Logaritme van een negatief getal. Definitie van de logaritme en zijn eigenschappen: theorie en probleemoplossing

Instructie

Noteer de gegeven logaritmische uitdrukking. Als de uitdrukking de logaritme van 10 gebruikt, wordt de notatie ervan verkort en ziet er als volgt uit: lg b is de decimale logaritme. Als de logaritme het getal e als grondtal heeft, dan wordt de uitdrukking geschreven: ln b is de natuurlijke logaritme. Het is duidelijk dat het resultaat van elke de macht is waartoe het grondtal moet worden verheven om het getal b te krijgen.

Wanneer u de som van twee functies vindt, hoeft u ze alleen maar één voor één te onderscheiden en de resultaten op te tellen: (u+v)" = u"+v";

Bij het vinden van de afgeleide van het product van twee functies, is het noodzakelijk om de afgeleide van de eerste functie met de tweede te vermenigvuldigen en de afgeleide van de tweede functie op te tellen, vermenigvuldigd met de eerste functie: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Om de afgeleide van het quotiënt van twee functies te vinden, is het noodzakelijk om van het product van de afgeleide van het deeltal vermenigvuldigd met de delerfunctie het product van de afgeleide van de deler vermenigvuldigd met de delerfunctie af te trekken en te delen dit alles door de delerfunctie in het kwadraat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Als een complexe functie wordt gegeven, dan is het noodzakelijk om de afgeleide van de binnenste functie en de afgeleide van de buitenste te vermenigvuldigen. Zij y=u(v(x)), dan y"(x)=y"(u)*v"(x).

Met behulp van het bovenstaande kunt u bijna elke functie onderscheiden. Laten we dus een paar voorbeelden bekijken:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Er zijn ook taken voor het berekenen van de afgeleide op een punt. Laat de functie y=e^(x^2+6x+5) gegeven worden, je moet de waarde van de functie vinden op het punt x=1.
1) Zoek de afgeleide van de functie: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Bereken de waarde van de functie op het gegeven punt y"(1)=8*e^0=8

Gerelateerde video's

Nuttig advies

Leer de tabel van elementaire afgeleiden. Dit zal veel tijd besparen.

bronnen:

• constante afgeleide

Dus wat is het verschil tussen een irrationele vergelijking en een rationale? Als de onbekende variabele onder het wortelteken staat, wordt de vergelijking als irrationeel beschouwd.

Instructie

De belangrijkste methode voor het oplossen van dergelijke vergelijkingen is de methode om beide delen te verhogen vergelijkingen tot een vierkant. Echter. dit is natuurlijk, de eerste stap is om van het teken af ​​te komen. Technisch gezien is deze methode niet moeilijk, maar soms kan het tot problemen leiden. Bijvoorbeeld de vergelijking v(2x-5)=v(4x-7). Door beide zijden te kwadrateren, krijg je 2x-5=4x-7. Zo'n vergelijking is niet moeilijk op te lossen; x=1. Maar de nummer 1 wordt niet gegeven vergelijkingen. Waarom? Vervang de eenheid in de vergelijking in plaats van de waarde x. En de rechter- en linkerkant zullen uitdrukkingen bevatten die niet logisch zijn, dat wil zeggen. Een dergelijke waarde is niet geldig voor een vierkantswortel. Daarom is 1 een vreemde wortel en daarom heeft deze vergelijking geen wortels.

Dus de irrationele vergelijking wordt opgelost met behulp van de methode van het kwadrateren van beide delen. En nadat de vergelijking is opgelost, moeten externe wortels worden afgesneden. Om dit te doen, vervangt u de gevonden wortels in de oorspronkelijke vergelijking.

Overweeg een andere.
2x+vx-3=0
Natuurlijk kan deze vergelijking worden opgelost met dezelfde vergelijking als de vorige. Verbindingen overbrengen vergelijkingen, die geen vierkantswortel hebben, naar de rechterkant en gebruik dan de kwadratuurmethode. los de resulterende rationale vergelijking en wortels op. Maar een andere, elegantere. Voer een nieuwe variabele in; vx=j. Dienovereenkomstig krijgt u een vergelijking als 2y2+y-3=0. Dat is de gebruikelijke kwadratische vergelijking. Vind zijn wortels; y1=1 en y2=-3/2. Los vervolgens twee op vergelijkingen vx=1; vx \u003d -3/2. De tweede vergelijking heeft geen wortels, uit de eerste vinden we dat x=1. Vergeet niet de noodzaak om de wortels te controleren.

Het oplossen van identiteiten is vrij eenvoudig. Dit vereist het maken van identieke transformaties totdat het doel is bereikt. Met behulp van de eenvoudigste rekenkundige bewerkingen zal de taak dus worden opgelost.

Je zal nodig hebben

• - papier;
• - een pen.

Instructie

De eenvoudigste dergelijke transformaties zijn algebraïsche verkorte vermenigvuldigingen (zoals het kwadraat van de som (verschil), het verschil van kwadraten, de som (verschil), de derde macht van de som (verschil)). Bovendien zijn er veel trigonometrische formules die in wezen dezelfde identiteiten hebben.

Inderdaad, het kwadraat van de som van twee termen is gelijk aan het kwadraat van de eerste plus tweemaal het product van de eerste en de tweede plus het kwadraat van de tweede, dat wil zeggen, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Vereenvoudig beide

Algemene principes van oplossing

Variabele vervangingsmethode

Oplossing van integralen van de tweede soort

Substitutie van integratiegrenzen

Uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben we een privacybeleid ontwikkeld dat beschrijft hoe we uw informatie gebruiken en opslaan. Lees ons privacybeleid en laat het ons weten als je vragen hebt.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of contact met hem op te nemen.

U kunt te allen tijde worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder volgen enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie we verzamelen:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe we uw persoonlijke informatie gebruiken:

• De persoonlijke informatie die we verzamelen, stelt ons in staat contact met u op te nemen en u te informeren over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om u belangrijke mededelingen en berichten te sturen.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, gegevensanalyse en verschillende onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en om u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u meedoet aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke incentive, kunnen we de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking aan derden

Wij verstrekken geen informatie die wij van u hebben ontvangen aan derden.

Uitzonderingen:

• In het geval dat het nodig is - in overeenstemming met de wet, een gerechtelijk bevel, in gerechtelijke procedures en / of op basis van openbare verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is om veiligheidsredenen, wetshandhaving of andere redenen van algemeen belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop, kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de relevante derde partij opvolger.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke informatie te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Behoud van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke informatie veilig is, communiceren we privacy- en beveiligingspraktijken met onze medewerkers en handhaven we strikt de privacypraktijken.

Met de ontwikkeling van de samenleving, de complexiteit van de productie, ontwikkelde zich ook de wiskunde. Beweging van eenvoudig naar complex. Van de gebruikelijke rekenmethode van optellen en aftrekken, met hun herhaalde herhaling, kwamen ze tot het concept van vermenigvuldigen en delen. De reductie van de vermenigvuldiging herhaalde operatie werd het concept van machtsverheffing. De eerste tabellen van de afhankelijkheid van getallen op de basis en het getal van machtsverheffing werden in de 8e eeuw samengesteld door de Indiase wiskundige Varasena. Van hen kunt u het tijdstip van optreden van logaritmen tellen.

historisch overzicht

De heropleving van Europa in de 16e eeuw stimuleerde ook de ontwikkeling van de mechanica. T veel rekenwerk nodig geassocieerd met vermenigvuldiging en deling van meercijferige getallen. De oude tafels hebben een geweldige dienst bewezen. Ze maakten het mogelijk om complexe bewerkingen te vervangen door eenvoudigere - optellen en aftrekken. Een grote stap voorwaarts was het werk van de wiskundige Michael Stiefel, gepubliceerd in 1544, waarin hij het idee van veel wiskundigen realiseerde. Dit maakte het mogelijk om tabellen niet alleen te gebruiken voor graden in de vorm van priemgetallen, maar ook voor willekeurige rationale.

In 1614 introduceerde de Schot John Napier, die deze ideeën ontwikkelde, voor het eerst de nieuwe term 'logaritme van een getal'. Er werden nieuwe complexe tabellen samengesteld voor het berekenen van de logaritmen van sinussen en cosinuslijnen, evenals raaklijnen. Dit verminderde het werk van astronomen aanzienlijk.

Er begonnen nieuwe tabellen te verschijnen, die gedurende drie eeuwen met succes door wetenschappers werden gebruikt. Er ging veel tijd voorbij voordat de nieuwe bewerking in de algebra zijn voltooide vorm kreeg. De logaritme werd gedefinieerd en de eigenschappen ervan werden bestudeerd.

Pas in de 20e eeuw, met de komst van de rekenmachine en de computer, verliet de mensheid de oude tabellen die in de 13e eeuw met succes hadden gewerkt.

