Menyelesaikan persamaan eksponen. Contoh

Contoh:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen

Apabila menyelesaikan sebarang persamaan eksponen, kami berusaha untuk membawanya ke bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\), dan kemudian membuat peralihan kepada kesamaan eksponen, iaitu:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Sebagai contoh:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Penting! Dari logik yang sama, dua keperluan untuk peralihan sedemikian mengikuti:
- nombor dalam kiri dan kanan hendaklah sama;
- darjah di kiri dan kanan mestilah "tulen", iaitu, tidak sepatutnya berlaku pendaraban, pembahagian, dsb.

Sebagai contoh:

Untuk mengurangkan persamaan kepada bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\) dan digunakan.

Contoh . Selesaikan persamaan eksponen \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Penyelesaian:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Kita tahu bahawa \(27 = 3^3\). Dengan mengambil kira ini, kami mengubah persamaan.

\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Dengan sifat punca \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) kita memperolehi bahawa \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Seterusnya, menggunakan sifat darjah \((a^b)^c=a^(bc)\), kita memperoleh \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Kita juga tahu bahawa \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Menggunakan ini ke sebelah kiri, kita dapat: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).

\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Sekarang ingat bahawa: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Formula ini juga boleh digunakan dalam arah yang bertentangan: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Kemudian \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)

Menggunakan sifat \((a^b)^c=a^(bc)\) ke sebelah kanan, kita memperoleh: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)

Dan kini pangkalan kami adalah sama dan tidak ada pekali yang mengganggu, dsb. Jadi kita boleh membuat peralihan.

Contoh . Selesaikan persamaan eksponen \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
Penyelesaian:

\(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)		Kami sekali lagi menggunakan sifat kuasa \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) dalam arah yang bertentangan.
\(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\)		Sekarang ingat bahawa \(4=2^2\).
\((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\)		Menggunakan sifat darjah, kami mengubah: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\)
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)		Kami melihat dengan teliti pada persamaan dan melihat bahawa penggantian \(t=2^x\) mencadangkan dirinya sendiri.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		Walau bagaimanapun, kami telah menemui nilai \(t\), dan kami memerlukan \(x\). Kami kembali ke X, membuat penggantian terbalik.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		Mari kita ubah persamaan kedua menggunakan sifat kuasa negatif...
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		... dan kami membuat keputusan sehingga jawapannya.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Jawab : \(-1; 1\).

Persoalannya kekal - bagaimana untuk memahami bila menggunakan kaedah yang mana? Ini datang dengan pengalaman. Sehingga anda telah membangunkannya, gunakan pengesyoran am untuk menyelesaikan masalah yang rumit - "jika anda tidak tahu apa yang perlu dilakukan, lakukan apa yang anda boleh." Iaitu, cari bagaimana anda boleh mengubah persamaan pada dasarnya, dan cuba lakukannya - bagaimana jika apa yang berlaku? Perkara utama ialah membuat hanya transformasi berasaskan matematik.

Persamaan eksponen tanpa penyelesaian

Mari kita lihat dua lagi situasi yang sering mengelirukan pelajar:
- nombor positif kepada kuasa adalah sama dengan sifar, contohnya, \(2^x=0\);
- nombor positif adalah sama dengan kuasa nombor negatif, contohnya, \(2^x=-4\).

Mari cuba selesaikan dengan kekerasan. Jika x ialah nombor positif, maka apabila x bertambah, keseluruhan kuasa \(2^x\) hanya akan meningkat:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Juga oleh. X negatif kekal. Mengingati harta \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), kita semak:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

Walaupun bilangannya menjadi lebih kecil dengan setiap langkah, ia tidak akan mencapai sifar. Jadi tahap negatif tidak menyelamatkan kami. Kami sampai pada kesimpulan yang logik:

Nombor positif ke mana-mana tahap akan kekal sebagai nombor positif.

Oleh itu, kedua-dua persamaan di atas tidak mempunyai penyelesaian.

Persamaan eksponen dengan asas yang berbeza

Dalam amalan, kadangkala kita menghadapi persamaan eksponen dengan asas berbeza yang tidak boleh dikurangkan antara satu sama lain, dan pada masa yang sama dengan eksponen yang sama. Ia kelihatan seperti ini: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), dengan \(a\) dan \(b\) ialah nombor positif.

