുള്ളത് b,കൂടാതെ ഇതോടൊപ്പം ചേർക്കാൻ ഒന്നുമില്ല:

4a + 3a + (-5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (-5) + 7 = 7a + 2b + 2

നമുക്ക് പരിഹാരം ഹ്രസ്വമായി എഴുതാം:

4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

ഒരേ അക്ഷര ഭാഗമുള്ള പദങ്ങൾ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അതേ ഭാഗത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന തരത്തിൽ നിബന്ധനകൾ ക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണം 7.പദപ്രയോഗത്തിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകുക 5t+2x+3x+5t+x

പദപ്രയോഗം നിരവധി പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായതിനാൽ, ഏത് ക്രമത്തിലും അതിനെ വിലയിരുത്താൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. അതിനാൽ, വേരിയബിൾ അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾ ടി, പദപ്രയോഗത്തിന്റെ തുടക്കത്തിലും വേരിയബിൾ അടങ്ങുന്ന പദങ്ങളും എഴുതാം xപദപ്രയോഗത്തിന്റെ അവസാനം:

5t + 5t + 2x + 3x + x

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സമാനമായ പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാം:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

നമുക്ക് പരിഹാരം ഹ്രസ്വമായി എഴുതാം:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

വിപരീത സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യമാണ്. ഈ നിയമം അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗങ്ങൾക്കും പ്രവർത്തിക്കുന്നു. പദപ്രയോഗത്തിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിലും വിപരീത ചിഹ്നങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, സമാന പദങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്ന ഘട്ടത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് അവ ഒഴിവാക്കാനാകും. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അവയുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യമായതിനാൽ അവയെ പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുക.

ഉദാഹരണം 8.പദപ്രയോഗത്തിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകുക 3t - 4t - 3t + 2t

സാധ്യമാകുന്നിടത്ത് നമുക്ക് സങ്കലനം ഉപയോഗിച്ച് കുറയ്ക്കൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

3t - 4t - 3t + 2t = 3t + (-4t) + (−3t) + 2t

ഘടകങ്ങൾ 3 ടിഒപ്പം (−3t)വിപരീതമാണ്. വിപരീത പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യമാണ്. എക്സ്പ്രഷനിൽ നിന്ന് ഈ പൂജ്യം നീക്കം ചെയ്താൽ, എക്സ്പ്രഷന്റെ മൂല്യം മാറില്ല, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് നീക്കം ചെയ്യും. നിബന്ധനകൾ മറികടന്ന് ഞങ്ങൾ അത് നീക്കംചെയ്യും 3 ടിഒപ്പം (−3t)

തൽഫലമായി, നമുക്ക് പദപ്രയോഗം അവശേഷിക്കുന്നു (-4t) + 2t. ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് സമാനമായ നിബന്ധനകൾ ചേർത്ത് അന്തിമ ഉത്തരം നേടാം:

(−4t) + 2t = ((-4) + 2)×t = -2t

നമുക്ക് പരിഹാരം ഹ്രസ്വമായി എഴുതാം:

പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നു

"പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക" കൂടാതെ ലളിതമാക്കേണ്ട പദപ്രയോഗം ചുവടെയുണ്ട്. ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുകഇത് ലളിതവും ഹ്രസ്വവുമാക്കുക എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

വാസ്തവത്തിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കിയിട്ടുണ്ട്. കുറച്ചതിനുശേഷം, ഭിന്നസംഖ്യ ചെറുതും മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പവുമായി മാറി.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക. പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

ഈ ടാസ്ക് അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മനസ്സിലാക്കാം: "ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ ഏതെങ്കിലും സാധുവായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുക, എന്നാൽ ഇത് ലളിതമാക്കുക." .

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും, അതായത്, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

നിങ്ങൾക്ക് മറ്റെന്താണ് ചെയ്യാൻ കഴിയുക? തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യ നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം. അപ്പോൾ നമുക്ക് ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ 0.5 ലഭിക്കും

തൽഫലമായി, ഭിന്നസംഖ്യ 0.5 ആയി ലളിതമാക്കി.

അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ സ്വയം ചോദിക്കേണ്ട ആദ്യത്തെ ചോദ്യം ഇതായിരിക്കണം "എന്ത് ചെയ്യാൻ കഴിയും?" . കാരണം നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുണ്ട്, നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയാത്ത പ്രവർത്തനങ്ങളുണ്ട്.

ഓർക്കേണ്ട മറ്റൊരു പ്രധാന കാര്യം, പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കിയ ശേഷം പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം മാറരുത് എന്നതാണ്. നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മടങ്ങാം. ഈ പദപ്രയോഗം നിർവഹിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു വിഭജനത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഈ വിഭജനം നടത്തിയ ശേഷം, ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും, അത് 0.5 ന് തുല്യമാണ്

എന്നാൽ ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കി, ഒരു പുതിയ ലളിതമായ പദപ്രയോഗം ലഭിച്ചു. പുതിയ ലളിതമായ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം ഇപ്പോഴും 0.5 ആണ്

എന്നാൽ പദപ്രയോഗം കണക്കുകൂട്ടി ലളിതമാക്കാനും ഞങ്ങൾ ശ്രമിച്ചു. തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് 0.5 എന്ന അന്തിമ ഉത്തരം ലഭിച്ചു.

അതിനാൽ, നമ്മൾ എക്സ്പ്രഷൻ എങ്ങനെ ലളിതമാക്കിയാലും, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ മൂല്യം ഇപ്പോഴും 0.5 ന് തുല്യമാണ്. ഇതിനർത്ഥം ലളിതവൽക്കരണം എല്ലാ ഘട്ടത്തിലും കൃത്യമായി നടപ്പിലാക്കി എന്നാണ്. പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുമ്പോൾ നമ്മൾ പരിശ്രമിക്കേണ്ടത് ഇതാണ് - പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം നമ്മുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് കഷ്ടപ്പെടരുത്.

അക്ഷരാർത്ഥത്തിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കേണ്ടത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്. സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾക്കുള്ള അതേ ലളിതവൽക്കരണ നിയമങ്ങൾ അവയ്ക്കും ബാധകമാണ്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം മാറാത്തിടത്തോളം, നിങ്ങൾക്ക് സാധുവായ ഏത് പ്രവൃത്തിയും ചെയ്യാൻ കഴിയും.

ഏതാനും ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1.ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക 5.21സെ × ടി × 2.5

ഈ പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് അക്കങ്ങൾ വെവ്വേറെ ഗുണിക്കുകയും അക്ഷരങ്ങൾ വെവ്വേറെ ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യാം. കോഫിഫിഷ്യന്റ് നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങൾ പഠിച്ചപ്പോൾ ഈ ടാസ്ക് ഞങ്ങൾ നോക്കിയതിന് സമാനമാണ്:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

അതിനാൽ ആവിഷ്കാരം 5.21സെ × ടി × 2.5വരെ ലളിതമാക്കി 13,025st.

ഉദാഹരണം 2.ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക -0.4 × (−6.3b) × 2

രണ്ടാമത്തെ കഷണം (−6.3b)നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാവുന്ന ഒരു രൂപത്തിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യാം, അതായത് ഫോമിൽ എഴുതിയത് ( −6,3)×b ,തുടർന്ന് സംഖ്യകളെ വെവ്വേറെ ഗുണിക്കുക, അക്ഷരങ്ങൾ വെവ്വേറെ ഗുണിക്കുക:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

അതിനാൽ ആവിഷ്കാരം -0.4 × (−6.3b) × 2 വരെ ലളിതമാക്കി 5.04 ബി

ഉദാഹരണം 3.ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക

അക്കങ്ങൾ എവിടെയാണെന്നും അക്ഷരങ്ങൾ എവിടെയാണെന്നും വ്യക്തമായി കാണുന്നതിന് ഈ പദപ്രയോഗം കൂടുതൽ വിശദമായി എഴുതാം:

ഇനി നമുക്ക് അക്കങ്ങളെ വെവ്വേറെ ഗുണിക്കുകയും അക്ഷരങ്ങൾ വെവ്വേറെ ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യാം:

അതിനാൽ ആവിഷ്കാരം വരെ ലളിതമാക്കി −abc.ഈ പരിഹാരം ചുരുക്കത്തിൽ എഴുതാം:

പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുമ്പോൾ, പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും, സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ ഞങ്ങൾ ചെയ്തതുപോലെ അവസാനത്തിലല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, പരിഹരിക്കുന്നതിനിടയിൽ ഫോമിന്റെ ഒരു പദപ്രയോഗം നമ്മൾ കണ്ടാൽ, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും കണക്കാക്കി ഇതുപോലെ എന്തെങ്കിലും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമില്ല:

ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും ഒരു ഘടകം തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഈ ഘടകങ്ങളെ അവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു ഘടകം കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും എന്തായി വിഭജിക്കപ്പെട്ടുവെന്ന് ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിവരിക്കാത്ത ഉപയോഗം.