Tegenwoordig noemen we de logaritme van b om a te baseren op het getal x, wat de macht is van a, om het getal b te krijgen. Dit wordt geschreven als een formule: x = log a(b).

Log 3(9) is bijvoorbeeld gelijk aan 2. Dit is duidelijk als je de definitie volgt. Als we 3 verheffen tot de macht 2, krijgen we 9.

De geformuleerde definitie legt dus maar één beperking op, de getallen a en b moeten reëel zijn.

Soorten logaritmen

De klassieke definitie wordt de reële logaritme genoemd en is eigenlijk een oplossing van de vergelijking a x = b. De optie a = 1 is borderline en is niet interessant. Opmerking: 1 tot elke macht is 1.

Werkelijke waarde van de logaritme alleen gedefinieerd als het grondtal en het argument groter zijn dan 0 en het grondtal niet gelijk mag zijn aan 1.

Bijzondere plek op het gebied van wiskunde speel logaritmen, die een naam krijgen afhankelijk van de waarde van hun grondtal:

Regels en beperkingen

De fundamentele eigenschap van logaritmen is de regel: de logaritme van een product is gelijk aan de logaritmische som. log abp = log a(b) + log a(p).

Als een variant van deze verklaring zal het zijn: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), de quotiëntfunctie is gelijk aan het verschil van de functies.

Uit de vorige twee regels is gemakkelijk af te leiden dat: log a(b p) = p * log a(b).

Andere eigenschappen zijn onder meer:

Opmerking. Maak geen veelgemaakte fout - de logaritme van de som is niet gelijk aan de som van de logaritmen.

Eeuwenlang was de bewerking van het vinden van de logaritme een nogal tijdrovende taak. Wiskundigen gebruikten de bekende formule van de logaritmische expansietheorie in een polynoom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* ((x^n)/n), waarbij n een natuurlijk getal groter dan 1 is, dat de nauwkeurigheid van de berekening bepaalt.

Logaritmen met andere basen werden berekend met behulp van de stelling over de overgang van het ene naar het andere grondtal en de eigenschap van de logaritme van het product.

Aangezien deze methode erg arbeidsintensief is en bij het oplossen van praktische problemen moeilijk te implementeren, ze gebruikten vooraf gecompileerde tabellen met logaritmen, wat het hele werk enorm versnelde.

In sommige gevallen werden speciaal samengestelde grafieken van logaritmen gebruikt, die minder nauwkeurigheid gaven, maar het zoeken naar de gewenste waarde aanzienlijk versnelden. De curve van de functie y = log a(x), gebouwd op verschillende punten, maakt het mogelijk om de gebruikelijke liniaal te gebruiken om de waarden van de functie op een ander punt te vinden. Lange tijd gebruikten ingenieurs hiervoor het zogenaamde ruitjespapier.

In de 17e eeuw verschenen de eerste aanvullende analoge computercondities, die tegen de 19e eeuw een voltooide vorm hadden gekregen. Het meest succesvolle apparaat werd de rekenliniaal genoemd. Ondanks de eenvoud van het apparaat, heeft het uiterlijk het proces van alle technische berekeningen aanzienlijk versneld, en dit is moeilijk te overschatten. Momenteel zijn nog maar weinig mensen bekend met dit apparaat.

De komst van rekenmachines en computers maakte het zinloos om andere apparaten te gebruiken.

Vergelijkingen en ongelijkheden

De volgende formules worden gebruikt om verschillende vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen met behulp van logaritmen:

• Overgang van het ene naar het andere grondtal: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Als gevolg van de vorige versie: log a(b) = 1 / log b(a).

Om ongelijkheden op te lossen, is het handig om te weten:

• De waarde van de logaritme is alleen positief als zowel het grondtal als het argument beide groter of kleiner zijn dan één; als ten minste één voorwaarde wordt geschonden, is de waarde van de logaritme negatief.
• Als de logaritmefunctie wordt toegepast op de rechter- en linkerkant van de ongelijkheid, en het grondtal van de logaritme is groter dan één, dan blijft het ongelijkheidsteken behouden; anders verandert het.

Taakvoorbeelden

Overweeg verschillende opties voor het gebruik van logaritmen en hun eigenschappen. Voorbeelden met het oplossen van vergelijkingen:

Overweeg de mogelijkheid om de logaritme in de graad te plaatsen:

• Taak 3. Bereken 25^log 5(3). Oplossing: in de omstandigheden van het probleem is de notatie vergelijkbaar met de volgende (5^2)^log5(3) of 5^(2 *log 5(3)). Laten we het anders schrijven: 5^log 5(3*2), of het kwadraat van een getal als functieargument kan worden geschreven als het kwadraat van de functie zelf (5^log 5(3))^2. Met behulp van de eigenschappen van logaritmen is deze uitdrukking 3 ^ 2. Antwoord: als resultaat van de berekening krijgen we 9.

Praktisch gebruik

Omdat het een puur wiskundig hulpmiddel is, lijkt het ver verwijderd van het echte leven dat de logaritme plotseling veel belang heeft gekregen bij het beschrijven van objecten in de echte wereld. Het is moeilijk om een ​​wetenschap te vinden waar deze niet wordt gebruikt. Dit geldt volledig niet alleen voor de natuurlijke, maar ook voor de geesteswetenschappelijke kennisgebieden.

Logaritmische afhankelijkheden

Hier zijn enkele voorbeelden van numerieke afhankelijkheden:

Mechanica en natuurkunde

Historisch gezien hebben mechanica en natuurkunde zich altijd ontwikkeld met behulp van wiskundige onderzoeksmethoden en dienden ze tegelijkertijd als een stimulans voor de ontwikkeling van wiskunde, inclusief logaritmen. De theorie van de meeste natuurwetten is geschreven in de taal van de wiskunde. We geven slechts twee voorbeelden van de beschrijving van natuurkundige wetten met behulp van de logaritme.

Het is mogelijk om het probleem van het berekenen van zo'n complexe hoeveelheid als de snelheid van een raket op te lossen met behulp van de Tsiolkovsky-formule, die de basis legde voor de theorie van ruimteverkenning:

V = I * ln(M1/M2), waarbij

• V is de eindsnelheid van het vliegtuig.
• I is de specifieke impuls van de motor.
• M 1 is de beginmassa van de raket.
• M 2 - eindmassa.

Een ander belangrijk voorbeeld- dit is het gebruik in de formule van een andere grote wetenschapper, Max Planck, die dient om de evenwichtstoestand in de thermodynamica te evalueren.

S = k * ln (Ω), waarbij

• S is een thermodynamische eigenschap.
• k is de Boltzmann-constante.
• Ω is het statistische gewicht van verschillende staten.

Chemie

Minder voor de hand liggend zou het gebruik zijn van formules in de chemie die de verhouding van logaritmen bevatten. Hier zijn slechts twee voorbeelden:

• De Nernst-vergelijking, de toestand van de redoxpotentiaal van het medium in relatie tot de activiteit van stoffen en de evenwichtsconstante.
• De berekening van constanten als de autoprolyse-index en de zuurgraad van de oplossing is ook niet compleet zonder onze functie.

Psychologie en biologie

En het is volkomen onbegrijpelijk wat de psychologie ermee te maken heeft. Het blijkt dat de sterkte van de sensatie door deze functie goed wordt beschreven als de omgekeerde verhouding van de intensiteitswaarde van de stimulus tot de lagere intensiteitswaarde.

Na bovenstaande voorbeelden is het niet meer verwonderlijk dat het thema logaritmen ook in de biologie veel wordt gebruikt. Er kunnen hele boekdelen worden geschreven over biologische vormen die overeenkomen met logaritmische spiralen.

Andere gebieden

Het lijkt erop dat het bestaan ​​van de wereld onmogelijk is zonder verband met deze functie, en het beheerst alle wetten. Zeker als de natuurwetten verbonden zijn met een meetkundig verloop. Het is de moeite waard om naar de MatProfi-website te verwijzen, en er zijn veel van dergelijke voorbeelden in de volgende activiteitsgebieden:

De lijst kan eindeloos zijn. Als je de basiswetten van deze functie onder de knie hebt, kun je je onderdompelen in de wereld van oneindige wijsheid.

274. Opmerkingen.

a) Als de te evalueren uitdrukking bevat: som of verschil getallen, dan moeten ze zonder de hulp van tabellen worden gevonden door gewoon optellen of aftrekken. Bijvoorbeeld:

logboek (35 + 7.24) 5 = 5 logboek (35 + 7.24) = 5 logboek 42.24.

b) Als we weten hoe we uitdrukkingen moeten logaritmen, kunnen we, omgekeerd, uit het gegeven resultaat van de logaritme de uitdrukking vinden waaruit dit resultaat is verkregen; dus indien

log X= log a+log b- 3 logboeken Met,

het is gemakkelijk voor te stellen dat

in) Voordat we verder gaan met het beschouwen van de structuur van logaritmische tabellen, zullen we enkele eigenschappen van decimale logaritmen aangeven, d.w.z. die waarin het getal 10 als basis wordt genomen (alleen dergelijke logaritmen worden gebruikt voor berekeningen).

