Definer begrepet matrise. §en

Definisjon 1. Matrix A størrelsemn er en rektangulær tabell med m rader og n kolonner, bestående av tall eller andre matematiske uttrykk (kalt matriseelementer), i = 1,2,3,...,m, j = 1,2,3,...,n.

, eller

Definisjon 2. To matriser
og
samme størrelse kalles lik, hvis de samsvarer element for element, dvs. =,i = 1,2,3,...,m, j = 1,2,3,...,n.

Ved hjelp av matriser er det lett å skrive ned noen økonomiske avhengigheter, for eksempel tabeller over ressursfordelingen for visse sektorer av økonomien.

Definisjon 3. Hvis antallet matriserader samsvarer med antall kolonner, dvs. m = n, da kalles matrisen firkantet rekkefølgen, ellers rektangulær.

Definisjon 4. Overgangen fra en matrise A til en matrise A m, der radene og kolonnene byttes med bevaring av rekkefølge, kalles transponering matriser.

Typer matriser: kvadratisk (størrelse 33) -
,

rektangulær (størrelse 25) -
,

diagonal -
, singel -
, null -
,

matrise-rad -
, matrise-kolonne -.

Definisjon 5. Elementer av en kvadratisk matrise av orden n med samme indekser kalles elementer av hoveddiagonalen, dvs. dette er elementene:
.

Definisjon 6. Elementer i en kvadratisk matrise av orden n kalles sekundære diagonale elementer hvis summen av deres indekser er lik n + 1, dvs. dette er elementene: .

1.2. Operasjoner på matriser.

1 0 . sum to matriser
og
av samme størrelse kalles en matrise С = (с ij), hvis elementer bestemmes av likhet med ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,...,m, j = 1,2 ,3,...,n).

Egenskaper for driften av matrisetilsetning.

For alle matriser A, B, C av samme størrelse gjelder følgende likheter:

1) A + B = B + A (kommutativitet),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (assosiativitet).

2 0 . arbeid matriser
per nummer kalt matrise
samme størrelse som matrise A, og b ij =  (i = 1,2,3,...,m, j = 1,2,3,...,n).

Egenskaper for operasjonen ved å multiplisere en matrise med et tall.

    (А) = ()А (assosiativitet av multiplikasjon);

    (А+В) = А+В (distributivitet av multiplikasjon med hensyn til matriseaddisjon);

    (+)A = A+A (fordeling av multiplikasjon med hensyn til addisjon av tall).

Definisjon 7. Lineær kombinasjon av matriser
og
av samme størrelse kalles et uttrykk på formen A + B, hvor  og  er vilkårlige tall.

3 0 . Produkt A I matriser A og B, henholdsvis av størrelsene mn og nk, kalles en matrise C med størrelsen mk, slik at elementet med ij er lik summen av produktene til elementene i den i-te raden av matrise A og den j-te kolonnen av matrise B, dvs. med ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +...+a ik b kj .

Produktet AB eksisterer bare hvis antall kolonner i matrise A er det samme som antall rader i matrise B.

Egenskaper for operasjonen av matrisemultiplikasjon:

    (АВ)С = А(ВС) (assosiativitet);

    (А+В)С = АС+ВС (distributivitet med hensyn til matriseaddisjon);

    А(В+С) = АВ+АС (distributivitet med hensyn til matriseaddisjon);

    АВ  ВА (ikke kommutativitet).

Definisjon 8. Matrisene A og B, der AB = BA, kalles pendling eller permutering.

Å multiplisere en kvadratisk matrise av hvilken som helst rekkefølge med den tilsvarende identitetsmatrisen endrer ikke matrisen.

Definisjon 9. Elementære transformasjoner matriser kalles følgende operasjoner:

    Bytt to rader (kolonner).

    Multipliser hvert element i en rad (kolonne) med et tall som ikke er null.

    Legge til elementene i en rad (kolonne) de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne).

