Hvordan sjekke gauss-metoden. Omvendt Gauss-metode

En av de enkleste måtene å løse et system med lineære ligninger på er en metode basert på å beregne determinantene ( Cramers regel). Fordelen er at den lar deg registrere løsningen umiddelbart, det er spesielt praktisk i tilfeller der systemkoeffisientene ikke er tall, men noen parametere. Ulempen er besværligheten til beregninger i tilfelle av et stort antall ligninger, dessuten er Cramers regel ikke direkte anvendelig for systemer der antall ligninger ikke sammenfaller med antall ukjente. I slike tilfeller brukes det vanligvis Gauss metode.

Systemer av lineære ligninger som har samme sett med løsninger kalles tilsvarende. Åpenbart vil ikke settet med løsninger til et lineært system endres hvis noen ligninger byttes ut, eller hvis en av ligningene multipliseres med et tall som ikke er null, eller hvis en ligning legges til en annen.

Gauss metode (metode for suksessiv eliminering av ukjente) ligger i det faktum at ved hjelp av elementære transformasjoner reduseres systemet til et ekvivalent trinnvis system. Først, ved hjelp av den første ligningen, x 1 av alle påfølgende ligninger i systemet. Så, ved å bruke den andre ligningen, eliminerer vi x 2 av den 3. og alle påfølgende likninger. Denne prosessen, kalt direkte Gauss-metoden, fortsetter til bare én ukjent gjenstår på venstre side av den siste ligningen x n. Etter det er det laget Gaussisk revers– løse den siste ligningen, finner vi x n; etter det, ved å bruke denne verdien, fra den nest siste ligningen vi beregner x n-1 osv. Sist vi finner x 1 fra den første ligningen.

Det er praktisk å utføre gaussiske transformasjoner ved å utføre transformasjoner ikke med selve ligningene, men med matrisene til koeffisientene deres. Tenk på matrisen:

kalt utvidet matrisesystem, fordi i tillegg til hovedmatrisen til systemet, inkluderer det en kolonne med gratis medlemmer. Gauss-metoden er basert på å bringe hovedmatrisen til systemet til en trekantet form (eller trapesform i tilfelle av ikke-kvadratiske systemer) ved å bruke elementære radtransformasjoner (!) av den utvidede matrisen til systemet.

Eksempel 5.1. Løs systemet ved å bruke Gauss-metoden:

Løsning. La oss skrive ut den utvidede matrisen til systemet, og ved å bruke den første raden, etter det setter vi resten av elementene til null:

vi får nuller i 2., 3. og 4. rad i den første kolonnen:

Nå trenger vi at alle elementene i den andre kolonnen under den andre raden er lik null. For å gjøre dette kan du multiplisere den andre linjen med -4/7 og legge til den tredje linjen. Men for ikke å håndtere brøker, vil vi lage en enhet i den andre raden i den andre kolonnen og kun

Nå, for å få en trekantet matrise, må du nullstille elementet i den fjerde raden i den tredje kolonnen, for dette kan du multiplisere den tredje raden med 8/54 og legge den til den fjerde. For ikke å håndtere brøker, vil vi imidlertid bytte 3. og 4. rad og 3. og 4. kolonne, og først etter det vil vi tilbakestille det angitte elementet. Merk at når kolonnene omorganiseres, byttes de tilsvarende variablene, og dette må huskes; andre elementære transformasjoner med kolonner (addisjon og multiplikasjon med et tall) kan ikke utføres!

Den siste forenklede matrisen tilsvarer et ligningssystem som tilsvarer den opprinnelige:

Herfra, ved å bruke det omvendte forløpet til Gauss-metoden, finner vi fra den fjerde ligningen x 3 = -1; fra den tredje x 4 = -2, fra den andre x 2 = 2 og fra den første ligningen x 1 = 1. På matriseform skrives svaret som

Vi har vurdert saken når systemet er bestemt, dvs. når det bare er én løsning. La oss se hva som skjer hvis systemet er inkonsekvent eller ubestemt.

Eksempel 5.2. Utforsk systemet ved å bruke den Gaussiske metoden:

Løsning. Vi skriver ut og transformerer den utvidede matrisen til systemet

Vi skriver et forenklet system av ligninger:

Her, i den siste ligningen, viste det seg at 0=4, dvs. motsigelse. Derfor har systemet ingen løsning, d.v.s. hun er uforenlig. à

Eksempel 5.3. Utforsk og løs systemet ved hjelp av Gauss-metoden:

Løsning. Vi skriver ut og transformerer den utvidede matrisen til systemet:

Som et resultat av transformasjonene ble det kun oppnådd nuller i den siste linjen. Dette betyr at antall ligninger har gått ned med én:

Etter forenklinger gjenstår altså to likninger, og fire ukjente, dvs. to ukjente "ekstra". La "overflødig", eller, som de sier, frie variabler, vil x 3 og x fire. Deretter

