Hoe te bepalen of lijnen elkaar snijden. Onderlinge rangschikking van lijnen in de ruimte

Oh-oh-oh-oh-oh ... nou, het is blikkerig, alsof je de zin voor jezelf leest =) Maar dan zal ontspanning helpen, vooral sinds ik vandaag geschikte accessoires heb gekocht. Laten we daarom doorgaan naar het eerste deel, ik hoop dat ik tegen het einde van het artikel een opgewekte bui zal behouden.

Onderlinge rangschikking van twee rechte lijnen

Het geval wanneer de zaal in koor meezingt. Twee lijnen kunnen:

1) overeenkomen;

2) parallel zijn: ;

3) of snijden op een enkel punt: .

Hulp voor dummies : onthoud het wiskundige teken van de kruising, het zal heel vaak voorkomen. De invoer betekent dat de lijn de lijn op het punt snijdt.

Hoe de relatieve positie van twee lijnen bepalen?

Laten we beginnen met het eerste geval:

Twee lijnen vallen samen als en slechts als hun respectieve coëfficiënten proportioneel zijn, dat wil zeggen, er is zo'n getal "lambda" dat de gelijkheden

Laten we eens kijken naar rechte lijnen en drie vergelijkingen samenstellen uit de corresponderende coëfficiënten: . Uit elke vergelijking volgt dat deze lijnen dus samenvallen.

Inderdaad, als alle coëfficiënten van de vergelijking vermenigvuldig met -1 (verander tekens), en alle coëfficiënten van de vergelijking verminderen met 2, krijg je dezelfde vergelijking: .

Het tweede geval wanneer de lijnen evenwijdig zijn:

Twee lijnen zijn evenwijdig als en slechts dan als hun coëfficiënten bij de variabelen evenredig zijn: , maar.

Beschouw als voorbeeld twee rechte lijnen. We controleren de evenredigheid van de overeenkomstige coëfficiënten voor de variabelen:

Het is echter duidelijk dat.

En het derde geval, wanneer de lijnen elkaar kruisen:

Twee lijnen snijden elkaar dan en slechts dan als hun coëfficiënten van de variabelen NIET proportioneel zijn, dat wil zeggen, er is NIET zo'n waarde van "lambda" dat aan de gelijkheden is voldaan

Dus voor rechte lijnen zullen we een systeem samenstellen:

Uit de eerste vergelijking volgt dat , en uit de tweede vergelijking: , dus het systeem is inconsistent(geen oplossingen). De coëfficiënten bij de variabelen zijn dus niet proportioneel.

Conclusie: lijnen kruisen elkaar

Bij praktische problemen kan het zojuist overwogen oplossingsschema worden gebruikt. Trouwens, het lijkt erg op het algoritme voor het controleren van vectoren op collineariteit, dat we in de les hebben besproken. Het concept van lineaire (on)afhankelijkheid van vectoren. vector basis. Maar er is een meer beschaafd pakket:

voorbeeld 1

Ontdek de relatieve positie van de lijnen:

Oplossing gebaseerd op de studie van het richten van vectoren van rechte lijnen:

a) Uit de vergelijkingen vinden we de richtingsvectoren van de lijnen: .

, dus de vectoren zijn niet collineair en de lijnen snijden elkaar.

Voor het geval dat, zal ik een steen met wijzers op het kruispunt plaatsen:

De rest springt over de steen en gaat rechtdoor naar Kashchei the Deathless =)

b) Zoek de richtingsvectoren van de lijnen:

De lijnen hebben dezelfde richtingsvector, wat betekent dat ze evenwijdig of hetzelfde zijn. Hier is de determinant niet nodig.

Het is duidelijk dat de coëfficiënten van de onbekenden proportioneel zijn, terwijl .

Laten we eens kijken of de gelijkheid waar is:

Op deze manier,

c) Zoek de richtingsvectoren van de lijnen:

Laten we de determinant berekenen, samengesteld uit de coördinaten van deze vectoren:
, daarom zijn de richtingsvectoren collineair. De lijnen lopen parallel of vallen samen.

De evenredigheidsfactor "lambda" is gemakkelijk direct te zien aan de verhouding van collineaire richtingsvectoren. Het kan echter ook worden gevonden via de coëfficiënten van de vergelijkingen zelf: .

Laten we nu eens kijken of de gelijkheid waar is. Beide vrije termen zijn nul, dus:

De resulterende waarde voldoet aan deze vergelijking (elk getal voldoet er in het algemeen aan).

De lijnen vallen dus samen.

Antwoorden:

Al snel leer je (of heb je het zelfs al geleerd) om het beschouwde probleem letterlijk in enkele seconden verbaal op te lossen. In dit opzicht zie ik geen reden om iets voor een onafhankelijke oplossing aan te bieden, het is beter om nog een belangrijke steen in de geometrische basis te leggen:

Hoe teken je een lijn evenwijdig aan een gegeven?

Voor onwetendheid over deze eenvoudigste taak, straft de Nachtegaal de Rover streng.

Voorbeeld 2

De rechte lijn wordt gegeven door de vergelijking . Schrijf een vergelijking voor een parallelle lijn die door het punt gaat.

Oplossing: Geef de onbekende regel aan met de letter . Wat zegt de voorwaarde erover? De lijn gaat door het punt. En als de lijnen evenwijdig zijn, dan is het duidelijk dat de richtingsvector van de lijn "ce" ook geschikt is om de lijn "te" te construeren.

