Omkeerbare matrices. hogere wiskunde

Dit onderwerp is een van de meest gehate onder studenten. Erger nog, waarschijnlijk alleen determinanten.

De truc is dat het concept van het inverse element (en ik heb het nu niet alleen over matrices) ons verwijst naar de bewerking van vermenigvuldiging. Zelfs in het schoolcurriculum wordt vermenigvuldigen als een complexe operatie beschouwd, en matrixvermenigvuldiging is over het algemeen een apart onderwerp, waaraan ik een hele paragraaf en een videoles heb gewijd.

Vandaag gaan we niet in op de details van matrixberekeningen. Onthoud alleen: hoe matrices worden aangeduid, hoe ze worden vermenigvuldigd en wat daaruit volgt.

Beoordeling: Matrixvermenigvuldiging

Laten we het eerst eens zijn over de notatie. Een matrix $A$ van grootte $\left[ m\times n \right]$ is gewoon een tabel met getallen met precies $m$ rijen en $n$ kolommen:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

Om niet per ongeluk rijen en kolommen op plaatsen te verwarren (geloof me, in het examen kun je één met twee verwarren - wat kunnen we daar zeggen over sommige regels), kijk maar eens naar de afbeelding:

Wat is er gaande? Als we het standaard coördinatensysteem $OXY$ in de linkerbovenhoek plaatsen en de assen zo richten dat ze de hele matrix beslaan, dan kan elke cel van deze matrix uniek worden geassocieerd met de coördinaten $\left(x;y \right) $ - dit is het rijnummer en het kolomnummer.

Waarom staat het coördinatensysteem precies in de linkerbovenhoek? Ja, want vanaf daar beginnen we teksten te lezen. Het is heel gemakkelijk te onthouden.

Waarom wijst de $x$-as naar beneden en niet naar rechts? Nogmaals, het is eenvoudig: neem het standaard coördinatensysteem (de $x$-as gaat naar rechts, de $y$-as gaat omhoog) en roteer het zodat het de matrix omsluit. Dit is een rotatie van 90 graden met de klok mee - we zien het resultaat in de afbeelding.

In het algemeen hebben we ontdekt hoe we de indices van de matrixelementen kunnen bepalen. Laten we het nu hebben over vermenigvuldigen.

Definitie. De matrices $A=\left[ m\times n \right]$ en $B=\left[ n\times k \right]$, wanneer het aantal kolommen in de eerste overeenkomt met het aantal rijen in de tweede, zijn consequent genoemd.

Het is in die volgorde. Men kan dubbelzinnig zijn en zeggen dat de matrices $A$ en $B$ een geordend paar vormen $\left(A;B \right)$: als ze consistent zijn in deze volgorde, dan is het helemaal niet nodig dat $B $ en $A$, die. het paar $\left(B;A \right)$ is ook consistent.

Alleen consistente matrices kunnen worden vermenigvuldigd.

Definitie. Het product van consistente matrices $A=\left[ m\times n \right]$ en $B=\left[ n\times k \right]$ is de nieuwe matrix $C=\left[ m\times k \right ]$ , waarvan de elementen $((c)_(ij))$ worden berekend met de formule:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Met andere woorden: om het element $((c)_(ij))$ van de matrix $C=A\cdot B$ te krijgen, moet je de $i$-rij van de eerste matrix nemen, de $j$ -de kolom van de tweede matrix, en vermenigvuldig vervolgens in paren elementen uit deze rij en kolom. Tel de resultaten bij elkaar op.

Ja, dat is een harde definitie. Daaruit volgen meteen een aantal feiten:

1. Matrixvermenigvuldiging is over het algemeen niet-commutatief: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Vermenigvuldiging is echter associatief: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. En zelfs distributief: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. En weer distributief: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

De distributiviteit van vermenigvuldiging moest apart worden beschreven voor de linker en rechter vermenigvuldigingssom alleen vanwege de niet-commutativiteit van de vermenigvuldigingsoperatie.

Als desondanks blijkt dat $A\cdot B=B\cdot A$, dan worden zulke matrices permuteerbaar genoemd.

Van alle matrices die daar met iets worden vermenigvuldigd, zijn er speciale - die, wanneer vermenigvuldigd met een willekeurige matrix $A$, opnieuw $A$ opleveren:

Definitie. Een matrix $E$ wordt identiteit genoemd als $A\cdot E=A$ of $E\cdot A=A$. In het geval van een vierkante matrix $A$ kunnen we schrijven:

De identiteitsmatrix is ​​een frequente gast bij het oplossen van matrixvergelijkingen. En over het algemeen een veelgevraagde gast in de wereld van matrices. :)

En vanwege deze $E$ heeft iemand het hele spel bedacht dat hierna zal worden geschreven.

Wat is een inverse matrix?

Aangezien matrixvermenigvuldiging een zeer tijdrovende operatie is (je moet een heleboel rijen en kolommen vermenigvuldigen), is het concept van een inverse matrix ook niet het meest triviale. En het heeft wat uitleg nodig.

Sleuteldefinitie

Wel, het is tijd om de waarheid te kennen.

Definitie. De matrix $B$ wordt de inverse van de matrix $A$ genoemd als

De inverse matrix wordt aangegeven met $((A)^(-1))$ (niet te verwarren met de graad!), dus de definitie kan als volgt worden herschreven:

Het lijkt erop dat alles uiterst eenvoudig en duidelijk is. Maar bij het analyseren van een dergelijke definitie rijzen meteen verschillende vragen:

1. Bestaat er altijd een inverse matrix? En zo niet altijd, hoe te bepalen: wanneer het bestaat en wanneer niet?
2. En wie zei dat zo'n matrix er precies één is? Wat als er voor een originele matrix $A$ een hele menigte inverses is?
3. Hoe zien al deze "omkeringen" eruit? En hoe tel je ze eigenlijk?

