Het volume van een piramide met de basis van een gelijkzijdige driehoek. Volume van een driehoekige piramide

Een van de eenvoudigste volumetrische figuren is een driehoekige piramide, omdat deze bestaat uit het kleinste aantal vlakken waaruit een figuur in de ruimte kan worden gevormd. In dit artikel zullen we formules bekijken waarmee je het volume van een driehoekige regelmatige piramide kunt vinden.

driehoekige piramide

Volgens de algemene definitie is een piramide een veelhoek, waarvan alle hoekpunten verbonden zijn met één punt dat zich niet in het vlak van deze veelhoek bevindt. Als de laatste een driehoek is, wordt de hele figuur een driehoekige piramide genoemd.

De beschouwde piramide bestaat uit een basis (driehoek) en drie zijvlakken (driehoeken). Het punt waar de drie zijvlakken zijn verbonden, wordt het hoekpunt van de figuur genoemd. De loodlijn die vanaf dit hoekpunt op de basis valt, is de hoogte van de piramide. Als het snijpunt van de loodlijn met de basis samenvalt met het snijpunt van de medianen van de driehoek aan de basis, dan is er sprake van een regelmatige piramide. Anders wordt het glooiend.

Zoals gezegd kan de basis van een driehoekige piramide een algemene driehoek zijn. Als het echter gelijkzijdig is en de piramide zelf recht is, hebben ze het over de juiste driedimensionale figuur.

Elk heeft 4 vlakken, 6 randen en 4 hoekpunten. Als de lengtes van alle randen gelijk zijn, wordt zo'n figuur een tetraëder genoemd.

algemeen type:

Voordat we een regelmatige driehoekige piramide opschrijven, geven we een uitdrukking voor deze fysieke hoeveelheid voor een piramide van een algemeen type. Deze uitdrukking ziet er als volgt uit:

Hier is S o het gebied van de basis, h is de hoogte van de figuur. Deze gelijkheid is geldig voor elk type basis van de piramidepolygoon, evenals voor de kegel. Als er aan de basis een driehoek is met zijde lengte a en hoogte h o erop neergelaten, dan wordt de formule voor volume als volgt geschreven:

Formules voor het volume van een regelmatige driehoekige piramide

Driehoekig heeft een gelijkzijdige driehoek aan de basis. Het is bekend dat de hoogte van deze driehoek gerelateerd is aan de lengte van zijn zijde door de gelijkheid:

Als we deze uitdrukking vervangen door de formule voor het volume van een driehoekige piramide, geschreven in de vorige paragraaf, krijgen we:

V = 1/6*a*h o *h = -3/12*a 2 *h.

Het volume van een regelmatige piramide met een driehoekige basis is een functie van de lengte van de zijkant van de basis en de hoogte van de figuur.

Aangezien elke regelmatige veelhoek kan worden ingeschreven in een cirkel waarvan de straal op unieke wijze de lengte van de zijde van de veelhoek bepaalt, kan deze formule worden geschreven in termen van de overeenkomstige straal r:

Deze formule is gemakkelijk te verkrijgen uit de vorige, aangezien de straal r van de omgeschreven cirkel door de lengte van de zijde a van de driehoek wordt bepaald door de uitdrukking:

De taak om het volume van een tetraëder te bepalen

Laten we laten zien hoe de bovenstaande formules kunnen worden gebruikt bij het oplossen van specifieke geometrieproblemen.

Het is bekend dat de tetraëder een randlengte heeft van 7 cm Vind het volume van een regelmatige driehoekige piramide-tetraëder.

Bedenk dat een tetraëder een regelmatige driehoekige piramide is waarin alle basen aan elkaar gelijk zijn. Om de formule voor het volume van een regelmatige driehoekige piramide te gebruiken, moet u twee grootheden berekenen:

  • de lengte van de zijde van de driehoek;
  • figuur hoogte.

De eerste waarde is bekend uit de toestand van het probleem:

Om de hoogte te bepalen, houdt u rekening met de figuur in de afbeelding.

De gemarkeerde driehoek ABC is een rechthoekige driehoek waarvan de hoek ABC 90o is. De AC-zijde is de hypotenusa, waarvan de lengte a is. Door eenvoudige geometrische redenering kan worden aangetoond dat de zijde BC lengte heeft:

Merk op dat de lengte BC de straal is van de omgeschreven cirkel rond de driehoek.

h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3).

