Inverse matrix methode. regel van Cramer

• de determinant van de matrix A wordt berekend;
• door algebraïsche optellingen wordt de inverse matrix A-1 gevonden;
• een oplossingssjabloon wordt gemaakt in Excel;

Instructie. Om een ​​oplossing te verkrijgen met de inverse matrixmethode, is het noodzakelijk om de afmeting van de matrix te specificeren. Vul vervolgens in het nieuwe dialoogvenster de matrix A en de resultaatvector B in.

Oplossingsalgoritme:

1. De determinant van de matrix A wordt berekend. Als de determinant nul is, dan is het einde van de oplossing. Het systeem heeft een oneindig aantal oplossingen.
2. Wanneer de determinant verschilt van nul, wordt de inverse matrix A -1 gevonden door middel van algebraïsche optellingen.
3. De beslissingsvector X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) wordt verkregen door de inverse matrix te vermenigvuldigen met de resultaatvector B .

Matrix-methode: SLAU-oplossingen gebruikt om stelsels van vergelijkingen op te lossen waarin het aantal vergelijkingen overeenkomt met het aantal onbekenden. De methode wordt het best gebruikt voor het oplossen van lage-orde systemen. De matrixmethode voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen is gebaseerd op de toepassing van de eigenschappen van matrixvermenigvuldiging.

Op deze manier, met andere woorden inverse matrix methode, zo genoemd, omdat de oplossing wordt gereduceerd tot de gebruikelijke matrixvergelijking, voor de oplossing waarvan je de inverse matrix moet vinden.

Matrix-oplossingsmethode: Een SLAE met een determinant groter dan of kleiner dan nul is als volgt:

Stel dat er een SLE (stelsel van lineaire vergelijkingen) is met n onbekend (over een willekeurig veld):

Het is dus gemakkelijk om het in een matrixvorm te vertalen:

AX=B, waar EEN is de hoofdmatrix van het systeem, B en X- kolommen met vrije leden en oplossingen van het systeem, respectievelijk:

Vermenigvuldig deze matrixvergelijking aan de linkerkant met Een -1- inverse matrix naar matrix A: A −1 (AX)=A −1 B.

Omdat A −1 A=E, middelen, X=A −1 B. De rechterkant van de vergelijking geeft een kolom met oplossingen voor het initiële systeem. Voorwaarde voor toepasbaarheid van de matrixmethode is de niet-degeneratie van de matrix EEN. Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde hiervoor is dat de determinant van de matrix EEN:

detA≠0.

Voor homogeen stelsel lineaire vergelijkingen, d.w.z. als vector B=0, de tegenovergestelde regel geldt: het systeem AX=0 is een niet-triviale (d.w.z. niet gelijk aan nul) oplossing alleen wanneer detA=0. Dit verband tussen de oplossingen van homogene en inhomogene stelsels lineaire vergelijkingen heet alternatief voor Fredholm.

De oplossing van de SLAE door de matrixmethode wordt dus gemaakt volgens de formule: . Of de SLAE-oplossing wordt gevonden met behulp van inverse matrix Een -1.

Het is bekend dat een vierkante matrix MAAR bestellen n op de n er is een inverse matrix Een -1 alleen als de determinant niet nul is. Dus het systeem n lineaire algebraïsche vergelijkingen met n onbekenden worden alleen opgelost door de matrixmethode als de determinant van de hoofdmatrix van het systeem niet gelijk is aan nul.

Ondanks het feit dat er beperkingen zijn aan de mogelijkheid om deze methode te gebruiken en er rekenproblemen zijn voor grote waarden van de coëfficiënten en systemen van hoge orde, kan de methode eenvoudig op een computer worden geïmplementeerd.

Een voorbeeld van het oplossen van een inhomogene SLAE.

Laten we eerst eens kijken of de determinant van de matrix van coëfficiënten voor onbekende SLAE's niet gelijk is aan nul.

Nu vinden we alliantie matrix, transponeer het en vervang het in de formule voor het bepalen van de inverse matrix.

We vervangen de variabelen in de formule:

Nu vinden we de onbekenden door de inverse matrix en de kolom met vrije termen te vermenigvuldigen.

