Oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen, oplossingsmethoden, voorbeelden. Vind de algemene oplossing van het systeem en fsr

Matrixgegevens

Vind: 1) aA - bB,

Oplossing: 1) We vinden sequentieel, met behulp van de regels voor het vermenigvuldigen van een matrix met een getal en het optellen van matrices ..

2. Zoek A*B als

Oplossing: Gebruik de matrixvermenigvuldigingsregel

Antwoorden:

3. Zoek voor een gegeven matrix de kleine M 31 en bereken de determinant.

Oplossing: Minor M 31 is de determinant van de matrix die wordt verkregen uit A

na het verwijderen van rij 3 en kolom 1. Find

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Laten we de matrix A transformeren zonder de determinant te veranderen (laten we nullen maken in rij 1)

Nu berekenen we de determinant van matrix A door uitzetting langs rij 1

Antwoord: M 31 = 0, detA = 0

Los op met behulp van de Gauss-methode en de Cramer-methode.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Oplossing: Laten we het controleren

Je kunt de methode van Cramer gebruiken

Systeemoplossing: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

We passen de Gauss-methode toe.

We reduceren de uitgebreide matrix van het systeem tot een driehoekige vorm.

Voor het gemak van berekeningen verwisselen we de regels:

Vermenigvuldig de 2e rij met (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) en voeg toe aan de 3e:

Vermenigvuldig de 1e rij met (k = -2 / 2 = -1 ) en voeg toe aan de 2e:

Nu kan het oorspronkelijke systeem worden geschreven als:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Vanaf de 2e regel drukken we uit

Vanaf de 1e regel drukken we uit

De oplossing is hetzelfde.

Antwoord: (2; -5; 3)

Vind de algemene oplossing van het systeem en FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Oplossing: Pas de Gauss-methode toe. We reduceren de uitgebreide matrix van het systeem tot een driehoekige vorm.

Vermenigvuldig de 1e rij met (-11). Vermenigvuldig de 2e rij met (13). Laten we de 2e regel toevoegen aan de 1e:

Vermenigvuldig de 2e rij met (-5). Vermenigvuldig de 3e rij met (11). Laten we de 3e regel toevoegen aan de 2e:

Vermenigvuldig de 3e rij met (-7). Vermenigvuldig de 4e rij met (5). Laten we de 4e regel toevoegen aan de 3e:

De tweede vergelijking is een lineaire combinatie van de rest

Zoek de rang van de matrix.

De geselecteerde minor heeft de hoogste orde (van alle mogelijke minors) en is niet nul (het is gelijk aan het product van de elementen op de reciproke diagonaal), dus rang(A) = 2.

Deze minor is basis. Het bevat coëfficiënten voor onbekend x 1, x 2, wat betekent dat de onbekende x 1, x 2 afhankelijk zijn (basis), en x 3, x 4, x 5 vrij zijn.

Het systeem met de coëfficiënten van deze matrix is ​​gelijk aan het originele systeem en heeft de vorm:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Door de methode van eliminatie van onbekenden, vinden we: gemeenschappelijke beslissing:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

We vinden een fundamenteel systeem van oplossingen (FSR), dat bestaat uit (n-r) oplossingen. In ons geval, n=5, r=2, bestaat het fundamentele systeem van oplossingen dus uit 3 oplossingen, en deze oplossingen moeten lineair onafhankelijk zijn.

Om de rijen lineair onafhankelijk te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat de rangorde van de matrix die is samengesteld uit de elementen van de rijen gelijk is aan het aantal rijen, d.w.z. 3.

Het is voldoende om de vrije onbekenden x 3 ,x 4 ,x 5 waarden te geven uit de rijen van de determinant van de 3e orde, verschillend van nul, en x 1,x 2 te berekenen.

De eenvoudigste niet-nul determinant is de identiteitsmatrix.

Maar hier is het handiger om mee te nemen

We vinden met behulp van de algemene oplossing:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4

I FSR-beslissing: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 E

II FSR-beslissing: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 E

III FSR-beslissing: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Gegeven: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Zoek: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Oplossing: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Antwoord: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i

Een homogeen systeem is altijd consistent en heeft een triviale oplossing
. Om een ​​niet-triviale oplossing te laten bestaan, is het noodzakelijk dat de rangorde van de matrix was kleiner dan het aantal onbekenden:

.

