Oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen, oplossingsmethoden, voorbeelden. Vind de algemene oplossing van het systeem en fsr

De Gauss-methode heeft een aantal nadelen: het is onmogelijk om te weten of het systeem consistent is of niet totdat alle transformaties die nodig zijn in de Gauss-methode zijn uitgevoerd; de Gauss-methode is niet geschikt voor systemen met lettercoëfficiënten.

Overweeg andere methoden voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. Deze methoden gebruiken het concept van de rangorde van een matrix en reduceren de oplossing van elk gezamenlijk systeem tot de oplossing van een systeem waarop de regel van Cramer van toepassing is.

voorbeeld 1 Vind de algemene oplossing van het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met behulp van het fundamentele stelsel van oplossingen van het gereduceerde homogene systeem en een bepaalde oplossing van het inhomogene systeem.

1. We maken een matrix EEN en de augmented matrix van het systeem (1)

2. Verken het systeem (1) voor compatibiliteit. Om dit te doen, vinden we de rangen van de matrices EEN en https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Als blijkt dat , dan is het systeem (1) onverenigbaar. Als we dat krijgen , dan is dit systeem consistent en lossen we het op. (De consistentiestudie is gebaseerd op de stelling van Kronecker-Capelli).

a. We vinden rA.

Vinden rA, we zullen achtereenvolgens niet-nul minderjarigen van de eerste, tweede, enz. orde van de matrix beschouwen EEN en de minderjarigen om hen heen.

M1=1≠0 (1 is afkomstig uit de linkerbovenhoek van de matrix MAAR).

grenzend aan M1 de tweede rij en tweede kolom van deze matrix. . We blijven aan de grens M1 de tweede regel en de derde kolom..gif" width="37" height="20 src=">. Nu grenzen we aan de niet-nul minor М2′ tweede bestelling.

Wij hebben: (omdat de eerste twee kolommen hetzelfde zijn)

(omdat de tweede en derde regel proportioneel zijn).

We zien dat rA=2, en is de basis minor van de matrix EEN.

b. We vinden .

Voldoende basis minor М2′ matrices EEN rand met een kolom met gratis leden en alle regels (we hebben alleen de laatste regel).

. Hieruit volgt dat М3′′ blijft de basis minor van de matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Omdat М2′- basis minor van de matrix EEN systemen (2) , dan is dit systeem gelijk aan het systeem (3) , bestaande uit de eerste twee vergelijkingen van het systeem (2) (voor М2′ staat in de eerste twee rijen van matrix A).

(3)

Aangezien de basisminor https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> is (4)

In dit systeem zijn twee vrije onbekenden ( x2 en x4 ). Dat is waarom FSR systemen (4) bestaat uit twee oplossingen. Om ze te vinden, kennen we gratis onbekenden toe aan: (4) waarden eerst x2=1 , x4=0 , en dan - x2=0 , x4=1 .

Bij x2=1 , x4=0 we krijgen:

.

Dit systeem heeft al het enige oplossing (deze kan worden gevonden door de regel van Cramer of door een andere methode). Als we de eerste vergelijking van de tweede vergelijking aftrekken, krijgen we:

Haar besluit zal zijn: x1= -1 , x3=0 . Gezien de waarden x2 en x4 , die we hebben gegeven, verkrijgen we de eerste fundamentele oplossing van het systeem (2) : .

Nu zetten we in (4) x2=0 , x4=1 . We krijgen:

.

We lossen dit stelsel op met behulp van de stelling van Cramer:

.

We verkrijgen de tweede fundamentele oplossing van het systeem (2) : .

Oplossingen β1 , β2 en make-up FSR systemen (2) . Dan is de algemene oplossing:

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Hier C1 , C2 zijn willekeurige constanten.

4. Zoek er een privaat oplossing heterogeen systeem(1) . Zoals in paragraaf 3 , in plaats van het systeem (1) overweeg het equivalente systeem (5) , bestaande uit de eerste twee vergelijkingen van het systeem (1) .

(5)

We brengen de gratis onbekenden over naar de rechterkant x2 en x4.

(6)

Laten we gratis onbekenden geven x2 en x4 willekeurige waarden, bijv. x2=2 , x4=1 en sluit ze aan op (6) . Laten we het systeem pakken

Dit systeem heeft een unieke oplossing (omdat zijn determinant М2′0). Als we het oplossen (met behulp van de stelling van Cramer of de methode van Gauss), krijgen we: x1=3 , x3=3 . Gezien de waarden van de gratis onbekenden x2 en x4 , we krijgen bepaalde oplossing van een inhomogeen systeem(1)α1=(3,2,3,1).

5. Nu blijft het schrijven algemene oplossing α van een inhomogeen systeem(1) : het is gelijk aan de som privé beslissing dit systeem en algemene oplossing van het gereduceerde homogene systeem (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Dit betekent: (7)

6. Inspectie. Om te controleren of je het systeem correct hebt opgelost (1) , we hebben een algemene oplossing nodig (7) vervangen door (1) . Als elke vergelijking een identiteit wordt ( C1 en C2 moet worden vernietigd), dan is de oplossing correct gevonden.

We zullen vervangen (7) bijvoorbeeld alleen in de laatste vergelijking van het systeem (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

We krijgen: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Waar -1=-1. We hebben een identiteit. We doen dit met alle andere vergelijkingen van het systeem (1) .

