Formelen for volumet til en vanlig avkortet pyramide. Volumformler for en full og avkortet pyramide
- 09.10.2014
Forforsterkeren vist på figuren er designet for bruk med 4 typer lydkilder, som mikrofon, CD-spiller, radiobåndopptaker osv. Samtidig har forforsterkeren én inngang som kan endre følsomheten fra 50mV til 500mV . utgangsspenningen til forsterkeren er 1000mV. Ved å koble til forskjellige signalkilder når du bytter bryter SA1, vil vi alltid få ...
- 20.09.2014
PSU-en er designet for en belastning med en effekt på 15 ... 20 watt. Kilden er laget i henhold til skjemaet til en enkeltsyklus pulset høyfrekvensomformer. En oscillator som opererer med en frekvens på 20 ... 40 kHz er montert på transistoren. Frekvensen justeres av kapasitansen C5. Elementene VD5, VD6 og C6 danner en krets for å starte en oscillator. I sekundærkretsen, etter brolikeretteren, er det en konvensjonell lineær stabilisator på en mikrokrets, som lar deg ha ...
- 28.09.2014
Figuren viser en generator på en K174XA11-brikke, hvis frekvens styres av spenning. Ved å endre kapasitansen C1 fra 560 til 4700pF kan man få et bredt frekvensområde, mens frekvensen justeres ved å endre motstanden R4. For eksempel fant forfatteren ut at ved C1 \u003d 560pF kan generatorfrekvensen endres ved hjelp av R4 fra 600Hz til 200kHz, ...
- 03.10.2014
Enheten er designet for å drive en kraftig ULF, den er designet for en utgangsspenning på ± 27V og laster dermed opptil 3A på hver arm. PSU-en er bipolar, laget på komplette kompositttransistorer KT825-KT827. Begge armene til stabilisatoren er laget i henhold til samme skjema, men i den andre armen (den er ikke vist) endres polariteten til kondensatorene og transistorer til den andre brukes ...
Evnen til å beregne volumet av romlige figurer er viktig for å løse en rekke praktiske problemer innen geometri. En av de vanligste formene er pyramiden. I denne artikkelen vil vi vurdere pyramidene, både fulle og avkortede.
Pyramide som en tredimensjonal figur
Alle vet om de egyptiske pyramidene, så de har en god ide om hvilken figur som vil bli diskutert. Likevel er egyptiske steinstrukturer bare et spesielt tilfelle av en enorm klasse pyramider.
Det geometriske objektet som vurderes i det generelle tilfellet er en polygonal base, hvor hvert toppunkt er koblet til et punkt i rommet som ikke tilhører basisplanet. Denne definisjonen fører til en figur som består av én n-gon og n trekanter.
Enhver pyramide består av n+1 flater, 2*n kanter og n+1 toppunkter. Siden figuren som vurderes er et perfekt polyeder, følger antallet markerte elementer Euler-ligningen:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Polygonen som ligger ved basen gir navnet på pyramiden, for eksempel trekantet, femkantet, og så videre. Et sett med pyramider med forskjellige baser er vist på bildet nedenfor.
Punktet der n trekanter i figuren er koblet sammen kalles toppen av pyramiden. Hvis en perpendikulær senkes fra den til basen og den skjærer den i det geometriske sentrum, vil en slik figur bli kalt en rett linje. Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, er det en skrå pyramide.
En rett figur, hvis basis er dannet av en likesidet (likkantet) n-gon, kalles regulær.
Formel for pyramidevolum
For å beregne volumet til pyramiden bruker vi integralregningen. For å gjøre dette deler vi figuren med sekantplan parallelt med basen i et uendelig antall tynne lag. Figuren under viser en firkantet pyramide med høyde h og sidelengde L, hvor et tynt snittlag er markert med en firkant.
Arealet til hvert slikt lag kan beregnes med formelen:
A(z) = A0*(h-z)2/h2.
Her er A 0 arealet av basen, z er verdien av den vertikale koordinaten. Det kan sees at hvis z = 0, så gir formelen verdien A 0 .
For å få formelen for volumet til pyramiden, bør du beregne integralet over hele høyden på figuren, det vil si:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Ved å erstatte avhengigheten A(z) og beregne antideriverten, kommer vi til uttrykket:
V = -A0*(h-z)3/(3*h2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * t.
Vi har fått formelen for volumet til en pyramide. For å finne verdien av V, er det nok å multiplisere høyden på figuren med arealet av basen, og deretter dele resultatet med tre.
Merk at det resulterende uttrykket er gyldig for å beregne volumet til en pyramide av en vilkårlig type. Det vil si at den kan skråstilles, og basen kan være en vilkårlig n-gon.
og volumet
Den generelle formelen for volum oppnådd i avsnittet ovenfor kan raffineres i tilfelle av en pyramide med en vanlig base. Arealet til en slik base beregnes ved hjelp av følgende formel:
A 0 = n/4*L2 *ctg(pi/n).
Her er L sidelengden til en regulær polygon med n toppunkter. Symbolet pi er tallet pi.
Ved å erstatte uttrykket for A 0 i den generelle formelen får vi volumet til en vanlig pyramide:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
For eksempel, for en trekantet pyramide, fører denne formelen til følgende uttrykk:
V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * t.
For en vanlig firkantet pyramide har volumformelen formen:
V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * t.