Nu kun je h en a in de corresponderende formule voor volume vervangen:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

We hebben dus de formule voor het volume van een tetraëder verkregen. Het is te zien dat het volume alleen afhangt van de lengte van de rib. Als we de waarde van de voorwaarde van het probleem in de uitdrukking vervangen, krijgen we het antwoord:

V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Als we deze waarde vergelijken met het volume van een kubus met dezelfde rand, krijgen we dat het volume van een tetraëder 8,5 keer kleiner is. Dit geeft aan dat de tetraëder een compacte figuur is, die in sommige natuurlijke stoffen wordt gerealiseerd. Het methaanmolecuul is bijvoorbeeld tetraëder en elk koolstofatoom in diamant is verbonden met vier andere atomen om een ​​tetraëder te vormen.

Probleem met homothetische piramides

Laten we een merkwaardig geometrisch probleem oplossen. Neem aan dat er een driehoekige regelmatige piramide is met een bepaald volume V 1 . Met hoeveel keer moet de grootte van deze figuur worden verkleind om een ​​piramide te krijgen die er homothetisch aan is met een volume dat drie keer kleiner is dan de oorspronkelijke?

Laten we beginnen met het oplossen van het probleem door de formule voor de originele reguliere piramide te schrijven:

V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.

Laat het volume van het cijfer dat vereist is door de toestand van het probleem worden verkregen door de parameters ervan te vermenigvuldigen met de coëfficiënt k. Wij hebben:

V 2 = -3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Aangezien de verhouding van de volumes van figuren bekend is uit de voorwaarde, verkrijgen we de waarde van de coëfficiënt k:

k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.

Merk op dat we een vergelijkbare waarde van de coëfficiënt k zouden hebben verkregen voor een willekeurig type piramide, en niet alleen voor een regelmatige driehoekige.

Om het volume van een piramide te vinden, moet je verschillende formules kennen. Laten we ze eens bekijken.

Hoe het volume van een piramide te vinden - 1e manier

Het volume van een piramide kan worden gevonden met behulp van de hoogte en het gebied van de basis. V = 1/3*S*h. Dus, bijvoorbeeld, als de hoogte van de piramide 10 cm is en het gebied van de basis 25 cm 2 is, dan is het volume gelijk aan V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3

Hoe het volume van een piramide te vinden - 2e methode

Als een regelmatige veelhoek aan de basis van de piramide ligt, kan het volume worden gevonden met behulp van de volgende formule: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), waarbij a de zijde van de veelhoek is die aan de grondtal, en n is het aantal zijden. Bijvoorbeeld: De basis is een regelmatige zeshoek, dat wil zeggen, n = 6. Omdat het een regelmatige zeshoek is, zijn alle zijden gelijk, dat wil zeggen dat alle a gelijk zijn. Laten we zeggen a = 10 en h - 15. We voegen de getallen in de formule in en we krijgen een antwoord bij benadering - 1299 cm 3


Hoe het volume van een piramide te vinden - 3e manier

Als een gelijkzijdige driehoek aan de basis van de piramide ligt, dan kan het volume worden bepaald met behulp van de volgende formule: V = ha 2 /4√3, waarbij a de zijde van de gelijkzijdige driehoek is. Bijvoorbeeld: de hoogte van de piramide is 10 cm, de zijkant van de basis is 5 cm. Het volume is gelijk aan V = 10 * 25/4√ 3 = 250/4√ 3. Meestal wat er gebeurde in de noemer wordt niet berekend en in dezelfde vorm achtergelaten. Je kunt ook zowel de teller als de noemer vermenigvuldigen met 4√3 om 1000√3/48 te krijgen. Verlagen we krijgen 125√ 3/6 cm 3.