Dus, x=2; y=1; z=4.

Wanneer u van de gebruikelijke vorm van SLAE naar de matrixvorm gaat, moet u voorzichtig zijn met de volgorde van onbekende variabelen in de systeemvergelijkingen. Bijvoorbeeld:

Schrijf NIET als:

Het is noodzakelijk om eerst de onbekende variabelen in elke vergelijking van het systeem te ordenen en pas daarna over te gaan tot de matrixnotatie:

Bovendien moet je voorzichtig zijn met het aanwijzen van onbekende variabelen, in plaats van: x1, x 2 , …, x n er kunnen andere letters zijn. Bijvoorbeeld:

in matrixvorm schrijven we:

Met behulp van de matrixmethode is het beter om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen waarbij het aantal vergelijkingen samenvalt met het aantal onbekende variabelen en de determinant van de hoofdmatrix van het systeem niet gelijk is aan nul. Als er meer dan 3 vergelijkingen in het systeem zijn, kost het meer rekenkracht om de inverse matrix te vinden, daarom is het in dit geval raadzaam om de Gauss-methode te gebruiken om op te lossen.

Onderwerp 2. SYSTEMEN VAN LINEAIRE ALGEBRASCHE VERGELIJKINGEN.

Basisconcepten.

Definitie 1. systeem m lineaire vergelijkingen met n onbekend is een systeem van de vorm:

waar en zijn nummers.

Definitie 2. De oplossing van het stelsel (I) is zo'n verzameling onbekenden, waarbij elke vergelijking van dit stelsel in een identiteit verandert.

Definitie 3. Systeem (I) heet gewricht als het ten minste één oplossing heeft en onverenigbaar als het geen oplossingen heeft. Het gewrichtssysteem heet zeker als het een unieke oplossing heeft, en onzeker anders.

Definitie 4. Typ vergelijking

genaamd nul, en een vergelijking van de vorm

genaamd onverenigbaar. Het is duidelijk dat een stelsel van vergelijkingen met een inconsistente vergelijking inconsistent is.

Definitie 5. De twee stelsels lineaire vergelijkingen heten gelijkwaardig als elke oplossing van het ene systeem een ​​oplossing is van een ander en omgekeerd elke oplossing van het tweede systeem een ​​oplossing van het eerste.

Matrixnotatie voor een stelsel lineaire vergelijkingen.

Beschouw systeem (I) (zie §1).

Geef aan:

Coëfficiëntmatrix voor onbekenden

Matrix - kolom met gratis leden

Matrix - kolom met onbekenden

.

Definitie 1. De matrix heet de hoofdmatrix van het systeem(I), en de matrix is ​​​​de augmented matrix van systeem (I).

Volgens de definitie van matrixgelijkheid komt systeem (I) overeen met de matrixgelijkheid:

.

De rechterkant van deze gelijkheid door de definitie van het product van matrices ( zie definitie 3 § 5 hoofdstuk 1) kan worden ontbonden:

, d.w.z.

Gelijkwaardigheid (2) genaamd matrixnotatie van het systeem (I).

Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met de methode van Cramer.

Laat in systeem (I) (zie §1) m=n, d.w.z. het aantal vergelijkingen is gelijk aan het aantal onbekenden, en de hoofdmatrix van het systeem is niet gedegenereerd, d.w.z. . Dan heeft systeem (I) uit §1 een unieke oplossing

waar = det A de belangrijkste genoemd systeemdeterminant(ik), i wordt verkregen uit de determinant Δ door vervanging i-de kolom naar de kolom met vrije leden van het systeem (I).

Voorbeeld Los het systeem op volgens de methode van Cramer:

.

volgens formules (3) .

We berekenen de determinanten van het systeem:

,

,

.

Om de determinant te krijgen, hebben we de eerste kolom in de determinant vervangen door een kolom met vrije leden; door de 2e kolom in de determinant te vervangen door een kolom met vrije leden, krijgen we ; op dezelfde manier, door de 3e kolom in de determinant te vervangen door een kolom met vrije leden, krijgen we . Systeem oplossing:

Oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen met behulp van een inverse matrix.