Forutsatt x 3 = 2en og x 4 = b, vi får x 2 = 1–en og x 1 = 2b–en; eller i matriseform

En løsning skrevet på denne måten kalles generell, siden, ved å gi parameterne en og b forskjellige verdier, er det mulig å beskrive alle mulige løsninger av systemet. en

I dag tar vi for oss Gauss-metoden for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger. Du kan lese om hva disse systemene er i den forrige artikkelen viet til å løse den samme SLAE ved Cramer-metoden. Gauss-metoden krever ingen spesifikk kunnskap, kun omsorg og konsistens er nødvendig. Til tross for at fra et matematikksynspunkt er skoleforberedelse nok for bruken, fører det ofte til vanskeligheter for elevene å mestre denne metoden. I denne artikkelen vil vi prøve å redusere dem til ingenting!

Gauss metode

M Gauss metode er den mest universelle metoden for å løse SLAE (med unntak av svært store systemer). I motsetning til den som ble diskutert tidligere, passer den ikke bare for systemer som har en unik løsning, men også for systemer som har et uendelig antall løsninger. Det er tre alternativer her.

1. Systemet har en unik løsning (determinanten for hovedmatrisen til systemet er ikke lik null);
2. Systemet har et uendelig antall løsninger;
3. Det finnes ingen løsninger, systemet er inkonsekvent.

Så vi har et system (la det ha én løsning), og vi skal løse det ved å bruke Gauss-metoden. Hvordan det fungerer?

Gaussmetoden består av to stadier - direkte og invers.

Direkte Gauss-metoden

Først skriver vi den utvidede matrisen til systemet. For å gjøre dette legger vi til en kolonne med gratis medlemmer til hovedmatrisen.

Hele essensen av Gauss-metoden er å bringe den gitte matrisen til en trinnvis (eller, som de sier, trekantet) form ved hjelp av elementære transformasjoner. I denne formen skal det bare være nuller under (eller over) hoveddiagonalen til matrisen.

Hva kan bli gjort:

1. Du kan omorganisere radene i matrisen;
2. Hvis det er identiske (eller proporsjonale) rader i matrisen, kan du slette alle unntatt én av dem;
3. Du kan multiplisere eller dele en streng med et hvilket som helst tall (unntatt null);
4. Null linjer fjernes;
5. Du kan legge til en streng multiplisert med et tall som ikke er null, til en streng.

Omvendt Gauss-metode

Etter at vi har transformert systemet på denne måten, en ukjent xn blir kjent, og det er mulig å finne alle de gjenværende ukjente i omvendt rekkefølge, og erstatte de allerede kjente x-ene i systemets likninger, opp til den første.

Når Internett alltid er tilgjengelig, kan du løse ligningssystemet ved hjelp av Gauss-metoden på nett . Alt du trenger å gjøre er å legge inn oddsen i den elektroniske kalkulatoren. Men du må innrømme, det er mye mer behagelig å innse at eksemplet ikke ble løst av et dataprogram, men av din egen hjerne.

Et eksempel på løsning av et ligningssystem ved hjelp av Gauss-metoden

Og nå - et eksempel, slik at alt blir klart og forståelig. La et system med lineære ligninger gis, og det er nødvendig å løse det ved Gauss-metoden:

Først, la oss skrive den utvidede matrisen:

La oss nå ta en titt på transformasjonene. Husk at vi må oppnå en trekantet form av matrisen. Multipliser den første raden med (3). Multipliser den andre raden med (-1). La oss legge til den andre raden til den første og få:

Multipliser så den tredje raden med (-1). La oss legge til den tredje linjen til den andre:

Multipliser den første raden med (6). Multipliser den andre raden med (13). La oss legge til den andre linjen til den første:

Voila - systemet bringes til riktig form. Det gjenstår å finne de ukjente:

Systemet i dette eksemplet har en unik løsning. Vi vil vurdere løsningen av systemer med et uendelig sett med løsninger i en egen artikkel. Kanskje du til å begynne med ikke vet hvor du skal begynne med matrisetransformasjoner, men etter passende øvelse vil du få tak i det og klikke Gaussian SLAE som nøtter. Og hvis du plutselig kommer over en SLAU, som viser seg å være en for tøff nøtt å knekke, ta kontakt med våre forfattere! du kan ved å legge igjen en søknad i korrespondansen. Sammen løser vi ethvert problem!

Denne online kalkulatoren finner en løsning på et system av lineære ligninger (SLE) ved hjelp av Gauss-metoden. En detaljert løsning er gitt. For å beregne, velg antall variabler og antall ligninger. Skriv deretter inn dataene i cellene og klikk på "Beregn".

Tallrepresentasjon:

Antall sifre etter desimalskilletegn

×

Advarsel

Vil du fjerne alle celler?

Lukk Slett

Dataregistreringsinstruksjon. Tall legges inn som hele tall (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), desimaltall (f.eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken må skrives på formen a/b, der a og b (b>0) er heltall eller desimaltall. Eksempler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 osv.

