Penyelesaian 9 tugas peperiksaan. Pengekodan maklumat grafik

Pendidikan am menengah

Talian UMK G. K. Muravin. Algebra dan prinsip analisis matematik (10-11) (mendalam)

UMK Merzlyak line. Algebra dan permulaan analisis (10-11) (U)

Matematik

Persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (peringkat profil): tugasan, penyelesaian dan penjelasan

Peperiksaan tahap profil berlangsung selama 3 jam 55 minit (235 minit).

Ambang minimum- 27 mata.

Kertas peperiksaan terdiri daripada dua bahagian, yang berbeza dari segi kandungan, kerumitan dan bilangan tugas.

Ciri yang menentukan setiap bahagian kerja ialah bentuk tugas:

• bahagian 1 mengandungi 8 tugasan (tugasan 1-8) dengan jawapan ringkas dalam bentuk nombor bulat atau pecahan perpuluhan akhir;
• bahagian 2 mengandungi 4 tugasan (tugasan 9-12) dengan jawapan ringkas dalam bentuk integer atau pecahan perpuluhan akhir dan 7 tugasan (tugasan 13–19) dengan jawapan terperinci (rekod lengkap penyelesaian dengan justifikasi untuk tindakan yang diambil).

Panova Svetlana Anatolevna, guru matematik kategori tertinggi sekolah, pengalaman kerja 20 tahun:

“Untuk menerima sijil persekolahan, graduan perlu lulus dua peperiksaan wajib berbentuk Peperiksaan Negeri Bersepadu, salah satunya matematik. Selaras dengan Konsep Pembangunan Pendidikan Matematik di Persekutuan Rusia, Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik dibahagikan kepada dua peringkat: asas dan khusus. Hari ini kita akan melihat pilihan peringkat profil.”

Tugasan No 1- menguji keupayaan peserta Peperiksaan Negeri Bersepadu untuk menggunakan kemahiran yang diperoleh dalam kursus gred 5 hingga 9 dalam matematik asas dalam aktiviti praktikal. Peserta mesti mempunyai kemahiran pengiraan, boleh bekerja dengan nombor rasional, boleh membundarkan perpuluhan, dan boleh menukar satu unit ukuran kepada yang lain.

Contoh 1. Di apartmen tempat Peter tinggal, meter aliran air sejuk (meter) dipasang. Pada 1 Mei, meter menunjukkan penggunaan sebanyak 172 meter padu. m air, dan pada pertama bulan Jun - 177 meter padu. m. Berapakah jumlah yang perlu dibayar oleh Peter untuk air sejuk pada bulan Mei, jika harganya ialah 1 meter padu? m air sejuk ialah 34 rubel 17 kopecks? Berikan jawapan anda dalam rubel.

Penyelesaian:

1) Cari jumlah air yang dibelanjakan setiap bulan:

177 - 172 = 5 (m padu)

2) Mari kita cari berapa banyak wang yang mereka akan bayar untuk air terbuang:

34.17 5 = 170.85 (gosok)

Jawapan: 170,85.

Tugasan No. 2- adalah salah satu tugas peperiksaan yang paling mudah. Majoriti graduan berjaya mengatasinya, yang menunjukkan pengetahuan tentang definisi konsep fungsi. Jenis tugasan No 2 mengikut keperluan pengekod adalah tugas penggunaan pengetahuan dan kemahiran yang diperolehi dalam aktiviti praktikal dan kehidupan seharian. Tugasan No. 2 terdiri daripada menerangkan, menggunakan fungsi, pelbagai hubungan sebenar antara kuantiti dan mentafsir grafnya. Tugasan No. 2 menguji keupayaan untuk mengekstrak maklumat yang dibentangkan dalam jadual, rajah dan graf. Graduan perlu dapat menentukan nilai fungsi daripada nilai hujah dalam pelbagai cara untuk menentukan fungsi dan menerangkan tingkah laku dan sifat fungsi berdasarkan grafnya. Anda juga perlu dapat mencari nilai terbesar atau terkecil daripada graf fungsi dan membina graf bagi fungsi yang dikaji. Kesilapan yang dibuat adalah rawak dalam membaca keadaan masalah, membaca rajah.

