Hoe uitdrukkingen met negatieve exponenten op te lossen. Graad - eigenschappen, regels, acties en formules

Verhogen tot een negatieve macht is een van de basiselementen van de wiskunde, die vaak wordt aangetroffen bij het oplossen van algebraïsche problemen. Hieronder vindt u een gedetailleerde instructie.

Hoe te verhogen naar een negatieve macht - theorie

Wanneer we een getal naar de gebruikelijke macht nemen, vermenigvuldigen we de waarde ervan meerdere keren. Bijvoorbeeld 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Met een negatieve breuk is het tegenovergestelde waar. De algemene vorm volgens de formule is als volgt: a -n = 1/a n . Dus om een getal tot een negatieve macht te verheffen, moet je een delen door het gegeven getal, maar al tot een positieve macht.

Hoe te verhogen tot een negatieve macht - voorbeelden van gewone getallen

Laten we, met de bovenstaande regel in gedachten, een paar voorbeelden oplossen.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Antwoord: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Het antwoord is -4 -2 = 1/16.

Maar waarom is het antwoord in het eerste en tweede voorbeeld hetzelfde? Het feit is dat wanneer een negatief getal wordt verhoogd tot een even macht (2, 4, 6, etc.), het teken positief wordt. Als de graad even was, blijft de min behouden:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Hoe te verhogen tot een negatieve macht - getallen van 0 tot 1

Bedenk dat wanneer een getal tussen 0 en 1 wordt verheven tot een positieve macht, de waarde afneemt naarmate de macht toeneemt. Dus bijvoorbeeld 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Voorbeeld 3: Bereken 0,5 -2
Oplossing: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Antwoord: 0,5 -2 = 4

Parseren (volgorde van acties):

Converteer decimaal 0,5 naar fractioneel 1/2. Het is makkelijker.
Verhoog 1/2 tot een negatieve macht. 1/(2) -2 . Deel 1 door 1/(2) 2 , we krijgen 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Voorbeeld 4: Bereken 0,5 -3
Oplossing: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Voorbeeld 5: Bereken -0,5 -3
Oplossing: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Antwoord: -0,5 -3 = -8

Op basis van het 4e en 5e voorbeeld trekken we een aantal conclusies:

Voor een positief getal in het bereik van 0 tot 1 (voorbeeld 4), verheven tot een negatieve macht, is de even of oneven graad niet belangrijk, de waarde van de uitdrukking zal positief zijn. In dit geval, hoe groter de graad, hoe groter de waarde.
Voor een negatief getal tussen 0 en 1 (voorbeeld 5), verheven tot een negatieve macht, is de even of oneven graad onbelangrijk, de waarde van de uitdrukking zal negatief zijn. In dit geval geldt: hoe hoger de graad, hoe lager de waarde.

Hoe te verhogen tot een negatieve macht - een macht als een fractioneel getal

Uitdrukkingen van dit type hebben de volgende vorm: a -m/n, waarbij a een gewoon getal is, m de teller van de graad, n de noemer van de graad.

Overweeg een voorbeeld:
Bereken: 8 -1/3

Oplossing (volgorde van handelingen):

Onthoud de regel voor het verhogen van een getal tot een negatieve macht. We krijgen: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
Merk op dat de noemer 8 is tot een fractionele macht. De algemene vorm van het berekenen van een fractionele graad is als volgt: a m/n = n √8 m .
Dus 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). We krijgen de derdemachtswortel van acht, dat is 2. Op basis hiervan is 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Antwoord: 8 -1/3 = 2

Les en presentatie over het onderwerp: "Graad met een negatieve indicator. Definitie en voorbeelden van probleemoplossing"

Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet om uw opmerkingen, feedback en suggesties achter te laten. Alle materialen worden gecontroleerd door een antivirusprogramma.

Leermiddelen en simulatoren in de online winkel "Integral" voor groep 8
Handleiding voor het leerboek Muravina G.K. Handleiding voor het leerboek Alimova Sh.A.

De graad bepalen met een negatieve exponent

Jongens, we zijn goed in het verhogen van getallen tot een macht.
Bijvoorbeeld: $2^4=2*2*2*2=16$ $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

We weten heel goed dat elk getal tot de macht nul gelijk is aan één. $a^0=1$, $a≠0$.
De vraag rijst, wat gebeurt er als je een getal tot een negatieve macht verheft? Waaraan zou bijvoorbeeld het getal $2^(-2)$ gelijk zijn?
De eerste wiskundigen die deze vraag stelden, besloten dat het niet de moeite waard was om het wiel opnieuw uit te vinden, en het was goed dat alle eigenschappen van de graden hetzelfde bleven. Dat wil zeggen, wanneer machten met hetzelfde grondtal worden vermenigvuldigd, tellen de exponenten op.
Laten we eens kijken naar dit geval: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
We hebben begrepen dat het product van zulke getallen eenheid moet geven. De eenheid in het product wordt verkregen door de reciprocals te vermenigvuldigen, dat wil zeggen $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Een dergelijke redenering leidde tot de volgende definitie.
Definitie. Als $n$ een natuurlijk getal is en $a≠0$, dan geldt de volgende gelijkheid: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Een belangrijke identiteit die vaak wordt gebruikt: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
In het bijzonder $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Voorbeelden van oplossingen

voorbeeld 1
Bereken: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Oplossing.
Laten we elke term afzonderlijk bekijken.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Het blijft om optellen en aftrekken uit te voeren: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Antwoord: $6\frac(1)(4)$.

Voorbeeld 2
Druk het gegeven getal uit als een macht van een priemgetal $\frac(1)(729)$.

Oplossing.
Uiteraard $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Maar 729 is geen priemgetal dat eindigt op 9. We kunnen aannemen dat dit getal een macht van drie is. Laten we 729 achtereenvolgens door 3 delen.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Zes operaties zijn voltooid, wat betekent: $729=3^6$.
Voor onze taak:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Antwoord: $3^(-6)$.

Voorbeeld 3. Druk de uitdrukking uit als een macht: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Oplossing. De eerste bewerking wordt altijd tussen haakjes gedaan, daarna de vermenigvuldiging $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Antwoord: $a$.

Voorbeeld 4. Bewijs de identiteit:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Oplossing.
Beschouw aan de linkerkant elke factor tussen haakjes afzonderlijk.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Laten we verder gaan met de breuk waarmee we delen.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Laten we de verdeling doen.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
We kregen de juiste identiteit, die moest worden bewezen.

Aan het einde van de les zullen we de regels voor acties met graden opnieuw opschrijven, hier is de exponent een geheel getal.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Taken voor onafhankelijke oplossing

1. Bereken: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Stel het gegeven getal voor als een macht van een priemgetal $\frac(1)(16384)$.
3. Druk de uitdrukking uit als een graad:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Bewijs de identiteit:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Eerste level

Graad en zijn eigenschappen. Uitgebreide gids (2019)

Waarom zijn diploma's nodig? Waar heb je ze nodig? Waarom moet je tijd besteden aan het bestuderen ervan?

Lees dit artikel om alles te leren over diploma's, waar ze voor zijn en hoe je je kennis in het dagelijks leven kunt gebruiken.

En natuurlijk, als je de diploma's kent, kom je dichter bij het succesvol behalen van het OGE of het Unified State Examination en het betreden van de universiteit van je dromen.

Laten we gaan laten we gaan!)

