Een matrix oplossen met behulp van de uitleg van de Gauss-methode. Gaussische methode (sequentiële eliminatie van onbekenden)

1. Systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen

1.1 Het concept van een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen

Een stelsel vergelijkingen is een voorwaarde die bestaat uit de gelijktijdige uitvoering van meerdere vergelijkingen met betrekking tot meerdere variabelen. Een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen (hierna SLAE genoemd) dat m vergelijkingen en n onbekenden bevat, wordt een systeem van de vorm genoemd:

waar getallen a ij systeemcoëfficiënten worden genoemd, worden getallen b i vrije termen genoemd, een ij En b ik(i=1,…, m; b=1,…, n) vertegenwoordigen enkele bekende getallen, en x 1 ,…, x n- onbekend. Bij de aanduiding van coëfficiënten een ij de eerste index i geeft het nummer van de vergelijking aan, en de tweede j is het nummer van het onbekende waarbij deze coëfficiënt staat. De getallen x n moeten gevonden worden. Het is handig om zo'n systeem in een compacte matrixvorm te schrijven: BIJL=B. Hier is A de matrix van systeemcoëfficiënten, de hoofdmatrix genoemd;

Het product van matrices A*X wordt gedefinieerd, aangezien er evenveel kolommen in matrix A zijn als er rijen zijn in matrix X (n stuks).

De uitgebreide matrix van een systeem is de matrix A van het systeem, aangevuld met een kolom met vrije termen

1.2 Een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen

De oplossing voor een systeem van vergelijkingen is een geordende reeks getallen (waarden van variabelen). Wanneer je ze vervangt in plaats van variabelen, verandert elk van de vergelijkingen van het systeem in een echte gelijkheid.

Een oplossing voor een systeem bestaat uit n waarden van de onbekenden x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, bij vervanging hiervan worden alle vergelijkingen van het systeem echte gelijkheden. Elke oplossing voor het systeem kan als een kolommatrix worden geschreven

Een stelsel vergelijkingen wordt consistent genoemd als het ten minste één oplossing heeft, en inconsistent als het geen enkele oplossing heeft.

Van een consistent systeem wordt gezegd dat het bepaald is als het één enkele oplossing heeft, en onbepaald als het meer dan één oplossing heeft. In het laatste geval wordt elk van zijn oplossingen een specifieke oplossing van het systeem genoemd. De verzameling van alle specifieke oplossingen wordt de algemene oplossing genoemd.

Het oplossen van een systeem betekent uitzoeken of het compatibel of inconsistent is. Als het systeem consistent is, zoek dan de algemene oplossing.

Twee systemen worden equivalent (equivalent) genoemd als ze dezelfde algemene oplossing hebben. Met andere woorden: systemen zijn gelijkwaardig als elke oplossing van de ene oplossing een oplossing is van de andere, en omgekeerd.

Een transformatie waarvan de toepassing een systeem verandert in een nieuw systeem dat gelijkwaardig is aan het oorspronkelijke systeem, wordt een equivalente of gelijkwaardige transformatie genoemd. Voorbeelden van equivalente transformaties zijn onder meer de volgende transformaties: het uitwisselen van twee vergelijkingen van een systeem, het uitwisselen van twee onbekenden samen met de coëfficiënten van alle vergelijkingen, het vermenigvuldigen van beide zijden van een vergelijking van een systeem met een getal dat niet nul is.

Een systeem van lineaire vergelijkingen wordt homogeen genoemd als alle vrije termen gelijk zijn aan nul:

Een homogeen systeem is altijd consistent, aangezien x1=x2=x3=…=xn=0 een oplossing van het systeem is. Deze oplossing wordt nul of triviaal genoemd.

2. Gaussiaanse eliminatiemethode

2.1 De essentie van de Gaussische eliminatiemethode

De klassieke methode voor het oplossen van systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen is de methode van opeenvolgende eliminatie van onbekenden - Gaussische methode(het wordt ook de Gaussiaanse eliminatiemethode genoemd). Dit is een methode voor de opeenvolgende eliminatie van variabelen, waarbij met behulp van elementaire transformaties een systeem van vergelijkingen wordt gereduceerd tot een equivalent systeem met een stapvorm (of driehoekige vorm), waaruit alle andere variabelen opeenvolgend worden gevonden, te beginnen met de laatste (door aantal) variabelen.

Het oplossingsproces met behulp van de Gauss-methode bestaat uit twee fasen: voorwaartse en achterwaartse bewegingen.

1. Directe slag.

In de eerste fase wordt de zogenaamde directe beweging uitgevoerd, wanneer het systeem door middel van elementaire transformaties over de rijen in een getrapte of driehoekige vorm wordt gebracht, of wordt vastgesteld dat het systeem incompatibel is. Selecteer namelijk onder de elementen van de eerste kolom van de matrix een niet-nul, verplaats deze naar de bovenste positie door de rijen opnieuw te rangschikken en trek de resulterende eerste rij af van de resterende rijen na de herschikking, vermenigvuldig deze met een waarde gelijk aan de verhouding van het eerste element van elk van deze rijen tot het eerste element van de eerste rij, waardoor de kolom eronder op nul wordt gezet.

Nadat de aangegeven transformaties zijn voltooid, worden de eerste rij en de eerste kolom mentaal doorgestreept en voortgezet totdat er een matrix van nulgrootte overblijft. Als er bij welke iteratie dan ook geen element anders dan nul is tussen de elementen van de eerste kolom, ga dan naar de volgende kolom en voer een soortgelijke bewerking uit.

In de eerste fase (directe slag) wordt het systeem teruggebracht tot een getrapte (in het bijzonder driehoekige) vorm.

Het onderstaande systeem heeft een stapsgewijze vorm:

Coëfficiënten aii worden de belangrijkste (leidende) elementen van het systeem genoemd.

Laten we het systeem transformeren door de onbekende x1 in alle vergelijkingen te elimineren, behalve de eerste (met behulp van elementaire transformaties van het systeem). Om dit te doen, vermenigvuldigt u beide zijden van de eerste vergelijking met

Als we dit proces voortzetten, verkrijgen we een gelijkwaardig systeem:

Bij de eerste stap worden dus alle coëfficiënten die onder het eerste leidende element a 11 liggen vernietigd

Als er tijdens het proces van het reduceren van het systeem tot een stapsgewijze vorm nulvergelijkingen verschijnen, d.w.z. gelijkheden van de vorm 0=0, deze worden weggegooid. Als er een vergelijking van de vorm verschijnt

Dit is waar de directe voortgang van de methode van Gauss eindigt.