Fundamenteel beslissingssysteem homogeen systeem
noem het systeem van oplossingen in de vorm van kolomvectoren
, die overeenkomen met de canonieke basis, d.w.z. basis waarin willekeurige constanten
worden afwisselend op één gesteld, terwijl de rest op nul wordt gezet.

Dan heeft de algemene oplossing van het homogene systeem de vorm:

waar
zijn willekeurige constanten. Met andere woorden, de algemene oplossing is een lineaire combinatie van het fundamentele systeem van oplossingen.

De basisoplossingen kunnen dus worden verkregen uit de algemene oplossing als de vrije onbekenden afwisselend de waarde van eenheid krijgen, ervan uitgaande dat alle andere gelijk zijn aan nul.

Voorbeeld. Laten we een oplossing voor het systeem vinden

We accepteren , dan krijgen we de oplossing in de vorm:

Laten we nu een fundamenteel systeem van oplossingen construeren:

.

De algemene oplossing kan worden geschreven als:

Oplossingen van een stelsel van homogene lineaire vergelijkingen hebben de volgende eigenschappen:

Met andere woorden, elke lineaire combinatie van oplossingen tot een homogeen systeem is weer een oplossing.

Oplossing van stelsels lineaire vergelijkingen volgens de Gauss-methode

Het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen is al eeuwenlang interessant voor wiskundigen. De eerste resultaten werden verkregen in de achttiende eeuw. In 1750 publiceerde G. Kramer (1704-1752) zijn werken over de determinanten van vierkante matrices en stelde hij een algoritme voor om de inverse matrix te vinden. In 1809 schetste Gauss een nieuwe oplossingsmethode die bekend staat als de eliminatiemethode.

De Gauss-methode, of de methode van opeenvolgende eliminatie van onbekenden, bestaat in het feit dat, met behulp van elementaire transformaties, het systeem van vergelijkingen wordt gereduceerd tot een equivalent systeem van een getrapte (of driehoekige) vorm. Met dergelijke systemen kunt u consequent alle onbekenden in een bepaalde volgorde vinden.

Stel dat in systeem (1)
(wat altijd kan).

(1)

De eerste vergelijking op zijn beurt vermenigvuldigen met de zogenaamde geschikte nummers

en als we het resultaat van vermenigvuldiging met de overeenkomstige vergelijkingen van het systeem toevoegen, krijgen we een equivalent systeem waarin alle vergelijkingen, behalve de eerste, geen onbekende hebben X 1

(2)

We vermenigvuldigen nu de tweede vergelijking van stelsel (2) met geschikte getallen, ervan uitgaande dat

,

en door het toe te voegen aan de lagere, elimineren we de variabele van alle vergelijkingen, te beginnen met de derde.

Voortzetting van dit proces, na
stappen die we krijgen:

(3)

Als ten minste een van de nummers
niet gelijk is aan nul, dan is de corresponderende gelijkheid inconsistent en systeem (1) inconsistent. Omgekeerd, voor elk gezamenlijk nummersysteem
zijn gelijk aan nul. Nummer is niets anders dan de rangorde van de systeemmatrix (1).

De overgang van systeem (1) naar (3) heet in een rechte lijn Gauss-methode, en het vinden van onbekenden van (3) - achteruit .

Opmerking : Het is handiger om transformaties niet uit te voeren met de vergelijkingen zelf, maar met de uitgebreide matrix van het systeem (1).

Voorbeeld. Laten we een oplossing voor het systeem vinden

.

We schrijven de augmented matrix van het systeem:

.

Laten we aan de regels 2,3,4 de eerste toevoegen, vermenigvuldigd met respectievelijk (-2), (-3), (-2):

.

Laten we rijen 2 en 3 omwisselen en in de resulterende matrix rij 2 toevoegen aan rij 4, vermenigvuldigd met :

.

Toevoegen aan regel 4 regel 3 vermenigvuldigd met
:

.

Het is duidelijk dat
, dus het systeem is compatibel. Uit het resulterende stelsel vergelijkingen

vinden we de oplossing door omgekeerde substitutie:

,
,
,
.

Voorbeeld 2 Zoek systeemoplossing:

.

Het is duidelijk dat het systeem inconsistent is, omdat:
, a
.

Voordelen van de Gauss-methode :

Minder tijdrovend dan de methode van Cramer.

Stelt ondubbelzinnig de compatibiliteit van het systeem vast en stelt u in staat een oplossing te vinden.

Geeft de mogelijkheid om de rangorde van alle matrices te bepalen.

Laten M 0 is de verzameling oplossingen van het homogene systeem (4) van lineaire vergelijkingen.

