Wat zijn extrema van een functie: kritische punten van maximum en minimum.

Wat is een extremum van een functie en wat is de noodzakelijke voorwaarde voor een extremum?

Het extremum van een functie is het maximum en het minimum van de functie.

De noodzakelijke voorwaarde voor het maximum en minimum (extremum) van de functie is als volgt: als de functie f(x) een extremum heeft in het punt x = a, dan is op dit punt de afgeleide nul of oneindig, of bestaat niet.

Deze voorwaarde is noodzakelijk, maar niet voldoende. De afgeleide in het punt x = a kan verdwijnen, naar oneindig gaan of niet bestaan zonder dat de functie op dit punt een extremum heeft.

Wat is de voldoende voorwaarde voor het uiterste van de functie (maximum of minimum)?

Eerste voorwaarde:

Als, in voldoende nabijheid van het punt x = a, de afgeleide f?(x) positief is links van a en negatief rechts van a, dan heeft in het punt x = a zelf de functie f(x) maximum

Als, in voldoende nabijheid van het punt x = a, de afgeleide f?(x) negatief is links van a en positief rechts van a, dan heeft in het punt x = a zelf de functie f(x) minimum op voorwaarde dat de functie f(x) hier continu is.

In plaats daarvan kunt u de tweede voldoende voorwaarde gebruiken voor het uiterste van de functie:

Laat op het punt x = en de eerste afgeleide f? (x) verdwijnt; als de tweede afgeleide f??(а) negatief is, dan heeft de functie f(x) een maximum in het punt x = a, als het positief is, dan een minimum.

Wat is het kritieke punt van een functie en hoe vind je deze?

Dit is de waarde van het functieargument waarbij de functie een extremum heeft (d.w.z. maximum of minimum). Om het te vinden, heb je nodig vind de afgeleide functie f?(x) en, door het gelijk te stellen aan nul, los De vergelijking op f?(x) = 0. De wortels van deze vergelijking, evenals die punten waarop de afgeleide van deze functie niet bestaat, zijn kritische punten, d.w.z. de waarden van het argument waarbij er een extremum kan zijn . Ze kunnen gemakkelijk worden geïdentificeerd door te kijken naar: afgeleide grafiek: we zijn geïnteresseerd in die waarden van het argument waarbij de grafiek van de functie de abscis (Ox-as) snijdt en die waarbij de grafiek onderbreekt.

Laten we bijvoorbeeld zoeken naar extremum van de parabool.

Functie y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Functie afgeleide: y?(x) = 6x + 2

We lossen de vergelijking op: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

In dit geval is het kritieke punt x0=-1/3. Voor deze waarde van het argument heeft de functie extreem. Het begrijpen vind, vervangen we het gevonden getal in de uitdrukking voor de functie in plaats van "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Hoe het maximum en minimum van een functie te bepalen, d.w.z. zijn grootste en kleinste waarden?

Als het teken van de afgeleide verandert van "plus" in "min" bij het passeren van het kritieke punt x0, dan is x0 maximum punt; als het teken van de afgeleide verandert van min naar plus, dan is x0 minimum punt; als het teken niet verandert, dan is er op het punt x0 noch een maximum noch een minimum.

Voor het overwogen voorbeeld:

We nemen een willekeurige waarde van het argument links van het kritieke punt: x = -1

Als x = -1, is de waarde van de afgeleide y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (d.w.z. het minteken).

Nu nemen we een willekeurige waarde van het argument rechts van het kritieke punt: x = 1

Voor x = 1 is de waarde van de afgeleide y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (d.w.z. het plusteken).

Zoals je kunt zien, veranderde de afgeleide bij het passeren van het kritieke punt van teken van min naar plus. Dit betekent dat we bij de kritische waarde van x0 een minimumpunt hebben.

De grootste en kleinste waarde van de functie op de pauze(op het segment) worden gevonden volgens dezelfde procedure, alleen rekening houdend met het feit dat misschien niet alle kritieke punten binnen het gespecificeerde interval zullen liggen. Die kritische punten die buiten het interval liggen, moeten buiten beschouwing worden gelaten. Als er slechts één kritiek punt binnen het interval is, heeft dit een maximum of een minimum. In dit geval, om de grootste en kleinste waarden van de functie te bepalen, houden we ook rekening met de waarden van de functie aan het einde van het interval.