Definisjon 10. Matrisen B oppnådd fra matrisen A ved hjelp av elementære transformasjoner kalles tilsvarende(betegnet BA).

Eksempel 1.1. Finn en lineær kombinasjon av matrisene 2A–3B if

,
.

,
,


.

Eksempel 1.2. Finn produkt av matriser
, hvis

.

Løsning: siden antall kolonner i den første matrisen er det samme som antall rader i den andre matrisen, eksisterer matriseproduktet. Som et resultat får vi en ny matrise
, hvor

Som et resultat får vi
.

Forelesning 2. Determinanter. Beregning av determinanter av andre, tredje orden. Kvalifiseringsegenskapern-te orden.

>> Matriser

4.1 Matriser. Matriseoperasjoner

En rektangulær matrise av størrelsen mxn er en samling av mxn-tall arrangert i en rektangulær tabell som inneholder m rader og n kolonner. Vi skriver det i skjemaet

eller forkortet som A = (a i j) (i = ; j = ), tall a i j , kalles dets elementer; den første indeksen peker på radnummeret, den andre indeksen til kolonnenummeret. A = (a i j) og B = (b i j) av samme størrelse kalles like hvis elementene deres på samme steder er parvis like, det vil si A = B hvis a i j = b i j .

En matrise som består av én rad eller én kolonne kalles henholdsvis en -rad eller kolonnevektor. Kolonnevektorer og radvektorer kalles ganske enkelt vektorer.

En matrise som består av ett tall identifiseres med dette tallet. A av størrelsen mxn, hvis elementer er lik null, kalles null og er betegnet med 0. Elementer med samme indekser kalles elementer i hoveddiagonalen. Hvis antall rader er lik antall kolonner, dvs. m = n, sies matrisen å være kvadratisk av orden n. Kvadratiske matriser der bare elementene i hoveddiagonalen ikke er null kalles diagonale matriser og skrives som følger:

.

Hvis alle elementene a i i i diagonalen er lik 1, kalles den enhet og betegnes med bokstaven E:

.

En kvadratisk matrise kalles trekantet hvis alle elementene over (eller under) hoveddiagonalen er lik null. En transposisjon er en transformasjon der rader og kolonner byttes samtidig som tallene opprettholdes. Transponering er indikert med en T øverst.

Hvis vi i (4.1) omorganiserer rader med kolonner, får vi

,

som vil bli transponert med hensyn til A. Spesielt resulterer transponering av en kolonnevektor i en radvektor og omvendt.

Produktet av A med tallet b er en matrise hvis elementer er hentet fra de tilsvarende elementene til A ved å multiplisere med tallet b: b A = (b a i j).

Summen av A = (a i j) og B = (b i j) av samme størrelse er C = (c i j) av samme størrelse, hvis elementer bestemmes av formelen c i j = a i j + b i j .

Produktet AB er definert ut fra en antagelse om at antall kolonner i A er lik antall rader i B.

Produktet av AB, hvor A = (a i j) og B = (b j k), hvor i = , j= , k= , gitt i en viss rekkefølge AB, er C = (c i k), hvis elementer bestemmes av følgende regel:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Med andre ord er elementet til produktet AB definert som følger: elementet i den i-te raden og den k-te kolonnen C er lik summen av produktene til elementene i den i-te raden A med tilsvarende elementer i den k-te kolonne B.

Eksempel 2.1. Finn produktet av AB og .

Løsning. Vi har: A på størrelse 2x3, B på størrelse 3x3, så eksisterer produktet AB = C og elementene i C er like

С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

, og produktet BA eksisterer ikke.

Eksempel 2.2. Tabellen viser antall enheter av produkter som sendes daglig fra meieri 1 og 2 til butikk M 1 , M 2 og M 3, og levering av en produksjonsenhet fra hvert meieri til butikk M 1 koster 50 den. enheter, i butikken M 2 - 70, og i M 3 - 130 den. enheter Beregn de daglige transportkostnadene for hvert anlegg.

meieri

Løsning. Angi med A matrisen gitt til oss i tilstanden, og ved
B - en matrise som karakteriserer kostnadene ved å levere en produksjonsenhet til butikker, dvs.