#ADVERTISING_INSERT#

Contoh 2. Angka tersebut menunjukkan perubahan dalam nilai tukaran satu saham syarikat perlombongan pada separuh pertama April 2017. Pada 7 April, ahli perniagaan itu membeli 1,000 saham syarikat ini. Pada 10 April, dia menjual tiga perempat daripada saham yang dibelinya, dan pada 13 April, dia menjual semua baki saham. Berapakah kerugian ahli perniagaan itu akibat daripada operasi ini?

Penyelesaian:

2) 1000 · 3/4 = 750 (saham) - membentuk 3/4 daripada semua saham yang dibeli.

6) 247500 + 77500 = 325000 (gosok) - ahli perniagaan menerima 1000 saham selepas menjual.

7) 340,000 – 325,000 = 15,000 (gosok) - ahli perniagaan itu rugi akibat daripada semua operasi.

Jawapan: 15000.

Tugasan No. 3- adalah tugas peringkat asas bahagian pertama, menguji keupayaan untuk melakukan tindakan dengan angka geometri mengikut kandungan kursus Planimetri. Tugasan 3 menguji keupayaan untuk mengira luas rajah pada kertas berkotak-kotak, keupayaan untuk mengira ukuran darjah sudut, mengira perimeter, dsb.

Contoh 3. Cari luas segi empat tepat yang dilukis pada kertas berkotak-kotak dengan saiz sel 1 cm kali 1 cm (lihat rajah). Berikan jawapan anda dalam sentimeter persegi.

Penyelesaian: Untuk mengira luas angka yang diberikan, anda boleh menggunakan formula Puncak:

Untuk mengira luas segi empat tepat tertentu, kami menggunakan formula Peak:

Contoh 4. Terdapat 5 titik merah dan 1 biru yang ditanda pada bulatan. Tentukan poligon yang lebih besar: yang mempunyai semua bucu merah, atau yang mempunyai salah satu bucu biru. Dalam jawapan anda, nyatakan bilangan yang lebih banyak daripada yang lain.

Penyelesaian: 1) Mari kita gunakan formula untuk bilangan gabungan n unsur oleh k:

yang bucunya semuanya berwarna merah.

3) Satu pentagon dengan semua bucu merah.

4) 10 + 5 + 1 = 16 poligon dengan semua bucu merah.

yang mempunyai bahagian atas merah atau dengan satu bahagian atas biru.

yang mempunyai bahagian atas merah atau dengan satu bahagian atas biru.

8) Satu heksagon dengan bucu merah dan satu bucu biru.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 poligon dengan semua bucu merah atau satu bucu biru.

10) 42 – 16 = 26 poligon menggunakan titik biru.

11) 26 – 16 = 10 poligon – berapa banyak lagi poligon di mana salah satu bucunya ialah titik biru yang ada daripada poligon yang kesemua bucunya hanya berwarna merah.

Jawapan: 10.

Tugasan No. 5- tahap asas bahagian pertama menguji keupayaan untuk menyelesaikan persamaan mudah (tidak rasional, eksponen, trigonometri, logaritma).

Contoh 5. Selesaikan persamaan 2 3 + x= 0.4 5 3 + x .

Penyelesaian. Bagi kedua ruas persamaan ini dengan 5 3 + X≠ 0, kita dapat

dari mana ia mengikuti bahawa 3 + x = 1, x = –2.

Jawapan: –2.

Tugasan No. 6 dalam planimetri untuk mencari kuantiti geometri (panjang, sudut, luas), memodelkan situasi sebenar dalam bahasa geometri. Kajian model yang dibina menggunakan konsep dan teorem geometri. Punca kesukaran adalah, sebagai peraturan, kejahilan atau aplikasi yang salah terhadap teorem planimetri yang diperlukan.

Luas segi tiga ABC sama dengan 129. DE– garis tengah selari dengan sisi AB. Cari luas trapezoid SEBUAH KATIL.