Belangrijke notitie! Als je in plaats van formules wartaal ziet, wis dan je cache. Om dit te doen, drukt u op CTRL+F5 (op Windows) of Cmd+R (op Mac).

EERSTE LEVEL

Machtsverheffing is dezelfde wiskundige bewerking als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen.

Nu zal ik alles in mensentaal uitleggen aan de hand van zeer eenvoudige voorbeelden. Doe voorzichtig. Voorbeelden zijn elementair, maar verklaren belangrijke dingen.

Laten we beginnen met optellen.

Er valt hier niets uit te leggen. Je weet alles al: we zijn met z'n achten. Elk heeft twee flessen cola. Hoeveel cola? Dat klopt - 16 flessen.

Nu vermenigvuldigen.

Hetzelfde voorbeeld met cola kan op een andere manier worden geschreven: . Wiskundigen zijn sluwe en luie mensen. Ze merken eerst wat patronen op en bedenken dan een manier om ze sneller te 'tellen'. In ons geval merkten ze dat elk van de acht mensen hetzelfde aantal flessen cola had en bedachten ze een techniek die vermenigvuldiging wordt genoemd. Mee eens, het wordt als gemakkelijker en sneller beschouwd dan.

Dus om sneller, gemakkelijker en zonder fouten te tellen, hoef je alleen maar te onthouden tafel van vermenigvuldiging. Natuurlijk kun je alles langzamer, harder en met fouten doen! Maar…

Hier is de tafel van vermenigvuldiging. Herhalen.

En nog een, mooiere:

En met welke andere lastige teltrucs kwamen luie wiskundigen op de proppen? Correct - een getal tot een macht verheffen.

Een getal tot een macht verheffen

Als je een getal vijf keer met zichzelf moet vermenigvuldigen, dan zeggen wiskundigen dat je dit getal tot de vijfde macht moet verhogen. Bijvoorbeeld, . Wiskundigen onthouden dat twee tot de vijfde macht is. En ze lossen dergelijke problemen in hun hoofd op - sneller, gemakkelijker en zonder fouten.

Om dit te doen, hoeft u alleen onthoud wat in kleur is gemarkeerd in de tabel met machten van getallen. Geloof me, het zal je leven veel gemakkelijker maken.

Trouwens, waarom heet de tweede graad? vierkant cijfers, en de derde kubus? Wat betekent het? Een heel goede vraag. Nu heb je zowel vierkanten als kubussen.

Voorbeeld uit het echte leven # 1

Laten we beginnen met een kwadraat of de tweede macht van een getal.

Stel je een vierkant zwembad voor van meter bij meter. Het zwembad bevindt zich in uw achtertuin. Het is heet en ik wil heel graag zwemmen. Maar... een zwembad zonder bodem! Het is noodzakelijk om de bodem van het zwembad met tegels te bedekken. Hoeveel tegels heb je nodig? Om dit te bepalen, moet u het gebied van de bodem van het zwembad kennen.

Je kunt gewoon door met je vinger te porren tellen dat de bodem van het zwembad meter voor meter uit kubussen bestaat. Als je tegels meter voor meter zijn, heb je stukken nodig. Het is makkelijk... Maar waar heb je zo'n tegel gezien? De tegel zal eerder cm bij cm zijn en dan word je gekweld door "met je vinger te tellen". Dan moet je vermenigvuldigen. Dus aan de ene kant van de bodem van het zwembad passen we tegels (stuks) en aan de andere kant ook tegels. Vermenigvuldigen met, je krijgt tegels ().

Is het je opgevallen dat we hetzelfde getal met zichzelf hebben vermenigvuldigd om de oppervlakte van de bodem van het zwembad te bepalen? Wat betekent het? Omdat hetzelfde getal wordt vermenigvuldigd, kunnen we de exponentiatietechniek gebruiken. (Natuurlijk, als je maar twee getallen hebt, moet je ze nog steeds vermenigvuldigen of ze tot een macht verheffen. Maar als je er veel hebt, is verheffen tot een macht veel gemakkelijker en zijn er ook minder fouten in berekeningen. Voor het examen is dit heel belangrijk).
Dus dertig tot de tweede graad is (). Of je kunt zeggen dat dertig kwadraat zal zijn. Met andere woorden, de tweede macht van een getal kan altijd worden weergegeven als een vierkant. En omgekeerd, als je een vierkant ziet, is dat ALTIJD de tweede macht van een getal. Een vierkant is een afbeelding van de tweede macht van een getal.

Voorbeeld uit het echte leven #2

Hier is een taak voor jou, tel hoeveel vierkanten er op het schaakbord staan met behulp van het vierkant van het getal ... Aan de ene kant van de cellen en ook aan de andere kant. Om hun aantal te tellen, moet je acht met acht vermenigvuldigen, of ... als je merkt dat een schaakbord een vierkant is met een zijde, dan kun je vierkant acht. Krijg cellen. () Dus?

Voorbeeld uit het echte leven #3

Nu de kubus of de derde macht van een getal. Hetzelfde zwembad. Maar nu moet je uitzoeken hoeveel water in dit zwembad moet worden gegoten. U moet het volume berekenen. (Volumes en vloeistoffen worden trouwens gemeten in kubieke meters. Onverwacht, toch?) Teken een zwembad: een bodem van een meter groot en een meter diep en probeer te berekenen hoeveel meter per meter kubussen je zwembad zullen binnenkomen.

Wijs met je vinger en tel! Een, twee, drie, vier...tweeëntwintig, drieëntwintig... Hoeveel is het geworden? Niet verdwaald? Is het moeilijk om met je vinger te tellen? Zodat! Neem een voorbeeld van wiskundigen. Ze zijn lui, dus ze merkten dat om het volume van het zwembad te berekenen, je de lengte, breedte en hoogte met elkaar moet vermenigvuldigen. In ons geval is het volume van het zwembad gelijk aan kubussen ... Makkelijker, toch?

Stel je nu eens voor hoe lui en sluw wiskundigen zijn als ze dat te gemakkelijk maken. Alles teruggebracht tot één actie. Ze merkten dat de lengte, breedte en hoogte gelijk zijn en dat hetzelfde getal met zichzelf wordt vermenigvuldigd... En wat betekent dit? Dit betekent dat je de graad kunt gebruiken. Dus wat je ooit met een vinger telde, doen ze in één handeling: drie in een kubus is gelijk. Het is zo geschreven:

Blijft alleen onthoud de tabel met graden. Tenzij je natuurlijk net zo lui en sluw bent als wiskundigen. Als je graag hard werkt en fouten maakt, kun je met je vinger blijven tellen.

Om je er eindelijk van te overtuigen dat de diploma's zijn uitgevonden door instappers en sluwe mensen om hun levensproblemen op te lossen, en niet om problemen voor je te creëren, zijn hier nog een paar voorbeelden uit het leven.

Voorbeeld uit het echte leven #4

Je hebt een miljoen roebel. Aan het begin van elk jaar verdient u voor elk miljoen nog een miljoen. Dat wil zeggen, elk van uw miljoen aan het begin van elk jaar verdubbelt. Hoeveel geld heb je over jaren? Als je nu zit en "telt met je vinger", dan ben je een heel hardwerkend persoon en.. dom. Maar hoogstwaarschijnlijk geef je binnen een paar seconden antwoord, want je bent slim! Dus in het eerste jaar - twee keer twee ... in het tweede jaar - wat er gebeurde, met nog twee, in het derde jaar ... Stop! Je hebt gemerkt dat het getal een keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Dus twee tot de vijfde macht is een miljoen! Stel je nu voor dat je een wedstrijd hebt en degene die sneller rekent, krijgt deze miljoenen ... Is het de moeite waard om de graden van getallen te onthouden, wat denk je?

