Lineaire vergelijkingen met voorbeelden van constante coëfficiënten. Lineaire inhomogene differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten
Dit artikel onthult de kwestie van het oplossen van lineaire inhomogene differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten. De theorie wordt behandeld samen met voorbeelden van de gegeven problemen. Om onbegrijpelijke termen te ontcijferen, is het noodzakelijk om te verwijzen naar het onderwerp van de basisdefinities en concepten van de theorie van differentiaalvergelijkingen.
Overweeg een lineaire differentiaalvergelijking (LDE) van de tweede orde met constante coëfficiënten van de vorm y "" + p y " + q y \u003d f (x) , waarbij p en q willekeurige getallen zijn, en de bestaande functie f (x) is continu op het integratie-interval x .
Laten we overgaan tot de formulering van de algemene oplossingsstelling voor LIDE.
Yandex.RTB RA-339285-1
Algemene oplossingsstelling voor LDNU
Stelling 1De algemene oplossing, gelegen op het interval x, van een inhomogene differentiaalvergelijking van de vorm y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) met continue integratiecoëfficiënten op x interval f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) en een continue functie f (x) is gelijk aan de som van de algemene oplossing y 0 , die overeenkomt met de LODE, en een bepaalde oplossing y ~ , waarbij de oorspronkelijke inhomogene vergelijking y = y 0 is + y ~ .
Dit laat zien dat de oplossing van zo'n tweede-orde vergelijking de vorm y = y 0 + y ~ heeft. Het algoritme voor het vinden van y 0 wordt beschouwd in het artikel over lineaire homogene differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten. Daarna moet men overgaan tot de definitie van y ~ .
De keuze van een bepaalde oplossing voor de LIDE hangt af van het type beschikbare functie f (x) aan de rechterkant van de vergelijking. Om dit te doen, is het noodzakelijk om de oplossingen van lineaire inhomogene differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten afzonderlijk te beschouwen.
Wanneer f (x) wordt beschouwd als een polynoom van de n-de graad f (x) = P n (x) , volgt daaruit dat een bepaalde oplossing van de LIDE wordt gevonden door een formule van de vorm y ~ = Q n (x ) x γ , waarbij Q n ( x) een polynoom is van graad n, r is het aantal nulwortels van de karakteristieke vergelijking. De waarde van y ~ is een bepaalde oplossing y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , dan de beschikbare coëfficiënten, die worden gedefinieerd door de polynoom
Q n (x) , vinden we met behulp van de methode van onbepaalde coëfficiënten van de gelijkheid y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
voorbeeld 1
Bereken met behulp van de stelling van Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Oplossing
Met andere woorden, het is noodzakelijk om over te gaan tot een bepaalde oplossing van een lineaire inhomogene differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten y "" - 2 y " = x 2 + 1 , die zal voldoen aan de gegeven voorwaarden y (0) = 2 , j " (0) = 1 4 .
De algemene oplossing van een lineaire inhomogene vergelijking is de som van de algemene oplossing die overeenkomt met de vergelijking y 0 of een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking y ~ , dat wil zeggen y = y 0 + y ~ .
Laten we eerst een algemene oplossing zoeken voor de LNDE, en dan een specifieke.
Laten we verder gaan met het vinden van y 0 . Het schrijven van de karakteristieke vergelijking zal helpen bij het vinden van de wortels. We snappen dat
k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2
We ontdekten dat de wortels anders en echt zijn. Daarom schrijven we
y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.
Laten we y ~ vinden. Het is te zien dat de rechterkant van de gegeven vergelijking een polynoom van de tweede graad is, dan is een van de wortels gelijk aan nul. Vanaf hier krijgen we dat een bepaalde oplossing voor y ~ zal zijn
y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, waarbij de waarden van A, B, C neem ongedefinieerde coëfficiënten.
Laten we ze vinden vanuit een gelijkheid van de vorm y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Dan krijgen we dat:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Als we de coëfficiënten gelijkstellen aan dezelfde exponenten x , krijgen we een stelsel van lineaire uitdrukkingen - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Bij het oplossen op een van de manieren vinden we de coëfficiënten en schrijven: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 en y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Deze invoer wordt de algemene oplossing van de oorspronkelijke lineaire inhomogene differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten genoemd.
Om een bepaalde oplossing te vinden die voldoet aan de voorwaarden y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , is het nodig om de waarden te bepalen C1 en C2, gebaseerd op een gelijkheid van de vorm y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
We krijgen dat:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
We werken met het resulterende stelsel vergelijkingen van de vorm C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , waarbij C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .
Als we de stelling van Cauchy toepassen, hebben we dat
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Antwoorden: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Wanneer de functie f (x) wordt weergegeven als een product van een polynoom met graad n en een exponent f (x) = P n (x) e a x , dan verkrijgen we hier dat een bepaalde oplossing van de tweede-orde LIDE zal zijn een vergelijking van de vorm y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , waarbij Q n (x) een polynoom van de n-de graad is, en r het aantal wortels van de karakteristieke vergelijking gelijk aan α is.
De coëfficiënten behorende bij Q n (x) worden gevonden door de gelijkheid y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Voorbeeld 2
Vind de algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van de vorm y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Oplossing
Algemene vergelijking y = y 0 + y ~ . De aangegeven vergelijking komt overeen met de LOD y "" - 2 y " = 0. Het vorige voorbeeld laat zien dat de wortels zijn k1 = 0 en k 2 = 2 en y 0 = C 1 + C 2 e 2 x volgens de karakteristieke vergelijking.
Het is te zien dat de rechterkant van de vergelijking x 2 + 1 · e x is. Vanaf hier wordt LNDE gevonden via y ~ = e a x Q n (x) x γ , waarbij Q n (x) , wat een polynoom van de tweede graad is, waarbij α = 1 en r = 0 , omdat de karakteristieke vergelijking niet hebben een wortel gelijk aan 1. Vandaar dat we dat krijgen
y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .
A, B, C zijn onbekende coëfficiënten, die gevonden kunnen worden door de gelijkheid y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .
Heb het
y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
We stellen de indicatoren voor dezelfde coëfficiënten gelijk en verkrijgen een stelsel lineaire vergelijkingen. Vanaf hier vinden we A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 A = - 1 B = 0 C = - 3
Antwoorden: het is te zien dat y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 is een bepaalde oplossing van LIDE, en y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3
Als de functie wordt geschreven als f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , en een 1 en IN 1 zijn getallen, dan een vergelijking van de vorm y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , waarbij A en B worden beschouwd als onbepaalde coëfficiënten, en r het aantal complexe geconjugeerde wortels gerelateerd aan de karakteristieke vergelijking, gelijk aan ± i . In dit geval wordt het zoeken naar coëfficiënten uitgevoerd door de gelijkheid y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Voorbeeld 3
Vind de algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van de vorm y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Oplossing
Voordat we de karakteristieke vergelijking schrijven, vinden we y 0 . Dan
k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i
We hebben een paar complexe geconjugeerde wortels. Laten we transformeren en krijgen:
y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
De wortels van de karakteristieke vergelijking worden beschouwd als een geconjugeerd paar ± 2 i , dan is f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Dit laat zien dat de zoektocht naar y ~ zal worden gedaan vanuit y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Onbekenden coëfficiënten A en B zullen worden gezocht vanuit een gelijkheid van de vorm y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Laten we transformeren:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Dan wordt gezien dat
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)
Het is noodzakelijk om de coëfficiënten van sinus en cosinus gelijk te stellen. We krijgen een systeem van de vorm:
4 A = 3 4 B = 1 A = - 3 4 B = 1 4
Hieruit volgt dat y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .
Antwoorden: de algemene oplossing van de oorspronkelijke LIDE van de tweede orde met constante coëfficiënten wordt beschouwd als
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Als f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , dan is y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ We hebben dat r het aantal complexe geconjugeerde wortelparen is gerelateerd aan de karakteristieke vergelijking, gelijk aan α ± i β , waarbij P n (x) , Q k (x) , L m ( x) en Nm (x) zijn veeltermen van graad n, k, m, waarbij m = m een x (n, k). Coëfficiënten vinden Lm (x) en Nm (x) wordt geproduceerd op basis van de gelijkheid y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Voorbeeld 4
Vind de algemene oplossing y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Oplossing
Uit de voorwaarde blijkt duidelijk dat:
α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1
Dan is m = m a x (n , k) = 1 . We vinden y 0 door eerst de karakteristieke vergelijking van de vorm te schrijven:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
We ontdekten dat de wortels echt en duidelijk zijn. Dus y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Vervolgens moet een algemene oplossing worden gezocht op basis van een inhomogene vergelijking y ~ van de vorm
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) zonde (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) zonde (5 x))
Het is bekend dat A, B, C coëfficiënten zijn, r = 0, omdat er geen paar geconjugeerde wortels zijn gerelateerd aan de karakteristieke vergelijking met α ± i β = 3 ± 5 · i . Deze coëfficiënten worden gevonden uit de resulterende gelijkheid:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) zonde (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) zonde (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) zonde (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Het vinden van de afgeleide en soortgelijke termen geeft
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))
Na het gelijkstellen van de coëfficiënten, verkrijgen we een systeem van de vorm
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Uit alles volgt dat
y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)zonde(5x))
Antwoorden: nu is de algemene oplossing van de gegeven lineaire vergelijking verkregen:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) zonde (5 x))
Algoritme voor het oplossen van LDNU
Definitie 1Elke andere functie f (x) voor de oplossing voorziet in het oplossingsalgoritme:
- het vinden van de algemene oplossing van de overeenkomstige lineaire homogene vergelijking, waarbij y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , waarbij y 1 en y2 zijn lineair onafhankelijke bepaalde oplossingen van LODE, Vanaf 1 en Vanaf 2 worden beschouwd als willekeurige constanten;
- aanvaarding als algemene oplossing van de LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- definitie van afgeleiden van een functie door een systeem van de vorm C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , en het vinden van functies C1 (x) en C2(x) door integratie.
Voorbeeld 5
Vind de algemene oplossing voor y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .
Oplossing
We gaan verder met het schrijven van de karakteristieke vergelijking, nadat we eerder y 0 , y "" + 36 y = 0 hebben geschreven. Laten we schrijven en oplossen:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = zonde (6 x)
We hebben dat het record van de algemene oplossing van de gegeven vergelijking de vorm zal aannemen y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Het is noodzakelijk om door te gaan naar de definitie van afgeleide functies C1 (x) en C2(x) volgens het systeem met vergelijkingen:
C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Er moet een besluit worden genomen over C1"(x) en C2" (x) met behulp van welke methode dan ook. Dan schrijven we:
C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 en 6 x cos (6 x)
Elk van de vergelijkingen moet worden geïntegreerd. Dan schrijven we de resulterende vergelijkingen:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x zonde (6 x) + C 4
Hieruit volgt dat de algemene oplossing de vorm zal hebben:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x zonde (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 zonde (6 x)
Antwoorden: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)
Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter
We hebben gezien dat, in het geval dat de algemene oplossing van een lineaire homogene vergelijking bekend is, het mogelijk is om een algemene oplossing van een inhomogene vergelijking te vinden door de methode van variatie van willekeurige constanten. De vraag hoe de algemene oplossing van de homogene vergelijking te vinden, bleef echter open. In een bepaald geval, wanneer in de lineaire differentiaalvergelijking (3) alle coëfficiënten p ik(X)= een i - constanten, wordt het heel eenvoudig opgelost, zelfs zonder integratie.
Overweeg een lineaire homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten, d.w.z. vergelijkingen van de vorm
ja (n) + a 1 ja (n – 1) + ... een n – 1 ja " + een n y = 0, (14)
waar een i- constanten (i= 1, 2, ...,n).
Zoals bekend is, voor een lineaire homogene vergelijking van de 1e orde, de oplossing een functie van de vorm e kx. We zullen een oplossing zoeken voor vergelijking (14) in de vorm j (X) = e kx.
Laten we in vergelijking (14) de functie vervangen j (X) en zijn volgordederivaten m (1 £ m£ n)j (m) (X) = k m e kx. Krijgen
(k n + a 1 k n – 1 +… en n – 1 k + een n)e kx = 0,
maar e k x ¹ 0 voor elke X, Dat is waarom
k n + een 1 k n – 1 + ... een n – 1 k + een n = 0. (15)
Vergelijking (15) heet karakteristieke vergelijking, polynoom aan de linkerkant,- karakteristieke veelterm , zijn wortels- karakteristieke wortels differentiaalvergelijking (14).
Conclusie:
functiej (X) = e kx - oplossing van de lineaire homogene vergelijking (14) als en slechts als het getal k - wortel van de karakteristieke vergelijking (15).
Het proces van het oplossen van de lineaire homogene vergelijking (14) wordt dus gereduceerd tot het oplossen van de algebraïsche vergelijking (15).