Penyelesaian. Segi tiga CDE serupa dengan segi tiga TEKSI pada dua sudut, sejak sudut pada bucu C umum, sudut СDE sama dengan sudut TEKSI sebagai sudut sepadan pada DE || AB sekan A.C.. Kerana DE ialah garis tengah segitiga mengikut syarat, kemudian dengan sifat garis tengah | DE = (1/2)AB. Ini bermakna pekali persamaan ialah 0.5. Oleh itu, kawasan bagi angka yang serupa dikaitkan sebagai kuasa dua pekali persamaan

Oleh itu, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tugasan No. 7- menyemak penggunaan derivatif kepada kajian fungsi. Pelaksanaan yang berjaya memerlukan pengetahuan yang bermakna dan tidak formal tentang konsep derivatif.

Contoh 7. Kepada graf fungsi y = f(x) pada titik absis x 0 tangen dilukis yang berserenjang dengan garis yang melalui titik (4; 3) dan (3; –1) graf ini. Cari f′( x 0).

Penyelesaian. 1) Mari kita gunakan persamaan garis yang melalui dua titik yang diberi dan cari persamaan garis yang melalui titik (4; 3) dan (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, di mana k 1 = 4.

2) Cari kecerunan tangen k 2, yang berserenjang dengan garis y = 4x– 13, di mana k 1 = 4, mengikut formula:

3) Sudut tangen ialah terbitan bagi fungsi pada titik tangen. Bermaksud, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Jawapan: –0,25.

Tugasan No. 8- menguji pengetahuan peserta peperiksaan tentang stereometri asas, keupayaan untuk menggunakan formula untuk mencari luas permukaan dan isipadu angka, sudut dihedral, membandingkan isipadu angka yang serupa, dapat melakukan tindakan dengan angka geometri, koordinat dan vektor, dsb.

Isipadu kubus yang dihadkan mengelilingi sfera ialah 216. Cari jejari sfera itu.

Penyelesaian. 1) V kubus = a 3 (di mana A– panjang tepi kubus), oleh itu

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Oleh kerana sfera itu ditulis dalam kubus, ia bermakna panjang diameter sfera adalah sama dengan panjang tepi kubus, oleh itu d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tugasan No. 9- memerlukan graduan mempunyai kemahiran untuk mengubah dan memudahkan ungkapan algebra. Tugasan No. 9 tahap kesukaran yang meningkat dengan jawapan pendek. Tugas dari bahagian "Pengiraan dan Transformasi" dalam Peperiksaan Negeri Bersatu dibahagikan kepada beberapa jenis:

transformasi ungkapan rasional berangka;

menukar ungkapan algebra dan pecahan;

penukaran ungkapan tidak rasional angka/huruf;

tindakan dengan darjah;

menukar ungkapan logaritma;

1. menukar ungkapan trigonometri angka/huruf.

Contoh 9. Kira tanα jika diketahui cos2α = 0.6 dan

Penyelesaian. 1) Mari kita gunakan formula hujah berganda: cos2α = 2 cos 2 α – 1 dan cari

Ini bermakna tan 2 α = ± 0.5.

3) Mengikut syarat

ini bermakna α ialah sudut suku kedua dan tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Jawapan: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tugasan No. 10- menguji keupayaan pelajar untuk menggunakan pengetahuan dan kemahiran awal yang diperolehi dalam aktiviti praktikal dan kehidupan seharian. Kita boleh mengatakan bahawa ini adalah masalah dalam fizik, dan bukan dalam matematik, tetapi semua formula dan kuantiti yang diperlukan diberikan dalam keadaan. Masalahnya bermuara kepada menyelesaikan persamaan linear atau kuadratik, atau ketaksamaan linear atau kuadratik. Oleh itu, adalah perlu untuk dapat menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan tersebut dan menentukan jawapannya. Jawapan mesti diberikan sebagai nombor bulat atau pecahan perpuluhan terhingga.

Dua jasad jisim m= 2 kg setiap satu, bergerak pada kelajuan yang sama v= 10 m/s pada sudut 2α antara satu sama lain. Tenaga (dalam joule) yang dibebaskan semasa perlanggaran tidak anjal mutlaknya ditentukan oleh ungkapan Q = mv 2 dosa 2 α. Pada sudut terkecil 2α (dalam darjah) manakah jasad mesti bergerak supaya sekurang-kurangnya 50 joule dilepaskan akibat perlanggaran itu?
Penyelesaian. Untuk menyelesaikan masalah, kita perlu menyelesaikan ketaksamaan Q ≥ 50, pada selang 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Oleh kerana α ∈ (0°; 90°), kita hanya akan menyelesaikannya

Mari kita wakili penyelesaian kepada ketidaksamaan secara grafik:

Oleh kerana dengan keadaan α ∈ (0°; 90°), ia bermakna 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tugasan No. 11- adalah tipikal, tetapi ternyata sukar untuk pelajar. Sumber utama kesukaran ialah pembinaan model matematik (merangka persamaan). Tugasan No. 11 menguji kebolehan menyelesaikan masalah perkataan.