Wat betreft de berekeningsalgoritmen - we zullen hier iets later over praten. Maar we zullen nu de rest van de vragen beantwoorden. Laten we ze rangschikken in de vorm van afzonderlijke beweringen-lemma's.

Basiseigenschappen

Laten we beginnen met hoe de matrix $A$ eruit zou moeten zien om $((A)^(-1))$ te krijgen. Nu gaan we ervoor zorgen dat deze beide matrices vierkant moeten zijn, en van dezelfde grootte: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. Gegeven een matrix $A$ en zijn inverse $((A)^(-1))$. Dan zijn beide matrices vierkant en hebben ze dezelfde orde $n$.

Een bewijs. Alles is eenvoudig. Laat de matrix $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Aangezien het product $A\cdot ((A)^(-1))=E$ per definitie bestaat, zijn de matrices $A$ en $((A)^(-1))$ consistent in die volgorde:

\[\begin(uitlijnen) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( uitlijnen)\]

Dit is een direct gevolg van hete: de coëfficiënten $n$ en $a$ zijn "transit" en moeten gelijk zijn.

Tegelijkertijd wordt ook de inverse vermenigvuldiging gedefinieerd: $((A)^(-1))\cdot A=E$, dus de matrices $((A)^(-1))$ en $A$ zijn ook consistent in deze volgorde:

\[\begin(uitlijnen) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( uitlijnen)\]

Dus, zonder verlies van algemeenheid, kunnen we aannemen dat $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Volgens de definitie van $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ zijn de afmetingen van de matrices echter exact hetzelfde:

\[\begin(uitlijnen) & \links[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Het blijkt dus dat alle drie de matrices - $A$, $((A)^(-1))$ en $E$ - vierkant $\left[ n\times n \right]$ zijn. Het lemma is bewezen.

Nou, dat is al goed. We zien dat alleen vierkante matrices inverteerbaar zijn. Laten we er nu voor zorgen dat de inverse matrix altijd hetzelfde is.

Lemma 2. Gegeven een matrix $A$ en zijn inverse $((A)^(-1))$. Dan is deze inverse matrix uniek.

Een bewijs. Laten we beginnen met het tegenovergestelde: laat de matrix $A$ ten minste twee instanties van inverses hebben - $B$ en $C$. Dan zijn, volgens de definitie, de volgende gelijkheden waar:

\[\begin(uitlijnen) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(uitlijnen)\]

Uit Lemma 1 concluderen we dat alle vier de matrices $A$, $B$, $C$ en $E$ vierkant van dezelfde volgorde zijn: $\left[ n\times n \right]$. Daarom is het product gedefinieerd:

Aangezien matrixvermenigvuldiging associatief is (maar niet commutatief!), kunnen we schrijven:

\[\begin(uitlijnen) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rechterpijl B=C. \\ \end(uitlijnen)\]

We hebben de enige mogelijke optie: twee exemplaren van de inverse matrix zijn gelijk. Het lemma is bewezen.

De bovenstaande redenering herhaalt bijna letterlijk het bewijs van de uniciteit van het inverse element voor alle reële getallen $b\ne 0$. De enige belangrijke toevoeging is het rekening houden met de dimensie van matrices.

We weten echter nog steeds niets over de vraag of een vierkante matrix inverteerbaar is. Hier komt de determinant ons te hulp - dit is een sleutelkenmerk voor alle vierkante matrices.

Lemma 3. Gegeven een matrix $A$. Als de matrix $((A)^(-1))$ inverse bestaat, dan is de determinant van de oorspronkelijke matrix niet-nul:

\[\links| Een \rechts|\ne0\]

Een bewijs. We weten al dat $A$ en $((A)^(-1))$ vierkante matrices zijn met de grootte $\left[ n\times n \right]$. Daarom is het voor elk van hen mogelijk om de determinant te berekenen: $\left| Een \right|$ en $\left| ((A)^(-1)) \rechts|$. De determinant van het product is echter gelijk aan het product van de determinanten:

\[\links| A\cdot B \rechts|=\links| Een \rechts|\cdot \links| B \rechts|\Rechts \links| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| Een \rechts|\cdot \links| ((A)^(-1)) \rechts|\]

Maar volgens de definitie van $A\cdot ((A)^(-1))=E$, en de determinant van $E$ is altijd gelijk aan 1, dus

\[\begin(uitlijnen) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \links| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\rechts|; \\ & \links| Een \rechts|\cdot \links| ((A)^(-1)) \rechts|=1. \\ \end(uitlijnen)\]

Het product van twee getallen is alleen gelijk aan één als elk van deze getallen verschilt van nul:

\[\links| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Dus het blijkt dat $\left| Een \rechts|\ne 0$. Het lemma is bewezen.

In feite is deze eis vrij logisch. Nu zullen we het algoritme voor het vinden van de inverse matrix analyseren - en het zal volkomen duidelijk worden waarom er in principe geen inverse matrix kan bestaan ​​met een nuldeterminant.

Maar laten we eerst een "hulp" definitie formuleren:

Definitie. Een gedegenereerde matrix is ​​een vierkante matrix met de grootte $\left[ n\times n \right]$ waarvan de determinant nul is.

We kunnen dus stellen dat elke inverteerbare matrix niet-ontaard is.

Hoe de inverse matrix te vinden

Nu zullen we een universeel algoritme beschouwen voor het vinden van inverse matrices. Over het algemeen zijn er twee algemeen aanvaarde algoritmen, en we zullen vandaag ook de tweede beschouwen.