,

Da vil transportkostnadsmatrisen se slik ut:

.

Så det første anlegget bruker 4750 hi daglig på transport. enheter, den andre - 3680 den.un.

Eksempel 2.3. Sybedriften produserer vinterfrakker, halvsesongfrakker og regnfrakker. Den planlagte utgangen for et tiår er preget av vektoren X = (10, 15, 23). Det brukes fire typer stoffer: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . Tabellen viser stoffforbruket (i meter) for hvert produkt. Vektoren C = (40, 35, 24, 16) spesifiserer kostnaden for en meter av hver type stoff, og vektoren P = (5, 3, 2, 2) - kostnaden for å transportere en meter av hver type stoff. stoff.

Stoffforbruk

Vinterfrakk

Demi frakk

1. Hvor mange meter av hver type stoff vil kreves for å fullføre planen?

2. Finn kostnadene for stoffet som brukes til å skreddersy hver type produkt.

3. Bestem kostnadene for alt stoffet som trengs for å fullføre planen.

Løsning. La oss angi med A matrisen gitt til oss i tilstanden, dvs.

,

deretter, for å finne antall meter stoff som trengs for å fullføre planen, må du multiplisere vektoren X med matrisen A:

Kostnaden for stoffet brukt på å skreddersy et produkt av hver type er funnet ved å multiplisere matrisen A og vektoren C T:

.

Kostnaden for alt stoffet som trengs for å fullføre planen vil bli bestemt av formelen:

Til slutt, tatt i betraktning transportkostnader, vil hele beløpet være lik kostnaden for stoffet, det vil si 9472 den. enheter, pluss verdi

X A P T =
.

Så, X A C T + X A P T \u003d 9472 + 1037 \u003d 10509 (den. enheter).

Matrisen er merket med store latinske bokstaver ( MEN, PÅ, FRA,...).

Definisjon 1. Rektangulær tabell av skjemaet,

bestående av m linjer og n kolonner kalles matrise.

Matriseelement, i – radnummer, j – kolonnenummer.

Typer matriser:

elementer på hoveddiagonalen:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +...+a nn .

§2. Determinanter av 2., 3. og n. orden

La to kvadratiske matriser gis:

Definisjon 1. Determinant av andre orden av en matrise MEN 1 er tallet angitt med ∆ og lik , hvor

Eksempel. Regn ut 2. ordens determinanten:

Definisjon 2. Determinant av 3. orden av en kvadratisk matrise MEN 2 kalt et nummer av skjemaet:

Dette er en måte å beregne determinanten på.

Eksempel. Regne ut

Definisjon 3. Hvis en determinant består av n-rader og n-kolonner, kalles den en n-te ordens determinant.

Egenskaper til determinanter:

    Determinanten endres ikke under transponering (dvs. hvis radene og kolonnene i den byttes ut mens rekkefølgen opprettholdes).

    Hvis to rader eller to kolonner byttes ut i determinanten, endrer determinanten bare fortegnet.

    Fellesfaktoren til en hvilken som helst rad (kolonne) kan tas ut av fortegnet til determinanten.

    Hvis alle elementene i en rad (kolonne) i determinanten er lik null, er determinanten lik null.

    Determinanten er null hvis elementene i to rader er like eller proporsjonale.

    Determinanten endres ikke hvis de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne) multiplisert med samme tall legges til elementene i en hvilken som helst rad (kolonne).

Eksempel.

Definisjon 4. Determinanten oppnådd fra en gitt ved å slette en kolonne og en rad kalles liten det tilsvarende elementet. M ij element a ij .

Definisjon 5. Algebraisk tillegg element a ij , kalles uttrykket

§3. Matrisehandlinger

Lineære operasjoner

1) Når du legger til matriser, legges elementene deres med samme navn til.