We halen de richtingsvector uit de vergelijking:

Antwoorden:

De geometrie van het voorbeeld ziet er eenvoudig uit:

Analytische verificatie bestaat uit de volgende stappen:

1) We controleren of de lijnen dezelfde richtingsvector hebben (als de vergelijking van de lijn niet goed vereenvoudigd is, dan zullen de vectoren collineair zijn).

2) Controleer of het punt voldoet aan de resulterende vergelijking.

Analytische verificatie is in de meeste gevallen eenvoudig mondeling uit te voeren. Kijk naar de twee vergelijkingen en velen van jullie zullen snel ontdekken hoe de lijnen parallel lopen zonder enige tekening.

Voorbeelden voor zelfoplossend vermogen vandaag zullen creatief zijn. Omdat je nog steeds moet concurreren met Baba Yaga, en zij, weet je, is een liefhebber van allerlei raadsels.

Voorbeeld 3

Schrijf een vergelijking voor een lijn die door een punt evenwijdig aan de lijn gaat als

Er is een rationele en niet erg rationele manier om op te lossen. De kortste weg is aan het einde van de les.

We hebben een beetje gewerkt met parallelle lijnen en komen daar later op terug. Het geval van samenvallende lijnen is van weinig belang, dus laten we eens kijken naar een probleem dat u welbekend is uit het schoolcurriculum:

Hoe vind je het snijpunt van twee lijnen?

als het recht is snijden in het punt , dan zijn de coördinaten de oplossing stelsels lineaire vergelijkingen

Hoe het snijpunt van lijnen te vinden? Los het systeem op.

Hier is voor jou geometrische betekenis van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden zijn twee elkaar snijdende (meestal) rechte lijnen in een vlak.

Voorbeeld 4

Vind het snijpunt van lijnen

Oplossing: Er zijn twee manieren om op te lossen - grafisch en analytisch.

De grafische manier is om eenvoudig de gegeven lijnen te tekenen en het snijpunt rechtstreeks uit de tekening te achterhalen:

Hier is ons punt: . Om dit te controleren, moet je de coördinaten in elke vergelijking van een rechte lijn vervangen, ze moeten zowel daar als daar passen. Met andere woorden, de coördinaten van een punt zijn de oplossing van het systeem . In feite hebben we een grafische manier overwogen om op te lossen stelsels lineaire vergelijkingen met twee vergelijkingen, twee onbekenden.

De grafische methode is natuurlijk niet slecht, maar er zijn merkbare nadelen. Nee, het gaat er niet om dat zevendeklassers zo beslissen, het gaat erom dat het tijd kost om een ​​juiste en EXACTE tekening te maken. Bovendien zijn sommige lijnen niet zo eenvoudig te construeren, en het snijpunt zelf kan ergens in het dertigste koninkrijk buiten het notitieboekje liggen.

Daarom is het handiger om het snijpunt te zoeken met de analytische methode. Laten we het systeem oplossen:

Om het systeem op te lossen, werd de methode van termgewijze toevoeging van vergelijkingen gebruikt. Bezoek de les om de relevante vaardigheden te ontwikkelen Hoe een stelsel vergelijkingen op te lossen?

Antwoorden:

De verificatie is triviaal - de coördinaten van het snijpunt moeten voldoen aan elke vergelijking van het systeem.

Voorbeeld 5

Zoek het snijpunt van de lijnen als ze elkaar snijden.

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Het is handig om het probleem in verschillende fasen te verdelen. Analyse van de aandoening suggereert dat het nodig is:
1) Schrijf de vergelijking van een rechte lijn.
2) Schrijf de vergelijking van een rechte lijn.
3) Ontdek de relatieve positie van de lijnen.
4) Als de lijnen elkaar snijden, zoek dan het snijpunt.

De ontwikkeling van een actie-algoritme is typerend voor veel geometrische problemen, en ik zal me hier herhaaldelijk op focussen.

Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de tutorial:

Een paar schoenen is nog niet versleten, want we kwamen aan bij het tweede deel van de les:

Evenwijdige lijnen. De afstand van een punt tot een lijn.
Hoek tussen lijnen

Laten we beginnen met een typische en zeer belangrijke taak. In het eerste deel leerden we hoe we een rechte lijn evenwijdig aan de gegeven lijn konden bouwen, en nu zal de hut op kippenpoten 90 graden draaien:

Hoe teken je een lijn loodrecht op een gegeven?

Voorbeeld 6

De rechte lijn wordt gegeven door de vergelijking . Schrijf een vergelijking voor een loodrechte lijn die door een punt gaat.

Oplossing: Het is bekend door aanname dat . Het zou leuk zijn om de richtingsvector van de rechte lijn te vinden. Omdat de lijnen loodrecht staan, is de truc eenvoudig:

Uit de vergelijking "verwijderen" we de normaalvector: , die de richtingsvector van de rechte lijn zal zijn.

We stellen de vergelijking van een rechte lijn op door een punt en een richtende vector:

Antwoorden:

Laten we de geometrische schets ontvouwen:

Hmmm... Oranje lucht, oranje zee, oranje kameel.

Analytische verificatie van de oplossing:

1) Extraheer de richtingsvectoren uit de vergelijkingen en met de hulp puntproduct van vectoren we concluderen dat de lijnen inderdaad loodrecht staan: .

Trouwens, je kunt normale vectoren gebruiken, het is nog eenvoudiger.

2) Controleer of het punt voldoet aan de resulterende vergelijking .

Verificatie is wederom eenvoudig verbaal uit te voeren.

