Afgeleide met online parameter. Afgeleide van een parametrisch gedefinieerde functie

Laten we eens kijken naar de definitie van een lijn op het vlak, waarin de variabelen x, y functies zijn van de derde variabele t (de parameter genoemd):

Voor elke waarde t van een bepaald interval komen bepaalde waarden overeen x en y, en, dus een bepaald punt M(x, y) van het vlak. Wanneer t loopt door alle waarden van een bepaald interval, dan het punt M (x, ja) beschrijft een regel L. Vergelijkingen (2.2) worden parametrische vergelijkingen van de lijn genoemd L.

Als de functie x = φ(t) een inverse t = Ф(x) heeft, dan substitueren we deze uitdrukking in de vergelijking y = g(t), dan krijgen we y = g(Ф(x)), wat aangeeft ja als functie van x. In dit geval zouden vergelijkingen (2.2) de functie definiëren ja parametrisch.

voorbeeld 1 Laten M (x, y) is een willekeurig punt van de cirkel met straal R en gecentreerd op de oorsprong. Laten t- de hoek tussen de as Os en straal OM(Zie figuur 2.3). Dan x, ja uitgedrukt door middel van t:

Vergelijkingen (2.3) zijn parametrische vergelijkingen van de cirkel. Laten we de parameter t uitsluiten van vergelijkingen (2.3). Om dit te doen, kwadrateren we elk van de vergelijkingen en tellen deze op, we krijgen: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) of x 2 + y 2 \u003d R 2 - de cirkelvergelijking in het cartesiaanse coördinatenstelsel. Het definieert twee functies: Elk van deze functies wordt gegeven door parametervergelijkingen (2.3), maar voor de eerste functie en voor de tweede .

Voorbeeld 2. Parametrische vergelijkingen

definieer een ellips met halve assen een, b(Afb. 2.4). De parameter uit de vergelijkingen elimineren t, verkrijgen we de canonieke vergelijking van de ellips:

Voorbeeld 3. Een cycloïde is een lijn die wordt beschreven door een punt dat op een cirkel ligt als deze cirkel langs een rechte lijn rolt zonder te slippen (Fig. 2.5). Laten we de parametrische vergelijkingen van de cycloïde introduceren. Laat de straal van de rollende cirkel zijn a, punt M, die de cycloïde beschrijft, viel aan het begin van de beweging samen met de oorsprong.

Laten we de coördinaten bepalen x, y punten M nadat de cirkel over een hoek is gedraaid t
(Afb. 2.5), t = ÐMCB. Boog lengte MB gelijk aan de lengte van het segment verloskundige, omdat de cirkel rolt zonder te glijden, dus

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - kosten = a(1 - kosten).

Dus de parametervergelijkingen van de cycloïde worden verkregen:

Bij het wijzigen van de parameter t van 0 tot 2π de cirkel wordt één omwenteling gedraaid, terwijl het punt M beschrijft een boog van de cycloïde. Vergelijkingen (2.5) definiëren ja als functie van x. Hoewel de functie x = a(t - sint) heeft een inverse functie, maar wordt niet uitgedrukt in elementaire functies, dus de functie y = f(x) wordt niet uitgedrukt in termen van elementaire functies.

Beschouw de differentiatie van de functie die parametrisch wordt gegeven door vergelijkingen (2.2). De functie x = φ(t) op een bepaald veranderingsinterval t heeft een inverse functie t = Ф(x), dan y = g(Ф(x)). Laten x = φ(t), y = g(t) derivaten hebben, en x"t≠0. Volgens de regel van differentiatie van een complexe functie y"x=y"t×t"x. Op basis van de inverse functiedifferentiatieregel, dus:

De resulterende formule (2.6) maakt het mogelijk om de afgeleide te vinden voor een parametrisch gegeven functie.

