Peluasan fungsi asas dalam siri Taylor. Siri Maclaurin dan pengembangan beberapa fungsi

Saya akan membuat tempahan segera bahawa artikel itu akan membincangkan pengembangan tangen pada sifar, yang dipanggil pengembangan Maclaurin dalam banyak buku teks.

Nah, semua fungsi akan boleh dibezakan secara tidak terhingga di mana kita perlukan.

Walaupun kebanyakan fungsi asas termudah yang lain boleh dikembangkan dengan mudah menjadi siri Taylor dan undang-undang yang membentuk istilah pengembangan adalah paling kerap tidak rumit dan mudah dijangka, ini tidak berlaku untuk tangen. Walaupun nampaknya yang terakhir hanyalah nisbah sinus kepada kosinus, fungsi yang tidak ada masalah semasa penguraian. Sementara itu, untuk menunjukkan bentuk istilah biasa untuk tangen, kita perlu bermula sedikit dari jauh dan menggunakan kaedah buatan. Tetapi, dalam praktiknya, selalunya tidak diperlukan untuk mengetahui semua pekali siri, hanya beberapa istilah pengembangan sudah cukup. Dengan pernyataan masalah sedemikian, pelajar paling kerap bertemu. Jadi, di situlah kita akan bermula. Untuk tidak mengganggu terutamanya, kita akan mencari penguraian sehingga pekali pada darjah kelima.

Perkara pertama yang terlintas di fikiran di sini ialah cuba menggunakan formula Taylor secara langsung. Selalunya, orang hanya tidak mempunyai idea tentang cara lain untuk mengembangkan berturut-turut. By the way, seminarian kami dalam matematik. analisis, pada tahun kedua saya, saya mencari penguraian dengan cara ini, walaupun saya tidak boleh mengatakan apa-apa yang buruk tentang dia, pakcik itu bijak, mungkin dia hanya ingin menunjukkan kebolehannya dalam mengambil derivatif. Walau apa pun, tetapi mengambil derivatif tertib tinggi bagi keseronokan tangen masih merupakan tugas yang sangat membosankan, hanya satu daripada tugas yang lebih mudah untuk diamanahkan kepada mesin, dan bukan kepada seseorang. Tetapi, kami, sebagai atlet sebenar, tidak berminat dengan hasilnya, tetapi dalam prosesnya, dan adalah wajar proses itu lebih mudah. Derivatif adalah (dikira dalam sistem maxima): , , , , . Sesiapa yang berpendapat bahawa derivatif mudah diperoleh secara manual, biarkan dia melakukannya, pada masa lapang. Bagaimanapun, sekarang kita boleh menulis penguraian: .

Untuk memudahkan di sini, kami ambil perhatian bahawa maka, terbitan pertama tangen dinyatakan melalui tangen, sebagai tambahan, ia berikutan daripada ini bahawa semua terbitan tangen yang lain akan menjadi polinomial tangen, yang membolehkan kita tidak menderita dengan terbitan hasil bagi sinus. dan kosinus:
,
,
,
.
Penguraian, tentu saja, adalah sama.

Saya belajar tentang satu lagi kaedah pengembangan dalam satu siri secara langsung pada peperiksaan tikar. analisis dan kerana tidak mengetahui kaedah ini, saya kemudian menerima koir. bukannya ex.-a. Maksud kaedah ialah kita mengetahui pengembangan ke dalam satu siri kedua-dua sinus dan kosinus, serta fungsi , pengembangan terakhir membolehkan kita mencari pengembangan sekon: . Membuka kurungan, kami mendapat siri yang perlu didarab dengan pengembangan sinus. Dan sekarang kita hanya perlu mendarab dua baris. Dari segi kerumitan, saya ragu-ragu bahawa ia adalah lebih rendah daripada kaedah pertama, terutamanya kerana jumlah pengiraan berkembang pesat apabila tahap pengembangan yang ditemui meningkat.