Voorbeeld 7

Vind het snijpunt van loodlijnen, als de vergelijking bekend is en punt.

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Er zijn verschillende acties in de taak, dus het is handig om de oplossing punt voor punt te ordenen.

Onze spannende reis gaat verder:

Afstand van punt tot lijn

Voor ons ligt een rechte strook van de rivier en het is onze taak om deze via de kortste weg te bereiken. Er zijn geen obstakels en de meest optimale route is beweging langs de loodlijn. Dat wil zeggen, de afstand van een punt tot een lijn is de lengte van het loodrechte segment.

De afstand in de meetkunde wordt traditioneel aangeduid met de Griekse letter "ro", bijvoorbeeld: - de afstand van het punt "em" tot de rechte lijn "de".

Afstand van punt tot lijn wordt uitgedrukt door de formule

Voorbeeld 8

Vind de afstand van een punt tot een lijn

Oplossing: alles wat je nodig hebt is om de getallen zorgvuldig in de formule te vervangen en de berekeningen uit te voeren:

Antwoorden:

Laten we de tekening uitvoeren:

De gevonden afstand van het punt tot de lijn is precies de lengte van het rode segment. Als je een tekening maakt op ruitjespapier op een schaal van 1 eenheid. \u003d 1 cm (2 cellen), dan kan de afstand worden gemeten met een gewone liniaal.

Overweeg een andere taak volgens dezelfde tekening:

De taak is om de coördinaten van het punt te vinden, dat symmetrisch is met het punt ten opzichte van de lijn . Ik stel voor om de acties zelf uit te voeren, maar ik zal het oplossingsalgoritme schetsen met tussenresultaten:

1) Zoek een lijn die loodrecht op een lijn staat.

2) Zoek het snijpunt van de lijnen: .

Beide acties worden in deze les uitgebreid besproken.

3) Het punt is het middelpunt van het segment. We kennen de coördinaten van het midden en een van de uiteinden. Door formules voor de coördinaten van het midden van het segment vind .

Het is niet overbodig om te controleren of de afstand ook gelijk is aan 2,2 eenheden.

Hier kunnen zich moeilijkheden voordoen bij berekeningen, maar in de toren helpt een microcalculator veel, zodat je gewone breuken kunt tellen. Heb vaak geadviseerd en zal het opnieuw aanbevelen.

Hoe vind je de afstand tussen twee evenwijdige lijnen?

Voorbeeld 9

Vind de afstand tussen twee evenwijdige lijnen

Dit is een ander voorbeeld van een onafhankelijke oplossing. Een kleine hint: er zijn oneindig veel manieren om op te lossen. Nabespreking aan het einde van de les, maar probeer het zelf maar te raden, ik denk dat je je vindingrijkheid goed hebt weten te verspreiden.

Hoek tussen twee lijnen

Wat de hoek ook is, dan de deurpost:


In de meetkunde wordt de hoek tussen twee rechte lijnen genomen als de KLEINERE hoek, waaruit automatisch volgt dat deze niet stomp kan zijn. In de figuur wordt de hoek aangegeven door de rode boog niet beschouwd als de hoek tussen elkaar snijdende lijnen. En zijn "groene" buurman of tegengesteld georiënteerd karmozijnrode hoek.

Als de lijnen loodrecht staan, kan elk van de 4 hoeken worden genomen als de hoek ertussen.

Hoe verschillen de hoeken? Oriëntatie. Ten eerste is de richting van het "scrollen" van de hoek van fundamenteel belang. Ten tweede wordt een negatief georiënteerde hoek geschreven met een minteken, bijvoorbeeld als .

Waarom zei ik dit? Het lijkt erop dat je kunt rondkomen met het gebruikelijke concept van een hoek. Het feit is dat in de formules waarmee we de hoeken zullen vinden, gemakkelijk een negatief resultaat kan worden verkregen, en dit zou u niet moeten verrassen. Een hoek met een minteken is niet slechter en heeft een heel specifieke geometrische betekenis. In de tekening voor een negatieve hoek is het noodzakelijk om de richting (met de klok mee) aan te geven met een pijl.

Hoe vind je de hoek tussen twee lijnen? Er zijn twee werkformules:

Voorbeeld 10

Zoek de hoek tussen lijnen

Oplossing en Methode één:

Beschouw twee rechte lijnen gegeven door vergelijkingen in algemene vorm:

als het recht is niet loodrecht, dan georiënteerd de hoek ertussen kan worden berekend met behulp van de formule:

Laten we goed op de noemer letten - dit is precies scalair product richtingsvectoren van rechte lijnen:

Als , dan verdwijnt de noemer van de formule en zijn de vectoren orthogonaal en staan ​​de lijnen loodrecht. Daarom is een voorbehoud gemaakt bij de niet-loodrechtheid van de lijnen in de formulering.

Op basis van het voorgaande wordt de oplossing handig geformaliseerd in twee stappen:

1) Bereken het scalaire product van sturende vectoren van rechte lijnen:
dus de lijnen staan ​​niet loodrecht.

2) We vinden de hoek tussen de lijnen met de formule:

Met behulp van de inverse functie is het gemakkelijk om de hoek zelf te vinden. In dit geval gebruiken we de eigenaardigheid van de boogtangens (zie Fig. Grafieken en eigenschappen van elementaire functies):

Antwoorden:

In het antwoord geven we de exacte waarde aan, evenals de geschatte waarde (bij voorkeur zowel in graden als in radialen), berekend met een rekenmachine.