Voorbeeld 4. Laat de functie ja, afhankelijk van x, wordt parametrisch ingesteld:

Oplossing. .
Voorbeeld 5 Vind helling k raaklijn aan de cycloïde in het punt M 0 dat overeenkomt met de waarde van de parameter.
Oplossing. Uit de cycloïde vergelijkingen: y" t = asint, x" t = a(1 - kosten), Dat is waarom

Helling van een raaklijn in een punt M0 gelijk aan de waarde bij t 0 \u003d π / 4:

FUNCTIE DIFFERENTIEEL

Laat de functie op een punt x0 heeft een afgeleide. Per definitie:
daarom door de eigenschappen van de limiet (Sec. 1.8) , waarbij a is oneindig klein in ∆x → 0. Vanaf hier

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2,7)

Als Δx → 0 is de tweede term in gelijkheid (2.7) een oneindig kleine hogere orde, in vergelijking met , daarom Δy en f "(x 0) × Δx zijn equivalent, oneindig klein (voor f "(x 0) ≠ 0).

De toename van de functie Δy bestaat dus uit twee termen, waarvan de eerste f "(x 0) × Δx is grootste deel verhoogt Δy, lineair ten opzichte van Δx (voor f "(x 0) ≠ 0).

differentieel de functie f(x) op het punt x 0 wordt het hoofddeel van de increment van de functie genoemd en wordt aangeduid als: verdorie of df(x0). Vervolgens,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2,8)

voorbeeld 1 Vind het differentieel van een functie verdorie en de toename van de functie Δy voor de functie y \u003d x 2 wanneer:
1) willekeurig x en x; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1.

Oplossing

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Als x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1, dan Δy \u003d 40 × 0.1 + (0.1) 2 \u003d 4.01; dy = 40×0,1= 4.

We schrijven gelijkheid (2.7) in de vorm:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

De toename Δy verschilt van het differentieel verdorie tot een oneindig kleine hogere orde, vergeleken met Δx, daarom wordt bij benaderingsberekeningen de geschatte gelijkheid Δy ≈ dy gebruikt als Δx voldoende klein is.

Gezien het feit dat Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), verkrijgen we een benaderende formule:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Voorbeeld 2. Bereken ongeveer.

Oplossing. Beschouwen:

Met formule (2.10) verkrijgen we:

Vandaar ≈ 2.025.

Overweeg de geometrische betekenis van het differentieel df(x0)(Afb. 2.6).

Teken een raaklijn aan de grafiek van de functie y = f (x) in het punt M 0 (x0, f (x 0)), zij φ de hoek tussen de raaklijn KM0 en de as Ox, dan is f "(x 0 ) = tgφ. Van ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). Maar PN is de toename van de raaklijn als x verandert van x 0 in x 0 + Δx.

Daarom is het differentieel van de functie f(x) in het punt x 0 gelijk aan de toename van de raaklijnordinaat.

Laten we het differentieel van de functie zoeken
y=x. Aangezien (x)" = 1, dan dx = 1 × Δx = Δx. We nemen aan dat het differentieel van de onafhankelijke variabele x gelijk is aan zijn increment, d.w.z. dx = Δx.

Als x een willekeurig getal is, dan krijgen we uit gelijkheid (2.8) df(x) = f "(x)dx, vanwaar .
Dus de afgeleide van de functie y = f(x) is gelijk aan de verhouding van zijn differentiaal tot het differentieel van het argument.

Beschouw de eigenschappen van het differentieel van een functie.

Als u(x), v(x) differentieerbare functies zijn, dan zijn de volgende formules waar:

Om deze formules te bewijzen, worden afgeleide formules voor de som, het product en het quotiënt gebruikt. Laten we bijvoorbeeld formule (2.12) bewijzen:

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Beschouw het differentieel van een complexe functie: y = f(x), x = φ(t), d.w.z. y = f(φ(t)).

Dan is dy = y" t dt, maar y" t = y" x ×x" t , dus dy =y" x x" t dt. Overwegen,

dat x" t = dx, we krijgen dy = y" x dx =f "(x)dx.

Dus het differentieel van een complexe functie y \u003d f (x), waarbij x \u003d φ (t), heeft de vorm dy \u003d f "(x) dx, hetzelfde als wanneer x een onafhankelijke variabele is. Deze eigenschap wordt genoemd vorm invariant differentieel a.

Span u niet in, ook in deze paragraaf is alles vrij eenvoudig. Je kunt de algemene formule van een parametrisch gegeven functie opschrijven, maar om het duidelijk te maken zal ik meteen een specifiek voorbeeld opschrijven. In parametrische vorm wordt de functie gegeven door twee vergelijkingen: . Vaak worden vergelijkingen niet onder accolades geschreven, maar achtereenvolgens:,.

