Matematiske mønstre i livet. Matematiske lover for dyrelivet

Hvis du ser deg nøye rundt, blir matematikkens rolle i menneskelivet åpenbar. Datamaskiner, moderne telefoner og annen teknologi følger oss hver dag, og deres skapelse er umulig uten bruk av lover og beregninger fra stor vitenskap. Matematikkens rolle i samfunnet er imidlertid ikke begrenset til slike applikasjoner. Ellers kunne for eksempel mange kunstnere si med god samvittighet at tiden som ble brukt til å løse problemer og bevise teoremer i skolen var bortkastet. Dette er imidlertid ikke sant. La oss prøve å finne ut hva matematikk er for noe.

Utgangspunkt

Til å begynne med er det verdt å forstå hva matematikk er generelt. Oversatt fra gammelgresk betyr selve navnet "vitenskap", "studie". Matematikk er basert på operasjonene med å telle, måle og beskrive formene til objekter. som kunnskap om struktur, orden og relasjoner er basert på. De er essensen av vitenskap. Egenskapene til virkelige objekter i den er idealisert og skrevet på et formelt språk. Slik konverteres de til matematiske objekter. Noen av de idealiserte egenskapene blir aksiomer (utsagn som ikke krever bevis). Andre sanne egenskaper trekkes deretter fra dem. Dette er hvordan et virkelighetsobjekt dannes.

To seksjoner

Matematikk kan deles inn i to komplementære deler. Teoretisk vitenskap er engasjert i en dyp analyse av intra-matematiske strukturer. Anvendt vitenskap gir sine modeller til andre disipliner. Fysikk, kjemi og astronomi, ingeniørsystemer, prognoser og logikk bruker det matematiske apparatet hele tiden. Med dens hjelp gjøres oppdagelser, mønstre oppdages, hendelser forutses. Slik sett kan viktigheten av matematikk i menneskelivet ikke overvurderes.

Grunnlaget for faglig aktivitet

Uten kunnskap om de grunnleggende matematiske lovene og evnen til å bruke dem i den moderne verden, blir det veldig vanskelig å lære nesten hvilket som helst yrke. Ikke bare finansfolk og regnskapsførere håndterer tall og operasjoner med dem. Uten slik kunnskap vil ikke en astronom kunne bestemme avstanden til en stjerne og det beste tidspunktet for å observere den, og en molekylærbiolog vil ikke kunne forstå hvordan han skal håndtere en genmutasjon. En ingeniør vil ikke designe et fungerende alarm- eller videoovervåkingssystem, og en programmerer vil ikke finne en tilnærming til operativsystemet. Mange av disse og andre yrker eksisterer rett og slett ikke uten matematikk.

Humanitær kunnskap

Men matematikkens rolle i livet til en person, for eksempel, som har viet seg til maleri eller litteratur, er ikke så åpenbar. Og likevel er spor etter vitenskapens dronning også til stede i humaniora.

Det ser ut til at poesi er ren romantikk og inspirasjon, det er ikke plass for analyse og beregning i den. Det er imidlertid nok å minne om de poetiske størrelsene til amfibraker), da forståelsen kommer at matematikken også hadde en finger med i dette. Rytme, verbal eller musikalsk, er også beskrevet og beregnet ved hjelp av kunnskapen om denne vitenskapen.

For en forfatter eller psykolog er slike begreper som informasjonens pålitelighet, et enkelttilfelle, generalisering og så videre ofte viktige. Alle av dem er enten direkte matematiske, eller er bygget på grunnlag av mønstre utviklet av dronningen av vitenskaper, eksisterer takket være henne og i henhold til hennes regler.

Psykologi ble født i skjæringspunktet mellom humaniora og naturvitenskap. Alle retningene, selv de som utelukkende jobber med bilder, er basert på observasjon, dataanalyse, generalisering og verifisering av dem. Her brukes modellering, prognoser og statistiske metoder.

Fra skolen

Matematikk i livet vårt er ikke bare til stede i prosessen med å mestre yrket og implementere den ervervede kunnskapen. På en eller annen måte bruker vi vitenskapens dronning nesten hvert eneste øyeblikk. Det er grunnen til at matematikk blir undervist tidlig nok. Ved å løse enkle og komplekse problemer lærer barnet ikke bare å addere, trekke fra og multiplisere. Han forstår sakte, fra det grunnleggende, strukturen til den moderne verden. Og dette handler ikke om teknisk fremgang eller muligheten til å sjekke endringen i butikken. Matematikk danner noen trekk ved tenkning og påvirker holdningen til verden.

Den enkleste, den vanskeligste, den viktigste

Sannsynligvis vil alle huske minst en kveld på lekser, da du desperat ville hyle: "Jeg forstår ikke hva matte er for noe!", legge til side de forhatte vanskelige og kjedelige oppgavene og løpe bort til gården med venner. På skolen og til og med senere, på instituttet, virker forsikringene fra foreldre og lærere "det kommer til nytte senere" som irriterende tull. De viser seg imidlertid å ha rett.

Det er matematikk, og deretter fysikk, som lærer deg å finne årsak-og-virkning-sammenhenger, legger vanen til å lete etter det beryktede «hvor beina vokser fra». Oppmerksomhet, konsentrasjon, viljestyrke - de trener også i prosessen med å løse de svært forhatte oppgavene. Hvis vi går lenger, blir evnen til å utlede konsekvenser fra fakta, forutsi fremtidige hendelser og også gjøre det samme lagt under studiet av matematiske teorier. Modellering, abstraksjon, deduksjon og induksjon er alle vitenskaper og samtidig måter hjernen jobber med informasjon.