    Når du subtraherer matriser, trekkes elementene deres med samme navn fra.

    Når du multipliserer en matrise med et tall, multipliseres hvert element i matrisen med dette tallet:

3.2 Matrisemultiplikasjon.

Arbeid matriser MEN til matrise PÅ er en ny matrise hvis elementer er lik summen av produktene til elementene i den i-te raden i matrisen MEN til de tilsvarende elementene i den jth kolonnen i matrisen PÅ. Matriseprodukt MEN til matrise PÅ kan bare bli funnet hvis antall kolonner i matrisen MEN er lik antall matriserader PÅ. Ellers er arbeidet umulig.

Kommentar:

(ikke underlagt kommutativitetsegenskapen)

§ 4. Invers matrise

Den inverse matrisen eksisterer bare for en kvadratisk matrise, og matrisen må være ikke-singular.

Definisjon 1. Matrise MEN kalt ikke-degenerert hvis determinanten til denne matrisen ikke er lik null

Definisjon 2. MEN-1 ringte invers matrise for en gitt ikke-singular kvadratisk matrise MEN, hvis når du multipliserer denne matrisen med den gitte begge til høyre, så til venstre, oppnås identitetsmatrisen.

Algoritme for å beregne den inverse matrisen

1 vei (ved bruk av algebraiske tillegg)

Eksempel 1:

1. år, høyere matematikk, studium matriser og grunnleggende handlinger på dem. Her systematiserer vi hovedoperasjonene som kan utføres med matriser. Hvordan komme i gang med matriser? Selvfølgelig, fra de enkleste - definisjoner, grunnleggende konsepter og enkleste operasjoner. Vi forsikrer deg om at matriser vil bli forstått av alle som bruker minst litt tid på dem!

Matrisedefinisjon

Matrise er en rektangulær tabell med elementer. Vel, hvis i enkle termer - en tabell med tall.

Matriser er vanligvis betegnet med store latinske bokstaver. For eksempel matrise EN , matrise B og så videre. Matriser kan ha forskjellige størrelser: rektangulære, kvadratiske, det finnes også radmatriser og kolonnematriser kalt vektorer. Størrelsen på matrisen bestemmes av antall rader og kolonner. La oss for eksempel skrive en rektangulær matrise av størrelse m på n , hvor m er antall linjer, og n er antall kolonner.

Elementer som i=j (a11, a22, .. ) danner hoveddiagonalen til matrisen, og kalles diagonal.

Hva kan gjøres med matriser? Legg til/trekk fra, gange med et tall, formere seg mellom seg, transponere. Nå om alle disse grunnleggende operasjonene på matriser i rekkefølge.

Matriseaddisjons- og subtraksjonsoperasjoner

Vi advarer deg med en gang om at du bare kan legge til matriser av samme størrelse. Resultatet er en matrise av samme størrelse. Det er enkelt å legge til (eller trekke fra) matriser − bare legg til de tilsvarende elementene . La oss ta et eksempel. La oss legge til to matriser A og B med størrelse to og to.

Subtraksjon utføres analogt, bare med motsatt fortegn.

Enhver matrise kan multipliseres med et vilkårlig tall. Å gjøre dette, du må gange med dette tallet hvert av elementene. La oss for eksempel multiplisere matrisen A fra det første eksemplet med tallet 5:

Matrisemultiplikasjonsoperasjon

Ikke alle matriser kan multipliseres med hverandre. For eksempel har vi to matriser - A og B. De kan bare multipliseres med hverandre hvis antall kolonner i matrise A er lik antall rader i matrise B. Dessuten, hvert element i den resulterende matrisen i den i-te raden og den j-te kolonnen vil være lik summen av produktene til de tilsvarende elementene i den i-te raden i den første faktoren og den j-te kolonnen i den andre. For å forstå denne algoritmen, la oss skrive ned hvordan to kvadratiske matriser multipliseres:

Og et eksempel med reelle tall. La oss multiplisere matrisene:

Matrisetransponeringsoperasjon

Matrisetransponering er en operasjon der de tilsvarende radene og kolonnene byttes. For eksempel transponerer vi matrisen A fra det første eksemplet:

Matrisedeterminant

Determinanten, å determinanten, er et av de grunnleggende konseptene for lineær algebra. En gang i tiden kom folk opp med lineære ligninger, og etter dem måtte de finne opp en determinant. Til slutt er det opp til deg å håndtere alt dette, så det siste dyttet!