Een variabele wordt een parameter genoemd en kan waarden aannemen van "min oneindig" tot "plus oneindig". Beschouw bijvoorbeeld de waarde en vervang deze in beide vergelijkingen: . Of menselijk: "als x gelijk is aan vier, dan is y gelijk aan één." U kunt een punt op het coördinatenvlak markeren en dit punt komt overeen met de waarde van de parameter. Op dezelfde manier kun je een punt vinden voor elke waarde van de parameter "te". Wat betreft de "gewone" functie, voor de Amerikaanse Indianen van een parametrisch gegeven functie, worden ook alle rechten gerespecteerd: je kunt een grafiek plotten, afgeleiden vinden, enzovoort. Trouwens, als het nodig is om een grafiek van een parametrisch gegeven functie te bouwen, download dan mijn geometrische programma op de pagina Wiskundige formules en tabellen.

In de eenvoudigste gevallen is het mogelijk om de functie expliciet weer te geven. We drukken de parameter uit van de eerste vergelijking: en vervang het in de tweede vergelijking: . Het resultaat is een gewone kubieke functie.

In meer "ernstige" gevallen werkt zo'n truc niet. Maar dit maakt niet uit, want er is een formule om de afgeleide van een parametrische functie te vinden:

We vinden de afgeleide van "de speler met betrekking tot de variabele te":

Alle differentiatieregels en de tabel met afgeleiden zijn natuurlijk geldig voor de letter , dus er is geen nieuwigheid in het proces van het vinden van derivaten. Vervang gewoon mentaal alle "x"-en in de tabel door de letter "te".

We vinden de afgeleide van "x met betrekking tot de variabele te":

Nu rest alleen nog de gevonden derivaten in onze formule te vervangen:

Klaar. De afgeleide is, net als de functie zelf, ook afhankelijk van de parameter .

Wat betreft de notatie, in plaats van in de formule te schrijven, zou men deze eenvoudig zonder subscript kunnen schrijven, aangezien dit de "gewone" afgeleide "van x" is. Maar er is altijd een variant in de literatuur, dus ik zal niet afwijken van de standaard.

Voorbeeld 6

We gebruiken de formule

In dit geval:

Op deze manier:

Een kenmerk van het vinden van de afgeleide van een parametrische functie is het feit dat: bij elke stap is het voordelig om het resultaat zo veel mogelijk te vereenvoudigen. Dus in het weloverwogen voorbeeld opende ik bij het vinden de haakjes onder de wortel (hoewel ik dit misschien niet had gedaan). Er is een grote kans dat bij het vervangen en in de formule veel dingen goed worden verminderd. Al zijn er natuurlijk voorbeelden met onhandige antwoorden.

Voorbeeld 7

Vind de afgeleide van een functie die parametrisch is gegeven

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld.

In het artikel De eenvoudigste typische problemen met een afgeleide we hebben voorbeelden bekeken waarin het nodig was om de tweede afgeleide van een functie te vinden. Voor een parametrisch gegeven functie kun je ook de tweede afgeleide vinden, en deze wordt gevonden met de volgende formule: . Het is vrij duidelijk dat om de tweede afgeleide te vinden, men eerst de eerste afgeleide moet vinden.

Voorbeeld 8

Vind de eerste en tweede afgeleiden van een functie die parametrisch is gegeven

Laten we eerst de eerste afgeleide zoeken.
We gebruiken de formule

In dit geval:

Vervangt de gevonden derivaten in de formule. Voor de eenvoud gebruiken we de trigonometrische formule:

Ik merkte dat bij het probleem van het vinden van de afgeleide van een parametrische functie, heel vaak, om te vereenvoudigen, men moet gebruiken trigonometrische formules . Onthoud ze of houd ze bij de hand, en mis de kans niet om elk tussenresultaat en antwoord te vereenvoudigen. Waarvoor? Nu moeten we de afgeleide nemen van , en dit is duidelijk beter dan de afgeleide van te vinden.

Laten we de tweede afgeleide zoeken.
We gebruiken de formule: .

Laten we eens kijken naar onze formule. De noemer is al gevonden in de vorige stap. Het blijft om de teller te vinden - de afgeleide van de eerste afgeleide met betrekking tot de variabele "te":

Het blijft om de formule te gebruiken:

Om het materiaal te consolideren, bied ik nog een paar voorbeelden voor een onafhankelijke oplossing.