Degene die nu zal worden beschouwd, is zeer efficiënt voor matrices van grootte $\left[ 2\times 2 \right]$ en - gedeeltelijk - van grootte $\left[ 3\times 3 \right]$. Maar vanaf de grootte $\left[ 4\times 4 \right]$ is het beter om het niet te gebruiken. Waarom - nu zul je alles begrijpen.

algebraïsche optellingen

Maak je klaar. Nu zal er pijn zijn. Nee, maak je geen zorgen: een mooie verpleegster in een rok, kousen met kant komen niet naar je toe en geven je geen injectie in de bil. Alles is veel prozaïscher: algebraïsche toevoegingen en Hare Majesteit de "Union Matrix" komen naar je toe.

Laten we beginnen met de belangrijkste. Laat er een vierkante matrix zijn met de grootte $A=\left[ n\times n \right]$ waarvan de elementen $((a)_(ij))$ heten. Dan kan men voor elk dergelijk element een algebraïsch complement definiëren:

Definitie. Algebraïsch complement $((A)_(ij))$ op het element $((a)_(ij))$ in de $i$-de rij en $j$-de kolom van de matrix $A=\left [ n \times n \right]$ is een constructie van de vorm

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Waar $M_(ij)^(*)$ de determinant is van de matrix verkregen uit de oorspronkelijke $A$ door dezelfde $i$-de rij en $j$-de kolom te verwijderen.

Opnieuw. Het algebraïsche complement van het matrixelement met coördinaten $\left(i;j \right)$ wordt aangeduid als $((A)_(ij))$ en wordt berekend volgens het schema:

1. Eerst verwijderen we de $i$-rij en de $j$-th kolom uit de originele matrix. We krijgen een nieuwe vierkante matrix en we duiden de determinant ervan aan als $M_(ij)^(*)$.
2. Dan vermenigvuldigen we deze determinant met $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - in eerste instantie lijkt deze uitdrukking misschien verbluffend, maar in feite ontdekken we gewoon het teken voor $ M_(ij)^(*) $.
3. We tellen - we krijgen een specifiek nummer. Die. de algebraïsche optelling is slechts een getal, niet een of andere nieuwe matrix, enzovoort.

De matrix $M_(ij)^(*)$ zelf wordt de complementaire minor van het element $((a)_(ij))$ genoemd. En in die zin is de bovenstaande definitie van een algebraïsch complement een speciaal geval van een meer complexe definitie - degene die we in de les over de determinant hebben overwogen.

Belangrijke notitie. In de wiskunde voor volwassenen worden algebraïsche optellingen als volgt gedefinieerd:

1. We nemen $k$ rijen en $k$ kolommen in een vierkante matrix. Op hun snijpunt krijgen we een matrix van grootte $\left[ k\times k \right]$ — de determinant ervan wordt een minor van orde $k$ genoemd en wordt aangegeven met $((M)_(k))$.
2. Vervolgens schrappen we deze "geselecteerde" $k$-rijen en $k$-kolommen. Nogmaals, we krijgen een vierkante matrix - de determinant ervan wordt de complementaire minor genoemd en wordt aangegeven met $M_(k)^(*)$.
3. Vermenigvuldig $M_(k)^(*)$ met $((\left(-1 \right))^(t))$, waarbij $t$ de som is van de getallen van alle geselecteerde rijen en kolommen. Dit zal de algebraïsche optelling zijn.

Kijk eens naar de derde stap: er is eigenlijk een som van $2k$ voorwaarden! Een ander ding is dat we voor $k=1$ maar 2 termen krijgen - dit zullen dezelfde $i+j$ zijn - de "coördinaten" van het element $((a)_(ij))$, waarvoor we op zoek naar een algebraïsche aanvulling.

Dus vandaag gebruiken we een enigszins vereenvoudigde definitie. Maar zoals we later zullen zien, zal het meer dan genoeg zijn. Veel belangrijker is het volgende:

Definitie. De uniematrix $S$ naar de vierkante matrix $A=\left[ n\times n \right]$ is een nieuwe matrix van grootte $\left[ n\times n \right]$, die wordt verkregen uit $A$ door $((a)_(ij))$ te vervangen door algebraïsche complementen $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]

De eerste gedachte die opkomt bij het realiseren van deze definitie is “dit is hoeveel je in totaal moet tellen!” Relax: je moet tellen, maar niet zo veel. :)

Nou, dit is allemaal erg leuk, maar waarom is het nodig? Maar waarom.

hoofdstelling

Laten we een beetje teruggaan. Onthoud dat Lemma 3 stelde dat een inverteerbare matrix $A$ altijd niet-singulier is (dat wil zeggen dat de determinant niet nul is: $\left|A \right|\ne 0$).

Het omgekeerde is dus ook waar: als de matrix $A$ niet gedegenereerd is, dan is hij altijd inverteerbaar. En er is zelfs een zoekschema $((A)^(-1))$. Bekijken:

Inverse matrix stelling. Laat een vierkante matrix $A=\left[ n\times n \right]$ worden gegeven, en zijn determinant is niet nul: $\left| Een \rechts|\ne 0$. Dan bestaat de inverse matrix $((A)^(-1))$ en wordt berekend met de formule:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

En nu - allemaal hetzelfde, maar in leesbaar handschrift. Om de inverse matrix te vinden, heb je nodig:

1. Bereken de determinant $\left| Een \right|$ en zorg ervoor dat deze niet nul is.
2. Stel de vakbondsmatrix $S$ samen, d.w.z. tel 100500 algebraïsche optellingen $((A)_(ij))$ en plaats ze $((a)_(ij))$.
3. Transponeer deze matrix $S$ en vermenigvuldig deze vervolgens met een getal $q=(1)/(\left|A \right|)\;$.