Contoh 11. Semasa cuti musim bunga, pelajar kelas 11 Vasya terpaksa menyelesaikan 560 masalah latihan untuk bersedia menghadapi Peperiksaan Negeri Bersepadu. Pada 18 Mac, pada hari terakhir sekolah, Vasya menyelesaikan 5 masalah. Kemudian setiap hari dia menyelesaikan masalah yang sama lebih banyak daripada hari sebelumnya. Tentukan berapa banyak masalah yang diselesaikan Vasya pada 2 April, hari terakhir cuti.

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Jawapan: 65.

Tugasan No. 12- mereka menguji kebolehan pelajar untuk melaksanakan operasi dengan fungsi, dan boleh menggunakan terbitan untuk kajian fungsi.

Cari titik maksimum bagi fungsi tersebut y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Penyelesaian: 1) Cari domain takrifan fungsi: x + 9 > 0, x> –9, iaitu x ∈ (–9; ∞).

2) Cari terbitan bagi fungsi:

4) Titik yang ditemui tergolong dalam selang (–9; ∞). Mari tentukan tanda-tanda terbitan fungsi dan gambarkan kelakuan fungsi dalam rajah:

Titik maksimum yang dikehendaki x = –8.

a) Selesaikan persamaan 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2kos x) + 2 = 0

b) Cari semua punca persamaan ini yang tergolong dalam segmen itu.

Penyelesaian: a) Biarkan log 3 (2cos x) = t, kemudian 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Cari akar yang terletak pada ruas .

Rajah menunjukkan bahawa akar segmen yang diberikan adalah milik

Diameter bulatan tapak silinder ialah 20, generatriks silinder ialah 28. Satah memotong tapaknya sepanjang kord panjang 12 dan 16. Jarak antara kord ialah 2√197.

a) Buktikan bahawa pusat tapak silinder terletak pada satu sisi satah ini.

b) Cari sudut di antara satah ini dengan satah tapak silinder.

Penyelesaian: a) Satu kord panjang 12 berada pada jarak = 8 dari pusat bulatan tapak, dan kord panjang 16, begitu juga, berada pada jarak 6. Oleh itu, jarak antara unjuran mereka pada satah selari dengan tapak silinder sama ada 8 + 6 = 14, atau 8 − 6 = 2.

Kemudian jarak antara kord adalah sama ada

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Mengikut keadaan, kes kedua telah direalisasikan, di mana unjuran kord terletak pada satu sisi paksi silinder. Ini bermakna paksi tidak bersilang satah ini di dalam silinder, iaitu tapak terletak pada satu sisinya. Apa yang perlu dibuktikan.

b) Mari kita nyatakan pusat tapak sebagai O 1 dan O 2. Mari kita lukis dari pusat tapak dengan kord panjang 12 pembahagi dua serenjang dengan kord ini (ia mempunyai panjang 8, seperti yang telah dinyatakan) dan dari pusat tapak yang satu lagi ke kord yang satu lagi. Mereka terletak pada satah β yang sama, berserenjang dengan kord ini. Mari kita panggil titik tengah kord yang lebih kecil B, kord yang lebih besar A dan unjuran A ke tapak kedua - H (H ∈ β). Kemudian AB,AH ∈ β dan oleh itu AB,AH berserenjang dengan kord, iaitu garis lurus persilangan tapak dengan satah yang diberi.

Ini bermakna sudut yang diperlukan adalah sama dengan

Tugasan No. 15- peningkatan tahap kerumitan dengan jawapan terperinci, menguji keupayaan untuk menyelesaikan ketidaksamaan, yang paling berjaya diselesaikan di antara tugas dengan jawapan terperinci tentang peningkatan tahap kerumitan.