Kaedah seterusnya ialah varian kaedah pekali tak tentu. Mari kita mula-mula mengemukakan soalan, apa yang kita tahu tentang tangen daripada apa yang boleh membantu kita membina penguraian, boleh dikatakan a priori. Perkara yang paling penting di sini ialah fungsi tangen adalah ganjil, dan oleh itu semua pekali pada kuasa genap adalah sama dengan sifar, dengan kata lain, mencari separuh daripada pekali tidak diperlukan. Kemudian anda boleh menulis , atau , mengembangkan sinus dan kosinus menjadi satu siri, kita dapat . Dan menyamakan pekali pada kuasa yang sama, kita dapat , , dan secara amnya . Oleh itu, dengan bantuan proses berulang, kita boleh mencari sebarang bilangan istilah pengembangan.

Kaedah keempat juga merupakan kaedah pekali tak tentu, tetapi untuk itu kita tidak memerlukan pengembangan mana-mana fungsi lain. Kami akan mempertimbangkan persamaan pembezaan untuk tangen. Kami melihat di atas bahawa terbitan tangen boleh dinyatakan sebagai fungsi tangen. Menggantikan ke dalam persamaan ini satu siri pekali tak tentu, kita boleh menulis . Dengan kuasa dua dan dari sini, sekali lagi, adalah mungkin untuk mencari pekali pengembangan melalui proses berulang.

Kaedah ini jauh lebih mudah daripada dua yang pertama, tetapi mencari ungkapan untuk ahli biasa siri dengan cara ini tidak akan berfungsi, tetapi kami mahu. Seperti yang saya katakan pada mulanya, anda perlu bermula dari jauh (saya akan mengikuti tutorial Courant). Kita mulakan dengan mengembangkan fungsi menjadi satu siri. Hasilnya, kita akan mendapat satu siri yang akan ditulis dalam borang , di mana nombor adalah nombor Bernoulli.
Pada mulanya, nombor ini ditemui oleh Jacob Bernoulli apabila mencari jumlah kuasa ke-m bagi nombor asli . Nampaknya, dan di sini trigonometri? Kemudian, Euler, menyelesaikan masalah jumlah kuasa dua songsang bagi satu siri nombor asli, menerima jawapan daripada pengembangan sinus kepada produk tak terhingga. Selanjutnya, ternyata pengembangan kotangen mengandungi jumlah bentuk , untuk semua nombor asli n. Dan sudah pun meneruskan daripada ini, Euler memperoleh ungkapan untuk jumlah tersebut dari segi nombor Bernoulli. Jadi terdapat sambungan di sini, dan seseorang tidak perlu terkejut bahawa pengembangan tangen mengandungi urutan ini.
Tetapi mari kita kembali kepada pengembangan pecahan. Mengembangkan eksponen, menolak satu dan membahagikan dengan "x", akhirnya kita mendapat . Dari sini sudah jelas bahawa nombor pertama Bernoulli adalah sama dengan satu, kedua tolak satu saat, dan seterusnya. Mari kita tulis ungkapan untuk nombor Bernoulli ke-k, bermula dari satu. Mendarab ungkapan ini dengan , kami menulis semula ungkapan dalam bentuk berikut. Dan daripada ungkapan ini kita boleh mendapatkan nombor Bernoulli secara bergilir, khususnya: , ,

Dalam teori siri fungsian, bahagian yang dikhaskan untuk pengembangan fungsi menjadi siri menduduki tempat utama.

Oleh itu, masalah ditimbulkan: untuk fungsi tertentu ia diperlukan untuk mencari siri kuasa sedemikian

yang menumpu pada beberapa selang dan jumlahnya adalah sama dengan
, mereka.

= ..

Tugas ini dipanggil masalah mengembangkan fungsi menjadi siri kuasa.

Keadaan yang diperlukan untuk pengembangan fungsi menjadi siri kuasa ialah kebolehbezaannya bilangan kali yang tidak terhingga - ini berikutan daripada sifat siri kuasa penumpuan. Syarat ini dipenuhi, sebagai peraturan, untuk fungsi asas dalam domain definisi mereka.

Jadi mari kita anggap bahawa fungsi
mempunyai terbitan sebarang susunan. Bolehkah ia dikembangkan menjadi siri kuasa, jika ya, bagaimana untuk mencari siri ini? Bahagian kedua masalah lebih mudah untuk diselesaikan, jadi mari kita mulakan dengannya.