Å bestemme volumene til vanlige pyramider krever å kjenne siden av basen deres og høyden på figuren.
Pyramide avkortet
Anta at vi har tatt en vilkårlig pyramide og kuttet av en del av sideoverflaten som inneholder toppunktet. Den gjenværende figuren kalles en avkortet pyramide. Den består allerede av to n-gonale baser og n trapeser som forbinder dem. Hvis skjæreplanet var parallelt med bunnen av figuren, dannes en avkortet pyramide med parallelle lignende baser. Det vil si at lengdene på sidene til en av dem kan oppnås ved å multiplisere lengdene til den andre med en koeffisient k.
Figuren over viser en avkortet regulær.Det kan sees at dens øvre base, som den nedre, er dannet av en regulær sekskant.
Formelen som kan utledes ved å bruke en integralregning som ligner på ovenstående er:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Der A 0 og A 1 er arealene til henholdsvis den nedre (store) og den øvre (små) basen. Variabelen h angir høyden på den avkortede pyramiden.
Volumet av Cheops-pyramiden
Det er nysgjerrig å løse problemet med å bestemme volumet som den største egyptiske pyramiden inneholder.
I 1984 etablerte de britiske egyptologene Mark Lehner og Jon Goodman de nøyaktige dimensjonene til Cheops-pyramiden. Den opprinnelige høyden var 146,50 meter (for tiden omtrent 137 meter). Gjennomsnittlig lengde på hver av de fire sidene av strukturen var 230.363 meter. Basen av pyramiden er firkantet med høy nøyaktighet.
La oss bruke de gitte tallene for å bestemme volumet til denne steingiganten. Siden pyramiden er en vanlig firkantet, er formelen gyldig for den:
Plugger inn tallene får vi:
V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.
Volumet av Cheops-pyramiden er nesten 2,6 millioner m 3. Til sammenligning bemerker vi at det olympiske bassenget har et volum på 2,5 tusen m 3. Det vil si at for å fylle hele Cheops-pyramiden, vil det være behov for mer enn 1000 slike bassenger!
- Dette er et polyeder, som er dannet av bunnen av pyramiden og en seksjon parallelt med den. Vi kan si at en avkortet pyramide er en pyramide med en avskåret topp. Denne figuren har mange unike egenskaper:
- Sideflatene til pyramiden er trapeser;
- Sideribbene til en vanlig avkortet pyramide er av samme lengde og skrånende til basen i samme vinkel;
- Basene er lignende polygoner;
- I en vanlig avkortet pyramide er ansiktene identiske likebenede trapeser, hvis areal er likt. De er også tilbøyelige til basen i en vinkel.
Formelen for arealet av sideoverflaten til en avkortet pyramide er summen av områdene på sidene: 
Siden sidene av den avkortede pyramiden er trapeser, må du bruke formelen for å beregne parametrene trapesformet område. For en vanlig avkortet pyramide kan en annen formel for å beregne arealet brukes. Siden alle sidene, flatene og vinklene ved basen er like, er det mulig å bruke omkretsene til basen og apotemet, og også utlede arealet gjennom vinkelen ved basen.
Hvis, i henhold til forholdene i en vanlig avkortet pyramide, apotemet (høyden på siden) og lengdene på sidene av basen er gitt, kan arealet beregnes gjennom halvproduktet av summen av omkretsene til basene og apotemet:
La oss se på et eksempel på beregning av sideoverflatearealet til en avkortet pyramide.
Gitt en vanlig femkantet pyramide. Apotem l\u003d 5 cm, lengden på ansiktet i den store basen er en\u003d 6 cm, og ansiktet er på den mindre basen b\u003d 4 cm. Beregn arealet av den avkortede pyramiden.
La oss først finne omkretsen til basene. Siden vi får en femkantet pyramide, forstår vi at basene er femkanter. Dette betyr at basene er en figur med fem like sider. Finn omkretsen til den større basen:
På samme måte finner vi omkretsen til den mindre basen:
Nå kan vi beregne arealet til en vanlig avkortet pyramide. Vi erstatter dataene i formelen:
Dermed beregnet vi arealet til en vanlig avkortet pyramide gjennom omkretsen og apotem.
En annen måte å beregne sideoverflatearealet til en vanlig pyramide er formelen gjennom hjørnene ved basen og området til disse selve basene.
La oss se på et eksempel på beregning. Husk at denne formelen bare gjelder for en vanlig avkortet pyramide.
La en vanlig firkantet pyramide gis. Forsiden av den nedre basen er a = 6 cm, og overflaten til den øvre b = 4 cm. Den dihedriske vinkelen ved basen er β = 60°. Finn det laterale overflatearealet til en vanlig avkortet pyramide.
Først, la oss beregne arealet av basene. Siden pyramiden er regelmessig, er alle overflatene til basene like med hverandre. Gitt at basen er en firkant, forstår vi at det vil være nødvendig å beregne kvadratisk areal. Det er produktet av bredde og lengde, men i kvadrat er disse verdiene de samme. Finn arealet til den større basen: 
Nå bruker vi de funnet verdiene for å beregne sideoverflatearealet. 
Ved å vite noen få enkle formler, beregnet vi enkelt arealet til den laterale trapesen til en avkortet pyramide gjennom forskjellige verdier.