Nou, min, dus min, het is oké. Hier is een geometrische illustratie:

Het is niet verwonderlijk dat de hoek een negatieve oriëntatie bleek te hebben, omdat in de toestand van het probleem het eerste getal een rechte lijn is en het "draaien" van de hoek precies daaruit begon.

Als je echt een positieve hoek wilt krijgen, moet je de rechte lijnen omwisselen, dat wil zeggen, de coëfficiënten uit de tweede vergelijking nemen , en neem de coëfficiënten van de eerste vergelijking . Kortom, je moet beginnen met een direct .

Met behulp van deze online calculator kun je het snijpunt van lijnen op het vlak vinden. Er wordt een gedetailleerde oplossing met uitleg gegeven. Om de coördinaten van het snijpunt van de lijnen te vinden, specificeert u het type vergelijking van de lijnen ("canoniek", "parametrisch" of "algemeen"), voert u de coëfficiënten van de vergelijkingen van de lijnen in de cellen in en klikt u op de knop "Oplossen". Zie het theoretische gedeelte en de numerieke voorbeelden hieronder.

×

Waarschuwing

Alle cellen wissen?

Sluiten Wissen

Instructie voor gegevensinvoer. Getallen worden ingevoerd als gehele getallen (voorbeelden: 487, 5, -7623, etc.), decimale getallen (bijv. 67., 102,54, etc.) of breuken. De breuk moet worden getypt in de vorm a/b, waarbij a en b (b>0) gehele of decimale getallen zijn. Voorbeelden 45/5, 6.6/76,4, -7/6.7, enz.

Snijpunt van lijnen in het vlak - theorie, voorbeelden en oplossingen

1. Snijpunt van rechte lijnen gegeven in algemene vorm.

Oxy L 1 en L 2:

Laten we een augmented matrix bouwen:

Als een B" 2=0 en VAN" 2 =0, dan heeft het stelsel lineaire vergelijkingen veel oplossingen. vandaar de directe L 1 en L 2 wedstrijd. Als een B" 2=0 en VAN" 2 ≠0, dan is het systeem inconsistent en daarom zijn de lijnen evenwijdig en hebben ze geen gemeenschappelijk punt. Als B" 2 ≠0, dan heeft het stelsel lineaire vergelijkingen een unieke oplossing. Uit de tweede vergelijking vinden we ja: ja=VAN" 2 /B" 2 en door de resulterende waarde in de eerste vergelijking in te vullen, vinden we x: x=−VAN 1 −B 1 ja. Verkrijg het snijpunt van de lijnen L 1 en L 2: M(x, ja).

2. Snijpunt van lijnen gegeven in canonieke vorm.

Laat een cartesiaans rechthoekig coördinatenstelsel worden gegeven Oxy en laat lijnen worden gegeven in dit coördinatenstelsel L 1 en L 2:

Laten we de haakjes openen en de transformaties maken:

Met een vergelijkbare methode verkrijgen we de algemene vergelijking van de rechte lijn (7):

Uit vergelijkingen (12) volgt:

Hoe u het snijpunt van lijnen in de canonieke vorm kunt vinden, is hierboven beschreven.

4. Snijpunt van lijnen gedefinieerd in verschillende aanzichten.

Laat een cartesiaans rechthoekig coördinatenstelsel worden gegeven Oxy en laat lijnen worden gegeven in dit coördinatenstelsel L 1 en L 2:

Laten we vinden t:

We lossen het stelsel lineaire vergelijkingen op met betrekking tot x, ja. Hiervoor gebruiken we de Gauss-methode. We krijgen:

Voorbeeld 2. Vind het snijpunt van lijnen L 1 en L 2:

(21)

Het snijpunt van lijnen vinden L 1 en L 2 is het nodig om het stelsel lineaire vergelijkingen (20) en (21) op te lossen. We geven de vergelijkingen weer in matrixvorm.

Laat twee lijnen worden gegeven en het is nodig om hun snijpunt te vinden. Aangezien dit punt tot elk van de twee gegeven lijnen behoort, moeten de coördinaten zowel voldoen aan de vergelijking van de eerste lijn als aan de vergelijking van de tweede lijn.

Dus om de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen te vinden, moet men het stelsel vergelijkingen oplossen

Voorbeeld 1. Vind het snijpunt van lijnen en

Oplossing. We zullen de coördinaten van het gewenste snijpunt vinden door het stelsel vergelijkingen op te lossen

Het snijpunt M heeft coördinaten

Laten we laten zien hoe we een rechte lijn kunnen construeren uit zijn vergelijking. Om een ​​lijn te tekenen, volstaat het om twee van zijn punten te kennen. Om elk van deze punten te plotten, geven we een willekeurige waarde aan een van zijn coördinaten, en dan vinden we uit de vergelijking de overeenkomstige waarde van de andere coördinaat.

Als in de algemene vergelijking van een rechte lijn beide coëfficiënten op de huidige coördinaten niet gelijk zijn aan nul, dan is het het beste om deze rechte lijn te construeren door de snijpunten met de coördinaatassen te vinden.

Voorbeeld 2. Construeer een rechte lijn.

Oplossing. Zoek het snijpunt van deze lijn met de x-as. Om dit te doen, lossen we samen hun vergelijkingen op:

en wij krijgen. Zo werd het punt M (3; 0) van het snijpunt van deze rechte lijn met de abscis gevonden (Fig. 40).