Er zijn verschillende gevallen van karakteristieke wortels.
1.Alle wortels van de karakteristieke vergelijking zijn reëel en onderscheiden.
In dit geval n verschillende karakteristieke wortels k 1 ,k 2 ,..., k n komt overeen n verschillende oplossingen van de homogene vergelijking (14)
Aangetoond kan worden dat deze oplossingen lineair onafhankelijk zijn en dus een fundamenteel systeem van oplossingen vormen. De algemene oplossing van de vergelijking is dus de functie
waar VAN 1 , C 2 , ..., ~ n - willekeurige constanten.
VOORBEELD 7. Vind de algemene oplossing van de lineaire homogene vergelijking:
a) Bij¢ ¢ (X) - 6Bij¢ (X) + 8Bij(X) = 0,b) Bij¢ ¢ ¢ (X) + 2Bij¢ ¢ (X) - 3Bij¢ (X) = 0.
Oplossing. Laten we een karakteristieke vergelijking maken. Om dit te doen, vervangen we de afgeleide van de volgorde m functies ja(x) in de overeenkomstige graad
k(Bij (m) (x) « k m),
terwijl de functie zelf Bij(X) als de nulde-orde afgeleide wordt vervangen door k 0 = 1.
In geval (a) heeft de karakteristieke vergelijking de vorm k 2 - 6k + 8 = 0. De wortels van deze kwadratische vergelijking k 1 = 2,k 2 = 4. Omdat ze echt en anders zijn, heeft de algemene oplossing de vorm j (X)= C 1 e 2X + Vanaf 2 e 4x.
Voor geval (b) is de karakteristieke vergelijking de derdegraadsvergelijking k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Zoek de wortels van deze vergelijking:
k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,
t . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.
Deze karakteristieke wortels komen overeen met het fundamentele systeem van oplossingen van de differentiaalvergelijking:
j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= e - 3X .
De algemene oplossing, volgens formule (9), is de functie
j (X)= C 1 + C 2 e x + C 3 e - 3X .
II . Alle wortels van de karakteristieke vergelijking zijn verschillend, maar sommige zijn complex.
Alle coëfficiënten van de differentiaalvergelijking (14), en bijgevolg van de karakteristieke vergelijking (15)- reële getallen, dan is er als c onder de karakteristieke wortels een complexe wortel k 1 = een + ib, dat wil zeggen, de geconjugeerde wortel k 2 = ` k 1 = a- ib.Eerste wortel k 1 komt overeen met de oplossing van de differentiaalvergelijking (14)
j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)
(we gebruikten de Euler-formule) e ik x = cosx + isinx). Evenzo, de wortel k 2 = a- ib komt overeen met beslissing
j 2 (X)= e (een - -ib)X = e a x e - ib x= e ax(cosbx - isinbx).
Deze oplossingen zijn complex. Om er reële oplossingen van te krijgen, gebruiken we de eigenschappen van oplossingen van een lineaire homogene vergelijking (zie 13.2). Functies
zijn echte oplossingen van vergelijking (14). Deze oplossingen zijn ook lineair onafhankelijk. Zo kan de volgende conclusie worden getrokken.
Regel 1.Een paar geconjugeerde complexe wortels a± ib van de karakteristieke vergelijking in de FSR van de lineaire homogene vergelijking (14) komt overeen met twee echte specifieke oplossingenen .
VOORBEELD 8. Zoek de algemene oplossing van de vergelijking:
a) Bij¢ ¢ (X) - 2Bij ¢ (X) + 5Bij(X) = 0 ;b) Bij¢ ¢ ¢ (X) - Bij¢ ¢ (X) + 4Bij ¢ (X) - 4Bij(X) = 0.
Oplossing. In het geval van vergelijking (a), de wortels van de karakteristieke vergelijking k 2 - 2k + 5 = 0 zijn twee geconjugeerde complexe getallen
k 1, 2 = .
Daarom komen ze volgens regel 1 overeen met twee echte lineair onafhankelijke oplossingen: en , en de algemene oplossing van de vergelijking is de functie
j (X)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x zonde 2x.
In geval (b), om de wortels van de karakteristieke vergelijking te vinden k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, ontbinden we de linkerkant ervan:
k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.
Daarom hebben we drie karakteristieke wortels: k 1 = 1,k2 , 3 = ± 2i. Cornu k 1 komt overeen met beslissing , en een paar geconjugeerde complexe wortels k 2, 3 = ± 2ik = 0 ± 2i- twee echte oplossingen: en . We stellen de algemene oplossing van de vergelijking samen:
j (X)= C 1 e x + C 2 omdat 2x + C 3 zonde 2x.
III . Onder de wortels van de karakteristieke vergelijking zijn er veelvouden.
Laten k 1 - echte wortel van veelvoud m karakteristieke vergelijking (15), d.w.z. onder de wortels zijn er m gelijke wortels. Elk van hen komt overeen met dezelfde oplossing van de differentiaalvergelijking (14) Echter, include m gelijke oplossingen in de FSR zijn onmogelijk, omdat ze een lineair afhankelijk systeem van functies vormen.
Het kan worden aangetoond dat in het geval van een meervoudige wortel k 1 oplossingen van vergelijking (14), naast de functie, zijn de functies
De functies zijn lineair onafhankelijk op de gehele getallenas, d.w.z. ze kunnen worden opgenomen in de FSR.
Regel 2 echte karakteristieke wortel k 1 veelvouden m in FSR komt overeen m oplossingen:
Als een k 1 - complexe wortel van veelvoud m karakteristieke vergelijking (15), dan is er een geconjugeerde wortel k 1 veelvouden m. Naar analogie krijgen we de volgende regel.
Regel 3. Een paar geconjugeerde complexe wortels a± ib in de FSR komt overeen met 2m reële lineair onafhankelijke oplossingen:
, , ..., ,
, , ..., .
VOORBEELD 9. Zoek de algemene oplossing van de vergelijking:
a) Bij¢ ¢ ¢ (X) + 3Bij¢ ¢ (X) + 3Bij¢ (X)+ ja ( X)= 0;b) IV(X) + 6Bij¢ ¢ (X) + 9Bij(X) = 0.
Oplossing. In geval (a) heeft de karakteristieke vergelijking de vorm
k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
d.w.z. k =- 1 - multipliciteit root 3. Op basis van regel 2 schrijven we de algemene oplossing:
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 x 2 .
De karakteristieke vergelijking in geval (b) is de vergelijking
k 4 + 6k 2 + 9 = 0
of anders,
(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± i .