Voorbeeld uit het echte leven #5

Je hebt een miljoen. Aan het begin van elk jaar verdien je er twee voor elk miljoen. Het is geweldig toch? Elk miljoen wordt verdrievoudigd. Hoeveel geld heb je over een jaar? Laten we tellen. Het eerste jaar - vermenigvuldigen met, dan het resultaat met een ander ... Het is al saai, want je hebt alles al begrepen: drie is vermenigvuldigd met zichzelf keer. Dus de vierde macht is een miljoen. Je hoeft alleen maar te onthouden dat drie tot de vierde macht of is.

Nu weet je dat je je leven veel gemakkelijker zult maken door een getal tot een macht te verheffen. Laten we eens kijken wat je met diploma's kunt doen en wat je erover moet weten.

Termen en concepten ... om niet in de war te raken

Laten we dus eerst de concepten definiëren. Wat denk je, wat is exponent?? Het is heel eenvoudig - dit is het getal dat "bovenaan" staat van de macht van het getal. Niet wetenschappelijk, maar duidelijk en makkelijk te onthouden...

Nou, tegelijkertijd, wat? zo'n basis van graad? Nog eenvoudiger is het nummer dat onderaan staat, aan de basis.

Hier is een foto voor de zekerheid.

Welnu, in algemene termen, om te generaliseren en beter te onthouden ... Een graad met een basis "" en een indicator "" wordt gelezen als "in de graad" en wordt als volgt geschreven:

Macht van een getal met een natuurlijke exponent

Je raadt het waarschijnlijk al: want de exponent is een natuurlijk getal. Ja, maar wat is? natuurlijk nummer? Elementair! Natuurlijke getallen zijn getallen die worden gebruikt bij het tellen bij het opsommen van items: één, twee, drie ... Als we items tellen, zeggen we niet: "min vijf", "min zes", "min zeven". We zeggen ook niet "een derde" of "nulpunt vijf tienden". Dit zijn geen natuurlijke getallen. Wat denk je dat deze cijfers zijn?

Getallen zoals "min vijf", "min zes", "min zeven" verwijzen naar: hele getallen. In het algemeen omvatten gehele getallen alle natuurlijke getallen, getallen tegengesteld aan natuurlijke getallen (dat wil zeggen, genomen met een minteken) en een getal. Zero is gemakkelijk te begrijpen - dit is wanneer er niets is. En wat betekenen negatieve ("min") getallen? Maar ze zijn vooral uitgevonden om schulden aan te duiden: als je een saldo op je telefoon hebt in roebels, betekent dit dat je de operator roebels verschuldigd bent.

Alle breuken zijn rationale getallen. Hoe zijn ze ontstaan, denk je? Erg makkelijk. Enkele duizenden jaren geleden ontdekten onze voorouders dat ze niet genoeg natuurlijke getallen hadden om lengte, gewicht, oppervlakte enz. te meten. En ze bedachten rationele nummers… Interessant, nietwaar?

Er zijn ook irrationele getallen. Wat zijn deze cijfers? Kortom, een oneindige decimale breuk. Als je bijvoorbeeld de omtrek van een cirkel deelt door zijn diameter, krijg je een irrationeel getal.

Overzicht:

Laten we het concept van graad definiëren, waarvan de exponent een natuurlijk getal is (dat wil zeggen, geheel getal en positief).

Elk getal tot de eerste macht is gelijk aan zichzelf:
Een getal kwadrateren is het met zichzelf vermenigvuldigen:
Een getal in blokjes verdelen is het driemaal met zichzelf vermenigvuldigen:

Definitie. Een getal tot een natuurlijke macht verheffen is het getal met zichzelf vermenigvuldigen:
.

Graad eigenschappen

Waar kwamen deze eigenschappen vandaan? Ik zal het je nu laten zien.

Laten we eens kijken wat is en ?

Per definitie:

Hoeveel vermenigvuldigers zijn er in totaal?

Het is heel eenvoudig: we hebben factoren toegevoegd aan de factoren, en het resultaat is factoren.

Maar per definitie is dit de graad van een getal met een exponent, dat wil zeggen: , die moest worden bewezen.

Voorbeeld: Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing:

Voorbeeld: Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing: Het is belangrijk op te merken dat in onze regel: nodig moet dezelfde reden zijn!
Daarom combineren we de graden met de basis, maar blijven een aparte factor:

alleen voor producten van bevoegdheden!

Dat mag je in geen geval schrijven.

2. dat is -de macht van een getal

Net als bij de vorige eigenschap, gaan we naar de definitie van de graad:

Het blijkt dat de uitdrukking één keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dat wil zeggen, volgens de definitie is dit de e macht van het getal:

In feite kan dit "de indicator tussen haakjes zetten" worden genoemd. Maar je kunt dit nooit in totaal doen:

Laten we ons de formules voor verkorte vermenigvuldiging herinneren: hoe vaak wilden we schrijven?

Maar dat is niet waar, echt niet.

Graad met een negatieve basis

Tot nu toe hebben we alleen besproken wat de exponent zou moeten zijn.

Maar wat moet de basis zijn?

In graden van natuurlijke indicator de basis kan zijn elk nummer. We kunnen inderdaad elk getal met elkaar vermenigvuldigen, of ze nu positief, negatief of even zijn.

Laten we eens nadenken over welke tekens ("" of "") gradaties van positieve en negatieve getallen zullen hebben?

Zal het getal bijvoorbeeld positief of negatief zijn? MAAR? ? Met de eerste is alles duidelijk: hoeveel positieve getallen we ook met elkaar vermenigvuldigen, het resultaat zal positief zijn.

Maar de negatieve zijn een beetje interessanter. We herinneren ons immers een simpele regel uit de 6e klas: “een min maal een min geeft een plus.” Dat wil zeggen, of. Maar als we vermenigvuldigen met, blijkt het.

Bepaal zelf welk teken de volgende uitdrukkingen zullen hebben:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Is het je gelukt?

Hier zijn de antwoorden: In de eerste vier voorbeelden hoop ik dat alles duidelijk is? We kijken gewoon naar de basis en exponent en passen de juiste regel toe.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In voorbeeld 5) is alles ook niet zo eng als het lijkt: het maakt niet uit waar de basis gelijk aan is - de graad is even, wat betekent dat het resultaat altijd positief zal zijn.

Behalve als de basis nul is. De basis is niet hetzelfde, toch? Uiteraard niet, want (omdat).

Voorbeeld 6) is niet meer zo eenvoudig!

6 praktijkvoorbeelden

Analyse van de oplossing 6 voorbeelden

Als we geen aandacht besteden aan de achtste graad, wat zien we dan hier? Laten we eens kijken naar het programma van groep 7. Dus onthoud? Dit is de verkorte vermenigvuldigingsformule, namelijk het verschil van kwadraten! We krijgen:

We kijken goed naar de noemer. Het lijkt veel op een van de tellerfactoren, maar wat is er mis? Verkeerde volgorde van termen. Als ze werden verwisseld, zou de regel van toepassing kunnen zijn.