Voorbeeld 9

Voorbeeld 10

Zoek en voor een functie die parametrisch is gedefinieerd

Wens je succes!

Ik hoop dat deze les nuttig was en dat je nu gemakkelijk afgeleiden van impliciete functies en parametrische functies kunt vinden

Oplossingen en antwoorden:

Voorbeeld 3: Oplossing:

Op deze manier:

Tot nu toe hebben we de vergelijkingen van lijnen op het vlak overwogen, die de huidige coördinaten van de punten van deze lijnen direct relateren. Er wordt echter vaak een andere manier gebruikt om de lijn te specificeren, waarbij de huidige coördinaten worden beschouwd als functies van een derde variabele.

Laat twee functies van een variabele gegeven worden

beschouwd voor dezelfde waarden van t. Dan komt elk van deze waarden van t overeen met een bepaalde waarde en een bepaalde waarde van y, en bijgevolg met een bepaald punt. Wanneer de variabele t alle waarden uit het functiedefinitiegebied (73) doorloopt, beschrijft het punt een lijn С in het vlak. Vergelijkingen (73) worden parametrische vergelijkingen van deze lijn genoemd en de variabele wordt een parameter genoemd.

Neem aan dat de functie een inverse functie heeft. Als we deze functie in de tweede van vergelijkingen (73) substitueren, krijgen we de vergelijking

y uitdrukken als een functie

Laten we afspreken dat deze functie parametrisch wordt gegeven door vergelijkingen (73). De overgang van deze vergelijkingen naar vergelijking (74) wordt de eliminatie van de parameter genoemd. Bij het beschouwen van parametrisch gedefinieerde functies is de uitsluiting van de parameter niet alleen niet noodzakelijk, maar ook niet altijd praktisch mogelijk.

In veel gevallen is het veel handiger, gegeven verschillende waarden van de parameter, om vervolgens, met behulp van formules (73), de corresponderende waarden van het argument en de functie y te berekenen.

Denk aan voorbeelden.

Voorbeeld 1. Laat een willekeurig punt van een cirkel zijn met het middelpunt op de oorsprong en straal R. De cartesiaanse coördinaten x en y van dit punt worden uitgedrukt in termen van zijn polaire straal en polaire hoek, die we hier aanduiden met t, als volgt ( zie hoofdstuk I, § 3, punt 3):

Vergelijkingen (75) worden parametrische vergelijkingen van de cirkel genoemd. De parameter daarin is de polaire hoek, die varieert van 0 tot.

Als vergelijkingen (75) worden gekwadrateerd en term voor term worden opgeteld, dan zal, vanwege de identiteit, de parameter worden geëlimineerd en de cirkelvergelijking in het Cartesiaanse coördinatensysteem worden verkregen, die twee elementaire functies definieert:

Elk van deze functies wordt parametrisch gespecificeerd door vergelijkingen (75), maar het bereik van parametervariaties voor deze functies is verschillend. Voor de eerste; de grafiek van deze functie is de bovenste halve cirkel. Voor de tweede functie is de grafiek de onderste halve cirkel.

Voorbeeld 2. Beschouw tegelijkertijd een ellips

en een cirkel met het middelpunt op de oorsprong en straal a (Fig. 138).

Aan elk punt M van de ellips associëren we een punt N van de cirkel, dat dezelfde abscis heeft als het punt M, en daarmee aan dezelfde kant van de Os-as ligt. De positie van het punt N, en dus het punt M, wordt volledig bepaald door de polaire hoek t van het punt. In dit geval krijgen we voor hun gemeenschappelijke abscis de volgende uitdrukking: x \u003d a. We vinden de ordinaat in het punt M uit de ellipsvergelijking:

Het teken is gekozen omdat de ordinaat in punt M en de ordinaat in punt N dezelfde tekens moeten hebben.

Zo worden de volgende parametervergelijkingen verkregen voor de ellips:

Hier verandert de parameter t van 0 in .