Og psykologi igjen

Ofte er det matematikk som gir barnet åpenbaringen om at voksne ikke er allmektige og vet langt fra alt. Dette skjer når mor eller far, når de blir bedt om å hjelpe til med å løse et problem, bare trekker på hendene og kunngjør at de ikke er i stand til å gjøre det. Og barnet blir tvunget til å lete etter svaret selv, gjøre feil og se på nytt. Noen ganger nekter foreldre bare å hjelpe. "Du må gjøre det selv," sier de. Og de gjør det riktig. Etter mange timers prøving vil barnet ikke bare motta en hjemmelekse som er gjort, men evnen til selvstendig å finne løsninger, oppdage og rette feil. Og dette er også matematikkens rolle i menneskelivet.

Selvfølgelig utvikles uavhengighet, evnen til å ta beslutninger, være ansvarlig for dem, fraværet av frykt for feil, ikke bare i leksjonene om algebra og geometri. Men disse fagene spiller en betydelig rolle i prosessen. Matematikk tar opp slike egenskaper som målrettethet og aktivitet. Mye avhenger selvfølgelig av læreren. Feil presentasjon av materialet, overdreven strenghet og press kan tvert imot skape frykt for vanskeligheter og feil (først i klasserommet, og deretter i livet), manglende vilje til å uttrykke sin mening, passivitet.

Matematikk i hverdagen

Voksne etter endt utdanning fra universitet eller høyskole slutter ikke å løse matematiske problemer hver dag. Hvordan rekke toget? Vil det være mulig å lage middag til ti gjester fra en kilo kjøtt? Hvor mange kalorier er det i en rett? Hvor lenge varer en pære? Disse og mange andre spørsmål er direkte relatert til vitenskapens dronning og kan ikke løses uten henne. Det viser seg at matematikk er usynlig tilstede i livene våre nesten konstant. Og som oftest merker vi det ikke engang.

Matematikk i samfunnets og individets liv påvirker et stort antall områder. Noen yrker er utenkelige uten det, mange dukket opp bare takket være utviklingen av dets individuelle områder. Moderne tekniske fremskritt er nært forbundet med komplikasjonen og utviklingen av det matematiske apparatet. Datamaskiner og telefoner, fly og romfartøyer ville aldri ha dukket opp hvis ikke vitenskapens dronning hadde vært kjent for folk. Matematikkens rolle i menneskelivet er imidlertid ikke begrenset til dette. Vitenskap hjelper et barn til å mestre verden, lærer ham å samhandle mer effektivt med den, danner tenkning og individuelle karakteregenskaper. Men matematikken alene ville ikke ha taklet slike oppgaver. Som nevnt ovenfor spiller presentasjonen av materialet og personligheten til personen som introduserer barnet til verden en stor rolle.

Avslutningsvis vil vi prøve å kort karakterisere de generelle lovene som styrer utviklingen av matematikk.

1. Matematikk er ikke skapelsen av en historisk epoke, av et enkelt folk; det er et produkt av en rekke epoker, et produkt av mange generasjoners arbeid. Dens første konsepter og bestemmelser oppsto,

som vi har sett, i eldgamle tider og allerede for mer enn to tusen år siden ble de brakt inn i et harmonisk system. Til tross for alle transformasjonene av matematikk, er dens konsepter og konklusjoner bevart, og går fra en epoke til en annen, som for eksempel reglene for aritmetikk eller Pythagoras teorem.

Nye teorier inkluderer tidligere prestasjoner, klargjøring, utfylling og generalisering av dem.

Samtidig, som det fremgår av den korte oversikten over matematikkens historie gitt ovenfor, kommer utviklingen ikke bare ned til en enkel akkumulering av nye teoremer, men inkluderer også betydelige, kvalitative endringer. Følgelig er utviklingen av matematikk delt inn i en rekke perioder, overgangene mellom disse er nøyaktig indikert av slike grunnleggende endringer i selve emnet eller strukturen til denne vitenskapen.

Matematikk inkluderer i sin sfære alle nye områder av kvantitative virkelighetsrelasjoner. Samtidig har romlige former og kvantitative relasjoner i disse ordenes enkle, mest direkte betydning vært og forblir matematikkens viktigste fag, og den matematiske forståelsen av nye sammenhenger og relasjoner skjer uunngåelig på grunnlag av og i sammenheng. med det allerede etablerte systemet av kvantitative og romlige vitenskapelige begreper.

Til slutt, akkumulering av resultater innenfor matematikken i seg selv innebærer nødvendigvis både en oppstigning til nye abstraksjonsnivåer, til nye generaliserende begreper, og en fordypning i analysen av grunnlag og innledende begreper.

Akkurat som en eik i sin mektige vekst tykner gamle greiner med nye lag, kaster ut nye greiner, strekker seg oppover og dypere med røttene nedover, slik akkumulerer matematikken i sin utvikling nytt materiale i sine allerede etablerte områder, danner nye retninger, stiger opp til nye høyder av abstraksjon og dypere inn i deres grunnlag.