Maar hoe dat te doen? Het blijkt heel eenvoudig te zijn: de even graad van de noemer helpt ons hierbij.

De voorwaarden zijn op magische wijze van plaats veranderd. Dit "fenomeen" is in gelijke mate van toepassing op elke uitdrukking: we kunnen de tekens tussen haakjes vrijelijk veranderen.

Maar het is belangrijk om te onthouden: alle tekens veranderen tegelijkertijd!

Laten we teruggaan naar het voorbeeld:

En nogmaals de formule:

geheel we noemen de natuurlijke getallen, hun tegenpolen (dat wil zeggen, genomen met het teken "") en het getal.

positief integer, en het is niet anders dan natuurlijk, dan ziet alles er precies zo uit als in de vorige sectie.

Laten we nu eens kijken naar nieuwe gevallen. Laten we beginnen met een indicator gelijk aan.

Elk getal tot de macht nul is gelijk aan één:

Zoals altijd vragen we ons af: waarom is dit zo?

Overweeg wat kracht met een basis. Neem bijvoorbeeld en vermenigvuldig met:

Dus we vermenigvuldigden het getal met, en kregen hetzelfde als het was -. Met welk getal moet je vermenigvuldigen zodat er niets verandert? Dat klopt, op. Middelen.

We kunnen hetzelfde doen met een willekeurig getal:

Laten we de regel herhalen:

Elk getal tot de macht nul is gelijk aan één.

Maar er zijn uitzonderingen op veel regels. En hier is het ook daar - dit is een getal (als basis).

Aan de ene kant moet het gelijk zijn aan elke graad - het maakt niet uit hoeveel je nul vermenigvuldigt met zichzelf, je krijgt nog steeds nul, dit is duidelijk. Maar aan de andere kant, zoals elk getal tot op de nulgraad, moet het gelijk zijn. Dus wat is de waarheid hiervan? Wiskundigen besloten niet mee te doen en weigerden de macht nul tot nul te verhogen. Dat wil zeggen, nu kunnen we niet alleen delen door nul, maar het ook verhogen tot de macht nul.

Laten we verder gaan. Naast natuurlijke getallen en getallen bevatten gehele getallen ook negatieve getallen. Om te begrijpen wat een negatieve graad is, doen we hetzelfde als de vorige keer: we vermenigvuldigen een normaal getal met hetzelfde in een negatieve graad:

Vanaf hier is het al gemakkelijk om het gewenste uit te drukken:

Nu breiden we de resulterende regel uit naar een willekeurige mate:

Dus, laten we de regel formuleren:

Een getal tot een negatieve macht is het omgekeerde van hetzelfde getal tot een positieve macht. Maar op het zelfde moment basis kan niet nul zijn:(omdat het onmogelijk is om te delen).

Laten we samenvatten:

I. Uitdrukking is niet gedefinieerd in geval. Als dan.

II. Elk getal tot de macht nul is gelijk aan één: .

III. Een getal dat niet gelijk is aan nul tot een negatieve macht is het omgekeerde van hetzelfde getal tot een positieve macht: .

Taken voor zelfstandige oplossing:

Nou, zoals gewoonlijk, voorbeelden voor een onafhankelijke oplossing:

Analyse van taken voor onafhankelijke oplossing:

Ik weet het, ik weet het, de cijfers zijn eng, maar op het examen moet je overal op voorbereid zijn! Los deze voorbeelden op of analyseer hun oplossing als je het niet kon oplossen en je leert hoe je er gemakkelijk mee om kunt gaan in het examen!

Laten we doorgaan met het uitbreiden van het bereik van getallen "geschikt" als exponent.

Overweeg nu: rationele nummers. Welke getallen worden rationaal genoemd?

Antwoord: alles wat kan worden weergegeven als een breuk, waarbij en bovendien gehele getallen zijn.

Om te begrijpen wat is "fractionele graad" Laten we een breuk beschouwen:

Laten we beide kanten van de vergelijking tot een macht verheffen:

Onthoud nu de regel "graad tot graad":

Welk getal moet tot een macht worden verheven om te krijgen?

Deze formulering is de definitie van de wortel van de e graad.

Laat me je eraan herinneren: de wortel van de e macht van een getal () is een getal dat, wanneer het wordt verheven tot een macht, gelijk is.

Dat wil zeggen, de wortel van de e graad is de inverse bewerking van machtsverheffing: .

Het blijkt dat. Uiteraard kan dit speciale geval worden uitgebreid: .

Voeg nu de teller toe: wat is het? Het antwoord is gemakkelijk te krijgen met de power-to-power-regel:

Maar kan de basis een willekeurig getal zijn? De wortel kan immers niet uit alle getallen worden geëxtraheerd.

Geen!

Onthoud de regel: elk getal dat tot een even macht wordt verheven, is een positief getal. Dat wil zeggen, het is onmogelijk om wortels van een even graad te extraheren uit negatieve getallen!

En dit betekent dat dergelijke getallen niet kunnen worden verhoogd tot een fractionele macht met een even noemer, dat wil zeggen dat de uitdrukking niet klopt.

Hoe zit het met expressie?

Maar hier doet zich een probleem voor.

Het getal kan worden weergegeven als andere, gereduceerde breuken, bijvoorbeeld of.

En het blijkt dat het bestaat, maar niet bestaat, en dit zijn slechts twee verschillende records van hetzelfde nummer.

Of een ander voorbeeld: een keer, dan mag je het opschrijven. Maar zodra we de indicator op een andere manier schrijven, krijgen we opnieuw problemen: (dat wil zeggen, we hebben een heel ander resultaat!).

Overweeg om dergelijke paradoxen te vermijden: alleen positieve basisexponent met fractionele exponent.

Dus indien:

- natuurlijk nummer;
is een geheel getal;

Voorbeelden:

Machten met een rationale exponent zijn erg handig voor het transformeren van uitdrukkingen met wortels, bijvoorbeeld:

5 praktijkvoorbeelden

Analyse van 5 voorbeelden voor training

Nou, nu - de moeilijkste. Nu zullen we analyseren: graad met een irrationele exponent.

Alle regels en eigenschappen van graden zijn hier precies hetzelfde als voor graden met een rationale exponent, met uitzondering van

Inderdaad, per definitie zijn irrationele getallen getallen die niet kunnen worden weergegeven als een breuk, waarbij en gehele getallen zijn (dat wil zeggen, irrationele getallen zijn alle reële getallen behalve rationale getallen).

Bij het bestuderen van graden met een natuurlijke, integere en rationele indicator, bedachten we elke keer een bepaald "beeld", "analogie" of beschrijving in meer bekende termen.

Een natuurlijke exponent is bijvoorbeeld een getal dat meerdere keren met zichzelf is vermenigvuldigd;

...nul vermogen- dit is als het ware een getal dat eenmaal met zichzelf is vermenigvuldigd, dat wil zeggen, het is nog niet begonnen te vermenigvuldigen, wat betekent dat het getal zelf nog niet eens is verschenen - daarom is het resultaat slechts een zekere "voorbereiding van een nummer”, namelijk een nummer;

...negatieve integer exponent- het is alsof er een bepaald "omgekeerd proces" heeft plaatsgevonden, dat wil zeggen dat het getal niet met zichzelf is vermenigvuldigd, maar gedeeld.