Sebagai contoh:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

Persamaan sedemikian boleh diselesaikan dengan mudah dengan membahagikan dengan mana-mana sisi persamaan (biasanya dibahagikan dengan bahagian kanan, iaitu, dengan \(b^(f(x))\). Anda boleh membahagi dengan cara ini kerana nombor positif adalah positif kepada mana-mana kuasa (iaitu, kita tidak bahagi dengan sifar) Kita dapat:

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

Contoh . Selesaikan persamaan eksponen \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Penyelesaian:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		Di sini kita tidak akan dapat menukar lima kepada tiga, atau sebaliknya (sekurang-kurangnya tanpa menggunakan ). Ini bermakna kita tidak boleh datang ke bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Walau bagaimanapun, penunjuk adalah sama. Mari bahagikan persamaan dengan sebelah kanan, iaitu, dengan \(3^(x+7)\) (kita boleh melakukan ini kerana kita tahu bahawa tiga tidak akan menjadi sifar pada sebarang darjah).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		Sekarang ingat sifat \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) dan gunakannya dari kiri ke arah yang bertentangan. Di sebelah kanan, kita hanya mengurangkan pecahan.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		Nampaknya keadaan tidak menjadi lebih baik. Tetapi ingat satu lagi sifat kuasa: \(a^0=1\), dengan kata lain: "sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan \(1\)." Sebaliknya juga benar: "satu boleh diwakili sebagai sebarang nombor kepada kuasa sifar." Mari kita manfaatkan ini dengan menjadikan tapak di sebelah kanan sama seperti di sebelah kiri.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		Voila! Mari kita singkirkan asas.
		Kami sedang menulis jawapan.

Jawab : \(-7\).

Kadangkala "kesamaan" eksponen tidak jelas, tetapi penggunaan mahir sifat eksponen menyelesaikan isu ini.

Contoh . Selesaikan persamaan eksponen \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Penyelesaian:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Persamaan kelihatan sangat menyedihkan... Bukan sahaja asas tidak boleh dikurangkan kepada nombor yang sama (tujuh sama sekali tidak akan sama dengan \(\frac(1)(3)\)), tetapi juga eksponen adalah berbeza. .. Walau bagaimanapun, mari kita gunakan deuce eksponen kiri.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Mengingati sifat \((a^b)^c=a^(b·c)\) , kita ubah dari kiri: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Sekarang, mengingati sifat darjah negatif \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), kita ubah dari kanan: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		Haleluya! Penunjuk adalah sama! Bertindak mengikut skema yang sudah biasa kepada kita, kita selesaikan sebelum jawapannya.

Jawab : \(2\).

Menyelesaikan kebanyakan masalah matematik dalam satu cara atau yang lain melibatkan mengubah ungkapan berangka, algebra atau fungsi. Perkara di atas terpakai terutamanya untuk keputusan. Dalam versi Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik, jenis masalah ini termasuk, khususnya, tugasan C3. Belajar untuk menyelesaikan tugasan C3 adalah penting bukan sahaja untuk tujuan berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu, tetapi juga kerana kemahiran ini berguna apabila belajar kursus matematik di sekolah menengah.

Apabila menyelesaikan tugasan C3, anda perlu menyelesaikan pelbagai jenis persamaan dan ketaksamaan. Antaranya ialah rasional, tidak rasional, eksponen, logaritma, trigonometri, mengandungi modul (nilai mutlak), serta gabungan. Artikel ini membincangkan jenis utama persamaan eksponen dan ketaksamaan, serta pelbagai kaedah untuk menyelesaikannya. Baca tentang menyelesaikan jenis persamaan dan ketaksamaan lain dalam bahagian "" dalam artikel yang dikhaskan untuk kaedah untuk menyelesaikan masalah C3 daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik.

Sebelum kita mula menganalisis khusus persamaan eksponen dan ketaksamaan, sebagai tutor matematik, saya cadangkan anda mempelajari beberapa bahan teori yang kami perlukan.

Fungsi eksponen

Apakah fungsi eksponen?