2. Matematikk har virkelige former og virkelighetsrelasjoner som sitt emne, men, som Engels sa, for å studere disse formene og relasjonene i deres rene form, er det nødvendig å skille dem fullstendig fra innholdet, for å la dette siste til side som noe likegyldig. Imidlertid er det ingen former og relasjoner utenfor innholdet; matematiske former og relasjoner kan ikke være absolutt likegyldige til innholdet. Matematikk streber derfor i sin natur etter å få til en slik separasjon, og streber etter å få til det umulige. Dette er den grunnleggende motsetningen i selve essensen av matematikk. Det er en manifestasjon av kunnskapens generelle motsetning, spesifikk for matematikk. Refleksjonen ved tanke av ethvert fenomen, hvilken som helst side, ethvert øyeblikk av virkeligheten grover ut, forenkler det, og river det ut av naturens generelle forbindelse. Når folk, studerte egenskapene til rommet, fant ut at det har en euklidisk geometri, ble laget utelukkende

en viktig erkjennelseshandling, men den inneholdt også en vrangforestilling: de virkelige egenskapene til rommet ble [tatt på en forenklet, skjematisk måte, i abstraksjon fra materien. Men uten dette ville det rett og slett ikke vært noen geometri, og det var nettopp på grunnlag av denne abstraksjonen (både fra dens interne studie og fra en sammenligning av matematiske resultater med nye data fra andre vitenskaper) at nye geometriske teorier ble født og styrket.

Den konstante oppløsningen og gjenopprettingen av denne motsetningen på erkjennelsesstadiene som kommer nærmere og nærmere virkeligheten er essensen i utviklingen av erkjennelse. I dette tilfellet er den avgjørende faktoren selvfølgelig det positive innholdet i kunnskap, elementet av absolutt sannhet i den. Kunnskap er på oppstigende linje, og markerer ikke tid i en enkel forveksling med vrangforestillinger. Bevegelsen av erkjennelse er den konstante overvinnelsen av dens unøyaktigheter og begrensninger.

Denne grunnleggende motsetningen innebærer andre. Vi har sett dette i kontrasten mellom det diskrete og det kontinuerlige. (I naturen er det ikke noe absolutt gap mellom dem, og deres separasjon i matematikk medførte uunngåelig behovet for å skape stadig nye konsepter som reflekterer virkeligheten dypere og samtidig overvinner de interne ufullkommenhetene i den eksisterende matematiske teorien). På akkurat samme måte fremstår motsetningene mellom det endelige og det uendelige, det abstrakte og det konkrete, form og innhold osv. i matematikken som manifestasjoner av dens grunnleggende motsetning. Men dens avgjørende manifestasjon er at, abstrahert fra det konkrete, kretsende i sirkelen av dets abstrakte begreper, blir matematikken dermed atskilt fra eksperimentering og praksis, og samtidig er det bare i den grad en vitenskap (dvs. har kognitiv verdi), siden er avhengig av praksis, siden det viser seg å ikke være ren, men anvendt matematikk. For å bruke et litt hegeliansk språk, "fornekter" ren matematikk seg hele tiden ettersom ren matematikk, uten hvilken den ikke kan ha vitenskapelig betydning, ikke kan utvikle seg, ikke kan overvinne vanskelighetene som uunngåelig oppstår i den.

I sin formelle form er matematiske teorier i motsetning til det virkelige innholdet som noen skjemaer for spesifikke konklusjoner. Matematikk fungerer her som en metode for å formulere naturvitenskapens kvantitative lover, som et apparat for å utvikle teoriene, som et middel til å løse naturvitenskapelige og teknologiske problemer. Betydningen av ren matematikk på nåværende stadium ligger først og fremst i den matematiske metoden. Og akkurat som en hvilken som helst metode ikke eksisterer og utvikler seg alene, men bare på grunnlag av dens applikasjoner, i forbindelse med innholdet den brukes på, så kan matematikk ikke eksistere og utvikle seg uten applikasjoner. Igjen avsløres enheten av motsetninger: den generelle metoden er i motsetning til et spesifikt problem, som et middel til å løse det, men den oppstår selv fra generaliseringen av spesifikt materiale og eksisterer

utvikler seg og finner sin begrunnelse kun i å løse spesifikke problemer.

3. Offentlig praksis spiller en avgjørende rolle i utviklingen av matematikk i tre henseender. Den stiller nye problemer for matematikken, stimulerer dens utvikling i en eller annen retning, og gir et kriterium for sannheten av konklusjonene.

Dette er ekstremt tydelig i eksemplet med fremveksten av analyse. For det første var det utviklingen av mekanikk og teknologi som reiste problemet med å studere avhengighetene til variabler i deres generelle form. Arkimedes, som nærmet seg differensial- og integralregningen, forble imidlertid innenfor rammen av statikkens problemer, mens det i moderne tid var studiet av bevegelse som ga opphav til begrepene variabel og funksjon og tvang fram analysen. . Newton kunne ikke utvikle mekanikk uten å utvikle en tilsvarende matematisk metode.

For det andre var det behovene til sosial produksjon som førte til formuleringen og løsningen av alle disse problemene. Verken eldgamle eller middelalderske samfunn hadde disse insentivene ennå. Til slutt er det ganske karakteristisk at matematisk analyse i sin opprinnelse fant begrunnelse for sine konklusjoner nettopp i applikasjoner. Det er den eneste grunnen til at det kunne utvikle seg uten de strenge definisjonene av dets grunnleggende konsepter (variabel, funksjon, grense) som ble gitt senere. Sannheten i analysen ble etablert av applikasjoner innen mekanikk, fysikk og teknologi.

Dette gjelder alle perioder av utviklingen av matematikken. Fra 1600-tallet. Den mest direkte innflytelsen på utviklingen, sammen med mekanikk, utøves av teoretisk fysikk og problemene med ny teknologi. Kontinuummekanikk og deretter feltteori (termisk ledning, elektrisitet, magnetisme, gravitasjonsfelt) styrer utviklingen av teorien om partielle differensialligninger. Utviklingen av molekylær teori og statistisk fysikk generelt, siden slutten av forrige århundre, har fungert som en viktig stimulans for utviklingen av sannsynlighetsteori, spesielt teorien om tilfeldige prosesser. Relativitetsteorien spilte en avgjørende rolle i utviklingen av Riemannsk geometri med dens analytiske metoder og generaliseringer.