Vervolgens gezamenlijk de vergelijking van de gegeven lijn en de vergelijking van de y-as oplossen

vinden we het snijpunt van de lijn met de y-as. Ten slotte construeren we een lijn uit zijn twee punten M en

Bij het oplossen van geometrische problemen met behulp van de coördinatenmethode, is het noodzakelijk om de coördinaten van het snijpunt van lijnen te vinden. Meestal moet men zoeken naar de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen in het vlak, maar soms wordt het nodig om de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen in de ruimte te bepalen. In dit artikel gaan we in op het vinden van de coördinaten van het punt waarop twee lijnen elkaar snijden.

Paginanavigatie.

Het snijpunt van twee lijnen is een definitie.

Laten we eerst het snijpunt van twee lijnen definiëren.

In de sectie over de relatieve positie van lijnen op het vlak, wordt getoond dat twee lijnen op het vlak ofwel kunnen samenvallen (en ze hebben oneindig veel gemeenschappelijke punten), of evenwijdig zijn (en twee lijnen hebben geen gemeenschappelijke punten), of elkaar snijden , met één gemeenschappelijk punt. Er zijn meer opties voor de onderlinge rangschikking van twee lijnen in de ruimte - ze kunnen samenvallen (hebben oneindig veel gemeenschappelijke punten), kunnen parallel zijn (dat wil zeggen, in hetzelfde vlak liggen en elkaar niet snijden), kunnen elkaar kruisen (niet in hetzelfde vlak), en kan ook één gemeenschappelijk punt hebben, namelijk elkaar snijden. Dus twee lijnen, zowel in het vlak als in de ruimte, worden elkaar snijden genoemd als ze één gemeenschappelijk punt hebben.

Uit de definitie van snijdende lijnen volgt: bepaling van het snijpunt van lijnen: Het snijpunt van twee lijnen wordt het snijpunt van deze lijnen genoemd. Met andere woorden, het enige gemeenschappelijke punt van twee snijdende lijnen is het snijpunt van deze lijnen.

Voor de duidelijkheid presenteren we een grafische illustratie van het snijpunt van twee lijnen in het vlak en in de ruimte.

Bovenaan de pagina

Het vinden van de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen op het vlak.

Voordat we de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen in het vlak vinden volgens hun bekende vergelijkingen, beschouwen we een hulpprobleem.

Oxy a en b. We gaan ervan uit dat de directe a komt overeen met de algemene vergelijking van de rechte lijn en de rechte lijn b- typen. Laat een punt van het vlak zijn, en het is nodig om uit te vinden of het punt is M 0 het snijpunt van de gegeven lijnen.

Laten we het probleem oplossen.

Als een M0 a en b, dan hoort het per definitie ook bij de regel a en direct b, dat wil zeggen, de coördinaten moeten tegelijkertijd voldoen aan zowel de vergelijking als de vergelijking . Daarom moeten we de coördinaten van het punt vervangen M 0 in de vergelijkingen van gegeven lijnen en kijk of er twee echte gelijkheden worden verkregen. Als het punt coördineert M 0 voldoen aan beide vergelijkingen en , dan is het snijpunt van de lijnen a en b, anders M 0 .

Is het punt? M 0 met coördinaten (2, -3) snijpunt van lijnen 5x-2j-16=0 en 2x-5j-19=0?

Als een M 0 is het snijpunt van de gegeven lijnen, dan voldoen de coördinaten ervan aan de vergelijkingen van de lijnen. Laten we dit controleren door de coördinaten van het punt te vervangen M 0 in de gegeven vergelijkingen:

We hebben dus twee echte gelijkheden, M0 (2, -3)- snijpunt van lijnen 5x-2j-16=0 en 2x-5j-19=0.

Voor de duidelijkheid presenteren we een tekening die rechte lijnen toont en de coördinaten van het snijpunt.

ja, punt M0 (2, -3) is het snijpunt van de lijnen 5x-2j-16=0 en 2x-5j-19=0.

Snijden lijnen elkaar? 5x+3j-1=0 en 7x-2j+11=0 bij het punt M0 (2, -3)?

Vervang de coördinaten van het punt M 0 in de vergelijkingen van lijnen, door deze actie zullen we controleren of het punt behoort tot M 0 beide regels tegelijk:

Sinds de tweede vergelijking, bij het vervangen van de coördinaten van het punt erin M 0 veranderde niet in een echte gelijkheid, dan is het punt M 0 hoort niet bij de lijn 7x-2j+11=0. Uit dit feit kunnen we concluderen dat het punt M 0 is geen snijpunt van de gegeven lijnen.

Op de tekening is ook duidelijk te zien dat de punt M 0 is geen snijpunt van lijnen 5x+3j-1=0 en 7x-2j+11=0. Het is duidelijk dat de gegeven lijnen elkaar snijden in een punt met coördinaten (-1, 2) .

M0 (2, -3) is geen snijpunt van lijnen 5x+3j-1=0 en 7x-2j+11=0.

Nu kunnen we overgaan tot het probleem van het vinden van de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen volgens de gegeven vergelijkingen van lijnen in het vlak.

Laat een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem op het vlak worden gefixeerd Oxy en gegeven twee snijdende lijnen a en b vergelijkingen en respectievelijk. Laten we het snijpunt van de gegeven lijnen aanduiden als M 0 en los het volgende probleem op: vind de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen a en b volgens de bekende vergelijkingen van deze lijnen en .