Trouwens, de wetenschap gebruikt vaak een graad met een complexe exponent, dat wil zeggen, een exponent is niet eens een reëel getal.

Maar op school denken we niet aan dergelijke moeilijkheden; je krijgt de kans om deze nieuwe concepten op het instituut te begrijpen.

WAAR WE ER ZEKER VAN ZIJN DAT JE GAAT! (als je leert hoe je zulke voorbeelden kunt oplossen :))

Bijvoorbeeld:

Beslis voor jezelf:

Analyse van oplossingen:

1. Laten we beginnen met de al gebruikelijke regel voor het verhogen van een graad tot een graad:

Kijk nu naar de score. Doet hij je ergens aan denken? We herinneren ons de formule voor verkorte vermenigvuldiging van het verschil van kwadraten:

In dit geval,

Het blijkt dat:

Antwoorden: .

2. We brengen breuken in exponenten in dezelfde vorm: beide decimaal of beide gewoon. We krijgen bijvoorbeeld:

Antwoord: 16

3. Niets bijzonders, we passen de gebruikelijke eigenschappen van graden toe:

GEVORDERD NIVEAU

Definitie van graad

De graad is een uitdrukking van de vorm: , waarbij:

— basis van graad;
- exponent.

Graad met natuurlijke exponent (n = 1, 2, 3,...)

Een getal verhogen tot de natuurlijke macht n betekent het getal met zichzelf vermenigvuldigen:

Macht met integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Als de exponent is positief integer nummer:

erectie naar nul vermogen:

De uitdrukking is onbepaald, omdat enerzijds dit tot op zekere hoogte dit is, en anderzijds elk getal tot op de graad dit.

Als de exponent is geheel getal negatief nummer:

(omdat het onmogelijk is om te delen).

Nog een keer over nulls: de uitdrukking is niet gedefinieerd in de case. Als dan.

Voorbeelden:

Graad met rationale exponent

- natuurlijk nummer;
is een geheel getal;

Voorbeelden:

Graad eigenschappen

Laten we, om het oplossen van problemen gemakkelijker te maken, proberen te begrijpen: waar komen deze eigenschappen vandaan? Laten we ze bewijzen.

Even kijken: wat is en?

Per definitie:

Dus aan de rechterkant van deze uitdrukking wordt het volgende product verkregen:

Maar per definitie is dit een macht van een getal met een exponent, dat wil zeggen:

QED

Voorbeeld : Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing : .

Voorbeeld : Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing : Het is belangrijk op te merken dat in onze regel: nodig moet dezelfde basis hebben. Daarom combineren we de graden met de basis, maar blijven een aparte factor:

Een andere belangrijke opmerking: deze regel - alleen voor producten van bevoegdheden!

Dat mag ik in geen geval schrijven.

Net als bij de vorige eigenschap, gaan we naar de definitie van de graad:

Laten we het als volgt herschikken:

Het blijkt dat de uitdrukking één keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dat wil zeggen, volgens de definitie is dit de -de macht van het getal:

In feite kan dit "de indicator tussen haakjes zetten" worden genoemd. Maar je kunt dit nooit in totaal doen:!

Laten we ons de formules voor verkorte vermenigvuldiging herinneren: hoe vaak wilden we schrijven? Maar dat is niet waar, echt niet.

Macht met een negatieve basis.

Tot nu toe hebben we alleen besproken wat zou moeten zijn: inhoudsopgave rang. Maar wat moet de basis zijn? In graden van natuurlijk indicator de basis kan zijn elk nummer .

We kunnen inderdaad elk getal met elkaar vermenigvuldigen, of ze nu positief, negatief of even zijn. Laten we eens nadenken over welke tekens ("" of "") gradaties van positieve en negatieve getallen zullen hebben?

Zal het getal bijvoorbeeld positief of negatief zijn? MAAR? ?

Met de eerste is alles duidelijk: hoeveel positieve getallen we ook met elkaar vermenigvuldigen, het resultaat zal positief zijn.

En zo verder tot in het oneindige: bij elke volgende vermenigvuldiging verandert het teken. U kunt deze eenvoudige regels formuleren:

ook al graad, - aantal positief.
Negatief getal verhoogd tot oneven graad, - aantal negatief.
Een positief getal voor elke macht is een positief getal.
Nul tot elke macht is gelijk aan nul.

Bepaal zelf welk teken de volgende uitdrukkingen zullen hebben:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Is het je gelukt? Hier zijn de antwoorden:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In de eerste vier voorbeelden hoop ik dat alles duidelijk is? We kijken gewoon naar de basis en exponent en passen de juiste regel toe.

In voorbeeld 5) is alles ook niet zo eng als het lijkt: het maakt niet uit waar de basis gelijk aan is - de graad is even, wat betekent dat het resultaat altijd positief zal zijn. Behalve als de basis nul is. De basis is niet hetzelfde, toch? Uiteraard niet, want (omdat).

Voorbeeld 6) is niet meer zo eenvoudig. Hier moet je uitzoeken wat minder is: of? Als je dat onthoudt, wordt dat duidelijk, wat betekent dat het grondtal kleiner is dan nul. Dat wil zeggen, we passen regel 2 toe: het resultaat is negatief.

En opnieuw gebruiken we de definitie van graad:

Alles is zoals gewoonlijk - we noteren de definitie van graden en verdelen ze in elkaar, verdelen ze in paren en krijgen:

Laten we, voordat we de laatste regel analyseren, een paar voorbeelden oplossen.

Bereken de waarden van uitdrukkingen:

Oplossingen :

We krijgen:

We kijken goed naar de noemer. Het lijkt veel op een van de tellerfactoren, maar wat is er mis? Verkeerde volgorde van termen. Als ze omgekeerd waren, zou regel 3 kunnen worden toegepast, maar hoe doe je dat? Het blijkt heel eenvoudig te zijn: de even graad van de noemer helpt ons hierbij.

Als je het vermenigvuldigt met, verandert er niets, toch? Maar nu ziet het er zo uit:

De voorwaarden zijn op magische wijze van plaats veranderd. Dit "fenomeen" is in gelijke mate van toepassing op elke uitdrukking: we kunnen de tekens tussen haakjes vrijelijk veranderen. Maar het is belangrijk om te onthouden: alle tekens veranderen tegelijkertijd! Het kan niet worden vervangen door slechts één bezwaarlijk minpunt voor ons te veranderen!

Laten we teruggaan naar het voorbeeld:

En nogmaals de formule:

Dus nu de laatste regel:

Hoe gaan we het bewijzen? Natuurlijk, zoals gewoonlijk: laten we het begrip graad uitbreiden en vereenvoudigen:

Laten we nu de haakjes openen. Hoeveel brieven zullen er zijn? tijden door vermenigvuldigers - hoe ziet het eruit? Dit is niets anders dan de definitie van een operatie vermenigvuldiging: totaal bleken er vermenigvuldigers te zijn. Dat wil zeggen, het is per definitie een macht van een getal met een exponent:

Voorbeeld:

Graad met irrationele exponent

Naast informatie over de graden voor het gemiddelde niveau, zullen we de graad analyseren met een irrationele indicator. Alle regels en eigenschappen van graden zijn hier precies hetzelfde als voor een graad met een rationale exponent, met de uitzondering - per definitie zijn irrationele getallen getallen die niet kunnen worden weergegeven als een breuk, waarbij en gehele getallen zijn (dat wil zeggen , irrationele getallen zijn allemaal reële getallen behalve rationale getallen).