We hebben een paar geconjugeerde complexe wortels, elk met multipliciteit 2. Volgens regel 3 wordt de algemene oplossing geschreven als
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 + C 4 x .
Uit het bovenstaande volgt dat men voor elke lineaire homogene vergelijking met constante coëfficiënten een fundamenteel systeem van oplossingen kan vinden en een algemene oplossing kan vormen. Daarom is de oplossing van de overeenkomstige inhomogene vergelijking voor elke continue functie f(x) aan de rechterkant kan worden gevonden met behulp van de methode van variatie van willekeurige constanten (zie paragraaf 5.3).
Voorbeeld r10 Vind met behulp van de variatiemethode de algemene oplossing van de inhomogene vergelijking Bij¢ ¢ (X) - Bij¢ (X) - 6Bij(X) = x e 2x .
Oplossing. Eerst vinden we de algemene oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking Bij¢ ¢ (X) - Bij¢ (X) - 6Bij(X) = 0. De wortels van de karakteristieke vergelijking k 2 - k- 6 = 0 zijn k 1 = 3,k 2 = - 2, een algemene oplossing van de homogene vergelijking - functie ` Bij ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
We zoeken een oplossing voor de inhomogene vergelijking in de vorm
Bij( X) = VAN 1 (X)e 3X + C 2 (X)e 2X . (*)
Laten we de Vronsky-determinant vinden
W[e 3X , e 2X ] = .
Laten we het stelsel vergelijkingen (12) samenstellen met betrekking tot de afgeleiden van de onbekende functies VAN ¢ 1 (X) en VAN¢ 2 (X):
Door het systeem op te lossen met behulp van de formules van Cramer, verkrijgen we:
Integreren, vinden we VAN 1 (X) en VAN 2 (X):
Functies vervangen VAN 1 (X) en VAN 2 (X) in gelijkheid (*), krijgen we de algemene oplossing van de vergelijking Bij¢ ¢ (X) - Bij¢ (X) - 6Bij(X) = x e 2x :
In het geval dat de rechterkant van een lineaire inhomogene vergelijking met constante coëfficiënten een speciale vorm heeft, kan een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking worden gevonden zonder toevlucht te nemen tot de methode van variatie van willekeurige constanten.
Beschouw de vergelijking met constante coëfficiënten
ja (n) + een 1 jaar (n– 1) + ... een n – 1 jaar " + een n y = f (x), (16)
f( x) = ebijl(P n(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)
waar P n(x) en Rm(x) - graad polynomen n en m respectievelijk.
Privé oplossing ja*(X) van vergelijking (16) wordt bepaald door de formule
Bij* (X) = x se bijl(Dhr(x)cosbx + Nr(x)sinbx), (18)
waar Dhr(x) en N r(x) - graad polynomen r = max(n, m) met onbepaalde coëfficiënten , a s gelijk aan de veelvoud van de wortel k 0 = een + ib karakteristieke polynoom van vergelijking (16), terwijl wordt aangenomen dat s= 0 als k 0 is geen karakteristieke wortel.
Om een bepaalde oplossing te formuleren met formule (18), moeten we vier parameters vinden: - a, b, r en s. De eerste drie worden bepaald aan de rechterkant van de vergelijking, met r- het is eigenlijk de hoogste x aan de rechterkant gevonden. Parameter s wordt gevonden door het nummer te vergelijken k 0 = een + ib en de verzameling van alle (rekening houdend met veelvouden) karakteristieke wortels van vergelijking (16) die worden gevonden bij het oplossen van de overeenkomstige homogene vergelijking.
Laten we eens kijken naar specifieke gevallen van de vorm van functie (17):
1) bij a ¹ 0, b= 0f(x)= e bijl P n(x);
2) wanneer? a= 0, b ¹ 0f(x)= P n(x) Metosbx + Rm(x)sinbx;
3) wanneer? a = 0, b = 0f(x)=Pn(x).
Opmerking 1. Als P n (x) º 0 of Rm (x)º 0, dan is de rechterkant van de vergelijking f(x) = e ax P n (x)с osbx of f(x) = e ax R m (x)sinbx, d.w.z. bevat slechts één van de functies - cosinus of sinus. Maar in de notatie van een bepaalde oplossing moeten ze beide aanwezig zijn, aangezien ze volgens formule (18) elk worden vermenigvuldigd met een polynoom met onbepaalde coëfficiënten van dezelfde graad r = max(n, m).
Voorbeeld 11. Bepaal de vorm van een bepaalde oplossing van een lineaire homogene vergelijking van de 4e orde met constante coëfficiënten, als de rechterkant van de vergelijking bekend is f(X) = e x(2xcos 3x +(x 2 + 1)zonde 3x) en de wortels van de karakteristieke vergelijking:
a ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;
b ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = ± 1;
in ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = 1 ± 3i.
Oplossing. Aan de rechterkant vinden we dat in de specifieke oplossing Bij*(X), die wordt bepaald door formule (18), parameters: a= 1, b= 3, r= 2. Ze blijven hetzelfde voor alle drie de gevallen, vandaar het aantal k 0 , die de laatste parameter specificeert s formule (18) is gelijk aan k 0 = 1+ 3i. In geval (a) is er geen nummer onder de karakteristieke wortels k 0 = 1 + 3i, middelen, s= 0, en de specifieke oplossing heeft de vorm
ja*(X) = x 0 ex(M 2 (x)omdat 3x + Nee 2 (x)zonde 3x) =
= ex( (Bijl 2 + Bx + C)omdat 3x +(EEN 1 x 2 + B 1 x + C 1)zonde 3x.
In geval (b) het nummer k 0 = 1 + 3i komt slechts één keer voor bij de karakteristieke wortels, wat betekent dat s= 1 en
ja*(X) = x e x((Bijl 2 + Bx + C)omdat 3x +(EEN 1 x 2 + B 1 x + C 1)zonde 3x.
Voor geval (c) hebben we s= 2 en
ja*(X) = x 2 ex((Bijl 2 + Bx + C)omdat 3x +(Een 1 x 2 + B 1 x + C 1)zonde 3x.
In voorbeeld 11 zijn er twee polynomen van de 2e graad met onbepaalde coëfficiënten in het record van de specifieke oplossing. Om een oplossing te vinden, moet u de numerieke waarden van deze coëfficiënten bepalen. Laten we een algemene regel formuleren.
