Major og mindre akser av ellipsen. Ellipse: definisjon, egenskaper, konstruksjon
11.1. Enkle konsepter
Betrakt linjene definert av ligninger av andre grad med hensyn til gjeldende koordinater
Koeffisientene til ligningen er reelle tall, men minst ett av tallene A, B eller C er ikke-null. Slike linjer kalles linjer (kurver) av andre orden. Det vil bli etablert nedenfor at ligning (11.1) definerer en sirkel, ellipse, hyperbel eller parabel i planet. Før vi går videre til denne påstanden, la oss studere egenskapene til de oppregnede kurvene.
11.2. Sirkel
Den enkleste kurven av andre orden er en sirkel. Husk at en sirkel med radius R sentrert ved et punkt er mengden av alle punktene Μ i planet som tilfredsstiller betingelsen. La et punkt i et rektangulært koordinatsystem ha koordinater x 0, y 0 a - et vilkårlig punkt i sirkelen (se fig. 48).
Så fra betingelsen får vi ligningen
(11.2)
Ligning (11.2) er tilfredsstilt av koordinatene til et hvilket som helst punkt på den gitte sirkelen og er ikke tilfredsstilt av koordinatene til et punkt som ikke ligger på sirkelen.
Ligning (11.2) kalles sirkelens kanoniske ligning
Spesielt, forutsatt og , får vi ligningen av en sirkel sentrert ved opprinnelsen 
.
Sirkelligningen (11.2) etter enkle transformasjoner vil ha formen . Når man sammenligner denne ligningen med den generelle ligningen (11.1) til en andreordenskurve, er det lett å se at to betingelser er oppfylt for ligningen til en sirkel:
1) koeffisientene ved x 2 og y 2 er lik hverandre;
2) det er ikke noe medlem som inneholder xy-produktet av gjeldende koordinater.
La oss vurdere det omvendte problemet. Ved å sette inn ligning (11.1) får vi verdiene og
La oss transformere denne ligningen:
(11.4)
Det følger at ligning (11.3) definerer en sirkel under betingelsen 
. Sentrum er ved punktet 
, og radiusen
.
Hvis 
, så har ligning (11.3) formen
.
Det tilfredsstilles av koordinatene til et enkelt punkt 
. I dette tilfellet sier de: "sirkelen har degenerert til et punkt" (har null radius).
Hvis en 
, så vil ikke ligning (11.4), og dermed den ekvivalente ligning (11.3), bestemme noen linje, siden høyre side av ligning (11.4) er negativ, og venstre side ikke er negativ (si: "imaginær sirkel").
11.3. Ellipse
Kanonisk ligning av en ellipse
Ellipse er settet av alle punkter i planet, summen av avstandene fra hver av dem til to gitte punkter i dette planet, kalt triks , er en konstant verdi større enn avstanden mellom brennpunktene.
Angi brennpunktene med F1 og F2, avstanden mellom dem i 2 c, og summen av avstandene fra et vilkårlig punkt på ellipsen til foci - til og med 2 en(se fig. 49). Per definisjon 2 en > 2c, dvs. en
> c.
For å utlede ligningen til en ellipse velger vi et koordinatsystem slik at brennpunktene F1 og F2 ligge på aksen , og origo faller sammen med midtpunktet av segmentet F 1 F 2. Da vil fokusene ha følgende koordinater: og .
La være et vilkårlig punkt på ellipsen. Da, i henhold til definisjonen av en ellipse, dvs.
Dette er faktisk ligningen av en ellipse.
Vi transformerer likning (11.5) til en enklere form som følger:
Fordi en>Med, deretter . La oss sette
(11.6)
Deretter tar den siste ligningen formen eller
(11.7)
Det kan bevises at ligning (11.7) er ekvivalent med den opprinnelige ligningen. Det heter den kanoniske ligningen til ellipsen .
Ellipse er en kurve av andre orden.
Studie av formen til en ellipse i henhold til dens ligning
La oss etablere formen på ellipsen ved å bruke dens kanoniske ligning.
1. Ligning (11.7) inneholder x og y bare i partall, så hvis et punkt tilhører en ellipse, så hører også punktene ,, til det. Det følger at ellipsen er symmetrisk med hensyn til aksene og , samt med hensyn til punktet , som kalles midten av ellipsen.
2. Finn skjæringspunktene til ellipsen med koordinataksene. Putting , finner vi to punkter og , hvor aksen skjærer ellipsen (se fig. 50). Setter vi inn ligning (11.7), finner vi skjæringspunktene til ellipsen med aksen: og . poeng EN 1 ,
A2 , B1, B2 kalt toppene av ellipsen. Segmenter EN 1 A2 og B1 B2, samt lengdene deres 2 en og 2 b kalles hhv store og små akser ellipse. Tall en og b kalles henholdsvis stor og liten. akselaksler ellipse.
3. Det følger av ligning (11.7) at hvert ledd på venstre side ikke overstiger én, dvs. det er ulikheter og eller og . Derfor ligger alle punktene på ellipsen inne i rektangelet som dannes av de rette linjene.
4. I ligning (11.7) er summen av ikke-negative ledd og lik en. Følgelig, når ett ledd øker, vil det andre avta, det vil si at hvis det øker, så avtar det og omvendt.
Av det som er sagt, følger det at ellipsen har formen vist i fig. 50 (oval lukket kurve).
Mer om ellipsen
Formen på ellipsen avhenger av forholdet. Når ellipsen blir til en sirkel, får ellipselikningen (11.7) formen . Som en karakteristikk av formen til en ellipse, brukes forholdet oftere. Forholdet mellom halvparten av avstanden mellom brennpunktene og halv-hovedaksen til ellipsen kalles ellipsens eksentrisitet og o6o er betegnet med bokstaven ε ("epsilon"):
med 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде
Dette viser at jo mindre eksentrisiteten til ellipsen er, desto mindre oblat vil ellipsen være; hvis vi setter ε = 0, blir ellipsen til en sirkel.
La M(x; y) være et vilkårlig punkt på ellipsen med foci F 1 og F 2 (se fig. 51). Lengdene til segmentene F 1 M=r 1 og F 2 M = r 2 kalles fokalradiene til punktet M. Åpenbart,
Det finnes formler
Rette linjer kalles
Teorem 11.1. Hvis er avstanden fra et vilkårlig punkt på ellipsen til et eller annet fokus, d er avstanden fra det samme punktet til retningslinjen som tilsvarer dette fokuset, så er forholdet en konstant verdi lik eksentrisiteten til ellipsen:
Det følger av likestilling (11.6) at . Hvis , definerer ligning (11.7) en ellipse, hvis hovedakse ligger på Oy-aksen, og mindreaksen ligger på Ox-aksen (se fig. 52). Fociene til en slik ellipse er på punktene og , hvor 
.
11.4. Hyperbel
Kanonisk ligning for en hyperbel
Overdrivelse settet med alle punkter i planet kalles, modulen til forskjellen i avstander fra hver av disse til to gitte punkter i dette planet, kalt triks , er en konstant verdi, mindre enn avstanden mellom brennpunktene.
Angi brennpunktene med F1 og F2 avstanden mellom dem gjennom 2s, og modulen til forskjellen i avstander fra hvert punkt av hyperbelen til foci gjennom 2a. Per definisjon 2a < 2s, dvs. en < c.
For å utlede hyperbelligningen velger vi et koordinatsystem slik at brennpunktene F1 og F2 ligge på aksen , og opprinnelsen falt sammen med midtpunktet av segmentet F 1 F 2(se fig. 53). Da vil fokusene ha koordinater og
La være et vilkårlig punkt av hyperbelen. Da i henhold til definisjonen av en hyperbel 
eller , det vil si etter forenklinger, slik det ble gjort ved utledning av ellipseligningen, får vi
kanonisk ligning for en hyperbel
(11.9)
(11.10)
En hyperbel er en linje av andre orden.