Gauss metode

Gauss-metoden er en metode for overgang fra det opprinnelige systemet med lineære ligninger (ved bruk av ekvivalente transformasjoner) til et system som er lettere å løse enn det opprinnelige systemet.

De ekvivalente transformasjonene av systemet med lineære ligninger er:

• bytte to likninger i systemet,
• multiplikasjon av enhver ligning i systemet med et reelt tall som ikke er null,
• legge til en ligning en annen ligning multiplisert med et vilkårlig tall.

Tenk på et system med lineære ligninger:

Vi skriver system (1) i matriseform:

(3)

EN kalles koeffisientmatrisen til systemet, b- høyre side av begrensninger, x− vektor av variabler som skal finnes. La rangere ( EN)=s.

Ekvivalente transformasjoner endrer ikke rangeringen av koeffisientmatrisen og rangeringen av den utvidede matrisen til systemet. Settet med løsninger til systemet endres heller ikke under ekvivalente transformasjoner. Essensen av Gauss-metoden er å bringe matrisen av koeffisienter EN til diagonal eller trinn.

La oss bygge den utvidede matrisen til systemet:

På neste trinn tilbakestiller vi alle elementene i kolonne 2, under elementet. Hvis det gitte elementet er null, byttes denne raden med raden som ligger under den gitte raden og har et element som ikke er null i den andre kolonnen. Deretter nullstiller vi alle elementene i kolonne 2 under det ledende elementet en 22. For å gjøre dette, legg til rad 3, ... m med rad 2 multiplisert med − en 32 /en 22 , ..., −en m2 / en 22, henholdsvis. Ved å fortsette prosedyren får vi en matrise av en diagonal eller trinnformet form. La den resulterende utvidede matrisen se slik ut:

Fordi rankA=rang(A|b), så er settet med løsninger (7) ( n−s) er en variant. Følgelig n−s ukjente kan velges vilkårlig. De resterende ukjente fra system (7) beregnes som følger. Fra den siste ligningen uttrykker vi x p gjennom resten av variablene og sett inn i de forrige uttrykkene. Deretter, fra den nest siste ligningen, uttrykker vi x p−1 gjennom resten av variablene og sett inn i de forrige uttrykkene osv. Vurder Gauss-metoden på spesifikke eksempler.

Eksempler på løsning av et system med lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden

Eksempel 1. Finn den generelle løsningen av et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden:

Angi med en ij elementer Jeg-te linje og j-te kolonne.

en elleve. For å gjøre dette, legg til rader 2,3 med rad 1, multiplisert med henholdsvis -2/3, -1/2:

Matriseposttype: øks=b, hvor

Angi med en ij elementer Jeg-te linje og j-te kolonne.

Ekskluder elementene i den første kolonnen i matrisen under elementet en elleve. For å gjøre dette, legg til rader 2,3 med rad 1, multiplisert med henholdsvis -1/5, -6/5:

Vi deler hver rad i matrisen med det tilsvarende ledende elementet (hvis det ledende elementet finnes):

hvor x 3 , x

Ved å erstatte de øvre uttrykkene med de nedre får vi løsningen.

Deretter kan vektorløsningen representeres som følger:

hvor x 3 , x 4 er vilkårlige reelle tall.

1. System av lineære algebraiske ligninger

1.1 Konseptet med et system av lineære algebraiske ligninger

Et likningssystem er en tilstand som består i samtidig utførelse av flere likninger med hensyn til flere variabler. Et system med lineære algebraiske ligninger (heretter referert til som SLAE) som inneholder m-ligninger og n ukjente er et system av formen:

der tallene a ij kalles koeffisientene til systemet, tallene b i er frie medlemmer, aij og b i(i=1,…, m; b=1,…, n) er noen kjente tall, og x 1,..., x n- ukjent. I notasjonen av koeffisientene aij den første indeksen i betegner tallet på ligningen, og den andre indeksen j er tallet på den ukjente som denne koeffisienten står på. Med forbehold om å finne tallet x n . Det er praktisk å skrive et slikt system i en kompakt matriseform: AX=B. Her er A matrisen av koeffisientene til systemet, kalt hovedmatrisen;

Produktet av matrisene A * X er definert, siden det er like mange kolonner i matrise A som det er rader i matrise X (n stykker).

Den utvidede matrisen til systemet er matrisen A til systemet, supplert med en kolonne med ledige medlemmer

1.2 Løsning av et system med lineære algebraiske ligninger

Løsningen av et ligningssystem er et ordnet sett med tall (verdier av variabler), når du erstatter dem i stedet for variabler, blir hver av systemets ligninger til en ekte likhet.

Løsningen til systemet er n verdier av de ukjente x1=c1, x2=c2,..., xn=cn, som erstatter alle likningene i systemet til sanne likheter. Enhver løsning av systemet kan skrives som en matrisekolonne

Et ligningssystem kalles konsistent hvis det har minst én løsning, og inkonsistent hvis det ikke har noen løsninger.