Contoh 15. Selesaikan ketaksamaan | x 2 – 3x| log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Penyelesaian: Domain takrifan ketaksamaan ini ialah selang (–1; +∞). Pertimbangkan tiga kes secara berasingan:

1) Biarkan x 2 – 3x= 0, i.e. X= 0 atau X= 3. Dalam kes ini, ketidaksamaan ini menjadi benar, oleh itu, nilai-nilai ini dimasukkan ke dalam penyelesaian.

2) Biarkan sekarang x 2 – 3x> 0, iaitu x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Selain itu, ketidaksamaan ini boleh ditulis semula sebagai ( x 2 – 3x) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 dan bahagikan dengan ungkapan positif x 2 – 3x. Kami mendapat log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0.5 –1 atau x≤ –0.5. Dengan mengambil kira domain definisi, kami ada x ∈ (–1; –0,5].

3) Akhir sekali, pertimbangkan x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Dalam kes ini, ketidaksamaan asal akan ditulis semula dalam bentuk (3 x – x 2) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Selepas membahagi dengan positif 3 x – x 2 , kita dapat log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Mengambil kira rantau ini, kami ada x ∈ (0; 1].

Menggabungkan penyelesaian yang diperoleh, kami memperoleh x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Jawapan: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tugasan No. 16- tahap lanjutan merujuk kepada tugasan di bahagian kedua dengan jawapan terperinci. Tugasan menguji keupayaan untuk melakukan tindakan dengan bentuk geometri, koordinat dan vektor. Tugas itu mengandungi dua mata. Pada titik pertama, tugas mesti dibuktikan, dan pada titik kedua, dikira.

Dalam segi tiga sama kaki ABC dengan sudut 120°, pembahagi dua BD dilukis pada bucu A. Segi empat tepat DEFH ditulis dalam segi tiga ABC supaya sisi FH terletak pada segmen BC, dan bucu E terletak pada segmen AB. a) Buktikan bahawa FH = 2DH. b) Cari luas segi empat tepat DEFH jika AB = 4.

Penyelesaian: A)

1) ΔBEF – segi empat tepat, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, kemudian EF = BE dengan sifat kaki yang terletak bertentangan dengan sudut 30°.

2) Biarkan EF = DH = x, maka BE = 2 x, BF = x√3 mengikut teorem Pythagoras.

3) Oleh kerana ΔABC ialah sama kaki, ia bermakna ∠B = ∠C = 30˚.

BD ialah pembahagi dua bagi ∠B, yang bermaksud ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Pertimbangkan ΔDBH - segi empat tepat, kerana DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Jawapan: 24 – 12√3.

Contoh 17. Deposit sebanyak 20 juta rubel dirancang untuk dibuka selama empat tahun. Pada akhir setiap tahun, bank meningkatkan deposit sebanyak 10% berbanding saiznya pada awal tahun. Di samping itu, pada awal tahun ketiga dan keempat, pelabur setiap tahun menambah deposit dengan X juta rubel, di mana X - keseluruhan nombor. Cari nilai terbesar X, di mana bank akan mengakru kurang daripada 17 juta rubel kepada deposit dalam tempoh empat tahun.

Penyelesaian: Pada akhir tahun pertama, sumbangan akan menjadi 20 + 20 · 0.1 = 22 juta rubel, dan pada akhir tahun kedua - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 juta rubel. Pada awal tahun ketiga, sumbangan (dalam juta rubel) akan menjadi (24.2 + X), dan pada akhir - (24.2 + X) + (24,2 + X)· 0.1 = (26.62 + 1.1 X). Pada awal tahun keempat sumbangannya ialah (26.62 + 2.1 X), dan pada akhirnya - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0.1 = (29.282 + 2.31 X). Mengikut syarat, anda perlu mencari integer terbesar x yang mana ketaksamaan itu dipegang

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Penyelesaian integer terbesar untuk ketaksamaan ini ialah nombor 24.

Jawapan: 24.

pada apa a sistem ketidaksamaan

mempunyai dua penyelesaian?

Penyelesaian: Sistem ini boleh ditulis semula dalam bentuk

Jika kita melukis pada satah set penyelesaian kepada ketaksamaan pertama, kita mendapat bahagian dalam bulatan (dengan sempadan) jejari 1 dengan pusat pada titik (0, A). Set penyelesaian kepada ketaksamaan kedua ialah bahagian satah yang terletak di bawah graf fungsi y = | x| – a, dan yang terakhir ialah graf bagi fungsi tersebut
y = | x| , beralih ke bawah oleh A. Penyelesaian kepada sistem ini ialah persilangan set penyelesaian kepada setiap ketaksamaan.