2. Omgekeerde slag.

In de tweede fase wordt de zogenaamde omgekeerde beweging uitgevoerd, waarvan de essentie is om alle resulterende basisvariabelen uit te drukken in termen van niet-basisvariabelen en een fundamenteel systeem van oplossingen op te bouwen, of, als alle variabelen basisvariabelen zijn, , druk dan numeriek de enige oplossing voor het systeem van lineaire vergelijkingen uit.

Deze procedure begint met de laatste vergelijking, waaruit de overeenkomstige basisvariabele wordt uitgedrukt (er zit er maar één in) en vervangen door de voorgaande vergelijkingen, enzovoort, waarbij de “stappen” omhoog gaan.

Elke regel komt overeen met precies één basisvariabele, dus bij elke stap behalve de laatste (bovenste) herhaalt de situatie precies het geval van de laatste regel.

Let op: in de praktijk is het handiger om niet met het systeem te werken, maar met zijn uitgebreide matrix, waarbij alle elementaire transformaties op zijn rijen worden uitgevoerd. Het is handig als de coëfficiënt a11 gelijk is aan 1 (herschik de vergelijkingen, of deel beide zijden van de vergelijking door a11).

2.2 Voorbeelden van het oplossen van SLAE's met behulp van de Gaussiaanse methode

In deze sectie zullen we aan de hand van drie verschillende voorbeelden laten zien hoe de Gaussische methode SLAE's kan oplossen.

Voorbeeld 1. Los een SLAE van de 3e orde op.

Laten we de coëfficiënten opnieuw instellen op

Gauss-methode perfect voor het oplossen van systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen (SLAE's). Het heeft een aantal voordelen ten opzichte van andere methoden:

• ten eerste is het niet nodig om eerst het systeem van vergelijkingen op consistentie te onderzoeken;
• ten tweede kan de Gauss-methode niet alleen SLAE's oplossen waarin het aantal vergelijkingen samenvalt met het aantal onbekende variabelen en de hoofdmatrix van het systeem niet-singulier is, maar ook stelsels vergelijkingen waarin het aantal vergelijkingen niet samenvalt met het aantal onbekende variabelen of de determinant van de hoofdmatrix is ​​gelijk aan nul;
• ten derde leidt de Gaussische methode tot resultaten met een relatief klein aantal rekenbewerkingen.

Kort overzicht van het artikel.

Eerst geven we de nodige definities en introduceren we notaties.

Vervolgens zullen we het algoritme van de Gauss-methode beschrijven voor het eenvoudigste geval, dat wil zeggen voor systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen, waarbij het aantal vergelijkingen samenvalt met het aantal onbekende variabelen en de determinant van de hoofdmatrix van het systeem is niet gelijk aan nul. Bij het oplossen van dergelijke stelsels vergelijkingen is de essentie van de Gauss-methode het duidelijkst zichtbaar, namelijk de opeenvolgende eliminatie van onbekende variabelen. Daarom wordt de Gaussische methode ook wel de methode voor de sequentiële eliminatie van onbekenden genoemd. We zullen gedetailleerde oplossingen van verschillende voorbeelden laten zien.

Concluderend zullen we de oplossing bekijken door de Gauss-methode van systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen, waarvan de hoofdmatrix rechthoekig of enkelvoudig is. De oplossing voor dergelijke systemen heeft enkele kenmerken, die we aan de hand van voorbeelden in detail zullen onderzoeken.

Paginanavigatie.

Basisdefinities en notaties.

Beschouw een systeem van p lineaire vergelijkingen met n onbekenden (p kan gelijk zijn aan n):

Waar zijn onbekende variabelen, zijn getallen (reëel of complex) en zijn vrije termen.

Als , dan wordt het systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen genoemd homogeen, anders - heterogeen.

De reeks waarden van onbekende variabelen waarvoor alle vergelijkingen van het systeem identiteiten worden, wordt aangeroepen beslissing van de SLAU.

Als er ten minste één oplossing is voor een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen, wordt deze genoemd gewricht, anders - niet-gezamenlijk.

Als een SLAE een unieke oplossing heeft, wordt deze aangeroepen zeker. Als er meer dan één oplossing is, wordt het systeem aangeroepen onzeker.

Ze zeggen dat het systeem is geschreven coördinaat vorm, als het de vorm heeft
.

Dit systeem erin matrixvorm records heeft de vorm , waar - de hoofdmatrix van de SLAE, - de matrix van de kolom met onbekende variabelen, - de matrix met vrije termen.

Als we een matrixkolom met vrije termen aan matrix A toevoegen als de (n+1)de kolom, krijgen we de zogenaamde uitgebreide matrix systemen van lineaire vergelijkingen. Meestal wordt een uitgebreide matrix aangegeven met de letter T, en wordt de kolom met vrije termen gescheiden door een verticale lijn van de overige kolommen, dat wil zeggen:

De vierkante matrix A wordt genoemd ontaarden, als de determinant nul is. Als , dan wordt matrix A aangeroepen niet-gedegenereerd.

Het volgende punt moet worden opgemerkt.

Als je de volgende acties uitvoert met een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen

• verwissel twee vergelijkingen,
• vermenigvuldig beide zijden van een vergelijking met een willekeurig en niet-nul reëel (of complex) getal k,
• voeg aan beide zijden van een vergelijking de overeenkomstige delen van een andere vergelijking toe, vermenigvuldigd met een willekeurig getal k,

dan krijg je een gelijkwaardig systeem dat dezelfde oplossingen heeft (of, net als het origineel, geen oplossingen heeft).

Voor een uitgebreide matrix van een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen betekenen deze acties het uitvoeren van elementaire transformaties met de rijen:

• twee lijnen verwisselen,
• het vermenigvuldigen van alle elementen van een willekeurige rij matrix T met een getal k dat niet nul is,
• het toevoegen aan de elementen van een rij van een matrix van de overeenkomstige elementen van een andere rij, vermenigvuldigd met een willekeurig getal k.

Nu kunnen we doorgaan met de beschrijving van de Gauss-methode.

Systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen, waarbij het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekenden en de hoofdmatrix van het systeem niet-singulier is, met behulp van de Gauss-methode.

Wat zouden we op school doen als we de taak kregen een oplossing te vinden voor een stelsel vergelijkingen? .

Sommigen zouden dat doen.