Et fellessystem kalles bestemt hvis det har en unik løsning, og ubestemt hvis det har mer enn én løsning. I sistnevnte tilfelle kalles hver av løsningene en bestemt løsning av systemet. Settet med alle spesielle løsninger kalles den generelle løsningen.

Å løse et system betyr å finne ut om det er konsistent eller inkonsekvent. Hvis systemet er kompatibelt, finn den generelle løsningen.

To systemer kalles ekvivalente (ekvivalente) hvis de har samme generelle løsning. Med andre ord, systemer er likeverdige hvis hver løsning på en av dem er en løsning for den andre, og omvendt.

En transformasjon, hvis anvendelse gjør et system til et nytt system tilsvarende det opprinnelige, kalles en ekvivalent eller ekvivalent transformasjon. Følgende transformasjoner kan tjene som eksempler på ekvivalente transformasjoner: bytte av to likninger av systemet, bytte to ukjente sammen med koeffisientene til alle likninger, multiplisere begge deler av en hvilken som helst likning av systemet med et tall som ikke er null.

Et system med lineære ligninger kalles homogent hvis alle frie ledd er lik null:

Et homogent system er alltid konsistent, siden x1=x2=x3=…=xn=0 er en løsning på systemet. Denne løsningen kalles null eller triviell.

2. Gaussisk eliminasjonsmetode

2.1 Essensen av den Gaussiske eliminasjonsmetoden

Den klassiske metoden for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger er metoden for suksessiv eliminering av ukjente - Gauss metode(Det kalles også den Gaussiske eliminasjonsmetoden). Dette er en metode for suksessiv eliminering av variabler, når, ved hjelp av elementære transformasjoner, et likningssystem reduseres til et ekvivalent system av trinnvis (eller trekantet) form, hvorfra alle andre variabler finnes sekvensielt, med start fra siste (etter antall) variabler.

Den Gaussiske løsningsprosessen består av to stadier: forover og bakover.

1. Direkte trekk.

På det første trinnet utføres den såkalte direkte bevegelsen, når systemet ved hjelp av elementære transformasjoner over rader bringes til en trinnvis eller trekantet form, eller det fastslås at systemet er inkonsekvent. Nemlig, blant elementene i den første kolonnen i matrisen, velges en ikke-null, den flyttes til den øverste posisjonen ved å permutere radene, og den første raden oppnådd etter permutasjonen trekkes fra de gjenværende radene, multiplisere den med en verdi lik forholdet mellom det første elementet i hver av disse radene og det første elementet i den første raden, og nullstille dermed kolonnen under den.

Etter at de angitte transformasjonene er gjort, krysses den første raden og den første kolonnen mentalt over og fortsetter til en matrise i null størrelse gjenstår. Hvis det ved noen av iterasjonene blant elementene i den første kolonnen ikke ble funnet en ikke-null, gå til neste kolonne og utfør en lignende operasjon.

I det første trinnet (foroverkjøring) reduseres systemet til en trinnvis (spesielt trekantet) form.

Systemet nedenfor er trinnvis:

Koeffisientene aii kalles de viktigste (ledende) elementene i systemet.

Vi transformerer systemet ved å eliminere den ukjente x1 i alle ligninger unntatt den første (ved å bruke elementære transformasjoner av systemet). For å gjøre dette, multipliser begge sider av den første ligningen med

Ved å fortsette denne prosessen får vi det tilsvarende systemet:

Således, ved det første trinnet, blir alle koeffisienter under det første ledende elementet a 11 ødelagt

Hvis det i prosessen med å redusere systemet til en trinnvis form, vises nullligninger, dvs. likheter av formen 0=0, blir de forkastet. Hvis det er en ligning av formen

Dette fullfører det direkte forløpet til Gauss-metoden.

2. Beveg bakover.

På det andre trinnet utføres det såkalte omvendte trekket, hvis essens er å uttrykke alle de resulterende grunnleggende variablene i form av ikke-grunnleggende og konstruere et grunnleggende system av løsninger, eller, hvis alle variabler er grunnleggende, uttrykk deretter numerisk den eneste løsningen til systemet med lineære ligninger.

Denne prosedyren begynner med den siste ligningen, hvorfra den tilsvarende grunnleggende variabelen uttrykkes (det er bare en i den) og erstattes med de forrige ligningene, og så videre, og går opp "trinnene".

Hver linje tilsvarer nøyaktig én grunnleggende variabel, så på hvert trinn, bortsett fra den siste (øverst), gjentar situasjonen nøyaktig tilfellet til den siste linjen.

Merk: i praksis er det mer praktisk å ikke jobbe med systemet, men med dens utvidede matrise, og utføre alle elementære transformasjoner på radene. Det er praktisk at koeffisienten a11 er lik 1 (omorganiser ligningene, eller del begge sider av ligningen med a11).

