Voorbereiding op het examen wiskunde (profielniveau): opdrachten, oplossingen en toelichtingen. Grammaticale communicatiemiddelen

Taak 2 GEBRUIK in de samenleving: hoe op te lossen

De complexiteit van deze opdracht 2 GEBRUIK in de sociale wetenschappen is dat je een generaliserend woord moet vinden voor het gespecificeerde aantal termen. Een generaliserend woord is een generieke term of concept dat in zijn betekenis de betekenissen van andere concepten en termen omvat. Net als bij andere USE-opdrachten in de samenleving, kunnen de onderwerpen van opdrachten heel verschillend zijn: de sociale sfeer, politiek, spiritueel, enz.

Hier is bijvoorbeeld een taak uit een echte USE-test in de samenleving:

Het wordt voor intelligente jongens en meisjes meteen duidelijk dat de voorgestelde woorden betrekking hebben op het onderwerp 'Geestelijke sfeer van de samenleving', namelijk op het onderwerp religie. Als je het moeilijk vindt om meteen te antwoorden, raad ik je aan mijn vorige post "" te lezen. Na het lezen van de voorwaarden wordt het voor de meest deskundige meteen duidelijk dat er maar twee opties zijn voor het antwoord: sekte en religie. Wat zou meer algemeen zijn? Een cultus is de aanbidding van iets.

Voor een experiment kun je een bezem in de hoek van je kamer zetten. En bid elke dag tot hem, praat met hem... Over een maand is het het meest waardevolle item voor jou :). Creëer een cultus van de bezem. Wat is religie? Dit is een specifieke vorm van wereldbeeld, bewustzijn van de wereld. Het is duidelijk dat het concept van "religie" het concept van "cult" omvat, aangezien het wereldbeeld de aanbidding van verschillende goden kan omvatten. Bijvoorbeeld het heidendom onder de Oost-Slaven: sommigen hadden de cultus van Perun (de god van donder en bliksem), anderen hadden de cultus van de god van moerassen, enz.

Of bijvoorbeeld het orthodoxe christendom: er is een cultus van Jezus Christus, er is een cultus van de Heilige Geest, er is een cultus van de Allerheiligste Theotokos... Begrijp je?

OKÉ. Het juiste antwoord is dus religie.

Aanbeveling 2 Je moet de termen en concepten van verschillende onderwerpen in de sociale wetenschappen goed kennen. Begrijp welke termen met welke samenhangen en welke daaruit voortvloeien. Om dit te doen, in mijn betaalde videocursus "Sociale wetenschappen: GEBRUIK voor 100 punten " Ik gaf de structuur van termen over alle onderwerpen van Sociale Wetenschappen. Ik raad mijn artikel ook ten zeerste aan.

Laten we eens kijken naar een andere taak 2 van het Unified State Examination in sociale studies:

We begrijpen meteen dat in taak 2 van de USE het onderwerp van de sociale sfeer wordt gecontroleerd. Als je het onderwerp bent vergeten, download dan mijn gratis videocursus. Als je dat niet doet, is de kans groot dat je een fout maakt. De logica van sommige mensen is zo krom dat het gewoon tin is! Ondertussen is het juiste antwoord: "agent van socialisatie" - een groep of vereniging die deelneemt aan de ontwikkeling door het individu van de regels en normen van de samenleving, evenals sociale rollen. Als je niet bekend bent met deze termen, raad ik je nogmaals ten zeerste aan om mijn gratis videocursus te downloaden.

Aanbeveling 3 Wees uiterst voorzichtig! Los keer op keer taak 2 van het Unified State Examination in sociale studies op om dit te doen kwalitatief op de automaat. Een vergelijkbare taak is bijvoorbeeld moeilijker:

Het thema "Wetenschap" komt uit de spirituele sfeer van de samenleving. Ik had trouwens een uitgebreid artikel over dit onderwerp. Mensen die niet erg oplettend zijn, zullen meteen een fout maken door in het antwoord aan te geven: de classificatiebasis, of theoretische validiteit. Tussen het juiste antwoord: wetenschappelijke kennis , die zowel verschillende classificaties als theoretische validiteit omvat!

In de volgende berichten zullen we daarom zeker andere niet-eenvoudige taken in de samenleving analyseren !

Ik voeg een aantal opdrachten voor het 2e examen in de samenleving bij die je moet beslissen:

Secundair algemeen onderwijs

Lijn UMK GK Muravina. Algebra en het begin van wiskundige analyse (10-11) (diep)

UMK Merzlyak-lijn. Algebra en het begin van analyse (10-11) (U)

Wiskunde

Voorbereiding op het examen wiskunde (profielniveau): opdrachten, oplossingen en uitleg

De examenopdracht op profielniveau duurt 3 uur en 55 minuten (235 minuten).

Minimale drempel- 27 punten.

Het examenwerk bestaat uit twee delen, die verschillen in inhoud, complexiteit en aantal taken.

Het bepalende kenmerk van elk onderdeel van het werk is de vorm van taken:

• deel 1 bevat 8 taken (taken 1-8) met een kort antwoord in de vorm van een geheel getal of een laatste decimale breuk;
• deel 2 bevat 4 taken (taken 9-12) met een kort antwoord in de vorm van een geheel getal of een definitieve decimale breuk en 7 taken (taken 13-19) met een gedetailleerd antwoord (volledige vastlegging van de beslissing met de reden voor de uitgevoerde handelingen).