Laten we bijvoorbeeld de grootste en kleinste waarden van de functie zoeken

y (x) \u003d 3 zonde (x) - 0,5x

met tussenpozen:

Dus de afgeleide van de functie is

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

We lossen de vergelijking 3cos(x) - 0,5 = 0 . op

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

We vinden kritische punten op het interval [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (niet inbegrepen in het interval)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (niet inbegrepen in het interval)

We vinden de waarden van de functie bij kritische waarden van het argument:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0,5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Het is te zien dat op het interval [-9; 9] de functie heeft de grootste waarde bij x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

en de kleinste - bij x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Op de pauze [-6; -3] we hebben maar één kritiek punt: x = -4,88. De waarde van de functie bij x = -4,88 is y = 5,398.

We vinden de waarde van de functie aan het einde van het interval:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Op de pauze [-6; -3] we hebben de grootste waarde van de functie

y = 5,398 bij x = -4,88

de kleinste waarde is

y = 1,077 bij x = -3

Hoe de buigpunten van een functiegrafiek te vinden en de zijden van convexiteit en concaafheid te bepalen?

Om alle buigpunten van de lijn y \u003d f (x) te vinden, moet je de tweede afgeleide vinden, deze gelijkstellen aan nul (de vergelijking oplossen) en al die waarden van x testen waarvoor de tweede afgeleide nul is , oneindig of bestaat niet. Als bij het passeren van een van deze waarden de tweede afgeleide van teken verandert, heeft de grafiek van de functie op dit punt een verbuiging. Als het niet verandert, is er geen verbuiging.

De wortels van de vergelijking f ? (x) = 0, evenals mogelijke discontinuïteitspunten van de functie en de tweede afgeleide, verdelen het domein van de functie in een aantal intervallen. De convexiteit op elk van hun intervallen wordt bepaald door het teken van de tweede afgeleide. Als de tweede afgeleide op een punt op het bestudeerde interval positief is, dan is de lijn y = f(x) hier concaaf naar boven, en als deze negatief is, dan naar beneden.

Hoe vind je extrema van een functie van twee variabelen?

Om de extrema van de functie f(x, y), differentieerbaar in het gebied van zijn toewijzing te vinden, heb je nodig:

1) vind de kritische punten en los hiervoor het stelsel vergelijkingen op

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) onderzoek voor elk kritisch punt P0(a;b) of het teken van het verschil ongewijzigd blijft

voor alle punten (x; y) voldoende dicht bij P0. Als het verschil een positief teken behoudt, dan hebben we op het punt P0 een minimum, indien negatief, dan een maximum. Als het verschil zijn teken niet behoudt, is er geen extremum op het punt Р0.

Evenzo worden de extrema van de functie bepaald voor een groter aantal argumenten.

Wat is de officiële website van de zangeres Mika Newton en haar band?
Nieuw Oekraïens wonder - Mika Newton! Dit is een groep van 5 mensen die pop-rock spelen, genieten van het leven, drive geven en positief naar dit leven kijken. De jongens verzamelden zich in Kiev, waar ze momenteel wonen. De jongens zijn het niet eens met de standaard fundamenten in muziek en leven, ontdekken hun nieuwe sound en breken allerlei standaarden. Teamleider -

Hoe milliliter om te rekenen naar kubieke meter
De basiseenheid van lengte in het SI-systeem is de meter. Op basis hiervan moet de basiseenheid van volume worden beschouwd als een kubieke meter, of, zoals het ook wordt genoemd, een kubieke meter of een kubieke meter. Dit is het volume van een kubus met randen gelijk aan één meter. In de praktijk is het echter niet altijd handig om het volume in kubieke meters uit te drukken. Het is bijvoorbeeld handig om het volume van een kamer in kubieke meters uit te drukken: vermenigvuldig de lengte van

Wat is het caloriegehalte van griesmeel
Calorievoedsel, calorietabel. De menselijke energiebehoefte wordt gemeten in kilocalorieën (kcal). Het woord "calorie" komt uit het Latijn en betekent "warmte". In de natuurkunde wordt energie gemeten in calorieën. Een kilocalorie is de hoeveelheid energie