Bij het bestuderen van graden met een natuurlijke, integere en rationele indicator, bedachten we elke keer een bepaald "beeld", "analogie" of beschrijving in meer bekende termen. Een natuurlijke exponent is bijvoorbeeld een getal dat meerdere keren met zichzelf is vermenigvuldigd; een getal tot de nulgraad is als het ware een getal dat eenmaal met zichzelf is vermenigvuldigd, dat wil zeggen, het is nog niet begonnen te vermenigvuldigen, wat betekent dat het getal zelf nog niet eens is verschenen - daarom is het resultaat slechts een bepaalde “voorbereiding van een nummer”, namelijk een nummer; een graad met een geheel getal negatieve indicator - het is alsof er een bepaald "omgekeerd proces" heeft plaatsgevonden, dat wil zeggen dat het getal niet met zichzelf is vermenigvuldigd, maar gedeeld.

Het is buitengewoon moeilijk om je een graad voor te stellen met een irrationele exponent (net zoals het moeilijk is om je een 4-dimensionale ruimte voor te stellen). Het is eerder een puur wiskundig object dat wiskundigen hebben gemaakt om het concept van een graad uit te breiden tot de hele ruimte van getallen.

Trouwens, de wetenschap gebruikt vaak een graad met een complexe exponent, dat wil zeggen, een exponent is niet eens een reëel getal. Maar op school denken we niet aan dergelijke moeilijkheden; je krijgt de kans om deze nieuwe concepten op het instituut te begrijpen.

Dus wat doen we als we een irrationele exponent zien? We doen ons best om er vanaf te komen! :)

Bijvoorbeeld:

Beslis voor jezelf:

antwoorden:

Onthoud de formule voor het verschil van vierkanten. Antwoorden: .
We brengen breuken in dezelfde vorm: ofwel beide decimalen, ofwel beide gewone. We krijgen bijvoorbeeld: .
Niets bijzonders, we passen de gebruikelijke eigenschappen van graden toe:

SECTIE SAMENVATTING EN BASISFORMULE

Rang heet een uitdrukking van de vorm: , waarbij:

Graad met integer exponent

graad, waarvan de exponent een natuurlijk getal is (d.w.z. geheel getal en positief).

Graad met rationale exponent

graad, waarvan de indicator negatieve en fractionele getallen is.

Graad met irrationele exponent

exponent waarvan de exponent een oneindige decimale breuk of wortel is.

Graad eigenschappen

Kenmerken van graden.

Negatief getal verhoogd tot ook al graad, - aantal positief.
Negatief getal verhoogd tot oneven graad, - aantal negatief.
Een positief getal voor elke macht is een positief getal.
Nul is gelijk aan elke macht.
Elk getal tot de macht nul is gelijk.

NU HEB JE EEN WOORD...

Hoe bevalt het artikel? Laat het me weten in de reacties hieronder of je het leuk vond of niet.

Vertel ons over uw ervaring met de krachteigenschappen.

Misschien heeft u vragen. Of suggesties.

Schrijf in de reacties.

En succes met je examens!

In het kader van dit materiaal zullen we analyseren wat een macht van een getal is. Naast de basisdefinities zullen we formuleren wat graden met natuurlijke, integere, rationale en irrationele exponenten zijn. Zoals altijd zullen alle concepten worden geïllustreerd met voorbeelden van taken.

Yandex.RTB RA-339285-1

Eerst formuleren we de basisdefinitie van een graad met een natuurlijke exponent. Om dit te doen, moeten we de basisregels van vermenigvuldiging onthouden. Laten we van tevoren duidelijk maken dat we voorlopig een reëel getal als basis nemen (laten we het aanduiden met de letter a), en als een indicator - een natuurlijk getal (aangegeven met de letter n).

Definitie 1

De macht van a met een natuurlijke exponent n is het product van het n-de aantal factoren, die elk gelijk zijn aan het aantal a. De graad is als volgt geschreven: een, en in de vorm van een formule, kan de samenstelling ervan als volgt worden weergegeven:

Als de exponent bijvoorbeeld 1 is en het grondtal a, dan wordt de eerste macht van a geschreven als een 1. Gegeven dat a de waarde van de factor is en 1 het aantal factoren, kunnen we concluderen dat een 1 = een.

Over het algemeen kunnen we zeggen dat de graad een handige vorm is om een groot aantal gelijke factoren te schrijven. Dus een record van het formulier 8 8 8 8 kan worden teruggebracht tot 8 4 . Op vrijwel dezelfde manier helpt het product ons te voorkomen dat we een groot aantal termen moeten schrijven (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); we hebben dit al geanalyseerd in het artikel dat is gewijd aan de vermenigvuldiging van natuurlijke getallen.

Hoe het record van de graad correct te lezen? De algemeen aanvaarde optie is "a tot de macht n". Of je kunt "de n-de macht van a" of "de n-de macht" zeggen. Als er bijvoorbeeld in het voorbeeld een vermelding is 8 12 , kunnen we "8 tot de 12e macht", "8 tot de 12e macht" of "12e macht van 8" lezen.

De tweede en derde graad van het getal hebben hun eigen gevestigde namen: vierkant en kubus. Als we bijvoorbeeld de tweede macht van het getal 7 (7 2) zien, dan kunnen we zeggen "7 kwadraat" of "kwadraat van het getal 7". Evenzo wordt de derde graad als volgt gelezen: 5 3 is de "kubus van het getal 5" of "5 in blokjes". Het is echter ook mogelijk om de standaard bewoording “in de tweede/derde graad” te gebruiken, dit zal geen vergissing zijn.

voorbeeld 1

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van een graad met een natuurlijke indicator: for 5 7 vijf zullen de basis zijn en zeven zullen de indicator zijn.

Het grondtal hoeft geen geheel getal te zijn: voor de graad (4 , 32) 9 het grondtal is een breuk 4, 32 en de exponent is negen. Let op de haakjes: zo'n notatie wordt gemaakt voor alle graden, waarvan de basis verschilt van natuurlijke getallen.

Bijvoorbeeld: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Waar zijn de beugels voor? Ze helpen fouten in berekeningen te voorkomen. Laten we zeggen dat we twee items hebben: (− 2) 3 en − 2 3 . De eerste van hen betekent een negatief getal minus twee, verheven tot een macht met een natuurlijke exponent van drie; de tweede is het getal dat overeenkomt met de tegenovergestelde waarde van de graad 2 3 .

Soms vind je in boeken een iets andere spelling van de graad van een getal - een^n(waarbij a het grondtal is en n de exponent). Dus 4^9 is hetzelfde als 4 9 . Als n een meercijferig getal is, staat het tussen haakjes. Bijvoorbeeld 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Maar we zullen de notatie gebruiken een als gebruikelijker.

Hoe je de waarde van een graad met een natuurlijke exponent kunt berekenen, is gemakkelijk te raden uit de definitie: je hoeft alleen maar een n -de aantal keer te vermenigvuldigen. We schreven hier meer over in een ander artikel.

Het concept van graad is het tegenovergestelde van een ander wiskundig concept - de wortel van een getal. Als we de waarde van de exponent en de exponent kennen, kunnen we de basis ervan berekenen. De graad heeft een aantal specifieke eigenschappen die nuttig zijn voor het oplossen van problemen die we in een apart materiaal hebben geanalyseerd.