Undersøkelse av formen til en hyperbel i henhold til dens ligning
La oss etablere formen på hyperbelen ved å bruke dens kakoniske ligning.
1. Ligning (11.9) inneholder x og y bare i partall. Derfor er hyperbelen symmetrisk med hensyn til aksene og , samt med hensyn til punktet , som kalles midten av hyperbelen.
2. Finn skjæringspunktene til hyperbelen med koordinataksene. Setter vi inn ligning (11.9), finner vi to skjæringspunkter for hyperbelen med aksen : og . Setter vi inn (11.9), får vi , som ikke kan være. Derfor skjærer ikke hyperbelen y-aksen.
Poengene og kalles topper hyperbler og segmentet
ekte akse , linjestykke - ekte halvakse overdrivelse.
Linjestykket som forbinder punktene kalles imaginær akse , nummer b - imaginær akse . Rektangel med sider 2a og 2b kalt hovedrektangelet til en hyperbel .
3. Det følger av ligning (11.9) at minuend ikke er mindre enn én, dvs. at eller . Dette betyr at punktene til hyperbelen er plassert til høyre for linjen (høyre gren av hyperbelen) og til venstre for linjen (venstre gren av hyperbelen).
4. Fra likningen (11.9) til hyperbelen kan man se at når den øker, så øker den også. Dette følger av at forskjellen holder en konstant verdi lik én.
Det følger av det som er sagt at hyperbelen har formen vist i figur 54 (en kurve som består av to uavgrensede grener).
Asymptoter av en hyperbel
Linjen L kalles asymptoten 
av en ubegrenset kurve K hvis avstanden d fra punktet M i kurven K til denne linjen har en tendens til null når punktet M beveger seg langs kurven K i det uendelige fra origo. Figur 55 illustrerer konseptet med en asymptote: linjen L er en asymptote for kurven K.
La oss vise at hyperbelen har to asymptoter:
(11.11)
Siden linjene (11.11) og hyperbelen (11.9) er symmetriske i forhold til koordinataksene, er det tilstrekkelig å vurdere kun de punktene på de angitte linjene som befinner seg i første kvadrant.
Ta på en rett linje et punkt N som har samme abscisse x som et punkt på en hyperbel 
(se fig. 56), og finn forskjellen ΜN mellom ordinatene til den rette linjen og grenen til hyperbelen:
Som du kan se, når x øker, øker nevneren til brøken; teller er en konstant verdi. Derfor lengden på segmentet 
ΜN har en tendens til null. Siden ΜN er større enn avstanden d fra punktet Μ til linjen, så tenderer d enda mer til null. Dermed er linjene asymptoter av hyperbelen (11.9).
Når du konstruerer en hyperbel (11.9), er det tilrådelig å først konstruere hovedrektangelet til hyperbelen (se fig. 57), tegne linjer som går gjennom de motsatte toppunktene til dette rektangelet - asymptotene til hyperbelen og markere toppunktene og , hyperbelen .
Ligningen til en likesidet hyperbel.
hvis asymptoter er koordinataksene
Hyperbel (11.9) kalles likesidet hvis halvaksene er like (). Dens kanoniske ligning
(11.12)
Asymptotene til en likesidet hyperbel har ligninger og er derfor halveringslinjer for koordinatvinklene.
Tenk på ligningen til denne hyperbelen i et nytt koordinatsystem (se fig. 58), oppnådd fra det gamle ved å rotere koordinataksene med en vinkel. Vi bruker formlene for rotasjonen av koordinataksene:
Vi erstatter verdiene til x og y i ligningen (11.12):
Ligningen til en likesidet hyperbel, der aksene Ox og Oy er asymptoter, vil ha formen .
Mer om hyperbole
eksentrisitet hyperbel (11.9) er forholdet mellom avstanden mellom brennpunktene og verdien av den reelle aksen til hyperbelen, betegnet med ε:
Siden for en hyperbel er eksentrisiteten til hyperbelen større enn én: . Eksentrisitet karakteriserer formen til en hyperbel. Det følger faktisk av likestilling (11.10) at d.v.s. og 
.
Dette viser at jo mindre eksentrisiteten til hyperbelen er, desto mindre er forholdet mellom dens halvakser, noe som betyr at jo mer er hovedrektangelet utvidet.
Eksentrisiteten til en likesidet hyperbel er . Egentlig,
Brennvidde radier 
og 
for punktene til høyre gren av hyperbelen har formen og , og for venstre - 
og 
.
Rette linjer kalles dirigerer av en hyperbel. Siden for hyperbelen ε > 1, da . Dette betyr at høyre retningslinje er plassert mellom senter og høyre toppunkt av hyperbelen, venstre retning er mellom sentrum og venstre toppunkt.
Direktelinjene til en hyperbel har samme egenskap som retningslinjene til en ellipse.
Kurven definert av ligningen er også en hyperbel, hvor den reelle aksen 2b er plassert på Oy-aksen, og den imaginære aksen 2 en- på okseaksen. I figur 59 er det vist som en stiplet linje.
Åpenbart har hyperbler og vanlige asymptoter. Slike hyperbler kalles konjugat.
11.5. Parabel
Kanonisk parabelligning
En parabel er settet av alle punkter i et plan, som hver er like langt fra et gitt punkt, kalt fokus, og en gitt linje, kalt retningslinjen. Avstanden fra fokus F til retningslinjen kalles parameteren til parablen og er betegnet med p (p > 0).
For å utlede parabellikningen velger vi Oxy-koordinatsystemet slik at Oxy-aksen går gjennom fokuset F vinkelrett på retningslinjen i retning fra retningslinjen til F, og origo O er plassert midt mellom fokuset og retningslinjen. (se fig. 60). I det valgte systemet har fokuset F koordinater , og retningslikningen har formen , eller .
1. I ligning (11.13) er variabelen y inkludert i en jevn grad, som betyr at parablen er symmetrisk om okseaksen; x-aksen er symmetriaksen til parablen.
2. Siden ρ > 0, følger det av (11.13) at . Derfor er parablen plassert til høyre for y-aksen.
3. Når vi har y \u003d 0. Derfor går parablen gjennom origo.
4. Med en ubegrenset økning i x, øker også modulen y i det uendelige. Parablen har formen (formen) vist i figur 61. Punktet O (0; 0) kalles toppunktet til parablen, segmentet FM \u003d r kalles fokalradiusen til punktet M.
Ligninger , , ( p>0) definerer også parabler, de er vist i figur 62
Det er lett å vise at grafen til et kvadratisk trinomium, der , B og C er reelle tall, er en parabel i den forstand som definisjonen ovenfor.
11.6. Generell ligning av andreordens linjer
Ligninger av kurver av andre orden med symmetriakser parallelle med koordinataksene
La oss først finne ligningen til en ellipse sentrert ved punktet , hvis symmetriakser er parallelle med koordinataksene Ox og Oy og halvaksene, henholdsvis er en og b. La oss plassere i sentrum av ellipsen O 1 opprinnelsen til det nye koordinatsystemet, hvis akser og halvakser en og b(se fig. 64):
Og til slutt har parablene vist i figur 65 tilsvarende ligninger.
Ligningen
Likningene til en ellipse, hyperbel, parabel og ligningen til en sirkel etter transformasjoner (åpne parenteser, flytt alle ledd i ligningen i én retning, bring like ledd, introduser ny notasjon for koeffisientene) kan skrives ved å bruke en enkelt ligning av formen
hvor koeffisientene A og C ikke er lik null samtidig.