Merk op dat door de linkerkant van de eerste op te tellen bij de linkerkant van de tweede vergelijking, en de rechterkant bij de rechterkant, je de onbekende variabelen x 2 en x 3 kunt wegwerken en meteen x 1 kunt vinden:

We vervangen de gevonden waarde x 1 =1 in de eerste en derde vergelijkingen van het systeem:

Als we beide zijden van de derde vergelijking van het systeem met -1 vermenigvuldigen en ze optellen bij de overeenkomstige delen van de eerste vergelijking, verwijderen we de onbekende variabele x 3 en kunnen we x 2 vinden:

We vervangen de resulterende waarde x 2 = 2 in de derde vergelijking en vinden de resterende onbekende variabele x 3:

Anderen zouden het anders hebben gedaan.

Laten we de eerste vergelijking van het systeem oplossen met betrekking tot de onbekende variabele x 1 en de resulterende uitdrukking vervangen door de tweede en derde vergelijkingen van het systeem om deze variabele daarvan uit te sluiten:

Laten we nu de tweede vergelijking van het systeem oplossen voor x 2 en het verkregen resultaat vervangen door de derde vergelijking om de onbekende variabele x 2 eruit te elimineren:

Uit de derde vergelijking van het systeem wordt duidelijk dat x 3 =3. Uit de tweede vergelijking vinden we , en uit de eerste vergelijking krijgen we .

Bekende oplossingen, toch?

Het meest interessante hier is dat de tweede oplossingsmethode in wezen de methode is van opeenvolgende eliminatie van onbekenden, dat wil zeggen de Gaussische methode. Toen we de onbekende variabelen uitdrukten (eerst x 1, in de volgende fase x 2) en deze in de resterende vergelijkingen van het systeem substitueerden, sloten we ze daarbij uit. We voerden eliminatie uit totdat er nog maar één onbekende variabele over was in de laatste vergelijking. Het proces van het opeenvolgend elimineren van onbekenden wordt genoemd directe Gaussische methode. Nadat we de voorwaartse beweging hebben voltooid, hebben we de mogelijkheid om de onbekende variabele in de laatste vergelijking te berekenen. Met zijn hulp vinden we de volgende onbekende variabele uit de voorlaatste vergelijking, enzovoort. Het proces van het opeenvolgend vinden van onbekende variabelen terwijl je van de laatste vergelijking naar de eerste gaat, wordt genoemd inverse van de Gaussische methode.

Opgemerkt moet worden dat wanneer we x 1 uitdrukken in termen van x 2 en x 3 in de eerste vergelijking, en de resulterende uitdrukking vervolgens vervangen door de tweede en derde vergelijking, de volgende acties tot hetzelfde resultaat leiden:

Een dergelijke procedure maakt het inderdaad ook mogelijk om de onbekende variabele x 1 uit de tweede en derde vergelijking van het systeem te elimineren:

Nuances met de eliminatie van onbekende variabelen met behulp van de Gauss-methode ontstaan ​​wanneer de vergelijkingen van het systeem bepaalde variabelen niet bevatten.

Bijvoorbeeld in SLAU in de eerste vergelijking is er geen onbekende variabele x 1 (met andere woorden, de coëfficiënt ervoor is nul). Daarom kunnen we de eerste vergelijking van het systeem voor x 1 niet oplossen om deze onbekende variabele uit de resterende vergelijkingen te elimineren. De uitweg uit deze situatie is door de vergelijkingen van het systeem om te wisselen. Omdat we systemen van lineaire vergelijkingen overwegen waarvan de determinanten van de hoofdmatrices verschillend zijn van nul, is er altijd een vergelijking waarin de variabele die we nodig hebben aanwezig is, en we kunnen deze vergelijking herschikken naar de positie die we nodig hebben. Voor ons voorbeeld is het voldoende om de eerste en tweede vergelijkingen van het systeem om te wisselen , dan kun je de eerste vergelijking voor x 1 oplossen en deze uitsluiten van de overige vergelijkingen van het systeem (hoewel x 1 niet langer aanwezig is in de tweede vergelijking).

We hopen dat je de essentie begrijpt.

Laten we beschrijven Gauss-methode-algoritme.

Stel dat we een systeem van n lineaire algebraïsche vergelijkingen moeten oplossen met n onbekende variabelen van de vorm , en laat de determinant van de hoofdmatrix verschillend zijn van nul.

We gaan ervan uit dat , omdat we dit altijd kunnen bereiken door de vergelijkingen van het systeem te herschikken. Laten we de onbekende variabele x 1 uit alle vergelijkingen van het systeem elimineren, te beginnen met de tweede. Om dit te doen, voegen we aan de tweede vergelijking van het systeem de eerste toe, vermenigvuldigd met , aan de derde vergelijking voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met , enzovoort, aan de n-de vergelijking voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met . Het systeem van vergelijkingen na dergelijke transformaties zal de vorm aannemen

waar en .

We zouden tot hetzelfde resultaat zijn gekomen als we x 1 hadden uitgedrukt in termen van andere onbekende variabelen in de eerste vergelijking van het systeem en de resulterende uitdrukking in alle andere vergelijkingen hadden vervangen. De variabele x 1 wordt dus uitgesloten van alle vergelijkingen, te beginnen vanaf de tweede.

Vervolgens gaan we op een vergelijkbare manier te werk, maar alleen met een deel van het resulterende systeem, dat in de figuur is gemarkeerd

Om dit te doen, voegen we aan de derde vergelijking van het systeem de tweede toe, vermenigvuldigd met , aan de vierde vergelijking voegen we de tweede toe, vermenigvuldigd met , enzovoort, aan de n-de vergelijking voegen we de tweede toe, vermenigvuldigd met . Het systeem van vergelijkingen na dergelijke transformaties zal de vorm aannemen

waar en . De variabele x 2 wordt dus uitgesloten van alle vergelijkingen, te beginnen vanaf de derde.

Vervolgens gaan we verder met het elimineren van de onbekende x 3, terwijl we op dezelfde manier handelen met het deel van het systeem dat in de figuur is gemarkeerd

We zetten dus de directe voortgang van de Gaussische methode voort totdat het systeem de vorm aanneemt

Vanaf dit moment beginnen we met het omgekeerde van de Gauss-methode: we berekenen x n uit de laatste vergelijking als , met behulp van de verkregen waarde van x n vinden we x n-1 uit de voorlaatste vergelijking, enzovoort, we vinden x 1 uit de eerste vergelijking .