Hoe het volume van een piramide te vinden - 4e manier

Als een vierkant aan de basis van de piramide ligt, dan kan het volume worden bepaald met de volgende formule: V = 1/3*h*a 2, waarbij a de zijden van het vierkant zijn. Bijvoorbeeld: hoogte - 5 cm, zijde van het vierkant - 3 cm V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3


Hoe het volume van een piramide te vinden - 5e manier

Als de piramide een tetraëder is, dat wil zeggen dat alle vlakken gelijkzijdige driehoeken zijn, kun je het volume van de piramide vinden met de volgende formule: V = a 3 √2/12, waarbij a een rand van de tetraëder is. Bijvoorbeeld: tetraëderrand \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3

Wat is een piramide?

Hoe ziet ze eruit?

Je ziet: bij de piramide hieronder (ze zeggen " op de basis"") een veelhoek, en alle hoekpunten van deze veelhoek zijn verbonden met een punt in de ruimte (dit punt wordt " hoekpunt»).

Deze hele structuur heeft zijvlakken, zijribben en basisribben. Laten we nogmaals een piramide tekenen met al deze namen:

Sommige piramides zien er misschien heel vreemd uit, maar het zijn nog steeds piramides.

Hier bijvoorbeeld nogal "schuin" piramide.

En iets meer over de namen: als er een driehoek aan de basis van de piramide is, dan wordt de piramide driehoekig genoemd;

Tegelijkertijd, het punt waar het viel hoogte, wordt genoemd hoogte basis. Merk op dat in de "kromme" piramides hoogte misschien zelfs buiten de piramide. Soortgelijk:

En hier is niets verschrikkelijks aan. Het ziet eruit als een stompe driehoek.

Correcte piramide.

Veel moeilijke woorden? Laten we ontcijferen: " Aan de basis - correct"- dit is begrijpelijk. En onthoud nu dat een regelmatige veelhoek een middelpunt heeft - een punt dat het middelpunt is van en , en .

Welnu, en de woorden "de bovenkant wordt geprojecteerd in het midden van de basis" betekenen dat de basis van de hoogte precies in het midden van de basis valt. Kijk hoe glad en schattig het eruit ziet rechter piramide.

zeshoekig: aan de basis - een regelmatige zeshoek, het hoekpunt wordt geprojecteerd in het midden van de basis.

vierhoekig: aan de basis - een vierkant, de bovenkant wordt geprojecteerd op het snijpunt van de diagonalen van dit vierkant.

driehoekig: aan de basis is een regelmatige driehoek, het hoekpunt wordt geprojecteerd op het snijpunt van de hoogten (het zijn ook medianen en bissectrices) van deze driehoek.

Zeer belangrijke eigenschappen van een regelmatige piramide:

In de juiste piramide

  • alle zijranden zijn gelijk.
  • alle zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken en al deze driehoeken zijn gelijk.

Piramidevolume

De hoofdformule voor het volume van de piramide:

Waar kwam het precies vandaan? Dit is niet zo eenvoudig, en eerst moet je gewoon onthouden dat de piramide en kegel volume hebben in de formule, maar de cilinder niet.

Laten we nu het volume van de meest populaire piramides berekenen.

Laat de zijkant van de basis gelijk zijn en de zijkant gelijk. Ik moet vinden en.

Dit is de oppervlakte van een rechthoekige driehoek.

Laten we onthouden hoe we naar dit gebied moeten zoeken. We gebruiken de oppervlakteformule:

We hebben "" - dit, en "" - dit ook, hè.

Laten we nu zoeken.

Volgens de stelling van Pythagoras voor

Wat maakt het uit? Dit is de straal van de omgeschreven cirkel in, omdat piramidejuist en vandaar het centrum.

Sinds - het snijpunt en de mediaan ook.

(stelling van Pythagoras voor)

Vervang in de formule voor.

Laten we alles aansluiten op de volumeformule:

Aandacht: als je een gewone tetraëder hebt (d.w.z.), dan is de formule:

Laat de zijkant van de basis gelijk zijn en de zijkant gelijk.

U hoeft hier niet te zoeken; omdat aan de basis een vierkant is, en daarom.

Laten we vinden. Volgens de stelling van Pythagoras voor

Weten we? Bijna. Kijken:

(we zagen dit door te beoordelen).

Vervang in de formule door:

En nu vervangen we en in de volumeformule.

Laat de zijkant van de basis gelijk zijn, en de zijkant.