Spørsmålet oppstår: bestemmer noen ligning av formen (11.14) en av kurvene (sirkel, ellipse, hyperbel, parabel) av andre orden? Svaret er gitt av følgende teorem.
Teorem 11.2. Ligning (11.14) definerer alltid: enten en sirkel (for A = C), eller en ellipse (for A C > 0), eller en hyperbel (for A C)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
Generell ligning av andre orden
Tenk nå på den generelle ligningen av andre grad med to ukjente:
Den skiller seg fra ligning (11.14) ved tilstedeværelsen av et ledd med produktet av koordinater (B¹ 0). Det er mulig, ved å rotere koordinataksene med en vinkel a, å transformere denne ligningen slik at leddet med produktet av koordinatene er fraværende i den.
Bruke formler for å dreie akser
La oss uttrykke de gamle koordinatene i form av de nye:
Vi velger vinkelen a slik at koeffisienten ved x "y" forsvinner, dvs. slik at likheten
Således, når aksene roteres gjennom en vinkel a som tilfredsstiller betingelse (11.17), reduseres ligning (11.15) til ligning (11.14).
Konklusjon: den generelle ligningen av andre orden (11.15) definerer på planet (bortsett fra tilfellene av degenerasjon og forfall) følgende kurver: sirkel, ellipse, hyperbel, parabel.
Merk: Hvis A = C, mister ligning (11.17) sin betydning. I dette tilfellet cos2α = 0 (se (11.16)), så er 2α = 90°, dvs. α = 45°. Så, ved A = C, bør koordinatsystemet roteres med 45 °.
Forelesninger om algebra og geometri. Semester 1.
Forelesning 15. Ellipse.
Kapittel 15
punkt 1. Grunnleggende definisjoner.
Definisjon. En ellipse er GMT til et plan, summen av avstandene til to faste punkter på planet, kalt foci, er en konstant verdi.
Definisjon. Avstanden fra et vilkårlig punkt M i planet til ellipsens fokus kalles brennradiusen til punktet M.
Betegnelser: 
er brennpunktene til ellipsen, 
er brennradiusene til punktet M.
Per definisjon av en ellipse er et punkt M et punkt på ellipsen hvis og bare hvis 
er en konstant verdi. Denne konstanten er vanligvis betegnet som 2a:
.
(1)
Legg merke til det 
.
Per definisjon av en ellipse er brennpunktene faste punkter, så avstanden mellom dem er også en konstant verdi for den gitte ellipsen.
Definisjon. Avstanden mellom brennpunktene til en ellipse kalles brennvidden.
Betegnelse: 
.
Fra en trekant 
følger det 
, dvs.
.
Angi med b tallet lik 
, dvs.
.
(2)
Definisjon. Holdning
(3)
kalles ellipsens eksentrisitet.
La oss introdusere et koordinatsystem på det gitte planet, som vi vil kalle kanonisk for ellipsen.
Definisjon. Aksen som brennpunktene til ellipsen ligger på kalles fokalaksen.
La oss konstruere den kanoniske PDSC for ellipsen, se fig.2.
Vi velger fokalaksen som abscisseakse, og tegner ordinataksen gjennom midten av segmentet 
vinkelrett på fokalaksen.
Da har fokusene koordinater 
,
.
punkt 2. Kanonisk ligning av en ellipse.
Teorem. I det kanoniske koordinatsystemet for en ellipse har ellipseligningen formen:
.
(4)
Bevis. Vi vil gjennomføre beviset i to trinn. På det første trinnet vil vi bevise at koordinatene til ethvert punkt som ligger på ellipsen tilfredsstiller ligning (4). På det andre trinnet vil vi bevise at enhver løsning av ligning (4) gir koordinatene til et punkt som ligger på ellipsen. Herfra vil det følge at ligning (4) er tilfredsstilt av de og bare de punktene i koordinatplanet som ligger på ellipsen. Herfra og fra definisjonen av kurvelikningen vil det følge at ligning (4) er en ellipseligning.
1) La punktet M(x, y) være et punkt på ellipsen, dvs. summen av dens fokale radier er 2a:
.
Vi bruker formelen for avstanden mellom to punkter på koordinatplanet og finner fokalradiene til et gitt punkt M ved å bruke denne formelen:
,
, hvorfra vi får:
La oss flytte én rot til høyre side av likheten og kvadrere den:
Ved å redusere får vi:
Vi gir lignende, reduserer med 4 og isolerer radikalen:
.
Vi kvadrat
Åpne brakettene og forkort 
:
hvor vi får:
Ved å bruke likhet (2) får vi:
.
Å dele den siste likheten med 
, oppnår vi likhet (4), p.t.d.
2) La nå et tallpar (x, y) tilfredsstille ligning (4) og la M(x, y) være det tilsvarende punktet på Oxy-koordinatplanet.
Så fra (4) følger det:
.
Vi erstatter denne likheten i uttrykket for fokalradiene til punktet M:
.
Her har vi brukt likhet (2) og (3).
På denne måten, 
. Like måte, 
.
Legg nå merke til at det følger av likestilling (4) at
eller 
og fordi 
, så følger følgende ulikhet:
.
Av dette følger det igjen at
eller 
og
,
.
(5)
Det følger av likestilling (5) at 
, dvs. punktet M(x, y) er et punkt på ellipsen osv.
Teoremet er bevist.
Definisjon. Ligning (4) kalles den kanoniske ligningen for ellipsen.
Definisjon. De kanoniske koordinataksene for ellipsen kalles ellipsens hovedakser.
Definisjon. Opprinnelsen til det kanoniske koordinatsystemet for en ellipse kalles midten av ellipsen.
punkt 3. Ellipse egenskaper.
Teorem. (Egenskaper til en ellipse.)
1. I det kanoniske koordinatsystemet for ellipsen, alle
punktene på ellipsen er i rektangelet
,
.
2. Poeng ligger på
3. En ellipse er en kurve symmetrisk om
deres hovedakser.
4. Sentrum av ellipsen er dens symmetrisenter.
Bevis. 1, 2) Følger umiddelbart av ellipsens kanoniske ligning.
3, 4) La M(x, y) være et vilkårlig punkt på ellipsen. Da tilfredsstiller dens koordinater ligning (4). Men da tilfredsstiller koordinatene til punktene også ligning (4), og er derfor punktene til ellipsen, som utsagnene til teoremet følger fra.
Teoremet er bevist.
Definisjon. Mengden 2a kalles ellipsens hovedakse, mengden a kalles ellipsens hovedhalvakse.
Definisjon. Mengden 2b kalles ellipsens mindreakse, mengden b kalles ellipsens minorhalvakse.
Definisjon. Skjæringspunktene til en ellipse med dens hovedakser kalles ellipseknuder.
Kommentar. En ellipse kan konstrueres på følgende måte. På et fly "hamrer vi en spiker" inn i triksene og fester en lengdetråd til dem 
. Så tar vi en blyant og bruker den til å strekke tråden. Deretter flytter vi blyantledningen langs planet, og sørger for at tråden er i stram tilstand.
Fra definisjonen av eksentrisitet følger det at
Vi fikser et tall a og lar c ha en tendens til null. Så kl 
,
og 
. I grensen vi får
eller 
er sirkelligningen.
La oss streve nå 
. Deretter 
,
og vi ser at i grensen degenererer ellipsen til et linjestykke 
i notasjonen i figur 3.
punkt 4. Parametriske ligninger for en ellipse.
Teorem. La 
er vilkårlige reelle tall. Deretter ligningssystemet
,
(6)
er de parametriske ligningene til ellipsen i det kanoniske koordinatsystemet for ellipsen.