Determinanten er en numerisk karakteristikk av en kvadratisk matrise, som er nødvendig for å løse mange problemer.
For å beregne determinanten til den enkleste kvadratiske matrisen, må du beregne forskjellen mellom produktene til elementene i hoved- og sekundærdiagonalene.

Determinanten til en matrise av første orden, det vil si bestående av ett element, er lik dette elementet.

Hva om matrisen er tre ganger tre? Dette er vanskeligere, men det kan gjøres.

For en slik matrise er verdien av determinanten lik summen av produktene til elementene i hoveddiagonalen og produktene til elementene som ligger på trekanter med en flate parallelt med hoveddiagonalen, hvorfra produktet av elementene av sekundærdiagonalen og produktet av elementene som ligger på trekanter med en flate parallelt med sekundærdiagonalen trekkes fra.

Heldigvis er det sjelden nødvendig å beregne determinantene til store matriser i praksis.

Her har vi vurdert de grunnleggende operasjonene på matriser. Selvfølgelig, i det virkelige liv kan du aldri engang komme over et hint av et matrisesystem av ligninger, eller omvendt, du kan støte på mye mer komplekse tilfeller når du virkelig må gruble deg. Det er for slike saker det er en profesjonell studenttjeneste. Be om hjelp, få en detaljert løsning av høy kvalitet, nyt akademisk suksess og fritid.

I dette emnet vil vi vurdere konseptet med en matrise, så vel som typene matriser. Siden det er mange begreper i dette emnet, vil jeg legge til et sammendrag for å gjøre det lettere å navigere i stoffet.

Definisjon av en matrise og dens element. Notasjon.

Matrise er en tabell med $m$ rader og $n$ kolonner. Elementer i en matrise kan være objekter av en helt mangfoldig natur: tall, variabler eller for eksempel andre matriser. For eksempel har matrisen $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ 3 rader og 2 kolonner; dens elementer er heltall. Matrisen $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ inneholder 2 rader og 4 kolonner.

Ulike måter å skrive matriser på: vis\skjul

Matrisen kan skrives ikke bare i runde parenteser, men også i firkantede eller doble rette parenteser. Det vil si at oppføringene nedenfor betyr den samme matrisen:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Produktet $m\ ganger n$ kalles matrisestørrelse. For eksempel, hvis matrisen inneholder 5 rader og 3 kolonner, så snakker man om en $5\ ganger 3$ matrise. Matrisen $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ har størrelse $3 \ ganger 2$.

Matriser er vanligvis merket med store bokstaver i det latinske alfabetet: $A$, $B$, $C$, og så videre. For eksempel, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Linjenummerering går fra topp til bunn; kolonner - fra venstre til høyre. For eksempel inneholder den første raden i matrisen $B$ elementene 5 og 3, og den andre kolonnen inneholder elementene 3, -87, 0.

Elementer i matriser er vanligvis merket med små bokstaver. For eksempel er elementene i matrisen $A$ betegnet med $a_(ij)$. Den doble indeksen $ij$ inneholder informasjon om posisjonen til elementet i matrisen. Tallet $i$ er nummeret på raden, og tallet $j$ er nummeret på kolonnen, i skjæringspunktet for elementet $a_(ij)$. For eksempel, i skjæringspunktet mellom den andre raden og den femte kolonnen i matrisen $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $ a_(25)= $59:

På samme måte, i skjæringspunktet mellom den første raden og den første kolonnen, har vi elementet $a_(11)=51$; i skjæringspunktet mellom den tredje raden og den andre kolonnen - elementet $a_(32)=-15$ og så videre. Legg merke til at $a_(32)$ leses som "en tre to", men ikke "en trettito".