Punt M0 behoort tot elk van de snijdende lijnen a en b per definitie. Dan de coördinaten van het snijpunt van de lijnen a en b voldoen aan zowel de vergelijking als de vergelijking. Daarom zijn de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen a en b zijn een oplossing voor een stelsel vergelijkingen (zie het artikel stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen).

Dus om de coördinaten te vinden van het snijpunt van twee lijnen die op het vlak worden gedefinieerd door algemene vergelijkingen, is het noodzakelijk om een ​​systeem op te lossen dat bestaat uit vergelijkingen van gegeven lijnen.

Laten we een voorbeeldoplossing bekijken.

Vind het snijpunt van twee lijnen gedefinieerd in een rechthoekig coördinatensysteem in het vlak door de vergelijkingen x-9y+14=0 en 5x-2j-16=0.

We krijgen twee algemene vergelijkingen van lijnen, we zullen er een stelsel uit samenstellen: . De oplossingen van het resulterende stelsel vergelijkingen zijn gemakkelijk te vinden als de eerste vergelijking is opgelost met betrekking tot de variabele x en vervang deze uitdrukking in de tweede vergelijking:

De gevonden oplossing van het stelsel vergelijkingen geeft ons de gewenste coördinaten van het snijpunt van twee lijnen.

M0 (4, 2)- snijpunt van lijnen x-9y+14=0 en 5x-2j-16=0.

Dus het vinden van de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen, gedefinieerd door algemene vergelijkingen in het vlak, wordt gereduceerd tot het oplossen van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekende variabelen. Maar wat als de rechte lijnen op het vlak niet worden gegeven door algemene vergelijkingen, maar door vergelijkingen van een ander type (zie de typen van de vergelijking van een rechte lijn in het vlak)? In deze gevallen kunt u eerst de vergelijkingen van lijnen in een algemene vorm brengen en pas daarna de coördinaten van het snijpunt vinden.

Voordat we de coördinaten van het snijpunt van de gegeven lijnen vinden, brengen we hun vergelijkingen in een algemene vorm. De overgang van de parametervergelijkingen van een rechte naar de algemene vergelijking van deze rechte is als volgt:

Nu zullen we de nodige acties uitvoeren met de canonieke vergelijking van de lijn:

De gewenste coördinaten van het snijpunt van de lijnen zijn dus de oplossing voor het stelsel vergelijkingen van de vorm . We gebruiken de methode van Cramer om het op te lossen:

M 0 (-5, 1)

Er is een andere manier om de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen in het vlak te vinden. Het is handig om het te gebruiken wanneer een van de rechte lijnen wordt gegeven door parametrische vergelijkingen van de vorm , en de andere wordt gegeven door een rechte lijnvergelijking van een ander type. In dit geval in een andere vergelijking in plaats van variabelen x en ja je kunt de uitdrukkingen en vervangen, van waaruit je de waarde kunt krijgen die overeenkomt met het snijpunt van de gegeven lijnen. In dit geval heeft het snijpunt van de lijnen coördinaten .

Laten we op deze manier de coördinaten van het snijpunt van de lijnen uit het vorige voorbeeld zoeken.

Bepaal de coördinaten van het snijpunt van de lijnen en .

Substitueer in de vergelijking van de directe uitdrukking:

Als we de resulterende vergelijking oplossen, krijgen we . Deze waarde komt overeen met het gemeenschappelijke punt van de lijnen en . We berekenen de coördinaten van het snijpunt door de rechte lijn in de parametervergelijkingen te plaatsen:
.

M 0 (-5, 1).

Om het plaatje compleet te maken, moet nog een punt worden besproken.

Alvorens de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen in het vlak te vinden, is het nuttig om ervoor te zorgen dat de gegeven lijnen elkaar echt snijden. Als blijkt dat de oorspronkelijke lijnen samenvallen of evenwijdig zijn, dan kan er geen sprake zijn van het vinden van de coördinaten van het snijpunt van dergelijke lijnen.

Je kunt natuurlijk zonder zo'n controle doen en meteen een stelsel vergelijkingen van de vorm opstellen en oplossen. Als het stelsel vergelijkingen een unieke oplossing heeft, dan geeft het de coördinaten van het punt waar de oorspronkelijke lijnen elkaar snijden. Als het stelsel vergelijkingen geen oplossingen heeft, kunnen we concluderen dat de oorspronkelijke lijnen evenwijdig zijn (aangezien er niet zo'n paar reële getallen is) x en ja, die tegelijkertijd aan beide vergelijkingen van gegeven lijnen zou voldoen). Uit de aanwezigheid van een oneindige reeks oplossingen tot het stelsel vergelijkingen volgt dat de oorspronkelijke lijnen oneindig veel punten gemeen hebben, dat wil zeggen dat ze samenvallen.

Laten we eens kijken naar voorbeelden die bij deze situaties passen.

Zoek uit of de lijnen en elkaar snijden, en als ze elkaar snijden, zoek dan de coördinaten van het snijpunt.

De gegeven vergelijkingen van lijnen komen overeen met de vergelijkingen en . Laten we het stelsel oplossen dat uit deze vergelijkingen bestaat.

Het is duidelijk dat de vergelijkingen van het systeem lineair door elkaar worden uitgedrukt (de tweede vergelijking van het systeem wordt verkregen uit de eerste door beide delen ervan te vermenigvuldigen met 4 ), daarom heeft het stelsel vergelijkingen een oneindig aantal oplossingen. Dus de vergelijkingen en definiëren dezelfde lijn, en we kunnen niet praten over het vinden van de coördinaten van het snijpunt van deze lijnen.

vergelijkingen en zijn gedefinieerd in een rechthoekig coördinatenstelsel Oxy dezelfde rechte lijn, dus we kunnen niet praten over het vinden van de coördinaten van het snijpunt.