Akibatnya, sistem ini akan mempunyai dua penyelesaian hanya dalam kes yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.

Titik sentuhan bulatan dengan garisan akan menjadi dua penyelesaian sistem. Setiap garis lurus condong ke paksi pada sudut 45°. Jadi ia adalah segi tiga PQR– segi empat sama kaki. titik Q mempunyai koordinat (0, A), dan intinya R– koordinat (0, – A). Di samping itu, segmen PR Dan PQ sama dengan jejari bulatan sama dengan 1. Ini bermakna

biarlah Sn jumlah P sebutan bagi janjang aritmetik ( a p). Adalah diketahui bahawa S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Berikan formula P penggal ke-kemajuan ini.

b) Cari jumlah mutlak terkecil S n.

c) Cari yang terkecil P, di mana S n akan menjadi kuasa dua integer.

Penyelesaian: a) Jelas sekali a n = S n – S n- 1 . Dengan menggunakan formula ini, kita dapat:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Bermaksud, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Sejak S n = 2n 2 – 25n, kemudian pertimbangkan fungsi S(x) = | 2x 2 – 25x|. Grafnya boleh dilihat dalam rajah.

Jelas sekali, nilai terkecil dicapai pada titik integer yang terletak paling hampir dengan sifar fungsi. Jelas sekali ini adalah mata X= 1, X= 12 dan X= 13. Sejak, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, maka nilai terkecil ialah 12.

c) Daripada perenggan sebelumnya ia mengikuti bahawa Sn positif, bermula dari n= 13. Sejak S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), maka kes yang jelas, apabila ungkapan ini ialah segi empat sama sempurna, direalisasikan apabila n = 2n– 25, iaitu pada P= 25.

Ia tetap untuk menyemak nilai dari 13 hingga 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Ternyata untuk nilai yang lebih kecil P segi empat sama lengkap tidak dicapai.

Jawapan: A) a n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Sejak Mei 2017, kumpulan penerbitan bersatu "DROFA-VENTANA" telah menjadi sebahagian daripada perbadanan Buku Teks Rusia. Perbadanan itu juga termasuk rumah penerbitan Astrel dan platform pendidikan digital LECTA. Alexander Brychkin, lulusan Akademi Kewangan di bawah Kerajaan Persekutuan Rusia, Calon Sains Ekonomi, ketua projek inovatif rumah penerbitan DROFA dalam bidang pendidikan digital (bentuk elektronik buku teks, Sekolah Elektronik Rusia, platform pendidikan digital LECTA) dilantik sebagai Pengarah Besar. Sebelum menyertai rumah penerbitan DROFA, beliau memegang jawatan naib presiden untuk pembangunan strategik dan pelaburan syarikat penerbitan EKSMO-AST. Hari ini, syarikat penerbitan "Buku Teks Rusia" mempunyai portfolio terbesar buku teks yang termasuk dalam Senarai Persekutuan - 485 tajuk (kira-kira 40%, tidak termasuk buku teks untuk sekolah khas). Rumah penerbitan perbadanan itu memiliki set buku teks paling popular di sekolah Rusia dalam fizik, lukisan, biologi, kimia, teknologi, geografi, astronomi - bidang pengetahuan yang diperlukan untuk pembangunan potensi produktif negara. Portfolio perbadanan itu termasuk buku teks dan alat bantu mengajar untuk sekolah rendah, yang dianugerahkan Anugerah Presiden dalam bidang pendidikan. Ini adalah buku teks dan manual dalam bidang subjek yang diperlukan untuk pembangunan potensi saintifik, teknikal dan pengeluaran Rusia.

Dalam tugasan No. 9 Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik peringkat profil, kita perlu mengubah ungkapan dan melakukan pengiraan asas. Selalunya, ungkapan trigonometri ditemui dalam bahagian ini, jadi untuk berjaya menyelesaikannya anda perlu mengetahui formula pengurangan dan identiti trigonometri yang lain.