Mari kita anggap bahawa fungsi
boleh diwakili sebagai jumlah siri kuasa yang menumpu dalam selang yang mengandungi titik X 0 :

= .. (*)

di mana a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a P ,... – pekali tidak pasti (belum).

Mari kita masukkan kesamaan (*) nilainya x = x 0 , maka kita dapat

Kami membezakan siri kuasa (*) istilah mengikut istilah

= ..

dan meletakkan di sini x = x 0 , kita mendapatkan

Dengan pembezaan seterusnya, kami mendapat siri

= ..

mengandaikan x = x 0 , kita mendapatkan
, di mana
.

Selepas P-pembezaan kali ganda yang kita dapat

Dengan mengandaikan dalam persamaan terakhir x = x 0 , kita mendapatkan
, di mana

Jadi pekali dijumpai

,
,
, …,
,….,

menggantikan yang mana ke dalam baris (*), kita dapat

Siri yang terhasil dipanggil dekat taylor untuk fungsi
.

Oleh itu, kami telah menetapkan itu jika fungsi boleh dikembangkan menjadi siri kuasa dalam kuasa (x - x 0 ), maka pengembangan ini adalah unik dan siri yang terhasil semestinya siri Taylor.

Ambil perhatian bahawa siri Taylor boleh diperolehi untuk sebarang fungsi yang mempunyai terbitan sebarang susunan pada titik itu x = x 0 . Tetapi ini belum bermakna tanda yang sama boleh diletakkan di antara fungsi dan siri yang terhasil, i.e. bahawa hasil tambah siri itu adalah sama dengan fungsi asal. Pertama, kesamaan seperti itu hanya boleh masuk akal dalam kawasan penumpuan, dan siri Taylor yang diperoleh untuk fungsi itu mungkin menyimpang, dan kedua, jika siri Taylor menumpu, maka jumlahnya mungkin tidak bertepatan dengan fungsi asal.

3.2. Keadaan yang mencukupi untuk pengembangan fungsi menjadi siri Taylor

Marilah kita merumuskan satu pernyataan dengan bantuan yang mana masalah yang dinyatakan akan diselesaikan.

Jika fungsi
dalam beberapa kejiranan titik x 0 mempunyai derivatif sehingga (n+ 1)-termasuk pesanan ke-, maka dalam kejiranan ini kita adaformula Taylor

di manaR n (X)-istilah sisa formula Taylor - mempunyai bentuk (bentuk Lagrange)

di mana titikξ terletak di antara x dan x 0 .

Perhatikan bahawa terdapat perbezaan antara siri Taylor dan formula Taylor: formula Taylor ialah jumlah terhingga, i.e. P - nombor tetap.

Ingat bahawa jumlah siri itu S(x) boleh ditakrifkan sebagai had jujukan fungsi jumlah separa S P (x) pada selang waktu tertentu X:

Menurut ini, untuk mengembangkan fungsi menjadi siri Taylor bermakna mencari siri sedemikian untuk mana-mana XX

Kami menulis formula Taylor dalam bentuk di mana

perasan, itu
mentakrifkan ralat yang kita dapat, menggantikan fungsi f(x) polinomial S n (x).

Sekiranya
, kemudian
, mereka. fungsi berkembang menjadi siri Taylor. Sebaliknya, jika
, kemudian
.

Justeru, kami telah membuktikan kriteria untuk pengembangan fungsi menjadi siri Taylor.

Agar dalam beberapa selang fungsif(x) berkembang dalam siri Taylor, adalah perlu dan memadai bahawa pada selang ini
, di manaR n (x) ialah baki siri Taylor.

Dengan bantuan kriteria yang dirumuskan, seseorang boleh mendapatkan mencukupisyarat untuk pengembangan fungsi menjadi siri Taylor.

Jika dalambeberapa kejiranan titik x 0 nilai mutlak semua derivatif fungsi dihadkan oleh nombor yang sama M≥ 0, iaitu

, to dalam kejiranan ini, fungsi berkembang menjadi siri Taylor.

Daripada perkara di atas ia berikut algoritmapengembangan fungsi f(x) dalam siri Taylor di sekitar titik itu X 0 :

1. Mencari fungsi terbitan f(x):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Kami mengira nilai fungsi dan nilai derivatifnya pada titik X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Kami secara rasmi menulis siri Taylor dan mencari kawasan penumpuan siri kuasa yang terhasil.