Opmerking. Verificatie is meestal vrij omslachtig. We kunnen de volgende "gedeeltelijke verificatie" aanbevelen: in de algehele oplossing van het systeem (1) wijs enkele waarden toe aan willekeurige constanten en vervang de resulterende specifieke oplossing alleen in de weggegooide vergelijkingen (d.w.z. in die vergelijkingen van (1) die niet zijn opgenomen in (5) ). Als je identiteiten krijgt, dan? meest waarschijnlijke, oplossing van het systeem (1) correct gevonden (maar een dergelijke controle geeft geen volledige garantie op correctheid!). Als in bijv (7) leggen C2=- 1 , C1=1, dan krijgen we: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Substitueren in de laatste vergelijking van systeem (1), we hebben: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , d.w.z. –1=–1. We hebben een identiteit.

Voorbeeld 2 Vind een algemene oplossing voor een stelsel lineaire vergelijkingen (1) , waarbij de belangrijkste onbekenden worden uitgedrukt in termen van gratis.

Oplossing. Als in voorbeeld 1, matrices samenstellen EEN en https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> van deze matrices. Nu laten we alleen die vergelijkingen van het systeem over (1) , waarvan de coëfficiënten zijn opgenomen in deze basisminor (d.w.z. we hebben de eerste twee vergelijkingen) en beschouwen het systeem dat daaruit bestaat, wat equivalent is aan systeem (1).

Laten we de vrije onbekenden naar de rechterkant van deze vergelijkingen verplaatsen.

systeem (9) we lossen op volgens de Gauss-methode, waarbij we de juiste delen als gratis leden beschouwen.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Optie 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Optie 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Optie 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Optie 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Homogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen

Binnen de lessen Gauss-methode: en Incompatibele systemen/systemen met een gemeenschappelijke oplossing we hebben overwogen inhomogene stelsels lineaire vergelijkingen, waar gratis lid(meestal rechts) ten minste een van de vergelijkingen verschilde van nul.
En nu, na een goede warming-up met matrixrang, we zullen doorgaan met het polijsten van de techniek elementaire transformaties op de homogeen stelsel lineaire vergelijkingen.
Volgens de eerste alinea's lijkt het materiaal misschien saai en gewoon, maar deze indruk is bedrieglijk. Er zal veel nieuwe informatie zijn naast de verdere ontwikkeling van technieken, dus probeer de voorbeelden in dit artikel niet te verwaarlozen.

Wat is een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen?

Het antwoord wijst zich vanzelf. Een stelsel lineaire vergelijkingen is homogeen als de vrije term iedereen systeemvergelijking is nul. Bijvoorbeeld:

Het is vrij duidelijk dat homogeen systeem is altijd consistent, dat wil zeggen, het heeft altijd een oplossing. En in de eerste plaats de zogenaamde triviaal oplossing . Triviaal, voor degenen die de betekenis van het bijvoeglijk naamwoord helemaal niet begrijpen, betekent bespontovoe. Niet academisch natuurlijk, maar begrijpelijk =) ... Waarom er omheen draaien, laten we eens kijken of dit systeem andere oplossingen heeft:

voorbeeld 1

Oplossing: om een ​​homogeen systeem op te lossen is het nodig om te schrijven systeemmatrix en met behulp van elementaire transformaties tot een getrapte vorm brengen. Merk op dat het niet nodig is om de verticale balk en de nulkolom van gratis leden hier op te schrijven - want wat je ook doet met nullen, ze blijven nul:

(1) De eerste rij is toegevoegd aan de tweede rij, vermenigvuldigd met -2. De eerste regel werd toegevoegd aan de derde regel, vermenigvuldigd met -3.

(2) De tweede regel werd toegevoegd aan de derde regel, vermenigvuldigd met -1.

De derde rij delen door 3 heeft niet veel zin.

Als resultaat van elementaire transformaties wordt een equivalent homogeen systeem verkregen , en door de omgekeerde beweging van de Gauss-methode toe te passen, is het gemakkelijk om te verifiëren dat de oplossing uniek is.

Antwoorden:

Laten we een voor de hand liggend criterium formuleren: een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen heeft enige triviale oplossing, als systeemmatrixrang(in dit geval 3) is gelijk aan het aantal variabelen (in dit geval 3 st.).

We warmen op en stemmen onze radio af op een golf van elementaire transformaties:

Voorbeeld 2

Los een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen op

Uit het artikel Hoe de rangorde van een matrix te vinden? we herinneren ons de rationele methode om de getallen van de matrix incidenteel te verminderen. Anders moet je grote en vaak bijtende vissen slachten. Een voorbeeld van een opdracht aan het einde van de les.

Nullen zijn goed en handig, maar in de praktijk komt het veel vaker voor wanneer de rijen van de matrix van het systeem lineair afhankelijk. En dan is het verschijnen van een algemene oplossing onvermijdelijk:

Voorbeeld 3

Los een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen op

Oplossing: we schrijven de matrix van het systeem en brengen deze met behulp van elementaire transformaties in een stappenvorm. De eerste actie is niet alleen gericht op het verkrijgen van een enkele waarde, maar ook op het verminderen van de getallen in de eerste kolom:

(1) De derde rij is toegevoegd aan de eerste rij, vermenigvuldigd met -1. De derde regel werd toegevoegd aan de tweede regel, vermenigvuldigd met -2. Linksboven kreeg ik een eenheid met een "min", wat vaak veel handiger is voor verdere transformaties.

(2) De eerste twee regels zijn hetzelfde, een ervan is verwijderd. Eerlijk gezegd heb ik de beslissing niet aangepast - het is gebeurd. Als u transformaties uitvoert in een sjabloon, dan: lineaire afhankelijkheid lijnen zouden iets later verschijnen.