For tiden stimuleres utviklingen av nye matematiske teorier, som funksjonsanalyse osv. av problemene med kvantemekanikk og elektrodynamikk, problemer med datateknologi, statistiske problemer med fysikk og teknologi osv. osv. Fysikk og teknologi ikke bare stille nye oppgaver, tilskynde den til nye studieemner, men også vekke utviklingen av de matematiske grenene som er nødvendige for dem, som opprinnelig utviklet seg i større grad i seg selv, slik tilfellet var med Riemannsk geometri. Kort sagt, for den intensive utviklingen av vitenskapen, er det nødvendig at den ikke bare nærmer seg løsningen av nye problemer, men at behovet for deres løsning påtvinges

samfunnets utviklingsbehov. I matematikk har mange teorier nylig oppstått, men bare de av dem utvikles og er godt etablert i vitenskapen som har funnet sin anvendelse innen naturvitenskap og teknologi eller har spilt rollen som viktige generaliseringer av de teoriene som har slike anvendelser. Samtidig forblir andre teorier uten bevegelse, som for eksempel noen raffinerte geometriske teorier (ikke-desarguesiske, ikke-arkimediske geometrier), som ikke har funnet signifikante anvendelser.

Sannheten til matematiske deduksjoner finner sitt endelige grunnlag ikke i generelle definisjoner og aksiomer, ikke i den formelle strengheten til bevis, men i virkelige anvendelser, dvs. til syvende og sist i praksis.

Generelt må utviklingen av matematikk først og fremst forstås som et resultat av samspillet mellom fagets logikk, reflektert i selve matematikkens interne logikk, produksjonens påvirkning og forbindelser med naturvitenskap. Denne forskjellen følger komplekse veier for kamp av motsetninger, inkludert betydelige endringer i det grunnleggende innholdet og formene for matematikk. Innholdsmessig er utviklingen av matematikk bestemt av faget, men den motiveres hovedsakelig og til syvende og sist av produksjonens behov. Dette er den grunnleggende regelmessigheten i utviklingen av matematikk.

Vi må selvfølgelig ikke glemme at vi kun snakker om den grunnleggende regulariteten og at sammenhengen mellom matematikk og produksjon generelt sett er kompleks. Av det som er sagt ovenfor, er det klart at det ville være naivt å forsøke å rettferdiggjøre fremveksten av enhver gitt matematisk teori med en direkte "produksjonsordre". Dessuten har matematikk, som enhver vitenskap, en relativ uavhengighet, sin egen interne logikk, som reflekterer, som vi understreket, objektiv logikk, det vil si regelmessigheten til faget.

4. Matematikk har alltid opplevd den mest betydelige innflytelsen ikke bare av sosial produksjon, men av alle sosiale forhold generelt. Dens strålende fremgang under fremveksten av antikkens Hellas, suksessen til algebra i Italia under renessansen, utviklingen av analyse i tiden etter den engelske revolusjonen, suksessen til matematikken i Frankrike i perioden ved siden av den franske revolusjonen - alt dette viser overbevisende den uatskillelige forbindelsen mellom matematikkens fremgang og samfunnets generelle tekniske, kulturelle, politiske fremskritt.

Dette sees også tydelig i utviklingen av matematikk i Russland. Dannelsen av en uavhengig russisk matematisk skole, som kommer fra Lobachevsky, Ostrogradsky og Chebyshev, kan ikke skilles fra fremgangen til det russiske samfunnet som helhet. Lobachevskys tid er Pushkins tid,

Glinka, desembristenes tid, og blomstringen av matematikk var et av elementene i det generelle oppsvinget.

Desto mer overbevisende er innflytelsen fra sosial utvikling i perioden etter den store sosialistiske oktoberrevolusjonen, da studier av fundamental betydning dukket opp etter hverandre med forbløffende hastighet i mange retninger: i mengdlære, topologi, tallteori, sannsynlighetsteori, teorien. av differensialligninger, funksjonsanalyse, algebra, geometri.

Endelig har matematikk alltid opplevd og opplever en merkbar innflytelse fra ideologi. Som i enhver vitenskap blir det objektive innholdet i matematikk oppfattet og tolket av matematikere og filosofer innenfor rammen av en eller annen ideologi.

Kort sagt, vitenskapens objektive innhold passer alltid inn i visse ideologiske former; Enheten og kampen mellom disse dialektiske motsetningene – objektivt innhold og ideologiske former – i matematikk, som i enhver vitenskap, spiller på ingen måte den siste rollen i utviklingen.

Kampen mellom materialismen, som tilsvarer vitenskapens objektive innhold, og idealismen, som motsier dette innholdet og forvrenger dets forståelse, går gjennom matematikkens historie. Denne kampen ble tydelig indikert allerede i antikkens Hellas, hvor materialismen til Thales, Demokritos og andre filosofer som skapte gresk matematikk ble motarbeidet av idealismen til Pythagoras, Sokrates og Platon. Med utviklingen av slavesystemet brøt toppen av samfunnet ut av deltagelse i produksjonen, og betraktet det som underklassens lodd, og dette ga opphav til en separasjon av "ren" vitenskap fra praksis. Bare rent teoretisk geometri ble anerkjent som verdig oppmerksomheten til en sann filosof. Det er karakteristisk at Platon anså de nye studiene av noen mekaniske kurver og til og med kjeglesnitt for å holde seg utenfor geometriens grenser, siden de "ikke bringer oss inn i fellesskap med evige og ukroppslige ideer" og "trenger å bruke verktøyene til en vulgær håndverk.»