Panova Svetlana Anatolievna, leraar wiskunde van de hoogste categorie van de school, werkervaring van 20 jaar:

“Om een ​​schoolcertificaat te krijgen, moet een afgestudeerde twee verplichte examens afleggen in de vorm van het Unified State Examination, waarvan wiskunde er één is. In overeenstemming met het concept voor de ontwikkeling van wiskundig onderwijs in de Russische Federatie, is het Unified State Exam in wiskunde verdeeld in twee niveaus: basis en gespecialiseerd. Vandaag zullen we opties voor het profielniveau overwegen.

Taak nummer 1- controleert het vermogen van USE-deelnemers om de vaardigheden die in de loop van 5-9 leerjaren in elementaire wiskunde zijn verworven in praktische activiteiten toe te passen. De deelnemer moet rekenvaardigheden hebben, kunnen werken met rationale getallen, decimale breuken kunnen afronden, de ene meeteenheid naar de andere kunnen converteren.

voorbeeld 1 In het appartement waar Petr woont is een koudwatermeter (meter) geplaatst. Op 1 mei gaf de meter een verbruik aan van 172 kubieke meter. m water, en op 1 juni - 177 kubieke meter. m. Welk bedrag moet Peter betalen voor koud water voor mei, als de prijs van 1 cu. m koud water is 34 roebel 17 kopeken? Geef je antwoord in roebels.

Oplossing:

1) Zoek de hoeveelheid water die per maand wordt uitgegeven:

177 - 172 = 5 (kubieke meter)

2) Zoek uit hoeveel geld er zal worden betaald voor het verbruikte water:

34.17 5 = 170.85 (wrijven)

Antwoorden: 170,85.

Taak nummer 2- is een van de eenvoudigste taken van het examen. De meerderheid van de afgestudeerden gaat er met succes mee om, wat wijst op het bezit van de definitie van het begrip functie. Taaktype nr. 2 volgens de vereistencodeerder is een taak voor het gebruik van de verworven kennis en vaardigheden in praktische activiteiten en het dagelijks leven. Taak nr. 2 bestaat uit het beschrijven, met behulp van functies, van verschillende reële relaties tussen grootheden en het interpreteren van hun grafieken. Taak nummer 2 test het vermogen om informatie te extraheren die wordt gepresenteerd in tabellen, diagrammen, grafieken. Afgestudeerden moeten de waarde van een functie kunnen bepalen aan de hand van de waarde van het argument met verschillende manieren om de functie te specificeren en het gedrag en de eigenschappen van de functie volgens de grafiek te beschrijven. Het is ook nodig om de grootste of kleinste waarde uit de functiegrafiek te kunnen vinden en grafieken van de bestudeerde functies te kunnen bouwen. De gemaakte fouten zijn van willekeurige aard bij het lezen van de voorwaarden van het probleem, het lezen van het diagram.

#ADVERTISING_INSERT#

Voorbeeld 2 De figuur toont de verandering in de ruilwaarde van één aandeel van een mijnbouwonderneming in de eerste helft van april 2017. Op 7 april kocht de zakenman 1.000 aandelen van dit bedrijf. Op 10 april verkocht hij driekwart van de ingekochte aandelen en op 13 april verkocht hij alle resterende. Hoeveel heeft de zakenman als gevolg van deze operaties verloren?

Oplossing:

2) 1000 3/4 = 750 (aandelen) - vormen 3/4 van alle gekochte aandelen.

6) 247500 + 77500 = 325000 (roebel) - de zakenman ontving na de verkoop van 1000 aandelen.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (roebel) - de zakenman verloor als gevolg van alle operaties.

Antwoorden: 15000.

Taak nummer 3- is een taak van het basisniveau van het eerste deel, het controleert het vermogen om acties uit te voeren met geometrische vormen volgens de inhoud van de cursus "Planimetrie". Taak 3 test het vermogen om het gebied van een figuur op geruit papier te berekenen, het vermogen om graadmaten van hoeken te berekenen, omtrekken te berekenen, enz.

Voorbeeld 3 Zoek het gebied van een rechthoek getekend op geruit papier met een celgrootte van 1 cm bij 1 cm (zie afbeelding). Geef je antwoord in vierkante centimeters.

Oplossing: Om het gebied van deze figuur te berekenen, kunt u de Peak-formule gebruiken:

Om de oppervlakte van deze rechthoek te berekenen, gebruiken we de Peak-formule:

Voorbeeld 4 Er zijn 5 rode en 1 blauwe stippen op de cirkel. Bepaal welke polygonen groter zijn: die met alle rode hoekpunten, of die met een van de blauwe hoekpunten. Geef in je antwoord aan hoeveel meer van de een dan van de ander.

Oplossing: 1) We gebruiken de formule voor het aantal combinaties van n elementen door k:

waarvan alle hoekpunten rood zijn.

3) Een vijfhoek met allemaal rode hoekpunten.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygonen met allemaal rode hoekpunten.

waarvan de hoekpunten rood zijn of met één blauw hoekpunt.

waarvan de hoekpunten rood zijn of met één blauw hoekpunt.

8) Eén zeshoek waarvan de hoekpunten rood zijn met één blauw hoekpunt.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygonen die allemaal rode hoekpunten of één blauwe hoekpunt hebben.

10) 42 - 16 = 26 polygonen die de blauwe stip gebruiken.