Wat zijn de ontwikkelingsstadia van realisme in de literatuur?
Realisme (lat. echt, echt) is een trend in literatuur en kunst die ernaar streeft de werkelijkheid in zijn typische kenmerken getrouw weer te geven. Gemeenschappelijke kenmerken: Artistieke weergave van het leven in beelden, overeenkomend met de essentie van de verschijnselen van het leven zelf. De werkelijkheid is een middel om de mens kennis te laten maken met zichzelf en de wereld om hem heen. Typen

Wat is de relatie tussen berkelium en het 117e element van het periodiek systeem?
Berkelium, Berkelium, Bk - het 97e element van het periodiek systeem Ontdekt in december 1949 door Thompson, Ghiorso en Seaborg aan de Universiteit van Californië in Berkeley. Door 241Am te bestralen met alfadeeltjes, verkregen ze de Berkelium-isotoop 243Bk. Omdat Bk structureel vergelijkbaar is met terbium, dat zijn naam ontleent aan de heer Ytterby in

Waar staat Yaroslav de Wijze om bekend?
Yaroslav de Wijze (980-1054), groothertog van Kiev (1019). Zoon van Vladimir I Svyatoslavovich. Hij verdreef Svyatopolk I de Vervloekte, vocht met zijn broer Mstislav, verdeelde de staat met hem (1025) en verenigde het in 1035 opnieuw. Een aantal overwinningen verzekerden de zuidelijke en westelijke grenzen van Rusland. Gevestigde dynastieke banden met veel landen van Ev

Hoe heeft de traditie van het schreeuwen van "Bitter!"
Lang geleden was er een traditie om tijdens het bruiloftsfeest te roepen: "Bitter!", waardoor de pasgetrouwden werden gedwongen op te staan van hun stoelen en te kussen. Tegenwoordig raden velen niet eens wat de betekenis van deze ceremonie is. Vroeger riepen ze op bruiloften "Bitter!", waarmee ze duidelijk maakten dat de wijn in de kommen naar verluidt ongezoet is. MAAR

Wat zijn de symptomen van laryngitis?
Laryngitis (van ander Grieks λ?ρυγξ - strottenhoofd) is een ontsteking van het strottenhoofd, meestal geassocieerd met verkoudheid of infectieziekten zoals mazelen, roodvonk, kinkhoest. De ontwikkeling van de ziekte wordt vergemakkelijkt door onderkoeling, ademen door de mond, stoffig

Of geslacht en verbuiging worden bepaald voor zelfstandige naamwoorden die alleen de meervoudsvorm hebben
Getal is een grammaticale categorie die de kwantitatieve kenmerken van een object uitdrukt. 1. De meeste zelfstandige naamwoorden veranderen met cijfers, d.w.z. Het heeft twee vormen - enkelvoud en meervoud. In het enkelvoud duidt het zelfstandig naamwoord één object aan, in de meervoudsvorm meerdere objecten:

Wat is nuttige Russische pap?
Boekweitpap Boekweit is een bijzondere graansoort. Hieruit blijkt misschien een van de meest bruikbare granen. Geen wonder dat we het de eerste noemen. Boekweit bevat vezels, een hele reeks vitamines - E, PP, B1, B2, foliumzuur en organische zuren, evenals een groot percentage zetmeel, wat bijdraagt aan de opname van de juiste hoeveelheid neo

Een interactieve kaart van de stad Archangelsk kan worden bekeken op de volgende sites: Map1 - satelliet- en standaardkaart Map2 - standaardkaart (1:350.000); Map3 - er staan straatnamen, huisnummers, zoeken op straat is mogelijk; Map4 - plattegrond met straatnamen; Map5 - interactieve plattegrond van de stad; Map6 - interactieve plattegrond van de stad.

Functie uitersten

Definitie 2

Een punt $x_0$ wordt een punt van maximum van de functie $f(x)$ genoemd als er een buurt van dit punt bestaat zodat voor alle $x$ uit deze buurt de ongelijkheid $f(x)\le f(x_0 )$ is tevreden.

Definitie 3

Een punt $x_0$ wordt een punt van maximum van de functie $f(x)$ genoemd als er een buurt van dit punt bestaat zodat voor alle $x$ uit deze buurt de ongelijkheid $f(x)\ge f(x_0 )$ is tevreden.

Het concept van een extremum van een functie hangt nauw samen met het concept van een kritiek punt van een functie. Laten we de definitie ervan introduceren.