(3) Voeg aan de derde regel de tweede regel toe, vermenigvuldigd met 3.

(4) Het teken van de eerste regel is gewijzigd.

Als resultaat van elementaire transformaties wordt een equivalent systeem verkregen:

Het algoritme werkt precies hetzelfde als voor heterogene systemen. Variabelen "zittend op de treden" zijn de belangrijkste, de variabele die de "stappen" niet heeft gekregen is gratis.

We drukken de basisvariabelen uit in termen van de vrije variabele:

Antwoorden: gemeenschappelijke beslissing:

De triviale oplossing is opgenomen in de algemene formule en het is niet nodig om deze apart te schrijven.

De verificatie wordt ook uitgevoerd volgens het gebruikelijke schema: de resulterende algemene oplossing moet worden gesubstitueerd in de linkerkant van elke vergelijking van het systeem en een legitieme nul wordt verkregen voor alle vervangingen.

Dit zou stilletjes kunnen worden beëindigd, maar de oplossing van een homogeen stelsel vergelijkingen moet vaak worden weergegeven in vectorvorm door het gebruiken van fundamenteel beslissingssysteem. Vergeet a.u.b. tijdelijk analytische geometrie, aangezien we het nu zullen hebben over vectoren in de algemene algebraïsche zin, die ik enigszins heb geopend in een artikel over matrixrang. Terminologie is niet nodig om te verduisteren, alles is vrij eenvoudig.

Homogeen stelsel lineaire vergelijkingen over een veld

DEFINITIE. Het fundamentele systeem van oplossingen van stelsel vergelijkingen (1) is een niet-leeg lineair onafhankelijk systeem van zijn oplossingen, waarvan de lineaire overspanning samenvalt met de verzameling van alle oplossingen van systeem (1).

Merk op dat een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen dat alleen een nuloplossing heeft, geen fundamenteel systeem van oplossingen heeft.

VOORSTEL 3.11. Elke twee fundamentele stelsels van oplossingen van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen bestaan ​​uit hetzelfde aantal oplossingen.

Een bewijs. Inderdaad, twee fundamentele oplossingen van het homogene stelsel vergelijkingen (1) zijn equivalent en lineair onafhankelijk. Daarom zijn hun rangen volgens Proposition 1.12 gelijk. Daarom is het aantal oplossingen in één fundamenteel systeem gelijk aan het aantal oplossingen in elk ander fundamenteel systeem van oplossingen.

Als de hoofdmatrix A van het homogene stelsel vergelijkingen (1) nul is, dan is elke vector van een oplossing voor systeem (1); in dit geval is elke verzameling lineair onafhankelijke vectoren van een fundamenteel systeem van oplossingen. Als de kolomrang van matrix A is , dan heeft systeem (1) maar één oplossing - nul; daarom heeft in dit geval het stelsel vergelijkingen (1) geen fundamenteel stelsel van oplossingen.

STELLING 3.12. Als de rangorde van de hoofdmatrix van het homogene stelsel lineaire vergelijkingen (1) kleiner is dan het aantal variabelen, dan heeft systeem (1) een fundamenteel systeem van oplossingen bestaande uit oplossingen.

Een bewijs. Als de rangorde van de hoofdmatrix A van het homogene systeem (1) gelijk is aan nul of , dan is hierboven aangetoond dat de stelling waar is. Daarom wordt hieronder aangenomen dat Uitgaande van , we aannemen dat de eerste kolommen van de matrix A lineair onafhankelijk zijn. In dit geval is de matrix A rijgewijs gelijk aan de gereduceerde stapmatrix en systeem (1) is gelijk aan het volgende gereduceerde stapsysteem van vergelijkingen:

Het is gemakkelijk te controleren of elk systeem van waarden van vrije variabelen van systeem (2) overeenkomt met één en slechts één oplossing van systeem (2) en dus van systeem (1). In het bijzonder komt alleen de nuloplossing van systeem (2) en systeem (1) overeen met het systeem van nulwaarden.

In systeem (2) zullen we een waarde gelijk aan 1 toewijzen aan een van de vrije variabelen, en nulwaarden aan de andere variabelen. Als resultaat krijgen we oplossingen voor het stelsel vergelijkingen (2), dat we schrijven als rijen van de volgende matrix C:

Het rijsysteem van deze matrix is ​​lineair onafhankelijk. Inderdaad, voor alle scalairen van de gelijkheid

gelijkheid volgt

en dus gelijkheid

Laten we bewijzen dat de lineaire overspanning van het stelsel rijen van matrix C samenvalt met de verzameling van alle oplossingen van stelsel (1).

Willekeurige oplossing van systeem (1). Dan de vector

is ook een oplossing voor systeem (1), en

Oplossing vinden met een rekenmachine. Het oplossingsalgoritme is hetzelfde als voor stelsels van lineaire inhomogene vergelijkingen.
Als we alleen met rijen werken, vinden we de rangorde van de matrix, de basismineur; we verklaren afhankelijke en vrije onbekenden en vinden de algemene oplossing.

Voorbeeld 2 . Vind de algemene oplossing en het fundamentele systeem van oplossingen van het systeem
Oplossing.



,
hieruit volgt dat de rangorde van de matrix 3 is en gelijk is aan het aantal onbekenden. Dit betekent dat het systeem geen vrije onbekenden heeft en daarom een ​​unieke oplossing heeft - een triviale.