Fungsi borang y = a x, Di mana a> 0 dan a≠ 1 dipanggil fungsi eksponen.

asas sifat fungsi eksponen y = a x:

Graf Fungsi Eksponen

Graf bagi fungsi eksponen ialah eksponen:

Graf fungsi eksponen (eksponen)

Menyelesaikan persamaan eksponen

Indikatif dipanggil persamaan di mana pembolehubah yang tidak diketahui hanya terdapat dalam eksponen beberapa kuasa.

Untuk penyelesaian persamaan eksponen anda perlu tahu dan boleh menggunakan teorem mudah berikut:

Teorem 1. Persamaan eksponen a f(x) = a g(x) (Di mana a > 0, a≠ 1) adalah bersamaan dengan persamaan f(x) = g(x).

Di samping itu, adalah berguna untuk mengingati formula asas dan operasi dengan darjah:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Contoh 1. Selesaikan persamaan:

Penyelesaian: Kami menggunakan formula dan penggantian di atas:

Persamaan kemudian menjadi:

Diskriminasi persamaan kuadratik yang terhasil adalah positif:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ini bermakna persamaan ini mempunyai dua punca. Kami dapati mereka:

Bergerak ke penggantian terbalik, kita dapat:

Persamaan kedua tidak mempunyai punca, kerana fungsi eksponen adalah positif sepenuhnya di seluruh domain definisi. Mari kita selesaikan yang kedua:

Dengan mengambil kira apa yang dikatakan dalam Teorem 1, kita beralih kepada persamaan yang setara: x= 3. Ini akan menjadi jawapan kepada tugasan itu.

Jawapan: x = 3.

Contoh 2. Selesaikan persamaan:

Penyelesaian: Persamaan tidak mempunyai sekatan pada julat nilai yang dibenarkan, kerana ungkapan radikal masuk akal untuk sebarang nilai x(fungsi eksponen y = 9 4 -x positif dan tidak sama dengan sifar).

Kami menyelesaikan persamaan dengan transformasi setara menggunakan peraturan pendaraban dan pembahagian kuasa:

Peralihan terakhir telah dijalankan mengikut Teorem 1.

Jawapan:x= 6.

Contoh 3. Selesaikan persamaan:

Penyelesaian: kedua-dua belah persamaan asal boleh dibahagikan dengan 0.2 x. Peralihan ini akan menjadi setara, kerana ungkapan ini lebih besar daripada sifar untuk sebarang nilai x(fungsi eksponen adalah positif sepenuhnya dalam domain definisinya). Kemudian persamaan mengambil bentuk:

Jawapan: x = 0.

Contoh 4. Selesaikan persamaan:

Penyelesaian: kita permudahkan persamaan kepada satu asas dengan menggunakan penjelmaan setara menggunakan peraturan pembahagian dan pendaraban kuasa yang diberikan pada permulaan artikel:

Membahagi kedua-dua belah persamaan dengan 4 x, seperti dalam contoh sebelumnya, adalah transformasi yang setara, kerana ungkapan ini tidak sama dengan sifar untuk sebarang nilai x.

Jawapan: x = 0.

Contoh 5. Selesaikan persamaan:

Penyelesaian: fungsi y = 3x, berdiri di sebelah kiri persamaan, semakin meningkat. Fungsi y = —x-2/3 di sebelah kanan persamaan semakin berkurangan. Ini bermakna jika graf fungsi ini bersilang, maka paling banyak satu titik. Dalam kes ini, mudah untuk meneka bahawa graf bersilang pada titik x= -1. Tidak akan ada akar lain.

Jawapan: x = -1.

Contoh 6. Selesaikan persamaan:

Penyelesaian: kami memudahkan persamaan melalui transformasi setara, dengan mengingati di mana-mana sahaja bahawa fungsi eksponen adalah lebih besar daripada sifar untuk sebarang nilai x dan menggunakan peraturan untuk mengira hasil darab dan hasil bagi kuasa yang diberikan pada permulaan artikel:

Jawapan: x = 2.

Menyelesaikan ketaksamaan eksponen

Indikatif dipanggil ketaksamaan di mana pembolehubah yang tidak diketahui hanya terkandung dalam eksponen beberapa kuasa.