ഉദാഹരണത്തിന്, ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഫാക്ടർ 12 ആണ്, ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഫാക്ടർ 4 എന്നത് 4 കൊണ്ട് കുറയ്ക്കാം. നാലെണ്ണം നമ്മൾ മനസ്സിൽ സൂക്ഷിക്കുന്നു, 12 ഉം 4 ഉം ഈ നാല് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ഈ സംഖ്യകൾക്ക് അടുത്തായി ഞങ്ങൾ ഉത്തരങ്ങൾ എഴുതുന്നു, ആദ്യം അവരെ മറികടന്നു

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചെറിയ ഘടകങ്ങളെ ഗുണിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവയിൽ കുറച്ച് മാത്രമേയുള്ളൂ, നിങ്ങൾക്ക് അവ നിങ്ങളുടെ മനസ്സിൽ വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും:

കാലക്രമേണ, ഒരു പ്രത്യേക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, പദപ്രയോഗങ്ങൾ "തടിച്ചെടുക്കാൻ" തുടങ്ങുന്നതായി നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയേക്കാം, അതിനാൽ പെട്ടെന്നുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്. മനസ്സിൽ കണക്കാക്കാൻ കഴിയുന്നത് മനസ്സിൽ കണക്കാക്കണം. പെട്ടെന്ന് കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുന്നത് പെട്ടെന്ന് കുറയ്ക്കണം.

ഉദാഹരണം 4.ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക

അതിനാൽ ആവിഷ്കാരം വരെ ലളിതമാക്കി

ഉദാഹരണം 5.ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക

നമുക്ക് അക്കങ്ങൾ വെവ്വേറെയും അക്ഷരങ്ങൾ വെവ്വേറെയും ഗുണിക്കാം:

അതിനാൽ ആവിഷ്കാരം വരെ ലളിതമാക്കി mn.

ഉദാഹരണം 6.ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക

അക്കങ്ങൾ എവിടെയാണെന്നും അക്ഷരങ്ങൾ എവിടെയാണെന്നും വ്യക്തമായി കാണുന്നതിന് ഈ പദപ്രയോഗം കൂടുതൽ വിശദമായി എഴുതാം:

ഇനി നമുക്ക് അക്കങ്ങൾ വെവ്വേറെയും അക്ഷരങ്ങൾ വെവ്വേറെയും ഗുണിക്കാം. കണക്കുകൂട്ടൽ എളുപ്പത്തിനായി, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ −6.4 ഉം ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യയും സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റാം:

അതിനാൽ ആവിഷ്കാരം വരെ ലളിതമാക്കി

ഈ ഉദാഹരണത്തിനുള്ള പരിഹാരം വളരെ ചെറുതായി എഴുതാം. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഉദാഹരണം 7.ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക

നമുക്ക് സംഖ്യകൾ വെവ്വേറെയും അക്ഷരങ്ങൾ വെവ്വേറെയും ഗുണിക്കാം. കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ എളുപ്പത്തിനായി, മിക്സഡ് സംഖ്യകളും ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളും 0.1, 0.6 എന്നിവ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റാം:

അതിനാൽ ആവിഷ്കാരം വരെ ലളിതമാക്കി എ ബി സി ഡി. നിങ്ങൾ വിശദാംശങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ പരിഹാരം വളരെ ചെറുതായി എഴുതാം:

ഭിന്നസംഖ്യ എങ്ങനെ കുറഞ്ഞുവെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. മുൻ ഘടകങ്ങളുടെ കുറവിന്റെ ഫലമായി ലഭിക്കുന്ന പുതിയ ഘടകങ്ങളും കുറയ്ക്കാൻ അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഇനി എന്തുചെയ്യരുത് എന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം. പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുമ്പോൾ, പദപ്രയോഗം ഒരു തുകയാണെങ്കിൽ അക്കങ്ങളും അക്ഷരങ്ങളും ഗുണിക്കുന്നത് കർശനമായി നിരോധിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കണമെങ്കിൽ 5a+4b, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ഇതുപോലെ എഴുതാൻ കഴിയില്ല:

നമ്മളോട് രണ്ട് സംഖ്യകൾ ചേർക്കാൻ ആവശ്യപ്പെടുകയും അവയെ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിന് പകരം ഞങ്ങൾ അവയെ ഗുണിക്കുകയും ചെയ്തതിന് സമാനമാണ് ഇത്.

ഏതെങ്കിലും വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ എഒപ്പം ബിആവിഷ്കാരം 5a +4bഒരു സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗമായി മാറുന്നു. വേരിയബിളുകൾ എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം എഒപ്പം ബിഇനിപ്പറയുന്ന അർത്ഥങ്ങൾ ഉണ്ട്:

a = 2, b = 3

അപ്പോൾ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം 22 ന് തുല്യമായിരിക്കും

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

ആദ്യം, ഗുണനം നടത്തുന്നു, തുടർന്ന് ഫലങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു. അക്കങ്ങളും അക്ഷരങ്ങളും ഗുണിച്ച് ഈ പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

ഇത് പദപ്രയോഗത്തിന്റെ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ അർത്ഥമായി മാറുന്നു. ആദ്യ കേസിൽ അത് പ്രവർത്തിച്ചു 22 , രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ 120 . പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം 5a+4bതെറ്റായി നിർവഹിച്ചു.

പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കിയ ശേഷം, വേരിയബിളുകളുടെ അതേ മൂല്യങ്ങൾക്കൊപ്പം അതിന്റെ മൂല്യം മാറരുത്. ഒറിജിനൽ എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് ഏതെങ്കിലും വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഒരു മൂല്യം ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, എക്സ്പ്രഷൻ ലളിതമാക്കിയ ശേഷം, ലളിതമാക്കുന്നതിന് മുമ്പുള്ള അതേ മൂല്യം നേടണം.

ആവിഷ്കാരത്തോടെ 5a+4bനിങ്ങൾക്ക് ശരിക്കും ഒന്നും ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. അത് ലളിതമാക്കുന്നില്ല.

ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുകയാണ് ഞങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യമെങ്കിൽ അവ ചേർക്കാവുന്നതാണ്.

ഉദാഹരണം 8.ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക 0.3a-0.4a+a

0.3a - 0.4a + a = 0.3a + (-0.4a) + a = (0.3 + (-0.4) + 1)×a = 0.9a

അല്ലെങ്കിൽ ചെറുത്: 0.3a - 0.4a + a = 0.9എ

അതിനാൽ ആവിഷ്കാരം 0.3a-0.4a+aവരെ ലളിതമാക്കി 0.9എ

ഉദാഹരണം 9.ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക −7.5a - 2.5b + 4a

ഈ പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ, നമുക്ക് സമാനമായ പദങ്ങൾ ചേർക്കാം:

−7.5a - 2.5b + 4a = -7.5a + (−2.5b) + 4a = ((-7.5) + 4)×a + (-2.5b) = -3.5a + (-2.5b)

അല്ലെങ്കിൽ ചെറുത് −7.5a - 2.5b + 4a = -3.5a + (-2.5b)

കാലാവധി (−2.5b)മാറ്റാൻ ഒന്നുമില്ലാത്തതിനാൽ മാറ്റമില്ലാതെ തുടർന്നു.

ഉദാഹരണം 10.ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക

ഈ പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ, നമുക്ക് സമാനമായ പദങ്ങൾ ചേർക്കാം:

കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ എളുപ്പത്തിനുവേണ്ടിയായിരുന്നു ഗുണകം.

അതിനാൽ ആവിഷ്കാരം വരെ ലളിതമാക്കി

ഉദാഹരണം 11.ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക

ഈ പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ, നമുക്ക് സമാനമായ പദങ്ങൾ ചേർക്കാം:

അതിനാൽ ആവിഷ്കാരം വരെ ലളിതമാക്കി.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ആദ്യത്തേതും അവസാനത്തേതുമായ ഗുണകങ്ങൾ ആദ്യം ചേർക്കുന്നത് കൂടുതൽ ഉചിതമായിരിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു ചെറിയ പരിഹാരം ഉണ്ടാകും. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഉദാഹരണം 12.ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക

ഈ പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ, നമുക്ക് സമാനമായ പദങ്ങൾ ചേർക്കാം:

അതിനാൽ ആവിഷ്കാരം വരെ ലളിതമാക്കി .

ചേർക്കാൻ ഒന്നുമില്ലാത്തതിനാൽ ഈ പദം മാറ്റമില്ലാതെ തുടർന്നു.

ഈ പരിഹാരം വളരെ ചെറുതായി എഴുതാം. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഹ്രസ്വമായ പരിഹാരം, സങ്കലനം ഉപയോഗിച്ച് കുറയ്ക്കൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ ഒഴിവാക്കി, ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കി എന്ന് വിശദീകരിക്കുന്നു.

വിശദമായ പരിഹാരത്തിൽ ഉത്തരം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു എന്നതാണ് മറ്റൊരു വ്യത്യാസം , എന്നാൽ ചുരുക്കത്തിൽ. വാസ്തവത്തിൽ, അവ ഒരേ ഭാവമാണ്. വ്യത്യാസം, ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, വ്യവകലനം സങ്കലനം വഴി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, കാരണം തുടക്കത്തിൽ, ഞങ്ങൾ പരിഹാരം വിശദമായ രൂപത്തിൽ എഴുതുമ്പോൾ, സാധ്യമാകുന്നിടത്തെല്ലാം ഞങ്ങൾ സങ്കലനം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചു, കൂടാതെ ഈ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഉത്തരത്തിനായി സംരക്ഷിക്കപ്പെട്ടു.