Hoe te vinden? Kijk, een zeshoek bestaat uit precies zes identieke regelmatige driehoeken. We hebben al gezocht naar de oppervlakte van een regelmatige driehoek bij het berekenen van het volume van een regelmatige driehoekige piramide, hier gebruiken we de gevonden formule.

Laten we nu (dit) zoeken.

Volgens de stelling van Pythagoras voor

Maar wat maakt het uit? Het is eenvoudig omdat (en ook alle anderen) correct is.

Wij vervangen:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDE. KORT OVER DE HOOFDSTUK

Een piramide is een veelvlak dat bestaat uit een willekeurige vlakke veelhoek (), een punt dat niet in het vlak van de basis (top van de piramide) ligt en alle segmenten die de top van de piramide verbinden met de punten van de basis (zijranden ).

Een loodlijn viel van de top van de piramide naar het vlak van de basis.

Juiste piramide- een piramide met een regelmatige veelhoek aan de basis, en de top van de piramide wordt in het midden van de basis geprojecteerd.

Eigenschap van een regelmatige piramide:

  • In een regelmatige piramide zijn alle zijranden gelijk.
  • Alle zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken en al deze driehoeken zijn gelijk.

Volume van de piramide:

Nou, het onderwerp is voorbij. Als je deze regels leest, ben je erg cool.

Omdat slechts 5% van de mensen in staat is iets alleen onder de knie te krijgen. En als je tot het einde hebt gelezen, dan zit je in de 5%!

Nu het belangrijkste.

Je hebt de theorie over dit onderwerp ontdekt. En, ik herhaal, het is... het is gewoon super! Je bent al beter dan de overgrote meerderheid van je leeftijdsgenoten.

Het probleem is dat dit misschien niet genoeg is...

Waarvoor?

Voor het succesvol afleggen van het examen, voor toelating tot het instituut met een beperkt budget en, BELANGRIJK, voor het leven.

Ik zal je van niets overtuigen, ik zal maar één ding zeggen...

Mensen die een goede opleiding hebben genoten, verdienen veel meer dan degenen die deze niet hebben genoten. Dit zijn statistieken.

Maar dit is niet het belangrijkste.

Het belangrijkste is dat ze MEER GELUKKIG zijn (er zijn zulke onderzoeken). Misschien omdat er veel meer kansen voor hen opengaan en het leven helderder wordt? Weet niet...

Maar denk zelf na...

Wat is er nodig om er zeker van te zijn dat je op het examen beter bent dan anderen en uiteindelijk ... gelukkiger bent?

VUL JE HAND, PROBLEMEN OPLOSSEN OVER DIT ONDERWERP.

Op het examen wordt u niet gevraagd theorie.

Je zal nodig hebben problemen op tijd oplossen.

En als je ze niet (VEEL!) hebt opgelost, maak je zeker ergens een domme fout of kom je gewoon niet op tijd.

Het is net als in sport - je moet het vaak herhalen om zeker te winnen.

Vind een collectie waar je maar wilt noodzakelijkerwijs met oplossingen, gedetailleerde analyse en beslis, beslis, beslis!

Je kunt onze taken gebruiken (niet noodzakelijk) en we raden ze zeker aan.

Om een ​​handje te helpen met onze taken, moet je helpen de levensduur van het YouClever-leerboek dat je momenteel aan het lezen bent te verlengen.

Hoe? Er zijn twee opties:

  1. Ontgrendel de toegang tot alle verborgen taken in dit artikel - 299 roebel.
  2. Ontgrendel de toegang tot alle verborgen taken in alle 99 artikelen van de tutorial - 499 roebel.

Ja, we hebben 99 van dergelijke artikelen in het leerboek en toegang tot alle taken en alle verborgen teksten erin kunnen onmiddellijk worden geopend.

Toegang tot alle verborgen taken wordt geboden gedurende de hele levensduur van de site.

Tot slot...

Als je onze taken niet leuk vindt, zoek dan anderen. Stop niet met theorie.

"Begrepen" en "Ik weet hoe ik het moet oplossen" zijn totaal verschillende vaardigheden. Je hebt beide nodig.

Zoek problemen en los ze op!