De onbekende coëfficiënten van veeltermen bepalen Dhr(x) en N r(x) gelijkheid (17) wordt het vereiste aantal keren gedifferentieerd, de functie wordt vervangen ja*(X) en zijn afgeleiden in vergelijking (16). Door de linker- en rechterdelen te vergelijken, wordt een systeem van algebraïsche vergelijkingen verkregen voor het vinden van de coëfficiënten.
Voorbeeld 12. Vind een oplossing voor de vergelijking Bij¢ ¢ (X) - Bij¢ (X) - 6Bij(X) = xe 2x, een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking hebben bepaald door de vorm van de rechterkant.
Oplossing. De algemene oplossing van de inhomogene vergelijking heeft de vorm
Bij( X) = ` Bij(X)+j*(X),
waar ` Bij ( X) - de algemene oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking, en ja*(X) - een bepaalde oplossing van een inhomogene vergelijking.
Eerst lossen we de homogene vergelijking op Bij¢ ¢ (X) - Bij¢ (X) - 6Bij(X) = 0. Zijn karakteristieke vergelijking k 2 - k- 6 = 0 heeft twee wortels k 1 = 3,k 2 = - 2, Vervolgens, ` Bij ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
We gebruiken formule (18) om het type specifieke oplossing te bepalen Bij*(X). Functie f(x) = xe 2x is een speciaal geval (a) van formule (17), terwijl een = 2,b= 0 en r= 1, d.w.z. k 0 = 2 + 0ik = 2. Als we de karakteristieke wortels vergelijken, concluderen we dat: s= 0. Als we de waarden van alle parameters in formule (18) substitueren, hebben we: ja*(X) = (Ah + B)e 2X .
Waarden zoeken MAAR en BIJ, vind de afgeleiden van de eerste en tweede orde van de functie ja*(X) = (Ah + B)e 2X :
ja*¢ (X)= Ae 2X + 2(Ah + B)e 2X = (2Ah + A + 2B)e 2x,
ja*¢ ¢ (X) = 2Ae 2X + 2(2Ah + A + 2B)e 2X = (4Ah + 4A+ 4B)e 2X .
Na het vervangen van de functie ja*(X) en zijn afgeleiden in de vergelijking die we hebben
(4Ah + 4A+ 4B)e 2X - (2Ah + A + 2B)e 2X - 6(Ah + B)e 2X =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.
Een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking heeft dus de vorm
ja*(X) = (- 1/4X- 3/16)e 2X ,
en de algemene oplossing - Bij ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Opmerking 2.In het geval dat het Cauchy-probleem voor een inhomogene vergelijking wordt gesteld, moet men eerst een algemene oplossing voor de vergelijking vinden
Bij( X) = ,
alle numerieke waarden van de coëfficiënten in . hebben bepaald Bij*(X). Gebruik vervolgens de beginvoorwaarden en vervang ze door de algemene oplossing (en niet in ja*(X)), vind de waarden van de constanten C i.
Voorbeeld 13. Zoek een oplossing voor het Cauchy-probleem:
Bij¢ ¢ (X) - Bij¢ (X) - 6Bij(X) = xe 2x ,y(0) = 0, ja ¢ (X) = 0.
Oplossing. Algemene oplossing van deze vergelijking
Bij(X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X
werd gevonden in Voorbeeld 12. Om een bepaalde oplossing te vinden die voldoet aan de beginvoorwaarden van het gegeven Cauchy-probleem, verkrijgen we het stelsel vergelijkingen
Om het op te lossen, hebben we C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Daarom is de oplossing voor het Cauchy-probleem de functie
Bij(X) = 1/8e 3X + 1/16e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Opmerking 3(superpositie principe). Als in een lineaire vergelijking L n[ja(x)]= f(x), waar f(x) = f 1 (x)+f 2 (x) en ja* 1 (x) - oplossing van de vergelijking L n[ja(x)]= f 1 (x), a ja* 2 (x) - oplossing van de vergelijking L n[ja(x)]= f 2 (x), dan de functie ja*(X)= ja* 1 (x)+j* 2 (x) is oplossing van de vergelijking L n[ja(x)]= f(x).
VOORBEELD 14. Geef de vorm aan van de algemene oplossing van de lineaire vergelijking
Bij¢ ¢ (X) + 4Bij(X) = x + sinx.
Oplossing. Algemene oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking
` Bij(x) = C 1 omdat 2x + C 2 zonde 2x,
sinds de karakteristieke vergelijking k 2 + 4 = 0 heeft wortels k 1, 2 = ± 2i.De rechterkant van de vergelijking komt niet overeen met formule (17), maar als we de notatie introduceren f 1 (x) = x, f 2 (x) = sinx en gebruik het principe van superpositie , dan kan een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking worden gevonden in de vorm ja*(X)= ja* 1 (x)+j* 2 (x), waar ja* 1 (x) - oplossing van de vergelijking Bij¢ ¢ (X) + 4Bij(X) = x, a ja* 2 (x) - oplossing van de vergelijking Bij¢ ¢ (X) + 4Bij(X) = zonde. Volgens formule (18)
ja* 1 (x) = Ax + B,ja* 2 (x) = Ccosx + Dsinx.
Dan een bepaalde oplossing
ja*(X) \u003d Bijl + B + Ccosx + Dsinx,
vandaar dat de algemene oplossing de vorm heeft
Bij(X) = C 1 omdat 2x + C 2 e - 2X + A x + B + Ccosx + Dsinx.
VOORBEELD 15. Het elektrische circuit bestaat uit een in serie geschakelde stroombron met emf e(t) = E sinmet wie t, inductie L en containers VAN, en
Educatieve instelling "Wit-Russische staat"
agrarische Academie"
Afdeling Hogere Wiskunde
Richtlijnen
over de studie van het onderwerp "Lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde" door studenten van de boekhoudafdeling van de correspondentievorm van onderwijs (NISPO)
Gorki, 2013
Lineaire differentiaalvergelijkingen
tweede orde met constantecoëfficiënten
Lineaire homogene differentiaalvergelijkingen
Lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten heet een vergelijking van de vorm
die. een vergelijking die de gewenste functie en zijn afgeleiden alleen in de eerste graad bevat en hun producten niet bevat. In deze vergelijking 
en 
zijn enkele getallen, en de functie 
gegeven op een bepaald interval 
.
Als een 
op de pauze 
, dan heeft vergelijking (1) de vorm
,
(2)
en belde lineair homogeen . Anders wordt vergelijking (1) genoemd lineair inhomogeen .