Analisis pilihan biasa untuk tugas No. 9 Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik di peringkat profil

Versi pertama tugasan (demo versi 2018)

Cari sin2α jika cosα = 0.6 dan π< α < 2π.

Algoritma penyelesaian:

1. Cari nilai sinus bagi sudut tertentu.
2. Kami mengira nilai sin2α.
3. Kami menulis jawapannya.

Penyelesaian:

1. α terletak pada suku ketiga atau keempat, yang bermaksud sinus sudut adalah negatif. Mari kita gunakan identiti trigonometri asas:

2. Menggunakan formula sinus sudut dua kali: sin2α = 2sinαcosα = 2∙(-0.8)∙0.6 = -0.96

Jawapan: -0.96.

Versi kedua tugas (dari Yashchenko, No. 1)

Cari jika .

Algoritma penyelesaian:

1. Mari kita ubah formula kosinus sudut berganda.
2. Kami mengira kosinus.
3. Kami menulis jawapannya.

Penyelesaian:

1. Ubah formula kosinus sudut berganda:

2. Kira kosinus bagi sudut 2α yang dikehendaki, didarab dengan 25, menggantikan nilai yang diberi bagi kosinus sudut α

Versi ketiga tugasan (dari Yashchenko, No. 16)

Cari maksud ungkapan tersebut .

Algoritma penyelesaian:

1. Mari kita lihat ungkapannya.
2. Kami menggunakan sifat fungsi trigonometri untuk menentukan nilai sinus dan kosinus sudut tertentu.
3. Kami mengira nilai ungkapan.
4. Kami menulis jawapannya.

Penyelesaian:

1. Ungkapan ialah hasil darab nombor dan nilai fungsi trigonometri sudut negatif.

2. Mari kita gunakan formula:

3. Kemudian kita dapat:

Jawapan: -23.

Versi keempat tugas (dari Yashchenko)

Cari maksud ungkapan tersebut.

Algoritma penyelesaian:

1. Mari analisa ungkapan tersebut.
2. Kami mengubah dan menilai ungkapan itu.
3. Kami menulis jawapannya.

Penyelesaian:

1. Ungkapan mengandungi dua punca. Di bawah punca pengangka adalah perbezaan kuasa dua. Untuk memudahkan pengiraan, anda boleh memfaktorkan perbezaan kuasa dua menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan.

Mari kita lihat tugas biasa OGE ke-9 dalam matematik. Topik tugasan 9 ialah statistik dan kebarangkalian. Tugas itu tidak sukar walaupun bagi seseorang yang tidak biasa dengan teori atau statistik kebarangkalian.

Biasanya kami ditawarkan satu set perkara - epal, gula-gula, cawan, atau apa sahaja yang berbeza dalam warna atau kualiti lain. Kita perlu menganggarkan kebarangkalian seseorang mendapat satu daripada kelas perkara. Tugasan datang untuk mengira jumlah bilangan perkara, dan kemudian membahagikan bilangan perkara kelas yang diperlukan dengan jumlah bilangan.

Jadi, mari kita beralih kepada mempertimbangkan pilihan biasa.

Analisis pilihan biasa untuk tugasan No. 9 OGE dalam matematik

Versi pertama tugasan

Nenek mempunyai 20 cawan: 6 dengan bunga merah, selebihnya dengan biru. Nenek menuang teh ke dalam cawan yang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa ia akan menjadi cawan dengan bunga biru.

Penyelesaian:

Seperti yang dinyatakan di atas, kita dapati jumlah cawan - dalam kes ini ia diketahui dengan syarat - 20 cawan. Kita perlu mencari bilangan cawan biru:

Sekarang kita boleh mencari kebarangkalian:

14 / 20 = 7 / 10 = 0,7

Versi kedua tugasan

Kedai alat tulis itu menjual 138 pen, di mana 34 adalah merah, 23 berwarna hijau, 11 berwarna ungu, ada juga biru dan hitam, jumlahnya sama banyak. Cari kebarangkalian bahawa jika satu pen dipilih secara rawak, sama ada pen merah atau hitam akan dipilih.