2.2 Eksempler på løsning av SLAE ved Gauss-metoden

I denne delen skal vi ved hjelp av tre forskjellige eksempler vise hvordan Gauss-metoden kan brukes for å løse SLAE.

Eksempel 1. Løs SLAE av 3. orden.

Sett koeffisientene til null ved

Vi fortsetter å vurdere systemer med lineære ligninger. Denne leksjonen er den tredje om emnet. Hvis du har en vag idé om hva et system med lineære ligninger er generelt, føler du deg som en tekanne, så anbefaler jeg å starte med det grunnleggende på neste side, det er nyttig å studere leksjonen.

Gauss-metoden er enkel! Hvorfor? Den berømte tyske matematikeren Johann Carl Friedrich Gauss fikk i løpet av sin levetid anerkjennelse som tidenes største matematiker, et geni og til og med kallenavnet "Kongen av matematikk". Og alt genialt, som du vet, er enkelt! Forresten, ikke bare suckers, men også genier kommer inn i pengene - portrettet av Gauss flauntet på en seddel på 10 tyske mark (før innføringen av euroen), og Gauss smiler fortsatt mystisk til tyskerne fra vanlige frimerker.

Gauss-metoden er enkel ved at det ER NOK KUNNSKAP TIL EN FEMTE-KLASSE-ELEV til å mestre den. Må kunne addere og multiplisere! Det er ingen tilfeldighet at metoden for suksessiv eliminering av ukjente ofte vurderes av lærere ved skolens matematiske valgfag. Det er et paradoks, men Gauss-metoden forårsaker de største vanskelighetene for elevene. Ikke noe overraskende – alt handler om metodikken, og jeg skal prøve å fortelle i en tilgjengelig form om algoritmen til metoden.

Først systematiserer vi kunnskapen om systemer av lineære ligninger litt. Et system med lineære ligninger kan:

1) Ha en unik løsning. 2) Har uendelig mange løsninger. 3) Har ingen løsninger (vær uforenlig).

Gauss-metoden er det kraftigste og mest allsidige verktøyet for å finne en løsning noen systemer av lineære ligninger. Som vi husker Cramers regel og matrisemetode er uegnet i tilfeller hvor systemet har uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent. En metode for suksessiv eliminering av ukjente uansett lede oss til svaret! I denne leksjonen vil vi igjen vurdere Gauss-metoden for sak nr. 1 (den eneste løsningen på systemet), en artikkel er reservert for situasjonene i punkt nr. 2-3. Jeg legger merke til at selve metodealgoritmen fungerer på samme måte i alle tre tilfellene.

La oss gå tilbake til det enkleste systemet fra leksjonen Hvordan løse et system med lineære ligninger? og løse det ved hjelp av Gauss-metoden.

Det første trinnet er å skrive utvidet matrisesystem: . Etter hvilket prinsipp koeffisientene registreres, tror jeg alle kan se. Den vertikale linjen inne i matrisen har ingen matematisk betydning - det er bare en gjennomstreking for enkel design.

Referanse : Jeg anbefaler å huske vilkår lineær algebra. Systemmatrise er en matrise som kun består av koeffisienter for ukjente, i dette eksemplet, matrisen til systemet: . Utvidet systemmatrise er den samme matrisen til systemet pluss en kolonne med gratis medlemmer, i dette tilfellet: . Enhver av matrisene kan ganske enkelt kalles en matrise for korthets skyld.

Etter at den utvidede matrisen til systemet er skrevet, er det nødvendig å utføre noen handlinger med den, som også kalles elementære transformasjoner.

Det er følgende elementære transformasjoner:

1) Strenger matriser kan omorganisere steder. For eksempel, i matrisen under vurdering, kan du trygt omorganisere den første og andre raden:

2) Hvis det er (eller dukket opp) proporsjonale (som et spesialtilfelle - identiske) rader i matrisen, følger det slette fra matrisen, alle disse radene unntatt én. Tenk for eksempel på matrisen . I denne matrisen er de tre siste radene proporsjonale, så det er nok å forlate bare en av dem: .

3) Hvis en null-rad dukket opp i matrisen under transformasjonene, følger den også slette. Jeg vil ikke tegne, selvfølgelig, nulllinjen er linjen der bare nuller.

4) Rekken av matrisen kan være multiplisere (dividere) for et hvilket som helst nummer ikke-null. Tenk for eksempel på matrisen . Her er det tilrådelig å dele den første linjen med -3, og multiplisere den andre linjen med 2: . Denne handlingen er veldig nyttig, siden den forenkler ytterligere transformasjoner av matrisen.