Definitie 6.12. Vectoren Met 1 ,Met 2 , …, met p, die oplossingen zijn van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen, worden genoemd fundamentele reeks oplossingen(afgekort FNR) als

1) vectoren Met 1 ,Met 2 , …, met p lineair onafhankelijk (dat wil zeggen, geen van hen kan worden uitgedrukt in termen van de andere);

2) elke andere oplossing van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen kan worden uitgedrukt in termen van oplossingen Met 1 ,Met 2 , …, met p.

Merk op dat als Met 1 ,Met 2 , …, met p is wat f.n.r., dan door de uitdrukking k 1× Met 1 + k 2× Met 2 + … + kp× met p kan de hele set beschrijven M 0 oplossingen voor systeem (4), zo heet het algemeen beeld van de systeemoplossing (4).

Stelling 6.6. Elk onbepaald homogeen systeem van lineaire vergelijkingen heeft een fundamentele reeks oplossingen.

De manier om de fundamentele reeks oplossingen te vinden is als volgt:

Vind de algemene oplossing van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen;

bouwen ( n – r) deeloplossingen van dit systeem, waarbij de waarden van de vrije onbekenden een identiteitsmatrix moeten vormen;

Schrijf de algemene vorm van de oplossing op die is opgenomen in M 0 .

Voorbeeld 6.5. Zoek een fundamentele reeks oplossingen voor het volgende systeem:

Oplossing. Laten we de algemene oplossing van dit systeem vinden.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Dit systeem heeft vijf onbekenden ( n= 5), waarvan er twee principiële onbekenden zijn ( r= 2), drie gratis onbekenden ( n – r), dat wil zeggen, de fundamentele verzameling oplossingen bevat drie oplossingsvectoren. Laten we ze bouwen. Wij hebben x 1 en x 3 - belangrijkste onbekenden, x 2 , x 4 , x 5 - gratis onbekenden

Waarden van gratis onbekenden x 2 , x 4 , x 5 vormen de identiteitsmatrix E derde bestelling. Heb je die vectoren Met 1 ,Met 2 , Met 3 vorm v.n.r. dit systeem. Dan is de verzameling oplossingen van dit homogene systeem: M 0 = {k 1× Met 1 + k 2× Met 2 + k 3× Met 3 , k 1 , k 2 , k 3 R).

Laten we nu de voorwaarden ontdekken voor het bestaan ​​van niet-nuloplossingen van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen, met andere woorden, de voorwaarden voor het bestaan ​​van een fundamentele reeks oplossingen.

Een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen heeft oplossingen die niet nul zijn, dat wil zeggen dat het onbepaald is als

1) de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem is kleiner dan het aantal onbekenden;

2) in een homogeen stelsel van lineaire vergelijkingen is het aantal vergelijkingen kleiner dan het aantal onbekenden;

3) als in een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekenden, en de determinant van de hoofdmatrix gelijk is aan nul (d.w.z. | EEN| = 0).

Voorbeeld 6.6. Bij welke waarde van de parameter a homogeen stelsel lineaire vergelijkingen heeft niet-nul oplossingen?

Oplossing. Laten we de hoofdmatrix van dit systeem samenstellen en de determinant ervan vinden: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. De determinant van deze matrix is ​​gelijk aan nul wanneer a = –4.

Antwoorden: –4.

7. Rekenen n-dimensionale vectorruimte

Basisconcepten

In de vorige paragrafen kwamen we al het concept tegen van een reeks reële getallen die in een bepaalde volgorde zijn gerangschikt. Dit is een rijmatrix (of kolommatrix) en een oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen met n onbekend. Deze informatie kan worden samengevat.

Definitie 7.1. n-dimensionale rekenkundige vector heet een geordende set van n echte getallen.

Middelen a= (a 1 , een 2 , …, a n), waar een i R, i = 1, 2, …, n is het algemene beeld van de vector. Nummer n genaamd dimensie vector, en de getallen a i belde hem coördinaten.

Bijvoorbeeld: a= (1, –8, 7, 4, ) is een vijfdimensionale vector.

Alles klaar n-dimensionale vectoren worden meestal aangeduid als R n.

Definitie 7.2. Twee vectoren a= (a 1 , een 2 , …, a n) en b= (b 1 , b 2 , …, b n) van dezelfde dimensie Gelijk als en slechts als hun respectievelijke coördinaten gelijk zijn, d.w.z. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definitie 7.3.som twee n-dimensionale vectoren a= (a 1 , een 2 , …, a n) en b= (b 1 , b 2 , …, b n) heet een vector a + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).