Overweeg de complexe functie
,
(3)
waar 
en 
zijn echte functies. Als functie (3) een complexe oplossing is van vergelijking (2), dan is het reële deel 
, en het denkbeeldige deel 
oplossingen 
afzonderlijk genomen zijn oplossingen van dezelfde homogene vergelijking. Elke complexe oplossing van vergelijking (2) genereert dus twee reële oplossingen van deze vergelijking.
Oplossingen van een homogene lineaire vergelijking hebben de volgende eigenschappen:
Als een 
is een oplossing van vergelijking (2), dan is de functie 
, waar VAN- een willekeurige constante, zal ook een oplossing zijn voor vergelijking (2);
Als een 
en 
zijn oplossingen van vergelijking (2), dan is de functie 
zal ook een oplossing zijn voor vergelijking (2);
Als een 
en 
zijn oplossingen van vergelijking (2), dan is hun lineaire combinatie 
zal ook een oplossing zijn voor vergelijking (2), waarbij 
en 
zijn willekeurige constanten.
Functies 
en 
genaamd lineair afhankelijk
op de pauze 
als er zulke nummers zijn 
en 
, die niet tegelijkertijd gelijk zijn aan nul, dat op dit interval de gelijkheid
Als gelijkheid (4) alleen geldt wanneer 
en 
, dan de functies 
en 
genaamd lineair onafhankelijk
op de pauze 
.
voorbeeld 1
. Functies 
en 
zijn lineair afhankelijk, aangezien 
langs de hele getallenlijn. In dit voorbeeld 
.
Voorbeeld 2
. Functies 
en 
zijn lineair onafhankelijk op elk interval, aangezien de gelijkheid 
alleen mogelijk als en 
, en 
.
Constructie van een algemene oplossing van een lineaire homogene
vergelijkingen
Om een algemene oplossing voor vergelijking (2) te vinden, moet je twee van zijn lineair onafhankelijke oplossingen vinden 
en 
. Lineaire combinatie van deze oplossingen 
, waar 
en 
zijn willekeurige constanten, en geven de algemene oplossing van een lineaire homogene vergelijking.
Lineair onafhankelijke oplossingen van vergelijking (2) zullen worden gezocht in de vorm
,
(5)
waar 
- een aantal. Dan 
,
. Laten we deze uitdrukkingen vervangen door vergelijking (2):
of 
.
Omdat 
, dan 
. Dus de functie 
zal een oplossing zijn voor vergelijking (2) als 
zal voldoen aan de vergelijking
.
(6)
Vergelijking (6) heet karakteristieke vergelijking voor vergelijking (2). Deze vergelijking is een algebraïsche kwadratische vergelijking.
Laten 
en 
zijn de wortels van deze vergelijking. Ze kunnen echt en anders zijn, of complex, of echt en gelijk. Laten we deze gevallen eens bekijken.
Laat de wortels 
en 
karakteristieke vergelijkingen zijn reëel en onderscheiden. Dan zijn de oplossingen van vergelijking (2) de functies 
en 
. Deze oplossingen zijn lineair onafhankelijk, aangezien de gelijkheid 
kan alleen worden uitgevoerd wanneer 
, en 
. Daarom heeft de algemene oplossing van vergelijking (2) de vorm
,
waar 
en 
zijn willekeurige constanten.
Voorbeeld 3
.
Oplossing
. De karakteristieke vergelijking voor dit differentieel zal zijn 
. Als we deze kwadratische vergelijking oplossen, vinden we de wortels ervan 
en 
. Functies 
en 
zijn oplossingen van de differentiaalvergelijking. De algemene oplossing van deze vergelijking heeft de vorm 
.
complex getal 
wordt een uitdrukking van de vorm genoemd 
, waar 
en 
zijn reële getallen, en 
wordt de imaginaire eenheid genoemd. Als een 
, dan het nummer 
wordt puur imaginair genoemd. Als 
, dan het nummer 
wordt geïdentificeerd met een reëel getal 
.
Nummer 
wordt het reële deel van het complexe getal genoemd, en 
- het denkbeeldige deel. Als twee complexe getallen alleen van elkaar verschillen in het teken van het imaginaire deel, dan worden ze geconjugeerd genoemd: 
,
.
Voorbeeld 4
. Een kwadratische vergelijking oplossen 
.
Oplossing
. Vergelijkingsdiscriminant 
. Dan. Insgelijks, 
. Deze kwadratische vergelijking heeft dus geconjugeerde complexe wortels.
Laat de wortels van de karakteristieke vergelijking complex zijn, d.w.z. 
,
, waar 
. Oplossingen voor vergelijking (2) kunnen worden geschreven als 
,
of 
,
. Volgens de formules van Euler
,
.
Dan ,. Zoals bekend is, als een complexe functie een oplossing is van een lineaire homogene vergelijking, dan zijn de oplossingen van deze vergelijking zowel de reële als de imaginaire delen van deze functie. De oplossingen van vergelijking (2) zijn dus de functies 
en 
. sinds gelijkheid
kan alleen worden uitgevoerd als 
en 
, dan zijn deze oplossingen lineair onafhankelijk. Daarom heeft de algemene oplossing van vergelijking (2) de vorm
waar 
en 
zijn willekeurige constanten.
Voorbeeld 5
. Vind de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking 
.
Oplossing
. De vergelijking 
is kenmerkend voor het gegeven differentieel. We lossen het op en krijgen complexe wortels 
,
. Functies 
en 
zijn lineair onafhankelijke oplossingen van de differentiaalvergelijking. De algemene oplossing van deze vergelijking heeft de vorm.
Laat de wortels van de karakteristieke vergelijking reëel en gelijk zijn, d.w.z. 
. Dan zijn de oplossingen van vergelijking (2) de functies 
en 
. Deze oplossingen zijn lineair onafhankelijk, aangezien de uitdrukking alleen identiek gelijk aan nul kan zijn wanneer 
en 
. Daarom heeft de algemene oplossing van vergelijking (2) de vorm 
.
Voorbeeld 6
. Vind de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking 
.
Oplossing
. karakteristieke vergelijking 
heeft gelijke wortels 
. In dit geval zijn de lineair onafhankelijke oplossingen van de differentiaalvergelijking de functies 
en 
. De algemene oplossing heeft de vorm 
.
Inhomogene tweede-orde lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten
en speciale rechterkant
De algemene oplossing van de lineaire inhomogene vergelijking (1) is gelijk aan de som van de algemene oplossing 
overeenkomstige homogene vergelijking en een bepaalde oplossing 
inhomogene vergelijking: 
.