4. Kami menyemak pemenuhan syarat yang mencukupi, i.e. menubuhkan untuk yang X daripada kawasan penumpuan, baki jangka R n (x) cenderung kepada sifar pada
atau
.

Pengembangan fungsi dalam siri Taylor mengikut algoritma ini dipanggil pengembangan fungsi dalam siri Taylor mengikut definisi atau penguraian langsung.

Jika fungsi f(x) mempunyai pada beberapa selang yang mengandungi titik a, terbitan semua pesanan, maka formula Taylor boleh digunakan padanya:

di mana rn- apa yang dipanggil istilah baki atau baki siri, ia boleh dianggarkan menggunakan formula Lagrange:

, di mana nombor x disertakan antara X dan a.

Jika untuk beberapa nilai x r n®0 pada n®¥, kemudian dalam had formula Taylor untuk nilai ini bertukar menjadi formula konvergen siri Taylor:

Jadi fungsinya f(x) boleh dikembangkan menjadi siri Taylor pada titik yang dipertimbangkan X, jika:

1) ia mempunyai terbitan semua pesanan;

2) siri yang dibina menumpu pada ketika ini.

Pada a=0 kita mendapat satu siri yang dipanggil berhampiran Maclaurin:

Contoh 1 f(x)= 2x.

Penyelesaian. Mari kita cari nilai fungsi dan terbitannya di X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x dalam 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Menggantikan nilai derivatif yang diperoleh ke dalam formula siri Taylor, kita mendapat:

Jejari penumpuan siri ini adalah sama dengan infiniti, jadi pengembangan ini sah untuk -¥<x<+¥.

Contoh 2 X+4) untuk fungsi f(x)= e x.

Penyelesaian. Mencari terbitan bagi fungsi e x dan nilai mereka pada titik itu X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Oleh itu, siri Taylor yang dikehendaki bagi fungsi mempunyai bentuk:

Penguraian ini juga sah untuk -¥<x<+¥.

Contoh 3 . Kembangkan fungsi f(x)=ln x dalam satu siri mengikut darjah ( X- 1),

(iaitu dalam siri Taylor di sekitar titik X=1).

Penyelesaian. Kami mencari derivatif fungsi ini.

Menggantikan nilai ini ke dalam formula, kami mendapat siri Taylor yang dikehendaki:

Dengan bantuan ujian d'Alembert, seseorang boleh mengesahkan bahawa siri itu menumpu apabila

½ X- 1½<1. Действительно,

Siri menumpu jika ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 kita memperoleh siri berselang-seli yang memenuhi syarat ujian Leibniz. Pada X=0 fungsi tidak ditakrifkan. Oleh itu, kawasan penumpuan siri Taylor ialah selang separuh terbuka (0;2].

Marilah kita membentangkan pengembangan yang diperoleh dengan cara ini dalam siri Maclaurin (iaitu, dalam kejiranan titik X=0) untuk beberapa fungsi asas:

(2) ,

(3) ,

( pengembangan terakhir dipanggil siri binomial)

Contoh 4 . Kembangkan fungsi ke dalam siri kuasa

Penyelesaian. Dalam penguraian (1), kita gantikan X pada - X 2, kita dapat:

Contoh 5 . Kembangkan fungsi dalam siri Maclaurin

Penyelesaian. Kami ada

Menggunakan formula (4), kita boleh menulis:

menggantikan bukannya X ke dalam formula -X, kita mendapatkan:

Dari sini kita dapati:

Mengembangkan kurungan, menyusun semula terma siri dan membuat pengurangan istilah yang serupa, kita dapat

Siri ini menumpu dalam selang

(-1;1) kerana ia berasal daripada dua siri, setiap satunya menumpu dalam selang ini.

Komen .

Formula (1)-(5) juga boleh digunakan untuk mengembangkan fungsi yang sepadan dalam siri Taylor, i.e. untuk pengembangan fungsi dalam kuasa integer positif ( Ha). Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk melakukan transformasi yang serupa pada fungsi tertentu untuk mendapatkan salah satu fungsi (1) - (5), di mana bukannya X kos k( Ha) m , dengan k ialah nombor tetap, m ialah integer positif. Selalunya mudah untuk menukar pembolehubah t=Ha dan mengembangkan fungsi yang terhasil berkenaan dengan t dalam siri Maclaurin.