Voorbeeld 3. Beschouw een cirkel met een middelpunt op punt a) en straal a, die uiteraard de x-as raakt in de oorsprong (Fig. 139). Stel dat het deze cirkel is die rolt zonder te slippen langs de x-as. Dan beschrijft het punt M van de cirkel, dat op het eerste moment samenviel met de oorsprong, een lijn, die een cycloïde wordt genoemd.

We leiden de parametrische vergelijkingen van de cycloïde af, met als parameter t de rotatiehoek van de cirkel MSW bij het verplaatsen van zijn vaste punt van positie O naar positie M. Dan krijgen we voor de coördinaten en y van het punt M de volgende uitdrukkingen:

Doordat de cirkel langs de as rolt zonder te slippen, is de lengte van het segment OB gelijk aan de lengte van de boog VM. Aangezien de lengte van de VM-boog gelijk is aan het product van de straal a en de middelpuntshoek t, dan is . Dat is waarom . Maar daarom,

Deze vergelijkingen zijn de parametervergelijkingen van de cycloïde. Bij het veranderen van de parameter t van 0 naar de cirkel zal een volledige omwenteling worden gemaakt. Punt M zal één boog van de cycloïde beschrijven.

Het uitsluiten van de parameter t leidt hier tot omslachtige uitdrukkingen en is praktisch onpraktisch.

De parametrische definitie van lijnen wordt vooral veel gebruikt in de mechanica, en tijd speelt de rol van een parameter.

Voorbeeld 4. Laten we de baan bepalen van een projectiel dat wordt afgevuurd door een kanon met een beginsnelheid onder een hoek a met de horizon. Luchtweerstand en projectielafmetingen, gezien het als een materieel punt, worden verwaarloosd.

Laten we een coördinatensysteem kiezen. Voor de oorsprong van coördinaten nemen we het vertrekpunt van het projectiel uit de snuit. Laten we de Ox-as horizontaal richten en de Oy-as - verticaal, en ze in hetzelfde vlak plaatsen als de loop van het pistool. Als er geen zwaartekracht zou zijn, dan zou het projectiel langs een rechte lijn bewegen en een hoek a maken met de Os-as, en tegen de tijd t zou het projectiel de afstand hebben afgelegd. Vanwege de zwaartekracht van de aarde moet het projectiel op dit moment verticaal dalen met een waarde, daarom worden in werkelijkheid op het tijdstip t de coördinaten van het projectiel bepaald door de formules:

Deze vergelijkingen zijn constanten. Wanneer t verandert, veranderen ook de coördinaten van het projectieltrajectpunt. De vergelijkingen zijn parametrische vergelijkingen van het projectieltraject, waarbij de parameter tijd is

Uitdrukken vanuit de eerste vergelijking en deze vervangen in

de tweede vergelijking, we krijgen de vergelijking van het projectieltraject in de vorm Dit is de vergelijking van een parabool.

De afgeleide van een functie die impliciet wordt gegeven.
Afgeleide van een parametrisch gedefinieerde functie

In dit artikel zullen we nog twee typische taken bekijken die vaak worden aangetroffen in tests in hogere wiskunde. Om de stof goed onder de knie te krijgen, is het noodzakelijk om op zijn minst op een gemiddeld niveau afgeleiden te kunnen vinden. U kunt leren hoe u praktisch vanaf nul afgeleiden kunt vinden in twee basislessen en: Afgeleide van een complexe functie. Als alles in orde is met differentiatievaardigheden, dan gaan we.

Afgeleide van een functie die impliciet is gedefinieerd

Of, kortom, de afgeleide van een impliciete functie. Wat is een impliciete functie? Laten we eerst de definitie van een functie van één variabele herinneren:

Functie van één variabele is de regel dat elke waarde van de onafhankelijke variabele overeenkomt met één en slechts één waarde van de functie.

De variabele heet onafhankelijke variabele of argument.
De variabele heet afhankelijke variabele of functie .

Tot nu toe hebben we functies beschouwd die zijn gedefinieerd in expliciet het formulier. Wat betekent het? Laten we een debriefing regelen over specifieke voorbeelden.

Overweeg de functie

We zien dat we aan de linkerkant een eenzame "y" hebben, en aan de rechterkant - alleen x'en. Dat wil zeggen, de functie uitdrukkelijk uitgedrukt in termen van de onafhankelijke variabele .