In sommige gevallen kan een bepaalde oplossing van een inhomogene vergelijking eenvoudig worden gevonden door de vorm van de rechterkant 
vergelijkingen (1). Laten we eens kijken naar gevallen waarin het mogelijk is.
die. de rechterkant van de inhomogene vergelijking is een polynoom van graad m. Als een 
is geen wortel van de karakteristieke vergelijking, dan moet een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking worden gezocht in de vorm van een polynoom van graad m, d.w.z.
Kansen 
worden bepaald in het proces van het vinden van een bepaalde oplossing.
Als 
is de wortel van de karakteristieke vergelijking, dan moet een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking worden gezocht in de vorm
Voorbeeld 7
. Vind de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking 
.
Oplossing
. De overeenkomstige homogene vergelijking voor deze vergelijking is 
. Zijn karakteristieke vergelijking 
heeft wortels 
en 
. De algemene oplossing van de homogene vergelijking heeft de vorm 
.
Omdat 
is geen wortel van de karakteristieke vergelijking, dan zoeken we een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking in de vorm van een functie 
. Vind de afgeleiden van deze functie 
,
en vervang ze in deze vergelijking:
of . Vergelijk de coëfficiënten bij 
en gratis leden: 
Als we dit systeem oplossen, krijgen we: 
,
. Dan heeft een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking de vorm 
, en de algemene oplossing van deze inhomogene vergelijking is de som van de algemene oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking en de specifieke oplossing van de inhomogene: 
.
Laat de inhomogene vergelijking de vorm hebben
Als een 
is geen wortel van de karakteristieke vergelijking, dan moet een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking in de vorm worden gezocht. Als 
is de wortel van de karakteristieke multipliciteitsvergelijking k
(k=1 of k=2), dan heeft in dit geval de specifieke oplossing van de inhomogene vergelijking de vorm .
Voorbeeld 8
. Vind de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking 
.
Oplossing
. De karakteristieke vergelijking voor de overeenkomstige homogene vergelijking heeft de vorm 
. zijn wortels 
,
. In dit geval wordt de algemene oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking geschreven als 
.
Aangezien het getal 3 niet de wortel van de karakteristieke vergelijking is, moet een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking worden gezocht in de vorm 
. Laten we afgeleiden van de eerste en tweede orde zoeken:,
Substitueer in de differentiaalvergelijking: 
+
+,
+,.
Vergelijk de coëfficiënten bij 
en gratis leden:
Vanaf hier 
,
. Dan heeft een bepaalde oplossing van deze vergelijking de vorm 
, en de algemene oplossing
.
Lagrange-methode voor variatie van willekeurige constanten
De methode van variatie van willekeurige constanten kan worden toegepast op elke inhomogene lineaire vergelijking met constante coëfficiënten, ongeacht de vorm van de rechterkant. Deze methode maakt het mogelijk om altijd een algemene oplossing voor een inhomogene vergelijking te vinden als de algemene oplossing van de bijbehorende homogene vergelijking bekend is.
Laten 
en 
zijn lineair onafhankelijke oplossingen van vergelijking (2). Dan is de algemene oplossing van deze vergelijking 
, waar 
en 
zijn willekeurige constanten. De essentie van de methode van variatie van willekeurige constanten is dat de algemene oplossing van vergelijking (1) wordt gezocht in de vorm
waar 
en 
- nieuwe onbekende functies te vinden. Omdat er twee onbekende functies zijn, zijn er twee vergelijkingen nodig die deze functies bevatten om ze te vinden. Deze twee vergelijkingen vormen het systeem
dat is een lineair algebraïsch stelsel vergelijkingen met betrekking tot 
en 
. Als we dit systeem oplossen, vinden we: 
en 
. Door beide delen van de verkregen gelijkheden te integreren, vinden we:
en 
.
Door deze uitdrukkingen in (9) te substitueren, verkrijgen we de algemene oplossing van de inhomogene lineaire vergelijking (1).
Voorbeeld 9
. Vind de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking 
.
Oplossing.
De karakteristieke vergelijking voor de homogene vergelijking die overeenkomt met de gegeven differentiaalvergelijking is 
. De wortels zijn complex 
,
. Omdat 
en 
, dan 
,
, en de algemene oplossing van de homogene vergelijking heeft de vorm Dan zal de algemene oplossing van deze inhomogene vergelijking worden gezocht in de vorm waarin: 
en 
- onbekende functies.
Het stelsel vergelijkingen voor het vinden van deze onbekende functies heeft de vorm
Als we dit systeem oplossen, vinden we: 
,
. Dan
,
. Laten we de verkregen uitdrukkingen vervangen door de algemene oplossingsformule:
Dit is de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking verkregen door de Lagrange-methode.
Vragen voor zelfbeheersing van kennis
Welke differentiaalvergelijking wordt een tweede-orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten genoemd?
Welke lineaire differentiaalvergelijking wordt homogeen genoemd en welke niet-homogeen?
Wat zijn de eigenschappen van een lineaire homogene vergelijking?
Welke vergelijking wordt karakteristiek genoemd voor een lineaire differentiaalvergelijking en hoe wordt deze verkregen?
In welke vorm is de algemene oplossing van een lineaire homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten geschreven in het geval van verschillende wortels van de karakteristieke vergelijking?
In welke vorm is de algemene oplossing van een lineaire homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten geschreven in het geval van gelijke wortels van de karakteristieke vergelijking?
In welke vorm is de algemene oplossing van een lineaire homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten geschreven in het geval van complexe wortels van de karakteristieke vergelijking?
Hoe wordt de algemene oplossing van een lineaire inhomogene vergelijking geschreven?
In welke vorm wordt een bepaalde oplossing van een lineaire inhomogene vergelijking gezocht als de wortels van de karakteristieke vergelijking verschillend zijn en niet gelijk aan nul, en de rechterkant van de vergelijking een polynoom van graad is m?
In welke vorm wordt een bepaalde oplossing van een lineaire inhomogene vergelijking gezocht als er één nul is tussen de wortels van de karakteristieke vergelijking, en de rechterkant van de vergelijking is een polynoom van graad m?
Wat is de essentie van de Lagrange-methode?
Grondbeginselen van het oplossen van lineaire inhomogene differentiaalvergelijkingen van de tweede orde (LNDE-2) met constante coëfficiënten (PC)
Een CLDE van de tweede orde met constante coëfficiënten $p$ en $q$ heeft de vorm $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, waarbij $f\left( x \right)$ is een continue functie.
De volgende twee beweringen zijn waar met betrekking tot de 2e LNDE met pc.