Laten we het algoritme bekijken aan de hand van een voorbeeld.

Voorbeeld.

Gauss-methode.

Oplossing.

De coëfficiënt a 11 is niet nul, dus laten we overgaan tot de directe progressie van de Gaussische methode, dat wil zeggen met uitsluiting van de onbekende variabele x 1 uit alle vergelijkingen van het systeem behalve de eerste. Om dit te doen, voegt u aan de linker- en rechterkant van de tweede, derde en vierde vergelijking de linker- en rechterkant van de eerste vergelijking toe, respectievelijk vermenigvuldigd met . En :

De onbekende variabele x 1 is geëlimineerd, laten we verder gaan met het elimineren van x 2 . Aan de linker- en rechterkant van de derde en vierde vergelijking van het systeem voegen we de linker- en rechterkant van de tweede vergelijking toe, respectievelijk vermenigvuldigd met En :

Om de voorwaartse voortgang van de Gaussische methode te voltooien, moeten we de onbekende variabele x 3 uit de laatste vergelijking van het systeem elimineren. Laten we aan de linker- en rechterkant van de vierde vergelijking respectievelijk de linker- en rechterkant van de derde vergelijking optellen, vermenigvuldigd met :

U kunt beginnen met het omgekeerde van de Gaussiaanse methode.

Uit de laatste vergelijking die we hebben ,
uit de derde vergelijking die we krijgen,
vanaf de tweede,
vanaf de eerste.

Om dit te controleren, kunt u de verkregen waarden van de onbekende variabelen vervangen door het oorspronkelijke systeem van vergelijkingen. Alle vergelijkingen veranderen in identiteiten, wat aangeeft dat de oplossing met behulp van de Gauss-methode correct is gevonden.

Antwoord:

Laten we nu een oplossing geven voor hetzelfde voorbeeld met behulp van de Gauss-methode in matrixnotatie.

Voorbeeld.

Vind de oplossing van het stelsel vergelijkingen Gauss-methode.

Oplossing.

De uitgebreide matrix van het systeem heeft de vorm . Bovenaan elke kolom staan ​​de onbekende variabelen die overeenkomen met de elementen van de matrix.

De directe benadering van de Gaussische methode omvat hier het reduceren van de uitgebreide matrix van het systeem tot een trapeziumvorm met behulp van elementaire transformaties. Dit proces is vergelijkbaar met de eliminatie van onbekende variabelen die we hebben uitgevoerd met het systeem in coördinatenvorm. Nu zul je dit zien.

Laten we de matrix zo transformeren dat alle elementen in de eerste kolom, beginnend bij de tweede, nul worden. Om dit te doen, voegen we aan de elementen van de tweede, derde en vierde regel de overeenkomstige elementen van de eerste regel toe, vermenigvuldigd met , en dienovereenkomstig:

Vervolgens transformeren we de resulterende matrix zodat in de tweede kolom alle elementen, beginnend bij de derde, nul worden. Dit zou overeenkomen met het elimineren van de onbekende variabele x 2 . Om dit te doen, voegen we aan de elementen van de derde en vierde rij de overeenkomstige elementen van de eerste rij van de matrix toe, vermenigvuldigd met respectievelijk En :

Rest ons nog de onbekende variabele x 3 uit te sluiten van de laatste vergelijking van het systeem. Om dit te doen, voegen we aan de elementen van de laatste rij van de resulterende matrix de overeenkomstige elementen van de voorlaatste rij toe, vermenigvuldigd met :

Opgemerkt moet worden dat deze matrix overeenkomt met een systeem van lineaire vergelijkingen

die eerder werd verkregen na een voorwaartse beweging.

Het is tijd om terug te keren. Bij matrixnotatie houdt het omgekeerde van de Gauss-methode in dat de resulterende matrix zodanig wordt getransformeerd dat de matrix die in de figuur is gemarkeerd

werd diagonaal, dat wil zeggen, nam de vorm aan

waar zijn enkele cijfers.

Deze transformaties zijn vergelijkbaar met de voorwaartse transformaties van de Gauss-methode, maar worden niet uitgevoerd van de eerste regel naar de laatste, maar van de laatste naar de eerste.

Voeg aan de elementen van de derde, tweede en eerste regel de overeenkomstige elementen van de laatste regel toe, vermenigvuldigd met , steeds maar door respectievelijk:

Voeg nu aan de elementen van de tweede en eerste regel de overeenkomstige elementen van de derde regel toe, respectievelijk vermenigvuldigd met en met:

Bij de laatste stap van de omgekeerde Gauss-methode voegen we aan de elementen van de eerste rij de overeenkomstige elementen van de tweede rij toe, vermenigvuldigd met:

De resulterende matrix komt overeen met het systeem van vergelijkingen , vanwaar we de onbekende variabelen vinden.

Antwoord:

OPMERKING.

Wanneer de Gauss-methode wordt gebruikt om stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen op te lossen, moeten benaderende berekeningen worden vermeden, omdat dit tot volledig onjuiste resultaten kan leiden. Wij raden u aan decimalen niet af te ronden. Het is beter om van decimale breuken naar gewone breuken te gaan.

Voorbeeld.

Los een stelsel van drie vergelijkingen op met behulp van de Gauss-methode .

Oplossing.

Merk op dat in dit voorbeeld de onbekende variabelen een andere aanduiding hebben (niet x 1, x 2, x 3, maar x, y, z). Laten we verder gaan met gewone breuken:

Laten we de onbekende x uitsluiten van de tweede en derde vergelijkingen van het systeem:

In het resulterende systeem ontbreekt de onbekende variabele y in de tweede vergelijking, maar y is wel aanwezig in de derde vergelijking. Laten we daarom de tweede en derde vergelijking omwisselen:

Hiermee is de directe voortgang van de Gauss-methode voltooid (het is niet nodig om y uit te sluiten van de derde vergelijking, aangezien deze onbekende variabele niet langer bestaat).

Laten we beginnen met de omgekeerde beweging.

Uit de laatste vergelijking die we vinden ,
van de voorlaatste


uit de eerste vergelijking die we hebben

Antwoord:

X = 10, y = 5, z = -20.

Systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen waarbij het aantal vergelijkingen niet samenvalt met het aantal onbekenden of de hoofdmatrix van het systeem singulier is, met behulp van de Gauss-methode.

Stelsels van vergelijkingen waarvan de hoofdmatrix rechthoekig of vierkant enkelvoud is, kunnen geen oplossingen hebben, kunnen één enkele oplossing hebben, of kunnen een oneindig aantal oplossingen hebben.