Laat in systeem (I) (zie §1) m=n en de hoofdmatrix van het systeem is niet gedegenereerd. We schrijven systeem (I) in matrixvorm ( zie §2):

omdat Matrix EEN is niet gedegenereerd, dan heeft het een inverse matrix ( zie Stelling 1 §6 van Hoofdstuk 1). Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking (2) naar de matrix, dan

Per definitie van de inverse matrix. van gelijkheid (3) wij hebben

Los het systeem op met behulp van de inverse matrix

.

noem

In het voorbeeld (§ 3) hebben we de determinant berekend, dus de matrix EEN heeft een inverse matrix. dan van kracht (4) , d.w.z.

. (5)

Zoek de matrix ( zie §6 hoofdstuk 1)

, , ,

, , ,

,

.

Gauss-methode.

Laat het stelsel lineaire vergelijkingen worden gegeven:

. (L)

Het is nodig om alle oplossingen van systeem (I) te vinden of ervoor te zorgen dat het systeem inconsistent is.

Definitie 1.Laten we de elementaire transformatie van het systeem noemen(I) een van de drie acties:

1) schrapping van de nulvergelijking;

2) aan beide delen van de vergelijking de overeenkomstige delen van de andere vergelijking toevoegen, vermenigvuldigd met het getal l;

3) het verwisselen van termen in de vergelijkingen van het systeem zodat onbekenden met dezelfde getallen in alle vergelijkingen dezelfde plaatsen innemen, d.w.z. als we bijvoorbeeld in de 1e vergelijking de 2e en 3e termen hebben gewijzigd, dan moet hetzelfde in alle vergelijkingen van het systeem worden gedaan.

De Gauss-methode bestaat uit het feit dat het systeem (I) met behulp van elementaire transformaties wordt gereduceerd tot een equivalent systeem, waarvan de oplossing direct wordt gevonden of de onoplosbaarheid ervan wordt vastgesteld.

Zoals beschreven in §2, wordt systeem (I) uniek bepaald door zijn uitgebreide matrix, en elke elementaire transformatie van systeem (I) komt overeen met een elementaire transformatie van de uitgebreide matrix:

.

Transformatie 1) komt overeen met het verwijderen van de nulrij in de matrix, transformatie 2) komt overeen met het toevoegen van de overeenkomstige rij van de matrix aan de andere rij vermenigvuldigd met het getal l, transformatie 3) komt overeen met het herschikken van de kolommen in de matrix.

Het is gemakkelijk in te zien dat daarentegen elke elementaire transformatie van de matrix overeenkomt met een elementaire transformatie van het systeem (I). Gezien hetgeen is gezegd, zullen we in plaats van bewerkingen met het systeem (I) werken met de augmented matrix van dit systeem.

In de matrix bestaat de 1e kolom uit coëfficiënten at x 1, 2e kolom - van de coëfficiënten bij x 2 enz. In het geval van herschikking van kolommen moet er rekening mee worden gehouden dat deze voorwaarde wordt geschonden. Als we bijvoorbeeld de 1e en 2e kolom verwisselen, dan zullen er nu in de 1e kolom coëfficiënten zijn bij x 2, en in de 2e kolom - coëfficiënten at x 1.

We lossen systeem (I) op met de Gauss-methode.

1. Doorstreep alle nulrijen in de matrix, als die er zijn (d.w.z. doorstreep alle nulvergelijkingen in systeem (I).

2. Controleer of er een rij is tussen de rijen van de matrix waarin alle elementen behalve de laatste gelijk zijn aan nul (laten we zo'n rij inconsistent noemen). Het is duidelijk dat zo'n lijn overeenkomt met een inconsistente vergelijking in systeem (I), daarom heeft systeem (I) geen oplossingen, en dit is waar het proces eindigt.

3. Laat de matrix geen inconsistente rijen bevatten (systeem (I) bevat geen inconsistente vergelijkingen). Als een een 11 =0, dan vinden we in de 1e rij een element (behalve de laatste) dat verschilt van nul en herschikken we de kolommen zodat er geen nul is in de 1e rij op de 1e plaats. We nemen nu aan dat (d.w.z. we verwisselen de corresponderende termen in de vergelijkingen van systeem (I)).