Oefening . Onderzoek en los een stelsel lineaire vergelijkingen op.
Voorbeeld 4

Oefening . Vind algemene en specifieke oplossingen voor elk systeem.
Oplossing. We schrijven de hoofdmatrix van het systeem:

Een taak . Vind een fundamentele reeks oplossingen voor een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen.

Het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen (SLAE) is ongetwijfeld het belangrijkste onderwerp van de cursus lineaire algebra. Een groot aantal problemen uit alle takken van de wiskunde wordt gereduceerd tot het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. Deze factoren verklaren de reden voor het maken van dit artikel. Het materiaal van het artikel is geselecteerd en gestructureerd zodat u met zijn hulp kunt

• kies de optimale methode voor het oplossen van uw stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen,
• de theorie van de gekozen methode bestuderen,
• los uw stelsel lineaire vergelijkingen op, nadat u de oplossingen van typische voorbeelden en problemen in detail hebt overwogen.

Korte beschrijving van het materiaal van het artikel.

Eerst geven we alle noodzakelijke definities, concepten en introduceren we enige notatie.

Vervolgens bekijken we methoden voor het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen waarin het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekende variabelen en die een unieke oplossing hebben. Laten we ons eerst concentreren op de Cramer-methode, ten tweede zullen we de matrixmethode laten zien voor het oplossen van dergelijke stelsels van vergelijkingen, en ten derde zullen we de Gauss-methode analyseren (de methode van opeenvolgende eliminatie van onbekende variabelen). Om de theorie te consolideren, zullen we zeker verschillende SLAE's op verschillende manieren oplossen.

Daarna gaan we over op het oplossen van systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen van een algemene vorm, waarin het aantal vergelijkingen niet samenvalt met het aantal onbekende variabelen of de hoofdmatrix van het systeem gedegenereerd is. We formuleren de stelling van Kronecker-Capelli, waarmee we de compatibiliteit van SLAE's kunnen vaststellen. Laten we de oplossing van systemen analyseren (in het geval van hun compatibiliteit) met behulp van het concept van de basisminor van een matrix. We zullen ook de Gauss-methode beschouwen en de oplossingen van de voorbeelden in detail beschrijven.

Zorg ervoor dat u stilstaat bij de structuur van de algemene oplossing van homogene en inhomogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen. Laten we het concept van een fundamenteel systeem van oplossingen geven en laten zien hoe de algemene oplossing van de SLAE wordt geschreven met behulp van de vectoren van het fundamentele systeem van oplossingen. Laten we voor een beter begrip een paar voorbeelden bekijken.

Concluderend beschouwen we stelsels van vergelijkingen die zijn gereduceerd tot lineaire, evenals verschillende problemen, in de oplossing waarvan SLAE's ontstaan.

Paginanavigatie.

Definities, concepten, benamingen.

We zullen systemen van p lineaire algebraïsche vergelijkingen met n onbekende variabelen (p kan gelijk zijn aan n ) van de vorm

Onbekende variabelen, - coëfficiënten (sommige reële of complexe getallen), - vrije leden (ook reële of complexe getallen).

Deze vorm van SLAE heet coördineren.

BIJ matrixvorm dit stelsel vergelijkingen heeft de vorm ,
waar - de hoofdmatrix van het systeem, - de matrixkolom van onbekende variabelen, - de matrixkolom van vrije leden.

Als we aan de matrix A als de (n + 1)-de kolom de matrix-kolom van vrije termen toevoegen, dan krijgen we de zogenaamde uitgebreide matrix stelsels lineaire vergelijkingen. Gewoonlijk wordt de augmented matrix aangeduid met de letter T en wordt de kolom met vrije leden gescheiden door een verticale lijn van de rest van de kolommen, dat wil zeggen,

Door een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen op te lossen een reeks waarden van onbekende variabelen genoemd, die alle vergelijkingen van het systeem in identiteiten verandert. De matrixvergelijking voor de gegeven waarden van de onbekende variabelen verandert ook in een identiteit.

Als een stelsel vergelijkingen minstens één oplossing heeft, dan heet het gewricht.

Als het stelsel vergelijkingen geen oplossingen heeft, dan heet het onverenigbaar.

Als een SLAE een unieke oplossing heeft, dan heet deze zeker; als er meer dan één oplossing is, dan - onzeker.

Als de vrije termen van alle vergelijkingen van het systeem gelijk zijn aan nul , dan heet het systeem homogeen, anders - heterogeen.

Oplossing van elementaire stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen.

Als het aantal systeemvergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekende variabelen en de determinant van de hoofdmatrix niet gelijk is aan nul, dan noemen we dergelijke SLAE's elementair. Dergelijke stelsels van vergelijkingen hebben een unieke oplossing en in het geval van een homogeen systeem zijn alle onbekende variabelen gelijk aan nul.

We zijn op de middelbare school begonnen met het bestuderen van dergelijke SLAE. Bij het oplossen ervan namen we één vergelijking, drukten een onbekende variabele uit in termen van anderen en substitueerden deze in de resterende vergelijkingen, namen vervolgens de volgende vergelijking, drukten de volgende onbekende variabele uit en substitueerden deze in andere vergelijkingen, enzovoort. Of ze gebruikten de optelmethode, dat wil zeggen, ze voegden twee of meer vergelijkingen toe om enkele onbekende variabelen te elimineren. We zullen niet in detail op deze methoden ingaan, omdat ze in wezen modificaties zijn van de Gauss-methode.