ഐഡന്റിറ്റികൾ. സമാനമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ

നമ്മൾ ഏതെങ്കിലും പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കിക്കഴിഞ്ഞാൽ, അത് ലളിതവും ഹ്രസ്വവുമാകുന്നു. ലളിതമാക്കിയ പദപ്രയോഗം ശരിയാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ, ഏതെങ്കിലും വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ ആദ്യം ലളിതമാക്കേണ്ട മുൻ എക്സ്പ്രഷനിലേക്കും പിന്നീട് ലളിതമാക്കിയ പുതിയതിലേക്കും മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ മതിയാകും. രണ്ട് എക്സ്പ്രഷനുകളിലെയും മൂല്യം ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിൽ, ലളിതമാക്കിയ പദപ്രയോഗം ശരിയാണ്.

ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം നോക്കാം. പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാകട്ടെ 2a×7b. ഈ പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് അക്കങ്ങളും അക്ഷരങ്ങളും വെവ്വേറെ ഗുണിക്കാം:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം ശരിയായി ലളിതമാക്കിയിട്ടുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം എഒപ്പം ബിആദ്യം ലളിതമാക്കേണ്ട ആദ്യത്തെ പദപ്രയോഗത്തിലേക്കും പിന്നീട് ലളിതമാക്കിയ രണ്ടാമത്തേതിലേക്കും.

വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അനുവദിക്കുക എ , ബിഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും:

a = 4, b = 5

നമുക്ക് അവയെ ആദ്യത്തെ പദപ്രയോഗത്തിൽ പകരം വയ്ക്കാം 2a×7b

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അതേ വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ ലളിതവൽക്കരണത്തിന്റെ ഫലമായ എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം 2a×7b, അതായത് പദപ്രയോഗത്തിൽ 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

അത് എപ്പോഴാണ് നമ്മൾ കാണുന്നത് a=4ഒപ്പം b=5ആദ്യ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം 2a×7bരണ്ടാമത്തെ പ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥവും 14abതുല്യമായ

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

മറ്റെല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, അനുവദിക്കുക a=1ഒപ്പം b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

അതിനാൽ, എക്സ്പ്രഷൻ വേരിയബിളുകളുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി 2a×7bഒപ്പം 14abഒരേ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ഒരേപോലെ തുല്യം.

പദപ്രയോഗങ്ങൾക്കിടയിൽ ഞങ്ങൾ അത് നിഗമനം ചെയ്യുന്നു 2a×7bഒപ്പം 14abഒരേ മൂല്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് തുല്യ ചിഹ്നം ഇടാം.

2a × 7b = 14ab

ഒരു തുല്യ ചിഹ്നത്താൽ (=) ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഏതൊരു പദപ്രയോഗവും തുല്യതയാണ്.

ഒപ്പം രൂപത്തിന്റെ സമത്വവും 2a×7b = 14abവിളിച്ചു ഐഡന്റിറ്റി.

ഒരു ഐഡന്റിറ്റി എന്നത് വേരിയബിളുകളുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കും ശരിയായ ഒരു സമത്വമാണ്.

ഐഡന്റിറ്റിയുടെ മറ്റ് ഉദാഹരണങ്ങൾ:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

അതെ, ഞങ്ങൾ പഠിച്ച ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ ഐഡന്റിറ്റികളാണ്.

യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വങ്ങളും സ്വത്വങ്ങളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, കണക്കുകൂട്ടൽ എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗം മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമായ ഒരു ലളിതമായ പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഈ പകരക്കാരനെ വിളിക്കുന്നു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ സമാനമായ പരിവർത്തനംഅല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി എക്സ്പ്രഷൻ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കി 2a×7b, കൂടാതെ ലളിതമായ ഒരു പദപ്രയോഗം ലഭിച്ചു 14ab. ഈ ലളിതവൽക്കരണത്തെ ഐഡന്റിറ്റി ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ എന്ന് വിളിക്കാം.

നിങ്ങൾക്ക് പലപ്പോഴും പറയുന്ന ഒരു ടാസ്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും "സമത്വം ഒരു ഐഡന്റിറ്റിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുക" എന്നിട്ട് തെളിയിക്കപ്പെടേണ്ട സമത്വം. സാധാരണയായി ഈ സമത്വം രണ്ട് ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: സമത്വത്തിന്റെ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങൾ. സമത്വത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗവുമായി ഐഡന്റിറ്റി പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുകയും മറ്റേ ഭാഗം നേടുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ചുമതല. അല്ലെങ്കിൽ സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശത്തും സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുകയും തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളിലും ഒരേ പദപ്രയോഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഉറപ്പാക്കുകയും ചെയ്യുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് സമത്വം തെളിയിക്കാം 0.5a × 5b = 2.5abഒരു ഐഡന്റിറ്റിയാണ്.

ഈ സമത്വത്തിന്റെ ഇടതുവശം നമുക്ക് ലളിതമാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അക്കങ്ങളും അക്ഷരങ്ങളും വെവ്വേറെ ഗുണിക്കുക:

0.5 × 5 × a × b = 2.5ab

2.5ab = 2.5ab

ഒരു ചെറിയ ഐഡന്റിറ്റി പരിവർത്തനത്തിന്റെ ഫലമായി, സമത്വത്തിന്റെ ഇടതുവശം സമത്വത്തിന്റെ വലതുഭാഗത്തിന് തുല്യമായി. അങ്ങനെ നമ്മൾ സമത്വം തെളിയിച്ചു 0.5a × 5b = 2.5abഒരു ഐഡന്റിറ്റിയാണ്.

സമാന പരിവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് സംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും ഗുണിക്കാനും ഹരിക്കാനും ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കാനും സമാന പദങ്ങൾ ചേർക്കാനും ചില പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കാനും ഞങ്ങൾ പഠിച്ചു.

എന്നാൽ ഇവയെല്ലാം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നിലനിൽക്കുന്ന സമാന പരിവർത്തനങ്ങളല്ല. സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ വേറെയും ഉണ്ട്. ഭാവിയിൽ ഒന്നിലധികം തവണ നമ്മൾ ഇത് കാണും.

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ചുമതലകൾ:

നിങ്ങൾക്ക് പാഠം ഇഷ്ടപ്പെട്ടോ?
ഞങ്ങളുടെ പുതിയ VKontakte ഗ്രൂപ്പിൽ ചേരുകയും പുതിയ പാഠങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിയിപ്പുകൾ സ്വീകരിക്കുകയും ചെയ്യുക

എക്സ്പ്രഷനുകൾ, എക്സ്പ്രഷൻ കൺവേർഷൻ

പവർ എക്സ്പ്രഷനുകളും (പവർ ഉള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളും) അവയുടെ പരിവർത്തനവും

ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ പദപ്രയോഗങ്ങളെ ശക്തികളുപയോഗിച്ച് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും. ആദ്യം, പരാൻതീസിസ് തുറക്കുന്നതും സമാന പദങ്ങൾ കൊണ്ടുവരുന്നതും പോലെയുള്ള പവർ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉൾപ്പെടെ ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നടത്തുന്ന പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കും. ഡിഗ്രികളുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ പ്രത്യേകമായി അന്തർലീനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും: ബേസും എക്‌സ്‌പോണന്റുമായി പ്രവർത്തിക്കുക, ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് മുതലായവ.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

ശക്തി പ്രകടനങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

"പവർ എക്സ്പ്രഷനുകൾ" എന്ന പദം പ്രായോഗികമായി സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ ദൃശ്യമാകില്ല, പക്ഷേ ഇത് പലപ്പോഴും പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശേഖരങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്കും ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്കും തയ്യാറെടുക്കാൻ ഉദ്ദേശിച്ചുള്ളവ. പവർ എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏതെങ്കിലും പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമായ ടാസ്‌ക്കുകൾ വിശകലനം ചെയ്ത ശേഷം, പവർ എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ അവയുടെ എൻട്രികളിൽ പവർ അടങ്ങിയ പദപ്രയോഗങ്ങളായി മനസ്സിലാക്കുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാകും. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്കായി ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം സ്വീകരിക്കാം:

നിർവ്വചനം.

ശക്തി പ്രകടനങ്ങൾഡിഗ്രികൾ അടങ്ങിയ പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്.

കൊടുക്കാം ശക്തി പ്രകടനങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. മാത്രമല്ല, സ്വാഭാവിക ഘാതകമുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയിൽ നിന്ന് ഒരു യഥാർത്ഥ ഘാതകമുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയിലേക്കുള്ള കാഴ്ചപ്പാടുകളുടെ വികസനം എങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നു എന്നതിനനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ അവ അവതരിപ്പിക്കും.

അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയെ ആദ്യം പരിചയപ്പെടുന്നു; ഈ ഘട്ടത്തിൽ, തരം 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) ന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ പവർ എക്സ്പ്രഷനുകൾ. 4, 3 a 2 ദൃശ്യമാകുന്നത് −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 മുതലായവ.

കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ്, ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി പഠിക്കുന്നു, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്നവ പോലെ നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ പവറുകളുള്ള പവർ എക്സ്പ്രഷനുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: 3 -2, , a -2 +2 b -3 +c 2 .

ഹൈസ്കൂളിൽ അവർ ഡിഗ്രിയിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു. യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം അവിടെ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, അത് അനുബന്ധ പവർ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ രൂപഭാവം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: , , ഇത്യാദി. അവസാനമായി, യുക്തിരഹിതമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളും അവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളും പരിഗണിക്കുന്നു: , .