Untuk penyelesaian ketaksamaan eksponen pengetahuan tentang teorem berikut diperlukan:

Teorem 2. Jika a> 1, maka ketaksamaan a f(x) > a g(x) adalah bersamaan dengan ketaksamaan makna yang sama: f(x) > g(x). Jika 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) adalah bersamaan dengan ketaksamaan dengan makna yang bertentangan: f(x) < g(x).

Contoh 7. Selesaikan ketaksamaan:

Penyelesaian: Mari kita bentangkan ketidaksamaan asal dalam bentuk:

Mari kita bahagikan kedua-dua belah ketaksamaan ini dengan 3 2 x, dalam kes ini (disebabkan oleh kepositifan fungsi y= 3 2x) tanda ketidaksamaan tidak akan berubah:

Mari kita gunakan penggantian:

Kemudian ketidaksamaan akan mengambil bentuk:

Jadi, penyelesaian kepada ketaksamaan ialah selang:

berpindah ke penggantian terbalik, kita dapat:

Disebabkan kepositifan fungsi eksponen, ketaksamaan kiri dipenuhi secara automatik. Menggunakan sifat logaritma yang terkenal, kita beralih kepada ketaksamaan setara:

Oleh kerana asas darjah ialah nombor yang lebih besar daripada satu, setara (oleh Teorem 2) ialah peralihan kepada ketaksamaan berikut:

Jadi, akhirnya kita dapat jawapan:

Contoh 8. Selesaikan ketaksamaan:

Penyelesaian: Menggunakan sifat pendaraban dan pembahagian kuasa, kami menulis semula ketaksamaan dalam bentuk:

Mari perkenalkan pembolehubah baharu:

Dengan mengambil kira penggantian ini, ketidaksamaan mengambil bentuk:

Mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan 7, kita memperoleh ketaksamaan setara berikut:

Jadi, nilai pembolehubah berikut memenuhi ketaksamaan t:

Kemudian, beralih ke penggantian terbalik, kita dapat:

Oleh kerana asas darjah di sini adalah lebih besar daripada satu, peralihan kepada ketaksamaan akan menjadi setara (oleh Teorem 2):

Akhirnya kita dapat jawapan:

Contoh 9. Selesaikan ketaksamaan:

Penyelesaian:

Kami membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan ungkapan:

Ia sentiasa lebih besar daripada sifar (disebabkan oleh kepositifan fungsi eksponen), jadi tidak perlu menukar tanda ketaksamaan. Kita mendapatkan:

t terletak dalam selang:

Beralih kepada penggantian terbalik, kami mendapati bahawa ketidaksamaan asal terbahagi kepada dua kes:

Ketaksamaan pertama tidak mempunyai penyelesaian kerana kepositifan fungsi eksponen. Mari kita selesaikan yang kedua:

Contoh 10. Selesaikan ketaksamaan:

Penyelesaian:

Cabang parabola y = 2x+2-x 2 diarahkan ke bawah, oleh itu ia dihadkan dari atas oleh nilai yang dicapai pada puncaknya:

Cabang parabola y = x 2 -2x+2 dalam penunjuk diarahkan ke atas, yang bermaksud ia dihadkan dari bawah oleh nilai yang dicapai pada puncaknya:

Pada masa yang sama, fungsi itu juga ternyata terikat dari bawah y = 3 x 2 -2x+2, yang terletak di sebelah kanan persamaan. Ia mencapai nilai terkecilnya pada titik yang sama dengan parabola dalam eksponen, dan nilai ini ialah 3 1 = 3. Jadi, ketaksamaan asal hanya boleh benar jika fungsi di sebelah kiri dan fungsi di sebelah kanan mengambil nilai , sama dengan 3 (persimpangan julat nilai fungsi ini hanyalah nombor ini). Keadaan ini dipenuhi pada satu titik x = 1.

Jawapan: x= 1.

Untuk belajar membuat keputusan persamaan eksponen dan ketaksamaan, adalah perlu untuk sentiasa melatih dalam menyelesaikannya. Pelbagai alat bantu mengajar, buku masalah dalam matematik rendah, koleksi masalah persaingan, kelas matematik di sekolah, serta pelajaran individu dengan tutor profesional boleh membantu anda dalam tugas yang sukar ini. Saya amat mendoakan kejayaan dalam persiapan dan keputusan cemerlang dalam peperiksaan.