De belangrijkste methoden voor het oplossen van elementaire stelsels van lineaire vergelijkingen zijn de Cramer-methode, de matrixmethode en de Gauss-methode. Laten we ze uitzoeken.

Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen met de methode van Cramer.

Laten we een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen

waarin het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekende variabelen en de determinant van de hoofdmatrix van het systeem verschilt van nul, dat wil zeggen .

Laat de determinant zijn van de hoofdmatrix van het systeem, en zijn determinanten van matrices die worden verkregen uit A door vervanging 1e, 2e, ..., nth kolom respectievelijk naar de kolom met gratis leden:

Met een dergelijke notatie worden de onbekende variabelen berekend met de formules van Cramer's methode als: . Dit is hoe de oplossing van een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen wordt gevonden door de Cramer-methode.

Voorbeeld.

Cramer-methode: .

Oplossing.

De hoofdmatrix van het systeem heeft de vorm . Bereken de determinant (zie indien nodig het artikel):

Aangezien de determinant van de hoofdmatrix van het systeem niet nul is, heeft het systeem een ​​unieke oplossing die kan worden gevonden met de methode van Cramer.

Stel de benodigde determinanten samen en bereken ze (de determinant wordt verkregen door de eerste kolom in matrix A te vervangen door een kolom met vrije leden, de determinant - door de tweede kolom te vervangen door een kolom met vrije leden, - door de derde kolom van matrix A te vervangen door een kolom met vrije leden ):

Onbekende variabelen zoeken met formules :

Antwoorden:

Het belangrijkste nadeel van de methode van Cramer (als het een nadeel kan worden genoemd) is de complexiteit van het berekenen van de determinanten wanneer het aantal systeemvergelijkingen meer dan drie is.

Systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen door de matrixmethode (met behulp van de inverse matrix).

Laat het systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen worden gegeven in matrixvorm , waarbij de matrix A dimensie n bij n heeft en de determinant niet nul is.

Omdat , dan is de matrix A inverteerbaar, dat wil zeggen, er is een inverse matrix . Als we beide delen van de gelijkheid met links vermenigvuldigen, krijgen we een formule om de kolommatrix van onbekende variabelen te vinden. Dus we hebben de oplossing van het stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen met de matrixmethode.

Voorbeeld.

Los het stelsel van lineaire vergelijkingen op matrix methode.

Oplossing.

Laten we het stelsel van vergelijkingen herschrijven in matrixvorm:

Omdat

dan kan de SLAE worden opgelost met de matrixmethode. Met behulp van de inverse matrix kan de oplossing voor dit systeem worden gevonden als: .

Laten we een inverse matrix bouwen met behulp van een matrix van algebraïsche complementen van de elementen van matrix A (zie indien nodig het artikel):

Het blijft om te berekenen - de matrix van onbekende variabelen door de inverse matrix te vermenigvuldigen op de matrixkolom van gratis leden (zie indien nodig het artikel):

Antwoorden:

of in een andere notatie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Het belangrijkste probleem bij het vinden van oplossingen voor stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen door de matrixmethode is de complexiteit van het vinden van de inverse matrix, vooral voor vierkante matrices met een hogere orde dan de derde.

Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen met de Gauss-methode.

Stel dat we een oplossing moeten vinden voor een stelsel van n lineaire vergelijkingen met n onbekende variabelen
waarvan de determinant van de hoofdmatrix verschilt van nul.

De essentie van de Gauss-methode bestaat uit de opeenvolgende uitsluiting van onbekende variabelen: eerst wordt x 1 uitgesloten van alle vergelijkingen van het systeem, beginnend bij de tweede, dan wordt x 2 uitgesloten van alle vergelijkingen, beginnend bij de derde, enzovoort, totdat alleen de onbekende variabele x n blijft in de laatste vergelijking. Een dergelijk proces van het transformeren van de vergelijkingen van het systeem voor de opeenvolgende eliminatie van onbekende variabelen wordt genoemd directe Gauss-methode. Na voltooiing van de voorwaartse run van de Gauss-methode, wordt x n gevonden uit de laatste vergelijking, wordt x n-1 berekend uit de voorlaatste vergelijking met deze waarde, enzovoort, wordt x 1 gevonden uit de eerste vergelijking. Het proces van het berekenen van onbekende variabelen bij het verplaatsen van de laatste vergelijking van het systeem naar de eerste heet omgekeerde Gauss-methode.

Laten we kort het algoritme beschrijven voor het elimineren van onbekende variabelen.

We nemen aan dat , omdat we dit altijd kunnen bereiken door de vergelijkingen van het systeem te herschikken. We sluiten de onbekende variabele x 1 uit van alle vergelijkingen van het systeem, beginnend bij de tweede. Om dit te doen, voegt u de eerste vergelijking vermenigvuldigd met toe aan de tweede vergelijking van het systeem, voegt u de eerste vermenigvuldigd met toe aan de derde vergelijking, enzovoort, voegt u de eerste vermenigvuldigd met toe aan de n-de vergelijking. Het stelsel vergelijkingen na dergelijke transformaties zal de vorm aannemen

waar een .

We zouden tot hetzelfde resultaat komen als we x 1 zouden uitdrukken in termen van andere onbekende variabelen in de eerste vergelijking van het systeem en de resulterende uitdrukking in alle andere vergelijkingen zouden vervangen. De variabele x 1 wordt dus uitgesloten van alle vergelijkingen, beginnend bij de tweede.