Hoofdstuk twee.

Eigenschappen van decimale logaritmen.

275 . a) Aangezien 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, enz., dan log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, en etc.

Middelen, de logaritme van een geheel getal vertegenwoordigd door een eenheid met nullen is een positief geheel getal dat evenveel enen bevat als er nullen zijn in de representatie van het getal.

Op deze manier: log 100.000 = 5, log 1000 000 = 6 , enz.

b) Omdat

log 0,1 = -l; log 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4, enz.

Middelen, De logaritme van een decimale breuk, weergegeven door een eenheid met voorloopnullen, is een negatief geheel getal dat net zoveel negatieve eenheden bevat als er nullen zijn in het beeld van de breuk, inclusief 0 gehele getallen.

Op deze manier: log 0.00001= - 5, log 0.000001 = -6, enz.

in) Neem bijvoorbeeld een geheel getal dat niet wordt weergegeven door een eenheid met nullen. 35, of een geheel getal met een breuk, b.v. 10.7. De logaritme van zo'n getal kan geen geheel getal zijn, want door 10 te verhogen tot een macht met een integer exponent (positief of negatief), krijgen we 1 met nullen (na of voorafgaand aan 1). Stel nu dat de logaritme van zo'n getal een breuk is a / b . Dan zouden we gelijkheden hebben

Maar deze gelijkheden zijn onmogelijk, aangezien 10a is 1 met nullen, terwijl machten 35b en 10,7b geen indicator b kan geen 1 met nullen geven. Daarom kan het niet worden toegestaan logboek 35 en logboek 10.7 waren gelijk aan breuken. Maar uit de eigenschappen van de logaritmische functie weten we () dat elk positief getal een logaritme heeft; daarom heeft elk van de getallen 35 en 10.7 zijn eigen logaritme, en aangezien het geen geheel getal of een fractioneel getal kan zijn, is het een irrationeel getal en kan het daarom niet precies in getallen worden uitgedrukt. Gewoonlijk worden irrationele logaritmen ongeveer uitgedrukt als een decimale breuk met meerdere decimalen. Het gehele getal van deze breuk (ook al was het "0 gehele getallen") heet karakteristiek, en het fractionele deel is de mantisse van de logaritme. Als, bijvoorbeeld, de logaritme is 1,5441 , dan is het kenmerk ervan 1 , en de mantisse is 0,5441 .

G) Laten we bijvoorbeeld een geheel getal of gemengd getal nemen. 623 of 623,57 . De logaritme van zo'n getal bestaat uit een kenmerk en een mantisse. Het blijkt dat decimale logaritmen het gemak hebben dat: we kunnen hun kenmerk altijd vinden op één type nummer . Om dit te doen, tellen we hoeveel cijfers er in een bepaald geheel getal zijn, of in het gehele deel van een gemengd getal. In onze voorbeelden van deze getallen 3 . Daarom is elk van de nummers 623 en 623,57 meer dan 100 maar minder dan 1000; wat betekent dat de logaritme van elk van hen groter is log 100, d.w.z. meer 2 , maar minder log 1000, d.w.z. minder 3 (onthoud dat een groter getal ook een grotere logaritme heeft). Vervolgens, logboek 623 = 2,..., en log 623,57 = 2,... (punten vervangen onbekende mantissen).

Zo vinden we:

Laat in het algemeen een bepaald geheel getal, of een geheel getal van een bepaald gemengd getal, bevatten: m cijfers. Aangezien het kleinste gehele getal dat bevat m cijfers, daar 1 Met m - 1 volgnullen, dan (wat het gegeven getal aangeeft) N) kunnen we de ongelijkheden schrijven:

en daarom

m - 1 < log N < m ,

log N = ( m- 1) + positieve breuk.

Dus het kenmerk logN = m - 1 .

We zien op deze manier dat het kenmerk van de logaritme van een geheel getal of gemengd getal bevat evenveel positieve als er cijfers zijn in het gehele deel van het getal zonder één.

Met dit in gedachten kunnen we direct schrijven:

log 7.205 = 0,...; log83 = 1,...; logboek 720.4 = 2,... enz.

e) Laten we enkele decimale breuken nemen die kleiner zijn dan 1 (d.w.z. met 0 gehele getallen): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, enz.

Elk van deze logaritmen is dus ingesloten tussen twee negatieve gehele getallen die één verschillen; dus elk van hen is gelijk aan het kleinste van deze negatieve getallen, vermeerderd met een positieve fractie. Bijvoorbeeld, log0.0056= -3 + positieve fractie. Stel dat deze breuk 0,7482 is. Dat betekent dan:

log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).

Bedragen zoals - 3 + 0,7482 , bestaande uit een negatief geheel getal en een positieve decimale breuk, stemde ermee in om in logaritmische berekeningen afgekort als volgt te schrijven: 3 ,7482 (Zo'n getal luidt: 3 met een min, 7482 tienduizendsten.), d.w.z. plaats een minteken over de eigenschap om aan te geven dat deze alleen naar deze eigenschap verwijst, en niet naar de mantisse, die positief blijft. Uit de bovenstaande tabel blijkt dus dat:

log 0,35 == 1 ,....; log 0,07 = 2 ,....; log 0,0008 = 4 ,....

laat maar . er is een decimale breuk waarin het eerste significante cijfer α kosten m nullen, inclusief 0 gehele getallen. Dan is het duidelijk dat

- m < log A < - (m- 1).

Omdat uit twee gehele getallen: - m en - (m- 1) er is minder m , dan

log A = - m+ positieve breuk,

en daarom het kenmerk log A = - m (met een positieve mantisse).

Op deze manier, het kenmerk van de logaritme van een decimale breuk kleiner dan 1 bevat evenveel negatieve als er nullen zijn in de afbeelding van de decimale breuk voor het eerste significante cijfer, inclusief nul gehele getallen; de mantisse van zo'n logaritme is positief.

e) Vermenigvuldig een aantal N(geheel of fractioneel - het maakt niet uit) door 10, door 100 door 1000..., meestal door 1 met nullen. Laten we eens kijken hoe dit verandert log N. Aangezien de logaritme van het product gelijk is aan de som van de logaritmen van de factoren, dan

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; enz.

Wanneer? log N we voegen een geheel getal toe, dan kunnen we dit getal altijd bij de karakteristiek optellen, en niet bij de mantisse.

Dus als log N = 2,7804, dan 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 enz.;

of als log N = 3,5649, dan 3,5649 + 1 = 2,5649; 3.5649 + 2 = 1.5649, enz.

Door een getal te vermenigvuldigen met 10, 100, 1000, .., meestal met 1 met nullen, verandert de mantisse van de logaritme niet en neemt de karakteristiek toe met zoveel eenheden als er nullen in de vermenigvuldiger zijn .

Evenzo, rekening houdend met het feit dat de logaritme van het quotiënt gelijk is aan de logaritme van het deeltal zonder de logaritme van de deler, krijgen we:

log N/10 = log N - log 10 = log N -1;

log N/100 = log N - log 100 = log N -2;

log N / 1000 = log N - log 1000 = log N -3; enz.

Als we overeenkomen om bij het aftrekken van een geheel getal van de logaritme dit gehele getal altijd van de karakteristiek af te trekken en de mantisse ongewijzigd te laten, dan kunnen we zeggen:

Door een getal te delen door 1 met nullen, verandert de mantisse van de logaritme niet en neemt de karakteristiek af met evenveel eenheden als er nullen in de deler zijn.

276. Gevolgen. Van eigendom ( e) kunnen we de volgende twee uitvloeisels afleiden:

a) De mantisse van de logaritme van een decimaal getal verandert niet van een komma in het getal , omdat het verplaatsen van een komma gelijk staat aan vermenigvuldigen of delen door 10, 100, 1000, enz. Dus de logaritmen van getallen:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

verschillen alleen in kenmerken, maar niet in mantissen (op voorwaarde dat alle mantissen positief zijn).

b) De mantissen van getallen die hetzelfde significante deel hebben, maar aan het eind alleen met nullen verschillen, zijn hetzelfde: dus de logaritmen van getallen: 23, 230, 2300, 23.000 verschillen alleen in kenmerken.