Et levende eksempel på materialismens kamp mot idealismen i matematikk er aktiviteten til Lobachevsky, som fremmet og forsvarte den materialistiske forståelsen av matematikk mot kantianismens idealistiske syn.

Den russiske matematiske skolen er generelt preget av en materialistisk tradisjon. Dermed understreket Chebyshev tydelig den avgjørende betydningen av praksis, og Lyapunov uttrykte stilen til den russiske matematiske skolen med følgende bemerkelsesverdige ord: "Den detaljerte utviklingen av spørsmål som er spesielt viktige fra et applikasjonssynspunkt og samtidig tilstedeværende. spesielle teoretiske vanskeligheter som krever oppfinnelsen av nye metoder og oppstigningen til vitenskapens prinsipper, for deretter å generalisere konklusjonene som er oppnådd og på denne måten skape en mer eller mindre generell teori. Generaliseringer og abstraksjoner er ikke i seg selv, men i sammenheng med spesifikt materiale.

teoremer og teorier er ikke i seg selv, men i vitenskapens generelle sammenheng, som til syvende og sist fører til praksis – det er dette som faktisk viser seg å være viktig og lovende.

Slik var ambisjonene til så store vitenskapsmenn som Gauss og Riemann.

Men med utviklingen av kapitalismen i Europa begynte materialistiske synspunkter, som reflekterte den avanserte ideologien til det stigende borgerskapet i epoken på 1500- og tidlig 1800-tallet, å bli erstattet av idealistiske synspunkter. Så, for eksempel, Cantor (1846-1918), som skapte teorien om uendelige sett, refererte direkte til Gud, og talte i ånden om at uendelige sett har en absolutt eksistens i det guddommelige sinn. Den største franske matematikeren på slutten av XIX - begynnelsen av XX århundre. Poincare la frem det idealistiske konseptet "konvensjonalisme", ifølge hvilket matematikk er et opplegg med betingede avtaler som er vedtatt for å gjøre det lettere å beskrive mangfoldet av erfaring. Så, ifølge Poincare, er aksiomene til euklidisk geometri ikke mer enn betingede avtaler, og deres betydning bestemmes av bekvemmelighet og enkelhet, men ikke av korrespondanse med virkeligheten. Derfor sa Poincaré at for eksempel i fysikk ville de forlate loven om rettlinjet forplantning av lys enn euklidisk geometri. Dette synspunktet ble tilbakevist av utviklingen av relativitetsteorien, som til tross for all "enkelheten" og "bekvemmeligheten" til euklidisk geometri, i full overensstemmelse med de materialistiske ideene til Lobachevsky og Riemann, førte til konklusjonen at den virkelige Geometrien til rommet er forskjellig fra euklidisk.

På bakgrunn av vanskene som oppsto i mengdlære, og i forbindelse med behovet for å analysere matematikkens grunnleggende begreper, blant matematikere på begynnelsen av 1900-tallet. forskjellige strømmer dukket opp. Enheten i forståelsen av matematikkens innhold gikk tapt; forskjellige matematikere begynte å forskjellig vurdere ikke bare det generelle grunnlaget for vitenskap, som var før, men begynte til og med å evaluere betydningen og betydningen av individuelle konkrete resultater og bevis på forskjellige måter. Konklusjoner som virket meningsfulle og meningsfulle for noen, andre erklært blottet for mening og betydning. Idealistiske strømninger av "logisisme", "intuisjonisme", "formalisme" osv. oppsto.

Logistikkere hevder at all matematikk kan utledes fra begrepene logikk. Intuisjonister ser kilden til matematikk i intuisjon og gir mening kun til det som intuitivt oppfattes. Spesielt derfor benekter de fullstendig betydningen av Cantors teori om uendelige mengder. Dessuten benekter intuisjonister den enkle betydningen selv av slike uttalelser.

som et teorem om at enhver algebraisk gradslikning har røtter. For dem er denne setningen tom inntil en metode for å beregne røttene er spesifisert. Dermed førte den fullstendige fornektelsen av den objektive betydningen av matematikk intuisjonistene til å diskreditere, som "uten mening", en betydelig del av prestasjonene til matematikk. De mest ekstreme av dem har gått så langt som å hevde at det er like mange matematikere som det er matematikere.

Et forsøk på på sin egen måte å redde matematikken fra slike angrep ble gjort av den største matematikeren i begynnelsen av vårt århundre - D. Hilbert. Essensen av ideen hans var å redusere matematiske teorier til rent formelle operasjoner på symboler i henhold til foreskrevne regler. Regnestykket var at med en slik helt formell tilnærming ville alle vanskeligheter bli fjernet, fordi emnet i matematikk ville være symboler og regler for å operere med dem uten noen relasjon til deres betydning. Dette er rammen for formalisme i matematikk. Ifølge intuisjonisten Brouwer er sannheten i matematikken for formalisten på papiret, mens den for intuisjonisten er i hodet til matematikeren.

Det er imidlertid ikke vanskelig å se at begge tar feil, fordi matematikk, og samtidig det som er skrevet på papir, og hva en matematiker tenker, gjenspeiler virkeligheten, og sannheten til matematikken ligger i dens korrespondanse med objektivet. virkelighet. Ved å skille matematikk fra den materielle virkeligheten, viser alle disse strømningene seg å være idealistiske.