Definitie 4

$x_0$ wordt een kritiek punt van de functie $f(x)$ genoemd als:

1) $x_0$ - intern punt van het domein van definitie;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ of bestaat niet.

Voor het concept van een extremum kan men stellingen formuleren over voldoende en noodzakelijke voorwaarden voor het bestaan ervan.

Stelling 2

Voldoende extreme conditie

Laat het punt $x_0$ kritisch zijn voor de functie $y=f(x)$ en in het interval $(a,b)$ liggen. Laat op elk interval $\left(a,x_0\right)\ en\ (x_0,b)$ de afgeleide $f"(x)$ bestaan en een constant teken behouden. Dan:

1) Als op het interval $(a,x_0)$ de afgeleide $f"\left(x\right)>0$, en op het interval $(x_0,b)$ de afgeleide $f"\left(x\ Rechtsaf)

2) Als de afgeleide $f"\left(x\right)0$ op het interval $(a,x_0)$ ligt, dan is het punt $x_0$ het minimumpunt voor deze functie.

3) Als zowel op het interval $(a,x_0)$ als op het interval $(x_0,b)$ de afgeleide $f"\left(x\right) >0$ of de afgeleide $f"\left(x \Rechtsaf)

Deze stelling wordt geïllustreerd in figuur 1.

Figuur 1. Voldoende voorwaarde voor het bestaan van extrema

Voorbeelden van extremen (Fig. 2).

Figuur 2. Voorbeelden van extreme punten

De regel voor het onderzoeken van een functie voor een extremum

2) Zoek de afgeleide $f"(x)$;

7) Trek conclusies over de aanwezigheid van maxima en minima op elk interval, met behulp van Stelling 2.

Functie Oplopend en Aflopend

Laten we eerst de definities van stijgende en dalende functies introduceren.

Definitie 5

Een functie $y=f(x)$ gedefinieerd op een interval $X$ wordt aangeroepen als voor alle punten $x_1,x_2\in X$ voor $x_1

Definitie 6

Een functie $y=f(x)$ gedefinieerd op een interval $X$ wordt aflopend aangeroepen als voor alle punten $x_1,x_2\in X$ voor $x_1f(x_2)$.

Een functie onderzoeken voor verhogen en verlagen

U kunt functies voor toenemen en afnemen onderzoeken met behulp van de afgeleide.

Om een functie te onderzoeken voor intervallen van toename en afname, moet je het volgende doen:

1) Zoek het domein van de functie $f(x)$;

2) Zoek de afgeleide $f"(x)$;

3) Zoek de punten waar de gelijkheid $f"\left(x\right)=0$;

4) Vind punten waar $f"(x)$ niet bestaat;

5) Markeer op de coördinatenlijn alle gevonden punten en het domein van de gegeven functie;

6) Bepaal het teken van de afgeleide $f"(x)$ op elk resulterend interval;

7) Sluit af: op de intervallen waar $f"\left(x\right)0$ de functie toeneemt.

Voorbeelden van problemen voor de studie van functies voor toename, afname en de aanwezigheid van extremumpunten

voorbeeld 1

Onderzoek de functie voor verhogen en verlagen, en de aanwezigheid van punten van maxima en minima: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Omdat de eerste 6 punten hetzelfde zijn, zullen we ze eerst tekenen.

1) Definitiedomein - alle reële getallen;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ bestaat op alle punten van het definitiedomein;

5) Coördinatenlijn:

figuur 3

6) Bepaal het teken van de afgeleide $f"(x)$ op elk interval:

\ \. Zoals bekend bereikt een dergelijke functie zijn maximale en minimale waarden, hetzij op de grens van het segment, hetzij daarbinnen. Als de maximale of minimale waarde van de functie wordt bereikt op het interne punt van het segment, dan is deze waarde het maximum of minimum van de functie, dat wil zeggen dat deze wordt bereikt op kritieke punten.

Zo krijgen we het volgende: de regel voor het vinden van de grootste en kleinste waarden van een functie op het segment [ een, b] :

Vind alle kritische punten van een functie in het interval ( een, b) en bereken de functiewaarden op deze punten.
Bereken de waarden van de functie aan de uiteinden van het segment voor x=a, x=b.
Kies van alle verkregen waarden de grootste en de kleinste.