En dat is het! De inverse matrix $((A)^(-1))$ wordt gevonden. Laten we eens kijken naar voorbeelden:

\[\links[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \rechts]\]

Oplossing. Laten we eens kijken naar de omkeerbaarheid. Laten we de determinant berekenen:

\[\links| A \rechts|=\links| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

De determinant is anders dan nul. De matrix is ​​dus inverteerbaar. Laten we een vakbondsmatrix maken:

Laten we de algebraïsche optellingen berekenen:

\[\begin(uitlijnen) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\rechts|=2; \\ & ((A)_(12))=((\links(-1 \rechts))^(1+2))\cdot \links| 5\rechts|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \rechts|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\links(-1 \rechts))^(2+2))\cdot \links| 3\rechts|=3. \\ \end(uitlijnen)\]

Let op: determinanten |2|, |5|, |1| en |3| zijn de determinanten van matrices met de grootte $\left[ 1\times 1 \right]$, niet modules. Die. als er negatieve getallen in de determinanten waren, is het niet nodig om de "min" te verwijderen.

In totaal ziet onze vakbondsmatrix er als volgt uit:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

Oké, het is nu allemaal voorbij. Probleem opgelost.

Antwoorden. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Een taak. Zoek de inverse matrix:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Oplossing. Nogmaals, we beschouwen de determinant:

\[\begin(uitlijnen) & \links| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

De determinant is anders dan nul - de matrix is ​​​​omkeerbaar. Maar nu wordt het het meest blikkerige: je moet maar liefst 9 (negen, verdomme!) Algebraïsche optellingen tellen. En elk van hen zal de $\left[ 2\times 2 \right]$ kwalificatie bevatten. Vloog:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\links(-1 \rechts))^(1+2))\cdot \links| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \rechts|=-1; \\ ((A)_(13))=((\links(-1 \rechts))^(1+3))\cdot \links| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrix)\]

In het kort ziet de vakbondsmatrix er als volgt uit:

Daarom zal de inverse matrix zijn:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

Nou dat is alles. Hier is het antwoord.

Antwoorden. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Zoals u kunt zien, hebben we aan het einde van elk voorbeeld een controle uitgevoerd. In dit verband een belangrijke opmerking:

Wees niet lui om te controleren. Vermenigvuldig de originele matrix met de gevonden inverse - je zou $E$ moeten krijgen.

Het is veel gemakkelijker en sneller om deze controle uit te voeren dan te zoeken naar een fout in verdere berekeningen, wanneer u bijvoorbeeld een matrixvergelijking oplost.

Alternatieve manier

Zoals ik al zei, werkt de inverse matrixstelling prima voor de maten $\left[ 2\times 2 \right]$ en $\left[ 3\times 3 \right]$ (in het laatste geval is het niet zo "mooi" meer). ”), maar voor grote matrices begint het verdriet.

Maar maak je geen zorgen: er is een alternatief algoritme dat kan worden gebruikt om rustig de inverse te vinden, zelfs voor de $\left[ 10\times 10 \right]$ matrix. Maar, zoals vaak het geval is, om dit algoritme te overwegen, hebben we een beetje theoretische achtergrond nodig.

Elementaire transformaties

Onder de verschillende transformaties van de matrix zijn er verschillende speciale - ze worden elementair genoemd. Er zijn precies drie van dergelijke transformaties:

1. Vermenigvuldiging. Je kunt de $i$-de rij (kolom) nemen en deze vermenigvuldigen met een willekeurig getal $k\ne 0$;
2. Toevoeging. Voeg aan de $i$-de rij (kolom) een andere $j$-de rij (kolom) toe, vermenigvuldigd met een willekeurig getal $k\ne 0$ (natuurlijk, $k=0$ is ook mogelijk, maar wat is het punt daarvan? ?Er verandert echter niets).
3. Permutatie. Neem de $i$-th en $j$-th rijen (kolommen) en verwissel ze.

Waarom deze transformaties elementair worden genoemd (voor grote matrices zien ze er niet zo elementair uit) en waarom er maar drie zijn - deze vragen vallen buiten het bestek van de les van vandaag. Daarom zullen we niet in details treden.

Een ander ding is belangrijk: we moeten al deze perversies uitvoeren op de bijbehorende matrix. Ja, ja, je hoort het goed. Nu komt er nog een definitie - de laatste in de les van vandaag.

Bijgevoegde matrix

Op school heb je zeker stelsels van vergelijkingen opgelost met de optelmethode. Nou, daar, trek een andere af van een regel, vermenigvuldig een regel met een getal - dat is alles.

Dus: nu wordt alles hetzelfde, maar dan al “op een volwassen manier”. Klaar?

