Hvordan telle grensene for sekvenser med røtter. Online kalkulator. Løse grenser

Fra artikkelen ovenfor kan du finne ut hva grensen er og hva den spises med – dette er VELDIG viktig. Hvorfor? Du forstår kanskje ikke hva determinanter er og løser dem vellykket, du forstår kanskje ikke i det hele tatt hva en derivat er og finner dem på "fem". Men hvis du ikke forstår hva en grense er, så vil det være vanskelig å løse praktiske oppgaver. Det vil heller ikke være overflødig å gjøre deg kjent med prøvene av utformingen av beslutninger og mine anbefalinger for design. All informasjon presenteres på en enkel og tilgjengelig måte.

Og for formålet med denne leksjonen trenger vi følgende metodologiske materialer: Bemerkelsesverdige grenser og Trigonometriske formler. De finner du på siden. Det er best å skrive ut manualene - det er mye mer praktisk, dessuten må de ofte åpnes offline.

Hva er bemerkelsesverdig med fantastiske grenser? Det bemerkelsesverdige med disse grensene ligger i det faktum at de ble bevist av de største sinnene til kjente matematikere, og takknemlige etterkommere trenger ikke å lide av forferdelige grenser med en haug med trigonometriske funksjoner, logaritmer og grader. Det vil si at når vi skal finne grensene vil vi bruke ferdige resultater som er bevist teoretisk.

Det er flere bemerkelsesverdige grenser, men i praksis har deltidsstudenter i 95 % av tilfellene to bemerkelsesverdige grenser: Første fantastiske grense, Den andre fantastiske grensen. Det skal bemerkes at dette er historisk etablerte navn, og når de for eksempel snakker om "den første fantastiske grensen", mener de med dette en veldig spesifikk ting, og ikke en tilfeldig grense tatt fra taket.

Første fantastiske grense

Tenk på følgende grense: (i stedet for den opprinnelige bokstaven "han" vil jeg bruke den greske bokstaven "alfa", dette er mer praktisk når det gjelder presentasjon av materialet).

I henhold til vår regel for å finne grenser (se artikkel Grenser. Løsningseksempler) prøver vi å erstatte null i funksjonen: i telleren får vi null (sinus til null er null), i nevneren, selvsagt, også null. Dermed står vi overfor en ubestemthet i formen, som heldigvis ikke trenger å avsløres. I løpet av matematisk analyse er det bevist at:

Dette matematiske faktum kalles Første fantastiske grense. Jeg vil ikke gi et analytisk bevis på grensen, men vi vil vurdere dens geometriske betydning i leksjonen om infinitesimale funksjoner.

Ofte i praktiske oppgaver kan funksjoner ordnes annerledes, dette endrer ingenting:

– den samme første fantastiske grensen.

Men du kan ikke omorganisere telleren og nevneren selv! Hvis det er gitt en grense i skjemaet, må det løses i samme skjema, uten å omorganisere noe.

I praksis kan ikke bare en variabel fungere som en parameter, men også en elementær funksjon, en kompleks funksjon. Det er bare viktig at den har en tendens til null.

Eksempler:
, , ,

Her , , , , og alt surrer - den første fantastiske grensen gjelder.

Og her er neste oppføring - kjetteri:

Hvorfor? Fordi polynomet ikke har en tendens til null, har det en tendens til fem.

Spørsmålet er forresten til utfylling, men hva går grensen ? Svaret finner du på slutten av leksjonen.

I praksis er ikke alt så glatt, nesten aldri vil en student få tilbud om å løse en gratisgrense og få en enkel kreditt. Hmmm... jeg skriver disse linjene, og en veldig viktig tanke dukket opp - tross alt ser det ut til å være bedre å huske "gratis" matematiske definisjoner og formler utenat, dette kan være til uvurderlig hjelp i testen, når spørsmålet avgjøres mellom "to" og "tre", og læreren bestemmer seg for å stille eleven et enkelt spørsmål eller tilbud om å løse det enkleste eksempelet ("kanskje han (a) fortsatt vet hva?!").