5) Denne transformasjonen forårsaker de fleste vanskelighetene, men faktisk er det heller ikke noe komplisert. Til raden i matrisen kan du legg til en annen streng multiplisert med et tall, forskjellig fra null. Tenk på matrisen vår fra et praktisk eksempel: . Først vil jeg beskrive transformasjonen i detalj. Multipliser den første raden med -2: , og til den andre linjen legger vi den første linjen multiplisert med -2: . Nå kan den første linjen deles "tilbake" med -2: . Som du kan se, er linjen som legges til LI – har ikke endret seg. Er alltid linjen endres, SOM LEGGES TIL UT.

I praksis maler de selvfølgelig ikke så detaljert, men skriver kortere: Nok en gang: til andre linje lagt til den første raden multiplisert med -2. Linjen multipliseres vanligvis muntlig eller på et utkast, mens det mentale forløpet av beregninger er noe sånt som dette:

"Jeg skriver om matrisen og skriver om den første raden: »

Første kolonne først. Nedenfor må jeg få null. Derfor multipliserer jeg enheten ovenfor med -2:, og legger den første til den andre linjen: 2 + (-2) = 0. Jeg skriver resultatet i den andre linjen: »

«Nå den andre kolonnen. Over -1 ganger -2: . Jeg legger den første til den andre linjen: 1 + 2 = 3. Jeg skriver resultatet til den andre linjen: »

«Og den tredje kolonnen. Over -5 ganger -2: . Jeg legger den første linjen til den andre linjen: -7 + 10 = 3. Jeg skriver resultatet i den andre linjen: »

Vennligst tenk nøye over dette eksemplet og forstå sekvensiell beregningsalgoritme, hvis du forstår dette, så er Gauss-metoden praktisk talt "i lommen". Men vi jobber selvfølgelig fortsatt med denne transformasjonen.

Elementære transformasjoner endrer ikke løsningen av ligningssystemet

! MERK FØLGENDE: betraktet som manipulasjoner kan ikke bruke, hvis du får tilbud om en oppgave hvor matrisene er gitt «av seg selv». For eksempel med "klassisk" matriser ikke i noe tilfelle bør du omorganisere noe inne i matrisene! La oss gå tilbake til systemet vårt. Hun er praktisk talt brutt i stykker.

La oss skrive den utvidede matrisen til systemet og ved å bruke elementære transformasjoner redusere den til trinnvis utsikt:

(1) Den første raden ble lagt til den andre raden, multiplisert med -2. Og igjen: hvorfor multipliserer vi den første raden med -2? For å få null nederst, som betyr å bli kvitt en variabel i den andre linjen.

(2) Del den andre raden med 3.

Formålet med elementære transformasjoner – konverter matrisen til trinnform: . I utformingen av oppgaven trekker de direkte ut "stigen" med en enkel blyant, og sirkler også tallene som er plassert på "trinnene". Selve begrepet "trinnsyn" er ikke helt teoretisk; i vitenskapelig og pedagogisk litteratur kalles det ofte trapesformet utsikt eller trekantet utsikt.

Som et resultat av elementære transformasjoner har vi oppnådd tilsvarende opprinnelige ligningssystem:

Nå må systemet "utvinnes" i motsatt retning - fra bunnen og opp kalles denne prosessen omvendt Gauss-metode.

I den nedre ligningen har vi allerede det ferdige resultatet: .

Vurder den første ligningen til systemet og bytt inn den allerede kjente verdien av "y" i den:

La oss vurdere den vanligste situasjonen, når Gauss-metoden er nødvendig for å løse et system med tre lineære ligninger med tre ukjente.

Eksempel 1

Løs ligningssystemet ved å bruke Gauss-metoden:

La oss skrive den utvidede matrisen til systemet:

Nå vil jeg umiddelbart tegne resultatet som vi kommer til i løpet av løsningen: Og jeg gjentar, målet vårt er å bringe matrisen til en trinnvis form ved hjelp av elementære transformasjoner. Hvor skal man begynne å ta grep?

Se først på nummeret øverst til venstre: Burde nesten alltid være her enhet. Generelt sett vil -1 (og noen ganger andre tall) også passe, men på en eller annen måte har det tradisjonelt skjedd at en enhet vanligvis plasseres der. Hvordan organisere en enhet? Vi ser på den første kolonnen - vi har en ferdig enhet! Transformasjon én: bytt første og tredje linje:

Nå vil den første linjen forbli uendret til slutten av løsningen. Nå fint.