11) 26 - 16 = 10 polygonen - hoeveel polygonen, waarvan een van de hoekpunten een blauwe stip is, zijn meer dan polygonen, waarin alle hoekpunten alleen rood zijn.

Antwoorden: 10.

Taak nummer 5- het basisniveau van het eerste deel test het vermogen om de eenvoudigste vergelijkingen op te lossen (irrationeel, exponentieel, trigonometrisch, logaritmisch).

Voorbeeld 5 Los vergelijking 2 3 + . op x= 0,4 5 3 + x .

Oplossing. Deel beide zijden van deze vergelijking door 5 3 + X≠ 0, we krijgen

waaruit volgt dat 3 + x = 1, x = –2.

Antwoorden: –2.

Taak nummer 6 in planimetrie voor het vinden van geometrische grootheden (lengtes, hoeken, gebieden), het modelleren van reële situaties in de taal van de geometrie. De studie van de geconstrueerde modellen met behulp van geometrische concepten en stellingen. De bron van moeilijkheden is in de regel onwetendheid of onjuiste toepassing van de noodzakelijke stellingen van planimetrie.

Oppervlakte van een driehoek abc gelijk aan 129. DE- mediaanlijn evenwijdig aan de zijkant AB. Vind het gebied van de trapezium EEN BED.

Oplossing. Driehoek CDE gelijk aan een driehoek taxi op twee hoeken, aangezien de hoek op het hoekpunt C algemeen, hoek CDE gelijk aan de hoek taxi als de overeenkomstige hoeken bij DE || AB secans AC. Omdat DE is de middelste lijn van de driehoek door de voorwaarde, dan door de eigenschap van de middelste lijn | DE = (1/2)AB. De overeenkomstcoëfficiënt is dus 0,5. De gebieden van vergelijkbare figuren zijn gerelateerd als het kwadraat van de overeenkomstcoëfficiënt, dus

Vervolgens, S ABED = S Δ abc – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Taak nummer 7- controleert de toepassing van de afgeleide op de studie van de functie. Voor een succesvolle implementatie is een zinvol, niet-formeel bezit van het concept van een derivaat noodzakelijk.

Voorbeeld 7 Naar de grafiek van de functie ja = f(x) op het punt met de abscis x 0 wordt een raaklijn getrokken die loodrecht staat op de rechte die door de punten (4; 3) en (3; -1) van deze grafiek gaat. Vind f′( x 0).

Oplossing. 1) Laten we de vergelijking gebruiken van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat en de vergelijking zoeken van een rechte lijn die door de punten (4; 3) en (3; -1) gaat.

(ja – ja 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(ja 2 – ja 1)

(ja – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(ja – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–ja + 3 = –4x+ 16| · (-een)

ja – 3 = 4x – 16

ja = 4x– 13, waar k 1 = 4.

2) Vind de helling van de raaklijn k 2 die loodrecht op de lijn staat ja = 4x– 13, waar k 1 = 4, volgens de formule:

3) De helling van de raaklijn is de afgeleide van de functie op het raakpunt. Middelen, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Antwoorden: –0,25.

Taak nummer 8- toetst de kennis van elementaire stereometrie bij de examendeelnemers, het kunnen toepassen van formules voor het vinden van oppervlakten en volumes van figuren, tweevlakshoeken, het vergelijken van de volumes van gelijkaardige figuren, het kunnen uitvoeren van handelingen met geometrische figuren, coördinaten en vectoren , enz.

Het volume van een kubus beschreven rond een bol is 216. Bepaal de straal van de bol.

Oplossing. 1) V kubus = a 3 (waar a is de lengte van de rand van de kubus), dus

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Aangezien de bol is ingeschreven in een kubus, betekent dit dat de lengte van de diameter van de bol gelijk is aan de lengte van de rand van de kubus, dus d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Taak nummer 9- vereist dat de afgestudeerde algebraïsche uitdrukkingen transformeert en vereenvoudigt. Taak nr. 9 van een verhoogd niveau van complexiteit met een kort antwoord. Taken uit de sectie "Berekeningen en transformaties" in de USE zijn onderverdeeld in verschillende typen:

transformaties van numerieke rationale uitdrukkingen;

transformaties van algebraïsche uitdrukkingen en breuken;

transformaties van numerieke/letter irrationele uitdrukkingen;

acties met graden;

transformatie van logaritmische uitdrukkingen;

1. conversie van numerieke/letter trigonometrische uitdrukkingen.

Voorbeeld 9 Bereken tgα als bekend is dat cos2α = 0,6 en

Oplossing. 1) Laten we de dubbele argumentformule gebruiken: cos2α = 2 cos 2 α - 1 en vind

Vandaar, tan 2 α = ± 0,5.

3) Op voorwaarde:

dus α is de hoek van het tweede kwartaal en tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Antwoorden: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Taak nummer 10- controleert het vermogen van studenten om de verworven vroege kennis en vaardigheden te gebruiken in praktische activiteiten en het dagelijks leven. We kunnen zeggen dat dit problemen zijn in de natuurkunde, en niet in de wiskunde, maar alle noodzakelijke formules en grootheden worden gegeven in de voorwaarde. De taken worden gereduceerd tot het oplossen van een lineaire of kwadratische vergelijking, of een lineaire of kwadratische ongelijkheid. Daarom is het noodzakelijk om dergelijke vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen en het antwoord te bepalen. Het antwoord moet de vorm hebben van een geheel getal of een laatste decimale breuk.