Nu zullen we begrijpen hoe de Gauss-methode ons in staat stelt de compatibiliteit of inconsistentie van een systeem van lineaire vergelijkingen vast te stellen, en in het geval van compatibiliteit alle oplossingen (of één enkele oplossing) te bepalen.

In principe blijft het proces van het elimineren van onbekende variabelen bij dergelijke SLAE's hetzelfde. Het is echter de moeite waard om gedetailleerd in te gaan op sommige situaties die zich kunnen voordoen.

Laten we verder gaan naar de belangrijkste fase.

Laten we dus aannemen dat het systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen, na voltooiing van de voorwaartse progressie van de Gauss-methode, de vorm aanneemt en er werd geen enkele vergelijking gereduceerd tot (in dit geval zouden we concluderen dat het systeem incompatibel is). Een logische vraag rijst: "Wat nu te doen"?

Laten we de onbekende variabelen opschrijven die op de eerste plaats komen in alle vergelijkingen van het resulterende systeem:

In ons voorbeeld zijn dit x 1, x 4 en x 5. Aan de linkerkant van de vergelijkingen van het systeem laten we alleen die termen achter die de geschreven onbekende variabelen x 1, x 4 en x 5 bevatten, de overige termen worden overgebracht naar de rechterkant van de vergelijkingen met het tegenovergestelde teken:

Laten we de onbekende variabelen aan de rechterkant van de vergelijkingen willekeurige waarden geven, waar - willekeurige getallen:

Hierna bevatten de rechterkanten van alle vergelijkingen van onze SLAE getallen en kunnen we doorgaan naar het omgekeerde van de Gaussische methode.

Uit de laatste vergelijking van het systeem hebben we, uit de voorlaatste vergelijking die we vinden, uit de eerste vergelijking die we krijgen

De oplossing voor een stelsel vergelijkingen is een reeks waarden van onbekende variabelen

Cijfers geven verschillende waarden, zullen we verschillende oplossingen voor het stelsel vergelijkingen verkrijgen. Dat wil zeggen dat ons stelsel vergelijkingen oneindig veel oplossingen heeft.

Antwoord:

Waar - willekeurige getallen.

Om het materiaal te consolideren, zullen we de oplossingen van nog een aantal voorbeelden in detail analyseren.

Voorbeeld.

Los een homogeen systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen op Gauss-methode.

Oplossing.

Laten we de onbekende variabele x uitsluiten van de tweede en derde vergelijkingen van het systeem. Om dit te doen, voegen we aan de linker- en rechterkant van de tweede vergelijking respectievelijk de linker- en rechterkant van de eerste vergelijking toe, vermenigvuldigd met , en aan de linker- en rechterkant van de derde vergelijking voegen we de linker- en rechterkant toe. rechterkant van de eerste vergelijking, vermenigvuldigd met:

Laten we nu y uitsluiten van de derde vergelijking van het resulterende stelsel vergelijkingen:

De resulterende SLAE is gelijkwaardig aan het systeem .

We laten aan de linkerkant van de systeemvergelijkingen alleen de termen achter die de onbekende variabelen x en y bevatten, en verplaatsen de termen met de onbekende variabele z naar de rechterkant:

Een van de universele en effectieve methoden voor het oplossen van lineaire algebraïsche systemen is Gaussische methode , bestaande uit de opeenvolgende eliminatie van onbekenden.

Bedenk dat de twee systemen worden genoemd equivalent (equivalent) als de sets van hun oplossingen samenvallen. Met andere woorden: systemen zijn gelijkwaardig als elke oplossing van de ene oplossing een oplossing is van de andere, en omgekeerd. Equivalente systemen worden verkregen wanneer elementaire transformaties vergelijkingen van het systeem:

het vermenigvuldigen van beide zijden van de vergelijking met een ander getal dan nul;

aan een vergelijking de overeenkomstige delen van een andere vergelijking toevoegen, vermenigvuldigd met een ander getal dan nul;

herschikken van twee vergelijkingen.

Laat een systeem van vergelijkingen gegeven worden

Het proces om dit systeem op te lossen met behulp van de Gauss-methode bestaat uit twee fasen. In de eerste fase (directe beweging) wordt het systeem, met behulp van elementaire transformaties, gereduceerd tot stapsgewijs , of driehoekig vorm, en in de tweede fase (omgekeerd) is er een sequentiële, beginnend bij het laatste variabele getal, bepaling van de onbekenden uit het resulterende stappensysteem.

Laten we aannemen dat de coëfficiënt van dit systeem
, anders kan in het systeem de eerste rij worden verwisseld met een andere rij, zodat de coëfficiënt op verschilde van nul.

Laten we het systeem transformeren door het onbekende te elimineren in alle vergelijkingen behalve de eerste. Om dit te doen, vermenigvuldigt u beide zijden van de eerste vergelijking met en voeg term voor term toe met de tweede vergelijking van het systeem. Vermenigvuldig vervolgens beide zijden van de eerste vergelijking met en voeg het toe aan de derde vergelijking van het systeem. Als we dit proces voortzetten, verkrijgen we het equivalente systeem

Hier
– nieuwe waarden van coëfficiënten en vrije termen die na de eerste stap worden verkregen.

Op dezelfde manier, gezien het belangrijkste element
, sluit het onbekende uit uit alle vergelijkingen van het systeem, behalve de eerste en tweede. Laten we dit proces zo lang mogelijk voortzetten, en als resultaat krijgen we een stapsgewijs systeem

,

Waar ,
,…,– belangrijkste elementen van het systeem
.

Als er tijdens het proces van het reduceren van het systeem tot een stapsgewijze vorm vergelijkingen verschijnen, d.w.z. gelijkheden van de vorm
, worden ze weggegooid omdat ze tevreden zijn met een reeks getallen
. Ik dik
Als er een vergelijking van de vorm verschijnt die geen oplossingen heeft, duidt dit op de incompatibiliteit van het systeem.

Tijdens de omgekeerde slag wordt de eerste onbekende uitgedrukt uit de laatste vergelijking van het getransformeerde stappensysteem door alle andere onbekenden
die worden genoemd vrij . Dan de variabele expressie uit de laatste vergelijking van het systeem wordt vervangen door de voorlaatste vergelijking en de variabele wordt daaruit uitgedrukt
. Variabelen worden op een vergelijkbare manier opeenvolgend gedefinieerd
. Variabelen
, uitgedrukt via vrije variabelen, worden genoemd eenvoudig (afhankelijk). Het resultaat is een algemene oplossing voor het systeem van lineaire vergelijkingen.