Kaedah ini menggambarkan teorem tentang keunikan pengembangan fungsi dalam siri kuasa. Intipati teorem ini ialah dalam kejiranan titik yang sama, dua siri kuasa yang berbeza tidak boleh diperoleh yang akan menumpu kepada fungsi yang sama, tidak kira bagaimana pengembangannya dilakukan.

Contoh 6 . Kembangkan fungsi dalam siri Taylor dalam kejiranan titik X=3.

Penyelesaian. Masalah ini boleh diselesaikan, seperti sebelum ini, menggunakan takrifan siri Taylor, yang mana perlu untuk mencari derivatif fungsi dan nilainya di X=3. Walau bagaimanapun, lebih mudah untuk menggunakan penguraian sedia ada (5):

Siri yang terhasil menumpu pada atau -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Contoh 7 . Tulis siri Taylor dalam kuasa ( X-1) ciri .

Penyelesaian.

Siri menumpu pada , atau 2< x£5.

Pelajar matematik yang lebih tinggi harus sedar bahawa jumlah siri kuasa tertentu kepunyaan selang penumpuan siri yang diberikan kepada kita ialah fungsi terbeza yang berterusan dan tak terhingga. Persoalannya timbul: adakah mungkin untuk menegaskan bahawa fungsi arbitrari yang diberikan f(x) ialah jumlah beberapa siri kuasa? Iaitu, dalam keadaan apakah fungsi f(x) boleh diwakili oleh siri kuasa? Kepentingan soalan ini terletak pada fakta bahawa adalah mungkin untuk menggantikan fungsi f(x) dengan jumlah beberapa sebutan pertama siri kuasa, iaitu dengan polinomial. Penggantian fungsi sedemikian dengan ungkapan yang agak mudah - polinomial - juga mudah apabila menyelesaikan beberapa masalah, iaitu: apabila menyelesaikan kamiran, semasa mengira, dll.

Dibuktikan bahawa untuk beberapa fungsi f(x), di mana derivatif sehingga tertib ke (n + 1), termasuk yang terakhir, boleh dikira, dalam kejiranan (α - R; x 0 + R) beberapa titik x = formula α:

Formula ini dinamakan sempena nama saintis terkenal Brook Taylor. Siri yang diperoleh daripada yang sebelumnya dipanggil siri Maclaurin:

Peraturan yang memungkinkan untuk berkembang dalam siri Maclaurin:

Tentukan terbitan bagi pesanan pertama, kedua, ketiga ....
Kira apakah terbitan pada x=0.
Tulis siri Maclaurin untuk fungsi ini, dan kemudian tentukan selang penumpuannya.
Tentukan selang (-R;R), di mana baki formula Maclaurin

R n (x) -> 0 untuk n -> infiniti. Jika satu wujud, fungsi f(x) di dalamnya mesti bertepatan dengan jumlah siri Maclaurin.

Pertimbangkan sekarang siri Maclaurin untuk fungsi individu.

1. Jadi, yang pertama ialah f(x) = e x. Sudah tentu, mengikut ciri-cirinya, fungsi sedemikian mempunyai derivatif susunan yang sangat berbeza, dan f (k) (x) \u003d e x, di mana k sama dengan segala-galanya Mari kita gantikan x \u003d 0. Kami mendapat f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1.2 ... Berdasarkan perkara di atas, siri e x akan kelihatan seperti ini:

2. Siri Maclaurin untuk fungsi f(x) = sin x. Mari kita segera menjelaskan bahawa fungsi untuk semua yang tidak diketahui akan mempunyai derivatif, selain f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin ( x +2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), dengan k adalah sama dengan sebarang nombor asli. Iaitu, dengan membuat pengiraan mudah, kita boleh simpulkan bahawa siri untuk f(x) = sin x akan kelihatan seperti ini:

3. Sekarang mari kita cuba pertimbangkan fungsi f(x) = cos x. Ia mempunyai terbitan susunan arbitrari untuk semua yang tidak diketahui, dan |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Jadi, kami telah menyenaraikan fungsi paling penting yang boleh dikembangkan dalam siri Maclaurin, tetapi ia ditambah dengan siri Taylor untuk beberapa fungsi. Sekarang kami akan menyenaraikannya. Perlu diingatkan juga bahawa siri Taylor dan Maclaurin adalah bahagian penting dalam amalan siri penyelesaian dalam matematik yang lebih tinggi. Jadi, siri Taylor.