La oss gå videre til praktiske eksempler:

Eksempel 1

Finn grensen

Hvis vi merker en sinus i grensen, bør dette umiddelbart få oss til å tenke på muligheten for å bruke den første bemerkelsesverdige grensen.

Først prøver vi å erstatte 0 i uttrykket under grensetegnet (vi gjør dette mentalt eller på et utkast):

Så, vi har en ubestemthet av formen, dens sørg for å indikere i å ta en beslutning. Uttrykket under grensetegnet ser ut som den første fantastiske grensen, men dette er ikke helt, det er under sinus, men i nevneren.

I slike tilfeller må vi organisere den første fantastiske grensen på egen hånd, ved hjelp av en kunstig enhet. Resonnementet kan være som følger: "under sinusen vi har, som betyr at vi også må inn i nevneren".
Og dette gjøres veldig enkelt:

Det vil si at nevneren blir kunstig multiplisert i dette tilfellet med 7 og delt på de samme syv. Nå har plata fått en kjent form.
Når oppgaven er tegnet opp for hånd, er det tilrådelig å markere den første fantastiske grensen med en enkel blyant:

Hva skjedde? Faktisk har det sirklede uttrykket blitt til en enhet og forsvunnet i produktet:

Nå gjenstår det bare å bli kvitt den tre-etasjers brøkdelen:

Hvem har glemt forenklingen av brøker i flere etasjer, vennligst oppdater materialet i oppslagsboken Hot School Mathematics Formler .

Klar. Endelig svar:

Hvis du ikke ønsker å bruke blyanttegn, kan løsningen formateres slik:

“

Vi bruker den første bemerkelsesverdige grensen

“

Eksempel 2

Finn grensen

Igjen ser vi en brøk og en sinus i grensen. Vi prøver å erstatte null i telleren og nevneren:

Vi har faktisk usikkerhet, og derfor må vi prøve å organisere den første bemerkelsesverdige grensen. På leksjonen Grenser. Løsningseksempler vi vurderte regelen om at når vi har usikkerhet, må vi faktorisere telleren og nevneren til faktorer. Her - det samme, vi vil presentere gradene som et produkt (multiplikatorer):

I likhet med forrige eksempel skisserer vi med en blyant de fantastiske grensene (her er det to av dem), og indikerer at de har en tendens til én:

Faktisk er svaret klart:

I de følgende eksemplene vil jeg ikke gjøre kunst i Paint, jeg tenker på hvordan du skal tegne en løsning i en notatbok - du forstår allerede.

Eksempel 3

Finn grensen

Vi erstatter null i uttrykket under grensetegnet:

Det er innhentet en usikkerhet som må avsløres. Hvis det er en tangent i grensen, blir den nesten alltid konvertert til sinus og cosinus i henhold til den velkjente trigonometriske formelen (de gjør forresten omtrent det samme med cotangensen, se metodologisk materiale Hot trigonometriske formler På siden Matematiske formler, tabeller og referansemateriell).

I dette tilfellet:

Cosinus av null er lik en, og det er lett å bli kvitt den (ikke glem å markere at den har en tendens til en):

Således, hvis cosinus i grensen er en MULTIPLIER, så må den grovt sett gjøres om til en enhet som forsvinner i produktet.

Her ble alt enklere, uten noen multiplikasjoner og divisjoner. Den første bemerkelsesverdige grensen blir også til enhet og forsvinner i produktet:

Som et resultat oppnås uendelighet, det skjer.

Eksempel 4

Finn grensen

Vi prøver å erstatte null i telleren og nevneren:

Usikkerhet oppnådd (cosinus av null, som vi husker, er lik en)

Vi bruker den trigonometriske formelen. Ta notat! Av en eller annen grunn er grenser ved bruk av denne formelen svært vanlige.