Neem aan dat een functie $U$ een willekeurige bepaalde oplossing is van een inhomogene differentiaalvergelijking. Laten we ook aannemen dat een functie $Y$ een algemene oplossing (OR) is van de corresponderende lineaire homogene differentiaalvergelijking (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Dan is de OR van LNDE-2 is gelijk aan de som van de aangegeven private en algemene oplossingen, d.w.z. $y=U+Y$.
Als de rechterkant van de 2e orde LIDE de som van functies is, dat wil zeggen $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, dan kun je eerst de PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ vinden die overeenkomen met elk van de functies $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, en schrijf daarna de LNDE-2 PD als $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Oplossing van 2e bestelling LNDE met PC
Het is duidelijk dat de vorm van een of andere PD $U$ van een gegeven LNDE-2 afhangt van de specifieke vorm van zijn rechterkant $f\left(x\right)$. De eenvoudigste gevallen van zoeken naar de PD van LNDE-2 zijn geformuleerd als de volgende vier regels.
Regel nummer 1.
De rechterkant van LNDE-2 heeft de vorm $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, waarbij $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, dat wil zeggen, het heet een polynoom van graad $n$. Dan wordt zijn PR $U$ gezocht in de vorm $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, waarbij $Q_(n) \left(x\right)$ een andere is polynoom van dezelfde graad als $P_(n) \left(x\right)$, en $r$ is het aantal nulwortels van de karakteristieke vergelijking van de corresponderende LODE-2. De coëfficiënten van de polynoom $Q_(n) \left(x\right)$ worden gevonden met de methode van onbepaalde coëfficiënten (NC).
Regel nummer 2.
De rechterkant van LNDE-2 heeft de vorm $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, waarbij $P_(n) \left( x\right)$ is een polynoom van graad $n$. Dan wordt zijn PD $U$ gezocht in de vorm $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, waarbij $Q_(n ) \ left(x\right)$ is een andere veelterm van dezelfde graad als $P_(n) \left(x\right)$, en $r$ is het aantal wortels van de karakteristieke vergelijking van de corresponderende LODE-2 gelijk aan $\alpha $. De coëfficiënten van de polynoom $Q_(n) \left(x\right)$ worden gevonden met de NK-methode.
Regel nummer 3.
Het rechterdeel van LNDE-2 heeft de vorm $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, waarbij $a$, $b$ en $\beta $ bekende getallen zijn. Vervolgens wordt zijn PD $U$ gezocht in de vorm $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) )\right )\cdot x^(r) $, waarbij $A$ en $B$ onbekende coëfficiënten zijn, en $r$ het aantal wortels is van de karakteristieke vergelijking van de corresponderende LODE-2 gelijk aan $i\cdot \bèta $. De coëfficiënten $A$ en $B$ worden gevonden door de NDT-methode.
Regel nummer 4.
De rechterkant van LNDE-2 heeft de vorm $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, waarbij $P_(n) \left(x\right)$ is een polynoom van graad $ n$, en $P_(m) \left(x\right)$ is een polynoom van graad $m$. Vervolgens wordt zijn PD $U$ gezocht in de vorm $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, waarbij $Q_(s) \left(x\right) $ en $ R_(s) \left(x\right)$ zijn polynomen van graad $s$, het getal $s$ is het maximum van twee getallen $n$ en $m$, en $r$ is het aantal wortels van de karakteristieke vergelijking van de corresponderende LODE-2, gelijk aan $\alpha +i\cdot \beta $. De coëfficiënten van de polynomen $Q_(s) \left(x\right)$ en $R_(s) \left(x\right)$ worden gevonden met de NK-methode.
De NK-methode bestaat uit het toepassen van de volgende regel. Om de onbekende coëfficiënten van de polynoom te vinden, die deel uitmaken van de specifieke oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking LNDE-2, is het noodzakelijk:
- vervang de PD $U$, geschreven in algemene vorm, in het linkerdeel van LNDE-2;
- voer aan de linkerkant van LNDE-2 vereenvoudigingen uit en groepeer termen met dezelfde bevoegdheden $x$;
- stel in de resulterende identiteit de coëfficiënten van de termen gelijk aan dezelfde machten $x$ van de linker- en rechterkant;
- los het resulterende stelsel lineaire vergelijkingen op voor onbekende coëfficiënten.
voorbeeld 1
Taak: zoek de OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Zoek ook de PR , die voldoet aan de beginvoorwaarden $y=6$ voor $x=0$ en $y"=1$ voor $x=0$.
Schrijf de corresponderende LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Karakteristieke vergelijking: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. De wortels van de karakteristieke vergelijking: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Deze wortels zijn echt en onderscheiden. De OR van de corresponderende LODE-2 heeft dus de vorm: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Het rechterdeel van deze LNDE-2 heeft de vorm $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Het is noodzakelijk om rekening te houden met de coëfficiënt van de exponent van de exponent $\alpha =3$. Deze coëfficiënt valt niet samen met een van de wortels van de karakteristieke vergelijking. Daarom heeft de PR van deze LNDE-2 de vorm $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
We gaan op zoek naar de coëfficiënten $A$, $B$ met behulp van de NK-methode.
We vinden de eerste afgeleide van de CR:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \rechts)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
We vinden de tweede afgeleide van de CR:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
We vervangen de functies $U""$, $U"$ en $U$ in plaats van $y""$, $y"$ en $y$ in de gegeven LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Tegelijkertijd, aangezien de exponent $e^(3\cdot x) $ is opgenomen als een factor in alle componenten, dan kan het worden weggelaten.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
We voeren acties uit aan de linkerkant van de resulterende gelijkheid:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
We gebruiken de NC-methode. We krijgen een stelsel lineaire vergelijkingen met twee onbekenden:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
De oplossing voor dit systeem is: $A=-2$, $B=-1$.
De CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ voor ons probleem ziet er als volgt uit: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.
De OR $y=Y+U$ voor ons probleem ziet er als volgt uit: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Om een PD te zoeken die aan de gegeven beginvoorwaarden voldoet, vinden we de afgeleide $y"$ OR:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
We vervangen in $y$ en $y"$ de beginvoorwaarden $y=6$ voor $x=0$ en $y"=1$ voor $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
We hebben een stelsel vergelijkingen:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Wij lossen het op. We vinden $C_(1) $ met behulp van de formule van Cramer, en $C_(2) $ wordt bepaald uit de eerste vergelijking:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
De PD van deze differentiaalvergelijking is dus: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.