Hilberts idé ble beseiret som et resultat av sin egen utvikling. Den østerrikske matematikeren Gödel beviste at selv aritmetikk ikke kan formaliseres fullstendig, slik Hilbert håpet. Godels konklusjon avslørte tydelig matematikkens indre dialektikk, som ikke tillater en å tømme noen av områdene ved formell kalkulering. Selv den enkleste uendeligheten av den naturlige tallserien viste seg å være et uuttømmelig begrenset skjema av symboler og regler for å operere med dem. Dermed ble det matematisk bevist hva Engels uttrykte i generelle termer da han skrev:

"Uendelighet er en selvmotsigelse... Ødeleggelsen av denne motsigelsen ville være slutten på uendelighet." Hilbert håpet å omslutte matematisk uendelighet innenfor rammen av endelige skjemaer og dermed eliminere alle motsetninger og vanskeligheter. Dette viste seg å være umulig.

Men under kapitalismens betingelser blir konvensjonalisme, intuisjonisme, formalisme og andre lignende trender ikke bare bevart, men supplert med nye varianter av idealistiske syn på matematikk. Teorier knyttet til den logiske analysen av grunnlaget for matematikk brukes i hovedsak i noen nye varianter av subjektiv idealisme. Subjektiv

idealisme bruker nå matematikk, spesielt matematisk logikk, ikke mindre enn fysikk, og derfor får spørsmålene om å forstå grunnlaget for matematikk spesiell skarphet.

Dermed ga vanskelighetene med utviklingen av matematikk under kapitalismen opphav til en ideologisk krise i denne vitenskapen, som i sine grunnlag ligner krisen i fysikk, hvis essens ble belyst av Lenin i hans strålende verk Materialisme og empiriokritikk. Denne krisen betyr slett ikke at matematikken i de kapitalistiske landene er fullstendig forsinket i sin utvikling. En rekke forskere, som står på klart idealistiske posisjoner, gjør viktige, noen ganger enestående suksesser med å løse spesifikke matematiske problemer og utvikle nye teorier. Det er nok å referere til den briljante utviklingen av matematisk logikk.

Den grunnleggende feilen i synet på matematikk som er utbredt i kapitalistiske land, ligger i dens idealisme og metafysikk: i separasjonen av matematikk fra virkeligheten og forsømmelse av dens reelle utvikling. Logistikk, intuisjonisme, formalisme og andre lignende trender skiller ut noen av dens aspekter i matematikk - sammenheng med logikk, intuitiv klarhet, formell strenghet, etc. - overdrive urimelig, absolutt dens betydning, rive den bort fra virkeligheten og bak en dyp analyse av denne ene egenskapen ved matematikk mister i seg selv matematikken som helhet av syne. Det er nettopp på grunn av denne ensidigheten at ingen av disse strømningene, med all subtiliteten og dybden av individuelle konklusjoner, kan føre til en riktig forståelse av matematikk. I motsetning til ulike strømninger og nyanser av idealisme og metafysikk, vurderer dialektisk materialisme matematikk, så vel som all vitenskap som en helhet, som den er, i all rikdommen og kompleksiteten av dens forbindelser og utvikling. Og nettopp fordi den dialektiske materialismen søker å forstå all rikdommen og kompleksiteten i vitenskapens forbindelser med virkeligheten, all kompleksiteten i dens utvikling, fra en enkel generalisering av erfaring til høyere abstraksjoner og fra dem til praksis, nettopp fordi den stadig bringer sin egen tilnærming til vitenskapen i samsvar med dens objektive innhold, med dens nye oppdagelser, nettopp av denne grunn, og til syvende og sist bare av denne grunn, viser det seg å være den eneste virkelige vitenskapelige filosofien som fører til en korrekt forståelse av vitenskap generelt og i spesielt matematikk.

Introduksjon

Vi blir ofte fortalt på skolen at matematikk er naturvitenskapens dronning. En gang hørte jeg en annen setning som en av skolelærerne en gang sa, og faren min liker å gjenta: «Naturen er ikke så dum at den ikke bruker matematikkens lover». (F. M. Kotelnikov, tidligere professor i matematikk ved Institutt for Moskva statsuniversitet). Det var det som ga meg ideen til å studere denne problemstillingen.

Denne ideen bekreftes av følgende ordtak: «Skjønnhet er alltid relativ ... Man skal ikke ... tro at havets kyster virkelig er formløse bare fordi formen deres er forskjellig fra den riktige formen til bryggene vi har bygget; formen på fjellene kan ikke anses som feil med den begrunnelse at de ikke er vanlige kjegler eller pyramider; av det faktum at avstandene mellom stjernene ikke er de samme, følger det ennå ikke at de ble spredt over himmelen av en udugelig hånd. Disse uregelmessighetene eksisterer bare i fantasien vår, men faktisk er de ikke og forstyrrer ikke de sanne manifestasjonene av liv på jorden, i planter og dyrs rike eller blant mennesker. (Richard Bentley, engelsk lærd fra 1600-tallet)

Men når vi studerer matematikk, stoler vi bare på kunnskapen om formler, teoremer, beregninger. Og matematikk dukker opp foran oss som en slags abstrakt vitenskap som opererer med tall. Men som det viser seg, er matematikk en vakker vitenskap.

Det var som poet jeg satte meg følgende mål: å vise skjønnheten i matematikk ved hjelp av mønstre som finnes i naturen.

For å nå målet ble det delt inn i en rekke oppgaver:

Å studere mangfoldet av matematiske mønstre som brukes av naturen.

Gi en beskrivelse av disse mønstrene.

På din egen erfaring, prøv å finne matematiske sammenhenger i strukturen til kattens kropp (Som det ble sagt i en kjent film: tren på katter).