1. Yang pertama ialah baris untuk f-ii f (x) = ln (1 + x). Seperti dalam contoh sebelumnya, diberikan kepada kita f (x) = ln (1 + x), kita boleh menambah satu siri menggunakan bentuk am siri Maclaurin. walau bagaimanapun, untuk fungsi ini, siri Maclaurin boleh diperolehi dengan lebih mudah. Selepas menyepadukan siri geometri tertentu, kita mendapat satu siri untuk f (x) = ln (1 + x) sampel sedemikian:

2. Dan yang kedua, yang akan menjadi muktamad dalam artikel kami, akan menjadi siri untuk f (x) \u003d arctg x. Untuk x kepunyaan selang [-1; 1], pengembangan adalah sah:

Itu sahaja. Artikel ini mengkaji siri Taylor dan Maclaurin yang paling biasa digunakan dalam matematik tinggi, khususnya, di universiti ekonomi dan teknikal.

16.1. Peluasan fungsi asas dalam siri Taylor dan

Maclaurin

Mari kita tunjukkan bahawa jika fungsi arbitrari ditakrifkan pada set
, di sekitar titik itu
mempunyai banyak derivatif dan merupakan hasil tambah siri kuasa:

maka anda boleh mencari pekali siri ini.

Gantikan dalam siri kuasa
. Kemudian
.

Cari terbitan pertama bagi fungsi tersebut
:

Pada
:
.

Untuk derivatif kedua kita dapat:

Pada
:
.

Meneruskan prosedur ini n sebaik sahaja kita mendapat:
.

Oleh itu, kami mendapat satu siri kuasa borang:

yang dipanggil dekat taylor untuk fungsi
sekitar titik
.

Satu kes khas siri Taylor ialah Siri Maclaurin di
:

Baki siri Taylor (Maclaurin) diperoleh dengan membuang siri utama n sebutan pertama dan dilambangkan sebagai
. Kemudian fungsi
boleh ditulis sebagai jumlah n ahli pertama siri ini
dan selebihnya
:,

Selebihnya biasanya
dinyatakan dalam formula yang berbeza.

Salah satunya adalah dalam bentuk Lagrange:

, di mana
.
.

Ambil perhatian bahawa dalam amalan siri Maclaurin digunakan lebih kerap. Oleh itu, untuk menulis fungsi
dalam bentuk jumlah siri kuasa, adalah perlu:

1) cari pekali siri Maclaurin (Taylor);

2) cari kawasan penumpuan siri kuasa yang terhasil;

3) buktikan bahawa siri yang diberikan menumpu kepada fungsi
.

Teorem1 (syarat yang perlu dan mencukupi untuk penumpuan siri Maclaurin). Biarkan jejari penumpuan siri itu
. Agar siri ini menumpu dalam selang
untuk berfungsi
, adalah perlu dan mencukupi bahawa syarat berikut dipenuhi:
dalam selang waktu yang ditentukan.

Teorem 2. Jika terbitan sebarang susunan fungsi
dalam beberapa selang
terhad dalam nilai mutlak kepada nombor yang sama M, itu dia
, maka dalam selang ini fungsi
boleh dikembangkan dalam siri Maclaurin.

Contoh1 . Kembangkan dalam siri Taylor di sekeliling titik
fungsi.

Penyelesaian.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Kawasan penumpuan
.

Contoh2 . Kembangkan fungsi dalam siri Taylor sekitar satu titik
.

Penyelesaian:

Kita dapati nilai fungsi dan terbitannya di
.

,
;

...........……………………………

,
.

Gantikan nilai ini berturut-turut. Kita mendapatkan:

atau
.