Opmerking. Uit deze eigenschappen van decimale logaritmen blijkt dat we de karakteristiek van de logaritme van een geheel getal en een decimale breuk kunnen vinden zonder de hulp van tabellen (dit is het grote gemak van decimale logaritmen); als resultaat wordt slechts één mantisse in logaritmische tabellen geplaatst; bovendien, aangezien het vinden van de logaritmen van breuken wordt teruggebracht tot het vinden van de logaritmen van gehele getallen (de logaritme van een breuk \u003d de logaritme van de teller zonder de logaritme van de noemer), worden de mantissen van de logaritmen van alleen gehele getallen in de tafels.

Hoofdstuk drie.

Het apparaat en het gebruik van viercijferige tabellen.

277. Systemen van logaritmen. Een systeem van logaritmen is een verzameling logaritmen die wordt berekend voor een reeks opeenvolgende gehele getallen in hetzelfde grondtal. Er worden twee systemen gebruikt: het systeem van gewone of decimale logaritmen, waarbij het getal als basis wordt genomen 10 , en het systeem van zogenaamde natuurlijke logaritmen, waarin het irrationele getal als basis wordt genomen (om enkele redenen die in andere delen van de wiskunde worden begrepen) 2,7182818 ... Voor berekeningen worden decimale logaritmen gebruikt, vanwege de gemakken die we aangaven toen we de eigenschappen van dergelijke logaritmen opsomden.

Natuurlijke logaritmen worden ook Napier's logaritmen genoemd, naar de uitvinder van logaritmen, een Schotse wiskundige. Nepera(1550-1617), en decimale logaritmen - door Brigg genoemd naar professor Brigga(een tijdgenoot en vriend van Napier), die als eerste tabellen van deze logaritmen samenstelde.

278. Transformatie van een negatieve logaritme in een met een positieve mantisse, en inverse transformatie. We hebben gezien dat de logaritmen van getallen kleiner dan 1 negatief zijn. Daarom bestaan ​​​​ze uit een negatief kenmerk en een negatieve mantisse. Dergelijke logaritmen kunnen altijd zo worden getransformeerd dat hun mantisse positief is en de eigenschap negatief blijft. Om dit te doen, volstaat het om een ​​positieve eenheid toe te voegen aan de mantisse en een negatieve eenheid aan het kenmerk (waarvan de waarde van de logaritme natuurlijk niet zal veranderen).

Als we bijvoorbeeld de logaritme - 2,0873 , dan kun je schrijven:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

of afgekort:

Omgekeerd kan elke logaritme met een negatieve eigenschap en een positieve mantisse worden omgezet in een negatieve. Om dit te doen, volstaat het om een ​​​​negatieve eenheid aan een positieve mantisse te hechten en een positieve aan een negatieve eigenschap: dus je kunt schrijven:

279. Beschrijving van viercijferige tabellen. Voor het oplossen van de meeste praktische problemen zijn tabellen met vier cijfers voldoende, waarvan de bediening heel eenvoudig is. Deze tabellen (met hun "logaritmen" bovenaan) zijn aan het einde van dit boek geplaatst, en een klein deel ervan (om de locatie uit te leggen) is afgedrukt op deze pagina. Ze bevatten mantissen

Logaritmen.

logaritmen van alle gehele getallen van 1 voordat 9999 inclusief, berekend tot op vier decimalen, waarbij de laatste van deze decimalen wordt verhoogd met 1 in al die gevallen waarin de 5e decimaal 5 of meer dan 5 zou moeten zijn; daarom geven tabellen met 4 cijfers bij benadering mantissen tot 1 / 2 tienduizendste deel (bij een tekort of bij een overschot).

Aangezien we de logaritme van een geheel getal of een decimale breuk direct kunnen karakteriseren, gebaseerd op de eigenschappen van decimale logaritmen, moeten we alleen de mantisse uit de tabellen nemen; tegelijkertijd moet eraan worden herinnerd dat de positie van de komma in een decimaal getal, evenals het aantal nullen aan het einde van het getal, de waarde van de mantisse niet beïnvloeden. Daarom, wanneer we de mantisse voor een bepaald getal vinden, negeren we de komma in dit getal, evenals de nullen aan het einde ervan, indien aanwezig, en vinden we de mantisse van het gehele getal dat hierna wordt gevormd. In dat geval kunnen zich de volgende gevallen voordoen.

1) Een geheel getal bestaat uit 3 cijfers. Laten we bijvoorbeeld de mantisse van de logaritme van het getal 536 zoeken. De eerste twee cijfers van dit getal, namelijk 53, staan ​​in de tabellen in de eerste verticale kolom aan de linkerkant (zie tabel). Nadat we het getal 53 hebben gevonden, gaan we ervan langs de horizontale lijn naar rechts totdat deze lijn een verticale kolom kruist die door een van de nummers 0, 1, 2, 3, ... 9, bovenaan staat (en onderaan) van de tabel, die het 3e cijfer van dit getal vertegenwoordigt, d.w.z. in ons voorbeeld het getal 6. Op de kruising krijgen we de mantisse 7292 (d.w.z. 0.7292), die hoort bij de logaritme van het getal 536. Evenzo, voor het getal 508 vinden we de mantisse 0.7059, voor het getal 500 vinden we 0.6990 enz.

2) Een geheel getal bestaat uit 2 of 1 cijfer. Dan kennen we mentaal een of twee nullen toe aan dit getal en vinden we de mantisse voor het aldus gevormde driecijferige getal. We kennen bijvoorbeeld één nul toe aan het getal 51, waarvan we 510 krijgen en de mantisse 7070 vinden; we kennen 2 nullen toe aan het getal 5 en vinden de mantisse 6990, enz.

3) Een geheel getal wordt uitgedrukt met 4 cijfers. U moet bijvoorbeeld de mantisse van log 5436 vinden. Dan vinden we eerst in de tabellen, zoals zojuist is aangegeven, de mantisse voor het nummer dat wordt weergegeven door de eerste 3 cijfers van dit nummer, d.w.z. voor 543 (deze mantisse wordt 7348 ); dan gaan we van de gevonden mantisse langs de horizontale lijn naar rechts (naar de rechterkant van de tafel, achter de dikke verticale lijn) tot de kruising met de verticale kolom die door een van de getallen gaat: 1, 2 3, . .. 9, staande bovenaan (en onderaan ) van dit deel van de tabel, dat het 4e cijfer van een bepaald getal vertegenwoordigt, d.w.z. in ons voorbeeld het getal 6. Op de kruising vinden we de correctie (getal 5), die in de geest moet worden toegepast op de mantisse 7348 om de mantisse van het nummer 5436 te krijgen; we krijgen dus een mantisse van 0,7353.

4) Een geheel getal wordt uitgedrukt met 5 of meer cijfers. Dan negeren we alle cijfers, behalve de eerste 4, en nemen we een getal van ongeveer vier cijfers, en verhogen het laatste cijfer van dit getal met 1 daarin. het geval wanneer het weggegooide 5e cijfer van het getal 5 of meer is dan 5. Dus in plaats van 57842 nemen we 5784, in plaats van 30257 nemen we 3026, in plaats van 583263 nemen we 5833, enz. Voor dit afgeronde viercijferige getal vinden we de mantisse zoals deze nu is uitgelegd.

Aan de hand van deze instructies zullen we bijvoorbeeld de logaritmen van de volgende getallen vinden:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

Laten we om te beginnen, zonder te verwijzen naar de tabellen voor nu, enkele kenmerken neerzetten, waarbij we ruimte laten voor de mantissen, die we hierna uitschrijven:

log 36.5 = 1,.... log 0.00345 = 3 ,....

log 804.7 = 2,.... log 7.2634 = 0,....

log 0.26 = 1 ,.... log 3456.86 = 3,....

log 36.5 = 1.5623; log 0,00345 = 3,5378;

log 804.7 = 2.9057; log 7.2634 = 0.8611;

log 0,26 = 1,4150; log 3456,86 = 3,5387.

280. Opmerking. In sommige viercijferige tabellen (bijvoorbeeld in tabellen) V. Lorchenko en N. Ogloblin, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) correcties voor het 4e cijfer van dit nummer worden niet geplaatst. Bij het omgaan met dergelijke tabellen moeten deze correcties worden gevonden met behulp van een eenvoudige berekening, die kan worden uitgevoerd op basis van de volgende waarheid: als de getallen groter zijn dan 100 en de verschillen daartussen kleiner zijn dan 1, dan zonder gevoelige fout kan worden aangenomen dat: de verschillen tussen de logaritmen zijn evenredig met de verschillen tussen de corresponderende getallen . Laten we bijvoorbeeld de mantisse vinden die overeenkomt met het nummer 5367. Deze mantisse is natuurlijk hetzelfde als voor het nummer 536.7. We vinden de mantisse 7292 in de tabellen voor het getal 536. Als we deze mantisse vergelijken met de mantisse 7300 ernaast, die overeenkomt met het getal 537, zien we dat als het getal 536 met 1 toeneemt, zijn mantisse met 8 tien zal toenemen -duizendsten (8 is de zogenaamde verschil in tabelvorm tussen twee aangrenzende mantissen); als het getal 536 met 0,7 toeneemt, dan zal zijn mantisse niet met 8 tienduizendste toenemen, maar met een kleiner aantal X tienduizendste, die volgens de toegestane evenredigheid moet voldoen aan de verhouding:

X :8=0,7:1; waar X = 8 07 = 5,6,

die is afgerond op 6 tienduizendsten. Dit betekent dat de mantisse voor het getal 536,7 (en dus voor het getal 5367) wordt: 7292 + 6 = 7298.