കാര്യം ലിസ്‌റ്റ് ചെയ്‌ത പവർ എക്‌സ്‌പ്രഷനുകളിൽ മാത്രമായി പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല: വേരിയബിൾ എക്‌സ്‌പോണന്റിലേക്ക് തുളച്ചുകയറുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നു: 2 x 2 +1 അല്ലെങ്കിൽ . പരിചയപ്പെടുമ്പോൾ, ശക്തികളും ലോഗരിതങ്ങളും ഉള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ തുടങ്ങുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, x 2·lgx −5·x lgx.

അതിനാൽ, പവർ എക്സ്പ്രഷനുകൾ എന്താണ് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് എന്ന ചോദ്യം ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. അടുത്തതായി നമ്മൾ അവരെ പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ പഠിക്കും.

പവർ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ പ്രധാന തരം പരിവർത്തനങ്ങൾ

പവർ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ഏതെങ്കിലും അടിസ്ഥാന ഐഡന്റിറ്റി പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് പരാൻതീസിസ് തുറക്കാനും സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനും സമാന പദങ്ങൾ ചേർക്കാനും കഴിയും. സ്വാഭാവികമായും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിന് സ്വീകാര്യമായ നടപടിക്രമം പിന്തുടരേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം.

ഉദാഹരണം.

പവർ എക്സ്പ്രഷൻ 2 3 ·(4 2 -12) മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിർവ്വഹണ ക്രമം അനുസരിച്ച്, ആദ്യം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക. അവിടെ, ഒന്നാമതായി, പവർ 4 2 അതിന്റെ മൂല്യം 16 ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (ആവശ്യമെങ്കിൽ കാണുക), രണ്ടാമതായി, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസം 16−12=4 കണക്കാക്കുന്നു. നമുക്ക് ഉണ്ട് 2 3 ·(4 2 -12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്സ്പ്രഷനിൽ, പവർ 2 3 അതിന്റെ മൂല്യം 8 ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ ഉൽപ്പന്നം 8 · 4 = 32 കണക്കാക്കുന്നു. ഇതാണ് ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം.

അതിനാൽ, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

ഉത്തരം:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

ഉദാഹരണം.

ശക്തികൾ ഉപയോഗിച്ച് പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുക 3 a 4 b -7 -1+2 a 4 b -7.

പരിഹാരം.

വ്യക്തമായും, ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ 3·a 4 ·b −7, 2·a 4 ·b −7 എന്നീ സമാന പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, നമുക്ക് അവ അവതരിപ്പിക്കാം: .

ഉത്തരം:

3 a 4 b -7 -1+2 a 4 b -7 =5 a 4 b −7 -1.

ഉദാഹരണം.

ഒരു ഉൽപ്പന്നമെന്ന നിലയിൽ ശക്തികളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം പ്രകടിപ്പിക്കുക.

പരിഹാരം.

9 എന്ന സംഖ്യയെ 3 2 ന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിച്ച്, ചുരുക്കിയ ഗുണനത്തിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ചുമതലയെ നേരിടാൻ കഴിയും - ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം:

ഉത്തരം:

പവർ എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ പ്രത്യേകമായി അന്തർലീനമായ നിരവധി സമാന പരിവർത്തനങ്ങളുണ്ട്. ഞങ്ങൾ അവ കൂടുതൽ വിശകലനം ചെയ്യും.

ബേസും എക്‌സ്‌പോണന്റുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു

സംഖ്യകളോ വേരിയബിളുകളോ മാത്രമല്ല, ചില പദപ്രയോഗങ്ങളുമുള്ള ഡിഗ്രികൾ ഉണ്ട്. ഉദാഹരണമായി, ഞങ്ങൾ എൻട്രികൾ നൽകുന്നു (2+0.3·7) 5−3.7, (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

അത്തരം എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഡിഗ്രിയുടെ അടിത്തറയിലുള്ള എക്‌സ്‌പ്രഷനും എക്‌സ്‌പോണന്റിലുള്ള എക്‌സ്‌പ്രഷനും അതിന്റെ വേരിയബിളുകളുടെ ODZ-ൽ സമാനമായി തുല്യമായ എക്‌സ്‌പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് അറിയാവുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനം വെവ്വേറെയും എക്സ്പോണന്റും വെവ്വേറെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം. ഈ പരിവർത്തനത്തിന്റെ ഫലമായി, യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യമായ ഒരു പദപ്രയോഗം ലഭിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾ ശക്തികൾ ഉപയോഗിച്ച് പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കാനോ അല്ലെങ്കിൽ നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള മറ്റ് ലക്ഷ്യങ്ങൾ നേടാനോ അനുവദിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച പവർ എക്സ്പ്രഷനിൽ (2+0.3 7) 5−3.7, നിങ്ങൾക്ക് ബേസിലും എക്‌സ്‌പോണന്റിലുമുള്ള അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം, ഇത് നിങ്ങളെ പവർ 4.1 1.3 ലേക്ക് നീക്കാൻ അനുവദിക്കും. ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് സമാനമായ പദങ്ങൾ കൊണ്ടുവന്നതിന് ശേഷം (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), നമുക്ക് 2·(x+) ഒരു ലളിതമായ രൂപത്തിന്റെ പവർ എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും. 1)

ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

പദപ്രയോഗങ്ങളെ ശക്തികളുപയോഗിച്ച് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള പ്രധാന ഉപകരണങ്ങളിലൊന്ന് പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന തുല്യതയാണ്. പ്രധാനമായവ നമുക്ക് ഓർക്കാം. ഏത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും a, b, അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ r, s എന്നിവയ്ക്കും, ശക്തികളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ ശരിയാണ്:

• a r ·a s = a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r;
• (എ: ബി) ആർ = എ ആർ: ബി ആർ ;
• (a r) s =a r·s .

സ്വാഭാവിക, പൂർണ്ണസംഖ്യ, പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾക്ക്, a, b എന്നീ സംഖ്യകളിലെ നിയന്ത്രണങ്ങൾ അത്ര കർശനമായിരിക്കണമെന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് m, n എന്ന തുല്യത a m ·a n =a m+n എന്നത് പോസിറ്റീവ് a ന് മാത്രമല്ല, നെഗറ്റീവ് a യ്ക്കും a=0 നും ശരിയാണ്.

സ്കൂളിൽ, പവർ എക്സ്പ്രഷനുകൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുമ്പോൾ പ്രധാന ശ്രദ്ധ ഉചിതമായ പ്രോപ്പർട്ടി തിരഞ്ഞെടുത്ത് അത് ശരിയായി പ്രയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഡിഗ്രികളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ സാധാരണയായി പോസിറ്റീവ് ആണ്, ഇത് ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ നിയന്ത്രണങ്ങളില്ലാതെ ഉപയോഗിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു. ശക്തികളുടെ അടിത്തറയിൽ വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ പരിവർത്തനത്തിനും ഇത് ബാധകമാണ് - വേരിയബിളുകളുടെ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി സാധാരണയായി ബേസുകൾ അതിൽ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ എടുക്കൂ, ഇത് അധികാരങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ സ്വതന്ത്രമായി ഉപയോഗിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. . പൊതുവേ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഡിഗ്രികളുടെ ഏതെങ്കിലും സ്വത്ത് ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നിങ്ങൾ നിരന്തരം സ്വയം ചോദിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം പ്രോപ്പർട്ടികളുടെ തെറ്റായ ഉപയോഗം വിദ്യാഭ്യാസ മൂല്യം കുറയുന്നതിനും മറ്റ് പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കും ഇടയാക്കും. ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ പരിവർത്തനം ലേഖനത്തിൽ ഈ പോയിന്റുകൾ വിശദമായും ഉദാഹരണങ്ങളുമായും ചർച്ചചെയ്യുന്നു. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ കുറച്ച് ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നതിലേക്ക് സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തും.

ഉദാഹരണം.

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 എന്ന പദപ്രയോഗം a ബേസ് ഉള്ള ഒരു ശക്തിയായി പ്രകടിപ്പിക്കുക.

പരിഹാരം.

ആദ്യം, ഒരു പവർ ഒരു പവറായി ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള ഗുണം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഘടകം (a 2) -3 രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു: (a 2) −3 =a 2·(-3) =a −6. യഥാർത്ഥ പവർ എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു 2.5 ·a -6:a −5.5 എന്ന രൂപത്തിൽ എടുക്കും. വ്യക്തമായും, ഒരേ അടിത്തറയുള്ള അധികാരങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന്റെയും വിഭജനത്തിന്റെയും സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് അവശേഷിക്കുന്നു.
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a -3.5−(-5.5) =a 2 .

ഉത്തരം:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

പവർ എക്സ്പ്രഷനുകൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുമ്പോൾ പവറിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ടും വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ടും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.

പവർ എക്സ്പ്രഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

സമത്വം (a·b) r =a r ·b r, വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് പ്രയോഗിക്കുന്നു, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് ഫോമിന്റെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്കും അതിലേറെയിലേക്കും നീങ്ങാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഒരേ ബേസുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ശക്തികളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഘാതാങ്കങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു: .

യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗം മറ്റൊരു രീതിയിൽ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ സാധിച്ചു:

ഉത്തരം:

.

ഉദാഹരണം.

പവർ എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു 1.5 -a 0.5 -6, ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ t=a 0.5 അവതരിപ്പിക്കുക.

പരിഹാരം.