Sergey Valerievich

P.S. Tetamu yang dihormati! Tolong jangan tulis permintaan untuk menyelesaikan persamaan anda dalam ulasan. Malangnya, saya langsung tiada masa untuk ini. Mesej sedemikian akan dipadamkan. Sila baca artikel tersebut. Mungkin di dalamnya anda akan menemui jawapan kepada soalan yang tidak membenarkan anda menyelesaikan tugas anda sendiri.

Fungsi eksponen ialah generalisasi hasil darab n nombor sama dengan a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
kepada set nombor nyata x:
y (x) = kapak.
Di sini a ialah nombor nyata tetap, yang dipanggil asas fungsi eksponen.
Fungsi eksponen dengan asas a juga dipanggil eksponen kepada asas a.

Generalisasi dilakukan seperti berikut.
Untuk x asli = 1, 2, 3,... , fungsi eksponen ialah hasil darab faktor x:
.
Selain itu, ia mempunyai sifat (1.5-8) (), yang mengikut peraturan untuk mendarab nombor. Untuk nilai sifar dan negatif integer, fungsi eksponen ditentukan menggunakan formula (1.9-10). Untuk nilai pecahan x = m/n nombor rasional, , ia ditentukan oleh formula (1.11). Untuk real , fungsi eksponen ditakrifkan sebagai had jujukan:
,
di mana ialah urutan arbitrari nombor rasional menumpu kepada x: .
Dengan takrifan ini, fungsi eksponen ditakrifkan untuk semua , dan memenuhi sifat (1.5-8), seperti untuk x semula jadi.

Rumusan matematik yang teliti bagi definisi fungsi eksponen dan bukti sifatnya diberikan pada halaman "Takrif dan bukti sifat fungsi eksponen".

Sifat Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen y = a x mempunyai sifat berikut pada set nombor nyata ():
(1.1) ditakrifkan dan berterusan, untuk , untuk semua ;
(1.2) untuk ≠ 1 mempunyai banyak makna;
(1.3) meningkat dengan ketat pada , menurun dengan ketat pada ,
adalah malar pada ;
(1.4) pada ;
pada ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Formula lain yang berguna.
.
Formula untuk menukar kepada fungsi eksponen dengan asas eksponen yang berbeza:

Apabila b = e, kita memperoleh ungkapan fungsi eksponen melalui eksponen:

Nilai peribadi

, , , , .

Rajah menunjukkan graf bagi fungsi eksponen
y (x) = kapak
untuk empat nilai asas ijazah: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 dan a = 1/8 . Ia boleh dilihat bahawa untuk > 1 fungsi eksponen meningkat secara monoton. Semakin besar asas darjah a, semakin kuat pertumbuhannya. Pada 0 < a < 1 fungsi eksponen menurun secara monotoni. Semakin kecil eksponen a, semakin kuat penurunannya.

Menaik menurun

Fungsi eksponen untuk adalah monotonik dan oleh itu tidak mempunyai ekstrem. Ciri-ciri utamanya dibentangkan dalam jadual.

	y = a x , a > 1	y = kapak, 0 < a < 1
Domain	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Julat nilai	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monoton	monotonik meningkat	menurun secara monoton
Sifar, y = 0	Tidak	Tidak
Titik pintasan dengan paksi ordinat, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Fungsi songsang

Songsangan bagi fungsi eksponen dengan asas a ialah logaritma kepada asas a.

Jika , maka
.
Jika , maka
.

Pembezaan fungsi eksponen

Untuk membezakan fungsi eksponen, asasnya mesti dikurangkan kepada nombor e, gunakan jadual derivatif dan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks.

Untuk melakukan ini, anda perlu menggunakan sifat logaritma
dan formula daripada jadual terbitan:
.

Biarkan fungsi eksponen diberikan:
.
Kami membawanya ke pangkalan e:

Mari kita gunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks. Untuk melakukan ini, perkenalkan pembolehubah

Kemudian

Daripada jadual derivatif kita ada (gantikan pembolehubah x dengan z):
.
Oleh kerana ialah pemalar, terbitan z berkenaan dengan x adalah sama dengan
.
Mengikut peraturan pembezaan fungsi kompleks:
.