Merk op dat het vinden van een tussengetal door twee aangrenzende getallen in de tabellen wordt genoemd interpolatie. De hier beschreven interpolatie heet proportioneel, omdat het is gebaseerd op de veronderstelling dat de verandering in de logaritme evenredig is met de verandering in het getal. Het wordt ook lineair genoemd, omdat het ervan uitgaat dat de verandering in de logaritmische functie grafisch wordt uitgedrukt door een rechte lijn.

281. Foutlimiet van de benaderde logaritme. Als het getal waarvan de logaritme wordt gezocht een exact getal is, dan kunnen we voor de foutlimiet van zijn logaritme gevonden in 4-cijferige tabellen, nemen 1 / 2 tienduizendste aandeel. Als het gegeven aantal niet exact is, moet men bij deze foutmarge ook de limiet optellen van een andere fout die voortvloeit uit de onnauwkeurigheid van het nummer zelf. Het is bewezen (we laten dit bewijs achterwege) dat men voor een dergelijke limiet het product kan nemen

a(d +1) tienduizendsten.,

waarin a is de foutmarge van het meest onnauwkeurige getal, ervan uitgaande dat 3 cijfers worden genomen in het gehele deel ervan, a d verschil in tabelvorm van de mantissen die overeenkomen met twee opeenvolgende driecijferige getallen waartussen dit onnauwkeurige getal is ingesloten. Dus de limiet van de uiteindelijke fout van de logaritme wordt dan uitgedrukt door de formule:

1 / 2 + a(d +1) tienduizendste

Voorbeeld. Vind log π , nemen voor π bij benadering aantal 3.14, nauwkeurig tot 1 / 2 honderdste.

Door de komma achter het 3e cijfer in het getal 3.14 te plaatsen, vanaf links geteld, krijgen we het driecijferige getal 314, exact tot 1 / 2 eenheden; dit betekent dat de foutmarge van een onnauwkeurig getal, d.w.z. wat we hebben aangegeven met de letter a , als 1 / 2 Uit de tabellen vinden we:

log 3.14 = 0.4969.

verschil in tabelvorm d tussen de mantissen van de getallen 314 en 315 is 14, dus de fout van de gevonden logaritme zal minder zijn

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 tienduizendsten.

Aangezien we van de logaritme van 0,4969 niet weten of deze onder of boven is, kunnen we alleen garanderen dat de exacte logaritme π ligt tussen 0,4969 - 0,0008 en 0,4969 + 0,0008, d.w.z. 0,4961< log π < 0,4977.

282. Zoek een getal uit een gegeven logaritme. Om een ​​getal volgens een gegeven logaritme te vinden, kunnen dezelfde tabellen worden gebruikt, volgens welke de mantissen van deze getallen worden gevonden; maar het is handiger om andere tabellen te gebruiken waarin de zogenaamde antilogaritmen zijn geplaatst, dat wil zeggen getallen die overeenkomen met gegeven mantissen. Deze tabellen, bovenaan met het label "antilogaritmen", zijn aan het einde van dit boek geplaatst, na de tabellen van logaritmen; een klein deel ervan is op deze pagina geplaatst (voor uitleg).

Laat een 4-cijferige mantisse 2863 worden gegeven (we letten niet op het kenmerk) en het is vereist om het bijbehorende gehele getal te vinden. Als we tabellen met antilogaritmen hebben, moeten we ze op precies dezelfde manier gebruiken als eerder werd uitgelegd voor het vinden van de mantisse voor een bepaald getal, namelijk: we vinden de eerste 2 cijfers van de mantisse in de eerste linkerkolom. Vervolgens gaan we van deze getallen langs de horizontale lijn naar rechts tot aan het snijpunt met de verticale kolom afkomstig van het 3e cijfer van de mantisse, waarnaar gezocht moet worden in de bovenste (of onderste) regel. Op het snijpunt vinden we het viercijferige nummer 1932, overeenkomend met de mantisse 286. Vanaf dit nummer gaan we verder langs de horizontale lijn naar rechts tot het snijpunt met de verticale kolom afkomstig van het 4e cijfer van de mantisse, die moet vind je bovenaan (of onderaan) tussen de getallen 1, 2 zet daar , 3,... 9. Op de kruising vinden we de correctie 1, die (in gedachten) moet worden toegepast op het eerder gevonden getal 1032 om het nummer te krijgen dat overeenkomt met de mantisse van 2863.

Het nummer wordt dus 1933. Daarna, met aandacht voor het kenmerk, is het noodzakelijk om de bezette op de juiste plaats in het nummer 1933 te zetten. Bijvoorbeeld:

als log x = 3.2863, dan X = 1933,

„ log x= 1,2863, „ X = 19,33,

, log x = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ log x = 2 ,2863, „ X = 0,01933

Hier zijn meer voorbeelden:

log x = 0,2287, X = 1,693,

log x = 1 ,7635, X = 0,5801,

log x = 3,5029, X = 3184,

log x = 2 ,0436, X = 0,01106.

Als de mantisse 5 of meer cijfers bevat, nemen we alleen de eerste 4 cijfers, de rest weggooien (en het 4e cijfer met 1 verhogen als het 5e cijfer vijf of meer is). In plaats van mantisse 35478 nemen we bijvoorbeeld 3548, in plaats van 47562 nemen we 4756.

283. Opmerking. De correctie voor het 4e en volgende cijfer van de mantisse is ook te vinden door interpolatie. Dus als de mantisse 84357 is, dan kunnen we, nadat we het getal 6966 hebben gevonden dat overeenkomt met de mantisse 843, als volgt verder redeneren: als de mantisse met 1 (duizendste) toeneemt, d.w.z. 844 is gedaan, dan is het aantal, evenals te zien aan de tabellen, zal toenemen met 16 eenheden; als de mantisse niet met 1 (duizendste), maar met 0,57 (duizendste) toeneemt, dan neemt het aantal toe met X eenheden, en X moet voldoen aan de verhoudingen:

X : 16 = 0,57: 1, vanwaar x = 16 0,57 = 9,12.

Dit betekent dat het gewenste nummer 6966 + 9.12 = 6975.12 of (beperkt tot slechts vier cijfers) 6975 is.

284. Foutlimiet van het gevonden aantal. Het is bewezen dat in het geval dat in het gevonden getal de komma na het 3e cijfer van links staat, d.w.z. wanneer het kenmerk van de logaritme 2 is, de som kan worden genomen als de foutmarge

waar a is de foutmarge van de logaritme (uitgedrukt in tienduizendsten) waarmee het getal werd gevonden, en d - het verschil tussen de mantissen van twee driecijferige opeenvolgende getallen waartussen het gevonden getal staat (met een komma na het 3e cijfer van links). Als het kenmerk niet 2 is, maar een ander, dan zal in het gevonden getal de komma naar links of rechts moeten worden verplaatst, d.w.z. het getal delen of vermenigvuldigen met een bepaalde macht van 10. In dit geval is de fout van het resultaat wordt ook gedeeld of vermenigvuldigd met dezelfde macht van 10.

Laten we bijvoorbeeld een getal vinden met de logaritme 1,5950 , waarvan bekend is dat deze nauwkeurig is tot op 3 tienduizendste; dus dan a = 3 . Het getal dat overeenkomt met deze logaritme, gevonden in de tabel met antilogaritmen, is 39,36 . Als we de komma na het 3e cijfer aan de linkerkant verplaatsen, hebben we een getal 393,6 tussen 393 en 394 . Uit de tabellen met logaritmen zien we dat het verschil tussen de mantissen die overeenkomen met deze twee getallen is 11 tienduizendste; middelen d = 11 . De fout van het getal 393.6 zal minder zijn

Dus de nummerfout 39,36 zal minder zijn 0,05 .

285. Acties op logaritmen met negatieve kenmerken. Het optellen en aftrekken van logaritmen levert geen problemen op, zoals blijkt uit de volgende voorbeelden:

Het is ook geen probleem om de logaritme te vermenigvuldigen met een positief getal, bijvoorbeeld:

In het laatste voorbeeld wordt de positieve mantisse afzonderlijk vermenigvuldigd met 34, daarna wordt de negatieve eigenschap vermenigvuldigd met 34.