For den forkortede betegnelsen på matrisen $A$, hvis størrelse er lik $m\ ganger n$, brukes notasjonen $A_(m\ ganger n)$. Du kan skrive litt mer detaljert:

$$ A_(m\ ganger n)=(a_(ij)) $$

hvor notasjonen $(a_(ij))$ angir elementene i matrisen $A$. I en fullstendig utvidet form kan matrisen $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ skrives som følger:

$$ A_(m\ ganger n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

La oss introdusere et annet begrep - like matriser.

To matriser av samme størrelse $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ og $B_(m\ ganger n)=(b_(ij))$ kalles lik hvis deres tilsvarende elementer er like, dvs. $a_(ij)=b_(ij)$ for alle $i=\overline(1,m)$ og $j=\overline(1,n)$.

Forklaring på oppføringen $i=\overline(1,m)$: show\hide

Oppføringen "$i=\overline(1,m)$" betyr at parameteren $i$ endres fra 1 til m. For eksempel, oppføringen $i=\overline(1,5)$ sier at $i$-parameteren tar verdiene 1, 2, 3, 4, 5.

Så, for likhet i matriser, kreves to forhold: sammenfall av størrelser og likhet mellom de tilsvarende elementene. For eksempel er matrisen $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ikke lik matrisen $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ fordi matrise $A$ er $3\ ganger 2$ og matrise $B$ er $2\ ganger 2$. Også matrisen $A$ er ikke lik matrisen $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right) $ fordi $a_( 21)\neq c_(21)$ (dvs. $0\neq 98$). Men for matrisen $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$, kan vi trygt skrive $A =F$ fordi både størrelsene og de tilsvarende elementene i matrisene $A$ og $F$ er sammenfallende.

Eksempel #1

Bestem størrelsen på matrisen $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Spesifiser hva elementene $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ er lik.

Denne matrisen inneholder 5 rader og 3 kolonner, så størrelsen er $5\ ganger 3$. Notasjonen $A_(5\ ganger 3)$ kan også brukes for denne matrisen.

Elementet $a_(12)$ er i skjæringspunktet mellom den første raden og den andre kolonnen, så $a_(12)=-2$. Elementet $a_(33)$ er i skjæringspunktet mellom den tredje raden og den tredje kolonnen, så $a_(33)=23$. Elementet $a_(43)$ er i skjæringspunktet mellom den fjerde raden og den tredje kolonnen, så $a_(43)=-5$.

Svar: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Typer matriser avhengig av størrelse. Hoved- og sidediagonaler. Matrisespor.

La det gis en matrise $A_(m\ ganger n)$. Hvis $m=1$ (matrisen består av en rad), kalles den gitte matrisen matrise-rad. Hvis $n=1$ (matrisen består av én kolonne), kalles en slik matrise kolonnematrise. For eksempel er $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ en radmatrise, og $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - kolonnematrise.

Hvis betingelsen $m\neq n$ er sann for matrisen $A_(m\ ganger n)$ (det vil si at antall rader ikke er lik antall kolonner), så sies det ofte at $A$ er en rektangulær matrise. For eksempel har matrisen $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ størrelse $2\ ganger 4 $, de. inneholder 2 rader og 4 kolonner. Siden antall rader ikke er lik antall kolonner, er denne matrisen rektangulær.