Terbitan bagi fungsi eksponen

.
Terbitan urutan ke-n:
.
Rumus terbitan > > >

Contoh membezakan fungsi eksponen

Cari terbitan bagi suatu fungsi
y = 3 5 x

Penyelesaian

Mari kita nyatakan asas fungsi eksponen melalui nombor e.
3 = e ln 3
Kemudian
.
Masukkan pembolehubah
.
Kemudian

Daripada jadual derivatif kita dapati:
.
Kerana ia 5ln 3 ialah pemalar, maka terbitan z berkenaan dengan x adalah sama dengan:
.
Menurut peraturan pembezaan fungsi kompleks, kita mempunyai:
.

Jawab

kamiran

Ungkapan menggunakan nombor kompleks

Pertimbangkan fungsi nombor kompleks z:
f (z) = a z
di mana z = x + iy; i 2 = - 1 .
Mari kita nyatakan pemalar kompleks a dalam sebutan modulus r dan hujah φ:
a = r e i φ
Kemudian

.
Hujah φ tidak ditakrifkan secara unik. Secara umum
φ = φ 0 + 2 πn,
di mana n ialah integer. Oleh itu fungsi f (z) juga tidak jelas. Kepentingan utamanya sering dipertimbangkan
.

Pengembangan siri

Rujukan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Panduan matematik untuk jurutera dan pelajar kolej, "Lan", 2009.

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada pihak berkuasa kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Pada peringkat persediaan untuk ujian akhir, pelajar sekolah menengah perlu meningkatkan pengetahuan mereka mengenai topik "Persamaan Eksponen." Pengalaman tahun-tahun lepas menunjukkan bahawa tugas-tugas sedemikian menyebabkan kesukaran tertentu untuk pelajar sekolah. Oleh itu, pelajar sekolah menengah, tanpa mengira tahap persediaan mereka, perlu menguasai teori dengan teliti, mengingati formula dan memahami prinsip menyelesaikan persamaan tersebut. Setelah belajar untuk menghadapi jenis masalah ini, graduan boleh mengharapkan markah yang tinggi apabila lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik.

Bersedia untuk ujian peperiksaan dengan Shkolkovo!

Apabila menyemak bahan yang telah dipelajari, ramai pelajar berhadapan dengan masalah mencari formula yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan. Buku teks sekolah tidak selalu ada, dan memilih maklumat yang diperlukan mengenai topik di Internet mengambil masa yang lama.

Portal pendidikan Shkolkovo menjemput pelajar untuk menggunakan pangkalan pengetahuan kami. Kami sedang melaksanakan kaedah yang sama sekali baru untuk persediaan untuk ujian akhir. Dengan belajar di laman web kami, anda akan dapat mengenal pasti jurang dalam pengetahuan dan memberi perhatian kepada tugas-tugas yang paling sukar.

Guru Shkolkovo mengumpul, menyusun dan membentangkan semua bahan yang diperlukan untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam bentuk yang paling mudah dan paling mudah diakses.

Takrif dan formula asas dibentangkan dalam bahagian "Latar belakang teori".

Untuk lebih memahami bahan, kami mengesyorkan agar anda berlatih menyelesaikan tugasan. Semak dengan teliti contoh persamaan eksponen dengan penyelesaian yang dibentangkan pada halaman ini untuk memahami algoritma pengiraan. Selepas itu, teruskan untuk melaksanakan tugas dalam bahagian "Direktori". Anda boleh mulakan dengan tugas yang paling mudah atau pergi terus ke menyelesaikan persamaan eksponen kompleks dengan beberapa yang tidak diketahui atau . Pangkalan data latihan di laman web kami sentiasa ditambah dan dikemas kini.

Contoh-contoh dengan penunjuk yang menyebabkan anda mengalami kesukaran boleh ditambahkan pada "Kegemaran". Dengan cara ini anda boleh mencari mereka dengan cepat dan membincangkan penyelesaiannya dengan guru anda.

Untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu, belajar di portal Shkolkovo setiap hari!