4. Vermenigvuldig de 1e rij met en voeg het resultaat toe aan de 2e rij, vermenigvuldig vervolgens de 1e rij met en voeg het resultaat toe aan de 3e rij, enz. Het is duidelijk dat dit proces gelijk staat aan het elimineren van het onbekende x 1 van alle vergelijkingen van systeem (I), behalve de 1e. In de nieuwe matrix krijgen we nullen in de 1e kolom onder het element een 11:

.

5. Doorstreep alle nulrijen in de matrix, indien aanwezig, controleer of er een inconsistente rij is (als deze bestaat, dan is het systeem inconsistent en eindigt de oplossing daar). Laten we eens kijken of een 22 / =0, zo ja, dan vinden we een element in de 2e rij dat verschilt van nul en herschikken we de kolommen zodat . Vervolgens vermenigvuldigen we de elementen van de 2e rij met en voeg toe met de corresponderende elementen van de 3e rij, dan - de elementen van de 2e rij aan en voeg toe met de corresponderende elementen van de 4e rij, enz., totdat we nullen onder krijgen een 22 /

.

De uitgevoerde acties zijn gelijk aan de eliminatie van het onbekende x 2 uit alle vergelijkingen van stelsel (I), behalve de 1e en 2e. Aangezien het aantal rijen eindig is, krijgen we na een eindig aantal stappen dat het systeem inconsistent is of dat we eindigen met een stappenmatrix ( zie definitie 2 §7 hoofdstuk 1) :

,

Laten we het stelsel vergelijkingen opschrijven dat overeenkomt met de matrix. Dit systeem is gelijk aan het systeem (I)

.

Uit de laatste vergelijking drukken we uit; we substitueren in de vorige vergelijking, vinden, etc., totdat we krijgen.

Opmerking 1. Dus bij het oplossen van systeem (I) door de Gauss-methode, komen we tot een van de volgende gevallen.

1. Systeem (I) is inconsistent.

2. Systeem (I) heeft een unieke oplossing als het aantal rijen in de matrix gelijk is aan het aantal onbekenden ().

3. Systeem (I) heeft een oneindig aantal oplossingen als het aantal rijen in de matrix kleiner is dan het aantal onbekenden ().

Vandaar de volgende stelling.

Stelling. Het systeem van lineaire vergelijkingen is ofwel inconsistent, of heeft een unieke oplossing, of er is een oneindige reeks oplossingen.

Voorbeelden. Los het stelsel vergelijkingen op met de Gauss-methode of bewijs de inconsistentie ervan:

b) ;

a) Laten we het gegeven systeem herschrijven in de vorm:

.

We hebben de 1e en 2e vergelijking van het oorspronkelijke systeem verwisseld om de berekeningen te vereenvoudigen (in plaats van breuken, werken we alleen met gehele getallen met een dergelijke permutatie).

We stellen een uitgebreide matrix op:

.

Er zijn geen nullijnen; geen incompatibele lijnen, ; we sluiten de 1e onbekende uit van alle vergelijkingen van het systeem, behalve de 1e. Om dit te doen, vermenigvuldigen we de elementen van de 1e rij van de matrix met "-2" en voegen ze toe aan de overeenkomstige elementen van de 2e rij, wat overeenkomt met het vermenigvuldigen van de 1e vergelijking met "-2" en toevoegen aan de 2e vergelijking. Vervolgens vermenigvuldigen we de elementen van de 1e rij met "-3" en voegen ze toe aan de overeenkomstige elementen van de derde rij, d.w.z. vermenigvuldig de 2e vergelijking van het gegeven systeem met "-3" en voeg deze toe aan de 3e vergelijking. Krijgen

.

De matrix komt overeen met een stelsel vergelijkingen). - (zie Definitie 3 § 7 van Hoofdstuk 1).

Laat er een vierkante matrix zijn van de n-de orde

Matrix A -1 heet inverse matrix met betrekking tot de matrix A, als A * A -1 = E, waarbij E de identiteitsmatrix van de n-de orde is.