Hvis betingelsen $m=n$ er sann for matrisen $A_(m\ ganger n)$ (dvs. antall rader er lik antall kolonner), så sies $A$ å være en kvadratisk matrise av bestille $n$. For eksempel er $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ en andreordens kvadratmatrise; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ er en 3. ordens kvadratisk matrise. Generelt kan kvadratmatrisen $A_(n\ ganger n)$ skrives som følger:

$$ A_(n\ ganger n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Elementene $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ sies å være på hoveddiagonal matriser $A_(n\ ganger n)$. Disse elementene kalles diagonale hovedelementer(eller bare diagonale elementer). Elementene $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ er på side (sekundær) diagonal; de kalles sekundære diagonale elementer. For eksempel, for matrisen $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ vi har:

Elementene $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ er de viktigste diagonale elementene; elementene $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ er sekundære diagonale elementer.

Summen av de viktigste diagonale elementene kalles etterfulgt av en matrise og betegnet med $\Tr A$ (eller $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

For eksempel, for matrisen $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ har vi:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Konseptet med diagonale elementer brukes også for ikke-kvadratiske matriser. For eksempel, for matrisen $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ de diagonale hovedelementene vil være $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Typer matriser avhengig av verdiene til elementene deres.

Hvis alle elementene i matrisen $A_(m\ ganger n)$ er lik null, kalles en slik matrise null og er vanligvis betegnet med bokstaven $O$. For eksempel, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ er null matriser.

La matrisen $A_(m\ ganger n)$ se slik ut:

Da kalles denne matrisen trapesformet. Den inneholder kanskje ikke nullrader, men hvis de er det, er de plassert nederst i matrisen. I en mer generell form kan en trapesformet matrise skrives som:

Igjen, etterfølgende nullstrenger er valgfrie. De. formelt sett kan vi skille ut følgende betingelser for en trapesformet matrise:

  1. Alle elementer under hoveddiagonalen er lik null.
  2. Alle elementer fra $a_(11)$ til $a_(rr)$ som ligger på hoveddiagonalen er ikke lik null: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
  3. Enten er alle elementene i de siste $m-r$-radene lik null, eller $m=r$ (dvs. det er ingen null-rader i det hele tatt).

Eksempler på trapesformede matriser:

La oss gå videre til neste definisjon. Matrisen $A_(m\ ganger n)$ kalles tråkket hvis den oppfyller følgende betingelser:


For eksempel vil trinnmatriser være:

Til sammenligning, matrisen $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ er ikke trinnvis fordi den tredje raden har samme nulldel som den andre raden. Det vil si at prinsippet "jo lavere linjen - jo større nulldelen" brytes. Jeg vil legge til at den trapesformede matrisen er et spesielt tilfelle av den trinnvise matrisen.

La oss gå videre til neste definisjon. Hvis alle elementene i en kvadratisk matrise som ligger under hoveddiagonalen er lik null, kalles en slik matrise øvre trekantet matrise. For eksempel, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - øvre trekantmatrise. Merk at definisjonen av den øvre trekantede matrisen ikke sier noe om verdiene til elementene som ligger over hoveddiagonalen eller på hoveddiagonalen. De kan være null eller ikke, det spiller ingen rolle. For eksempel er $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ også en øvre trekantet matrise.

Hvis alle elementene i en kvadratisk matrise plassert over hoveddiagonalen er lik null, kalles en slik matrise nedre trekantmatrise. For eksempel, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - nedre trekantmatrise. Legg merke til at definisjonen av en lavere trekantet matrise ikke sier noe om verdiene til elementer som ligger under eller på hoveddiagonalen. De kan være null eller ikke, det spiller ingen rolle. For eksempel, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ og $\left(\ begynne (matrise) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(matrise) \right)$ er også lavere trekantede matriser.

Den kvadratiske matrisen kalles diagonal hvis alle elementer i denne matrisen som ikke er på hoveddiagonalen er lik null. Eksempel: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\right)$. Elementene på hoveddiagonalen kan være hva som helst (null eller ikke) - dette er ikke avgjørende.

Den diagonale matrisen kalles enkelt hvis alle elementene i denne matrisen på hoveddiagonalen er lik 1. For eksempel $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - 4. ordens identitetsmatrise; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ er den andre ordens identitetsmatrisen.