Twee lichamen van massa m= 2 kg elk, bewegend met dezelfde snelheid v= 10 m/s onder een hoek van 2α met elkaar. De energie (in joules) die vrijkomt tijdens hun absoluut inelastische botsing wordt bepaald door de uitdrukking Q = mv 2 zonde 2 . Onder welke kleinste hoek 2α (in graden) moeten de lichamen bewegen zodat er minimaal 50 joule vrijkomt als gevolg van de botsing?
Oplossing. Om het probleem op te lossen, moeten we de ongelijkheid Q ≥ 50 oplossen, op het interval 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 zonde 2 α ≥ 50

2 10 2 zonde 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Sinds α ∈ (0°; 90°), zullen we alleen oplossen

We geven de oplossing van de ongelijkheid grafisch weer:

Aangezien door aanname α ∈ (0°; 90°), betekent dit dat 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Taak nummer 11- is typisch, maar blijkt lastig voor studenten. De belangrijkste bron van moeilijkheden is de constructie van een wiskundig model (het opstellen van een vergelijking). Taak nummer 11 test het vermogen om woordproblemen op te lossen.

Voorbeeld 11. Tijdens de voorjaarsvakantie moest Vasya uit groep 11 560 trainingsproblemen oplossen om zich voor te bereiden op het examen. Op 18 maart, op de laatste schooldag, loste Vasya 5 problemen op. Vervolgens loste hij elke dag hetzelfde aantal problemen meer op dan de vorige dag. Bepaal hoeveel problemen Vasya op 2 april op de laatste vakantiedag heeft opgelost.

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Antwoorden: 65.

Taak nummer 12- het vermogen van leerlingen om acties met functies uit te voeren nagaan, de afgeleide kunnen toepassen op de studie van de functie.

Vind het maximale punt van een functie ja= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Oplossing: 1) Zoek het domein van de functie: x + 9 > 0, x> –9, dat wil zeggen, x ∈ (–9; ∞).

2) Zoek de afgeleide van de functie:

4) Het gevonden punt hoort bij het interval (–9; ∞). We definiëren de tekens van de afgeleide van de functie en geven het gedrag van de functie weer in de figuur:

Het gewenste maximale punt x = –8.

a) Los de vergelijking 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Zoek alle wortels van deze vergelijking die bij het segment horen.

Oplossing: a) Laat log 3 (2cos x) = t, dan 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Zoek de wortels die op het segment liggen.

In de figuur is te zien dat het gegeven segment wortels heeft

De diameter van de cirkel van de basis van de cilinder is 20, de beschrijvende lijn van de cilinder is 28. Het vlak snijdt zijn basissen langs koorden van lengte 12 en 16. De afstand tussen de koorden is 2√197.

a) Bewijs dat de middelpunten van de basis van de cilinder aan dezelfde kant van dit vlak liggen.

b) Bereken de hoek tussen dit vlak en het vlak van de basis van de cilinder.

Oplossing: a) Een koorde met lengte 12 bevindt zich op een afstand = 8 van het middelpunt van de basiscirkel, en een koorde met lengte 16 bevindt zich eveneens op een afstand van 6. Daarom is de afstand tussen hun projecties op een vlak evenwijdig aan de basissen van de cilinders is ofwel 8 + 6 = 14, of 8 − 6 = 2.

Dan is de afstand tussen akkoorden ofwel

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Volgens de voorwaarde werd het tweede geval gerealiseerd, waarbij de projecties van de akkoorden aan één kant van de as van de cilinder liggen. Dit betekent dat de as dit vlak binnen de cilinder niet snijdt, dat wil zeggen dat de bases aan één kant ervan liggen. Wat moest er bewezen worden.

b) Laten we de middelpunten van de basen aanduiden als O 1 en O 2. Laten we vanuit het midden van het grondtal met een koorde van lengte 12 de middelloodlijn op dit akkoord tekenen (het heeft een lengte van 8, zoals reeds opgemerkt) en vanuit het midden van het andere grondtal naar een ander akkoord. Ze liggen in hetzelfde vlak β loodrecht op deze akkoorden. Laten we het middelpunt van het kleinere akkoord B noemen, groter dan A, en de projectie van A op het tweede grondtal H (H ∈ β). Dan staan ​​AB,AH ∈ β, en dus AB,AH loodrecht op de koorde, dat wil zeggen de snijlijn van de basis met het gegeven vlak.

Dus de vereiste hoek is

Taak nummer 15- een verhoogd niveau van complexiteit met een gedetailleerd antwoord, controleert het vermogen om ongelijkheden op te lossen, het meest succesvol opgelost onder taken met een gedetailleerd antwoord van een verhoogd niveau van complexiteit.

Voorbeeld 15 Los de ongelijkheid op | x 2 – 3x| logboek 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Oplossing: Het definitiedomein van deze ongelijkheid is het interval (–1; +∞). Beschouw drie gevallen afzonderlijk:

1) Laten we x 2 – 3x= 0, d.w.z. X= 0 of X= 3. In dit geval wordt deze ongelijkheid waar, daarom worden deze waarden in de oplossing opgenomen.

2) Laat nu x 2 – 3x> 0, d.w.z. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). In dit geval kan deze ongelijkheid worden herschreven in de vorm ( x 2 – 3x) logboek 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 en delen door een positieve uitdrukking x 2 – 3x. We krijgen log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 of x≤ -0,5. Rekening houdend met het domein van de definitie, hebben we: x ∈ (–1; –0,5].