Bevis. Det er nok å bevise at likningssystemet (6) er ekvivalent med likning (4), dvs. de har samme sett med løsninger.
1) La (x, y) være en vilkårlig løsning av system (6). Del den første likningen med a, den andre med b, kvadrer begge likningene og legg til:
.
De. enhver løsning (x, y) av system (6) tilfredsstiller ligning (4).
2) La omvendt paret (x, y) være en løsning på likning (4), dvs.
.
Det følger av denne likheten at punktet med koordinater 
ligger på en sirkel med enhetsradius sentrert ved origo, dvs. er et punkt i den trigonometriske sirkelen, som tilsvarer en vinkel 
:
Fra definisjonen av sinus og cosinus følger det umiddelbart at
,
, hvor 
, hvorfra det følger at paret (x, y) er en løsning på system (6), etc.
Teoremet er bevist.
Kommentar. En ellipse kan oppnås som et resultat av en jevn "komprimering" av en sirkel med radius a til abscisseaksen.
La 
er ligningen til en sirkel sentrert ved origo. "Kompresjonen" av sirkelen til abscisseaksen er ikke noe mer enn transformasjonen av koordinatplanet, utført i henhold til følgende regel. Til hvert punkt M(x, y) setter vi i samsvar med et punkt i samme plan 
, hvor 
,
er "komprimeringsfaktoren".
Med denne transformasjonen "går" hvert punkt i sirkelen til et annet punkt i planet, som har samme abscisse, men en mindre ordinat. La oss uttrykke den gamle ordinaten til punktet i form av den nye:
og bytt inn i sirkelligningen:
.
Herfra får vi:
.
(7)
Det følger av dette at dersom punktet M(x, y) før "komprimerings"-transformasjonen lå på sirkelen, dvs. dens koordinater tilfredsstilte sirkelligningen, så etter "komprimerings"-transformasjonen "passerte" dette punktet inn i punktet 
, hvis koordinater tilfredsstiller ellipseligningen (7). Hvis vi ønsker å få ligningen til en ellipse med en mindre halvakse b, må vi ta kompresjonsfaktoren
.
punkt 5. Tangent til en ellipse.
Teorem. La 
- vilkårlig punkt på ellipsen
.
Deretter ligningen av tangenten til denne ellipsen ved punktet 
ser ut som:
.
(8)
Bevis. Det er tilstrekkelig å vurdere tilfellet når tangenspunktet ligger i første eller andre kvartal av koordinatplanet: 
. Ellipseligningen i det øvre halvplanet har formen:
.
(9)
La oss bruke ligningen for tangenten til grafen til funksjonen 
på punktet 
:
hvor 
er verdien av den deriverte av denne funksjonen ved punktet 
. Ellipsen i første kvartal kan sees på som en graf over funksjon (8). La oss finne dens deriverte og verdien på kontaktpunktet:
,
. Her har vi utnyttet at berøringspunktet 
er et punkt på ellipsen og derfor tilfredsstiller dens koordinater ellipsens ligning (9), dvs.
.
Vi erstatter den funnet verdien av den deriverte i tangentligningen (10):
,
hvor vi får:
Dette innebærer:
La oss dele denne ligningen inn i 
:
.
Det gjenstår å merke seg det 
, fordi punktum 
tilhører ellipsen og dens koordinater tilfredsstiller ligningen.
Tangentligningen (8) bevises på samme måte ved tangentpunktet som ligger i tredje eller fjerde kvartal av koordinatplanet.
Og til slutt kan vi lett se at ligning (8) gir ligningen for tangenten i punktene 
,
:
eller 
, og 
eller 
.
Teoremet er bevist.
punkt 6. Speilegenskapen til en ellipse.
Teorem. Tangenten til ellipsen har like vinkler med brennradiusene til tangentpunktet.
La 
- kontaktpunkt 
,
er fokalradiene til tangentpunktet, P og Q er projeksjonene av brennpunktene på tangenten trukket til ellipsen i punktet 
.
Teoremet sier det
.
(11)
Denne likheten kan tolkes som likheten mellom innfallsvinklene og refleksjon av en lysstråle fra en ellipse frigjort fra fokuset. Denne egenskapen kalles speilegenskapen til ellipsen:
En lysstråle som sendes ut fra ellipsens fokus, etter refleksjon fra ellipsens speil, passerer gjennom et annet fokus av ellipsen.
Bevis for teoremet. For å bevise likheten mellom vinkler (11), beviser vi likheten til trekanter 
og 
, der sidene 
og 
vil være lik. Siden trekantene er rettvinklede, er det tilstrekkelig for å bevise likheten
Definisjon 7.1. Settet av alle punkter på planet der summen av avstandene til to faste punkter F 1 og F 2 er en gitt konstant kalles ellipse.
Definisjonen av en ellipse gir følgende måte å konstruere den geometrisk på. Vi fikserer to punkter F 1 og F 2 på planet, og angir en ikke-negativ konstantverdi med 2a. La avstanden mellom punktene F 1 og F 2 være lik 2c. Tenk deg at en ubøyelig tråd med lengde 2a er festet til punktene F 1 og F 2, for eksempel ved hjelp av to nåler. Det er klart at dette bare er mulig for en ≥ c. Trekk tråden med en blyant, tegn en linje, som vil være en ellipse (fig. 7.1).
Så det beskrevne settet er ikke tomt hvis a ≥ c. Når a = c, er ellipsen et segment med endene F 1 og F 2, og når c = 0, dvs. hvis de faste punktene spesifisert i definisjonen av en ellipse sammenfaller, er det en sirkel med radius a. Hvis vi forkaster disse degenererte tilfellene, vil vi videre anta, som regel, at a > c > 0.
Festpunktene F 1 og F 2 i definisjon 7.1 av ellipsen (se fig. 7.1) kalles ellipsetriks, avstanden mellom dem, betegnet med 2c, - brennvidde, og segmentene F 1 M og F 2 M, som forbinder et vilkårlig punkt M på ellipsen med dens foci, - fokale radier.
Ellipsens form er fullstendig bestemt av brennvidden |F 1 F 2 | = 2с og parameter a, og dens posisjon på planet - ved et par punkter F 1 og F 2 .
Det følger av definisjonen av en ellipse at den er symmetrisk om en rett linje som går gjennom brennpunktene F 1 og F 2, samt om en rett linje som deler segmentet F 1 F 2 i to og er vinkelrett på det (fig. 7.2, a). Disse linjene kalles ellipse akser. Punktet O i skjæringspunktet deres er symmetrisenteret til ellipsen, og det kalles midten av ellipsen, og skjæringspunktene for ellipsen med symmetriaksene (punktene A, B, C og D i fig. 7.2, a) - toppene av ellipsen.
Nummeret a kalles semi-hovedaksen til en ellipse, og b = √ (a 2 - c 2) - dens semi-moll akse. Det er lett å se at for c > 0, er den store halvaksen a lik avstanden fra sentrum av ellipsen til de av toppunktene som er på samme akse som brennpunktene til ellipsen (punktene A og B i fig. 7.2, a), og den mindre halvaksen b er lik avstanden fra senterellipsen til dens to andre hjørner (hjørnepunktene C og D i fig. 7.2, a).
Ellipseligning. Tenk på en ellipse på planet med foci i punktene F 1 og F 2 , hovedakse 2a. La 2c være brennvidden, 2c = |F 1 F 2 |
Vi velger et rektangulært koordinatsystem Oxy på planet slik at dets opprinnelse faller sammen med midten av ellipsen, og brennpunktene er på abscisse(Fig. 7.2, b). Dette koordinatsystemet kalles kanonisk for ellipsen under vurdering, og de tilsvarende variablene er kanonisk.