Mari kita cari kawasan penumpuan siri ini. Menurut ujian d'Alembert, siri itu menumpu jika

Oleh itu, untuk mana-mana had ini adalah kurang daripada 1, dan oleh itu luas penumpuan siri itu ialah:
.

Mari kita pertimbangkan beberapa contoh pengembangan ke dalam siri Maclaurin bagi fungsi asas asas. Ingat bahawa siri Maclaurin:

menumpu pada selang
untuk berfungsi
.

Ambil perhatian bahawa untuk mengembangkan fungsi menjadi satu siri, adalah perlu:

a) cari pekali siri Maclaurin untuk fungsi tertentu;

b) hitung jejari penumpuan bagi siri yang terhasil;

c) membuktikan bahawa siri yang terhasil menumpu kepada fungsi
.

Contoh 3 Pertimbangkan fungsinya
.

Penyelesaian.

Mari kita hitung nilai fungsi dan terbitannya untuk
.

Kemudian pekali berangka siri mempunyai bentuk:

untuk sesiapa n. Kami menggantikan pekali yang ditemui dalam siri Maclaurin dan mendapatkan:

Cari jejari penumpuan siri yang terhasil, iaitu:

Oleh itu, siri itu menumpu pada selang
.

Siri ini menumpu kepada fungsi untuk sebarang nilai , kerana pada sebarang selang waktu
fungsi dan derivatif nilai mutlaknya dihadkan oleh nombor .

Contoh4 . Pertimbangkan fungsinya
.

Penyelesaian.

Adalah mudah untuk melihat bahawa terbitan tertib genap
, dan terbitan tertib ganjil. Kami menggantikan pekali yang ditemui dalam siri Maclaurin dan mendapatkan pengembangan:

Mari kita cari selang penumpuan siri ini. Menurut d'Alembert:

untuk sesiapa . Oleh itu, siri itu menumpu pada selang
.

Siri ini menumpu kepada fungsi
, kerana semua derivatifnya terhad kepada satu.

Contoh5 .
.

Penyelesaian.

Mari kita cari nilai fungsi dan terbitannya di
:

Oleh itu, pekali siri ini:
dan
, Akibatnya:

Begitu juga dengan siri sebelumnya, kawasan penumpuan
. Siri menumpu kepada fungsi
, kerana semua derivatifnya terhad kepada satu.

Perhatikan bahawa fungsi
pengembangan ganjil dan siri dalam kuasa ganjil, fungsi
– genap dan pengembangan dalam satu siri dalam kuasa genap.

Contoh6 . Siri binomial:
.

Penyelesaian.

Mari kita cari nilai fungsi dan terbitannya di
:

Ini menunjukkan bahawa:

Kami menggantikan nilai pekali ini dalam siri Maclaurin dan mendapatkan pengembangan fungsi ini dalam siri kuasa:

Mari cari jejari penumpuan siri ini:

Oleh itu, siri itu menumpu pada selang
. Pada titik had di
dan
siri mungkin atau mungkin tidak menumpu bergantung pada eksponen
.

Siri yang dikaji menumpu pada selang
untuk berfungsi
, iaitu jumlah siri itu
di
.

Contoh7 . Mari kita kembangkan fungsi dalam siri Maclaurin
.

Penyelesaian.

Untuk mengembangkan fungsi ini menjadi satu siri, kami menggunakan siri binomial untuk
. Kita mendapatkan:

Berdasarkan sifat siri kuasa (siri kuasa boleh disepadukan dalam kawasan penumpuannya), kami dapati kamiran bahagian kiri dan kanan siri ini:

Cari luas penumpuan siri ini:
,

iaitu, kawasan penumpuan siri ini ialah selang
. Mari kita tentukan penumpuan siri pada hujung selang. Pada

. Siri ini adalah siri harmonik, iaitu, ia menyimpang. Pada
kita mendapat siri nombor dengan istilah biasa
.

Siri Leibniz bertumpu. Oleh itu, kawasan penumpuan siri ini ialah selang
.