ഡിഗ്രി a 1.5 യെ 0.5 3 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, തുടർന്ന്, ഡിഗ്രി (a r) s =a r s വരെയുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ പ്രോപ്പർട്ടി അടിസ്ഥാനമാക്കി, വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് പ്രയോഗിച്ച് അതിനെ ഫോമിലേക്ക് (a 0.5) പരിവർത്തനം ചെയ്യുക 3. അങ്ങനെ, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ t=a 0.5 അവതരിപ്പിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, നമുക്ക് t 3 -t−6 ലഭിക്കും.

ഉത്തരം:

t 3 -t-6 .

ശക്തികൾ അടങ്ങിയ ഭിന്നസംഖ്യകളെ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു

പവർ എക്സ്പ്രഷനുകൾക്ക് ശക്തികളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉൾക്കൊള്ളാനോ പ്രതിനിധീകരിക്കാനോ കഴിയും. ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ അന്തർലീനമായിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഏതെങ്കിലും അടിസ്ഥാന പരിവർത്തനങ്ങൾ അത്തരം ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് പൂർണ്ണമായും ബാധകമാണ്. അതായത്, ശക്തികൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കാനും പുതിയ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് ചുരുക്കാനും അവയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിനൊപ്പം വെവ്വേറെയും ഡിനോമിനേറ്ററുമായി പ്രത്യേകം പ്രവർത്തിക്കാനും കഴിയും. ഈ വാക്കുകൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം.

പവർ എക്സ്പ്രഷൻ ലളിതമാക്കുക .

പരിഹാരം.

ഈ ശക്തിപ്രകടനം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണ്. അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് പ്രവർത്തിക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് പവർ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുന്നു, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഞങ്ങൾ സമാനമായ പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മുന്നിൽ ഒരു മൈനസ് ഇട്ടുകൊണ്ട് ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ ചിഹ്നവും മാറ്റാം: .

ഉത്തരം:

.

ഒരു പുതിയ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് ശക്തികൾ അടങ്ങിയ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നത് യുക്തിസഹമായ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പുതിയ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിന് സമാനമായി നടപ്പിലാക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു അധിക ഘടകം കണ്ടെത്തുകയും ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും അത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുമ്പോൾ, ഒരു പുതിയ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നത് VA യുടെ സങ്കോചത്തിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. ഇത് സംഭവിക്കുന്നത് തടയാൻ, ഒറിജിനൽ എക്സ്പ്രഷനുള്ള ODZ വേരിയബിളുകളിൽ നിന്നുള്ള വേരിയബിളുകളുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി അധിക ഘടകം പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകാതിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം.

ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരു പുതിയ ഡിനോമിനേറ്ററായി കുറയ്ക്കുക: a) ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് a, b) ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക്.

പരിഹാരം.

a) ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആവശ്യമുള്ള ഫലം നേടാൻ സഹായിക്കുന്ന അധിക ഗുണിതം കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a ആയതിനാൽ ഇത് 0.3 ന്റെ ഗുണിതമാണ്. വേരിയബിളിന്റെ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധിയിൽ (ഇത് എല്ലാ പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്), ഒരു 0.3 ന്റെ ശക്തി അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നില്ല, അതിനാൽ, തന്നിരിക്കുന്നതിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഗുണിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്. ഈ അധിക ഘടകം വഴിയുള്ള അംശം:

ബി) ഡിനോമിനേറ്റർ സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിച്ചാൽ, നിങ്ങൾ അത് കണ്ടെത്തും

ഈ പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുക, അതായത്, . യഥാർത്ഥ ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കേണ്ട പുതിയ ഡിനോമിനേറ്റർ ഇതാണ്.

ഇങ്ങനെയാണ് ഞങ്ങൾ ഒരു അധിക ഘടകം കണ്ടെത്തിയത്. x, y വേരിയബിളുകളുടെ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധിയിൽ, പദപ്രയോഗം അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നില്ല, അതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും അത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം:

ഉത്തരം:

എ) , b) .

ശക്തികൾ അടങ്ങുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിൽ പുതിയതായി ഒന്നുമില്ല: ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും നിരവധി ഘടകങ്ങളായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ന്യൂമറേറ്ററിന്റെയും ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെയും അതേ ഘടകങ്ങൾ കുറയുന്നു.

ഉദാഹരണം.

ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുക: a) , b) .

പരിഹാരം.

എ) ഒന്നാമതായി, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 15 ന് തുല്യമായ 30, 45 അക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് കുറയ്ക്കാം. x 0.5 +1 ഉം by ഉം ഒരു കുറയ്ക്കൽ സാധ്യമാണ് . ഞങ്ങൾക്ക് ഉള്ളത് ഇതാ:

b) ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും സമാനമായ ഘടകങ്ങൾ ഉടനടി ദൃശ്യമാകില്ല. അവ നേടുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്ക്വയർ ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യാസം ഉപയോഗിച്ച് ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഫാക്റ്ററിംഗ് ചെയ്യുന്നതിൽ അവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു:

ഉത്തരം:

എ)

b) .

ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പുതിയ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുകയും ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നത് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യാൻ പ്രധാനമായും ഉപയോഗിക്കുന്നു. അറിയപ്പെടുന്ന നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായാണ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നത്. ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുമ്പോൾ (കുറയ്ക്കുമ്പോൾ) അവ ഒരു പൊതു വിഭാഗമായി ചുരുങ്ങുന്നു, അതിനുശേഷം അക്കങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു (കുറയ്ക്കുന്നു), പക്ഷേ ഡിനോമിനേറ്റർ അതേപടി തുടരുന്നു. ഫലം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണ്, അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ന്യൂമറേറ്ററുകളുടെ ഗുണനമാണ്, ഡിനോമിനേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ്. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അതിന്റെ വിപരീതം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയാണ്.

ഉദാഹരണം.

ഘട്ടങ്ങൾ പിന്തുടരുക .

പരിഹാരം.

ആദ്യം, ഞങ്ങൾ പരാൻതീസിസിലെ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അവയെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു, അതായത് , അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററുകൾ കുറയ്ക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നു:

വ്യക്തമായും, x 1/2 ന്റെ ശക്തിയാൽ കുറയ്ക്കാൻ സാധിക്കും, അതിനുശേഷം നമുക്കുണ്ട് .

സ്ക്വയർ ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യാസം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഡിനോമിനേറ്ററിലെ പവർ എക്സ്പ്രഷൻ ലളിതമാക്കാനും കഴിയും: .

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം.

പവർ എക്സ്പ്രഷൻ ലളിതമാക്കുക .

പരിഹാരം.

വ്യക്തമായും, ഈ ഭിന്നസംഖ്യ (x 2.7 +1) 2 കൊണ്ട് കുറയ്ക്കാം, ഇത് ഭിന്നസംഖ്യ നൽകുന്നു . എക്‌സിന്റെ ശക്തി ഉപയോഗിച്ച് മറ്റെന്തെങ്കിലും ചെയ്യേണ്ടതുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയെ ഞങ്ങൾ ഒരു ഉൽപ്പന്നമാക്കി മാറ്റുന്നു. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള അധികാരങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള സ്വത്ത് പ്രയോജനപ്പെടുത്താൻ ഇത് ഞങ്ങൾക്ക് അവസരം നൽകുന്നു: . പ്രക്രിയയുടെ അവസാനം ഞങ്ങൾ അവസാന ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് ഭിന്നസംഖ്യയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഉത്തരം:

.

ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന് ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്കോ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്ന് ന്യൂമറേറ്ററിലേക്കോ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ഘടകങ്ങളെ എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ അടയാളം മാറ്റുന്നത് സാധ്യമാണെന്നും പല സന്ദർഭങ്ങളിലും അഭികാമ്യമാണെന്നും നമുക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കാം. അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾ പലപ്പോഴും തുടർന്നുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളെ ലളിതമാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പവർ എക്സ്പ്രഷൻ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം.

പദപ്രയോഗങ്ങളെ വേരുകളും ശക്തികളും ഉപയോഗിച്ച് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു

പലപ്പോഴും, ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ, ശക്തികളോടൊപ്പം ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള വേരുകളും ഉണ്ട്. അത്തരമൊരു പദപ്രയോഗം ആവശ്യമുള്ള രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ, മിക്ക കേസുകളിലും വേരുകളിലേക്കോ ശക്തികളിലേക്കോ മാത്രം പോയാൽ മതി. എന്നാൽ ശക്തികളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായതിനാൽ, അവ സാധാരണയായി വേരുകളിൽ നിന്ന് ശക്തികളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഒറിജിനൽ എക്‌സ്‌പ്രഷനുള്ള വേരിയബിളുകളുടെ ODZ നിങ്ങളെ മൊഡ്യൂളിലേക്ക് റഫർ ചെയ്യാതെയോ ODZ നെ നിരവധി ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കാതെയോ പവർ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുമ്പോൾ അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം നടത്തുന്നത് നല്ലതാണ് (ഞങ്ങൾ ഇത് വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്തു. ലേഖനം വേരുകളിൽ നിന്ന് ശക്തികളിലേക്കും തിരിച്ചും ഒരു യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് ബിരുദം പരിചയപ്പെട്ടതിന് ശേഷം യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം അവതരിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ ഘട്ടത്തിൽ, സ്കൂൾ ആരംഭിക്കുന്നു പഠനം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ, ഇത് വിശകലനപരമായി ഒരു ശക്തിയാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു സംഖ്യയാണ്, ഘാതം ഒരു വേരിയബിളാണ്. അതിനാൽ, ശക്തിയുടെ അടിത്തറയിലും എക്‌സ്‌പോണന്റിലും - വേരിയബിളുകളുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പവർ എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ ഞങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു, സ്വാഭാവികമായും അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകത ഉയർന്നുവരുന്നു.