3) Overweeg tot slot: x 2 – 3x < 0, при этом x(0; 3). In dit geval wordt de oorspronkelijke ongelijkheid herschreven in de vorm (3 x – x 2) logboek 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Na delen door een positieve uitdrukking 3 x – x 2 , we krijgen log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Rekening houdend met het gebied, hebben we x ∈ (0; 1].

Door de verkregen oplossingen te combineren, verkrijgen we x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Antwoorden: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Taak nummer 16- gevorderd niveau verwijst naar de taken van het tweede deel met een gedetailleerd antwoord. De taak test het vermogen om acties uit te voeren met geometrische vormen, coördinaten en vectoren. De taak bevat twee items. In de eerste alinea moet de taak worden bewezen en in de tweede alinea moet deze worden berekend.

In een gelijkbenige driehoek ABC met een hoek van 120° op het hoekpunt A wordt een bissectrice BD getekend. Rechthoek DEFH is ingeschreven in driehoek ABC zodat zijde FH op segment BC ligt en hoekpunt E op segment AB. a) Bewijs dat FH = 2DH. b) Zoek de oppervlakte van de rechthoek DEFH als AB = 4.

Oplossing: a)

1) ΔBEF - rechthoekig, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, dan EF = BE vanwege de eigenschap van het been tegenover de hoek van 30°.

2) Laat EF = DH = x, dan BE = 2 x, BF = x√3 volgens de stelling van Pythagoras.

3) Aangezien ΔABC gelijkbenig is, dan is ∠B = ∠C = 30˚.

BD is de bissectrice van ∠B, dus ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Overweeg ΔDBH - rechthoekig, omdat DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

Antwoorden: 24 – 12√3.

Voorbeeld 17. Het is de bedoeling dat de aanbetaling van 20 miljoen roebel gedurende vier jaar wordt geopend. Aan het einde van elk jaar verhoogt de bank het deposito met 10% in vergelijking met de omvang aan het begin van het jaar. Daarnaast vult de deposant aan het begin van het derde en vierde jaar het depot jaarlijks aan met X miljoen roebel, waar? X - geheel nummer. Vind de grootste waarde X, waarbij de bank in vier jaar minder dan 17 miljoen roebel aan het deposito zal toevoegen.

Oplossing: Aan het einde van het eerste jaar is de bijdrage 20 + 20 · 0,1 = 22 miljoen roebel, en aan het einde van het tweede - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 miljoen roebel. Aan het begin van het derde jaar wordt de bijdrage (in miljoen roebel) (24,2 + .) X), en aan het einde - (24.2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Aan het begin van het vierde jaar wordt de bijdrage (26,62 + 2,1 .) X), en aan het einde - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29.282 + 2.31 X). Per voorwaarde moet je het grootste gehele getal x vinden waarvoor de ongelijkheid

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

De grootste gehele oplossing van deze ongelijkheid is het getal 24.

Antwoorden: 24.

Onder wat a systeem van ongelijkheden

heeft precies twee oplossingen?

Oplossing: Dit systeem kan worden herschreven als:

Als we op het vlak de verzameling oplossingen van de eerste ongelijkheid tekenen, krijgen we het binnenste van een cirkel (met grens) met straal 1 gecentreerd op het punt (0, a). De verzameling oplossingen van de tweede ongelijkheid is het deel van het vlak dat onder de grafiek van de functie ligt ja = | x| – a, en de laatste is de grafiek van de functie
ja = | x| , naar beneden verschoven door a. De oplossing van dit systeem is het snijpunt van de oplossingsverzamelingen van elk van de ongelijkheden.

Bijgevolg zal dit systeem alleen twee oplossingen hebben in het geval getoond in Fig. een.

De contactpunten tussen de cirkel en de lijnen zijn de twee oplossingen van het systeem. Elk van de rechte lijnen helt onder een hoek van 45° ten opzichte van de assen. Dus de driehoek PQR- rechthoekige gelijkbenige. Punt Q heeft coördinaten (0, a), en het punt R– coördinaten (0, – a). Bovendien, bezuinigingen PR en PQ zijn gelijk aan de cirkelstraal gelijk aan 1. Vandaar,

Laten sn som P leden van een rekenkundige reeks ( een p). Het is bekend dat S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Geef de formule P het lid van deze progressie.

b) Vind de kleinste modulo som S n.

c) Vind de kleinste P, waarbij S n zal het kwadraat van een geheel getal zijn.

Oplossing: a) Duidelijk, een = S n – S n- een . Met behulp van deze formule krijgen we:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

middelen, een = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) omdat S n = 2n 2 – 25n, beschouw dan de functie S(x) = | 2x 2 – 25x|. Haar grafiek is te zien in de figuur.

Het is duidelijk dat de kleinste waarde wordt bereikt op de gehele punten die zich het dichtst bij de nullen van de functie bevinden. Uiteraard zijn dit punten. X= 1, X= 12 en X= 13. Sinds, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, dan is de kleinste waarde 12.

c) Uit de vorige paragraaf volgt dat: sn positief sinds n= 13. Sinds S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), dan wordt het voor de hand liggende geval wanneer deze uitdrukking een perfect vierkant is, gerealiseerd wanneer n = 2n- 25, dat wil zeggen, met P= 25.