Een piramide is een veelvlak met een veelhoek aan de basis. Alle vlakken vormen op hun beurt driehoeken die in één hoekpunt samenkomen. Piramides zijn driehoekig, vierhoekig, enzovoort. Om te bepalen welke piramide voor je ligt, volstaat het om het aantal hoeken aan de basis te tellen. De definitie van "hoogte van de piramide" wordt heel vaak gevonden in meetkundeproblemen in het schoolcurriculum. In het artikel zullen we proberen verschillende manieren te overwegen om het te vinden.

Delen van de piramide

Elke piramide bestaat uit de volgende elementen:

  • zijvlakken die drie hoeken hebben en bovenaan samenkomen;
  • apothema vertegenwoordigt de hoogte die van de top afdaalt;
  • de top van de piramide is een punt dat de zijranden verbindt, maar niet in het vlak van de basis ligt;
  • een basis is een veelhoek die geen hoekpunt bevat;
  • de hoogte van de piramide is een segment dat de top van de piramide snijdt en een rechte hoek vormt met zijn basis.

Hoe de hoogte van een piramide te vinden als het volume bekend is?

Via de formule V \u003d (S * h) / 3 (in de formule V is het volume, S is het basisgebied, h is de hoogte van de piramide), vinden we dat h \u003d (3 * V) / S . Laten we het probleem onmiddellijk oplossen om het materiaal te consolideren. De driehoekige basis is 50 cm 2 terwijl het volume 125 cm 3 is. De hoogte van de driehoekige piramide is onbekend, die we moeten vinden. Alles is hier eenvoudig: we voegen de gegevens in onze formule in. We krijgen h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.

Hoe de hoogte van een piramide te vinden als de lengte van de diagonaal en de rand bekend zijn?

Zoals we ons herinneren, vormt de hoogte van de piramide een rechte hoek met zijn basis. En dit betekent dat de hoogte, de rand en de helft van de diagonaal samen Velen vormen natuurlijk de stelling van Pythagoras. Als je twee dimensies kent, zal het niet moeilijk zijn om de derde waarde te vinden. Denk aan de bekende stelling a² = b² + c², waarbij a de hypotenusa is, en in ons geval de rand van de piramide; b - het eerste been of de helft van de diagonaal en c - respectievelijk het tweede been of de hoogte van de piramide. Uit deze formule is c² = a² - b².

Nu het probleem: in een gewone piramide is de diagonaal 20 cm, terwijl de lengte van de rand 30 cm is.Je moet de hoogte vinden. We lossen op: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Vandaar c \u003d √ 500 \u003d ongeveer 22.4.

Hoe de hoogte van een afgeknotte piramide te vinden?

Het is een veelhoek met een doorsnede evenwijdig aan de basis. De hoogte van een afgeknotte piramide is het segment dat de twee bases verbindt. De hoogte is te vinden bij een regelmatige piramide als de lengtes van de diagonalen van beide bases, evenals de rand van de piramide, bekend zijn. Laat de diagonaal van de grotere basis d1 zijn, terwijl de diagonaal van de kleinere basis d2 is en de rand lengte l heeft. Om de hoogte te vinden, kunt u de hoogten van de twee bovenste tegenoverliggende punten van het diagram naar de basis verlagen. We zien dat we twee rechthoekige driehoeken hebben, het blijft om de lengte van hun benen te vinden. Om dit te doen, trekt u de kleinere diagonaal af van de grotere diagonaal en deelt u deze door 2. We zullen dus één been vinden: a \u003d (d1-d2) / 2. Daarna hoeven we, volgens de stelling van Pythagoras, alleen het tweede been te vinden, dat is de hoogte van de piramide.

Laten we dit geheel nu eens in de praktijk bekijken. Er ligt een taak voor ons. De afgeknotte piramide heeft een vierkant aan de basis, de diagonale lengte van de grotere basis is 10 cm, terwijl de kleinere 6 cm is, en de rand is 4 cm.Het is nodig om de hoogte te vinden. Om te beginnen vinden we één been: een \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Een been is 2 cm en de hypotenusa is 4 cm. Het blijkt dat het tweede been of de hoogte 16- zal zijn. 4 \u003d 12, dat wil zeggen, h \u003d √12 = ongeveer 3,5 cm.