Vi tar ut de konstante multiplikatorene utover grenseikonet:

La oss organisere den første bemerkelsesverdige grensen:

Her har vi bare én fantastisk grense, som blir til én og forsvinner i produktet:

La oss bli kvitt de tre-etasjer:

Grensen er faktisk løst, vi indikerer at den gjenværende sinusen har en tendens til null:

Eksempel 5

Finn grensen

Dette eksemplet er mer komplisert, prøv å finne ut av det selv:

Noen grenser kan reduseres til 1. bemerkelsesverdige grense ved å endre variabelen, dette kan du lese om litt senere i artikkelen Begrens løsningsmetoder.

Den andre fantastiske grensen

I teorien om matematisk analyse er det bevist at:

Dette faktum kalles andre bemerkelsesverdige grense.

Referanse: er et irrasjonelt tall.

Ikke bare en variabel kan fungere som en parameter, men også en kompleks funksjon. Det er bare viktig at den streber etter uendelighet.

Eksempel 6

Finn grensen

Når uttrykket under grensetegnet er i kraften - dette er det første tegnet på at du må prøve å bruke den andre fantastiske grensen.

Men først, som alltid, prøver vi å erstatte et uendelig stort antall i uttrykket, etter hvilket prinsipp dette gjøres, det ble analysert i leksjonen Grenser. Løsningseksempler.

Det er lett å se at når grunnlaget for graden, og eksponenten - , det vil si at det er en usikkerhet i formen:

Denne usikkerheten er nettopp avslørt ved hjelp av den andre bemerkelsesverdige grensen. Men, som ofte skjer, ligger ikke den andre fantastiske grensen på et sølvfat, og den må være kunstig organisert. Du kan resonnere som følger: i dette eksemplet betyr parameteren at vi også må organisere i indikatoren. For å gjøre dette hever vi basen til en makt, og slik at uttrykket ikke endres, hever vi det til en makt:

Når oppgaven er tegnet opp for hånd, markerer vi med blyant:

Nesten alt er klart, den forferdelige graden har blitt til et vakkert brev:

Samtidig flyttes selve grenseikonet til indikatoren:

Eksempel 7

Finn grensen

Merk følgende! Denne typen grense er veldig vanlig, vennligst studer dette eksemplet veldig nøye.

Vi prøver å erstatte et uendelig stort tall i uttrykket under grensetegnet:

Resultatet er en usikkerhet. Men den andre bemerkelsesverdige grensen gjelder usikkerheten i formen. Hva å gjøre? Du må konvertere grunnlaget for graden. Vi argumenterer slik: i nevneren har vi , som betyr at vi også må organisere oss i telleren.

For de som ønsker å lære å finne grensene i denne artikkelen, vil vi snakke om det. Vi skal ikke fordype oss i teorien, den gis vanligvis i forelesninger av lærere. Så den "kjedelige teorien" bør skisseres i notatbøkene dine. Hvis dette ikke er tilfelle, kan du lese lærebøker hentet fra biblioteket til utdanningsinstitusjonen eller på andre Internett-ressurser.

Så konseptet med grensen er ganske viktig i studiet av kurset i høyere matematikk, spesielt når du kommer over integralregningen og forstår forholdet mellom grensen og integralet. I det aktuelle materialet vil enkle eksempler bli vurdert, samt måter å løse dem på.

Løsningseksempler

Hva skal man gjøre med usikkerheten til skjemaet: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

La oss ta grensen i de to siste eksemplene til uendelig og vurdere usikkerheten: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Algoritme for beregning av grenser

Så la oss kort oppsummere de analyserte eksemplene og lage en algoritme for å løse grensene:

1. Erstatt punkt x i uttrykket etter grensetegnet. Hvis et visst antall oppnås, eller uendelig, er grensen fullstendig løst. Ellers har vi usikkerhet: "null delt på null" eller "uendelig delt på uendelig" og fortsett til de neste avsnittene i instruksjonen.
2. For å eliminere usikkerheten "null dele på null" må du faktorisere telleren og nevneren. Reduser lignende. Bytt inn punktet x i uttrykket under grensetegnet.
3. Hvis usikkerheten er «uendelig delt på uendelig», så tar vi ut både i telleren og i nevneren x av største grad. Vi forkorter x-ene. Vi erstatter x-verdier fra under grensen til det gjenværende uttrykket.