Enheten øverst til venstre er organisert. Nå må du få nuller på disse stedene:

Nuller oppnås bare ved hjelp av en "vanskelig" transformasjon. Først tar vi for oss den andre linjen (2, -1, 3, 13). Hva må gjøres for å få null i første posisjon? Trenge til den andre linjen legg til den første linjen multiplisert med -2. Mentalt eller på et utkast multipliserer vi den første linjen med -2: (-2, -4, 2, -18). Og vi utfører konsekvent (igjen mentalt eller på et utkast) tillegg, til den andre linjen legger vi til den første linjen, allerede multiplisert med -2:

Resultatet er skrevet i andre linje:

På samme måte tar vi for oss den tredje linjen (3, 2, -5, -1). For å få null i første posisjon, trenger du til den tredje linjen legg til den første linjen multiplisert med -3. Mentalt eller på et utkast multipliserer vi den første linjen med -3: (-3, -6, 3, -27). Og til den tredje linjen legger vi den første linjen multiplisert med -3:

Resultatet er skrevet i tredje linje:

I praksis blir disse handlingene vanligvis utført muntlig og skrevet ned i ett trinn:

Du trenger ikke å telle alt på en gang og samtidig. Rekkefølgen på beregninger og "innsetting" av resultater konsistent og vanligvis slik: først omskriver vi den første linjen, og puster oss stille - KONSEKVENT og NØYE:
Og jeg har allerede vurdert det mentale forløpet til selve beregningene ovenfor.

I dette eksemplet er dette enkelt å gjøre, vi deler den andre linjen med -5 (siden alle tallene der er delbare med 5 uten en rest). Samtidig deler vi den tredje linjen med -2, fordi jo mindre tall, jo enklere er løsningen:

På sluttstadiet av elementære transformasjoner må en mer null oppnås her:

For dette til den tredje linjen legger vi den andre linjen, multiplisert med -2:
Prøv å analysere denne handlingen selv - multipliser den andre linjen mentalt med -2 ​​og utfør addisjonen.

Den siste handlingen som utføres er frisyren til resultatet, del den tredje linjen med 3.

Som et resultat av elementære transformasjoner ble et ekvivalent innledende system av lineære ligninger oppnådd: Kul.

Nå kommer den omvendte kursen til Gauss-metoden inn. Ligningene "slapper av" fra bunnen og opp.

I den tredje ligningen har vi allerede det ferdige resultatet:

La oss se på den andre ligningen: . Betydningen av "z" er allerede kjent, således:

Og til slutt, den første ligningen: . "Y" og "Z" er kjent, saken er liten:

Svar:

Som det har blitt bemerket gjentatte ganger, for ethvert ligningssystem er det mulig og nødvendig å sjekke den funnet løsningen, heldigvis er dette ikke vanskelig og raskt.

Eksempel 2

Dette er et eksempel for selvløsning, et eksempel på etterbehandling og et svar på slutten av leksjonen.

Det skal bemerkes at din handlingsforløp faller kanskje ikke sammen med min handling, og dette er et trekk ved Gauss-metoden. Men svarene må være de samme!

Eksempel 3

Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden

Vi ser på øvre venstre "trinn". Der burde vi ha en enhet. Problemet er at det ikke er noen i den første kolonnen i det hele tatt, så ingenting kan løses ved å omorganisere radene. I slike tilfeller må enheten organiseres ved hjelp av en elementær transformasjon. Dette kan vanligvis gjøres på flere måter. Jeg gjorde dette: (1) Til den første linjen legger vi den andre linjen, multiplisert med -1. Det vil si at vi mentalt multipliserte den andre linjen med -1 og utførte addisjonen av den første og andre linjen, mens den andre linjen ikke endret seg.

Nå øverst til venstre "minus en", som passer oss perfekt. Hvem som ønsker å få +1 kan utføre en ekstra gest: multipliser den første linjen med -1 (endre fortegn).

(2) Den første raden multiplisert med 5 ble lagt til den andre raden. Den første raden multiplisert med 3 ble lagt til den tredje raden.

(3) Den første linjen ble multiplisert med -1, i prinsippet er dette for skjønnhet. Tegnet på den tredje linjen ble også endret og flyttet til andreplassen, og på det andre trinnet hadde vi den ønskede enheten.

(4) Den andre linjen multiplisert med 2 ble lagt til den tredje linjen.

(5) Den tredje raden ble delt med 3.

Et dårlig tegn som indikerer en regnefeil (sjeldnere en skrivefeil) er en "dårlig" bunnlinje. Det vil si, hvis vi fikk noe som nedenfor, og følgelig, , så kan det med høy grad av sannsynlighet hevdes at det ble gjort en feil i løpet av elementære transformasjoner.

Vi belaster det motsatte trekket, i utformingen av eksempler blir selve systemet ofte ikke skrevet om, og ligningene er "tatt direkte fra den gitte matrisen". Det omvendte trekket, minner jeg deg på, fungerer fra bunnen og opp. Ja, her er en gave:

Svar: .

Eksempel 4

Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning, det er noe mer komplisert. Det er greit hvis noen blir forvirret. Full løsning og designeksempel på slutten av leksjonen. Din løsning kan avvike fra min.

I den siste delen tar vi for oss noen funksjoner i Gauss-algoritmen. Den første funksjonen er at noen ganger mangler noen variabler i systemets likninger, for eksempel: Hvordan skrive den utvidede matrisen til systemet riktig? Jeg snakket allerede om dette øyeblikket i leksjonen. Cramers regel. Matrisemetode. I den utvidede matrisen til systemet setter vi nuller i stedet for de manglende variablene: Forresten, dette er et ganske enkelt eksempel, siden det allerede er en null i den første kolonnen, og det er færre elementære transformasjoner å utføre.