I det valgte koordinatsystemet har foci koordinatene F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Ved å bruke formelen for avstanden mellom punktene skriver vi betingelsen |F 1 M| + |F 2 M| = 2a i koordinater:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Denne ligningen er upraktisk fordi den inneholder to kvadratiske radikaler. Så la oss forvandle det. Vi overfører det andre radikalet i ligning (7.2) til høyre side og kvadrerer det:
(x - c) 2 + y2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y2.
Etter å ha åpnet parentesene og redusert like termer, får vi
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
hvor ε = c/a. Vi gjentar kvadreringsoperasjonen for å fjerne det andre radikalet: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, eller gitt verdien til den angitte parameteren ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Siden a 2 - c 2 = b 2 > 0, da
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
Ligning (7.4) tilfredsstilles av koordinatene til alle punktene som ligger på ellipsen. Men når man utleder denne ligningen, ble ikke-ekvivalente transformasjoner av den opprinnelige ligningen (7.2) brukt - to kvadrater som fjerner firkantradikaler. Å kvadrere en ligning er en ekvivalent transformasjon hvis begge sider inneholder mengder med samme fortegn, men vi sjekket ikke dette i våre transformasjoner.
Det kan hende vi ikke sjekker ekvivalensen av transformasjoner hvis vi vurderer følgende. Et par punkter F 1 og F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, på planet definerer en familie av ellipser med foci på disse punktene. Hvert punkt på planet, bortsett fra punktene til segmentet F 1 F 2 , tilhører en eller annen ellipse av den spesifiserte familien. I dette tilfellet krysser ingen to ellipser, siden summen av fokalradiene unikt bestemmer en spesifikk ellipse. Så den beskrevne familien av ellipser uten skjæringspunkter dekker hele planet, bortsett fra punktene til segmentet F 1 F 2 . Betrakt et sett med punkter hvis koordinater tilfredsstiller ligning (7.4) med en gitt verdi av parameteren a. Kan dette settet fordeles på flere ellipser? Noen av punktene i settet tilhører en ellipse med en semi-hovedakse a. La det være et punkt i dette settet som ligger på en ellipse med en semi-hovedakse a. Da følger koordinatene til dette punktet ligningen
de. likningene (7.4) og (7.5) har felles løsninger. Det er imidlertid enkelt å verifisere at systemet
for ã ≠ a har ingen løsninger. For å gjøre dette er det nok å ekskludere for eksempel x fra den første ligningen:
som etter transformasjoner fører til ligningen
har ingen løsninger for ã ≠ a, fordi . Så, (7.4) er ligningen til en ellipse med halvhovedaksen a > 0 og den lille halvaksen b = √ (a 2 - c 2) > 0. Det kalles den kanoniske ligningen til ellipsen.
Ellipsevisning. Den geometriske metoden for å konstruere en ellipse diskutert ovenfor gir en tilstrekkelig ide om utseendet til en ellipse. Men formen til en ellipse kan også undersøkes ved hjelp av dens kanoniske ligning (7.4). For eksempel, med tanke på y ≥ 0, kan du uttrykke y i form av x: y = b√(1 - x 2 /a 2), og etter å ha undersøkt denne funksjonen, bygge grafen. Det er en annen måte å konstruere en ellipse på. En sirkel med radius a sentrert ved opprinnelsen til det kanoniske koordinatsystemet til ellipsen (7.4) er beskrevet av ligningen x 2 + y 2 = a 2 . Hvis den er komprimert med koeffisienten a/b > 1 langs y-aksen, da får du en kurve som beskrives av ligningen x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, dvs. en ellipse.
Merknad 7.1. Hvis den samme sirkelen er komprimert med koeffisienten a/b
Ellipse eksentrisitet. Forholdet mellom brennvidden til en ellipse og dens hovedakse kalles ellipse eksentrisitet og betegnet med ε. For en ellipse gitt
kanonisk ligning (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Hvis i (7.4) parametrene a og b er relatert til ulikheten a
For c = 0, når ellipsen blir til en sirkel, og ε = 0. I andre tilfeller, 0
Ligning (7.3) er ekvivalent med ligning (7.4) fordi ligning (7.4) og (7.2) er ekvivalent. Derfor er (7.3) også en ellipseligning. I tillegg er relasjon (7.3) interessant ved at den gir en enkel radikalfri formel for lengden |F 2 M| en av brennradiene til punktet M(x; y) til ellipsen: |F 2 M| = a + εx.
En lignende formel for den andre fokalradiusen kan oppnås fra symmetribetraktninger eller ved å gjenta beregninger der, før kvadratisk ligning (7.2), overføres den første radikalen til høyre side, og ikke den andre. Så for ethvert punkt M(x; y) på ellipsen (se fig. 7.2)
|F 1 M | = a - ex, |F 2 M| = a + εx, (7,6)
og hver av disse ligningene er en ellipseligning.
Eksempel 7.1. La oss finne den kanoniske ligningen til en ellipse med semi-hovedakse 5 og eksentrisitet 0,8 og konstruere den.
Når vi kjenner den store halvaksen til ellipsen a = 5 og eksentrisiteten ε = 0,8, finner vi dens mindre halvakse b. Siden b \u003d √ (a 2 - c 2), og c \u003d εa \u003d 4, så b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Så den kanoniske ligningen har formen x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. For å konstruere en ellipse er det praktisk å tegne et rektangel sentrert ved opprinnelsen til det kanoniske koordinatsystemet, hvis sider er parallelle med symmetriaksene til ellipsen og lik dens tilsvarende akser (fig. 7.4). Dette rektangelet skjærer med
aksene til ellipsen ved toppene A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), og selve ellipsen er innskrevet i den. På fig. 7.4 viser også brennpunktene F 1.2 (±4; 0) til ellipsen.
Geometriske egenskaper til en ellipse. La oss omskrive den første ligningen i (7.6) som |F 1 M| = (а/ε - x)ε. Merk at verdien av a / ε - x for a > c er positiv, siden fokuset F 1 ikke tilhører ellipsen. Denne verdien er avstanden til den vertikale linjen d: x = a/ε fra punktet M(x; y) til venstre for denne linjen. Ellipseligningen kan skrives som
|F1M|/(a/e - x) = e
Det betyr at denne ellipsen består av de punktene M (x; y) i planet der forholdet mellom lengden av brennradiusen F 1 M og avstanden til den rette linjen d er en konstant verdi lik ε (fig. 7.5).
Linjen d har en "dobbel" - en vertikal linje d", symmetrisk til d med hensyn til midten av ellipsen, som er gitt av ligningen x \u003d -a / ε. Med hensyn til d", er ellipsen beskrevet på samme måte som med hensyn til d. Både linjene d og d" kalles ellipseretninger. Ellipsens retninger er vinkelrett på symmetriaksen til ellipsen, som dens foci er plassert på, og er atskilt fra midten av ellipsen med en avstand a / ε \u003d a 2 / c (se fig. 7.5) .
Avstanden p fra retningslinjen til fokuset nærmest kalles brennparameter for ellipsen. Denne parameteren er lik
p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c
Ellipsen har en annen viktig geometrisk egenskap: fokalradiene F 1 M og F 2 M danner like vinkler med tangenten til ellipsen i punktet M (fig. 7.6).
Denne egenskapen har en klar fysisk betydning. Hvis en lyskilde er plassert ved fokuset F 1, vil strålen som kommer ut fra dette fokuset, etter refleksjon fra ellipsen, gå langs den andre fokalradiusen, siden den etter refleksjon vil være i samme vinkel til kurven som før refleksjon . Dermed vil alle strålene som forlater fokuset F 1 bli konsentrert i det andre fokuset F 2 og omvendt. Basert på denne tolkningen kalles denne egenskapen optisk egenskap til en ellipse.