Laten we een andere functie bekijken:

Hier bevinden de variabelen en zich "gemengd". En op geen enkele manier onmogelijk druk "Y" alleen uit via "X". Wat zijn deze methoden? Termen van deel naar deel overbrengen met een verandering van teken, haakjes, werpfactoren volgens de regel van verhoudingen, enz. Herschrijf de gelijkheid en probeer "y" expliciet uit te drukken:. Je kunt de vergelijking urenlang draaien en draaien, maar je zult niet slagen.

Sta mij toe om te introduceren: - een voorbeeld impliciete functie.

In de loop van wiskundige analyse werd bewezen dat de impliciete functie bestaat(maar niet altijd), het heeft een grafiek (net als een "normale" functie). Hetzelfde geldt voor een impliciete functie. bestaat eerste afgeleide, tweede afgeleide, enz. Zoals ze zeggen, worden alle rechten van seksuele minderheden gerespecteerd.

En in deze les zullen we leren hoe we de afgeleide van een impliciet gegeven functie kunnen vinden. Het is niet zo moeilijk! Alle differentiatieregels, de tabel met afgeleiden van elementaire functies blijven van kracht. Het verschil zit in een bijzonder punt, dat we nu zullen bespreken.

Ja, en ik zal je het goede nieuws vertellen - de hieronder besproken taken worden uitgevoerd volgens een nogal rigide en duidelijk algoritme zonder een steen voor drie sporen.

voorbeeld 1

1) In de eerste fase hangen we streken op beide delen:

2) We gebruiken de regels van lineariteit van de afgeleide (de eerste twee regels van de les) Hoe de afgeleide te vinden? Voorbeelden van oplossingen):

3) Directe differentiatie.
Hoe te onderscheiden en volledig begrijpelijk. Wat te doen als er "games" onder de slagen zijn?

- gewoon om te schande te maken, de afgeleide van een functie is gelijk aan zijn afgeleide: .

Hoe te differentiëren?
Hier hebben we complexe functie. Waarom? Het lijkt erop dat er onder de sinus slechts één letter "Y" staat. Maar het feit is dat slechts één letter "y" - IS EEN FUNCTIE OP ZICH(zie de definitie aan het begin van de les). Dus de sinus is een externe functie, is een interne functie. We gebruiken de regel van differentiatie van een complexe functie :

Het product is differentieerbaar volgens de gebruikelijke regel :

Merk op dat is ook een complexe functie, elke "twist toy" is een complexe functie:

Het ontwerp van de oplossing zelf zou er ongeveer zo uit moeten zien:

Als er haakjes zijn, open ze dan:

4) Aan de linkerkant verzamelen we de termen waarin er een "y" staat met een streep. Aan de rechterkant - we dragen al het andere over:

5) Aan de linkerkant nemen we de afgeleide tussen haakjes:

6) En volgens de verhoudingsregel laten we deze haakjes in de noemer van de rechterkant vallen:

De afgeleide is gevonden. Klaar.

Het is interessant om op te merken dat elke functie impliciet kan worden herschreven. Bijvoorbeeld de functie kan als volgt worden herschreven: . En onderscheid het volgens het zojuist overwogen algoritme. In feite verschillen de uitdrukkingen "impliciete functie" en "impliciete functie" in één semantische nuance. De uitdrukking "impliciet gedefinieerde functie" is algemener en correcter, - deze functie wordt impliciet gegeven, maar hier kun je "y" uitdrukken en de functie expliciet presenteren. De uitdrukking "impliciete functie" betekent een "klassieke" impliciete functie, wanneer "y" niet kan worden uitgedrukt.

De tweede manier om op te lossen

Aandacht! U kunt alleen vertrouwd raken met de tweede methode als u weet hoe u met vertrouwen kunt vinden partiële afgeleiden. Calculus-beginners en -dummies alstublieft deze paragraaf niet lezen en overslaan, anders wordt het hoofd een complete puinhoop.

Vind de afgeleide van de impliciete functie op de tweede manier.

We verplaatsen alle termen naar de linkerkant:

En beschouw een functie van twee variabelen:

Dan kan onze afgeleide worden gevonden door de formule
Laten we partiële afgeleiden vinden:

Op deze manier:

Met de tweede oplossing kunt u een controle uitvoeren. Maar het is onwenselijk om voor hen een definitieve versie van de taak op te stellen, aangezien partiële afgeleiden later onder de knie worden en een student die het onderwerp "Afgeleide van een functie van één variabele" bestudeert, geen partiële afgeleiden zou moeten kennen.