Identiteitsmatrix- zo'n vierkante matrix, waarin alle elementen langs de hoofddiagonaal, die van de linkerbovenhoek naar de rechterbenedenhoek gaan, enen zijn en de rest nullen zijn, bijvoorbeeld:

inverse matrix kan bestaan alleen voor vierkante matrices die. voor die matrices met hetzelfde aantal rijen en kolommen.

Inverse Matrix Bestaansvoorwaarde Stelling

Om ervoor te zorgen dat een matrix een inverse matrix heeft, is het noodzakelijk en voldoende dat deze niet-ontaard is.

De matrix A = (A1, A2,...A n) heet niet-gedegenereerd als de kolomvectoren lineair onafhankelijk zijn. Het aantal lineair onafhankelijke kolomvectoren van een matrix wordt de rangorde van de matrix genoemd. Daarom kunnen we zeggen dat om een ​​inverse matrix te laten bestaan, het noodzakelijk en voldoende is dat de rangorde van de matrix gelijk is aan zijn dimensie, d.w.z. r = zn.

Algoritme voor het vinden van de inverse matrix

1. Schrijf de matrix A in de tabel voor het oplossen van stelsels van vergelijkingen volgens de Gauss-methode en wijs er rechts (in plaats van de rechterdelen van de vergelijkingen) matrix E aan toe.
2. Breng met behulp van Jordan-transformaties matrix A naar een matrix die uit enkele kolommen bestaat; in dit geval is het noodzakelijk om tegelijkertijd de matrix E te transformeren.
3. Herschik indien nodig de rijen (vergelijkingen) van de laatste tabel zodat de identiteitsmatrix E wordt verkregen onder de matrix A van de oorspronkelijke tabel.
4. Schrijf de inverse matrix A -1, die in de laatste tabel onder de matrix E van de oorspronkelijke tabel staat.

Zoek voor matrix A de inverse matrix A -1

Oplossing: We schrijven de matrix A op en rechts kennen we de identiteitsmatrix E toe. Met Jordan-transformaties reduceren we de matrix A tot de identiteitsmatrix E. De berekeningen zijn weergegeven in Tabel 31.1.

Laten we de juistheid van de berekeningen controleren door de oorspronkelijke matrix A en de inverse matrix A -1 te vermenigvuldigen.

Als resultaat van matrixvermenigvuldiging wordt de identiteitsmatrix verkregen. De berekeningen kloppen dus.

Antwoorden:

Oplossing van matrixvergelijkingen

Matrixvergelijkingen kunnen er als volgt uitzien:

AX = B, XA = B, AXB = C,

waar A, B, C matrices zijn gegeven, is X de gewenste matrix.

Matrixvergelijkingen worden opgelost door de vergelijking te vermenigvuldigen met inverse matrices.

Om bijvoorbeeld de matrix van een vergelijking te vinden, moet u deze vergelijking aan de linkerkant vermenigvuldigen met.

Om een ​​oplossing voor de vergelijking te vinden, moet je daarom de inverse matrix vinden en deze vermenigvuldigen met de matrix aan de rechterkant van de vergelijking.

Andere vergelijkingen worden op dezelfde manier opgelost.

Los de vergelijking AX = B op als

Oplossing: Aangezien de inverse van de matrix gelijk is aan (zie voorbeeld 1)

Matrixmethode in economische analyse

Samen met anderen vinden ze ook toepassing matrix methoden. Deze methoden zijn gebaseerd op lineaire en vectormatrixalgebra. Dergelijke methoden worden gebruikt om complexe en multidimensionale economische fenomenen te analyseren. Meestal worden deze methoden gebruikt wanneer het nodig is om het functioneren van organisaties en hun structurele afdelingen te vergelijken.

Bij het toepassen van matrixanalysemethoden kunnen verschillende fasen worden onderscheiden.

In de eerste fase de vorming van een systeem van economische indicatoren wordt uitgevoerd en op basis daarvan wordt een matrix van initiële gegevens samengesteld, een tabel waarin systeemnummers in de afzonderlijke regels worden weergegeven (i = 1,2,....,n), en langs de verticale grafieken - aantallen indicatoren (j = 1,2,....,m).