Als de logaritme van een negatieve eigenschap en een positieve mantisse wordt vermenigvuldigd met een negatief getal, dan werken ze op twee manieren: ofwel wordt de eerder gegeven logaritme negatief, of de mantisse en de eigenschap worden afzonderlijk vermenigvuldigd en de resultaten worden gecombineerd, voor voorbeeld:

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

Bij het verdelen zijn er twee gevallen: 1) de negatieve eigenschap is verdeeld en 2) is niet deelbaar door een deler. In het eerste geval worden het kenmerk en de mantisse afzonderlijk gescheiden:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

In het tweede geval worden zoveel negatieve eenheden aan het kenmerk toegevoegd dat het resulterende getal deelbaar is door een deler; hetzelfde aantal positieve eenheden wordt aan de mantisse toegevoegd:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Deze transformatie moet in de geest worden gedaan, dus de actie is als volgt gerangschikt:

286. Afgetrokken logaritmen vervangen door termen. Bij het berekenen van een complexe uitdrukking met logaritmen, moet u enkele logaritmen optellen en andere aftrekken; in dit geval, op de gebruikelijke manier om acties uit te voeren, vinden ze afzonderlijk de som van de termen van de logaritmen, dan de som van de afgetrokken enen, en trekken de tweede van de eerste som af. Als we bijvoorbeeld hebben:

log X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

dan zal de gebruikelijke uitvoering van acties zich als volgt bevinden:

Het is echter mogelijk om aftrekken te vervangen door optellen. Dus:

Nu kunt u de berekening als volgt ordenen:

287. Voorbeelden van berekeningen.

voorbeeld 1. Evalueer uitdrukking:

als A \u003d 0.8216, B \u003d 0.04826, C \u003d 0.005127 en D = 7,246.

We logaritme deze uitdrukking:

log X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

Nu, om onnodig tijdverlies te voorkomen en de kans op fouten te verkleinen, ordenen we eerst alle berekeningen zonder ze nog uit te voeren en dus zonder te verwijzen naar tabellen:

Daarna nemen we de tabellen en noteren we de logaritmen op de linker lege plekken:

Grens van fouten. Laten we eerst de foutlimiet van het getal zoeken x 1 = 194,5 , gelijk aan:

Dus, eerst en vooral, moet je vinden a , d.w.z. de foutmarge van de geschatte logaritme, uitgedrukt in tienduizendsten. Laten we aannemen dat deze getallen A, B, C en D ze zijn allemaal nauwkeurig. Dan zijn de fouten in individuele logaritmen als volgt (in tienduizendsten):

in logA.......... 1 / 2

in 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 toegevoegd omdat we bij het delen door 3 logaritmen van 1,9146 het quotiënt hebben afgerond door het 5e cijfer weg te gooien, en daarom nog een fout hebben gemaakt, minder 1 / 2 tienduizendste).

Nu vinden we de foutmarge van de logaritme:

a = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (tienduizendsten).

Laten we het verder definiëren d . Omdat x 1 = 194,5 , dan 2 opeenvolgende gehele getallen waartussen is x 1 zullen 194 en 195 . verschil in tabelvorm d tussen de mantissen die overeenkomen met deze getallen is gelijk aan 22 . Dus de foutmarge van het nummer x 1 er bestaat:

Omdat x = x 1 : 10, dan de foutmarge in het getal x gelijk aan 0,3:10 = 0,03 . Dus het nummer dat we vonden 19,45 verschilt van het exacte aantal met minder dan 0,03 . Omdat we niet weten of onze benadering is gevonden met een tekort of met een overschot, kunnen we alleen garanderen dat:

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , d.w.z.

19,48 > X > 19,42 ,

en daarom, als we accepteren X =19,4 , dan hebben we een benadering met een nadeel tot 0,1.

Voorbeeld 2 Berekenen:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Aangezien negatieve getallen geen logaritmen hebben, vinden we eerst:

X" = (2,31) 3 5 √72

door ontbinding:

log X"= 3 log 2.31 + 1/5 log72.

Na de berekening wordt:

X" = 28,99 ;

Vervolgens,

x = - 28,99 .

Voorbeeld 3. Berekenen:

Een continue logaritme kan hier niet worden toegepast, omdat onder het teken van de wortel staat met y m m a. In dergelijke gevallen wordt de formule in delen berekend.

Eerst vinden we N = 5 √8 , na N 1 = 4 √3 ; Vervolgens bepalen we, door eenvoudige optelling, N+ N 1 , en tenslotte berekenen 3 √N+ N 1 ; zal blijken:

N = 1,514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .

log x= logboek 3 √ 2,830 = 1 / 3 logboek 2.830 = 0,1506 ;

x = 1,415 .

Hoofdstuk vier.

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen.

288. Een exponentiële vergelijking is een vergelijking waarin het onbekende is opgenomen in de exponent, en logaritmisch- die waarin het onbekende onder het teken binnenkomt log. Dergelijke vergelijkingen kunnen alleen in speciale gevallen worden opgelost, en men moet vertrouwen op de eigenschappen van logaritmen en op het principe dat als de getallen gelijk zijn, hun logaritmen gelijk zijn, en omgekeerd, als de logaritmen gelijk zijn, de overeenkomstige getallen zijn gelijk.

voorbeeld 1 Los De vergelijking op: 2 x = 1024 .

We logaritme beide kanten van de vergelijking:

Voorbeeld 2 Los De vergelijking op: a 2x - a x = 1 . zetten a x = Bij , krijgen we een kwadratische vergelijking:

ja 2 - Bij - 1 = 0 ,

Omdat 1-√5 < 0 , dan is de laatste vergelijking onmogelijk (functie a x er is altijd een positief getal), en de eerste geeft:

Voorbeeld 3 Los De vergelijking op:

log( een + x) + logboek ( b + x) = logboek ( c + x) .

De vergelijking kan als volgt worden geschreven:

logboek[( een + x) (b + x)] = logboek ( c + x) .

Uit de gelijkheid van logaritmen concluderen we over de gelijkheid van getallen:

(een + x) (b + x) = c + x .

Dit is een kwadratische vergelijking waarvan de oplossing niet moeilijk is.

Hoofdstuk vijf.

Samengestelde rente, termijnbetalingen en dringende bijdragen.

289. Het belangrijkste probleem voor samengestelde rente. Wat is het kapitaal? a roebels, gegeven in groei door R samengestelde rente na t jaar ( t is een geheel getal)?

Er wordt gezegd dat kapitaal wordt uitgegeven tegen samengestelde rente, als rekening wordt gehouden met de zogenaamde "rente op rente", dat wil zeggen als het rentegeld dat op het kapitaal verschuldigd is aan het einde van elk jaar aan het kapitaal wordt toegevoegd om om het in de daaropvolgende jaren met belangstelling te vergroten.

Elke roebel aan kapitaal die wordt overhandigd R %, zal binnen een jaar winst opleveren p / 100 roebel, en bijgevolg zal elke roebel kapitaal in 1 jaar veranderen in 1 + p / 100 roebel (bijvoorbeeld als de hoofdstad wordt gegeven voor) 5 %, dan wordt elke roebel in een jaar 1 + 5 / 100 , d.w.z. in 1,05 roebel).

Om de breuk kortheidshalve aan te duiden p / 100 een letter, bijv. r , we kunnen zeggen dat elke roebel kapitaal in een jaar zal veranderen in 1 + r roebels; Vervolgens, a roebels zullen in 1 jaar veranderen in a (1 + r ) wrijven. Een jaar later, d.w.z. 2 jaar na het begin van de groei, elke roebel hiervan a (1 + r ) wrijven. zal terugkeren naar 1 + r wrijven.; Dit betekent dat al het kapitaal wordt omgezet in a (1 + r ) 2 wrijven. Op dezelfde manier vinden we dat na drie jaar het kapitaal zal zijn a (1 + r ) 3 , over vier jaar zal zijn a (1 + r ) 4 ,... in het algemeen door t jaar als t een geheel getal is, zal het veranderen in a (1 + r ) t wrijven. Dus, aanduidend MAAR eindkapitaal, hebben we de volgende formule voor samengestelde rente:

MAAR = a (1 + r ) t waar r = p / 100 .

Voorbeeld. Laten a =2 300 roebel, p = 4, t=20 jaar; dan geeft de formule:

r = 4 / 100 = 0,04 ; A \u003d 2 300 (1,04) 20.

Rekenen MAAR, gebruiken we logaritmen:

log a = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.

A=5031 roebel.

Opmerking. In dit voorbeeld hadden we log 1.04 vermenigvuldigen met 20 . Sinds het nummer 0,0170 er is een benadering log 1.04 tot 1 / 2 tienduizendste deel, dan het product van dit getal door 20 zal alleen zijn tot 1 / 2 20, d.w.z. tot 10 tienduizendste \u003d 1 duizendste. Dus in totaal 3,7017 we kunnen niet alleen instaan ​​voor het getal van tienduizendsten, maar ook voor het getal van duizendsten. Om in dergelijke gevallen een grotere nauwkeurigheid te verkrijgen, is het beter voor het aantal 1 + r neem logaritmen bijvoorbeeld niet 4-cijferig, maar met een groot aantal cijfers. 7 cijfers. Hiertoe presenteren we hier een kleine tabel waarin 7-cijferige logaritmen zijn uitgeschreven voor de meest gebruikte waarden. R .

290. De hoofdtaak voor spoedbetalingen. Iemand nam a roebels voor R % met de voorwaarde om de schuld, samen met de verschuldigde rente, in t jaar, waarbij aan het einde van elk jaar hetzelfde bedrag wordt betaald. Wat moet dit bedrag zijn?

Som x die jaarlijks onder dergelijke voorwaarden wordt betaald, wordt spoedbetaling genoemd. Laten we opnieuw aanduiden r jaarlijks rentegeld van 1 roebel, dat wil zeggen het aantal p / 100 . Dan tegen het einde van het eerste jaar de schuld a stijgt naar a (1 + r ), na betaling X roebels het zal gebeuren a (1 + r )-X .

Tegen het einde van het tweede jaar zal elke roebel van dit bedrag weer veranderen in 1 + r roebel, en daarom zal de schuld [ a (1 + r )-X ](1 + r ) = a (1 + r ) 2 - x (1 + r ), en tegen betaling x roebel zal zijn: a (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - X . Op dezelfde manier zullen we ervoor zorgen dat tegen het einde van het 3e jaar de schuld zal zijn

a (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,

en in het algemeen en het einde t -e jaar wordt het:

a (1 + r ) t - x (1 + r ) t-1 - x (1 + r ) t-2 ... - x (1 + r ) - x , of

a (1 + r ) t - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t-2 + (1 + r ) t-1 ]

De polynoom tussen haakjes vertegenwoordigt de som van de termen van de meetkundige progressie; die het eerste lid heeft? 1 , laatst ( 1 + r ) t-1, en de noemer ( 1 + r ). Volgens de formule voor de som van leden van een meetkundige reeks (paragraaf 10 hoofdstuk 3 § 249) vinden we:

en het bedrag van de schuld na t -de betaling zal zijn:

Volgens de toestand van het probleem, de schuld aan het einde t -de jaar moet gelijk zijn aan 0 ; Dat is waarom:

waar

Bij het berekenen hiervan dringende betalingsformules met logaritmen moeten we eerst een hulpgetal vinden N = (1 + r ) t op logaritme: logN= t logboek (1 + r) ; vinden N, trek er 1 van af, dan krijgen we de noemer van de formule voor X, waarna, door de secundaire logaritme, vinden we:

log X= log a+ log N + log r - log (N - 1).

291. Hoofdtaak voor dringende bijdragen. Iemand stort aan het begin van elk jaar hetzelfde bedrag op de bank a wrijven. Bepaal daarna welk kapitaal uit deze bijdragen wordt gevormd t jaar als de bank betaalt R samengestelde rente.

aanduiding door middel van r jaarlijks rentegeld vanaf 1 roebel, d.w.z. p / 100 , redeneren we als volgt: tegen het einde van het eerste jaar zal de hoofdstad a (1 + r );

aan het begin van het 2e jaar wordt dit bedrag toegevoegd a roebels; Dit betekent dat op dit moment de hoofdstad zal zijn a (1 + r ) + a . Tegen het einde van jaar 2 zal hij a (1 + r ) 2 + a (1 + r );

aan het begin van het 3e jaar wordt weer geïntroduceerd a roebels; Dit betekent dat op dit moment de hoofdstad zal zijn a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) + a ; tegen het einde van de 3e zal hij zijn a (1 + r ) 3 + a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) Als we deze overwegingen verder voortzetten, zien we dat tegen het einde: t jaar vereist kapitaal EEN zal zijn:

Dit is de formule voor de premies voor bepaalde tijd die aan het begin van elk jaar worden betaald.

Dezelfde formule kan worden verkregen door de volgende redenering: eerste aflevering binnen a roebels terwijl in de bank t jaar, zal, volgens de formule van samengestelde rente, veranderen in a (1 + r ) t wrijven. De tweede tranche, een jaar minder op de bank, d.w.z. t - 1 jaar, neem contact op a (1 + r ) t-1 wrijven. Evenzo zal de derde aflevering geven: a (1 + r ) t-2 enz., en ten slotte zal de laatste tranche, die slechts 1 jaar op de bank staat, veranderen in: a (1 + r ) wrijven. Dus de uiteindelijke hoofdstad EEN wrijven. zal zijn:

EEN= a (1 + r ) t + a (1 + r ) t-1 + a (1 + r ) t-2 + . . . + a (1 + r ),

die, na vereenvoudiging, de hierboven gevonden formule geeft.

Bij het berekenen met de logaritmen van deze formule moet u hetzelfde doen als bij het berekenen van de formule voor spoedbetalingen, d.w.z. zoek eerst het getal N = ( 1 + r ) t volgens zijn logaritme: logN= t log(1 + r ), dan een nummer N-1 en neem dan de logaritme van de formule:

log A = log a+ logboek (1 + r) + log (N - 1) - 1ogr

Opmerking. Als de dringende bijdrage aan a wrijven. niet aan het begin, maar aan het einde van elk jaar is gedaan (bijvoorbeeld omdat er een dringende betaling wordt gedaan) X om de schuld terug te betalen), dan vinden we, argumenterend zoals de vorige, dat tegen het einde t jaar vereist kapitaal MAAR" wrijven. zal zijn (inclusief de laatste tranche) a rub., niet rentedragend):

EEN"= a (1 + r ) t-1 + a (1 + r ) t-2 + . . . + a (1 + r ) + a

wat gelijk is aan:

d.w.z. MAAR" verschijnt in ( 1 + r ) keer minder MAAR, wat te verwachten was, aangezien elke roebel kapitaal MAAR" een jaar minder op de bank ligt dan de overeenkomstige roebel aan kapitaal MAAR.

We blijven logaritmen bestuderen. In dit artikel zullen we het hebben over berekening van logaritmen, dit proces heet logaritme. Eerst behandelen we de berekening van logaritmen per definitie. Overweeg vervolgens hoe de waarden van logaritmen worden gevonden met behulp van hun eigenschappen. Daarna zullen we stilstaan ​​​​bij de berekening van logaritmen door de aanvankelijk gegeven waarden van andere logaritmen. Laten we tot slot leren hoe we tabellen met logaritmen kunnen gebruiken. De hele theorie is voorzien van voorbeelden met gedetailleerde oplossingen.

Paginanavigatie.

Logaritmen per definitie berekenen

In de eenvoudigste gevallen is het mogelijk om snel en gemakkelijk uit te voeren per definitie de logaritme vinden. Laten we eens nader bekijken hoe dit proces plaatsvindt.

De essentie ervan is om het getal b in de vorm a c weer te geven, vanwaar, volgens de definitie van de logaritme, het getal c de waarde van de logaritme is. Dat wil zeggen dat het vinden van de logaritme per definitie overeenkomt met de volgende keten van gelijkheden: log a b=log a a c =c .

Dus de berekening van de logaritme komt per definitie neer op het vinden van zo'n getal c dat a c \u003d b, en het getal c zelf is de gewenste waarde van de logaritme.

Gezien de informatie van de vorige paragrafen, wanneer het getal onder het teken van de logaritme wordt gegeven door een bepaalde graad van het grondtal van de logaritme, dan kun je meteen aangeven waar de logaritme gelijk aan is - het is gelijk aan de exponent. Laten we voorbeelden laten zien.

Voorbeeld.

Zoek log 2 2 −3 , en bereken ook de natuurlijke logaritme van e 5.3 .

Oplossing.

De definitie van de logaritme stelt ons in staat om meteen te zeggen dat log 2 2 −3 = −3 . Inderdaad, het getal onder het teken van de logaritme is gelijk aan het grondtal 2 tot de macht −3.

Op dezelfde manier vinden we de tweede logaritme: lne 5,3 = 5,3.

Antwoorden:

log 2 2 −3 = −3 en lne 5.3 =5.3 .

Als het getal b onder het teken van de logaritme niet wordt gegeven als de macht van het grondtal van de logaritme, dan moet je goed overwegen of het mogelijk is om een ​​representatie van het getal b in de vorm a c te bedenken. Vaak is deze weergave vrij duidelijk, vooral wanneer het getal onder het teken van de logaritme gelijk is aan het grondtal tot de macht 1, of 2, of 3, ...

Voorbeeld.

Bereken de logaritmen log 5 25 en .