Laten we nog een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 2

Vind de afgeleide van een functie die impliciet is gegeven

We hangen streken op beide delen:

We gebruiken de regels van lineariteit:

Afgeleiden vinden:

Alle haakjes uitvouwen:

We verplaatsen alle termen met naar de linkerkant, de rest - naar de rechterkant:

Definitieve antwoord:

Voorbeeld 3

Vind de afgeleide van een functie die impliciet is gegeven

Volledige oplossing en ontwerpvoorbeeld aan het einde van de les.

Het is niet ongebruikelijk dat breuken verschijnen na differentiatie. In dergelijke gevallen moeten fracties worden weggegooid. Laten we nog twee voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 4

Vind de afgeleide van een functie die impliciet is gegeven

We besluiten beide delen onder streep en gebruiken de lineariteitsregel:

We differentiëren met behulp van de regel van differentiatie van een complexe functie en de regel van differentiatie van het quotiënt :

De haakjes uitbreiden:

Nu moeten we de breuk wegwerken. Dit kan later worden gedaan, maar het is rationeler om het meteen te doen. De noemer van de breuk is . Vermenigvuldigen op de . In detail zal het er als volgt uitzien:

Soms verschijnen er na differentiatie 2-3 breuken. Als we bijvoorbeeld nog een breuk zouden hebben, dan zou de bewerking herhaald moeten worden - vermenigvuldigen elke term van elk deel op de

Aan de linkerkant zetten we het tussen haakjes:

Definitieve antwoord:

Voorbeeld 5

Vind de afgeleide van een functie die impliciet is gegeven

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Het enige dat erin zit, is dat je, voordat je de breuk wegdoet, eerst de drie verdiepingen tellende structuur van de breuk zelf moet verwijderen. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Afgeleide van een parametrisch gedefinieerde functie

De variabele wordt een parameter genoemd en kan waarden aannemen van "min oneindig" tot "plus oneindig". Beschouw bijvoorbeeld de waarde en vervang deze in beide vergelijkingen: . Of menselijk: "als x gelijk is aan vier, dan is y gelijk aan één." U kunt een punt op het coördinatenvlak markeren en dit punt komt overeen met de waarde van de parameter. Op dezelfde manier kun je een punt vinden voor elke waarde van de parameter "te". Wat betreft de "gewone" functie, voor de Amerikaanse Indianen van een parametrisch gegeven functie, worden ook alle rechten gerespecteerd: je kunt een grafiek plotten, afgeleiden vinden, enzovoort. Trouwens, als het nodig is om een grafiek van een parametrisch gegeven functie te bouwen, kun je mijn programma gebruiken.

In meer "ernstige" gevallen werkt zo'n truc niet. Maar dit maakt niet uit, want er is een formule om de afgeleide van een parametrische functie te vinden:

We vinden de afgeleide van "de speler met betrekking tot de variabele te":

We vinden de afgeleide van "x met betrekking tot de variabele te":

Nu rest alleen nog de gevonden derivaten in onze formule te vervangen:

Klaar. De afgeleide is, net als de functie zelf, ook afhankelijk van de parameter .

Voorbeeld 6

We gebruiken de formule

In dit geval:

Op deze manier:

Voorbeeld 7

Vind de afgeleide van een functie die parametrisch is gegeven

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld.

Voorbeeld 8

Vind de eerste en tweede afgeleiden van een functie die parametrisch is gegeven

Laten we eerst de eerste afgeleide zoeken.
We gebruiken de formule

In dit geval:

We vervangen de gevonden afgeleiden in de formule. Voor de eenvoud gebruiken we de trigonometrische formule:

Afgeleide met online parameter. Afgeleide van een parametrisch gedefinieerde functie

De afgeleide van een functie die impliciet wordt gegeven. Afgeleide van een parametrisch gedefinieerde functie

Afgeleide van een functie die impliciet is gedefinieerd

Afgeleide van een parametrisch gedefinieerde functie

De afgeleide van een functie die impliciet wordt gegeven.
Afgeleide van een parametrisch gedefinieerde functie