In de tweede fase voor elke verticale kolom wordt de grootste van de beschikbare waarden van de indicatoren onthuld, die als een eenheid wordt beschouwd.

Daarna worden alle bedragen die in deze kolom worden weergegeven, gedeeld door de grootste waarde en wordt een matrix van gestandaardiseerde coëfficiënten gevormd.

In de derde fase alle componenten van de matrix zijn gekwadrateerd. Als ze een verschillende betekenis hebben, krijgt elke indicator van de matrix een bepaalde wegingscoëfficiënt k. De waarde van deze laatste wordt bepaald door een deskundige.

op de laatste vierde fase gevonden waarden van beoordelingen Rj gegroepeerd in volgorde van toenemen of afnemen.

De bovenstaande matrixmethoden dienen bijvoorbeeld gebruikt te worden bij een vergelijkende analyse van verschillende investeringsprojecten, maar ook bij het beoordelen van andere economische prestatie-indicatoren van organisaties.

Stelsel van m lineaire vergelijkingen met n onbekenden een systeem van de vorm genoemd

waar aij en b i (i=1,…,m; b=1,…,n) zijn enkele bekende getallen, en x 1 ,…,x n- onbekend. In de notatie van de coëfficiënten aij eerste index i geeft het nummer van de vergelijking aan, en de tweede j is het getal van de onbekende waarbij deze coëfficiënt staat.

De coëfficiënten voor de onbekenden zullen worden geschreven in de vorm van een matrix , die we zullen noemen systeemmatrix.

De getallen aan de rechterkant van de vergelijkingen b 1 ,…,b m genaamd gratis leden.

Totaal n nummers c 1 ,…,c n genaamd beslissing van dit systeem, als elke vergelijking van het systeem een ​​gelijkheid wordt na het vervangen van getallen erin c 1 ,…,c n in plaats van de bijbehorende onbekenden x 1 ,…,x n.

Onze taak zal zijn om oplossingen voor het systeem te vinden. In dat geval kunnen zich drie situaties voordoen:

Een stelsel lineaire vergelijkingen dat ten minste één oplossing heeft, heet gewricht. Anders, nl. als het systeem geen oplossingen heeft, wordt het genoemd onverenigbaar.

Overweeg manieren om oplossingen voor het systeem te vinden.

MATRIXMETHODE VOOR HET OPLOSSEN VAN SYSTEMEN VAN LINEAIRE VERGELIJKINGEN

Matrices maken het mogelijk om kort een stelsel lineaire vergelijkingen op te schrijven. Laat een stelsel van 3 vergelijkingen met drie onbekenden worden gegeven:

Beschouw de matrix van het systeem en matrixkolommen van onbekende en gratis leden

Laten we het product zoeken

die. als resultaat van het product krijgen we de linkerkant van de vergelijkingen van dit systeem. Dan, met behulp van de definitie van matrixgelijkheid, kan dit systeem worden geschreven als

of korter EEN∙X=B.

Hier matrices EEN en B zijn bekend, en de matrix X onbekend. Ze moet gevonden worden, want. zijn elementen zijn de oplossing van dit systeem. Deze vergelijking heet matrixvergelijking.

Laat de matrixdeterminant verschillend zijn van nul | EEN| ≠ 0. Dan wordt de matrixvergelijking als volgt opgelost. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking aan de linkerkant met de matrix A-1, de inverse van de matrix EEN: . Omdat de A -1 A = E en E∙X=X, dan verkrijgen we de oplossing van de matrixvergelijking in de vorm X = A-1 B .

Merk op dat aangezien de inverse matrix alleen kan worden gevonden voor vierkante matrices, de matrixmethode alleen die systemen kan oplossen waarin: het aantal vergelijkingen is gelijk aan het aantal onbekenden. De matrixnotatie van het systeem is echter ook mogelijk in het geval dat het aantal vergelijkingen niet gelijk is aan het aantal onbekenden, dan is de matrix EEN is niet vierkant en daarom is het onmogelijk om een ​​oplossing voor het systeem te vinden in de vorm X = A-1 B.