I denne artikkelen ble du kjent med det grunnleggende om å løse grenser, ofte brukt i Calculus-kurset. Dette er selvfølgelig ikke alle typer problemer som sensorer tilbyr, men bare de enkleste grensene. Vi vil snakke om andre typer oppgaver i fremtidige artikler, men først må du lære denne leksjonen for å komme videre. Vi vil diskutere hva vi skal gjøre hvis det er røtter, grader, vi vil studere infinitesimale ekvivalente funksjoner, fantastiske grenser, L'Hopitals regel.

Hvis du ikke kan finne ut grensene på egenhånd, ikke få panikk. Vi er alltid glade for å hjelpe!

Type- og formusikkerhet er de vanligste usikkerhetene som må tas opp når grenser skal løses.

De fleste oppgavene på grensene som kommer over til studentene bærer bare slike usikkerhetsmomenter. For å avsløre dem, eller mer presist, unngå tvetydigheter, er det flere kunstige metoder for å transformere formen til et uttrykk under grensetegnet. Disse teknikkene er som følger: ledd for ledd deling av telleren og nevneren med variabelens høyeste potens, multiplikasjon med konjugert uttrykk og faktorisering for påfølgende reduksjon ved bruk av løsninger av kvadratiske ligninger og forkortede multiplikasjonsformler.

Arts ubestemthet

Eksempel 1

n er lik 2. Derfor deler vi telleren og nevneren på ledd med:

.

Kommenter på høyre side av uttrykket. Pilene og tallene indikerer hva brøkene har en tendens til etter substitusjon i stedet for n uendelig verdier. Her, som i eksempel 2, graden n det er mer i nevneren enn i telleren, som et resultat av at hele brøken har en tendens til en uendelig liten verdi eller "super lite tall".

Vi får svaret: grensen for denne funksjonen med en variabel som tenderer mot uendelig er .

Eksempel 2 .

Løsning. Her den høyeste potensen til variabelen x er lik 1. Derfor deler vi teller- og nevnerleddet på ledd med x:

.

Kommentar til løsningens forløp. I telleren kjører vi "X" under roten av den tredje graden, og slik at dens innledende grad (1) forblir uendret, tildeler vi den samme grad som roten, det vil si 3. Det er ingen piler og tillegg tall i denne oppføringen, så prøv mentalt, men i analogi med forrige eksempel, finn ut hva uttrykkene i telleren og nevneren har en tendens til etter å ha erstattet uendelig med "x".

Vi fikk svaret: grensen for denne funksjonen med en variabel som tenderer mot uendelig er lik null.

Arts ubestemthet

Eksempel 3 Avdekk usikkerhet og finn grensen.

Løsning. Telleren er forskjellen på kuber. La oss faktorisere det ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen fra skolematematikkkurset:

Nevneren er et kvadratisk trinomium, som vi faktoriserer ved å løse en andregradsligning (no en gang en referanse til å løse andregradsligninger):

La oss skrive ned uttrykket oppnådd som et resultat av transformasjoner og finne grensen for funksjonen:

Eksempel 4 Avdekk usikkerhet og finn grensen

Løsning. Kvotientgrensesetningen gjelder ikke her, siden

Derfor transformerer vi brøken identisk: ved å multiplisere telleren og nevneren med det binomiale konjugatet til nevneren, og redusere med x+1. I følge konsekvensen av setning 1 får vi et uttrykk, løser som vi finner den ønskede grensen:

Eksempel 5 Avdekk usikkerhet og finn grensen

Løsning. Direkte verdisubstitusjon x= 0 i en gitt funksjon fører til en ubestemthet på formen 0/0. For å avsløre det, utfører vi identiske transformasjoner, og som et resultat oppnår vi ønsket grense:

Eksempel 6 Regne ut

Løsning: bruk grensesetningene

Svar: 11

Eksempel 7 Regne ut

Løsning: i dette eksemplet er grensene for telleren og nevneren ved 0:

; . Vi har fått, derfor kan ikke kvotientgrensesetningen brukes.