പരിഹരിക്കുമ്പോൾ സൂചിപ്പിച്ച തരത്തിലുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ പരിവർത്തനം സാധാരണയായി നടത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് പറയണം എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾഒപ്പം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ അസമത്വങ്ങൾ, ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ വളരെ ലളിതമാണ്. ഭൂരിഭാഗം കേസുകളിലും, അവ ബിരുദത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളവയാണ്, മാത്രമല്ല ഭാവിയിൽ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കാൻ ലക്ഷ്യമിടുന്നവയുമാണ്. അവ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ സമവാക്യം ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും 5 2 x+1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x−1 =0.

ഒന്നാമതായി, ഒരു നിശ്ചിത വേരിയബിളിന്റെയും (അല്ലെങ്കിൽ വേരിയബിളുകളുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ) ഒരു സംഖ്യയുടെയും ആകെത്തുകയായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളിൽ പവർ, ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഇടത് വശത്തുള്ള പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും നിബന്ധനകൾക്ക് ഇത് ബാധകമാണ്:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x -3 5 x 7 x -2 7 2 x =0.

അടുത്തതായി, സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും 7 2 x എന്ന പദപ്രയോഗത്താൽ വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള വേരിയബിൾ x ന്റെ ODZ-ൽ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ എടുക്കൂ (ഇത് ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സാധാരണ സാങ്കേതികതയാണ്, ഞങ്ങൾ അല്ല അതിനെക്കുറിച്ച് ഇപ്പോൾ സംസാരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ശക്തികളുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ തുടർന്നുള്ള പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുക ):

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അധികാരങ്ങളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ റദ്ദാക്കാം, അത് നൽകുന്നു .

അവസാനമായി, ഒരേ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികളുടെ അനുപാതം ബന്ധങ്ങളുടെ ശക്തികളാൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ ഫലമായി സമവാക്യം , ഏത് തുല്യമാണ് . പരിവർത്തനങ്ങൾ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, ഇത് യഥാർത്ഥ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരത്തെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങളുടെ അവസ്ഥകൾ എഴുതുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്ര പദപ്രയോഗങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന രൂപത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, അവയെ പദപ്രയോഗങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ വിശദമായി സംസാരിക്കും സംഖ്യാ, അക്ഷരമാല, വേരിയബിൾ എക്സ്പ്രഷനുകൾ: ഞങ്ങൾ നിർവചനങ്ങൾ നൽകുകയും ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ - അവ എന്തൊക്കെയാണ്?

സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളുമായുള്ള പരിചയം ഏതാണ്ട് ആദ്യത്തെ ഗണിത പാഠങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ആരംഭിക്കുന്നത്. എന്നാൽ അവർ ഔദ്യോഗികമായി അവരുടെ പേര് - സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ - കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് ഏറ്റെടുക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ M.I. മോറോയുടെ കോഴ്സ് പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ, 2 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള ഒരു ഗണിത പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ പേജുകളിൽ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു. അവിടെ, സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ആശയം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു: 3+5, 12+1−6, 18-(4+6), 1+1+1+1+1, മുതലായവ. - ഇതാണ് എല്ലാം സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ, കൂടാതെ ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും എക്സ്പ്രഷൻ മൂല്യം.

ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്ന ഈ ഘട്ടത്തിൽ, സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ സംഖ്യകൾ, പരാൻതീസിസുകൾ, സങ്കലന, കുറയ്ക്കൽ അടയാളങ്ങൾ എന്നിവകൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അർത്ഥമുള്ള റെക്കോർഡുകളാണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം.

കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ്, ഗുണനവും വിഭജനവും പരിചിതമായ ശേഷം, സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ രേഖകളിൽ “·”, “:” എന്നീ അടയാളങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു. നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3, മുതലായവ.

ഹൈസ്‌കൂളിൽ, സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ റെക്കോർഡിംഗുകളുടെ വൈവിധ്യം ഒരു പർവതത്തിൽ നിന്ന് ഉരുളുന്ന ഒരു സ്നോബോൾ പോലെ വളരുന്നു. അവയിൽ സാധാരണ, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ, മിക്സഡ് സംഖ്യകൾ, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ, ശക്തികൾ, വേരുകൾ, ലോഗരിതം, സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ മുതലായവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഒരു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ നിർവചനത്തിലേക്ക് എല്ലാ വിവരങ്ങളും സംഗ്രഹിക്കാം:

നിർവ്വചനം.

സംഖ്യാ പദപ്രയോഗംസംഖ്യകൾ, ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ, ഫ്രാക്ഷണൽ ലൈനുകൾ, വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ (റാഡിക്കലുകൾ), ലോഗരിതം, ത്രികോണമിതി, വിപരീത ത്രികോണമിതി, മറ്റ് ഫംഗ്ഷനുകൾക്കുള്ള നൊട്ടേഷനുകൾ, അതുപോലെ ബ്രാക്കറ്റുകളുടെയും മറ്റ് പ്രത്യേക ഗണിത ചിഹ്നങ്ങളുടെയും സംയോജനമാണ്, അംഗീകരിച്ച നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ.

പ്രസ്താവിച്ച നിർവചനത്തിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം.

സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ തികച്ചും ഏത് സംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടാം: സ്വാഭാവികം മുതൽ യഥാർത്ഥവും സങ്കീർണ്ണവും വരെ. അതായത്, സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ ഒരാൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും

ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാം വ്യക്തമാണ് - ഇവ യഥാക്രമം "+", "-", "·", ":" എന്നീ രൂപങ്ങളുള്ള സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, ഹരിക്കൽ എന്നിവയുടെ അടയാളങ്ങളാണ്. സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ ഈ അടയാളങ്ങളിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിരിക്കാം, അവയിൽ ചിലത്, അല്ലെങ്കിൽ അവയെല്ലാം ഒരേസമയം, കൂടാതെ, നിരവധി തവണ. അവയ്‌ക്കൊപ്പമുള്ള സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ: 3+6, 2.2+3.3+4.4+5.5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.

പരാൻതീസിസുകളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, പരാൻതീസിസുകളും അവയില്ലാത്ത പദപ്രയോഗങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന രണ്ട് സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്. ഒരു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗത്തിൽ പരാൻതീസിസുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവ അടിസ്ഥാനപരമായി ആകുന്നു

ചിലപ്പോൾ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിലെ ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് ചില പ്രത്യേക, പ്രത്യേകം സൂചിപ്പിച്ച പ്രത്യേക ഉദ്ദേശ്യമുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സംഖ്യയുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ചതുര ബ്രാക്കറ്റുകൾ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, അതിനാൽ +2 എന്ന സംഖ്യാ പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നത് സംഖ്യ 1.75 എന്ന സംഖ്യയുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യയിലേക്ക് 2 ചേർത്തിരിക്കുന്നു എന്നാണ്.

ഒരു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, പദപ്രയോഗത്തിൽ , , log , ln , lg , നൊട്ടേഷനുകൾ അല്ലെങ്കിൽ മുതലായവ അടങ്ങിയിരിക്കാമെന്നും വ്യക്തമാണ്. അവയ്‌ക്കൊപ്പമുള്ള സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 ഒപ്പം .

സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിലെ വിഭജനം സൂചിപ്പിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ നടക്കുന്നു. അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 ഒപ്പം .

സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ കാണാവുന്ന പ്രത്യേക ഗണിത ചിഹ്നങ്ങളും നൊട്ടേഷനുകളും എന്ന നിലയിൽ, ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു . ഉദാഹരണത്തിന്, മോഡുലസ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗം കാണിക്കാം .

അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളുമായി പരിചിതമായ ഉടൻ തന്നെ അക്ഷര പദപ്രയോഗങ്ങൾ എന്ന ആശയം നൽകപ്പെടുന്നു. ഇത് ഏകദേശം ഇതുപോലെയാണ് രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്. ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യാ പദപ്രയോഗത്തിൽ, സംഖ്യകളിലൊന്ന് എഴുതിയിട്ടില്ല, പകരം ഒരു വൃത്തം (അല്ലെങ്കിൽ ചതുരം, അല്ലെങ്കിൽ സമാനമായ എന്തെങ്കിലും) സ്ഥാപിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ വൃത്തത്തിന് പകരം നൽകാമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് എൻട്രി നോക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ചതുരത്തിന് പകരം നമ്പർ 2 ഇട്ടാൽ, നിങ്ങൾക്ക് സംഖ്യാ പദപ്രയോഗം 3+2 ലഭിക്കും. അതിനാൽ വൃത്തങ്ങൾ, ചതുരങ്ങൾ മുതലായവയ്ക്ക് പകരം. കത്തുകൾ എഴുതാൻ സമ്മതിച്ചു, അക്ഷരങ്ങളുള്ള അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങൾ വിളിക്കപ്പെട്ടു അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗങ്ങൾ. നമുക്ക് നമ്മുടെ ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം, ഈ എൻട്രിയിൽ ഒരു ചതുരത്തിന് പകരം a എന്ന അക്ഷരം ഇടുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് 3+a ഫോമിന്റെ അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും.