Definitie 7.4. werk echt nummer k per vector a= (a 1 , een 2 , …, a n) heet een vector k× a = (k× een 1 , k×a 2 , …, k×a n)

Definitie 7.5. Vector over= (0, 0, …, 0) heet nul(of null-vector).

Het is gemakkelijk te controleren of de acties (bewerkingen) van het optellen van vectoren en het vermenigvuldigen met een reëel getal de volgende eigenschappen hebben: a, b, c Î R n, " k, ik R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + over = a;

4) a+ (–a) = over;

5) 1× a = a, 1 R;

6) k×( ik× a) = ik×( k× a) = (ik× k)× a;

7) (k + ik)× a = k× a + ik× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definitie 7.6. Veel R n met de bewerkingen van het optellen van vectoren en het vermenigvuldigen ervan met een reëel getal dat erop staat, heet rekenkundige n-dimensionale vectorruimte.

De Gauss-methode heeft een aantal nadelen: het is onmogelijk om te weten of het systeem consistent is of niet totdat alle transformaties die nodig zijn in de Gauss-methode zijn uitgevoerd; de Gauss-methode is niet geschikt voor systemen met lettercoëfficiënten.

Overweeg andere methoden voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. Deze methoden gebruiken het concept van de rangorde van een matrix en reduceren de oplossing van elk gezamenlijk systeem tot de oplossing van een systeem waarop de regel van Cramer van toepassing is.

voorbeeld 1 Vind de algemene oplossing van het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met behulp van het fundamentele stelsel van oplossingen van het gereduceerde homogene systeem en een bepaalde oplossing van het inhomogene systeem.

1. We maken een matrix EEN en de augmented matrix van het systeem (1)

2. Verken het systeem (1) voor compatibiliteit. Om dit te doen, vinden we de rangen van de matrices EEN en https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Als blijkt dat , dan is het systeem (1) onverenigbaar. Als we dat krijgen , dan is dit systeem consistent en lossen we het op. (De consistentiestudie is gebaseerd op de stelling van Kronecker-Capelli).

a. We vinden rA.

Vinden rA, we zullen achtereenvolgens niet-nul minderjarigen van de eerste, tweede, enz. orde van de matrix beschouwen EEN en de minderjarigen om hen heen.

M1=1≠0 (1 is afkomstig uit de linkerbovenhoek van de matrix MAAR).

grenzend aan M1 de tweede rij en tweede kolom van deze matrix. . We blijven aan de grens M1 de tweede regel en de derde kolom..gif" width="37" height="20 src=">. Nu grenzen we aan de niet-nul minor М2′ tweede bestelling.

Wij hebben: (omdat de eerste twee kolommen hetzelfde zijn)

(omdat de tweede en derde regel proportioneel zijn).

We zien dat rA=2, en is de basis minor van de matrix EEN.

b. We vinden .

Voldoende basis minor М2′ matrices EEN rand met een kolom met gratis leden en alle regels (we hebben alleen de laatste regel).

. Hieruit volgt dat М3′′ blijft de basis minor van de matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Omdat М2′- basis minor van de matrix EEN systemen (2) , dan is dit systeem gelijk aan het systeem (3) , bestaande uit de eerste twee vergelijkingen van het systeem (2) (voor М2′ staat in de eerste twee rijen van matrix A).

(3)

Aangezien de basisminor https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> is (4)

In dit systeem zijn twee vrije onbekenden ( x2 en x4 ). Dat is waarom FSR systemen (4) bestaat uit twee oplossingen. Om ze te vinden, kennen we gratis onbekenden toe aan: (4) waarden eerst x2=1 , x4=0 , en dan - x2=0 , x4=1 .

Bij x2=1 , x4=0 we krijgen:

.

Dit systeem heeft al het enige oplossing (deze kan worden gevonden door de regel van Cramer of door een andere methode). Als we de eerste vergelijking van de tweede vergelijking aftrekken, krijgen we:

Haar besluit zal zijn: x1= -1 , x3=0 . Gezien de waarden x2 en x4 , die we hebben gegeven, verkrijgen we de eerste fundamentele oplossing van het systeem (2) : .

Nu zetten we in (4) x2=0 , x4=1 . We krijgen:

.

We lossen dit stelsel op met behulp van de stelling van Cramer:

.

We verkrijgen de tweede fundamentele oplossing van het systeem (2) : .