Voorbeelden. Los stelsels van vergelijkingen op.

DE REGEL VAN CRAMER

Beschouw een stelsel van 3 lineaire vergelijkingen met drie onbekenden:

Derde-orde determinant die overeenkomt met de matrix van het systeem, d.w.z. samengesteld uit coëfficiënten bij onbekenden,

genaamd systeemdeterminant.

We stellen als volgt nog drie determinanten samen: we vervangen achtereenvolgens 1, 2 en 3 kolommen in de determinant D door een kolom met vrije leden

Dan kunnen we het volgende resultaat bewijzen.

Stelling (regel van Cramer). Als de determinant van het systeem Δ ≠ 0 is, dan heeft het systeem in kwestie één en slechts één oplossing, en

Een bewijs. Beschouw dus een stelsel van 3 vergelijkingen met drie onbekenden. Vermenigvuldig de eerste vergelijking van het systeem met het algebraïsche complement een 11 element een 11, 2e vergelijking - aan A21 en 3e - op een 31:

Laten we deze vergelijkingen toevoegen:

Overweeg elk van de haakjes en de rechterkant van deze vergelijking. Door de stelling over de expansie van de determinant in termen van de elementen van de 1e kolom

Evenzo kan worden aangetoond dat en .

Eindelijk, het is gemakkelijk om te zien dat

Zo krijgen we de gelijkheid: .

Vervolgens, .

De gelijkheden en worden op dezelfde manier afgeleid, waaruit de bewering van de stelling volgt.

We merken dus op dat als de determinant van het systeem Δ ≠ 0 is, het systeem een ​​unieke oplossing heeft en vice versa. Als de determinant van het systeem gelijk is aan nul, dan heeft het systeem ofwel een oneindige reeks oplossingen of heeft het geen oplossingen, d.w.z. onverenigbaar.

Voorbeelden. Los een stelsel vergelijkingen op

GAUSS-METHODE

De eerder overwogen methoden kunnen alleen worden gebruikt om die systemen op te lossen waarin het aantal vergelijkingen samenvalt met het aantal onbekenden, en de determinant van het systeem moet verschillen van nul. De Gauss-methode is universeler en geschikt voor systemen met een willekeurig aantal vergelijkingen. Het bestaat uit de opeenvolgende eliminatie van onbekenden uit de vergelijkingen van het systeem.

Beschouw opnieuw een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden:

.

We laten de eerste vergelijking ongewijzigd, en van de 2e en 3e sluiten we de termen uit die bevatten x 1. Om dit te doen, delen we de tweede vergelijking door a 21 en vermenigvuldig met - a 11 en voeg dan toe met de 1e vergelijking. Op dezelfde manier verdelen we de derde vergelijking in a 31 en vermenigvuldig met - a 11 en voeg het dan toe aan de eerste. Als gevolg hiervan zal het oorspronkelijke systeem de vorm aannemen:

Nu, uit de laatste vergelijking, elimineren we de term met x2. Om dit te doen, deelt u de derde vergelijking door , vermenigvuldigt u met en voegt u deze toe aan de tweede. Dan hebben we een stelsel vergelijkingen:

Daarom is het uit de laatste vergelijking gemakkelijk te vinden x 3, dan uit de 2e vergelijking x2 en tenslotte vanaf de 1e - x 1.

Bij gebruik van de Gauss-methode kunnen de vergelijkingen indien nodig worden uitgewisseld.

Vaak beperken ze zich, in plaats van een nieuw stelsel vergelijkingen te schrijven, tot het uitschrijven van de uitgebreide matrix van het stelsel:

en breng het dan in een driehoekige of diagonale vorm met behulp van elementaire transformaties.

Tot elementaire transformaties matrices omvatten de volgende transformaties:

1. permutatie van rijen of kolommen;
2. een string vermenigvuldigen met een getal dat niet nul is;
3. toevoegen aan een regel andere regels.

Voorbeelden: Los stelsels van vergelijkingen op met behulp van de Gauss-methode.

Het systeem heeft dus een oneindig aantal oplossingen.