Zoek de coördinaten van het snijpunt van de lijnen en, indien mogelijk.

De toestand van het probleem geeft toe dat de lijnen elkaar niet mogen kruisen. Laten we een stelsel van deze vergelijkingen samenstellen. We passen de Gauss-methode toe om het op te lossen, omdat het ons in staat stelt om de compatibiliteit of inconsistentie van het stelsel vergelijkingen vast te stellen en in het geval van de compatibiliteit een oplossing te vinden:

De laatste vergelijking van het systeem na het directe verloop van de Gauss-methode veranderde in een onjuiste gelijkheid, daarom heeft het systeem van vergelijkingen geen oplossingen. Hieruit kunnen we concluderen dat de oorspronkelijke lijnen evenwijdig zijn, en we kunnen niet praten over het vinden van de coördinaten van het snijpunt van deze lijnen.

De tweede oplossing.

Laten we eens kijken of de gegeven lijnen elkaar snijden.

Een normaalvector is een lijn en een vector is een normaalvector van een lijn. Laten we de vervulling van de voorwaarde van collinariteit van de vectoren controleren en : de gelijkheid is waar, omdat daarom de normaalvectoren van de gegeven lijnen collineair zijn. Dan zijn deze lijnen evenwijdig of vallen ze samen. We kunnen dus de coördinaten van het snijpunt van de oorspronkelijke lijnen niet vinden.

het is onmogelijk om de coördinaten van het snijpunt van de gegeven lijnen te vinden, omdat deze lijnen evenwijdig zijn.

Vind de coördinaten van het snijpunt van de lijnen 2x-1=0 en als ze elkaar kruisen.

Laten we een stelsel vergelijkingen samenstellen dat algemene vergelijkingen zijn van gegeven lijnen: . De determinant van de hoofdmatrix van dit systeem van vergelijkingen is anders dan nul, daarom heeft het systeem van vergelijkingen een unieke oplossing, die het snijpunt van de gegeven lijnen aangeeft.

Om de coördinaten van het snijpunt van de lijnen te vinden, moeten we het systeem oplossen:

De resulterende oplossing geeft ons de coördinaten van het snijpunt van de lijnen, dat wil zeggen, - het snijpunt van de lijnen 2x-1=0 en .

Bovenaan de pagina

Het vinden van de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen in de ruimte.

De coördinaten van het snijpunt van twee lijnen in de driedimensionale ruimte worden op dezelfde manier gevonden.

Laat de kruisende lijnen a en b gegeven in een rechthoekig coördinatenstelsel Oxyz vergelijkingen van twee snijdende vlakken, dat wil zeggen een rechte lijn a wordt bepaald door het systeem van de vorm , en de lijn b- . Laten M 0- snijpunt van lijnen a en b. Dan het punt: M 0 behoort per definitie tot de lijn a en direct b daarom voldoen de coördinaten ervan aan de vergelijkingen van beide lijnen. Dus de coördinaten van het snijpunt van de lijnen a en b vertegenwoordigen een oplossing voor een stelsel lineaire vergelijkingen van de vorm . Hier hebben we informatie nodig uit het gedeelte over het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen waarin het aantal vergelijkingen niet samenvalt met het aantal onbekende variabelen.

Laten we eens kijken naar voorbeelden.

Zoek de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen gegeven in de ruimte door de vergelijkingen en .

Laten we een stelsel vergelijkingen samenstellen uit de vergelijkingen van gegeven lijnen: . De oplossing van dit systeem geeft ons de gewenste coördinaten van het snijpunt van lijnen in de ruimte. Laten we de oplossing van het geschreven stelsel vergelijkingen vinden.

De hoofdmatrix van het systeem heeft de vorm , en de uitgebreide - .

Bepaal de rangorde van de matrix MAAR en matrixrang T. We gebruiken de methode van de grensoverschrijdende minderjarigen, terwijl we de berekening van determinanten niet in detail zullen beschrijven (zie indien nodig het artikel de determinant van een matrix berekenen):

De rangorde van de hoofdmatrix is ​​dus gelijk aan de rangorde van de uitgebreide matrix en is gelijk aan drie.

Daarom heeft het systeem van vergelijkingen een unieke oplossing.

We nemen de determinant als de basis minor, daarom moet de laatste vergelijking worden uitgesloten van het stelsel vergelijkingen, omdat deze niet deelneemt aan de vorming van de basis minor. Dus,

De oplossing van het resulterende systeem is gemakkelijk te vinden:

Dus het snijpunt van lijnen en heeft coördinaten (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Opgemerkt moet worden dat het stelsel vergelijkingen een unieke oplossing heeft dan en slechts dan als de lijnen a en b snijden. Als direct a en b evenwijdig of snijdend, dan heeft het laatste stelsel vergelijkingen geen oplossingen, omdat in dit geval de lijnen geen gemeenschappelijke punten hebben. als het recht is a en b samenvallen, dan hebben ze een oneindig aantal gemeenschappelijke punten, daarom heeft het aangegeven stelsel vergelijkingen een oneindig aantal oplossingen. In deze gevallen kunnen we echter niet praten over het vinden van de coördinaten van het snijpunt van de lijnen, omdat de lijnen elkaar niet snijden.