Het blijft om de waarden van 13 tot 25 te controleren:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Het blijkt dat voor kleinere waarden P volledig vierkant wordt niet bereikt.

Antwoorden: a) een = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Sinds mei 2017 maakt de gezamenlijke uitgeverijgroep DROFA-VENTANA deel uit van de Russian Textbook Corporation. Het bedrijf omvatte ook de uitgeverij Astrel en het digitale onderwijsplatform LECTA. Alexander Brychkin, afgestudeerd aan de Financiële Academie onder de regering van de Russische Federatie, kandidaat voor economische wetenschappen, hoofd van innovatieve projecten van de uitgeverij DROFA op het gebied van digitaal onderwijs (elektronische vormen van leerboeken, Russische elektronische school, LECTA digitaal onderwijs platform) is benoemd tot algemeen directeur. Voordat hij bij uitgeverij DROFA in dienst trad, bekleedde hij de functie van vice-president voor strategische ontwikkeling en investeringen van de uitgeverij EKSMO-AST. Tegenwoordig heeft de Russian Textbook Publishing Corporation de grootste portefeuille van schoolboeken die zijn opgenomen in de federale lijst - 485 titels (ongeveer 40%, exclusief schoolboeken voor penitentiaire scholen). De uitgeverijen van het bedrijf zijn eigenaar van de reeksen leerboeken in natuurkunde, tekenen, biologie, scheikunde, technologie, aardrijkskunde, astronomie, waar de meeste vraag naar is door Russische scholen - kennisgebieden die nodig zijn om het productiepotentieel van het land te ontwikkelen. De portefeuille van het bedrijf omvat studieboeken en leermiddelen voor basisscholen die de President's Prize in Education hebben gekregen. Dit zijn leerboeken en handleidingen over vakgebieden die nodig zijn voor de ontwikkeling van het wetenschappelijke, technische en industriële potentieel van Rusland.

Lexicale communicatiemiddelen:

1. Lexicale herhaling- herhaling van hetzelfde woord. Rondom de stad op de lage heuvels zijn bossen, machtig, ongerept. In de bossen waren grote weiden en dove meren met enorme oude dennen langs de oevers.
2. Wortelwoorden. Natuurlijk kende zo'n meester zijn eigen waarde, voelde hij het verschil tussen hemzelf en een niet zo getalenteerd persoon, maar hij kende heel goed een ander verschil - het verschil tussen hemzelf en een meer getalenteerde persoon. Respect voor de meer capabele en ervaren mensen is het eerste teken van talent.
3. synoniemen. We zagen een eland in het bos. Sukhaty liep langs de rand van het bos en was voor niemand bang.
4. Antoniemen. De natuur heeft veel vrienden. Ze heeft minder vijanden.
5. Beschrijvende zinnen. Ze hebben een snelweg aangelegd. Een luidruchtige, snelle rivier van leven verbond de regio met de hoofdstad.

Grammatica communicatiemiddelen:

1. Persoonlijke voornaamwoorden. 1) En nu luister ik naar de stem van een oude stroom. Hij koert als een wilde duif. 2) De roep om de bescherming van bossen moet in de eerste plaats gericht zijn tot de jeugd. Het is aan haar om op deze aarde te leven en te beheren, om haar te versieren. 3) Hij keerde onverwachts terug naar zijn geboortedorp. Zijn komst verheugde en beangstigde zijn moeder.
2. Aanwijzende voornaamwoorden(zoals, dat, dit) 1) Een donkere hemel met heldere naaldsterren zweefde boven het dorp. Dergelijke sterren verschijnen alleen in de herfst. 2) De kwartelkoning schreeuwde met een verre, zoete trek. Deze kwartelkoningen en zonsondergangen zijn onvergetelijk; pure visie bewaarde hen voor altijd. - in de tweede tekst, communicatiemiddelen - lexicale herhaling en aanwijzend voornaamwoord "deze".
3. Pronominale bijwoorden(daar, dus, dan, enz.) Hij [Nikolai Rostov] wist dat dit verhaal bijdroeg aan de verheerlijking van onze wapens, en daarom was het nodig om te doen alsof je er niet aan twijfelde. En dat deed hij ook.
4. vakbonden(meestal schrijvend) Het was mei 1945. Gedonderde lente. De mensen en de aarde verheugden zich. Moskou groette de helden. En vreugde steeg in de lucht met lichten. Met hetzelfde accent en gelach begonnen de officieren zich haastig te verzamelen; leg de samovar opnieuw op het vuile water. Maar Rostov ging, zonder op thee te wachten, naar het squadron.
5. deeltjes.
6. Inleidende woorden en constructies(in één woord, dus, ten eerste, enz.) Jongeren spraken met minachting of onverschilligheid over alles wat Russisch was en voorspelden voor de grap het lot van de Confederatie van de Rijn voor Rusland. Kortom, de samenleving was nogal walgelijk.
7. Eenheid van aspect tijdsvormen van werkwoorden- het gebruik van dezelfde vormen van grammaticale tijd, die de gelijktijdigheid of opeenvolging van situaties aangeven. De imitatie van de Franse toon uit de tijd van Lodewijk XV was in zwang. Liefde voor het vaderland leek pedanterie. De wijzen van die tijd prezen Napoleon met fanatieke onderdanigheid en maakten grappen over onze mislukkingen. Alle werkwoorden staan ​​in de verleden tijd.
8. Onvolledige zinnen en weglatingsteken, verwijzend naar de vorige elementen van de tekst: Gorkin snijdt brood, verdeelt sneetjes. Hij zegt mij ook: enorm, je bedekt je hele gezicht.
9. Syntaxis parallellisme- dezelfde constructie van meerdere aangrenzende zinnen. Weten hoe te spreken is een kunst. Luisteren is cultuur.