16.2. Penggunaan siri kuasa kuasa dalam pengiraan anggaran

Siri kuasa memainkan peranan yang sangat penting dalam pengiraan anggaran. Dengan bantuan mereka, jadual fungsi trigonometri, jadual logaritma, jadual nilai fungsi lain yang digunakan dalam pelbagai bidang pengetahuan, contohnya, dalam teori kebarangkalian dan statistik matematik, telah disusun. Di samping itu, pengembangan fungsi dalam siri kuasa berguna untuk kajian teori mereka. Isu utama apabila menggunakan siri kuasa dalam pengiraan anggaran ialah persoalan menganggar ralat apabila menggantikan jumlah siri dengan jumlah siri pertama. n ahli.

Pertimbangkan dua kes:

fungsi dikembangkan menjadi siri berselang-seli;

fungsi itu dikembangkan menjadi siri tanda malar.

Pengiraan menggunakan siri berselang-seli

Biarkan fungsi
berkembang menjadi siri kuasa berselang-seli. Kemudian, apabila mengira fungsi ini untuk nilai tertentu kita mendapat siri nombor yang mana kita boleh menggunakan ujian Leibniz. Selaras dengan kriteria ini, jika jumlah siri digantikan dengan jumlah yang pertama n ahli, maka ralat mutlak tidak melebihi penggal pertama baki siri ini, iaitu:
.

Contoh8 . Kira
dengan ketepatan 0.0001.

Penyelesaian.

Kami akan menggunakan siri Maclaurin untuk
, menggantikan nilai sudut dalam radian:

Jika kita membandingkan ahli pertama dan kedua siri dengan ketepatan yang diberikan, maka: .

Istilah pengembangan ketiga:

kurang daripada ketepatan pengiraan yang ditetapkan. Oleh itu, untuk mengira
ia memadai untuk meninggalkan dua penggal siri, i.e.

Dengan cara ini
.

Contoh9 . Kira
dengan ketepatan 0.001.

Penyelesaian.

Kami akan menggunakan formula siri binomial. Untuk ini kami menulis
sebagai:
.

Dalam ungkapan ini
,

Mari kita bandingkan setiap terma siri dengan ketepatan yang diberikan. Ia adalah jelas bahawa
. Oleh itu, untuk mengira
ia cukup untuk meninggalkan tiga ahli siri.

atau
.

Pengiraan menggunakan siri tanda-positif

Contoh10 . Kira nombor dengan ketepatan 0.001.

Penyelesaian.

Berturut-turut untuk fungsi
pengganti
. Kita mendapatkan:

Mari kita anggarkan ralat yang timbul apabila jumlah siri digantikan dengan jumlah siri pertama ahli. Mari kita tuliskan ketidaksamaan yang jelas:

iaitu 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Mengikut keadaan masalah, anda perlu mencari n supaya ketidaksamaan berikut berlaku:
atau
.

Ia adalah mudah untuk menyemak bahawa apabila n= 6:
.

Akibatnya,
.

Contoh11 . Kira
dengan ketepatan 0.0001.

Penyelesaian.

Ambil perhatian bahawa untuk mengira logaritma, seseorang boleh menggunakan siri untuk fungsi tersebut
, tetapi siri ini menumpu dengan sangat perlahan dan 9999 istilah perlu diambil untuk mencapai ketepatan yang diberikan! Oleh itu, untuk mengira logaritma, sebagai peraturan, satu siri untuk fungsi digunakan
, yang menumpu pada selang
.

Pengiraan
dengan baris ini. biarlah
, kemudian .

Akibatnya,
,

Untuk mengira
dengan ketepatan yang diberikan, ambil jumlah empat sebutan pertama:
.

Selebihnya barisan
buang. Mari kita anggarkan ralat. Ia adalah jelas bahawa

atau
.

Oleh itu, dalam siri yang digunakan untuk pengiraan, sudah cukup untuk mengambil hanya empat sebutan pertama dan bukannya 9999 dalam siri untuk fungsi
.

Soalan untuk diagnosis diri

1. Apakah siri Taylor?

2. apakah jenis siri yang dimiliki oleh Maclaurin?

3. Merumuskan teorem tentang pengembangan fungsi dalam siri Taylor.

4. Tulis pengembangan dalam siri Maclaurin bagi fungsi utama.

5. Nyatakan kawasan penumpuan bagi siri yang dipertimbangkan.

6. Bagaimana untuk menganggarkan ralat dalam pengiraan anggaran menggunakan siri kuasa?