Vi faktoriserer telleren og nevneren for å redusere brøken med en felles faktor som har en tendens til null og derfor gjøre det mulig å anvende setning 3.

Vi utvider kvadrattrinomialet i telleren med formelen, der x 1 og x 2 er røttene til trinomialet. Faktorering og nevner, reduser brøken med (x-2), og bruk deretter teorem 3.

Svar:

Eksempel 8 Regne ut

Løsning: Når telleren og nevneren har en tendens til uendelig, får vi derfor ved å bruke setning 3 direkte, uttrykket , som representerer usikkerheten. For å bli kvitt denne typen usikkerhet deler du telleren og nevneren med argumentets høyeste potens. I dette eksemplet må du dele på X:

Svar:

Eksempel 9 Regne ut

Løsning: x 3:

Svar: 2

Eksempel 10 Regne ut

Løsning: Telleren og nevneren har en tendens til uendelig. Vi deler teller og nevner med høyeste potens av argumentet, dvs. x 5:

=

Telleren til en brøk har en tendens til 1, nevneren til 0, så brøken har en tendens til uendelig.

Svar:

Eksempel 11. Regne ut

Løsning: Telleren og nevneren har en tendens til uendelig. Vi deler teller og nevner med høyeste potens av argumentet, dvs. x 7:

Svar: 0

Derivat.

Den deriverte av funksjonen y = f(x) med hensyn til argumentet x grensen for forholdet mellom dets inkrement y og inkrementet x i argumentet x kalles når inkrementet til argumentet har en tendens til null: . Hvis denne grensen er begrenset, så funksjonen y = f(x) kalles differensierbar i punktet x. Hvis denne grensen eksisterer, så sier vi at funksjonen y = f(x) har en uendelig derivert ved x.

Derivater av grunnleggende elementære funksjoner:

1. (konst)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Differensieringsregler:

en)

i)

Eksempel 1 Finn den deriverte av en funksjon

Løsning: Hvis vi finner den deriverte av det andre leddet etter regelen for differensiering av en brøk, så er det første leddet en kompleks funksjon, hvis deriverte finnes av formelen:

, hvor , deretter

Ved løsning ble følgende formler brukt: 1,2,10, a, c, d.

Svar:

Eksempel 21. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning: begge begrepene er komplekse funksjoner, hvor for den første , , og for den andre , , deretter

Svar:

Avledede applikasjoner.

1. Hastighet og akselerasjon

La funksjonen s(t) beskrive stilling objekt i et eller annet koordinatsystem på tidspunktet t. Da er den første deriverte av funksjonen s(t) momentan hastighet gjenstand:
v=s′=f′(t)
Den andrederiverte av funksjonen s(t) er momentane akselerasjon gjenstand:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Tangentligning
y−y0=f′(x0)(x−x0),
hvor (x0,y0) er koordinatene til berøringspunktet, f′(x0) er verdien av den deriverte av funksjonen f(x) ved berøringspunktet.

3. Normal ligning
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

der (x0,y0) er koordinatene til punktet der normalen er tegnet, f′(x0) er verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i det gitte punktet.

4. Funksjon stigende og synkende
Hvis f′(x0)>0, øker funksjonen ved punktet x0. I figuren under øker funksjonen ved x x2.
Hvis f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Hvis f′(x0)=0 eller den deriverte ikke eksisterer, tillater ikke denne funksjonen oss å bestemme arten av monotoniteten til funksjonen i punktet x0.