Het woord "piramide" wordt onwillekeurig geassocieerd met de majestueuze reuzen in Egypte, die trouw de vrede van de farao's bewaren. Misschien is dat de reden waarom de piramide onmiskenbaar door iedereen wordt herkend, zelfs door kinderen.

Laten we echter proberen het een geometrische definitie te geven. Laten we ons een aantal punten (A1, A2,..., An) op het vlak voorstellen en nog een (E) die er niet bij hoort. Dus als punt E (boven) is verbonden met de hoekpunten van de veelhoek gevormd door de punten A1, A2, ..., Ap (basis), krijg je een veelvlak, dat een piramide wordt genoemd. Het is duidelijk dat de veelhoek aan de basis van de piramide een willekeurig aantal hoekpunten kan hebben, en afhankelijk van hun aantal kan de piramide driehoekig en vierhoekig, vijfhoekig, enz. worden genoemd.

Als je goed naar de piramide kijkt, wordt duidelijk waarom deze ook anders wordt gedefinieerd - als een geometrische figuur met een veelhoek aan de basis en driehoeken verenigd door een gemeenschappelijk hoekpunt als zijvlakken.

Omdat de piramide een ruimtelijke figuur is, heeft deze ook zo'n kwantitatief kenmerk, omdat deze wordt berekend uit het bekende gelijke derde van het product van de basis van de piramide en zijn hoogte:

Het volume van de piramide, bij het afleiden van de formule, wordt aanvankelijk berekend voor een driehoekige, waarbij als basis een constante verhouding wordt genomen die deze waarde relateert aan het volume van een driehoekig prisma met dezelfde basis en hoogte, wat, zoals blijkt, is drie keer dit volume.

En aangezien elke piramide is verdeeld in driehoekige, en het volume ervan niet afhangt van de constructies die in het bewijs zijn uitgevoerd, is de geldigheid van de bovenstaande volumeformule duidelijk.

Tussen alle piramides staan ​​de juiste, waarin de basis ligt, deze zou in het midden van de basis moeten "eindigen".

In het geval van een onregelmatige veelhoek aan de basis, hebt u nodig om het gebied van de basis te berekenen:

  • breek het in driehoeken en vierkanten;
  • bereken het gebied van elk van hen;
  • voeg de ontvangen gegevens toe.

In het geval van een regelmatige veelhoek aan de basis van de piramide, wordt het gebied berekend met behulp van kant-en-klare formules, zodat het volume van een regelmatige piramide heel eenvoudig wordt berekend.

Om bijvoorbeeld het volume van een vierhoekige piramide te berekenen, als deze regelmatig is, wordt de lengte van de zijde van een regelmatige vierhoek (vierkant) aan de basis gekwadrateerd en, vermenigvuldigd met de hoogte van de piramide, wordt het resulterende product gedeeld door drie.

Het volume van de piramide kan worden berekend met behulp van andere parameters:

  • als een derde van het product van de straal van de bal ingeschreven in de piramide en het gebied van het totale oppervlak;
  • als tweederde van het product van de afstand tussen twee willekeurig genomen kruisende randen en het gebied van het parallellogram dat de middelpunten vormt van de resterende vier randen.

Het volume van de piramide wordt ook eenvoudig berekend in het geval dat de hoogte samenvalt met een van de zijranden, dat wil zeggen in het geval van een rechthoekige piramide.

Over piramides gesproken, men kan niet voorbijgaan aan de afgeknotte piramides die zijn verkregen door de piramide te snijden met een vlak evenwijdig aan de basis. Hun volume is bijna gelijk aan het verschil tussen de volumes van de hele piramide en de afgesneden bovenkant.

Het eerste deel van de piramide, hoewel niet helemaal in zijn moderne vorm, maar gelijk aan 1/3 van het volume van het ons bekende prisma, werd gevonden door Democritus. Archimedes noemde zijn telmethode 'zonder bewijs', aangezien Democritus de piramide naderde alsof het een figuur was die bestond uit oneindig dunne, vergelijkbare platen.

Vectoralgebra "adresseerde" ook de kwestie van het vinden van het volume van de piramide, met behulp van de coördinaten van zijn hoekpunten hiervoor. De piramide gebouwd op het triplet van vectoren a,b,c is gelijk aan een zesde van de modulus van het gemengde product van de gegeven vectoren.