Oplossingen β1 , β2 en make-up FSR systemen (2) . Dan is de algemene oplossing:

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Hier C1 , C2 zijn willekeurige constanten.

4. Zoek er een privaat oplossing heterogeen systeem(1) . Zoals in paragraaf 3 , in plaats van het systeem (1) overweeg het equivalente systeem (5) , bestaande uit de eerste twee vergelijkingen van het systeem (1) .

(5)

Laten we de vrije onbekenden naar de rechterkant verplaatsen x2 en x4.

(6)

Laten we gratis onbekenden geven x2 en x4 willekeurige waarden, bijv. x2=2 , x4=1 en sluit ze aan op (6) . Laten we het systeem pakken

Dit systeem heeft een unieke oplossing (omdat zijn determinant М2′0). Als we het oplossen (met behulp van de stelling van Cramer of de methode van Gauss), krijgen we: x1=3 , x3=3 . Gezien de waarden van de gratis onbekenden x2 en x4 , we krijgen bepaalde oplossing van een inhomogeen systeem(1)α1=(3,2,3,1).

5. Nu blijft het schrijven algemene oplossing α van een inhomogeen systeem(1) : het is gelijk aan de som privé beslissing dit systeem en algemene oplossing van het gereduceerde homogene systeem (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Dit betekent: (7)

6. Inspectie. Om te controleren of je het systeem correct hebt opgelost (1) , we hebben een algemene oplossing nodig (7) vervangen door (1) . Als elke vergelijking een identiteit wordt ( C1 en C2 moet worden vernietigd), dan is de oplossing correct gevonden.

We zullen vervangen (7) bijvoorbeeld alleen in de laatste vergelijking van het systeem (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

We krijgen: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Waar -1=-1. We hebben een identiteit. We doen dit met alle andere vergelijkingen van het systeem (1) .

Opmerking. Verificatie is meestal vrij omslachtig. We kunnen de volgende "gedeeltelijke controle" aanbevelen: in de algehele oplossing van het systeem (1) wijs enkele waarden toe aan willekeurige constanten en vervang de resulterende specifieke oplossing alleen in de weggegooide vergelijkingen (d.w.z. in die vergelijkingen van (1) die niet zijn opgenomen in (5) ). Als je identiteiten krijgt, dan? meest waarschijnlijke, oplossing van het systeem (1) correct gevonden (maar een dergelijke controle geeft geen volledige garantie op correctheid!). Als in bijv (7) leggen C2=- 1 , C1=1, dan krijgen we: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Substitueren in de laatste vergelijking van systeem (1), we hebben: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , d.w.z. –1=–1. We hebben een identiteit.

Voorbeeld 2 Vind een algemene oplossing voor een stelsel lineaire vergelijkingen (1) , waarbij de belangrijkste onbekenden worden uitgedrukt in termen van gratis.

Oplossing. Als in voorbeeld 1, matrices samenstellen EEN en https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> van deze matrices. Nu laten we alleen die vergelijkingen van het systeem over (1) , waarvan de coëfficiënten zijn opgenomen in deze basisminor (d.w.z. we hebben de eerste twee vergelijkingen) en beschouwen het systeem dat daaruit bestaat, wat equivalent is aan systeem (1).

Laten we de vrije onbekenden naar de rechterkant van deze vergelijkingen verplaatsen.

systeem (9) we lossen op volgens de Gauss-methode, waarbij we de juiste delen als gratis leden beschouwen.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Optie 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Optie 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Optie 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Optie 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Een stelsel lineaire vergelijkingen waarin alle vrije termen gelijk zijn aan nul heet homogeen :

Elk homogeen systeem is altijd consistent, omdat het altijd: nul (triviaal ) oplossing. De vraag rijst onder welke voorwaarden een homogeen systeem een ​​niet-triviale oplossing zal hebben.

Stelling 5.2.Een homogeen systeem heeft een niet-triviale oplossing als en alleen als de rangorde van de onderliggende matrix kleiner is dan het aantal van zijn onbekenden.

Gevolg. Een vierkant homogeen systeem heeft een niet-triviale oplossing dan en slechts dan als de determinant van de hoofdmatrix van het systeem niet gelijk is aan nul.

Voorbeeld 5.6. Bepaal de waarden van de parameter l waarvoor het systeem niet-triviale oplossingen heeft en vind deze oplossingen:

Oplossing. Dit systeem heeft een niet-triviale oplossing wanneer de determinant van de hoofdmatrix gelijk is aan nul:

Het systeem is dus niet triviaal als l=3 of l=2. Voor l=3 is de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem 1. Dan, slechts één vergelijking overlatend en aannemende dat ja=a en z=b, we krijgen x=b-a, d.w.z.