Definitie. Geef de matrix $A=\left[ n\times n \right]$ en de identiteitsmatrix $E$ van dezelfde grootte $n$. Dan de bijbehorende matrix $\left[ A\left| E\goed. \right]$ is een nieuwe $\left[ n\times 2n \right]$ matrix die er als volgt uitziet:

\[\links[ A\links| E\goed. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Kortom, we nemen de matrix $A$, aan de rechterkant wijzen we er de identiteitsmatrix $E$ van de vereiste grootte aan toe, we scheiden ze met een verticale balk voor schoonheid - hier is de bijgevoegde. :)

Wat is het addertje onder het gras? En dit is wat:

Stelling. Laat de matrix $A$ inverteerbaar zijn. Beschouw de adjoint matrix $\left[ A\left| E\goed. \rechts]$. Bij gebruik van elementaire tekenreekstransformaties breng het naar de vorm $\left[ E\left| Helder. \rechts]$, d.w.z. door rijen te vermenigvuldigen, af te trekken en te herschikken om van $A$ de matrix $E$ aan de rechterkant te krijgen, dan is de matrix $B$ die aan de linkerkant wordt verkregen de inverse van $A$:

\[\links[ A\links| E\goed. \rechts]\naar \links[ E\links| Helder. \rechts]\Rechterpijl B=((A)^(-1))\]

Het is zo simpel! In het kort ziet het algoritme voor het vinden van de inverse matrix er als volgt uit:

1. Schrijf de bijbehorende matrix $\left[ A\left| E\goed. \rechts]$;
2. Voer elementaire stringconversies uit totdat rechts in plaats van $A$ $E$ verschijnt;
3. Natuurlijk verschijnt er ook iets aan de linkerkant - een bepaalde matrix $B$. Dit zal het omgekeerde zijn;
4. WINST! :)

Veel makkelijker gezegd dan gedaan natuurlijk. Laten we een paar voorbeelden bekijken: voor de maten $\left[ 3\times 3 \right]$ en $\left[ 4\times 4 \right]$.

Een taak. Zoek de inverse matrix:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Oplossing. We stellen de bijgevoegde matrix samen:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Aangezien de laatste kolom van de originele matrix gevuld is met enen, trekt u de eerste rij van de rest af:

\[\begin(uitlijnen) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Er zijn geen eenheden meer, behalve de eerste regel. Maar we raken het niet aan, anders beginnen de nieuw verwijderde eenheden zich te "vermenigvuldigen" in de derde kolom.

Maar we kunnen de tweede regel twee keer aftrekken van de laatste - we krijgen een eenheid in de linkerbenedenhoek:

\[\begin(uitlijnen) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Nu kunnen we de laatste rij van de eerste aftrekken en twee keer van de tweede - op deze manier zullen we de eerste kolom "op nul zetten":

\[\begin(uitlijnen) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrix) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ naar \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Vermenigvuldig de tweede rij met −1 en trek deze vervolgens 6 keer af van de eerste en tel 1 keer op bij de laatste:

\[\begin(uitlijnen) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \links(-1 \rechts) \rechts. \\ \ \\\end(matrix)\naar \\ & \naar \links[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrix)\naar \\ & \naar \links[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Het blijft alleen om regel 1 en 3 om te wisselen:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

Klaar! Aan de rechterkant is de vereiste inverse matrix.

Antwoorden. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Een taak. Zoek de inverse matrix:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\einde(matrix) \rechts]\]

Oplossing. Opnieuw stellen we de bijgevoegde samen:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Laten we een beetje lenen, ons zorgen maken hoeveel we nu moeten tellen... en beginnen met tellen. Om te beginnen stellen we de eerste kolom op nul door rij 1 af te trekken van rij 2 en 3:

\[\begin(uitlijnen) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\naar \\ & \naar \links[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

We zien te veel "minpunten" in regels 2-4. Vermenigvuldig alle drie de rijen met -1 en brand vervolgens de derde kolom door rij 3 van de rest af te trekken:

\[\begin(uitlijnen) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \links(-1 \rechts) \rechts. \\ \links| \cdot \links(-1 \rechts) \rechts. \\ \links| \cdot \links(-1 \rechts) \rechts. \\\end(matrix)\naar \\ & \naar \links[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Nu is het tijd om de laatste kolom van de originele matrix te "bakken": trek rij 4 van de rest af:

\[\begin(uitlijnen) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Laatste worp: "burn-out" de tweede kolom door rij 2 af te trekken van rij 1 en 3:

\[\begin(uitlijnen) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

En nogmaals, de identiteitsmatrix aan de linkerkant, dus het omgekeerde aan de rechterkant. :)

Antwoorden. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$

Vergelijkbaar met inverses in veel eigenschappen.

Encyclopedisch YouTube

1 / 5

✪ Hoe inverse matrix te vinden - bezbotvy

✪ Inverse matrix (2 manieren om te vinden)

✪ Omgekeerde matrix #1

✪ 2015-01-28. Inverse matrix 3x3

✪ 2015-01-27. Inverse matrix 2x2

Ondertitels

Inverse matrixeigenschappen

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), waar det (\displaystyle \ \det ) duidt een determinant aan.
• (AB) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) voor twee vierkante inverteerbare matrices EEN (\displaystyle A) en B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), waar (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) geeft de getransponeerde matrix aan.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) voor elke coëfficiënt k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Als het nodig is om een ​​stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen, (b is een vector die niet nul is), waarbij x (\displaystyle x) is de gewenste vector, en als A − 1 (\displaystyle A^(-1)) bestaat, dan x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Anders is de afmeting van de oplossingsruimte groter dan nul, of zijn er helemaal geen.

Manieren om de inverse matrix te vinden

Als de matrix omkeerbaar is, kunt u een van de volgende methoden gebruiken om de inverse van de matrix te vinden:

Exacte (directe) methoden

Gauss-Jordanische methode

Laten we twee matrices nemen: EEN en single E. Laten we de matrix brengen EEN aan de identiteitsmatrix door de Gauss-Jordan-methode door transformaties in rijen toe te passen (u kunt ook transformaties in kolommen toepassen, maar niet in een mix). Nadat u elke bewerking op de eerste matrix hebt toegepast, past u dezelfde bewerking toe op de tweede. Wanneer de reductie van de eerste matrix tot de identiteitsvorm is voltooid, zal de tweede matrix gelijk zijn aan Een -1.