Vinden particuliere oplossing systemen, gratis onbekend
in de algemene oplossing worden willekeurige waarden toegewezen en worden de waarden van de variabelen berekend
.

Het is technisch handiger om niet de systeemvergelijkingen zelf aan elementaire transformaties te onderwerpen, maar de uitgebreide matrix van het systeem

.

De Gauss-methode is een universele methode waarmee je niet alleen vierkante, maar ook rechthoekige systemen kunt oplossen waarin het aantal onbekenden
niet gelijk aan het aantal vergelijkingen
.

Het voordeel van deze methode is ook dat we tijdens het oplossen tegelijkertijd het systeem onderzoeken op compatibiliteit, aangezien we, nadat we de uitgebreide matrix hebben gegeven
om stapsgewijs te vormen, is het eenvoudig om de rangorde van de matrix te bepalen en uitgebreide matrix
en toepassen Stelling van Kronecker-Capelli .

Voorbeeld 2.1 Los het systeem op met behulp van de Gauss-methode

Oplossing. Aantal vergelijkingen
en het aantal onbekenden
.

Laten we een uitgebreide matrix van het systeem maken door coëfficiënten rechts van de matrix toe te wijzen kolom voor gratis leden .

Laten we de matrix presenteren naar een driehoekig aanzicht; Om dit te doen, verkrijgen we “0” onder de elementen die zich op de hoofddiagonaal bevinden met behulp van elementaire transformaties.

Om de "0" op de tweede positie van de eerste kolom te krijgen, vermenigvuldigt u de eerste rij met (-1) en voegt u deze toe aan de tweede rij.

We schrijven deze transformatie als het getal (-1) tegen de eerste regel en geven dit aan met een pijl die van de eerste regel naar de tweede regel gaat.

Om "0" op de derde positie van de eerste kolom te krijgen, vermenigvuldigt u de eerste rij met (-3) en telt u deze op bij de derde rij; Laten we deze actie weergeven met een pijl die van de eerste regel naar de derde gaat.

.

In de resulterende matrix, geschreven als tweede in de reeks matrices, krijgen we “0” in de tweede kolom op de derde positie. Om dit te doen, hebben we de tweede regel vermenigvuldigd met (-4) en toegevoegd aan de derde. Vermenigvuldig in de resulterende matrix de tweede rij met (-1) en deel de derde door (-8). Alle elementen van deze matrix die onder de diagonale elementen liggen, zijn nullen.

Omdat , het systeem is collaboratief en gedefinieerd.

Het stelsel vergelijkingen dat overeenkomt met de laatste matrix heeft een driehoekige vorm:

Uit de laatste (derde) vergelijking
. Vul dit in de tweede vergelijking in en krijg
.

Laten we vervangen
En
in de eerste vergelijking vinden we


.

Definitie en beschrijving van de Gaussische methode

De Gauss-transformatiemethode (ook bekend als de methode voor de sequentiële eliminatie van onbekende variabelen uit een vergelijking of matrix) voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen is een klassieke methode voor het oplossen van stelsels van algebraïsche vergelijkingen (SLAE). Deze klassieke methode wordt ook gebruikt om problemen op te lossen zoals het verkrijgen van inverse matrices en het bepalen van de rangorde van een matrix.

Transformatie met behulp van de Gauss-methode bestaat uit het aanbrengen van kleine (elementaire) opeenvolgende wijzigingen in een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen, wat leidt tot de eliminatie van variabelen daaruit van boven naar beneden met de vorming van een nieuw driehoekig systeem van vergelijkingen dat gelijkwaardig is aan het origineel een.

Definitie 1

Dit deel van de oplossing wordt de voorwaartse Gaussische oplossing genoemd, omdat het hele proces van boven naar beneden wordt uitgevoerd.

Nadat het oorspronkelijke systeem van vergelijkingen is teruggebracht tot een driehoekig systeem, worden alle variabelen van het systeem van onder naar boven gevonden (dat wil zeggen dat de eerste gevonden variabelen zich precies op de laatste regels van het systeem of de matrix bevinden). Dit deel van de oplossing staat ook bekend als het omgekeerde van de Gaussische oplossing. Zijn algoritme is als volgt: eerst worden de variabelen berekend die zich het dichtst bij de onderkant van het systeem van vergelijkingen of matrix bevinden, vervolgens worden de resulterende waarden hoger vervangen en zo wordt een andere variabele gevonden, enzovoort.

Beschrijving van het Gauss-methode-algoritme

De reeks acties voor de algemene oplossing van een stelsel vergelijkingen met behulp van de Gauss-methode bestaat uit het afwisselend toepassen van de voorwaartse en achterwaartse lijnen op de matrix op basis van de SLAE. Laat het initiële systeem van vergelijkingen de volgende vorm hebben:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(gevallen)$

Om SLAE's op te lossen met behulp van de Gaussische methode, is het noodzakelijk om het oorspronkelijke systeem van vergelijkingen in de vorm van een matrix te schrijven:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

De matrix $A$ wordt de hoofdmatrix genoemd en vertegenwoordigt de coëfficiënten van de variabelen die in volgorde zijn geschreven, en $b$ wordt de kolom met zijn vrije termen genoemd. De matrix $A$, geschreven door een balk met een kolom met vrije termen, wordt een uitgebreide matrix genoemd:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Nu is het nodig om, met behulp van elementaire transformaties op het systeem van vergelijkingen (of op de matrix, omdat dit handiger is), het in de volgende vorm te brengen:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

De matrix die wordt verkregen uit de coëfficiënten van het getransformeerde systeem van vergelijking (1) wordt een stapmatrix genoemd; zo zien stapmatrices er gewoonlijk uit:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(matrix)$

Deze matrices worden gekenmerkt door de volgende reeks eigenschappen:

1. Alle nullijnen komen na niet-nullijnen
2. Als een rij van een matrix met getal $k$ niet nul is, dan heeft de vorige rij van dezelfde matrix minder nullen dan deze met getal $k$.

Na het verkrijgen van de stappenmatrix is ​​het noodzakelijk om de resulterende variabelen in de resterende vergelijkingen te vervangen (beginnend vanaf het einde) en de resterende waarden van de variabelen te verkrijgen.