Semantische relaties uitgedrukt door coördinerende vakbonden:

1. Verbinden: en, ja(=en), en...en..., niet alleen... maar ook, zoals... en, ook, ook
2. Verdelers: of, ofwel, dan... dat, niet dat... niet dat, of... of, ofwel... of
3. Tegenovergestelde: maar, ja (= maar), echter, maar
4. Gradatie: niet alleen, maar ook, niet zozeer ... hoeveel, niet dat ... maar
5. verklarend: dat wil zeggen:
6. Verbinden: ook, ook, ja, en bovendien, bovendien
7. ook, ja en, dat wil zeggen, nl.

Semantische relaties uitgedrukt door ondergeschikte vakbonden:

• Tijdelijk: wanneer, terwijl, nauwelijks, alleen, terwijl, alleen, slechts, een beetje
• Oorzakelijk: omdat, omdat, omdat, vanwege het feit dat, vanwege het feit dat, vanwege het feit dat, omdat (verouderd), vanwege het feit dat
• Voorwaardelijk: if (if, if, if - verouderd.), if, once, how soon
• Doelwit: zodat, om, zodat (verouderd), om, om
• Gevolgen: dus
• concessies: hoewel ondanks het feit dat
• Comparatief: alsof, alsof, precies, dan, alsof, liever dan (verouderd)
• verklarend: wat, hoe?
• Voegwoorden worden niet gebruikt aan het begin van een zin: dus, dan, dan, evenals verklarende voegwoorden: wat, hoe, naar.

In taak nr. 2 van de USE in de wiskunde is het noodzakelijk om kennis van het werken met machtsuitdrukkingen aan te tonen.

Theorie voor taak nummer 2

De regels voor het omgaan met graden kunnen als volgt worden weergegeven:

Bovendien moet worden herinnerd aan bewerkingen met breuken:

Nu kunnen we verder gaan met de analyse van typische opties!

Analyse van typische opties voor taken nr. 2 GEBRUIK in wiskunde op basisniveau

De eerste versie van de taak

Vind de waarde van een uitdrukking

Uitvoeringsalgoritme:

1. Druk een negatief getal uit als een juiste breuk.
2. Doe de eerste vermenigvuldiging.
3. Stel machten van getallen voor als priemgetallen en vervang machten door vermenigvuldiging.
4. Voer vermenigvuldiging uit.
5. Optellen uitvoeren.

Oplossing:

Dat wil zeggen: 10 -1 = 1/10 1 = 1/10

Laten we de eerste vermenigvuldiging uitvoeren, dat wil zeggen, de vermenigvuldiging van een geheel getal met een eigen breuk. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de teller van de breuk met een geheel getal en laat u de noemer ongewijzigd.

9 1/10 = (9 1)/10 = 9/10

De eerste macht van een getal is altijd het getal zelf.

De tweede macht van een getal is een getal vermenigvuldigd met zichzelf.

10 2 = 10 10 = 100

Antwoord: 560,9

De tweede versie van de taak

Vind de waarde van een uitdrukking

Uitvoeringsalgoritme:

1. Druk de eerste macht van een getal uit als een geheel getal.
2. Druk negatieve machten van getallen uit als echte breuken.
3. Voer een vermenigvuldiging met gehele getallen uit.
4. Vermenigvuldig gehele getallen met de juiste breuken.
5. Optellen uitvoeren.

Oplossing:

De eerste macht van een getal is altijd het getal zelf. (10 1 = 10)

Om een ​​negatieve macht van een getal als een gewone breuk weer te geven, is het noodzakelijk om 1 te delen door dit getal, maar al in een positieve graad.

10 -1 = 1/10 1 = 1/10

10 -2 = 1/10 2 = 1/(10 10) = 1/100

Laten we integer vermenigvuldigen.

3 10 1 = 3 10 = 30

Laten we hele getallen vermenigvuldigen met de juiste breuken.

4 10 -2 = 4 1/100 = (4 1)/100 = 4/100

2 10 -1 = 2 1/10 = (2 1)/10 = 2/10

Laten we de waarde van de uitdrukking berekenen, rekening houdend met dat

Antwoord: 30.24

De derde versie van de taak

Vind de waarde van een uitdrukking

Uitvoeringsalgoritme:

1. Druk de machten van getallen uit als vermenigvuldiging en bereken de waarde van de machten van getallen.
2. Voer vermenigvuldiging uit.
3. Optellen uitvoeren.

Oplossing:

Laten we de machten van getallen weergeven in de vorm van vermenigvuldiging. Om de macht van een getal als vermenigvuldiging weer te geven, moet je dit getal zo vaak met zichzelf vermenigvuldigen als het in de exponent staat.

2 4 = 2 2 2 2 = 16

2 3 = 2 2 2 = 8

Laten we de vermenigvuldiging doen:

4 2 4 = 4 16 = 64

3 2 3 = 3 8 = 24

Laten we de waarde van de uitdrukking berekenen:

De vierde optie:

Vind de waarde van een uitdrukking

Uitvoeringsalgoritme:

1. Voer de actie tussen haakjes uit.
2. Voer vermenigvuldiging uit.

Oplossing:

Laten we de macht van een getal zo weergeven dat de gemeenschappelijke factor tussen haakjes kan worden geplaatst.