Penyelesaian:

Mari kita cari bilangan pen hitam dahulu; untuk melakukan ini, tolak semua warna yang diketahui daripada jumlah nombor dan bahagikan dengan dua, kerana terdapat bilangan pen biru dan hitam yang sama:

(138 - 34 - 23 - 11) / 2 = 35

Selepas ini, kita boleh mencari kebarangkalian dengan menambah bilangan hitam dan merah, membahagikan dengan jumlah nombor:

(35 + 34) / 138 = 0,5

Versi ketiga tugasan

Syarikat teksi itu kini mempunyai 12 kereta yang tersedia: 1 hitam, 3 kuning dan 8 hijau. Salah sebuah kereta yang kebetulan berada paling hampir dengan pelanggan, menjawab panggilan tersebut. Cari kebarangkalian bahawa teksi kuning akan datang kepadanya.

Penyelesaian:

Mari cari jumlah bilangan kereta:

Sekarang mari kita anggarkan kebarangkalian dengan membahagikan bilangan kuning dengan jumlah bilangan:

Jawapan: 0.25

Versi demo OGE 2019

Di atas pinggan terdapat pai yang kelihatan sama: 4 dengan daging, 8 dengan kubis dan 3 dengan epal. Petya memilih satu pai secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa pai itu mengandungi epal.

Penyelesaian:

Masalah klasik dalam teori kebarangkalian. Dalam kes kami, hasil yang berjaya adalah pai epal. Terdapat 3 pai dengan epal, dan sejumlah pai:

Kebarangkalian untuk mencari pai epal ialah bilangan pai epal dibahagikan dengan jumlah bilangan:

3 / 15 = 0.2 atau 20%

Versi keempat tugasan

Kebarangkalian bahawa pencetak baharu akan bertahan lebih daripada setahun ialah 0.95. Kebarangkalian ia akan bertahan dua tahun atau lebih ialah 0.88. Cari kebarangkalian bahawa ia akan bertahan kurang daripada dua tahun, tetapi tidak kurang daripada setahun.

Penyelesaian:

Mari kita perkenalkan penetapan acara:

X - pencetak akan bertahan "lebih daripada 1 tahun";

Y - pencetak akan bertahan "2 tahun atau lebih";

Z - pencetak akan bertahan "sekurang-kurangnya 1 tahun, tetapi kurang daripada 2 tahun."

Kami menganalisis. Peristiwa Y dan Z adalah bebas, kerana mengecualikan satu sama lain. Peristiwa X akan berlaku dalam apa jua keadaan, i.e. kedua-duanya apabila berlakunya peristiwa Y dan kejadian Z. Sesungguhnya, "lebih daripada 1 tahun" bermaksud "2 tahun", dan "lebih daripada 2 tahun", dan "kurang daripada 2 tahun, tetapi tidak kurang daripada 1 tahun" .

P(X)=P(Y)+P(Z).

Mengikut syarat tersebut, kebarangkalian peristiwa X (iaitu “lebih daripada setahun”) ialah 0.95, peristiwa Y (iaitu “2 tahun atau lebih”) ialah 0.88.

Mari kita gantikan data berangka ke dalam formula:

Kita mendapatkan:

Р(Z)=0.95–0.88=0.07

Р(Z) – peristiwa yang diingini.

Jawapan: 0.07

Versi kelima tugasan

Di meja bulat dengan 9 kerusi, 7 lelaki dan 2 perempuan duduk secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa gadis-gadis itu akan berada di tempat bersebelahan.

Penyelesaian:

Untuk mengira kebarangkalian, kami menggunakan formula klasiknya:

di mana m ialah bilangan hasil yang menggalakkan untuk peristiwa yang diingini, n ialah jumlah bilangan semua hasil yang mungkin.

Salah seorang gadis (yang duduk dahulu) mengambil kerusi dengan sewenang-wenangnya. Ini bermakna untuk yang lain terdapat 9-1=8 kerusi untuk diduduki. Itu. bilangan semua pilihan yang mungkin untuk acara ialah n=8.

Gadis yang lain harus mengambil salah satu daripada 2 kerusi bersebelahan dengan yang pertama. Hanya keadaan sedemikian boleh dianggap sebagai hasil yang menggalakkan daripada acara tersebut. Ini bermakna bilangan hasil yang menggalakkan ialah m=2.

Kami menggantikan data ke dalam formula untuk mengira kebarangkalian: