Het volume van de figuur begrensd door lijnen. Berekening van volumes van omwentelingslichamen met behulp van een bepaalde integraal

Soort les: gecombineerd.

Het doel van de les: leer de volumes van omwentelingslichamen te berekenen met behulp van integralen.

Taken:

consolideer het vermogen om kromlijnige trapezoïden te selecteren uit een aantal geometrische vormen en ontwikkel de vaardigheid om de gebieden van kromlijnige trapezoïden te berekenen;
kennismaken met het concept van een driedimensionale figuur;
leer de volumes van omwentelingslichamen te berekenen;
om de ontwikkeling van logisch denken, competente wiskundige spraak, nauwkeurigheid bij het maken van tekeningen te bevorderen;
interesse in het onderwerp cultiveren, werken met wiskundige concepten en beelden, de wil, onafhankelijkheid en doorzettingsvermogen cultiveren om het eindresultaat te bereiken.

Tijdens de lessen

I. Organisatorisch moment.

Groepsgroet. Communicatie aan studenten over de doelstellingen van de les.

Reflectie. Rustige melodie.

Ik wil de les van vandaag beginnen met een gelijkenis. “Er was een wijze man die alles wist. Eén persoon wilde bewijzen dat de wijze niet alles weet. Hij hield de vlinder in zijn handen en vroeg: "Vertel me, wijze, welke vlinder heb ik in mijn handen: dood of levend?" En hij denkt zelf: "Als de levende zegt, zal ik haar doden, als de dode zegt, laat ik haar eruit." De wijze, nadenkend, antwoordde: "Alles in jouw handen". (Presentatie.Schuif)

- Laten we daarom vandaag vruchtbaar werken, een nieuwe voorraad kennis verwerven en de verworven vaardigheden en capaciteiten in het latere leven en in praktische activiteiten toepassen. "Alles in jouw handen".

II. Herhaling van eerder geleerd materiaal.

Laten we de belangrijkste punten van het eerder bestudeerde materiaal eens bekijken. Om dit te doen, laten we de taak doen "Verwijder het overbodige woord."(Schuif.)

(De leerling gaat naar I.D. met behulp van een gum verwijdert het extra woord.)

- Correct "Differentieel". Probeer de overige woorden in één gemeenschappelijk woord te noemen. (Integrale calculus.)

- Laten we de belangrijkste fasen en concepten met betrekking tot integraalrekening onthouden ..

"Wiskundige bos".

Oefening. Pasjes herstellen. (De leerling komt naar buiten en schrijft de nodige woorden met een pen.)

- Over het toepassen van integralen horen we later.

Werk in notitieboekjes.

– De Newton-Leibniz-formule is ontwikkeld door de Engelse natuurkundige Isaac Newton (1643-1727) en de Duitse filosoof Gottfried Leibniz (1646-1716). En dat is niet verwonderlijk, want wiskunde is de taal die de natuur zelf spreekt.

– Overweeg hoe deze formule wordt gebruikt bij het oplossen van praktische taken.

Voorbeeld 1: Bereken de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen

Oplossing: laten we grafieken van functies op het coördinatenvlak maken . Selecteer het gebied van de figuur dat moet worden gevonden.

III. Nieuwe stof leren.

- Let op het scherm. Wat staat er op de eerste foto? (dia) (De afbeelding toont een platte figuur.)

Wat staat er op de tweede foto? Is dit cijfer plat? (dia) (De afbeelding toont een driedimensionale figuur.)

- In de ruimte, op aarde en in het dagelijks leven ontmoeten we niet alleen platte figuren, maar ook driedimensionale, maar hoe het volume van dergelijke lichamen te berekenen? Bijvoorbeeld het volume van een planeet, een komeet, een meteoriet, enz.

– Denk aan het volume en het bouwen van huizen, en het gieten van water van het ene vat naar het andere. Regels en methoden voor het berekenen van volumes hadden moeten komen, een ander ding is hoe nauwkeurig en gerechtvaardigd ze waren.

Bericht van de leerling. (Tjoerina Vera.)

Het jaar 1612 was zeer vruchtbaar voor de inwoners van de Oostenrijkse stad Linz, waar de toen beroemde astronoom Johannes Kepler woonde, vooral voor druiven. Mensen waren wijnvaten aan het maken en wilden weten hoe ze hun volumes praktisch konden bepalen. (Dia 2)

- Zo markeerden de weloverwogen werken van Kepler het begin van een hele stroom van onderzoek, die culmineerde in het laatste kwart van de 17e eeuw. ontwerp in de werken van I. Newton en G.V. Leibniz differentiaal- en integraalrekening. Sindsdien heeft de wiskunde van groottevariabelen een leidende plaats ingenomen in het systeem van wiskundige kennis.

- Dus vandaag zullen we ons bezighouden met dergelijke praktische activiteiten, daarom,

Het onderwerp van onze les: "Berekening van de volumes van omwentelingslichamen met behulp van een bepaalde integraal." (dia)

- Je leert de definitie van een revolutielichaam door de volgende taak uit te voeren.

"Labyrint".

Labyrinth (Grieks woord) betekent doorgang naar de kerker. Een labyrint is een ingewikkeld netwerk van paden, doorgangen, kamers die met elkaar communiceren.

Maar de definitie "crashte", er waren hints in de vorm van pijlen.

Oefening. Zoek een uitweg uit de verwarrende situatie en schrijf de definitie op.

Schuif. “Instructiekaart” Volumeberekening.

Met behulp van een bepaalde integraal kun je het volume van een lichaam berekenen, in het bijzonder een omwentelingslichaam.

Een omwentelingslichaam is een lichaam dat wordt verkregen door een kromlijnig trapezium rond zijn basis te roteren (Fig. 1, 2)

Het volume van een omwentelingslichaam wordt berekend met een van de formules:

1. rond de x-as.

2. , als de rotatie van de kromlijnige trapezium rond de y-as.

Elke leerling krijgt een instructiekaart. De docent wijst op de belangrijkste punten.

De docent legt de oplossing van de voorbeelden op het bord uit.

Overweeg een fragment uit het beroemde sprookje van A. S. Pushkin "Het verhaal van tsaar Saltan, van zijn glorieuze en machtige zoon prins Gvidon Saltanovich en de mooie prinses Lebed" (Dia 4):

…..
En bracht een dronken boodschapper
Op dezelfde dag is de bestelling:
“De tsaar beveelt zijn boyars,
Geen tijd verspillen,
En de koningin en de nakomelingen
Stiekem in de afgrond van water geworpen.”
Er is niets te doen: de boyars,
Na gerouwd te hebben over de soeverein
En de jonge koningin
Een menigte kwam naar haar slaapkamer.
verklaarde de koninklijke wil -
Zij en haar zoon hebben een slecht lot,
Lees het decreet hardop voor
En tegelijkertijd de koningin
Ze stopten me in een ton met mijn zoon,
Gebeden, gerold
En ze lieten me in de okian -
Dus bestelde de tsaar Saltan.

Wat moet het volume van het vat zijn zodat de koningin en haar zoon erin passen?

– Denk aan de volgende taken:

1. Vind het volume van het lichaam dat wordt verkregen door te roteren rond de y-as van een kromlijnig trapezium dat wordt begrensd door lijnen: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Antwoord: 1163 cm 3 .

Vind het volume van het lichaam dat wordt verkregen door een parabolische trapezium rond de abscis te draaien y = , x = 4, y = 0.

IV. Nieuw materiaal repareren

Voorbeeld 2. Bereken het volume van het lichaam gevormd door de rotatie van het bloemblad rond de x-as y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Laten we de grafieken van de functie tekenen. y=x2, y2=x. Schema y 2 = x transformeren naar de vorm ja= .

Wij hebben V \u003d V 1 - V 2 Laten we het volume van elke functie berekenen

- Laten we nu eens kijken naar de toren voor een radiostation in Moskou op Shabolovka, gebouwd volgens het project van een geweldige Russische ingenieur, ere-academicus V. G. Shukhov. Het bestaat uit delen - hyperboloïden van revolutie. Bovendien is elk van hen gemaakt van rechtlijnige metalen staven die aangrenzende cirkels verbinden (Fig. 8, 9).

- Denk na over het probleem.

Vind het volume van het lichaam dat wordt verkregen door de bogen van de hyperbool te roteren rond zijn denkbeeldige as, zoals weergegeven in Fig. 8, waar

kubus eenheden

Groepsopdrachten. De leerlingen loten met opdrachten, er worden tekeningen gemaakt op whatman papier, een van de vertegenwoordigers van de groep verdedigt het werk.

1e groep.

Raken! Raken! Nog een treffer!
Een bal vliegt de poort in - BAL!
En dit is een watermeloenbal
Groen, rond, heerlijk.
Kijk beter - wat een bal!
Het is opgebouwd uit cirkels.
Snijd in cirkels watermeloen
En proef ze.

Vind het volume van een lichaam verkregen door rotatie rond de OX-as van een functie begrensd door

Fout! De bladwijzer is niet gedefinieerd.

- Vertel me alsjeblieft, waar ontmoeten we deze figuur?

Huis. opdracht voor groep 1. CILINDER (dia) .

"Cilinder - wat is het?" Ik vroeg het aan mijn vader.
De vader lachte: De hoge hoed is een hoed.
Om een juist idee te hebben,
De cilinder, laten we zeggen, is een blikje.
De pijp van de stoomboot is een cilinder,
De pijp op ons dak ook,

Alle pijpen zijn vergelijkbaar met een cilinder.
En ik gaf een voorbeeld als dit -
Mijn geliefde caleidoscoop
Je kunt je ogen niet van hem afhouden.
Het ziet er ook uit als een cilinder.

- Oefening. Huiswerk om een functie te plotten en het volume te berekenen.

2e groep. IJSHOORNTJE (dia).

Moeder zei: En nu
Over de kegel zal mijn verhaal zijn.
Sterrenkijker in een hoge pet
Telt het hele jaar door de sterren.
CONE - sterrenkijkershoed.
Dat is wat hij is. Begrepen? Dat is het.
Mama zat aan tafel
Ze goot olie in flessen.
- Waar is de trechter? Geen trechter.
Kijken. Sta niet aan de zijlijn.
- Mam, ik ga hier niet weg,
Vertel me meer over de kegel.
- De trechter heeft de vorm van een kegel van een gieter.
Kom op, vind me snel.
Ik kon de trechter niet vinden
Maar mama maakte een tas,
Wikkel karton om je vinger
En handig vastgemaakt met een paperclip.
De olie stroomt, mama is blij
De kegel kwam precies goed uit.

Oefening. Bereken het volume van het lichaam verkregen door rotatie rond de x-as

Huis. taak voor de 2e groep. PIRAMIDE(dia).

Ik zag de foto. Op deze foto
Er is een PIRAMIDE in de zandwoestijn.
Alles in de piramide is buitengewoon,
Er zit wat mysterie en mysterie in.
De Spasskaya-toren op het Rode Plein
Zowel kinderen als volwassenen zijn bekend.
Kijk naar de toren - gewoon van uiterlijk,
Wat is er boven op haar? Piramide!

Oefening. Huiswerk plot een functie en bereken het volume van de piramide

- We hebben de volumes van verschillende lichamen berekend op basis van de basisformule voor de volumes van lichamen met behulp van de integraal.

Dit is nog een bevestiging dat de bepaalde integraal een basis vormt voor de studie van wiskunde.

"Laten we nu wat rusten."

Zoek een stel.

Wiskundige domino melodie speelt.

“De weg die hij zelf zocht zal nooit vergeten worden...”

Onderzoekswerk. Toepassing van de integraal in economie en technologie.

Tests voor sterke leerlingen en wiskundevoetbal.

Wiskundige simulator.

2. De verzameling van alle antiderivaten van een bepaalde functie heet

A) een onbepaalde integraal

B) functie,

B) differentiatie.

7. Vind het volume van het lichaam verkregen door te roteren rond de as van een kromlijnige trapezium begrensd door lijnen:

D/Z. Bereken de volumes van omwentelingslichamen.

Reflectie.

Acceptatie van reflectie in de vorm cinquain(vijf regels).

1e regel - de naam van het onderwerp (één zelfstandig naamwoord).

2e regel - een beschrijving van het onderwerp in een notendop, twee bijvoeglijke naamwoorden.

3e regel - een beschrijving van de actie binnen dit onderwerp in drie woorden.

4e regel - een zin van vier woorden, toont de houding ten opzichte van het onderwerp (een hele zin).

De 5e regel is een synoniem dat de essentie van het onderwerp herhaalt.

Volume.
Definitieve integrale, integreerbare functie.
We bouwen, roteren, berekenen.
Een lichaam verkregen door het roteren van een kromlijnig trapezium (rond de basis).
Lichaam van revolutie (3D geometrisch lichaam).

Conclusie (dia).

Een bepaalde integraal is een soort basis voor de studie van wiskunde, die een onmisbare bijdrage levert aan het oplossen van praktische problemen.
Het onderwerp "Integraal" laat duidelijk het verband zien tussen wiskunde en natuurkunde, biologie, economie en technologie.
De ontwikkeling van de moderne wetenschap is ondenkbaar zonder het gebruik van de integraal. In dit opzicht is het noodzakelijk om het te gaan studeren in het kader van het secundair gespecialiseerd onderwijs!

Beoordeling. (Met commentaar.)

De grote Omar Khayyam is een wiskundige, dichter en filosoof. Hij roept op om meester te zijn over zijn lot. Luister naar een fragment uit zijn werk:

Je zegt dat dit leven maar een moment is.
Waardeer het, haal er inspiratie uit.
Zoals je het uitgeeft, zo zal het voorbij gaan.
Vergeet niet: zij is jouw creatie.

Onderwerp: "Berekening van de volumes van omwentelingslichamen met behulp van een bepaalde integraal"

Soort les: gecombineerd.

Het doel van de les: leer de volumes van omwentelingslichamen te berekenen met behulp van integralen.

Taken:

consolideer het vermogen om kromlijnige trapezoïden te selecteren uit een aantal geometrische vormen en ontwikkel de vaardigheid om de gebieden van kromlijnige trapezoïden te berekenen;

kennismaken met het concept van een driedimensionale figuur;

leer de volumes van omwentelingslichamen te berekenen;

om de ontwikkeling van logisch denken, competente wiskundige spraak, nauwkeurigheid bij het maken van tekeningen te bevorderen;

interesse in het onderwerp cultiveren, werken met wiskundige concepten en beelden, de wil, onafhankelijkheid en doorzettingsvermogen cultiveren om het eindresultaat te bereiken.

Tijdens de lessen

I. Organisatorisch moment.

Groepsgroet. Communicatie aan studenten over de doelstellingen van de les.

Ik wil de les van vandaag beginnen met een gelijkenis. “Er was een wijze man die alles wist. Eén persoon wilde bewijzen dat de wijze niet alles weet. Hij hield de vlinder in zijn handen en vroeg: "Vertel me, wijze, welke vlinder heb ik in mijn handen: dood of levend?" En hij denkt zelf: "Als de levende zegt, vermoord ik haar, als de dode zegt, laat ik haar eruit." De wijze antwoordde, na te hebben nagedacht: "Alles ligt in jouw handen."

Laten we daarom vandaag vruchtbaar werken, een nieuwe voorraad kennis verwerven en de verworven vaardigheden en capaciteiten in het latere leven en in praktische activiteiten toepassen. "Alles ligt in jouw handen."

II. Herhaling van eerder geleerd materiaal.

Laten we de hoofdpunten van het eerder bestudeerde materiaal in herinnering brengen. Om dit te doen, zullen we de taak "Verwijder het extra woord" voltooien.

(Leerlingen zeggen een extra woord.)

Correct "Differentieel". Probeer de overige woorden in één gemeenschappelijk woord te noemen. (Integrale calculus.)

Laten we de belangrijkste fasen en concepten met betrekking tot integraalrekening onthouden.

Oefening. Pasjes herstellen. (De leerling komt naar buiten en schrijft de nodige woorden met een stift.)

Werk in notitieboekjes.

De Newton-Leibniz-formule is ontwikkeld door de Engelse natuurkundige Isaac Newton (1643-1727) en de Duitse filosoof Gottfried Leibniz (1646-1716). En dat is niet verwonderlijk, want wiskunde is de taal die door de natuur zelf wordt gesproken.

Overweeg hoe deze formule wordt gebruikt bij het oplossen van praktische taken.

Voorbeeld 1: Bereken de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen

Oplossing: Laten we op het coördinatenvlak de grafieken van de functies construeren . Selecteer het gebied van de figuur dat moet worden gevonden.

III. Nieuwe stof leren.

Let op het scherm. Wat staat er op de eerste foto? (De afbeelding toont een platte figuur.)

Wat staat er op de tweede foto? Is dit cijfer plat? (De afbeelding toont een driedimensionale figuur.)

In de ruimte, op aarde en in het dagelijks leven ontmoeten we niet alleen platte figuren, maar ook driedimensionale, maar hoe het volume van dergelijke lichamen te berekenen? Bijvoorbeeld: het volume van een planeet, komeet, meteoriet, etc.

Ze denken aan het volume bij het bouwen van huizen en het gieten van water van het ene vat naar het andere. Regels en methoden voor het berekenen van volumes hadden moeten komen, een ander ding is hoe nauwkeurig en gerechtvaardigd ze waren.

Zo markeerden de weloverwogen werken van Kepler het begin van een hele stroom van onderzoek, die culmineerde in het laatste kwart van de 17e eeuw. ontwerp in de werken van I. Newton en G.V. Leibniz differentiaal- en integraalrekening. Sindsdien heeft de wiskunde van groottevariabelen een leidende plaats ingenomen in het systeem van wiskundige kennis.

Dus vandaag zullen we ons bezighouden met dergelijke praktische activiteiten, daarom,

Het onderwerp van onze les: "Berekening van de volumes van omwentelingslichamen met behulp van een bepaalde integraal."

U leert de definitie van een revolutielichaam door de volgende taak uit te voeren.

"Labyrint".

Oefening. Zoek een uitweg uit de verwarrende situatie en schrijf de definitie op.

IVBerekening van volumes.

Met behulp van een bepaalde integraal kun je het volume van een lichaam berekenen, in het bijzonder een omwentelingslichaam.

Een omwentelingslichaam is een lichaam dat wordt verkregen door een kromlijnig trapezium rond zijn basis te roteren (Fig. 1, 2)

Het volume van een omwentelingslichaam wordt berekend met een van de formules:

1. rond de x-as.

2. , als de rotatie van de kromlijnige trapezium rond de y-as.

De leerlingen schrijven de basisformules op in een notitieboekje.

De docent legt de oplossing van de voorbeelden op het bord uit.

1. Vind het volume van het lichaam dat wordt verkregen door te roteren rond de y-as van een kromlijnig trapezium dat wordt begrensd door lijnen: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Oplossing.

Antwoord: 1163 cm3.

2. Vind het volume van het lichaam dat wordt verkregen door een parabolische trapezium rond de abscis te roteren y = , x = 4, y = 0.

Oplossing.

V. Wiskundige simulator.

2. De verzameling van alle antiderivaten van een bepaalde functie heet

A) een onbepaalde integraal

B) functie,

B) differentiatie.

7. Vind het volume van het lichaam verkregen door te roteren rond de as van een kromlijnige trapezium begrensd door lijnen:

D/Z. Nieuw materiaal repareren

Bereken het volume van het lichaam gevormd door de rotatie van het bloemblad rond de x-as y=x2, y2=x.

Laten we de grafieken van de functie tekenen. y=x2, y2=x. De grafiek y2 = x wordt omgezet in de vorm y = .

We hebben V = V1 - V2 Laten we het volume van elke functie berekenen:

Conclusie:

Een bepaalde integraal is een soort basis voor de studie van wiskunde, die een onmisbare bijdrage levert aan het oplossen van praktische problemen.

Het onderwerp "Integraal" laat duidelijk het verband zien tussen wiskunde en natuurkunde, biologie, economie en technologie.

De ontwikkeling van de moderne wetenschap is ondenkbaar zonder het gebruik van de integraal. In dit opzicht is het noodzakelijk om het te gaan studeren in het kader van het secundair gespecialiseerd onderwijs!

VI. Beoordeling.(Met commentaar.)

Grote Omar Khayyam - wiskundige, dichter, filosoof. Hij roept op om meester te zijn over zijn lot. Luister naar een fragment uit zijn werk:

Je zegt dat dit leven maar een moment is.
Waardeer het, haal er inspiratie uit.
Zoals je het uitgeeft, zo zal het voorbij gaan.
Vergeet niet: zij is jouw creatie.

Het volume van een omwentelingslichaam kan worden berekend met de formule:

In de formule moet er een getal voor de integraal staan. Het gebeurde gewoon zo - alles wat draait in het leven is verbonden met deze constante.

Hoe je de limieten van integratie "a" en "be" kunt instellen, is volgens mij gemakkelijk te raden uit de voltooide tekening.

Functie... wat is deze functie? Laten we naar de tekening kijken. De platte figuur wordt begrensd door de paraboolgrafiek van bovenaf. Dit is de functie die in de formule wordt geïmpliceerd.

Bij praktische taken kan soms een platte figuur onder de as worden geplaatst. Dit verandert niets - de functie in de formule is in het kwadraat: , dus het volume van een omwentelingslichaam is altijd niet-negatief, wat vrij logisch is.

Bereken het volume van het omwentelingslichaam met behulp van deze formule:

Zoals ik al opmerkte, blijkt de integraal bijna altijd eenvoudig te zijn, het belangrijkste is om voorzichtig te zijn.

Antwoorden:

In het antwoord is het noodzakelijk om de afmeting aan te geven - kubieke eenheden. Dat wil zeggen, in ons rotatielichaam zijn er ongeveer 3,35 "kubussen". Waarom precies kubieke eenheden? Omdat de meest universele formulering. Er kunnen kubieke centimeters zijn, er kunnen kubieke meters zijn, er kunnen kubieke kilometers zijn, enz., dat is hoeveel kleine groene mannetjes je fantasie in een vliegende schotel past.

Voorbeeld 2

Vind het volume van het lichaam gevormd door rotatie rond de as van de figuur begrensd door de lijnen , ,

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Laten we eens kijken naar twee meer complexe problemen, die ook vaak voorkomen in de praktijk.

Voorbeeld 3

Bereken het volume van het lichaam verkregen door te roteren rond de as van de figuur begrensd door de lijnen , , en

Oplossing: Laten we in de tekening een platte figuur weergeven die wordt begrensd door lijnen , , , , zonder te vergeten dat de vergelijking de as definieert:

Het gewenste cijfer is blauw gearceerd. Als het om de as draait, ontstaat zo'n surrealistische donut met vier hoeken.

Het volume van het omwentelingslichaam wordt berekend als lichaamsvolume verschil.

Laten we eerst eens kijken naar de figuur die rood omcirkeld is. Wanneer het rond de as draait, wordt een afgeknotte kegel verkregen. Laten we het volume van deze afgeknotte kegel aanduiden als .

Beschouw de figuur die groen omcirkeld is. Als je deze figuur om de as draait, krijg je ook een afgeknotte kegel, alleen iets kleiner. Laten we het volume aangeven met .

En natuurlijk is het verschil in volumes precies het volume van onze "donut".

We gebruiken de standaardformule om het volume van een omwentelingslichaam te vinden:

1) De rood omcirkelde figuur is van bovenaf begrensd door een rechte lijn, dus:

2) De groen omcirkelde figuur is van bovenaf begrensd door een rechte lijn, dus:

3) Het volume van het gewenste omwentelingslichaam:

Antwoorden:

Het is merkwaardig dat in dit geval de oplossing kan worden gecontroleerd met behulp van de schoolformule voor het berekenen van het volume van een afgeknotte kegel.

De beslissing zelf wordt vaak korter gemaakt, ongeveer als volgt:

Laten we nu even pauzeren en praten over geometrische illusies.

Mensen hebben vaak illusies in verband met boekdelen, wat Perelman (niet dezelfde) opmerkte in het boek Interessante geometrie. Kijk naar de platte figuur in het opgeloste probleem - het lijkt een klein oppervlak te hebben en het volume van het omwentelingslichaam is iets meer dan 50 kubieke eenheden, wat te groot lijkt. Trouwens, de gemiddelde persoon in zijn hele leven drinkt een vloeistof met een volume van een kamer van 18 vierkante meter, wat integendeel een te klein volume lijkt te zijn.

Over het algemeen was het onderwijssysteem in de USSR echt het beste. Hetzelfde boek van Perelman, door hem geschreven in 1950, ontwikkelt zich heel goed, zoals de humorist zei, redeneren en leert je originele niet-standaard oplossingen voor problemen te zoeken. Onlangs heb ik enkele hoofdstukken met veel interesse opnieuw gelezen, ik raad het aan, het is zelfs toegankelijk voor humanitairen. Nee, je hoeft niet te glimlachen dat ik suggereerde dat een goed tijdverdrijf, eruditie en een brede kijk in communicatie een groot goed is.

Na een lyrische uitweiding is het gewoon gepast om een creatieve taak op te lossen:

Voorbeeld 4

Bereken het volume van een lichaam gevormd door rotatie om de as van een platte figuur begrensd door de lijnen , , waar .

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Houd er rekening mee dat alles in de band gebeurt, met andere woorden, er worden bijna kant-en-klare integratielimieten gegeven. Probeer ook de grafieken van trigonometrische functies correct te tekenen, als het argument door twee wordt gedeeld: , dan worden de grafieken twee keer langs de as uitgerekt. Probeer minstens 3-4 punten te vinden volgens trigonometrische tabellen en maak de tekening nauwkeuriger. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les. Trouwens, de taak kan rationeel worden opgelost en niet erg rationeel.

Berekening van het volume van een lichaam gevormd door rotatie
platte figuur rond een as

De tweede alinea zal nog interessanter zijn dan de eerste. De taak van het berekenen van het volume van een omwentelingslichaam rond de y-as is ook een vrij frequente bezoeker in tests. Terloops zal worden overwogen probleem om het gebied van een figuur te vinden de tweede manier - integratie langs de as, hierdoor kunt u niet alleen uw vaardigheden verbeteren, maar u ook leren hoe u de meest winstgevende oplossing kunt vinden. Het heeft ook een praktische betekenis! Zoals mijn lerares wiskundelesmethoden met een glimlach terugblikte, bedankten veel afgestudeerden haar met de woorden: “Je vak heeft ons enorm geholpen, nu zijn we effectieve managers en sturen we ons personeel optimaal aan.” Van deze gelegenheid gebruik ik ook mijn grote dank aan haar, vooral omdat ik de opgedane kennis gebruik voor het beoogde doel =).

Voorbeeld 5

Gegeven een platte figuur begrensd door lijnen , , .

1) Zoek het gebied van een platte figuur begrensd door deze lijnen.
2) Bepaal het volume van het lichaam dat wordt verkregen door een plat figuur begrensd door deze lijnen rond de as te roteren.

Aandacht! Zelfs als je alleen de tweede alinea wilt lezen, eerst nodig lees de eerste!

Oplossing: De taak bestaat uit twee delen. Laten we beginnen met het vierkant.

1) Laten we de tekening uitvoeren:

Het is gemakkelijk in te zien dat de functie de bovenste tak van de parabool definieert en de functie de onderste tak van de parabool. Voor ons staat een triviale parabool, die 'op zijn kant ligt'.

De gewenste figuur, waarvan het gebied te vinden is, is blauw gearceerd.

Hoe het gebied van een figuur te vinden? Het is te vinden op de "gebruikelijke" manier, die in de les werd overwogen. Duidelijke integraal. Hoe de oppervlakte van een figuur te berekenen. Bovendien wordt het gebied van de figuur gevonden als de som van de gebieden:
- op het segment ;
- op het segment.

Dat is waarom:

Wat is er mis met de gebruikelijke oplossing in dit geval? Ten eerste zijn er twee integralen. Ten tweede zijn wortels onder integralen en wortels in integralen geen geschenk, bovendien kan men in de war raken bij het vervangen van de limieten van integratie. In feite zijn de integralen natuurlijk niet dodelijk, maar in de praktijk is alles veel droeviger, ik heb net "betere" functies voor de taak opgepikt.

Er is een meer rationele oplossing: deze bestaat uit de overgang naar inverse functies en integratie langs de as.

Hoe over te gaan naar inverse functies? Grofweg moet je "x" tot en met "y" uitdrukken. Laten we eerst de parabool behandelen:

Dit is genoeg, maar laten we ervoor zorgen dat dezelfde functie kan worden afgeleid uit de onderste tak:

Met een rechte lijn is alles eenvoudiger:

Kijk nu naar de as: kantel uw hoofd regelmatig 90 graden naar rechts terwijl u uitlegt (dit is geen grap!). Het cijfer dat we nodig hebben, ligt op het segment, dat wordt aangegeven door de rode stippellijn. Bovendien bevindt de rechte lijn zich op het segment boven de parabool, wat betekent dat het gebied van de figuur moet worden gevonden met behulp van de formule die u al bekend is: . Wat is er veranderd in de formule? Alleen een brief, meer niet.

! Opmerking: de integratielimieten langs de as moeten worden ingesteld strikt van onder naar boven!

Het gebied vinden:

Op het segment dus:

Let op hoe ik de integratie heb uitgevoerd, dit is de meest rationele manier, en in de volgende paragraaf van de opdracht zal duidelijk worden waarom.

Voor lezers die twijfelen aan de juistheid van integratie, zal ik afgeleiden vinden:

De oorspronkelijke integrand wordt verkregen, wat betekent dat de integratie correct wordt uitgevoerd.

Antwoorden:

2) Bereken het volume van het lichaam gevormd door de rotatie van deze figuur om de as.

Ik zal de tekening opnieuw tekenen in een iets ander ontwerp:

De in blauw gearceerde figuur roteert dus om de as. Het resultaat is een "zwevende vlinder" die om zijn as draait.

Om het volume van het omwentelingslichaam te vinden, zullen we langs de as integreren. Eerst moeten we verder gaan met inverse functies. Dit is al gedaan en uitgebreid beschreven in de vorige paragraaf.

Nu kantelen we ons hoofd weer naar rechts en bestuderen onze figuur. Het is duidelijk dat het volume van het omwentelingslichaam moet worden gevonden als het verschil tussen de volumes.

We roteren de in rood omcirkelde figuur rond de as, wat resulteert in een afgeknotte kegel. Laten we dit volume aanduiden met .

We roteren de figuur, groen omcirkeld, rond de as en duiden deze aan door het volume van het resulterende omwentelingslichaam.

Het volume van onze vlinder is gelijk aan het verschil in volumes.

We gebruiken de formule om het volume van een omwentelingslichaam te vinden:

Wat is het verschil met de formule van de vorige paragraaf? Alleen in brieven.

En hier is het voordeel van integratie waar ik het een tijdje geleden over had, het is veel gemakkelijker te vinden dan de integrand voorlopig tot de 4e macht te verheffen.

Antwoorden:

Echter, een ziekelijke vlinder.

Merk op dat als dezelfde platte figuur rond de as wordt geroteerd, er een heel ander omwentelingslichaam zal ontstaan, met een natuurlijk ander volume.

Voorbeeld 6

Gegeven een platte figuur begrensd door lijnen, en een as.

1) Ga naar inverse functies en vind het gebied van een platte figuur begrensd door deze lijnen door te integreren over de variabele .
2) Bereken het volume van het lichaam dat wordt verkregen door een plat figuur begrensd door deze lijnen rond de as te roteren.

Hoe het volume van een omwentelingslichaam te berekenen met behulp van een bepaalde integraal?

Losstaand van het gebied van een platte figuur vinden met behulp van een bepaalde integraal de belangrijkste toepassing van het thema is berekening van het volume van een omwentelingslichaam. Het materiaal is eenvoudig, maar de lezer moet voorbereid zijn: het is noodzakelijk om te kunnen oplossen onbepaalde integralen gemiddelde complexiteit en pas de Newton-Leibniz-formule toe in bepaalde integraal . Net als bij het probleem om het gebied te vinden, heb je zelfverzekerde tekenvaardigheden nodig - dit is bijna het belangrijkste (aangezien de integralen zelf vaak gemakkelijk zullen zijn). U kunt de competente en snelle techniek van het plotten van grafieken beheersen met behulp van methodologisch materiaal . Maar in feite heb ik herhaaldelijk gesproken over het belang van tekeningen in de les. .

Over het algemeen zijn er veel interessante toepassingen in integraalberekening; met behulp van een bepaalde integraal kun je het gebied van een figuur, het volume van een omwentelingslichaam, de lengte van een boog, het oppervlak berekenen van het lichaam en nog veel meer. Dus het wordt leuk, wees optimistisch!

Stel je een platte figuur voor op het coördinatenvlak. Vertegenwoordigd? ... Ik vraag me af wie wat heeft gepresenteerd ... =))) We hebben het gebied al gevonden. Maar daarnaast kan deze figuur ook worden gedraaid en op twee manieren worden geroteerd:

– rond de x-as; - rond de y-as.

In dit artikel worden beide gevallen besproken. Vooral de tweede manier van roteren is interessant, het veroorzaakt de grootste moeilijkheden, maar in feite is de oplossing bijna hetzelfde als bij de meer gebruikelijke rotatie rond de x-as. Als bonus keer ik terug naar het probleem van het vinden van het gebied van een figuur en vertel je hoe je het gebied op de tweede manier kunt vinden - langs de as. Niet eens zozeer een bonus als het materiaal goed in het thema past.

Laten we beginnen met het meest populaire type rotatie.

voorbeeld 1

Bereken het volume van een lichaam dat wordt verkregen door een figuur begrensd door lijnen rond een as te roteren.

Oplossing: Net als bij het vinden van het gebied, de oplossing begint met een tekening van een plat figuur. Dat wil zeggen, op een vlak is het noodzakelijk om een figuur te bouwen die wordt begrensd door lijnen, zonder te vergeten dat de vergelijking de as bepaalt. Hoe je rationeler en sneller een tekening maakt, vind je op de pagina's Grafieken en eigenschappen van elementaire functies en Duidelijke integraal. Hoe de oppervlakte van een figuur te berekenen . Dit is een Chinese herinnering en ik stop hier niet mee.

De tekening hier is vrij eenvoudig:

De gewenste platte figuur is blauw gearceerd, zij is het die rond de as draait. Door rotatie ontstaat deze enigszins eivormige vliegende schotel, die symmetrisch is om de as. In feite heeft het lichaam een wiskundige naam, maar het is te lui om naar iets in het naslagwerk te kijken, dus gaan we verder.

Hoe het volume van een omwentelingslichaam te berekenen?

Het volume van een omwentelingslichaam kan worden berekend met de formule:

In de formule moet er een getal voor de integraal staan. Het gebeurde gewoon zo - alles wat draait in het leven is verbonden met deze constante.

Hoe je de limieten van integratie "a" en "be" kunt instellen, is volgens mij gemakkelijk te raden uit de voltooide tekening.

Functie... wat is deze functie? Laten we naar de tekening kijken. De platte figuur wordt begrensd door de parabolische grafiek bovenaan. Dit is de functie die in de formule wordt geïmpliceerd.

Bij praktische taken kan soms een platte figuur onder de as worden geplaatst. Dit verandert niets - de functie in de formule is kwadraat:, dus het volume van een omwentelingslichaam is altijd niet-negatief, wat vrij logisch is.

Bereken het volume van het omwentelingslichaam met behulp van deze formule:

Zoals ik al opmerkte, blijkt de integraal bijna altijd eenvoudig te zijn, het belangrijkste is om voorzichtig te zijn.

Antwoorden:

Voorbeeld 2

Vind het volume van een lichaam gevormd door rotatie rond de as van de figuur begrensd door lijnen,,

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Laten we eens kijken naar twee meer complexe problemen, die ook vaak voorkomen in de praktijk.

Voorbeeld 3

Bereken het volume van het lichaam verkregen door te roteren rond de as van de figuur begrensd door de lijnen , en

Oplossing: Laten we een platte figuur in de tekening afbeelden, begrensd door lijnen ,,, zonder te vergeten dat de vergelijking de as bepaalt:

Het gewenste cijfer is blauw gearceerd. Als het om de as draait, ontstaat zo'n surrealistische donut met vier hoeken.

Het volume van het omwentelingslichaam wordt berekend als lichaamsvolume verschil.

Laten we eerst eens kijken naar de figuur die rood omcirkeld is. Wanneer het rond de as draait, wordt een afgeknotte kegel verkregen. Geef het volume van deze afgeknotte kegel aan met.

Beschouw de figuur die groen omcirkeld is. Als je deze figuur om de as draait, krijg je ook een afgeknotte kegel, alleen iets kleiner. Laten we het volume aangeven met .

En natuurlijk is het verschil in volumes precies het volume van onze "donut".

We gebruiken de standaardformule om het volume van een omwentelingslichaam te vinden:

1) De rood omcirkelde figuur is van bovenaf begrensd door een rechte lijn, dus:

2) De groen omcirkelde figuur is van bovenaf begrensd door een rechte lijn, dus:

3) Het volume van het gewenste omwentelingslichaam:

Antwoorden:

Het is merkwaardig dat in dit geval de oplossing kan worden gecontroleerd met behulp van de schoolformule voor het berekenen van het volume van een afgeknotte kegel.

De beslissing zelf wordt vaak korter gemaakt, ongeveer als volgt:

Laten we nu even pauzeren en praten over geometrische illusies.

Na een lyrische uitweiding is het gewoon gepast om een creatieve taak op te lossen:

Voorbeeld 4

Bereken het volume van een lichaam gevormd door rotatie om de as van een platte figuur begrensd door de lijnen,, waar.

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Houd er rekening mee dat alles in de band gebeurt, met andere woorden, er worden bijna kant-en-klare integratielimieten gegeven. Probeer ook de grafieken van trigonometrische functies correct te tekenen, als het argument door twee wordt gedeeld:, dan worden de grafieken twee keer langs de as uitgerekt. Probeer minstens 3-4 punten te vinden volgens trigonometrische tabellen en maak de tekening nauwkeuriger. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les. Trouwens, de taak kan rationeel worden opgelost en niet erg rationeel.

Berekening van het volume van een lichaam gevormd door de rotatie van een platte figuur rond een as

Voorbeeld 5

Gegeven een platte figuur begrensd door lijnen ,,.

1) Zoek het gebied van een platte figuur begrensd door deze lijnen. 2) Bepaal het volume van het lichaam dat wordt verkregen door een plat figuur begrensd door deze lijnen rond de as te roteren.

Aandacht! Zelfs als je alleen de tweede alinea wilt lezen, eerst nodig lees de eerste!

Oplossing: De taak bestaat uit twee delen. Laten we beginnen met het vierkant.

1) Laten we de tekening uitvoeren:

Het is gemakkelijk in te zien dat de functie de bovenste tak van de parabool definieert en de functie de onderste tak van de parabool. Voor ons staat een triviale parabool, die 'op zijn kant ligt'.

De gewenste figuur, waarvan het gebied te vinden is, is blauw gearceerd.

Hoe het gebied van een figuur te vinden? Het is te vinden op de "gebruikelijke" manier, die in de les werd overwogen. Duidelijke integraal. Hoe de oppervlakte van een figuur te berekenen . Bovendien wordt het gebied van de figuur gevonden als de som van de gebieden: - op het segment ; - op het segment.

Dat is waarom:

Er is een meer rationele oplossing: deze bestaat uit de overgang naar inverse functies en integratie langs de as.

Hoe over te gaan naar inverse functies? Grofweg moet je "x" tot en met "y" uitdrukken. Laten we eerst de parabool behandelen:

Dit is genoeg, maar laten we ervoor zorgen dat dezelfde functie kan worden afgeleid uit de onderste tak:

Met een rechte lijn is alles eenvoudiger:

Kijk nu naar de as: kantel uw hoofd regelmatig 90 graden naar rechts terwijl u uitlegt (dit is geen grap!). Het cijfer dat we nodig hebben, ligt op het segment, dat wordt aangegeven door de rode stippellijn. Tegelijkertijd bevindt de rechte lijn zich op het segment boven de parabool, wat betekent dat het gebied van de figuur moet worden gevonden met behulp van de formule die u al bekend is: . Wat is er veranderd in de formule? Alleen een brief, meer niet.

! Opmerking: de integratielimieten langs de as moeten worden ingesteldstrikt van onder naar boven !

Het gebied vinden:

Op het segment dus:

Let op hoe ik de integratie heb uitgevoerd, dit is de meest rationele manier, en in de volgende paragraaf van de opdracht zal duidelijk worden waarom.

Voor lezers die twijfelen aan de juistheid van integratie, zal ik afgeleiden vinden:

De oorspronkelijke integrand wordt verkregen, wat betekent dat de integratie correct wordt uitgevoerd.

Antwoorden:

2) Bereken het volume van het lichaam gevormd door de rotatie van deze figuur om de as.

Ik zal de tekening opnieuw tekenen in een iets ander ontwerp:

De in blauw gearceerde figuur roteert dus om de as. Het resultaat is een "zwevende vlinder" die om zijn as draait.

Nu kantelen we ons hoofd weer naar rechts en bestuderen onze figuur. Het is duidelijk dat het volume van het omwentelingslichaam moet worden gevonden als het verschil tussen de volumes.

We roteren de in rood omcirkelde figuur rond de as, wat resulteert in een afgeknotte kegel. Laten we dit volume aanduiden met .

We roteren de figuur, groen omcirkeld, rond de as en duiden het volume van het resulterende rotatielichaam aan.

Het volume van onze vlinder is gelijk aan het verschil in volumes.

We gebruiken de formule om het volume van een omwentelingslichaam te vinden:

Wat is het verschil met de formule van de vorige paragraaf? Alleen in brieven.

En hier is het voordeel van integratie waar ik het een tijdje geleden over had, het is veel gemakkelijker te vinden dan de integrand voorlopig tot de 4e macht te verheffen.

I. Volumes van omwentelingslichamen. Bestudeer eerst hoofdstuk XII, p°p° 197, 198, volgens het leerboek van G.M. Fikhtengol'ts* Analyseer in detail de voorbeelden gegeven in p° 198.

508. Bereken het volume van het lichaam gevormd door de rotatie van de ellips rond de x-as.

Op deze manier,

530. Zoek het oppervlak van het oppervlak gevormd door de rotatie rond de as Ox van de boog van de sinusoïde y \u003d sin x van het punt X \u003d 0 naar het punt X \u003d It.

531. Bereken de oppervlakte van een kegel met hoogte h en straal r.

532. Bereken de oppervlakte gevormd door

rotatie van de asteroïde x3 -) - y* - a3 rond de x-as.

533. Bereken de oppervlakte van het oppervlak gevormd door de inversie van de lus van de kromme 18 y-x(6-x)r rond de x-as.

534. Zoek het oppervlak van de torus, geproduceerd door de rotatie van de cirkel X2 - j - (y-3)2 = 4 rond de x-as.

535. Bereken het oppervlak van het oppervlak gevormd door de rotatie van de cirkel X = a cost, y = asint rond de Ox-as.

536. Bereken het oppervlak van het oppervlak gevormd door de rotatie van de lus van de curve x = 9t2, y = St - 9t3 rond de as Ox.

537. Zoek het oppervlak van het oppervlak gevormd door de rotatie van de boog van de curve x = e * sint, y = el kosten rond de as Ox

van t = 0 tot t = -.

538. Toon aan dat het oppervlak geproduceerd door de rotatie van de boog van de cycloïde x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) om de as Oy, gelijk is aan 16 u2 o2.

539. Vind het oppervlak dat wordt verkregen door de cardioïde rond de poolas te draaien.

540. Vind het gebied van het oppervlak gevormd door de rotatie van de lemniscaat rond de poolas.

Aanvullende taken voor hoofdstuk IV

Gebieden van vlakke figuren

541. Vind het hele gebied van een gebied dat wordt begrensd door een curve En as Oh.

542. Zoek het gebied van het gebied dat wordt begrensd door de curve

En as Oh.

543. Zoek het deel van het gebied van de regio dat zich in het eerste kwadrant bevindt en wordt begrensd door de curve

l coördinaatassen.

544. Zoek het gebied van het gebied binnenin

lussen:

545. Zoek het gebied van het gebied dat wordt begrensd door één lus van de curve:

546. Zoek het gebied van het gebied binnen de lus:

547. Zoek het gebied van het gebied dat wordt begrensd door de curve

En as Oh.

548. Zoek het gebied van het gebied dat wordt begrensd door de curve

En as Oh.

549. Zoek het gebied van het gebied dat wordt begrensd door de Oxr-as

recht en bocht