3 4 3 + 2 4 4 = 4 3 (3 + 2 4)

Laten we de haakjes doen.

(3 + 2 4) = (3 + 8) = 11

4 3 = 4 4 4 = 64

Laten we de waarde van de uitdrukking berekenen, rekening houdend met dat

Vijfde variant van de taak

Vind de waarde van een uitdrukking

Uitvoeringsalgoritme:

1. Laten we de macht van een getal zo weergeven dat de gemeenschappelijke factor tussen haakjes kan worden geplaatst.
2. Haal de gemeenschappelijke factor uit de beugel.
3. Voer de actie tussen haakjes uit.
4. Druk de macht van een getal uit als een vermenigvuldiging en bereken de waarde van de macht van het getal.
5. Voer vermenigvuldiging uit.

Oplossing:

Laten we de macht van een getal zo weergeven dat de gemeenschappelijke factor tussen haakjes kan worden geplaatst.

Laten we de gemeenschappelijke factor uit de haakjes halen

2 5 3 + 3 5 2 = 5 2 (2 5 + 3)

Laten we de haakjes doen.

(2 5 + 3) = (10 + 3) = 13

Laten we de macht van een getal voorstellen als een vermenigvuldiging. Om de macht van een getal als vermenigvuldiging weer te geven, moet je dit getal zo vaak met zichzelf vermenigvuldigen als het in de exponent staat.

5 2 = 5 5 = 25

Laten we de waarde van de uitdrukking berekenen, rekening houdend met dat

We voeren vermenigvuldiging uit in een kolom, we hebben:

Variant van de tweede taak uit de USE 2017 (1)

Zoek de waarde van de uitdrukking:

Oplossing:

Bij deze taak is het handiger om de waarden in een meer bekende vorm te brengen, namelijk de getallen in de teller en noemer in een standaardvorm te schrijven:

Daarna kun je 24 delen door 6, als resultaat krijgen we 4.

Tien tot de vierde macht, wanneer gedeeld door tien tot de derde macht, geeft tien aan de eerste, of gewoon tien, dus we krijgen:

Variant van de tweede taak uit de USE 2017 (2)

Zoek de waarde van de uitdrukking:

Oplossing:

In dit geval moeten we er rekening mee houden dat het getal 6 in de noemer is ontbonden door 2 en 3 tot de macht van 5:

Daarna kunt u de graden van twee verminderen: 6-5=1, voor drie: 8-5=3.

Nu doen we 3 kubussen en vermenigvuldigen met 2, zodat we 54 krijgen.

Variant van de tweede opgave van 2019 (1)

Uitvoeringsalgoritme

1. We passen op de teller de heilige graden toe (a x) y = een xy. We krijgen 3 -6.
2. We passen op de fractie van St. graden a x /a y =a x-y.
3. Verhoog 3 tot de macht.

Oplossing:

(3 –3) 2 /3 –8 = 3 –6 /3 –8 = 3 –6–(–8)) = 3 –6+8 = 3 2 = 9

Variant van de tweede opgave van 2019 (2)

Uitvoeringsalgoritme

1. We gebruiken voor de graad in de teller (14 9) St. (ab) x \u003d a x b x. We ontleden 14 in het product van 2 en 7. We krijgen het product van machten met grondtalen 2 en 7.
2. Laten we de uitdrukking omzetten in 2 breuken, die elk machten met dezelfde basen zullen bevatten.
3. We zijn van toepassing op fracties van St-in graden a x /a y =a x-y.
4. We vinden het resulterende werk.

Oplossing:

14 9 / 2 7 7 8 = (2 7) 9 / 2 7 7 8 = 2 9 7 9 / 2 7 7 8 = 2 9–7 7 9–8 = 2 2 7 1 = 4 7 = 28

Variant van de tweede taak in 2019 (3)

Uitvoeringsalgoritme

1. We nemen de gemene deler 5 2 =25.
2. We voeren de vermenigvuldiging uit van de getallen 2 en 5 tussen haakjes, we krijgen 10.
3. We voeren de toevoeging uit van 10 en 3 tussen haakjes. We krijgen 13.
4. We vermenigvuldigen de gemene deler 25 en 13.

Oplossing:

2 5 3 +3 5 2 = 5 2 (2 5+3) = 25 (10+3) = 25 13 = 325

Variant van de tweede opgave van 2019 (4)

Uitvoeringsalgoritme

1. We kwadrateren (-1). We krijgen 1, omdat we naar een gelijke macht gaan.
2. Verhoog (-1) tot de 5e macht. We krijgen -1, omdat verheven tot een vreemde macht.
3. Laten we de vermenigvuldiging doen.
4. We krijgen het verschil van twee getallen. We vinden haar.

Oplossing:

6 (–1) 2 +4 (–1) 5 = 6 1+4 (–1) = 6+(–4) = 6–4 = 2

Variant van de tweede opgave van 2019 (5)

Uitvoeringsalgoritme

1. Laten we de factoren 10 3 en 10 2 omzetten in gehele getallen.
2. We vinden de producten door de komma met het juiste aantal tekens naar rechts te verplaatsen.
3. We vinden de resulterende som.