Metoder brukt i arbeidet: analyse av litteratur om temaet, vitenskapelig eksperiment.

  1. 1. Søk etter matematiske mønstre i naturen.

Matematiske mønstre kan søkes både i levende og livløs natur.

I tillegg er det nødvendig å bestemme hvilke mønstre du skal se etter.

Siden det ikke ble studert mange mønstre i sjette klasse, måtte jeg studere videregående lærebøker. I tillegg måtte jeg ta hensyn til at naturen veldig ofte bruker geometriske mønstre. Derfor, i tillegg til algebra-lærebøker, måtte jeg rette oppmerksomheten mot geometri-lærebøker.

Matematiske mønstre funnet i naturen:

  1. Gyldent snitt. Fibonacci-tall (Archimedes-spiral). Samt andre typer spiraler.
  2. Ulike typer symmetri: sentral, aksial, roterende. Samt symmetri i livlig og livløs natur.
  3. Vinkler og geometriske former.
  4. Fraktaler. Begrepet fraktal er avledet fra latin fraktus (bryte, bryte), dvs. lage fragmenter av uregelmessig form.
  5. Aritmetikk og progresjonsgeometri.

La oss vurdere mer detaljert de identifiserte regelmessighetene, men i en litt annen rekkefølge.

Det første som fanger øyet er tilstedeværelsen symmetri Oversatt fra gresk betyr dette ordet "proporsjonalitet, proporsjonalitet, ensartethet i arrangementet av deler." En matematisk streng idé om symmetri ble dannet relativt nylig - på 1800-tallet. I den enkleste tolkningen (ifølge G. Weyl) ser den moderne definisjonen av symmetri slik ut: et objekt kalles symmetrisk hvis det på en eller annen måte kan endres, noe som resulterer i det samme som det startet med. .

I naturen er to typer symmetri mest vanlig - "speil" og "radial" ("radial") symmetri. Men i tillegg til ett navn har disse typene symmetri andre. Så speilsymmetri kalles også: aksial, bilateral, bladsymmetri. Radiell symmetri kalles også radiell.

Aksial symmetri mest vanlig i vår verden. Hus, ulike enheter, biler (eksternt), mennesker (!) Alt er symmetrisk, vel, eller nesten. Folk er symmetriske ved at alle friske mennesker har to hender, fem fingre på hver hånd, hvis håndflatene er brettet vil det være som et speilbilde.

Å sjekke symmetri er veldig enkelt. Det er nok å ta et speil og plassere det omtrent midt på objektet. Hvis den delen av objektet som er på den matte, ikke-reflekterende siden av speilet tilsvarer refleksjon, så er objektet symmetrisk.

Radiell symmetri .Alt som vokser eller beveger seg vertikalt, dvs. opp eller ned i forhold til jordoverflaten, underlagt radialstrålesymmetri.

Bladene og blomstene til mange planter har radiell symmetri. (Fig. 1, applikasjoner)

På tverrsnittene av vevene som danner roten eller stammen til en plante, er radiell symmetri tydelig synlig (kiwifrukt, trekuttet). Radiell symmetri er karakteristisk for stillesittende og festede former (koraller, hydra, maneter, sjøanemoner). (Fig. 2, applikasjoner)

Rotasjonssymmetri . Rotasjon med et visst antall grader, ledsaget av translasjon til en avstand langs rotasjonsaksen, genererer spiralformet symmetri - symmetrien til en spiraltrapp. Et eksempel på spiralformet symmetri er arrangementet av blader på stilken til mange planter. Hodet på en solsikke har prosesser arrangert i geometriske spiraler som slapper av fra midten og utover. (Fig. 3, applikasjoner)

Symmetri finnes ikke bare i dyrelivet. I livløs natur det finnes også eksempler på symmetri. Symmetri manifesterer seg i de ulike strukturene og fenomenene i den uorganiske verden. Symmetrien til den ytre formen til en krystall er en konsekvens av dens indre symmetri - det ordnede gjensidige arrangementet av atomer (molekyler) i rommet.

Symmetrien til snøfnuggene er veldig vakker.

Men det må sies at naturen ikke tåler eksakt symmetri. Det er alltid minst mindre avvik. Så, våre hender, føtter, øyne og ører er ikke helt identiske med hverandre, selv om de er veldig like.

Gyldent snitt.

Det gylne snitt i 6. klasse er ikke bestått nå. Men det er kjent at det gylne snitt, eller det gyldne snitt, er forholdet mellom den mindre delen og den større, som gir samme resultat når man deler hele segmentet i en større del og deler den større delen i en mindre. Formel: A/B=B/C

I utgangspunktet er forholdet 1/1,618. Det gylne snitt er svært vanlig i dyreriket.

En person, kan man si, "består" fullstendig av det gylne snitt. For eksempel er avstanden mellom øynene (1.618) og mellom øyenbrynene (1) det gylne snitt. Og avstanden fra navlen til foten og høyden vil også være det gylne snitt. Hele kroppen vår er "strødd" med gylne proporsjoner. (Fig. 5, applikasjoner)

Vinkler og geometriske former er også vanlige i naturen. Det er merkbare hjørner, for eksempel er de tydelig synlige i solsikkefrø, i honningkaker, på insektvinger, i lønneblader, etc. Vannmolekylet har en vinkel på 104,7 0 C. Men det er også subtile vinkler. For eksempel, I blomsterstanden til en solsikke, er frøene plassert i en vinkel på 137,5 grader fra midten.