Den andre funksjonen er denne. I alle eksemplene som ble vurdert, plasserte vi enten -1 eller +1 på "trinnene". Kan det være andre tall? I noen tilfeller kan de. Tenk på systemet: .

Her på øvre venstre "trinn" har vi en toer. Men vi legger merke til det faktum at alle tallene i den første kolonnen er delbare med 2 uten en rest - og ytterligere to og seks. Og toeren øverst til venstre vil passe oss! På det første trinnet må du utføre følgende transformasjoner: legg til den første linjen multiplisert med -1 til den andre linjen; til den tredje linjen legg til den første linjen multiplisert med -3. Dermed vil vi få de ønskede nullene i den første kolonnen.

Eller et annet hypotetisk eksempel: . Her passer også trippelen på det andre "trinnet", siden 12 (stedet der vi må få null) er delelig med 3 uten en rest. Det er nødvendig å utføre følgende transformasjon: til den tredje linjen, legg til den andre linjen, multiplisert med -4, som et resultat av at null vi trenger vil bli oppnådd.

Gauss-metoden er universell, men det er en særegenhet. Du kan trygt lære hvordan du løser systemer med andre metoder (Cramers metode, matrisemetode) bokstavelig talt fra første gang - det er en veldig rigid algoritme. Men for å føle deg trygg på Gauss-metoden, bør du "fylle hånden" og løse minst 5-10 ti systemer. Derfor kan det til å begynne med være forvirring, feil i beregninger, og det er ikke noe uvanlig eller tragisk i dette.

Regnfullt høstvær utenfor vinduet .... Derfor, for alle, et mer komplekst eksempel for en uavhengig løsning:

Eksempel 5

Løs et system med 4 lineære ligninger med fire ukjente ved hjelp av Gauss-metoden.

En slik oppgave i praksis er ikke så sjelden. Jeg tror at selv en tekanne som har studert denne siden i detalj forstår algoritmen for å løse et slikt system intuitivt. I utgangspunktet det samme - bare mer action.

De tilfellene hvor systemet ikke har noen løsninger (inkonsekvente) eller har uendelig mange løsninger vurderes i timen. Inkompatible systemer og systemer med felles løsning. Der kan du fikse den betraktede algoritmen til Gauss-metoden.

Ønsker deg suksess!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning : La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form.
Utførte elementære transformasjoner: (1) Den første raden ble lagt til den andre raden, multiplisert med -2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med -1. Merk følgende! Her kan det være fristende å trekke den første fra den tredje linjen, jeg anbefaler på det sterkeste ikke å trekke fra - risikoen for feil øker betraktelig. Vi bare bretter! (2) Tegnet til den andre linjen ble endret (multiplisert med -1). Den andre og tredje linjen er byttet. Merk at vi på "trinnene" ikke bare er fornøyd med en, men også med -1, noe som er enda mer praktisk. (3) Til den tredje linjen legger du til den andre linjen, multiplisert med 5. (4) Tegnet til den andre linjen ble endret (multiplisert med -1). Den tredje linjen ble delt med 14.

Omvendt trekk:

Svar : .

Eksempel 4: Løsning : Vi skriver den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringer det til en trinnform:

Utførte konverteringer: (1) Den andre linjen ble lagt til den første linjen. Dermed er den ønskede enheten organisert på øvre venstre "trinn". (2) Den første raden multiplisert med 7 ble lagt til den andre raden. Den første raden multiplisert med 6 ble lagt til den tredje raden.

Med det andre "steget" er alt verre , "kandidatene" for det er tallene 17 og 23, og vi trenger enten en eller -1. Transformasjoner (3) og (4) vil være rettet mot å oppnå ønsket enhet (3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med -1. (4) Den tredje linjen, multiplisert med -3, ble lagt til den andre linjen. Det nødvendige på det andre trinnet er mottatt . (5) Til den tredje linjen legges den andre, multiplisert med 6. (6) Den andre raden ble multiplisert med -1, den tredje raden ble delt med -83.

Omvendt trekk:

Svar :

Eksempel 5: Løsning : La oss skrive ned matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

Utførte konverteringer: (1) Første og andre linje er byttet. (2) Den første raden ble lagt til den andre raden, multiplisert med -2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med -2. Den første linjen ble lagt til den fjerde linjen, multiplisert med -3. (3) Den andre linjen multiplisert med 4 ble lagt til den tredje linjen. Den andre linjen multiplisert med -1 ble lagt til den fjerde linjen. (4) Tegnet til den andre linjen er endret. Den fjerde linjen ble delt med 3 og plassert i stedet for den tredje linjen. (5) Den tredje linjen ble lagt til den fjerde linjen, multiplisert med -5.

Omvendt trekk:

Svar :