5. Lokale ytterpunkter av funksjonen
Funksjonen f(x) har lokalt maksimum ved et punkt x1 hvis det eksisterer et nabolag til punktet x1 slik at for alle x fra dette nabolaget gjelder ulikheten f(x1)≥f(x).
På samme måte har funksjonen f(x). lokalt minimum ved et punkt x2 hvis det eksisterer et nabolag til punktet x2 slik at for alle x fra dette nabolaget gjelder ulikheten f(x2)≤f(x).

6. Kritiske punkter
Punktet x0 er kritisk punkt funksjon f(x) hvis den deriverte f′(x0) i den er lik null eller ikke eksisterer.

7. Det første tilstrekkelige tegn på eksistensen av et ekstremum
Hvis funksjonen f(x) øker (f′(x)>0) for alle x i et eller annet intervall (a,x1] og avtagende (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) for alle x fra intervallet $

Før du fortsetter med løsningen, må du finne ut hvilken type problem du har

Skriv 1 $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

For å avdekke slike usikkerheter er det nødvendig å multiplisere telleren og nevneren til brøken med konjugatet til uttrykket som inneholder roten.

Skriv 2 $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Grenser med en rot av denne typen, når $ x \to \infty $ må beregnes annerledes enn forrige tilfelle. Det er nødvendig å bestemme de høyeste potensene til uttrykkene til telleren og nevneren. Ta deretter den høyeste av de to gradene ut av parentes og reduser.

Skriv 3 $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Denne typen grenser kommer ofte over i tilleggsoppgaver på eksamen. Tross alt, ofte studenter ikke riktig beregne grensene for denne typen. Hvordan løse grenser med røtter av denne typen? Alt er enkelt. Det er nødvendig å multiplisere og dele funksjonen i grensen med uttrykket konjugert til den.

Blant begrense eksempler funksjoner er vanlige funksjoner med røtter, som ikke alltid er klart hvordan de skal avsløre. Det er lettere når det er et eksempel på en kantlinje med en rotfunksjon av formen

Løsningen av slike grenser er enkel og tydelig for alle.
Vanskeligheter oppstår hvis det er følgende eksempler på funksjoner med røtter.

Eksempel 1. Beregn funksjonsgrense

Med en direkte erstatning av punktet x = 1 er det klart at både telleren og nevneren til funksjonen

snu til null, det vil si at vi har en usikkerhet på formen 0/0 .
For å avsløre usikkerheten bør man multiplisere uttrykket som inneholder roten med konjugatet og bruke kvadratforskjellsregelen. For et gitt eksempel vil transformasjonene være som følger



Grensen for en funksjon med røtter er 6. Uten regelen ovenfor ville det være vanskelig å finne den.
Vurder lignende eksempler på beregning av grensen med denne regelen

Eksempel 2 Finn grensen for en funksjon

Vi sørger for at når vi erstatter x = 3, får vi en usikkerhet på formen 0/0.
Det avsløres ved å multiplisere telleren og nevneren med konjugatet til telleren.


Deretter dekomponerer vi telleren i henhold til regelen for forskjellen av kvadrater

Det var bare slik vi fant grensen for en funksjon med røtter.

Eksempel 3 Definer funksjonsgrense

Vi ser at vi har en usikkerhet på formen 0/0.
Å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren

Funksjonsgrensen er 8 .

Vurder nå en annen type eksempler, når variabelen i omfordelingen har en tendens til uendelig.

Eksempel 4. Beregn funksjonsgrense

Mange av dere vet ikke hvordan man finner grensen for en funksjon. Beregningsteknikken vil bli beskrevet nedenfor.
Vi har en grense av typen uendelig minus uendelig. Multipliser og del med konjugert faktor og bruk regelen for forskjell på kvadrater

Funksjonsgrensene er -2,5.

Beregningen av slike grenser er faktisk redusert til avsløringen av irrasjonalitet, og deretter substitusjon av en variabel

Eksempel 5 Finn grensen for en funksjon

Grensen er ekvivalent - uendelig minus uendelig
.
Multipliser og del med det tilstøtende uttrykket og forenkle