Voor l=2 is de rangorde van de hoofdmatrix van het stelsel 2. Kies vervolgens als basisminor:

we krijgen een vereenvoudigd systeem

Vanaf hier vinden we dat x=z/4, y=z/2. Ervan uitgaande dat z=4a, we krijgen

De verzameling van alle oplossingen van een homogeen systeem heeft een zeer belangrijke lineaire eigenschap : als X kolommen 1 en X 2 - oplossingen van het homogene systeem AX = 0, dan elke lineaire combinatie ervan a X 1+b X 2 zal ook de oplossing van dit systeem zijn. Inderdaad, omdat BIJL 1 = 0 en BIJL 2 = 0 , dan EEN(a X 1+b X 2) = a BIJL 1+b BIJL 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Vanwege deze eigenschap, als een lineair systeem meer dan één oplossing heeft, zullen er oneindig veel van deze oplossingen zijn.

Lineair onafhankelijke kolommen E 1 , E 2 , E k, die oplossingen zijn van een homogeen systeem, heet fundamenteel beslissingssysteem homogeen stelsel lineaire vergelijkingen als de algemene oplossing van dit stelsel kan worden geschreven als een lineaire combinatie van deze kolommen:

Als een homogeen systeem heeft n variabelen, en de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem is gelijk aan r, dan k = n-r.

Voorbeeld 5.7. Vind het fundamentele stelsel van oplossingen van het volgende stelsel lineaire vergelijkingen:

Oplossing. Zoek de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem:

De reeks oplossingen van dit stelsel vergelijkingen vormt dus een lineaire deelruimte van dimensie n - r= 5 - 2 = 3. We kiezen als basisminor

.

Als we dan alleen de basisvergelijkingen overlaten (de rest is een lineaire combinatie van deze vergelijkingen) en de basisvariabelen (we verplaatsen de rest, de zogenaamde vrije variabelen naar rechts), krijgen we een vereenvoudigd systeem van vergelijkingen:

Ervan uitgaande dat x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, we vinden

, .

Ervan uitgaande dat a= 1, b=c= 0, we krijgen de eerste basisoplossing; ervan uitgaande dat b= 1, a = c= 0, we krijgen de tweede basisoplossing; ervan uitgaande dat c= 1, a = b= 0, krijgen we de derde basisoplossing. Als gevolg hiervan neemt het normale fundamentele systeem van oplossingen de vorm aan:

Met behulp van het fundamentele systeem kan de algemene oplossing van het homogene systeem worden geschreven als

X = aE 1 + zijn 2 + cE 3. a

Laten we enkele eigenschappen van oplossingen van het inhomogene stelsel lineaire vergelijkingen opmerken AX=B en hun relatie met het overeenkomstige homogene stelsel vergelijkingen AX = 0.

Algemene oplossing van een inhomogeen systeemis gelijk aan de som van de algemene oplossing van het overeenkomstige homogene systeem AX = 0 en een willekeurige bepaalde oplossing van het inhomogene systeem. Inderdaad, laten we Y 0 is een willekeurige specifieke oplossing van een inhomogeen systeem, d.w.z. AY 0 = B, en Y is de algemene oplossing van een inhomogeen systeem, d.w.z. AY=B. Als we de ene gelijkheid van de andere aftrekken, krijgen we
EEN(Y-Y 0) = 0, d.w.z. Y-Y 0 is de algemene oplossing van het overeenkomstige homogene systeem BIJL=0. Vervolgens, Y-Y 0 = X, of Y=Y 0 + X. QED

Laat een inhomogeen systeem de vorm hebben AX = B 1 + B 2 . Dan kan de algemene oplossing van zo'n systeem worden geschreven als X = X 1 + X 2 , waar AX 1 = B 1 en AX 2 = B 2. Deze eigenschap drukt de universele eigenschap uit van alle lineaire systemen in het algemeen (algebraïsch, differentieel, functioneel, enz.). In de natuurkunde heet deze eigenschap superpositie principe, in elektrische en radiotechniek - overlay-principe:. In de theorie van lineaire elektrische circuits kan de stroom in elk circuit bijvoorbeeld worden verkregen als een algebraïsche som van de stromen die door elke energiebron afzonderlijk worden veroorzaakt.