Basisregels en toegestane transformaties bij gebruik van de Gauss-methode

Wanneer u met deze methode een matrix of stelsel vergelijkingen vereenvoudigt, hoeft u alleen elementaire transformaties te gebruiken.

Dergelijke transformaties worden beschouwd als bewerkingen die kunnen worden toegepast op een matrix of systeem van vergelijkingen zonder de betekenis ervan te veranderen:

• herschikking van verschillende lijnen,
• optellen of aftrekken van een rij van een matrix, een andere rij ervan,
• een string vermenigvuldigen of delen door een constante die niet gelijk is aan nul,
• een regel die alleen uit nullen bestaat, verkregen tijdens het berekenen en vereenvoudigen van het systeem, moet worden verwijderd,
• U moet ook onnodige proportionele lijnen verwijderen en voor het systeem de enige kiezen met coëfficiënten die geschikter en handiger zijn voor verdere berekeningen.

Alle elementaire transformaties zijn omkeerbaar.

Analyse van de drie belangrijkste gevallen die zich voordoen bij het oplossen van lineaire vergelijkingen met behulp van de methode van eenvoudige Gaussische transformaties

Er zijn drie gevallen die zich voordoen bij het gebruik van de Gauss-methode om systemen op te lossen:

1. Wanneer een systeem inconsistent is, dat wil zeggen dat het geen oplossingen heeft
2. Het systeem van vergelijkingen heeft een oplossing, en een unieke, en het aantal niet-nul rijen en kolommen in de matrix is ​​gelijk aan elkaar.
3. Het systeem heeft een bepaald aantal of een reeks mogelijke oplossingen, en het aantal rijen daarin is kleiner dan het aantal kolommen.

Resultaat van een oplossing met een inconsistent systeem

Voor deze optie is het gebruikelijk om bij het oplossen van een matrixvergelijking met behulp van de Gauss-methode enige lijn te krijgen met de onmogelijkheid om aan de gelijkheid te voldoen. Als er ten minste één onjuiste gelijkheid optreedt, hebben de resulterende en oorspronkelijke systemen dus geen oplossingen, ongeacht de andere vergelijkingen die ze bevatten. Een voorbeeld van een inconsistente matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

In de laatste regel ontstond een onmogelijke gelijkheid: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Een stelsel vergelijkingen dat slechts één oplossing heeft

Deze systemen hebben, nadat ze zijn teruggebracht tot een stapmatrix en rijen met nullen hebben verwijderd, hetzelfde aantal rijen en kolommen in de hoofdmatrix. Hier is het eenvoudigste voorbeeld van een dergelijk systeem:

$\begin(gevallen) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(gevallen)$

Laten we het in de vorm van een matrix schrijven:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Om de eerste cel van de tweede rij op nul te brengen, vermenigvuldigen we de bovenste rij met $-2$ en trekken deze af van de onderste rij van de matrix, en laten de bovenste rij in zijn oorspronkelijke vorm, als resultaat hebben we het volgende :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Dit voorbeeld kan als systeem worden geschreven:

$\begin(gevallen) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(gevallen)$

De onderste vergelijking levert de volgende waarde op voor $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Vervang deze waarde in de bovenste vergelijking: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, we krijgen $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Een systeem met veel mogelijke oplossingen

Dit systeem wordt gekenmerkt door een kleiner aantal significante rijen dan het aantal kolommen erin (er wordt rekening gehouden met de rijen van de hoofdmatrix).

Variabelen in een dergelijk systeem zijn onderverdeeld in twee typen: eenvoudig en gratis. Bij het transformeren van een dergelijk systeem moeten de belangrijkste variabelen die erin zijn opgenomen in het linkergebied worden gelaten tot aan het “=”-teken, en de overige variabelen moeten naar de rechterkant van de gelijkheid worden verplaatst.

Een dergelijk systeem heeft slechts een bepaalde algemene oplossing.

Laten we het volgende systeem van vergelijkingen analyseren:

$\begin(gevallen) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(gevallen)$

Laten we het in de vorm van een matrix schrijven:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Onze taak is om een ​​algemene oplossing voor het systeem te vinden. Voor deze matrix zijn de basisvariabelen $y_1$ en $y_3$ (voor $y_1$ - aangezien deze eerst komt, en in het geval van $y_3$ - bevindt deze zich na de nullen).

Als basisvariabelen kiezen we precies die variabelen die als eerste in de rij staan ​​en niet gelijk zijn aan nul.

De overige variabelen worden vrij genoemd; we moeten de basisvariabelen via deze variabelen uitdrukken.

Met behulp van de zogenaamde omgekeerde slag analyseren we het systeem van onder naar boven; om dit te doen, drukken we eerst $y_3$ uit vanaf de onderste regel van het systeem:

$5j_3 – 4j_4 = 1$

$5j_3 = 4j_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Nu vervangen we de uitgedrukte $y_3$ in de bovenste vergelijking van het systeem $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

We drukken $y_1$ uit in termen van vrije variabelen $y_2$ en $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

De oplossing is klaar.

voorbeeld 1

Los vervelling op met behulp van de Gaussiaanse methode. Voorbeelden. Een voorbeeld van het oplossen van een systeem van lineaire vergelijkingen gegeven door een matrix van 3 bij 3 met behulp van de Gaussische methode

$\begin(gevallen) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(gevallen)$

Laten we ons systeem schrijven in de vorm van een uitgebreide matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Voor het gemak en de bruikbaarheid moet u de matrix nu zo transformeren dat $1$ in de bovenhoek van de buitenste kolom staat.

Om dit te doen, moet je aan de eerste regel de regel uit het midden toevoegen, vermenigvuldigd met $-1$, en de middelste regel zelf schrijven zoals die is, zo blijkt:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(matrix)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(matrix) $

Vermenigvuldig de bovenste en laatste regel met $-1$, en verwissel ook de laatste en middelste regel:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(matrix)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(matrix)$

En deel de laatste regel door $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

We verkrijgen het volgende stelsel vergelijkingen, gelijkwaardig aan het origineel:

$\begin(gevallen) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(gevallen)$

Uit de bovenste vergelijking drukken we $x_1$ uit:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Voorbeeld 2

Een voorbeeld van het oplossen van een systeem dat is gedefinieerd met behulp van een 4 bij 4-matrix met behulp van de Gauss-methode

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(matrix)$.

In het begin verwisselen we de bovenste regels die erop volgen om $1$ in de linkerbovenhoek te krijgen:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(matrix)$.