De exponenten kunnen niet alleen natuurlijke getallen bevatten, maar in het algemeen alle gehele getallen, inclusief negatieve enen en nullen, omdat ze ook tot de verzameling gehele getallen behoren.

Definitie 2

De graad van een getal met een positieve integer-exponent kan als formule worden weergegeven: .

Bovendien is n elk positief geheel getal.

Laten we het hebben over het concept van nul graden. Om dit te doen, gebruiken we een benadering die rekening houdt met de eigenschap van het quotiënt voor machten met gelijke basen. Het is als volgt geformuleerd:

Definitie 3

Gelijkwaardigheid een m: een n = een m − n zal waar zijn onder de volgende voorwaarden: m en n zijn natuurlijke getallen, m< n , a ≠ 0 .

De laatste voorwaarde is belangrijk omdat het delen door nul vermijdt. Als de waarden van m en n gelijk zijn, krijgen we het volgende resultaat: een n: een n = een n − n = een 0

Maar tegelijkertijd een n: een n = 1 - quotiënt van gelijke getallen een en een. Het blijkt dat de nulgraad van elk niet-nul getal gelijk is aan één.

Een dergelijk bewijs is echter niet geschikt voor nul tot de macht nul. Om dit te doen, hebben we een andere eigenschap van machten nodig - de eigenschap van producten van machten met gelijke basen. Het ziet er zo uit: een m een n = een m + n .

Als n 0 is, dan een m een 0 = een m(deze gelijkheid bewijst ons ook dat een 0 = 1). Maar als en ook gelijk is aan nul, dan heeft onze gelijkheid de vorm 0 m 0 0 = 0 m, Het zal waar zijn voor elke natuurlijke waarde van n, en het maakt niet uit wat de waarde van de graad precies is 0 0 , dat wil zeggen, het kan gelijk zijn aan elk getal, en dit heeft geen invloed op de geldigheid van de gelijkheid. Daarom een record van het formulier 0 0 heeft op zichzelf geen speciale betekenis en we zullen het er ook niet aan toeschrijven.

Indien gewenst is het eenvoudig te controleren dat een 0 = 1 convergeert met de eigenschap graden (een m) n = een m n op voorwaarde dat de basis van de graad niet gelijk is aan nul. Dus de graad van elk niet-nul getal met een nul-exponent is gelijk aan één.

Voorbeeld 2

Laten we eens kijken naar een voorbeeld met specifieke getallen: Dus, 5 0 - eenheid, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , en de waarde 0 0 ongedefinieerd.

Na de nulgraad blijft het aan ons om uit te zoeken wat een negatieve graad is. Hiervoor hebben we dezelfde eigenschap van het product van machten met gelijke basen nodig, die we hierboven al hebben gebruikt: a m · a n = a m + n.

We introduceren de voorwaarde: m = − n , dan mag a niet gelijk zijn aan nul. Het volgt dat een n een n = een − n + n = een 0 = 1. Het blijkt dat een n en een we hebben wederzijds wederzijdse nummers.

Als resultaat is a tot een negatief geheel getal de macht niets anders dan een breuk 1 a n .

Deze formulering bevestigt dat voor een graad met een negatieve integer exponent, alle eigenschappen gelden die een graad met een natuurlijke exponent heeft (op voorwaarde dat het grondtal niet gelijk is aan nul).

Voorbeeld 3

De macht a met een negatief geheel getal n kan worden weergegeven als een breuk 1 a n . Dus a - n = 1 a n onder de voorwaarde een ≠ 0 en n is een natuurlijk getal.

Laten we ons idee illustreren met specifieke voorbeelden:

Voorbeeld 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

In het laatste deel van de paragraaf zullen we proberen alles wat er is gezegd duidelijk weer te geven in één formule:

Definitie 4

De macht van a met natuurlijke exponent z is: a z = a z , e c en z is een positief geheel getal 1 , z = 0 en a 0 , (als z = 0 en a = 0 krijgen we 0 0 , de waarden van de uitdrukking 0 0 zijn niet bepaald) 1 a z , als z een negatief geheel getal is en a ≠ 0 (als z een negatief geheel getal is en a = 0 krijgen we 0 z , het is een n d e n t i o n )

Wat zijn graden met een rationale exponent

We hebben de gevallen geanalyseerd waarin de exponent een geheel getal is. U kunt een getal echter ook tot een macht verheffen als de exponent een fractioneel getal is. Dit heet een graad met een rationale exponent. In deze paragraaf zullen we bewijzen dat het dezelfde eigenschappen heeft als de andere bevoegdheden.

Wat zijn rationale getallen? Hun set bevat zowel gehele als fractionele getallen, terwijl fractionele getallen kunnen worden weergegeven als gewone breuken (zowel positief als negatief). We formuleren de definitie van de graad van een getal a met een fractionele exponent m / n, waarbij n een natuurlijk getal is, en m een geheel getal.

We hebben een zekere graad met een fractionele exponent a m n . Om de eigenschap macht in een graad te laten gelden, moet de gelijkheid a m n n = a m n · n = a m waar zijn.

Gegeven de definitie van een n-de wortel en dat a m n n = a m , kunnen we de voorwaarde a m n = a m n accepteren als a m n zinvol is voor de gegeven waarden van m , n en a .

De bovenstaande eigenschappen van de graad met een integer exponent zullen waar zijn onder de voorwaarde a m n = a m n .

De belangrijkste conclusie uit onze redenering is als volgt: de graad van een bepaald getal a met een fractionele exponent m / n is de wortel van de n-de graad van het getal a tot de macht m. Dit is waar als, voor gegeven waarden van m, n en a, de uitdrukking a m n logisch is.

1. We kunnen de waarde van de basis van de graad beperken: neem a, die voor positieve waarden van m groter is dan of gelijk is aan 0, en voor negatieve waarden zal het strikt minder zijn (aangezien voor m ≤ 0 we krijgen 0 m, maar deze graad is niet gedefinieerd). In dit geval ziet de definitie van de graad met een fractionele exponent er als volgt uit:

De fractionele exponent m/n voor een positief getal a is de n-de wortel van a verheven tot de macht m. In de vorm van een formule kan dit als volgt worden weergegeven:

Voor een graad met grondtal nul is deze bepaling ook geschikt, maar alleen als de exponent een positief getal is.

Een macht met grondtal nul en een positieve fractionele exponent m/n kan worden uitgedrukt als

0 m n = 0 m n = 0 onder de voorwaarde van positief geheel getal m en natuurlijke n .

Met een negatieve verhouding m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Laten we een punt opmerken. Omdat we de voorwaarde hebben geïntroduceerd dat a groter is dan of gelijk is aan nul, hebben we enkele gevallen weggegooid.

De uitdrukking a m n is soms nog zinvol voor sommige negatieve waarden van a en sommige negatieve waarden van m . De invoer is dus correct (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , waarbij het grondtal negatief is.

2. De tweede benadering is om de wortel a m n afzonderlijk te beschouwen met even en oneven exponenten. Dan moeten we nog een voorwaarde invoeren: de graad a, in de exponent waarvan er een herleidbare gewone breuk is, wordt beschouwd als de graad a, in de exponent waarvan er de overeenkomstige onherleidbare breuk is. Later zullen we uitleggen waarom we deze aandoening nodig hebben en waarom deze zo belangrijk is. Dus, als we een record a m · k n · k hebben, dan kunnen we het reduceren tot a m n en de berekeningen vereenvoudigen.