Vervolgens handelen we op dezelfde manier, maar alleen met een deel van het resulterende systeem, dat is gemarkeerd in de figuur

Om dit te doen, voegt u de tweede vergelijking vermenigvuldigd met toe aan de derde vergelijking van het systeem, voegt u de tweede vermenigvuldigd met toe aan de vierde vergelijking, enzovoort, voegt u de tweede vermenigvuldigd met toe aan de n-de vergelijking. Het stelsel vergelijkingen na dergelijke transformaties zal de vorm aannemen

waar een . De variabele x 2 wordt dus uitgesloten van alle vergelijkingen, beginnend bij de derde.

Vervolgens gaan we verder met de eliminatie van de onbekende x 3, terwijl we op dezelfde manier handelen met het deel van het systeem dat in de afbeelding is gemarkeerd

Dus we gaan door met de directe koers van de Gauss-methode totdat het systeem de vorm aanneemt

Vanaf dit moment beginnen we het omgekeerde verloop van de Gauss-methode: we berekenen x n uit de laatste vergelijking als , met behulp van de verkregen waarde x n vinden we x n-1 uit de voorlaatste vergelijking, enzovoort, vinden we x 1 uit de eerste vergelijking.

Voorbeeld.

Los het stelsel van lineaire vergelijkingen op Gauss-methode.

Oplossing.

Laten we de onbekende variabele x 1 uitsluiten van de tweede en derde vergelijking van het systeem. Om dit te doen, voegen we aan beide delen van de tweede en derde vergelijking de overeenkomstige delen van de eerste vergelijking toe, vermenigvuldigd met respectievelijk:

Nu sluiten we x 2 uit van de derde vergelijking door aan de linker- en rechterdelen de linker- en rechterdelen van de tweede vergelijking toe te voegen, vermenigvuldigd met:

Hierop is de voorwaartse koers van de Gauss-methode voltooid, we beginnen de omgekeerde koers.

Uit de laatste vergelijking van het resulterende stelsel vergelijkingen vinden we x 3:

Uit de tweede vergelijking krijgen we .

Uit de eerste vergelijking vinden we de resterende onbekende variabele en dit voltooit het omgekeerde verloop van de Gauss-methode.

Antwoorden:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen van algemene vorm oplossen.

In het algemene geval valt het aantal vergelijkingen van het stelsel p niet samen met het aantal onbekende variabelen n:

Dergelijke SLAE's hebben mogelijk geen oplossingen, hebben een enkele oplossing of hebben oneindig veel oplossingen. Deze verklaring is ook van toepassing op stelsels van vergelijkingen waarvan de hoofdmatrix vierkant en gedegenereerd is.

Kronecker-Capelli stelling.

Alvorens een oplossing te vinden voor een stelsel lineaire vergelijkingen, is het noodzakelijk om de compatibiliteit ervan vast te stellen. Het antwoord op de vraag wanneer SLAE compatibel is, en wanneer het niet compatibel is, geeft: Stelling van Kronecker-Capelli:
voor een stelsel van p vergelijkingen met n onbekenden (p kan gelijk zijn aan n ) om consistent te zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem gelijk is aan de rangorde van de uitgebreide matrix, dat wil zeggen, Rang( A)=Rang(T) .

Laten we als voorbeeld de toepassing van de stelling van Kronecker-Cappelli voor het bepalen van de compatibiliteit van een stelsel lineaire vergelijkingen beschouwen.

Voorbeeld.

Zoek uit of het stelsel lineaire vergelijkingen heeft oplossingen.

Oplossing.

. Laten we de methode van bordering minors gebruiken. Minor van de tweede orde anders dan nul. Laten we eens kijken naar de derde-orde minderjarigen eromheen:

Aangezien alle aangrenzende derde-orde minderjarigen gelijk zijn aan nul, is de rangorde van de hoofdmatrix twee.

Op zijn beurt is de rangorde van de augmented matrix is gelijk aan drie, aangezien de mineur van de derde orde

anders dan nul.

Op deze manier, Rang(A) , daarom kunnen we volgens de stelling van Kronecker-Capelli concluderen dat het oorspronkelijke stelsel van lineaire vergelijkingen inconsistent is.

Antwoorden:

Er is geen oplossingssysteem.

We hebben dus geleerd om de inconsistentie van het systeem vast te stellen met behulp van de stelling van Kronecker-Capelli.

Maar hoe vindt u de oplossing van de SLAE als de compatibiliteit ervan is vastgesteld?

Om dit te doen, hebben we het concept van de basisminor van een matrix en de stelling op de rangorde van een matrix nodig.

De hoogste orde minor van de matrix A, anders dan nul, heet basis.

Uit de definitie van de basis minor volgt dat de volgorde gelijk is aan de rangorde van de matrix. Voor een niet-nulmatrix A kunnen er meerdere basisminoren zijn; er is altijd één basisminor.

Beschouw bijvoorbeeld de matrix .

Alle derde-orde minoren van deze matrix zijn gelijk aan nul, aangezien de elementen van de derde rij van deze matrix de som zijn van de corresponderende elementen van de eerste en tweede rij.

De volgende minderjarigen van de tweede orde zijn basis, omdat ze niet nul zijn:

minderjarigen zijn niet basaal, omdat ze gelijk zijn aan nul.

Matrix rang stelling.

Als de rangorde van een matrix van orde p door n r is, dan worden alle elementen van de rijen (en kolommen) van de matrix die niet de gekozen basisminor vormen lineair uitgedrukt in termen van de overeenkomstige elementen van de rijen (en kolommen) ) die de basisminor vormen.

Wat geeft de matrixrangstelling ons?