Linjer av andre orden.
Ellipse og dens kanoniske ligning. Sirkel
Etter en grundig studie rette linjer på flyet vi fortsetter å studere geometrien til den todimensjonale verden. Innsatsen er doblet, og jeg inviterer deg til å besøke det pittoreske galleriet med ellipser, hyperbler, paraboler, som er typiske representanter for andre ordens linjer. Omvisningen har allerede begynt, og først en kort informasjon om hele utstillingen i ulike etasjer i museet:
Konseptet med en algebraisk linje og dens rekkefølge
En linje på et fly kalles algebraisk, hvis i affint koordinatsystem dens ligning har formen , hvor er et polynom som består av vilkårene i formen ( er et reelt tall, er ikke-negative heltall).
Som du kan se, inneholder ikke ligningen til en algebraisk linje sinus, cosinus, logaritmer og andre funksjonelle beau monde. Bare "x" og "y" inn heltall ikke-negativ grader.
Linjebestilling er lik maksimalverdien av vilkårene som er inkludert i den.
I følge det tilsvarende teoremet avhenger ikke konseptet med en algebraisk linje, så vel som dens rekkefølge, av valget affint koordinatsystem Derfor anser vi for enkelhets skyld at alle etterfølgende beregninger finner sted i Kartesiske koordinater.
Generell ligning andreordenslinjen har formen , hvor 
er vilkårlige reelle tall (det er vanlig å skrive med en multiplikator - "to"), og koeffisientene er ikke samtidig lik null.
Hvis , så forenkles ligningen til 
, og hvis koeffisientene ikke samtidig er lik null, så er dette nøyaktig generell ligning av en "flat" rett linje, som representerer første ordrelinje.
Mange forsto betydningen av de nye begrepene, men likevel, for å assimilere materialet 100%, stikker vi fingrene inn i kontakten. For å bestemme linjerekkefølgen, iterer over alle vilkår dens ligninger og for hver av dem finne summen av krefter innkommende variabler.
For eksempel:
begrepet inneholder "x" til 1. grad;
begrepet inneholder "Y" i 1. potens;
det er ingen variabler i begrepet, så summen av potensene deres er null.
La oss nå finne ut hvorfor ligningen setter linjen sekund rekkefølge:
begrepet inneholder "x" i 2. grad;
leddet har summen av gradene til variablene: 1 + 1 = 2;
begrepet inneholder "y" i 2. grad;
alle andre vilkår - mindre grad.
Maksimal verdi: 2
Hvis vi i tillegg legger til ligningen vår, si, , vil det allerede avgjøre tredje ordrelinje. Det er åpenbart at den generelle formen for 3. ordens linjeligningen inneholder et "komplett sett" av termer, summen av gradene av variabler som er lik tre:
, hvor koeffisientene ikke samtidig er lik null.
I tilfelle det legges til ett eller flere passende termer som inneholder 
, så skal vi snakke om 4. ordens linjer, etc.
Vi må forholde oss til algebraiske linjer av 3., 4. og høyere orden mer enn én gang, spesielt når vi blir kjent med polart koordinatsystem.
La oss imidlertid gå tilbake til den generelle ligningen og huske dens enkleste skolevariasjoner. Eksempler er parabelen, hvis ligning lett kan reduseres til en generell form, og hyperbelen med en ekvivalent ligning. Men alt er ikke like glatt....
En betydelig ulempe med den generelle ligningen er at det nesten alltid er uklart hvilken linje den definerer. Selv i det enkleste tilfellet vil du ikke umiddelbart innse at dette er hyperbole. Slike oppsett er gode bare ved en maskerade, derfor vurderes et typisk problem i løpet av analytisk geometri. reduksjon av 2. ordens linjeligningen til den kanoniske formen.
Hva er den kanoniske formen til en ligning?
Dette er den allment aksepterte standardformen for ligningen, når det i løpet av sekunder blir klart hvilket geometrisk objekt den definerer. I tillegg er den kanoniske formen veldig praktisk for å løse mange praktiske problemer. Så for eksempel i henhold til den kanoniske ligningen "flat" rett, for det første er det umiddelbart klart at dette er en rett linje, og for det andre er punktet som tilhører den og retningsvektoren ganske enkelt synlige.
Åpenbart, noen 1. ordrelinje representerer en rett linje. I andre etasje er det ikke lenger en vaktmester som venter på oss, men et mye mer mangfoldig selskap med ni statuer:
Klassifisering av andreordens linjer
Ved hjelp av et spesielt sett med handlinger reduseres enhver annenordens linjeligning til en av følgende typer:
(og er positive reelle tall)
1) 
er den kanoniske ligningen til ellipsen;
2) er den kanoniske ligningen til hyperbelen;
3) 
er den kanoniske ligningen til parabelen;
4) – innbilt ellipse;
5) - et par kryssende linjer;
6) - par innbilt kryssende linjer (med det eneste virkelige skjæringspunktet ved origo);
7) - et par parallelle linjer;
8) - par innbilt parallelle linjer;
9) er et par sammenfallende linjer.
Noen lesere kan få inntrykk av at listen er ufullstendig. For eksempel, i avsnitt nummer 7, setter ligningen paret direkte, parallelt med aksen, og spørsmålet oppstår: hvor er ligningen som bestemmer linjene parallelle med y-aksen? Svar ikke regnet som kanon. De rette linjene representerer den samme standardkassen rotert 90 grader, og en ekstra oppføring i klassifiseringen er overflødig, siden den ikke har noe fundamentalt nytt.
Det er altså ni og bare ni forskjellige typer 2. ordens linjer, men i praksis er de vanligste ellipse, hyperbel og parabel.
La oss først se på ellipsen. Som vanlig fokuserer jeg på de punktene som er av stor betydning for å løse problemer, og hvis du trenger en detaljert utledning av formler, bevis på teoremer, kan du for eksempel referere til læreboken til Bazylev / Atanasyan eller Aleksandrov.
Ellipse og dens kanoniske ligning
Stavemåte ... vennligst ikke gjenta feilene til noen Yandex-brukere som er interessert i "hvordan bygge en ellipse", "forskjellen mellom en ellipse og en oval" og "elebs eksentrisitet".
Den kanoniske ligningen av en ellipse har formen , hvor er positive reelle tall, og . Jeg skal formulere definisjonen av en ellipse senere, men for nå er det på tide å ta en pause fra å snakke og løse et vanlig problem:
Hvordan bygge en ellipse?
Ja, ta den og bare tegn den. Oppgaven er vanlig, og en betydelig del av studentene takler tegningen ikke helt kompetent:
Eksempel 1
Konstruer en ellipse gitt av ligningen
Løsning: først bringer vi ligningen til den kanoniske formen: 
Hvorfor ta med? En av fordelene med den kanoniske ligningen er at den lar deg bestemme umiddelbart ellipse toppunkter, som er på punktene . Det er lett å se at koordinatene til hvert av disse punktene tilfredsstiller ligningen.
I dette tilfellet : 
Linjestykke kalt hovedaksen ellipse;
linjestykke – mindre akse;
Antall 
kalt semi-hovedakse ellipse;
Antall 
– semi-moll akse.
i vårt eksempel: .
For raskt å forestille seg hvordan denne eller den ellipsen ser ut, se bare på verdiene til "a" og "be" i dens kanoniske ligning.