Bij gebruik van de Gauss-methode wordt de eerste matrix van links vermenigvuldigd met een van de elementaire matrices Λ ik (\ Displaystyle \ Lambda _ (i))(transvectie of diagonaal-matrix met enen op de hoofddiagonaal, behalve één positie):

De tweede matrix na het toepassen van alle bewerkingen is gelijk aan Λ (\displaystyle \Lambda), dat wil zeggen, zal de gewenste zijn. De complexiteit van het algoritme - O (n 3) (\ Displaystyle O (n ^ (3))).

De matrix van algebraïsche optellingen gebruiken

Matrix Inverse Matrix EEN (\displaystyle A), vertegenwoordigen in de vorm

A − 1 = bijvoeglijk naamwoord (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

waar adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- bijgevoegde matrix;

De complexiteit van het algoritme hangt af van de complexiteit van het algoritme voor het berekenen van de determinant O det en is gelijk aan O(n²) O det .

LU/LUP-decompositie gebruiken

Matrixvergelijking EEN X = ik n (\displaystyle AX=I_(n)) voor inverse matrix X (\displaystyle X) kan worden bekeken als een verzameling n (\displaystyle n) systemen van de vorm A x = b (\displaystyle Ax=b). noem ik (\displaystyle ik)-de kolom van de matrix X (\displaystyle X) door X ik (\displaystyle X_(i)); dan EEN X ik = e ik (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), ik = 1 , ... , n (\displaystyle i=1,\ldots,n),omdat de ik (\displaystyle ik)-de kolom van de matrix Ik n (\ Displaystyle I_ (n)) is de eenheidsvector e ik (\ Displaystyle e_ (i)). met andere woorden, het vinden van de inverse matrix wordt gereduceerd tot het oplossen van n vergelijkingen met dezelfde matrix en verschillende rechterkanten. Na het uitvoeren van de LUP-uitbreiding (tijd O(n³)) kost elk van de n vergelijkingen O(n²) tijd om op te lossen, dus dit deel van het werk kost ook O(n³) tijd.

Als de matrix A niet-singulier is, kunnen we de LUP-decompositie ervoor berekenen P A = L U (\ Displaystyle PA = LU). Laten P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Dan kunnen we uit de eigenschappen van de inverse matrix schrijven: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Als we deze gelijkheid vermenigvuldigen met U en L, dan krijgen we twee gelijkheden van de vorm U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) en DL = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). De eerste van deze gelijkheden is een stelsel van n² lineaire vergelijkingen voor n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) waarvan de rechterkant bekend is (van de eigenschappen van driehoekige matrices). De tweede is ook een stelsel van n² lineaire vergelijkingen voor n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) waarvan de rechterkant bekend is (ook van de eigenschappen van driehoekige matrices). Samen vormen ze een systeem van n² gelijkheden. Met behulp van deze gelijkheden kunnen we recursief alle n² elementen van de matrix D bepalen. Dan krijgen we uit de gelijkheid (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. de gelijkheid EEN − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

In het geval van het gebruik van de LU-decompositie, is geen permutatie van de kolommen van de matrix D vereist, maar de oplossing kan divergeren, zelfs als de matrix A niet-singulier is.

De complexiteit van het algoritme is O(n³).

Iteratieve methoden

Schultz-methoden

( Ψ k = E − EEN U k , U k + 1 = U k ∑ ik = 0 n k ik (\displaystyle (\begin(gevallen)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Fout schatting

Keuze van initiële benadering

Het probleem van het kiezen van de initiële benadering in de processen van iteratieve matrixinversie die hier worden beschouwd, stelt ons niet in staat ze te behandelen als onafhankelijke universele methoden die concurreren met directe inversiemethoden die bijvoorbeeld gebaseerd zijn op de LU-decompositie van matrices. Er zijn enkele aanbevelingen om te kiezen: U 0 (\displaystyle U_(0)), zorgen voor de vervulling van de voorwaarde ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (de spectrale straal van de matrix is ​​​​minder dan één), wat noodzakelijk en voldoende is voor de convergentie van het proces. In dit geval is het echter eerst vereist om van bovenaf de schatting te weten voor het spectrum van de inverteerbare matrix A of de matrix EEN EEN T (\displaystyle AA^(T))(namelijk, als A een symmetrische positief bepaalde matrix is ​​en ρ (A) ≤ β (\ Displaystyle \ rho (A) \ leq \ beta ), dan kun je U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha) E), waar ; als A een willekeurige niet-singuliere matrix is ​​en ρ (A EEN T) ≤ β (\ Displaystyle \ rho (AA ^ (T)) \ leq \ beta ), stel dan dat U 0 = α EEN T (\displaystyle U_(0)=(\alpha) A^(T)), waar ook α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta))\right)); Natuurlijk kan de situatie worden vereenvoudigd en, gebruikmakend van het feit dat: ρ (A A T) ≤ k A A T k (\ Displaystyle \ rho (AA ^ (T)) \ leq (\ mathcal (k)) AA ^ (T) (\ mathcal (k))), leggen U 0 = EEN T ‖ EEN EEN T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Ten tweede is er met een dergelijke specificatie van de initiële matrix geen garantie dat: ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) zal klein zijn (misschien zelfs) ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), en een hoge orde van convergentiesnelheid zal niet meteen duidelijk zijn.

Voorbeelden

Matrix 2x2

De inversie van een 2x2 matrix is ​​alleen mogelijk onder de voorwaarde dat: een d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Matrix A -1 wordt de inverse matrix genoemd met betrekking tot matrix A, als A * A -1 \u003d E, waarbij E de identiteitsmatrix van de n-de orde is. De inverse matrix kan alleen bestaan ​​voor vierkante matrices.