അതിനാൽ, ഒരു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗത്തിൽ ചില സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന അക്ഷരങ്ങളുടെ സാന്നിധ്യം ഞങ്ങൾ അനുവദിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് അക്ഷര പദപ്രയോഗം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ നിർവചനം നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

ചില സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന അക്ഷരങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു പദപ്രയോഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു അക്ഷരീയ ആവിഷ്കാരം.

ഈ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഒരു അക്ഷര പദപ്രയോഗം ഒരു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് അടിസ്ഥാനപരമായി വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിൽ അക്ഷരങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കാം. സാധാരണഗതിയിൽ, ലാറ്റിൻ അക്ഷരമാലയിലെ ചെറിയ അക്ഷരങ്ങൾ (a, b, c, ...) അക്ഷര പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു, കൂടാതെ കോണുകളെ സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഗ്രീക്ക് അക്ഷരമാലയിലെ ചെറിയ അക്ഷരങ്ങൾ (α, β, γ, ...) ഉപയോഗിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗങ്ങൾ അക്കങ്ങൾ, അക്ഷരങ്ങൾ എന്നിവയാൽ രചിക്കപ്പെടാം, കൂടാതെ പരാൻതീസിസ്, റൂട്ട് ചിഹ്നങ്ങൾ, ലോഗരിതം, ത്രികോണമിതി, മറ്റ് ഫംഗ്ഷനുകൾ മുതലായ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ ദൃശ്യമാകുന്ന എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര ചിഹ്നങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കാം. ഒരു അക്ഷര പദപ്രയോഗത്തിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു അക്ഷരമെങ്കിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറയുന്നു. എന്നാൽ ഇതിന് സമാനമോ വ്യത്യസ്തമോ ആയ നിരവധി അക്ഷരങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കാം.

ഇനി ലിറ്ററൽ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, a+b എന്നത് a, b എന്നീ അക്ഷരങ്ങളുള്ള ഒരു അക്ഷര പദപ്രയോഗമാണ്. 5 x 3 -3 x 2 +x−2.5 എന്ന അക്ഷര പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം ഇതാ. സങ്കീർണ്ണമായ അക്ഷര പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ: .

വേരിയബിളുകളുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾ

ഒരു അക്ഷര പദപ്രയോഗത്തിൽ ഒരു അക്ഷരം ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യം എടുക്കാത്ത ഒരു അളവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, എന്നാൽ ഈ അക്ഷരത്തെ വിളിക്കുന്നു വേരിയബിൾഎന്ന പദപ്രയോഗം വിളിക്കുന്നു വേരിയബിൾ ഉള്ള എക്സ്പ്രഷൻ.

നിർവ്വചനം.

വേരിയബിളുകളുള്ള എക്സ്പ്രഷൻഅക്ഷരങ്ങൾ (എല്ലാം അല്ലെങ്കിൽ ചിലത്) വ്യത്യസ്‌ത മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന അളവുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, x 2 -1 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലെ x എന്ന അക്ഷരം 0 മുതൽ 10 വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കട്ടെ, തുടർന്ന് x ഒരു വേരിയബിളാണ്, കൂടാതെ x 2 -1 എന്ന പദപ്രയോഗം x ന്റെ ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്.

ഒരു എക്സ്പ്രഷനിൽ നിരവധി വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ടാകാം എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ x, y എന്നിവ വേരിയബിളുകളായി കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ, എക്സ്പ്രഷൻ x, y എന്നീ രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്.

പൊതുവേ, അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗം എന്ന ആശയത്തിൽ നിന്ന് വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗത്തിലേക്കുള്ള മാറ്റം അവർ ബീജഗണിതം പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ 7-ാം ക്ലാസ്സിൽ സംഭവിക്കുന്നു. ഈ സമയം വരെ, അക്ഷര പദപ്രയോഗങ്ങൾ ചില പ്രത്യേക ജോലികൾ മാതൃകയാക്കി. ബീജഗണിതത്തിൽ, ഒരു പ്രത്യേക പ്രശ്നത്തെ പരാമർശിക്കാതെ, ഈ പദപ്രയോഗം നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമാണെന്ന ധാരണയോടെ അവർ പദപ്രയോഗത്തെ കൂടുതൽ പൊതുവായി കാണാൻ തുടങ്ങുന്നു.

ഈ പോയിന്റിന്റെ ഉപസംഹാരമായി, നമുക്ക് ഒരു പോയിന്റ് കൂടി ശ്രദ്ധിക്കാം: ഒരു അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അക്ഷരങ്ങൾ വേരിയബിളുകളാണോ അല്ലയോ എന്ന് അറിയാൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ, ഈ അക്ഷരങ്ങളെ വേരിയബിളുകളായി കണക്കാക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ഒന്നും നമ്മെ തടയുന്നില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, "ലിറ്ററൽ എക്സ്പ്രഷൻ", "വേരിയബിളുകളുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ" എന്നീ പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• ഗണിതം. 2 ക്ലാസുകൾ പാഠപുസ്തകം പൊതുവിദ്യാഭ്യാസത്തിന് adj ഉള്ള സ്ഥാപനങ്ങൾ. ഓരോ ഇലക്ട്രോണിനും വാഹകൻ. 2 മണിക്ക് ഭാഗം 1 / [എം. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etc.] - 3rd ed. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2012. - 96 പേ.: അസുഖം. - (സ്കൂൾ ഓഫ് റഷ്യ). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• ഗണിതം: പാഠപുസ്തകം അഞ്ചാം ക്ലാസിന്. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം സ്ഥാപനങ്ങൾ / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-ാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• ബീജഗണിതം:പാഠപുസ്തകം ഏഴാം ക്ലാസിന് പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മക്കാരിച്ചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; മാറ്റം വരുത്തിയത് എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 17-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2008. - 240 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• ബീജഗണിതം:പാഠപുസ്തകം എട്ടാം ക്ലാസിന്. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മക്കാരിച്ചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; മാറ്റം വരുത്തിയത് എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 16-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2008. - 271 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-019243-9.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിന്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ഫോൺ നമ്പർ, ഇമെയിൽ വിലാസം മുതലായവ ഉൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ, അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകൾ, മറ്റ് ഇവന്റുകൾ, വരാനിരിക്കുന്ന ഇവന്റുകൾ എന്നിവയുമായി നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, നിയമ നടപടികളിൽ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ റഷ്യൻ ഫെഡറേഷനിലെ സർക്കാർ സ്ഥാപനങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള പൊതു അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അടിസ്ഥാനത്തിൽ - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ. സുരക്ഷ, നിയമപാലനം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്ക് അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മുൻകരുതലുകൾ എടുക്കുന്നു - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെ.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഇലക്‌റ്റീവ് കോഴ്‌സ് പ്രോഗ്രാം "സംഖ്യാ, അക്ഷരമാല പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു"

വിശദീകരണ കുറിപ്പ്

സമീപ വർഷങ്ങളിൽ, സ്‌കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്‌സ് വിദ്യാഭ്യാസത്തിന്റെ ഗുണനിലവാര നിയന്ത്രണം CMM-കൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്, ഇതിന്റെ ടാസ്‌ക്കുകളിൽ ഭൂരിഭാഗവും പരീക്ഷണ രൂപത്തിൽ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു. ഈ രീതിയിലുള്ള പരിശോധന ക്ലാസിക് പരീക്ഷാ പേപ്പറിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് കൂടാതെ പ്രത്യേക തയ്യാറെടുപ്പ് ആവശ്യമാണ്. നാളിതുവരെ വികസിപ്പിച്ചെടുത്ത ഫോമിലെ പരിശോധനയുടെ ഒരു സവിശേഷത പരിമിതമായ കാലയളവിൽ ധാരാളം ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകതയാണ്, അതായത്. ഉന്നയിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ശരിയായി ഉത്തരം നൽകാൻ മാത്രമല്ല, അത് വേഗത്തിൽ ചെയ്യാനും ഇത് ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ, വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള ഫലം നേടാൻ അനുവദിക്കുന്ന വിവിധ സാങ്കേതിക വിദ്യകളും രീതികളും പഠിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്.

ഏതെങ്കിലും സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്. പലപ്പോഴും അതിന്റെ സങ്കീർണ്ണത പൂർണ്ണമായും നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സങ്കീർണ്ണതയുടെ അളവും നിർവ്വഹിക്കേണ്ട പരിവർത്തനത്തിന്റെ അളവും അനുസരിച്ചാണ്. ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തത് അസാധാരണമല്ല, അത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുമെന്ന് അവന് അറിയാത്തതുകൊണ്ടല്ല, മറിച്ച് ആവശ്യമായ എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും കണക്കുകൂട്ടലുകളും നിശ്ചിത സമയത്ത് പിഴവുകളില്ലാതെ നടത്താൻ കഴിയാത്തത് കൊണ്ടാണ്.

സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ അവയിൽ തന്നെയല്ല, മറിച്ച് പരിവർത്തന സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗമായി പ്രധാനമാണ്. സ്കൂൾ വിദ്യാഭ്യാസത്തിന്റെ ഓരോ വർഷവും, സംഖ്യ എന്ന ആശയം സ്വാഭാവികതയിൽ നിന്ന് യഥാർത്ഥത്തിലേക്ക് വികസിക്കുന്നു, ഹൈസ്കൂളിൽ, ശക്തിയുടെ പരിവർത്തനങ്ങൾ, ലോഗരിഥമിക്, ത്രികോണമിതി പദപ്രയോഗങ്ങൾ എന്നിവ പഠിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, കാരണം അതിൽ നിരവധി സൂത്രവാക്യങ്ങളും പരിവർത്തന നിയമങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുന്നതിനും ആവശ്യമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിനും അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിനും, ഏറ്റവും ചെറിയ "റൂട്ടിൽ" ശരിയായ ഉത്തരത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങളുടെ പാതയിലൂടെ ഏത് ദിശയിലേക്കാണ് "നീങ്ങേണ്ടത്" എന്ന് നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു യുക്തിസഹമായ പാതയുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് പ്രധാനമായും എക്സ്പ്രഷനുകൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്ന രീതികളെക്കുറിച്ചുള്ള മുഴുവൻ വിവരങ്ങളും കൈവശം വയ്ക്കുന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഹൈസ്കൂളിൽ, സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിൽ അറിവും പ്രായോഗിക കഴിവുകളും ചിട്ടപ്പെടുത്തുകയും ആഴത്തിലാക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സർവ്വകലാശാലകളിലേക്ക് അപേക്ഷിക്കുമ്പോൾ സംഭവിക്കുന്ന പിശകുകളിൽ ഏകദേശം 30% ഒരു കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ സ്വഭാവമുള്ളതാണെന്ന് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ കാണിക്കുന്നു. അതിനാൽ, മിഡിൽ സ്കൂളിലെ പ്രസക്തമായ വിഷയങ്ങൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, ഹൈസ്കൂളിൽ അവ ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ, സ്കൂൾ കുട്ടികളിൽ കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നതിൽ കൂടുതൽ ശ്രദ്ധ ചെലുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അതിനാൽ, ഒരു സ്പെഷ്യലൈസ്ഡ് സ്കൂളിലെ 11-ാം ക്ലാസിൽ പഠിപ്പിക്കുന്ന അധ്യാപകരെ സഹായിക്കുന്നതിന്, "ഒരു സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിൽ സംഖ്യാ, അക്ഷരമാല പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുക" എന്ന ഒരു ഐച്ഛിക കോഴ്സ് ഞങ്ങൾക്ക് വാഗ്ദാനം ചെയ്യാം.

ഗ്രേഡുകൾ:== 11

തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ട കോഴ്സ് തരം:

കോഴ്‌സ് ചിട്ടപ്പെടുത്തുകയും സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയും ആഴത്തിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

മണിക്കൂറുകളുടെ എണ്ണം:

34 (ആഴ്ചയിൽ - 1 മണിക്കൂർ)

വിദ്യാഭ്യാസ മേഖല:

ഗണിതശാസ്ത്രം

കോഴ്സിന്റെ ലക്ഷ്യങ്ങളും ലക്ഷ്യങ്ങളും:

സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചും അവരുമായുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ചും വിദ്യാർത്ഥികളുടെ അറിവിന്റെ വ്യവസ്ഥാപനം, സാമാന്യവൽക്കരണം, വിപുലീകരണം; - കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് പ്രക്രിയയിൽ താൽപ്പര്യത്തിന്റെ രൂപീകരണം; - വിദ്യാർത്ഥികളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യം, സൃഷ്ടിപരമായ ചിന്ത, വൈജ്ഞാനിക താൽപ്പര്യം എന്നിവയുടെ വികസനം; - സർവ്വകലാശാലകളിലേക്കുള്ള പ്രവേശനത്തിനുള്ള പുതിയ നിയമങ്ങളുമായി വിദ്യാർത്ഥികളെ പൊരുത്തപ്പെടുത്തൽ.

കോഴ്‌സ് പഠനത്തിന്റെ ഓർഗനൈസേഷൻ

ഹൈസ്കൂളിലെ അടിസ്ഥാന ഗണിത പാഠ്യപദ്ധതി വികസിപ്പിക്കുകയും ആഴത്തിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്ന "കൺവേർട്ടിംഗ് ന്യൂമറിക്കൽ, ലെറ്റർ എക്സ്പ്രഷനുകൾ" എന്ന തിരഞ്ഞെടുപ്പ് കോഴ്സ് 11-ാം ക്ലാസിലെ പഠനത്തിനായി രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിട്ടുള്ളതാണ്. നിർദിഷ്ട കോഴ്‌സ് കണക്കുകൂട്ടൽ കഴിവുകളും ചിന്താശേഷിയും വികസിപ്പിക്കാൻ ലക്ഷ്യമിടുന്നു. പ്രായോഗിക വ്യായാമങ്ങൾക്ക് ഊന്നൽ നൽകിക്കൊണ്ട്, ഒരു ക്ലാസിക് ലെസൺ പ്ലാൻ അനുസരിച്ചാണ് കോഴ്‌സ് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ തയ്യാറെടുപ്പിന്റെ ഉയർന്നതോ ശരാശരിയോ ഉള്ള വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി ഇത് രൂപകൽപ്പന ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ സർവ്വകലാശാലകളിലേക്കുള്ള പ്രവേശനത്തിന് തയ്യാറെടുക്കാനും ഗുരുതരമായ ഗണിതശാസ്ത്ര വിദ്യാഭ്യാസത്തിന്റെ തുടർച്ച സുഗമമാക്കാനും അവരെ സഹായിക്കുന്നതിന് രൂപകൽപ്പന ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു.

ആസൂത്രിതമായ ഫലങ്ങൾ:

സംഖ്യാ വർഗ്ഗീകരണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ്;

വേഗത്തിലുള്ള എണ്ണൽ കഴിവുകളും കഴിവുകളും മെച്ചപ്പെടുത്തുക;

വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവ്;

ലോജിക്കൽ ചിന്തയുടെ വികസനം, ഗുരുതരമായ ഗണിതശാസ്ത്ര വിദ്യാഭ്യാസത്തിന്റെ തുടർച്ച സുഗമമാക്കുന്നു.

ഐച്ഛിക വിഷയത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം "സംഖ്യാ, അക്ഷരമാല പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ പരിവർത്തനം"

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ (4 മണിക്കൂർ):നമ്പർ പരമ്പര. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം. ജിസിഡിയും എൻഒസിയും. വിഭജനത്തിന്റെ അടയാളങ്ങൾ. ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി.

യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾ (2 മണിക്കൂർ):ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയുടെ നിർവ്വചനം. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത്. ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. ആനുകാലിക ഭിന്നസംഖ്യയുടെ നിർവ്വചനം. ഒരു ദശാംശ ആനുകാലിക ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള നിയമം.

യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകൾ. റാഡിക്കലുകൾ. ഡിഗ്രികൾ. ലോഗരിതം (6 മണിക്കൂർ):ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ നിർവ്വചനം. ഒരു സംഖ്യയുടെ യുക്തിരാഹിത്യത്തിന്റെ തെളിവ്. ഡിനോമിനേറ്ററിലെ യുക്തിരാഹിത്യത്തിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നു. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ. ബിരുദത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ. nth ഡിഗ്രിയുടെ ഗണിത മൂലത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ. ലോഗരിതം നിർവ്വചനം. ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ (4 മണിക്കൂർ):നമ്പർ സർക്കിൾ. അടിസ്ഥാന കോണുകളുടെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ. ഒരു കോണിന്റെ മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് ഡിഗ്രി അളവിൽ നിന്ന് റേഡിയൻ അളവിലേക്കും തിരിച്ചും പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു. അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ. വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ആർക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളിലെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ആർക്ക് ഫംഗ്ഷനുകൾ തമ്മിലുള്ള അടിസ്ഥാന ബന്ധങ്ങൾ.

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ (2 മണിക്കൂർ):ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ആശയം. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ത്രികോണമിതിയും എക്സ്പോണൻഷ്യൽ രൂപങ്ങളും.

ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ടെസ്റ്റിംഗ് (2 മണിക്കൂർ)

സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ താരതമ്യം (4h):യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിലെ സംഖ്യാ അസമത്വങ്ങൾ. സംഖ്യാ അസമത്വങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ. അസമത്വങ്ങളെ പിന്തുണയ്ക്കുക. സംഖ്യാ അസമത്വങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ.

അക്ഷര പദപ്രയോഗങ്ങൾ (8 മണിക്കൂർ):വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്പ്രഷനുകൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ: ബഹുപദങ്ങൾ; ബീജഗണിത ഭിന്നസംഖ്യകൾ; യുക്തിരഹിതമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ; ത്രികോണമിതിയും മറ്റ് പദപ്രയോഗങ്ങളും. ഐഡന്റിറ്റികളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും തെളിവുകൾ. പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നു.

വിദ്യാഭ്യാസപരവും വിഷയപരവുമായ പദ്ധതി

പ്ലാൻ 34 മണിക്കൂർ സാധുതയുള്ളതാണ്. തീസിസിന്റെ വിഷയം കണക്കിലെടുത്താണ് ഇത് രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത്, അതിനാൽ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു: സംഖ്യാ, അക്ഷരമാല പദപ്രയോഗങ്ങൾ. അധ്യാപകന്റെ വിവേചനാധികാരത്തിൽ, ഉചിതമായ വിഷയങ്ങളിലെ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾക്കൊപ്പം അക്ഷരമാല പദപ്രയോഗങ്ങളും പരിഗണിക്കാം.