Dus als we het niet van tevoren weten, snijden de gegeven lijnen elkaar a en b of niet, het is redelijk om een ​​stelsel vergelijkingen van de vorm samen te stellen en op te lossen met behulp van de Gauss-methode. Als we een unieke oplossing krijgen, dan komt deze overeen met de coördinaten van het snijpunt van de lijnen a en b. Als het systeem inconsistent blijkt te zijn, dan is de directe a en b niet kruisen. Als het systeem een ​​oneindig aantal oplossingen heeft, dan is de directe a en b wedstrijd.

U kunt het doen zonder de Gauss-methode te gebruiken. Als alternatief kunt u de rangen van de hoofd- en uitgebreide matrices van dit systeem berekenen en op basis van de verkregen gegevens en de stelling van Kronecker-Capelli een conclusie trekken over het bestaan ​​van een enkele oplossing of over het bestaan ​​van vele oplossingen. of over het ontbreken van oplossingen. Het is een kwestie van smaak.

Als de lijnen en elkaar snijden, bepaal dan de coördinaten van het snijpunt.

Laten we een stelsel van gegeven vergelijkingen samenstellen: . We lossen het op volgens de Gauss-methode in matrixvorm:

Het werd duidelijk dat het systeem van vergelijkingen geen oplossingen heeft, daarom snijden de gegeven lijnen elkaar niet, en kan er geen sprake zijn van het vinden van de coördinaten van het snijpunt van deze lijnen.

we kunnen de coördinaten van het snijpunt van de gegeven lijnen niet vinden, omdat deze lijnen elkaar niet snijden.

Wanneer snijdende lijnen worden gegeven door canonieke vergelijkingen van een lijn in de ruimte of parametrische vergelijkingen van een lijn in de ruimte, dan moet je eerst hun vergelijkingen verkrijgen in de vorm van twee snijdende vlakken, en pas daarna de coördinaten van het snijpunt vinden.

Twee snijdende lijnen worden gegeven in een rechthoekig coördinatenstelsel Oxyz vergelijkingen en . Zoek de coördinaten van het snijpunt van deze lijnen.

Laten we de eerste rechte lijnen instellen door de vergelijkingen van twee snijdende vlakken:

Om de coördinaten van het snijpunt van de lijnen te vinden, moet nog het stelsel vergelijkingen worden opgelost. De rangorde van de hoofdmatrix van dit systeem is gelijk aan de rangorde van de uitgebreide matrix en is gelijk aan drie (we raden aan dit feit te controleren). Als basisminor nemen we , daarom kan de laatste vergelijking van het systeem worden uitgesloten. Nadat we het resulterende systeem met een willekeurige methode hebben opgelost (bijvoorbeeld de Cramer-methode), verkrijgen we de oplossing . Dus het snijpunt van lijnen en heeft coördinaten (-2, 3, -5) .

Les uit de serie "Geometrische Algoritmen"

Hallo beste lezer!

We blijven kennis maken met geometrische algoritmen. In de vorige les vonden we de vergelijking van een rechte lijn in de coördinaten van twee punten. We hebben een vergelijking van de vorm:

Vandaag zullen we een functie schrijven die, met behulp van de vergelijkingen van twee rechte lijnen, de coördinaten van hun snijpunt (indien aanwezig) zal vinden. Om de gelijkheid van reële getallen te controleren, gebruiken we de speciale functie RealEq().

Punten op het vlak worden beschreven door een paar reële getallen. Wanneer u het echte type gebruikt, is het beter om de vergelijkingsbewerkingen te ordenen met speciale functies.

De reden is bekend: er is geen orderelatie op het Real-type in het Pascal-programmeersysteem, dus het is beter om geen records van de vorm a = b te gebruiken, waarbij a en b reële getallen zijn.
Vandaag introduceren we de functie RealEq() om de bewerking "=" (strikt gelijk) te implementeren:

Functie RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strikt gelijk) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Een taak. Er worden vergelijkingen van twee rechte lijnen gegeven: en . Vind hun snijpunt.

Oplossing. De voor de hand liggende oplossing is om het stelsel vergelijkingen van lijnen op te lossen: Laten we dit systeem een ​​beetje anders herschrijven:
(1)

We introduceren de notatie: , , . Hier is D de determinant van het systeem, en zijn de determinanten die worden verkregen door de kolom met coëfficiënten voor de corresponderende onbekende te vervangen door een kolom met vrije termen. Als , dan is systeem (1) definitief, dat wil zeggen, het heeft een unieke oplossing. Deze oplossing kan worden gevonden door de volgende formules: , , die worden genoemd formules van Cramer. Laat me u eraan herinneren hoe de determinant van de tweede orde wordt berekend. De determinant maakt onderscheid tussen twee diagonalen: de hoofd- en secundaire. De hoofddiagonaal bestaat uit elementen genomen in de richting van de linkerbovenhoek van de determinant naar de rechterbenedenhoek. Zijdiagonaal - van rechtsboven naar linksonder. De determinant van de tweede orde is gelijk aan het product van de elementen van de hoofddiagonaal minus het product van de elementen van de secundaire diagonaal.

De code gebruikt de functie RealEq() om te controleren op gelijkheid. Berekeningen over reële getallen worden gemaakt met een nauwkeurigheid tot _Eps=1e-7.

Programma geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(berekeningsnauwkeurigheid) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Functie RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strikt gelijk) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

We hebben een programma samengesteld waarmee je, als je de vergelijkingen van de lijnen kent, de coördinaten van hun snijpunt kunt vinden.