Als we volgens de stelling van Kronecker-Capelli de compatibiliteit van het systeem hebben vastgesteld, dan kiezen we een basismineur van de hoofdmatrix van het systeem (de volgorde is gelijk aan r), en sluiten we alle vergelijkingen uit die niet de gekozen basisminor vormen. De op deze manier verkregen SLAE zal equivalent zijn aan de oorspronkelijke, aangezien de weggegooide vergelijkingen nog steeds overbodig zijn (volgens de matrixrangstelling zijn ze een lineaire combinatie van de resterende vergelijkingen).

Dientengevolge zijn, na het weggooien van de buitensporige vergelijkingen van het systeem, twee gevallen mogelijk.

Als het aantal vergelijkingen r in het resulterende systeem gelijk is aan het aantal onbekende variabelen, dan is het definitief en kan de enige oplossing worden gevonden met de Cramer-methode, de matrixmethode of de Gauss-methode.

Voorbeeld.

.

Oplossing.

Rang van de hoofdmatrix van het systeem is gelijk aan twee, aangezien de mineur van de tweede orde anders dan nul. Uitgebreide matrixrang is ook gelijk aan twee, aangezien de enige kleine van de derde orde gelijk is aan nul

en de mineur van de tweede orde hierboven beschouwd is verschillend van nul. Op basis van de stelling van Kronecker-Capelli kan men de compatibiliteit van het oorspronkelijke stelsel van lineaire vergelijkingen bevestigen, aangezien Rang(A)=Rang(T)=2 .

Als basisminor nemen we . Het wordt gevormd door de coëfficiënten van de eerste en tweede vergelijking:


De derde vergelijking van het systeem neemt niet deel aan de vorming van de basisminor, dus we sluiten het uit van het systeem op basis van de matrixrangstelling:


Zo hebben we een elementair stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen verkregen. Laten we het oplossen met de methode van Cramer:


Antwoorden:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Als het aantal vergelijkingen r in de resulterende SLAE kleiner is dan het aantal onbekende variabelen n, dan laten we de termen die de basis-minor vormen in de linker delen van de vergelijkingen, en brengen de resterende termen over naar de rechter delen van de vergelijkingen van het systeem met het tegenovergestelde teken.

De onbekende variabelen (er zijn er r van) die aan de linkerkant van de vergelijkingen blijven, worden genoemd hoofd.

Onbekende variabelen (er zijn er n - r van) die aan de rechterkant belandden heten vrij.

Nu nemen we aan dat de vrije onbekende variabelen willekeurige waarden kunnen aannemen, terwijl de r belangrijkste onbekende variabelen op een unieke manier zullen worden uitgedrukt in termen van de vrije onbekende variabelen. Hun uitdrukking kan worden gevonden door de resulterende SLAE op te lossen met de Cramer-methode, de matrixmethode of de Gauss-methode.

Laten we een voorbeeld nemen.

Voorbeeld.

Los het stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen op .

Oplossing.

Vind de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem volgens de methode van de aangrenzende minderjarigen. Laten we een 1 1 = 1 nemen als een niet-nul eerste-orde minor. Laten we beginnen met het zoeken naar een tweede-orde minor die niet nul is rond deze minor:


Dus we vonden een minderjarige van de tweede orde. Laten we beginnen met zoeken naar een niet-nul aangrenzende minor van de derde orde:


De rangorde van de hoofdmatrix is ​​dus drie. De rangorde van de augmented matrix is ​​ook gelijk aan drie, dat wil zeggen, het systeem is consistent.

De gevonden niet-nul minor van de derde orde zal als basis worden genomen.

Voor de duidelijkheid tonen we de elementen die de basisminor vormen:


We laten de termen die deelnemen aan de basisminor aan de linkerkant van de vergelijkingen van het systeem staan, en brengen de rest met tegengestelde tekens over naar de rechterkant:


We geven gratis onbekende variabelen x 2 en x 5 willekeurige waarden, dat wil zeggen, we nemen , waar zijn willekeurige getallen. In dit geval heeft de SLAE de vorm


We lossen het verkregen elementaire stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen op met de Cramer-methode:


Vervolgens, .

Vergeet in het antwoord niet om vrije onbekende variabelen aan te geven.

Antwoorden:

Waar zijn willekeurige getallen.

Samenvatten.

Om een ​​stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen van een algemene vorm op te lossen, zoeken we eerst de compatibiliteit ervan uit met behulp van de stelling van Kronecker-Capelli. Als de rangorde van de hoofdmatrix niet gelijk is aan de rangorde van de uitgebreide matrix, dan concluderen we dat het systeem inconsistent is.

Als de rangorde van de hoofdmatrix gelijk is aan de rangorde van de uitgebreide matrix, dan kiezen we de basisminor en negeren we de vergelijkingen van het systeem die niet deelnemen aan de vorming van de gekozen basisminor.

Als de volgorde van de basisminor gelijk is aan het aantal onbekende variabelen, dan heeft de SLAE een unieke oplossing, die met elke bij ons bekende methode te vinden is.

Als de volgorde van de basisminor kleiner is dan het aantal onbekende variabelen, laten we aan de linkerkant van de vergelijkingen van het systeem de termen met de belangrijkste onbekende variabelen, brengen de resterende termen over naar de rechterkant en kennen willekeurige waarden toe ​naar de vrije onbekende variabelen. Uit het resulterende stelsel lineaire vergelijkingen vinden we de belangrijkste onbekende variabelen volgens de Cramer-methode, de matrixmethode of de Gauss-methode.