Vermenigvuldig nu de bovenste regel met $-2$ en tel deze op bij de 2e en 3e. Aan de 4e voegen we de 1e regel toe, vermenigvuldigd met $-3$:

$\begin(matrix)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Aan regel nummer 3 voegen we nu regel 2 vermenigvuldigd met $4$ toe, en aan regel 4 voegen we regel 2 vermenigvuldigd met $-1$ toe.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

We vermenigvuldigen regel 2 met $-1$, delen regel 4 door $3$ en vervangen regel 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(array)$

Nu voegen we aan de laatste regel de voorlaatste toe, vermenigvuldigd met $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$

We lossen het resulterende stelsel vergelijkingen op:

$\begin(gevallen) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(gevallen)$

Een van de eenvoudigste manieren om een ​​stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen is een techniek die gebaseerd is op de berekening van determinanten ( De regel van Cramer). Het voordeel is dat u hiermee de oplossing onmiddellijk kunt vastleggen; het is vooral handig in gevallen waarin de coëfficiënten van het systeem geen getallen zijn, maar enkele parameters. Het nadeel is de omslachtigheid van berekeningen bij een groot aantal vergelijkingen; bovendien is de regel van Cramer niet direct toepasbaar op systemen waarin het aantal vergelijkingen niet samenvalt met het aantal onbekenden. In dergelijke gevallen wordt het meestal gebruikt Gaussische methode.

Systemen van lineaire vergelijkingen met dezelfde reeks oplossingen worden genoemd equivalent. Het is duidelijk dat de reeks oplossingen van een lineair systeem niet zal veranderen als vergelijkingen worden verwisseld, of als een van de vergelijkingen wordt vermenigvuldigd met een getal dat niet nul is, of als de ene vergelijking bij de andere wordt opgeteld.

Gauss-methode (methode voor opeenvolgende eliminatie van onbekenden) is dat met behulp van elementaire transformaties het systeem wordt gereduceerd tot een gelijkwaardig systeem van een staptype. Eerst elimineren we met behulp van de eerste vergelijking X 1 van alle volgende vergelijkingen van het systeem. Vervolgens elimineren we met behulp van de tweede vergelijking X 2 uit de 3e en alle volgende vergelijkingen. Dit proces, genaamd directe Gaussische methode, gaat door totdat er nog maar één onbekende over is aan de linkerkant van de laatste vergelijking x n. Hierna is het klaar inverse van de Gaussische methode– het oplossen van de laatste vergelijking, vinden we x n; daarna, met behulp van deze waarde, uit de voorlaatste vergelijking die we berekenen x n–1, enz. Wij vinden de laatste X 1 uit de eerste vergelijking.

Het is handig om Gaussiaanse transformaties uit te voeren door transformaties niet uit te voeren met de vergelijkingen zelf, maar met de matrices van hun coëfficiënten. Beschouw de matrix:

genaamd uitgebreide matrix van het systeem, omdat het, naast de hoofdmatrix van het systeem, een kolom met vrije termen bevat. De Gaussiaanse methode is gebaseerd op het reduceren van de hoofdmatrix van het systeem tot een driehoekige vorm (of trapeziumvorm in het geval van niet-vierkante systemen) met behulp van elementaire rijtransformaties (!) van de uitgebreide matrix van het systeem.

Voorbeeld 5.1. Los het systeem op met behulp van de Gauss-methode:

Oplossing. Laten we de uitgebreide matrix van het systeem uitschrijven en, met behulp van de eerste rij, daarna de resterende elementen resetten:

we krijgen nullen in de 2e, 3e en 4e rij van de eerste kolom:

Nu moeten alle elementen in de tweede kolom onder de tweede rij gelijk zijn aan nul. Om dit te doen, kunt u de tweede regel vermenigvuldigen met –4/7 en deze optellen bij de derde regel. Laten we, om niet met breuken om te gaan, een eenheid maken in de tweede rij van de tweede kolom en alleen

Om nu een driehoekige matrix te krijgen, moet je het element van de vierde rij van de derde kolom opnieuw instellen; om dit te doen, kun je de derde rij vermenigvuldigen met 8/54 en deze optellen bij de vierde. Om echter niet met breuken om te gaan, zullen we de 3e en 4e rij en de 3e en 4e kolom omwisselen en pas daarna zullen we het opgegeven element resetten. Merk op dat bij het herschikken van de kolommen de corresponderende variabelen van plaats veranderen en dit moet onthouden worden; andere elementaire transformaties met kolommen (optellen en vermenigvuldigen met een getal) kunnen niet worden uitgevoerd!

De laatste vereenvoudigde matrix komt overeen met een systeem van vergelijkingen dat gelijkwaardig is aan het origineel:

Vanaf hier vinden we, met behulp van de inverse van de Gaussische methode, de vierde vergelijking X 3 = –1; vanaf de derde X 4 = –2, vanaf de seconde X 2 = 2 en uit de eerste vergelijking X 1 = 1. In matrixvorm wordt het antwoord geschreven als

We hebben het geval overwogen waarin het systeem definitief is, d.w.z. terwijl er maar één oplossing is. Laten we eens kijken wat er gebeurt als het systeem inconsistent of onzeker is.

Voorbeeld 5.2. Verken het systeem met behulp van de Gauss-methode:

Oplossing. We schrijven de uitgebreide matrix van het systeem uit en transformeren deze

We schrijven een vereenvoudigd systeem van vergelijkingen:

Hier blijkt in de laatste vergelijking dat 0=4, d.w.z. tegenspraak. Bijgevolg heeft het systeem geen oplossing, d.w.z. zij onverenigbaar. à

Voorbeeld 5.3. Verken en los het systeem op met behulp van de Gauss-methode:

Oplossing. We schrijven en transformeren de uitgebreide matrix van het systeem:

Als gevolg van de transformaties bevat de laatste regel alleen maar nullen. Dit betekent dat het aantal vergelijkingen met één is afgenomen:

Na vereenvoudigingen blijven er dus twee vergelijkingen over en vier onbekenden, d.w.z. twee onbekende "extra". Laat ze "overbodig" zijn, of, zoals ze zeggen, vrije variabelen, zullen X 3 en X 4. Dan

Geloven X 3 = 2A En X 4 = B, we krijgen X 2 = 1–A En X 1 = 2B–A; of in matrixvorm

Een oplossing die op deze manier is geschreven, wordt genoemd algemeen, omdat, parameters geven A En B verschillende waarden kunnen alle mogelijke oplossingen van het systeem worden beschreven. A