Oplossing.

Het is gemakkelijk in te zien dat 25=5 2 , hiermee kun je de eerste logaritme berekenen: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

We gaan verder met de berekening van de tweede logaritme. Een getal kan worden weergegeven als een macht van 7: (zie indien nodig). Vervolgens, .

Laten we de derde logaritme herschrijven in de volgende vorm. Nu kun je dat zien , waaruit we concluderen dat . Daarom, volgens de definitie van de logaritme .

In het kort kan de oplossing als volgt worden geschreven:

Antwoorden:

logboek 5 25=2 , en .

Wanneer een voldoende groot natuurlijk getal onder het teken van de logaritme staat, kan het geen kwaad om het te ontleden in priemfactoren. Het helpt vaak om zo'n getal weer te geven als een macht van het grondtal van de logaritme, en daarom deze logaritme per definitie te berekenen.

Voorbeeld.

Zoek de waarde van de logaritme.

Oplossing.

Met sommige eigenschappen van logaritmen kunt u onmiddellijk de waarde van logaritmen specificeren. Deze eigenschappen omvatten de eigenschap van de logaritme van één en de eigenschap van de logaritme van een getal gelijk aan het grondtal: log 1 1=log a a 0 =0 en log a a=log a a 1 =1 . Dat wil zeggen, wanneer het getal 1 of het getal a onder het teken van de logaritme staat, gelijk aan het grondtal van de logaritme, dan zijn de logaritmen in deze gevallen respectievelijk 0 en 1.

Voorbeeld.

Wat zijn de logaritmen en lg10?

Oplossing.

Aangezien , volgt uit de definitie van de logaritme .

In het tweede voorbeeld valt het getal 10 onder het teken van de logaritme samen met zijn grondtal, dus de decimale logaritme van tien is gelijk aan één, dat wil zeggen lg10=lg10 1 =1 .

Antwoorden:

En lg10=1 .

Merk op dat het berekenen van logaritmen per definitie (die we in de vorige paragraaf hebben besproken) het gebruik van de gelijkheidslog a a p =p impliceert, wat een van de eigenschappen van logaritmen is.

In de praktijk, wanneer het getal onder het teken van de logaritme en de basis van de logaritme gemakkelijk kunnen worden weergegeven als een macht van een getal, is het erg handig om de formule te gebruiken , wat overeenkomt met een van de eigenschappen van logaritmen. Overweeg een voorbeeld van het vinden van de logaritme, ter illustratie van het gebruik van deze formule.

Voorbeeld.

Bereken de logaritme van .

Oplossing.

Antwoorden:

.

De eigenschappen van logaritmen die hierboven niet zijn genoemd, worden ook gebruikt in de berekening, maar we zullen hier in de volgende paragrafen over praten.

Logaritmen vinden in termen van andere bekende logaritmen

De informatie in deze paragraaf gaat verder met het onderwerp van het gebruik van de eigenschappen van logaritmen in hun berekening. Maar hier is het belangrijkste verschil dat de eigenschappen van logaritmen worden gebruikt om de oorspronkelijke logaritme uit te drukken in termen van een andere logaritme, waarvan de waarde bekend is. Laten we een voorbeeld nemen ter verduidelijking. Laten we zeggen dat we weten dat log 2 3≈1.584963 , dan kunnen we bijvoorbeeld log 2 6 vinden door een kleine transformatie uit te voeren met behulp van de eigenschappen van de logaritme: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

In het bovenstaande voorbeeld was het voor ons voldoende om de eigenschap van de logaritme van het product te gebruiken. Veel vaker moet je echter een breder arsenaal aan eigenschappen van logaritmen gebruiken om de oorspronkelijke logaritme te berekenen in termen van de gegeven.

Voorbeeld.

Bereken de logaritme van 27 tot grondtal 60 als bekend is dat log 60 2=a en log 60 5=b .

Oplossing.

Dus we moeten log 60 27 vinden. Het is gemakkelijk in te zien dat 27=3 3 , en de oorspronkelijke logaritme, vanwege de eigenschap van de logaritme van de graad, kan worden herschreven als 3·log 60 3 .

Laten we nu eens kijken hoe log 60 3 kan worden uitgedrukt in termen van bekende logaritmen. Met de eigenschap van de logaritme van een getal gelijk aan het grondtal kun je het gelijkheidslog 60 60=1 schrijven. Aan de andere kant, log 60 60=log60(2 2 3 5)= stam 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 stam 60 2+log 60 3+log 60 5 . Op deze manier, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Vervolgens, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Tenslotte berekenen we de oorspronkelijke logaritme: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Antwoorden:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Afzonderlijk is het de moeite waard om de betekenis van de formule te vermelden voor de overgang naar een nieuwe basis van de logaritme van de vorm . Hiermee kunt u van logaritmen met elk grondtal naar logaritmen met een specifiek grondtal gaan, waarvan de waarden bekend zijn of waarvan u ze kunt vinden. Meestal schakelen ze van de oorspronkelijke logaritme, volgens de overgangsformule, over naar logaritmen in een van de basen 2, e of 10, omdat er voor deze basen tabellen met logaritmen zijn waarmee hun waarden met een bepaalde mate kunnen worden berekend van nauwkeurigheid. In de volgende sectie zullen we laten zien hoe dit wordt gedaan.

Tabellen met logaritmen, hun gebruik

Voor een benaderende berekening van de waarden van de logaritmen kan men gebruik maken van logaritme tabellen. De meest gebruikte zijn de logaritmetabel met grondtal 2, de natuurlijke logaritmetabel en de decimale logaritmetabel. Wanneer u in het decimale getalsysteem werkt, is het handig om een ​​tabel met logaritmen tot grondtal tien te gebruiken. Met zijn hulp zullen we leren de waarden van logaritmen te vinden.

De gepresenteerde tabel maakt het mogelijk om met een nauwkeurigheid van één tienduizendste de waarden van de decimale logaritmen van getallen van 1.000 tot 9.999 (met drie decimalen) te vinden. We zullen het principe van het vinden van de waarde van de logaritme analyseren met behulp van een tabel met decimale logaritmen met behulp van een specifiek voorbeeld - het is duidelijker. Laten we lg1.256 vinden.

In de linkerkolom van de tabel met decimale logaritmen vinden we de eerste twee cijfers van het getal 1.256, dat wil zeggen, we vinden 1.2 (dit getal is voor de duidelijkheid blauw omcirkeld). Het derde cijfer van het getal 1.256 (nummer 5) vind je in de eerste of laatste regel links van de dubbele regel (dit getal is rood omcirkeld). Het vierde cijfer van het oorspronkelijke getal 1.256 (nummer 6) staat in de eerste of laatste regel rechts van de dubbele regel (dit getal is groen omcirkeld). Nu vinden we de getallen in de cellen van de tabel met logaritmen op het snijpunt van de gemarkeerde rij en de gemarkeerde kolommen (deze getallen zijn oranje gemarkeerd). De som van de gemarkeerde getallen geeft de gewenste waarde van de decimale logaritme tot op de vierde decimaal, dat wil zeggen, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Is het mogelijk om met behulp van de bovenstaande tabel de waarden te vinden van de decimale logaritmen van getallen met meer dan drie cijfers achter de komma en ook verder te gaan dan de limieten van 1 tot 9,999? Ja, dat kan. Laten we laten zien hoe dit wordt gedaan met een voorbeeld.

Laten we lg102.76332 berekenen. Eerst moet je schrijven nummer in standaardvorm: 102.76332=1.0276332 10 2 . Daarna moet de mantisse naar boven worden afgerond op de derde decimaal, we hebben 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, terwijl de oorspronkelijke decimale logaritme ongeveer gelijk is aan de logaritme van het resulterende getal, dat wil zeggen, we nemen lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Pas nu de eigenschappen van de logaritme toe: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Ten slotte vinden we de waarde van de logaritme lg1.028 volgens de tabel met decimale logaritmen lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Als resultaat ziet het hele proces van het berekenen van de logaritme er als volgt uit: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Concluderend is het vermeldenswaard dat u met behulp van de tabel met decimale logaritmen de geschatte waarde van elke logaritme kunt berekenen. Om dit te doen, volstaat het om de overgangsformule te gebruiken om naar decimale logaritmen te gaan, hun waarden in de tabel te vinden en de resterende berekeningen uit te voeren.

Laten we bijvoorbeeld log 2 3 berekenen. Volgens de formule voor de overgang naar een nieuwe basis van de logaritme hebben we . Uit de tabel met decimale logaritmen vinden we lg3≈0.4771 en lg2≈0.3010. Op deze manier, .

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. en anderen.Algebra en het begin van analyse: een leerboek voor de rangen 10-11 van algemene onderwijsinstellingen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een handleiding voor kandidaten voor technische scholen).