Dienstopdracht. Met behulp van deze service online kunt u algebraïsche optellingen, getransponeerde matrix A T, uniematrix en inverse matrix vinden. De oplossing wordt direct op de site (online) uitgevoerd en is gratis. De rekenresultaten worden gepresenteerd in een rapport in Word-formaat en in Excel-formaat (dat wil zeggen, het is mogelijk om de oplossing te controleren). zie ontwerpvoorbeeld.

Instructie. Om een ​​oplossing te verkrijgen, moet u de afmeting van de matrix specificeren. Vul vervolgens in het nieuwe dialoogvenster de matrix A in.

Zie ook Inverse Matrix volgens de Jordan-Gauss-methode

Algoritme voor het vinden van de inverse matrix

1. De getransponeerde matrix A T vinden.
2. Definitie van algebraïsche optellingen. Vervang elk element van de matrix door zijn algebraïsche complement.
3. Compilatie van een inverse matrix van algebraïsche optellingen: elk element van de resulterende matrix wordt gedeeld door de determinant van de oorspronkelijke matrix. De resulterende matrix is ​​​​de inverse van de oorspronkelijke matrix.

1. Bepaal of de matrix vierkant is. Zo niet, dan is er geen inverse matrix voor.
2. Berekening van de determinant van de matrix A . Als het niet gelijk is aan nul, gaan we verder met de oplossing, anders bestaat de inverse matrix niet.
3. Definitie van algebraïsche optellingen.
4. Invullen van de unie (wederzijdse, adjoint) matrix C .
5. Compilatie van de inverse matrix van algebraïsche optellingen: elk element van de aangrenzende matrix C wordt gedeeld door de determinant van de oorspronkelijke matrix. De resulterende matrix is ​​​​de inverse van de oorspronkelijke matrix.
6. Maak een controle: vermenigvuldig het origineel en de resulterende matrices. Het resultaat moet een identiteitsmatrix zijn.

Voorbeeld 1. We schrijven de matrix in de vorm:

Een ander algoritme voor het vinden van de inverse matrix

1. Vind de determinant van de gegeven vierkante matrix A .
2. We vinden algebraïsche optellingen voor alle elementen van de matrix A .
3. We schrijven de algebraïsche complementen van de elementen van de rijen in de kolommen (transpositie).
4. Deel elk element van de resulterende matrix door de determinant van de matrix A .

Een speciaal geval: De inverse, met betrekking tot de identiteitsmatrix E , is de identiteitsmatrix E .

We blijven praten over acties met matrices. Tijdens het bestuderen van deze lezing leer je namelijk hoe je de inverse matrix kunt vinden. Leren. Zelfs als de wiskunde krap is.

Wat is een inverse matrix? Hier kunnen we een analogie trekken met reciprocals: denk bijvoorbeeld aan het optimistische getal 5 en zijn reciproke. Het product van deze getallen is gelijk aan één: . Zo is het ook met matrices! Het product van een matrix en zijn inverse is - identiteitsmatrix, wat de matrixanaloog is van de numerieke eenheid. Maar eerst zullen we een belangrijk praktisch probleem oplossen, namelijk, we zullen leren hoe we deze zeer inverse matrix kunnen vinden.

Wat moet je weten en kunnen vinden in de inverse matrix? Je moet kunnen beslissen determinanten. Je moet begrijpen wat is Matrix en in staat zijn om enkele acties met hen uit te voeren.

Er zijn twee hoofdmethoden om de inverse matrix te vinden:
door het gebruiken van algebraïsche optellingen en elementaire transformaties gebruiken.

Vandaag zullen we de eerste, gemakkelijkere manier bestuderen.

Laten we beginnen met de meest verschrikkelijke en onbegrijpelijke. Beschouwen vierkant Matrix . De inverse matrix kan worden gevonden met behulp van de volgende formule::

Waar is de determinant van de matrix, is de getransponeerde matrix van algebraïsche complementen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

Het concept van een inverse matrix bestaat alleen voor vierkante matrices, matrices "twee bij twee", "drie bij drie", enz.

Notatie: Zoals je waarschijnlijk al gemerkt hebt, wordt de inverse van een matrix aangegeven met een superscript

Laten we beginnen met het eenvoudigste geval - een twee-bij-twee matrix. Meestal is natuurlijk "drie bij drie" vereist, maar desalniettemin raad ik ten zeerste aan om een ​​eenvoudigere taak te bestuderen om het algemene principe van de oplossing te leren.

Voorbeeld:

Vind de inverse van een matrix

Wij bepalen. De volgorde van acties is handig ontleed in punten.

1) Eerst vinden we de determinant van de matrix.

Als het begrip van deze actie niet goed is, lees dan het materiaal Hoe de determinant berekenen?

Belangrijk! Als de determinant van de matrix is NUL– inverse matrix BESTAAT NIET.

In het beschouwde voorbeeld, zo bleek, betekent dat alles in orde is.

2) Zoek de matrix van minderjarigen.

Om ons probleem op te lossen, is het niet nodig om te weten wat een minderjarige is, maar het is raadzaam om het artikel te lezen Hoe de determinant te berekenen?.

De matrix van minoren heeft dezelfde afmetingen als de matrix, dus in dit geval.
De zaak is klein, het blijft om vier cijfers te vinden en ze in plaats van sterretjes te plaatsen.

Terug naar onze matrix
Laten we eerst naar het element linksboven kijken:

Hoe het te vinden? minderjarige?
En dit gaat als volgt: streep MENTAAL de rij en kolom door waarin dit element staat:

Het resterende aantal is mineur van het gegeven element, die we in onze matrix van minderjarigen schrijven:

Beschouw het volgende matrixelement:

Doorstreep mentaal de rij en kolom waarin dit element zich bevindt:

Wat overblijft is de minor van dit element, die we in onze matrix schrijven:

Evenzo beschouwen we de elementen van de tweede rij en vinden hun minderjarigen:


Klaar.