Alt er fint, pent og vakkert, men det er ett forbehold: Jeg fullførte tegningen ved hjelp av programmet. Og du kan tegne med hvilken som helst applikasjon. Men i den harde virkeligheten ligger et rutete stykke papir på bordet, og mus danser rundt hendene våre. Folk med kunstnerisk talent kan selvfølgelig krangle, men du har også mus (om enn mindre). Det er ikke forgjeves at menneskeheten oppfant en linjal, et kompass, en gradskive og andre enkle enheter for tegning.
Av denne grunn er det usannsynlig at vi vil være i stand til å tegne en ellipse nøyaktig, og vi kjenner bare hjørnene. Fortsatt greit, hvis ellipsen er liten, for eksempel med halvakser. Alternativt kan du redusere skalaen og følgelig dimensjonene på tegningen. Men i det generelle tilfellet er det svært ønskelig å finne flere poeng.
Det er to tilnærminger til å konstruere en ellipse - geometrisk og algebraisk. Jeg liker ikke å bygge med kompass og linjal på grunn av den korte algoritmen og det betydelige rotet i tegningen. I nødstilfeller, vennligst se læreboken, men i virkeligheten er det mye mer rasjonelt å bruke algebraverktøyene. Fra ellipseligningen på utkastet uttrykker vi raskt: 
Ligningen deles deretter inn i to funksjoner: 
– definerer den øvre buen av ellipsen; 
– definerer den nedre buen av ellipsen.
Ellipsen gitt av den kanoniske ligningen er symmetrisk med hensyn til koordinataksene, så vel som med hensyn til origo. Og det er flott - symmetri er nesten alltid en forkynner for en freebie. Det er åpenbart nok å forholde seg til 1. koordinatkvartal, så vi trenger en funksjon 
. Det foreslår å finne flere punkter med abscisser 
. Vi slår tre SMS på kalkulatoren: 
Det er selvfølgelig også hyggelig at dersom det blir gjort en alvorlig feil i beregningene, så vil dette umiddelbart vise seg under byggingen.
Merk punkter på tegningen (rød farge), symmetriske punkter på de andre buene (blå farge) og koble forsiktig hele selskapet med en linje: 
Det er bedre å tegne den første skissen tynt og tynt, og først deretter legge press på blyanten. Resultatet skal være en ganske grei ellipse. Vil du forresten vite hva denne kurven er?
Definisjon av en ellipse. Ellipse foci og ellipse eksentrisitet
En ellipse er et spesielt tilfelle av en oval. Ordet "oval" skal ikke forstås i filistinsk betydning ("barnet tegnet en oval", etc.). Dette er et matematisk begrep med en detaljert formulering. Hensikten med denne leksjonen er ikke å vurdere teorien om ovaler og deres forskjellige typer, som praktisk talt ikke blir gitt oppmerksomhet i standardkurset for analytisk geometri. Og, i samsvar med mer aktuelle behov, går vi umiddelbart til den strenge definisjonen av en ellipse:
Ellipse- dette er settet av alle punkter i planet, summen av avstandene til hver av disse fra to gitte punkter, kalt triks ellipse, er en konstant verdi, numerisk lik lengden på hovedaksen til denne ellipsen: .
I dette tilfellet er avstanden mellom fokusene mindre enn denne verdien: .
Nå blir det tydeligere: 
Tenk deg at den blå prikken "rir" på en ellipse. Så uansett hvilket punkt på ellipsen vi tar, vil summen av lengdene til segmentene alltid være den samme:
La oss sørge for at i vårt eksempel er verdien av summen virkelig lik åtte. Mentalt plasser punktet "em" i høyre toppunkt av ellipsen, deretter: , som måtte kontrolleres.
En annen måte å tegne en ellipse på er basert på definisjonen av en ellipse. Høyere matematikk er til tider årsaken til spenninger og stress, så det er på tide å ha en ny økt med lossing. Ta et stykke papir eller et stort ark papp og fest det til bordet med to spiker. Dette blir triks. Knyt en grønn tråd til de utstikkende spikerhodene og trekk den hele veien med en blyant. Halsen på blyanten vil være på et tidspunkt, som tilhører ellipsen. Begynn nå å føre blyanten over papirarket, hold den grønne tråden veldig stram. Fortsett prosessen til du kommer tilbake til utgangspunktet ... utmerket ... tegningen kan sendes inn for verifisering av legen til læreren =)
Hvordan finne fokuset til en ellipse?
I eksemplet ovenfor skildret jeg "klare" fokuspunkter, og nå skal vi lære å trekke dem ut fra geometriens dybder.
Hvis ellipsen er gitt av den kanoniske ligningen, har dens foci koordinater 
, hvor er det avstand fra hver av brennpunktene til ellipsens symmetrisenter.
Beregninger er enklere enn dampede kålrot: 
! Med betydningen "ce" er det umulig å identifisere de spesifikke koordinatene til triks! Jeg gjentar, dette er AVSTAND fra hvert fokus til sentrum(som i det generelle tilfellet ikke trenger å ligge nøyaktig ved origo).
Og derfor kan heller ikke avstanden mellom brennpunktene knyttes til den kanoniske posisjonen til ellipsen. Med andre ord kan ellipsen flyttes til et annet sted og verdien vil forbli uendret, mens fokusene vil naturlig endre koordinatene sine. Husk dette når du utforsker emnet videre.
Eksentrisiteten til en ellipse og dens geometriske betydning
Eksentrisiteten til en ellipse er et forhold som kan ta verdier innenfor .
I vårt tilfelle:
La oss finne ut hvordan formen til en ellipse avhenger av dens eksentrisitet. For dette fikse venstre og høyre toppunkt av ellipsen under vurdering, det vil si at verdien av halvhovedaksen vil forbli konstant. Deretter vil eksentrisitetsformelen ha formen: .
La oss begynne å tilnærme verdien av eksentrisiteten til enhet. Dette er bare mulig hvis . Hva betyr det? ...huske triks 
. Dette betyr at foci av ellipsen vil "spre seg" langs abscisse-aksen til sidepunktene. Og siden "de grønne segmentene ikke er gummi", vil ellipsen uunngåelig begynne å flate ut, og bli til en tynnere og tynnere pølse trukket på aksen.
På denne måten, jo nærmere ellipsens eksentrisitet er én, jo mer avlang er ellipsen.
La oss nå simulere den motsatte prosessen: fokusene til ellipsen 
gikk mot hverandre og nærmet seg sentrum. Dette betyr at verdien av "ce" blir mindre og følgelig har eksentrisiteten en tendens til null: .
I dette tilfellet vil de "grønne segmentene", tvert imot, "bli overfylte" og de vil begynne å "skyve" ellipsens linje opp og ned.
På denne måten, jo nærmere eksentrisitetsverdien er null, jo mer ser ellipsen ut... se på det begrensende tilfellet, når fokusene er vellykket gjenforent ved opprinnelsen:
En sirkel er et spesielt tilfelle av en ellipse
Faktisk, når det gjelder likestilling av halvaksene, tar den kanoniske ligningen av ellipsen formen, som refleksivt transformeres til den velkjente sirkelligningen fra skolen med sentrum ved opprinnelsen til radius "a".
I praksis brukes notasjonen med den "talende" bokstaven "er" oftere:. Radien kalles lengden på segmentet, mens hvert punkt i sirkelen fjernes fra sentrum med avstanden til radien.
Legg merke til at definisjonen av en ellipse forblir helt korrekt: fociene matchet, og summen av lengdene til de matchede segmentene for hvert punkt på sirkelen er en konstant verdi. Siden avstanden mellom foci er eksentrisiteten til enhver sirkel er null.
En sirkel bygges enkelt og raskt, det er nok å bevæpne deg med et kompass. Likevel, noen ganger er det nødvendig å finne ut koordinatene til noen av punktene, i dette tilfellet går vi den kjente veien - vi bringer ligningen til en munter Matans form:
er funksjonen til den øvre halvsirkelen;
er funksjonen til den nedre halvsirkelen.