Als n een oneven getal is en m positief is en a een willekeurig niet-negatief getal is, dan is a m n logisch. De voorwaarde voor een niet-negatieve a is noodzakelijk, omdat de wortel van een even graad niet wordt geëxtraheerd uit een negatief getal. Als de waarde van m positief is, dan kan a zowel negatief als nul zijn, omdat Een oneven wortel kan worden genomen van elk reëel getal.

Laten we alle gegevens boven de definitie in één item combineren:

Hier betekent m/n een onherleidbare breuk, m is een willekeurig geheel getal en n is een natuurlijk getal.

Definitie 5

Voor elke gewone gereduceerde breuk m · k n · k kan de graad worden vervangen door a m n .

De graad van a met een onherleidbare fractionele exponent m / n - kan worden uitgedrukt als een m n in de volgende gevallen: - voor elke reële a, positieve gehele getallen m en oneven natuurlijke waarden n. Voorbeeld: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Voor elke reële a die niet nul is, negatieve gehele getallen van m en oneven waarden van n, bijvoorbeeld 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Voor elke niet-negatieve a , positieve gehele getallen van m en zelfs n , bijvoorbeeld 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Voor elke positieve a , negatief geheel getal m en zelfs n , bijvoorbeeld 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Bij andere waarden wordt de graad met een fractionele exponent niet bepaald. Voorbeelden van dergelijke bevoegdheden: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Laten we nu het belang van de bovengenoemde voorwaarde uitleggen: waarom een breuk vervangen door een reduceerbare exponent voor een breuk door een onherleidbare. Als we dit niet hadden gedaan, dan zouden we zulke situaties hebben, zeg 6/10 = 3/5. Dan zou (- 1) 6 10 = - 1 3 5 correct moeten zijn, maar - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , en (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

De definitie van de graad met een fractionele exponent, die we eerst hebben gegeven, is in de praktijk handiger om toe te passen dan de tweede, dus we zullen deze blijven gebruiken.

Definitie 6

Dus de macht van een positief getal a met fractionele exponent m / n wordt gedefinieerd als 0 m n = 0 m n = 0 . In geval van negatief a de notatie a m n slaat nergens op. Graad van nul voor positieve fractionele exponenten m/n wordt gedefinieerd als 0 m n = 0 m n = 0 , voor negatieve fractionele exponenten definiëren we de graad van nul niet.

In de conclusies merken we op dat elke fractionele indicator zowel als een gemengd getal als als een decimale breuk kan worden geschreven: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Bij het berekenen is het beter om de exponent te vervangen door een gewone breuk en dan de definitie van de graad te gebruiken met een fractionele exponent. Voor de bovenstaande voorbeelden krijgen we:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Wat zijn graden met irrationele en reële exponent

Wat zijn reële getallen? Hun set bevat zowel rationale als irrationele getallen. Om te begrijpen wat een graad met een echte exponent is, moeten we daarom graden definiëren met rationele en irrationele exponenten. Over rationeel hebben we het hierboven al gehad. Laten we stap voor stap irrationele indicatoren behandelen.

Voorbeeld 5

Stel dat we een irrationeel getal a hebben en een reeks van decimale benaderingen a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Laten we bijvoorbeeld de waarde a = 1 nemen , 67175331 . . . , dan

een 0 = 1, 6, een 1 = 1, 67, een 2 = 1, 671, . . . , een 0 = 1 , 67 , een 1 = 1 , 6717 , een 2 = 1 , 671753 , . . .

We kunnen reeksen benaderingen associëren met een reeks machten a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Als we ons herinneren waar we het eerder over hadden over het verhogen van getallen tot een rationele macht, dan kunnen we de waarden van deze bevoegdheden zelf berekenen.

Neem bijvoorbeeld een = 3, dan een een 0 = 3 1 , 67 , een een 1 = 3 1 , 6717 , een een 2 = 3 1 , 671753 , . . . enz.

De reeks graden kan worden teruggebracht tot een getal, dat de waarde is van de graad met grondtal a en de irrationele exponent a. Dientengevolge: een graad met een irrationele exponent van de vorm 3 1 , 67175331 . . kan worden teruggebracht tot het getal 6, 27.

Definitie 7

De macht van een positief getal a met irrationele exponent a wordt geschreven als een a . De waarde is de limiet van de reeks a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , waarbij een 0 , een 1 , een 2 , . . . zijn opeenvolgende decimale benaderingen van het irrationele getal a. Een graad met een nulbasis kan ook worden gedefinieerd voor positieve irrationele exponenten, terwijl 0 a \u003d 0 So, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. En voor negatieve kan dit niet worden gedaan, omdat bijvoorbeeld de waarde 0 - 5, 0 - 2 π niet is gedefinieerd. Een eenheid die tot een willekeurige irrationele macht is verheven, blijft bijvoorbeeld een eenheid en 1 2 , 1 5 in 2 en 1 - 5 is gelijk aan 1 .

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Machtsformules gebruikt in het proces van het verminderen en vereenvoudigen van complexe uitdrukkingen, bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden.

Nummer c is n-de macht van een getal a wanneer:

Operaties met graden.

1. Door graden met dezelfde basis te vermenigvuldigen, tellen hun indicatoren op:

beneen n = een m + n .

2. Bij de verdeling van graden met dezelfde basis worden hun indicatoren afgetrokken:

3. De graad van het product van 2 of meer factoren is gelijk aan het product van de graden van deze factoren:

(abc…) n = een n b n c n …

4. De graad van een breuk is gelijk aan de verhouding van de graden van het deeltal en de deler:

(a/b) n = een n / b n .

5. Om een macht tot een macht te verheffen, worden de exponenten vermenigvuldigd:

(am) n = een m n .

Elke bovenstaande formule is correct in de richtingen van links naar rechts en vice versa.

Bijvoorbeeld. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaties met wortels.

1. De wortel van het product van meerdere factoren is gelijk aan het product van de wortels van deze factoren:

2. De wortel van de verhouding is gelijk aan de verhouding van het deeltal en de deler van de wortels:

3. Bij het verheffen van een wortel tot een macht is het voldoende om het wortelgetal tot deze macht te verheffen:

4. Als we de graad van de wortel in n een keer en tegelijkertijd verhogen naar n de macht een wortelgetal is, dan verandert de waarde van de wortel niet:

5. Als we de graad van de wortel in n tegelijkertijd rooten n e graad van het wortelgetal, dan verandert de waarde van de wortel niet:

Graad met een negatieve exponent. De graad van een bepaald getal met een niet-positieve (integer) exponent wordt gedefinieerd als één gedeeld door de graad van hetzelfde getal met een exponent gelijk aan de absolute waarde van de niet-positieve exponent:

Formule ben:een n = een m - n kan niet alleen worden gebruikt voor m> n, maar ook bij m< n.

Bijvoorbeeld. a4:a 7 = een 4 - 7 = een -3.

Naar formule ben:een n = een m - n eerlijk geworden m=n, heb je de aanwezigheid van de nulgraad nodig.

Graad met nul exponent. De macht van elk niet-nul getal met een nul-exponent is gelijk aan één.

Bijvoorbeeld. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Graad met een fractionele exponent. Een reëel getal verhogen a tot op zekere hoogte m/n, je moet de root extraheren n de graad van m de macht van dit getal a.