Gauss-methode voor het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen van algemene vorm.

Met behulp van de Gauss-methode kan men stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen van welke aard dan ook oplossen zonder voorafgaand onderzoek naar compatibiliteit. Het proces van opeenvolgende eliminatie van onbekende variabelen maakt het mogelijk om een ​​conclusie te trekken over zowel de compatibiliteit als de inconsistentie van de SLAE, en als er een oplossing bestaat, maakt het het mogelijk om deze te vinden.

Vanuit het oogpunt van computationeel werk verdient de Gauss-methode de voorkeur.

Zie de gedetailleerde beschrijving en geanalyseerde voorbeelden in het artikel Gauss-methode voor het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen van algemene vorm.

Het opnemen van de algemene oplossing van homogene en inhomogene lineaire algebraïsche systemen met behulp van de vectoren van het fundamentele systeem van oplossingen.

In deze sectie zullen we ons concentreren op gezamenlijke homogene en inhomogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen die een oneindig aantal oplossingen hebben.

Laten we eerst homogene systemen behandelen.

Fundamenteel beslissingssysteem Een homogeen stelsel van p lineaire algebraïsche vergelijkingen met n onbekende variabelen is een verzameling (n – r) lineair onafhankelijke oplossingen van dit stelsel, waarbij r de orde is van de basisminor van de hoofdmatrix van het stelsel.

Als we lineair onafhankelijke oplossingen van een homogene SLAE aanduiden als X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) zijn matrices kolommen met dimensie n door 1 ), dan wordt de algemene oplossing van dit homogene systeem weergegeven als een lineaire combinatie van vectoren van het fundamentele systeem van oplossingen met willekeurige constante coëfficiënten С 1 , С 2 , …, С (n-r), dat wil zeggen, .

Wat betekent de term algemene oplossing van een homogeen stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen (oroslau)?

De betekenis is eenvoudig: de formule specificeert alle mogelijke oplossingen voor de oorspronkelijke SLAE, met andere woorden, het nemen van een willekeurige reeks waarden van willekeurige constanten C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , volgens de formule die we krijgt een van de oplossingen van de oorspronkelijke homogene SLAE.

Dus als we een fundamenteel systeem van oplossingen vinden, kunnen we alle oplossingen van deze homogene SLAE instellen als .

Laten we het proces laten zien van het construeren van een fundamenteel systeem van oplossingen voor een homogene SLAE.

We kiezen de basismineur van het oorspronkelijke stelsel van lineaire vergelijkingen, sluiten alle andere vergelijkingen uit van het stelsel, en brengen naar de rechterkant van de vergelijkingen van het stelsel met tegengestelde tekens alle termen met vrije onbekende variabelen over. Laten we de vrije onbekende variabelen de waarden 1,0,0,...,0 geven en de belangrijkste onbekenden berekenen door het resulterende elementaire stelsel van lineaire vergelijkingen op een of andere manier op te lossen, bijvoorbeeld door de Cramer-methode. Zo zal X (1) worden verkregen - de eerste oplossing van het fundamentele systeem. Als we de vrije onbekenden de waarden 0,1,0,0,…,0 geven en de belangrijkste onbekenden berekenen, dan krijgen we X (2) . Enzovoort. Als we de vrije onbekende variabelen de waarden 0,0,…,0,1 geven en de belangrijkste onbekenden berekenen, dan krijgen we X (n-r) . Dit is hoe het fundamentele systeem van oplossingen van de homogene SLAE zal worden geconstrueerd en de algemene oplossing kan worden geschreven in de vorm .

Voor inhomogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen wordt de algemene oplossing weergegeven als

Laten we naar voorbeelden kijken.

Voorbeeld.

Vind het fundamentele systeem van oplossingen en de algemene oplossing van een homogeen systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen .

Oplossing.

De rangorde van de hoofdmatrix van homogene stelsels lineaire vergelijkingen is altijd gelijk aan de rangorde van de uitgebreide matrix. Laten we de rangorde van de hoofdmatrix vinden door de methode van het afbakenen van minderjarigen. Als een niet-nul minor van de eerste orde nemen we het element a 1 1 = 9 van de hoofdmatrix van het systeem. Zoek de aangrenzende niet-nul minor van de tweede orde:

Een minderjarige van de tweede orde, verschillend van nul, wordt gevonden. Laten we door de derde-orde minderjarigen gaan die eraan grenzen, op zoek naar een niet-nul:

Alle aangrenzende minderjarigen van de derde orde zijn gelijk aan nul, daarom is de rangorde van de hoofd- en uitgebreide matrix twee. Laten we de basisminor nemen. Voor de duidelijkheid noteren we de elementen van het systeem waaruit het bestaat:

De derde vergelijking van de originele SLAE neemt niet deel aan de vorming van de basismineur, daarom kan deze worden uitgesloten:

We laten de termen met de belangrijkste onbekenden aan de rechterkant van de vergelijkingen staan, en brengen de termen met vrije onbekenden over naar de rechterkant:

Laten we een fundamenteel systeem van oplossingen construeren voor het oorspronkelijke homogene systeem van lineaire vergelijkingen. Het fundamentele systeem van oplossingen van deze SLAE bestaat uit twee oplossingen, aangezien de oorspronkelijke SLAE vier onbekende variabelen bevat en de volgorde van de fundamentele minor twee is. Om X (1) te vinden, geven we de gratis onbekende variabelen de waarden x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, dan vinden we de belangrijkste onbekenden uit het systeem van vergelijkingen
.