Så finner vi de ønskede verdiene, differensierbar, integrere og gjøre andre gode ting.
Artikkelen er selvfølgelig kun til referanse, men hvordan kan man leve uten kjærlighet i verden? Kreativ oppgave for selvstendig løsning
Eksempel 2
Komponer den kanoniske ligningen for en ellipse hvis en av dens foci og semi-molaksen er kjent (senteret er i origo). Finn hjørner, tilleggspunkter og tegn en linje på tegningen. Beregn eksentrisiteten.
Løsning og tegning på slutten av timen
La oss legge til en handling:
Roter og oversett en ellipse
La oss gå tilbake til den kanoniske ligningen for ellipsen, nemlig til tilstanden hvis gåte har plaget nysgjerrige sinn siden den første omtalen av denne kurven. Her har vi vurdert en ellipse 
, men i praksis kan ikke ligningen 
? Tross alt, her ser det imidlertid ut til å være som en ellipse også!
En slik ligning er sjelden, men den kommer over. Og det definerer en ellipse. La oss fjerne mystikken: 
Som et resultat av konstruksjonen oppnås vår opprinnelige ellipse, rotert 90 grader. Det er, 
- dette er ikke-kanonisk oppføring ellipse 
. Ta opp!- ligningen 
spesifiserer ikke noen annen ellipse, siden det ikke er noen punkter (foci) på aksen som vil tilfredsstille definisjonen av en ellipse.
Kurver av andre orden på et plan kalles linjer definert av ligninger der variabelen koordinerer x og y inneholdt i andre grad. Disse inkluderer ellipsen, hyperbelen og parabelen.
Den generelle formen for andreordens kurvelikning er som følger:
hvor A B C D E F- tall og minst én av koeffisientene A, B, C er ikke lik null.
Når du løser problemer med andreordenskurver, blir de kanoniske ligningene for en ellipse, hyperbel og parabel oftest vurdert. Det er lett å overføre dem fra generelle ligninger, eksempel 1 på problemer med ellipser vil bli viet til dette.
Ellipse gitt av den kanoniske ligningen
Definisjon av en ellipse. En ellipse er settet av alle punkter i planet, de hvor summen av avstandene til punktene, kalt foci, er konstant og større enn avstanden mellom brennpunktene.
Fokus er markert som i figuren nedenfor.
Den kanoniske ligningen for en ellipse er:
hvor en og b (en > b) - lengdene til halvaksene, dvs. halvparten av lengdene til segmentene avskåret av ellipsen på koordinataksene.
Den rette linjen som går gjennom brennpunktene til ellipsen er dens symmetriakse. En annen symmetriakse til ellipsen er en rett linje som går gjennom midten av segmentet vinkelrett på dette segmentet. Punktum O skjæringspunktet mellom disse linjene fungerer som ellipsens symmetrisenter, eller ganske enkelt ellipsens senter.
Abscisseaksen til ellipsen skjærer punkter ( en, O) og (- en, O), og y-aksen er ved punkter ( b, O) og (- b, O). Disse fire punktene kalles ellipsens toppunkter. Segmentet mellom toppunktene til ellipsen på abscisseaksen kalles dens hovedakse, og på ordinataksen - mindreaksen. Segmentene deres fra toppen til midten av ellipsen kalles halvakser.
Hvis en en = b, så tar ellipsens ligning formen . Dette er ligningen for en sirkel med radius en, og en sirkel er et spesialtilfelle av en ellipse. En ellipse kan fås fra en sirkel med radius en, hvis du komprimerer den til en/b ganger langs aksen Oy .
Eksempel 1 Sjekk om linjen gitt av den generelle ligningen 
, en ellipse.
Løsning. Vi gjør transformasjoner av den generelle ligningen. Vi bruker overføringen av den frie termen til høyre side, term-for-term-deling av ligningen med samme tall og reduksjon av brøker:
Svar. Den resulterende ligningen er den kanoniske ligningen til ellipsen. Derfor er denne linjen en ellipse.
Eksempel 2 Skriv den kanoniske ligningen til en ellipse hvis halvaksene er henholdsvis 5 og 4.
Løsning. Vi ser på formelen for den kanoniske ligningen for ellipsen og erstatningen: semi-hovedaksen er en= 5 , den mindre halvaksen er b= 4. Vi får den kanoniske ligningen til ellipsen:
Punkter og markert med grønt på hovedaksen, hvor
kalt triks.
kalt eksentrisitet ellipse.
Holdning b/en karakteriserer "oblateness" av ellipsen. Jo mindre dette forholdet er, jo mer strekker ellipsen seg langs hovedaksen. Imidlertid er graden av forlengelse av ellipsen oftere uttrykt i form av eksentrisitet, hvis formel er gitt ovenfor. For forskjellige ellipser varierer eksentrisiteten fra 0 til 1, og forblir alltid mindre enn én.
Eksempel 3 Skriv den kanoniske ligningen for en ellipse hvis avstanden mellom brennpunktene er 8 og hovedaksen er 10.
Løsning. Vi trekker enkle konklusjoner:
Hvis hovedaksen er 10, så er dens halve, dvs. halvakse en = 5 ,
Hvis avstanden mellom foci er 8, så tallet c av fokuskoordinatene er 4.
Erstatt og beregn:
Resultatet er den kanoniske ligningen for ellipsen:
Eksempel 4 Skriv den kanoniske ligningen til en ellipse hvis hovedaksen er 26 og eksentrisiteten er .
Løsning. Som følger av både størrelsen på hovedaksen og eksentrisitetsligningen, den store halvaksen til ellipsen en= 13. Fra eksentrisitetsligningen uttrykker vi tallet c, nødvendig for å beregne lengden på den mindre halvaksen:
.
Vi beregner kvadratet på lengden av den mindre halvaksen:
Vi komponerer den kanoniske ligningen for ellipsen:
Eksempel 5 Bestem brennpunktene til ellipsen gitt av den kanoniske ligningen.
Løsning. Må finne et nummer c, som definerer de første koordinatene til fociene til ellipsen:
.
Vi får fokusene til ellipsen:
Eksempel 6 Fociene til ellipsen er plassert på aksen Okse symmetrisk om opprinnelsen. Skriv den kanoniske ligningen for en ellipse hvis:
1) avstanden mellom brennpunktene er 30, og hovedaksen er 34
2) underaksen er 24, og ett av fokusene er ved punktet (-5; 0)
3) eksentrisitet, og en av fokusene er ved punktet (6; 0)
Vi fortsetter å løse problemer på ellipsen sammen
Hvis - et vilkårlig punkt på ellipsen (merket med grønt på tegningen i øvre høyre del av ellipsen) og - avstandene til dette punktet fra brennpunktene, er formlene for avstandene som følger:
For hvert punkt som tilhører ellipsen, er summen av avstandene fra brennpunktene en konstant verdi lik 2 en.
Rette linjer definert av ligninger
kalt direktører ellipse (på tegningen - røde linjer langs kantene).
Fra de to ligningene ovenfor følger det at for ethvert punkt på ellipsen
,
hvor og er avstandene til dette punktet til retningslinjene og .
Eksempel 7 Gitt en ellipse. Skriv en likning for dens retninger.
Løsning. Vi ser inn i dirrix-ligningen og finner at det kreves for å finne eksentrisiteten til ellipsen, dvs. Alle data for dette er. Vi beregner:
.
Vi får ligningen for ellipsens retning:
Eksempel 8 Skriv den kanoniske ligningen til en ellipse hvis fokusene er punkter og retningslinjene er linjer.