Het is makkelijk. In de minorenmatrix heb je nodig WIJZIG TEKENS voor twee nummers:

Het zijn deze cijfers die ik heb omcirkeld!

is de matrix van algebraïsche complementen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

En gewoon iets...

4) Vind de getransponeerde matrix van algebraïsche optellingen.

is de getransponeerde matrix van algebraïsche complementen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

5) Antwoord:.

Onthoud onze formule
Allemaal gevonden!

De inverse matrix is ​​dus:

Het is het beste om het antwoord te laten zoals het is. NIET NODIG deel elk element van de matrix door 2, aangezien fractionele getallen worden verkregen. Deze nuance wordt in hetzelfde artikel in meer detail besproken. Acties met matrices.

Hoe de oplossing controleren?

Matrixvermenigvuldiging moet ofwel worden uitgevoerd:

Inspectie:

al genoemd identiteitsmatrix is een matrix met eenheden aan hoofddiagonaal en nullen elders.

De inverse matrix wordt dus correct gevonden.

Als je een actie uitvoert, is het resultaat ook een identiteitsmatrix. Dit is een van de weinige gevallen waarin matrixvermenigvuldiging permuteerbaar is, meer informatie is te vinden in het artikel Eigenschappen van bewerkingen op matrices. Matrixuitdrukkingen. Merk ook op dat tijdens de controle de constante (breuk) naar voren wordt gehaald en helemaal aan het einde wordt verwerkt - na de matrixvermenigvuldiging. Dit is een standaard opname.

Laten we verder gaan met een in de praktijk vaker voorkomend geval - de drie-bij-drie-matrix:

Voorbeeld:

Vind de inverse van een matrix

Het algoritme is precies hetzelfde als voor het geval van twee bij twee.

We vinden de inverse matrix met de formule: , waar is de getransponeerde matrix van algebraïsche complementen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

1) Vind de matrixdeterminant.

Hier wordt de determinant onthuld op de eerste regel.

Vergeet dat ook niet, wat betekent dat alles in orde is - inverse matrix bestaat.

2) Zoek de matrix van minderjarigen.

De matrix van minderjarigen heeft de dimensie "drie bij drie" , en we moeten negen getallen vinden.

Ik zal een paar minoren in detail bekijken:

Beschouw het volgende matrixelement:

MENTAAL de rij en kolom doorstrepen waarin dit element zich bevindt:

De overige vier getallen zijn geschreven in de determinant "twee aan twee"

Deze twee-bij-twee determinant en is een minor van het gegeven element. Het moet worden berekend:


Alles, de minor is gevonden, schrijven we in onze matrix van minoren:

Zoals je misschien al geraden hebt, zijn er negen twee-bij-twee determinanten om te berekenen. Het proces is natuurlijk somber, maar de zaak is niet de moeilijkste, het kan erger.

Nou, om te consolideren - nog een minderjarige op de foto's vinden:

Probeer zelf de rest van de minoren te berekenen.

Eindresultaat:
is de matrix van minderjarigen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

Dat alle minderjarigen negatief bleken te zijn, is puur toeval.

3) Vind de matrix van algebraïsche optellingen.

In de minorenmatrix is ​​het nodig WIJZIG TEKENS strikt voor de volgende elementen:

In dit geval:

Het vinden van de inverse matrix voor de "vier bij vier" -matrix wordt niet overwogen, omdat alleen een sadistische leraar een dergelijke taak kan geven (voor de student om één "vier bij vier" determinant en 16 "drie bij drie" determinanten te berekenen) . In mijn praktijk was er maar één zo'n geval, en de klant van de test betaalde heel duur voor mijn kwelling =).

In een aantal leerboeken, handleidingen, kun je een iets andere benadering vinden om de inverse matrix te vinden, maar ik raad aan om het bovenstaande oplossingsalgoritme te gebruiken. Waarom? Omdat de kans op verwarring in berekeningen en tekens veel kleiner is.

Meestal worden inverse bewerkingen gebruikt om complexe algebraïsche uitdrukkingen te vereenvoudigen. Als het probleem bijvoorbeeld de bewerking van delen door een breuk bevat, kunt u deze vervangen door de bewerking vermenigvuldigen met een omgekeerde, wat de inverse bewerking is. Bovendien kunnen matrices niet worden gedeeld, dus je moet vermenigvuldigen met de inverse matrix. Het berekenen van de inverse van een 3x3 matrix is ​​best vervelend, maar je moet het wel handmatig kunnen doen. Je kunt het omgekeerde ook vinden met een goede grafische rekenmachine.

Stappen

De bijgevoegde matrix gebruiken

Transponeer de oorspronkelijke matrix. Transpositie is de vervanging van rijen door kolommen ten opzichte van de hoofddiagonaal van de matrix, dat wil zeggen dat u de elementen (i, j) en (j, i) moet verwisselen. In dit geval veranderen de elementen van de hoofddiagonaal (begint in de linkerbovenhoek en eindigt in de rechterbenedenhoek) niet.

• Om rijen om te wisselen voor kolommen, schrijft u de elementen van de eerste rij in de eerste kolom, de elementen van de tweede rij in de tweede kolom en de elementen van de derde rij in de derde kolom. De volgorde van het veranderen van de positie van de elementen wordt weergegeven in de figuur, waarin de corresponderende elementen zijn omcirkeld met gekleurde cirkels.