Geometriske figurer de så også alt i livlig og livløs natur, tok bare lite hensyn til dem. Som du vet, er en regnbue en del av en ellipse, hvis sentrum er under bakkenivå. Bladene til planter, fruktene av plommer har form av en ellipse. Selv om de sikkert kan beregnes ved hjelp av en mer kompleks formel. For eksempel slik (fig. 6, applikasjoner):

Gran, noen typer skjell, ulike kongler er kjegleformede. Noen blomsterstander ser ut som enten en pyramide eller et oktaeder, eller den samme kjeglen.

Den mest kjente naturlige sekskanten er honningkaker (bi, veps, humle, etc.). I motsetning til mange andre former har de en nesten perfekt form og skiller seg bare i størrelsen på cellene. Men hvis du er oppmerksom, er det merkbart at de fasetterte øynene til insekter også er nær denne formen.

Grankongler ligner veldig på små sylindre.

I livløs natur er det nesten umulig å finne ideelle geometriske former, men mange fjell ser ut som pyramider med forskjellige baser, og en sandspytt ligner en ellipse.

Og det er mange slike eksempler.

Jeg har allerede vurdert det gylne snitt. Nå vil jeg rette oppmerksomheten mot Fibonacci-tall og andre spiraler, som er nært knyttet til det gylne snitt.

Spiraler er svært vanlige i naturen. Formen på det spiralkrøllede skallet tiltrakk seg oppmerksomheten til Arkimedes (fig. 2). Han studerte det og utledet spiralens ligning. Spiralen tegnet i henhold til denne ligningen kalles ved hans navn. Økningen i trinnet hennes er alltid jevn. For tiden er Archimedes-spiralen mye brukt i ingeniørfag. (Fig.7-applikasjon)

"Gylne" spiraler er utbredt i den biologiske verden. Som nevnt ovenfor vokser dyrehorn bare fra den ene enden. Denne veksten utføres i en logaritmisk spiral. I boken «Crooked Lines in Life» utforsker T. Cook ulike typer spiraler som dukker opp i hornene til værer, geiter, antiloper og andre horndyr.

Spiral- og spiralarrangementet av blader på tregrener ble lagt merke til for lenge siden. Spiralen ble sett i arrangementet av solsikkefrø, i kongler, ananas, kaktus, etc. Botanikernes og matematikernes felles arbeid har kastet lys over disse fantastiske naturfenomenene. Det viste seg at i arrangementet av blader på en gren - phyllotaxis, solsikkefrø, furukongler, manifesterer Fibonacci-serien seg, og derfor manifesterer loven om det gylne snitt seg. Edderkoppen spinner nettet sitt i et spiralmønster. En orkan er i spiral. En skremt reinflokk sprer seg i en spiral.

Og til slutt, informasjonsbærere - DNA-molekyler - er også vridd inn i en spiral. Goethe kalte spiralen «livets kurve».

Skalaene til en kongle på overflaten er ordnet på en strengt regelmessig måte - langs to spiraler som krysser omtrent i rett vinkel.

La oss imidlertid gå tilbake til en valgt spiral - Fibonacci-tallene. Dette er veldig interessante tall. Tallet fås ved å legge til de to foregående. Her er de første Fibonacci-tallene for 144: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Og la oss gå til illustrerende eksempler (lysbilde 14).

fraktalerble åpnet for ikke lenge siden. Konseptet med fraktal geometri dukket opp på 70-tallet av det 20. århundre. Nå har fraktaler aktivt kommet inn i livene våre, og til og med en retning som fraktalgrafikk utvikler seg. (Fig. 8, applikasjoner)

Fraktaler er ganske vanlige i naturen. Imidlertid er dette fenomenet mer typisk for planter og livløs natur. For eksempel bregneblader, paraplyblomsterstander. I den livløse naturen er dette lynnedslag, mønstre på vinduer, snø som fester seg til tregrener, kystlinjeelementer og mye mer.

Geometrisk progresjon.

En geometrisk progresjon i sin mest elementære definisjon er multiplikasjonen av det forrige tallet med en koeffisient.

Denne progresjonen er tilstede i encellede organismer. For eksempel er enhver celle delt i to, disse to er delt i fire, og så videre. Det vil si at det er en geometrisk progresjon med en koeffisient på 2. Og forenklet sett øker antallet celler med hver deling med 2 ganger.

Bakterier er akkurat det samme. Divisjon, dobling av folketallet.

Dermed studerte jeg de matematiske mønstrene som finnes i naturen, og ga relevante eksempler.

Det skal bemerkes at for øyeblikket studeres matematiske lover i naturen aktivt, og det er til og med en vitenskap som kalles biosymmetri. Den beskriver mye mer komplekse mønstre enn det som ble vurdert i arbeidet.

Gjennomføring av et vitenskapelig eksperiment.

Begrunnelse for valget:

Katten ble valgt som forsøksdyr av flere grunner:

Jeg har en katt hjemme;

Jeg har fire av dem hjemme, så de innhentede dataene bør være mer nøyaktige enn når man studerer ett dyr.

Eksperimentsekvens:

Måling av kattens kropp.

Registrering av oppnådde resultater;

Søk etter matematiske mønstre.

Konklusjoner på de oppnådde resultatene.

Liste over ting å studere på en katt:

  • Symmetri;
  • gyldent snitt;
  • Spiraler;
  • hjørner;
  • fraktaler;
  • Geometrisk progresjon.

Studiet av symmetri på eksemplet med en katt viste at en katt er symmetrisk. Symmetritypen er aksial, dvs. den er symmetrisk om aksen. Som ble studert i det teoretiske materialet, for en katt, som for et mobilt dyr, er radiell, sentral og også rotasjonssymmetri ukarakteristiske.

For å studere det gylne snitt tok jeg mål av kattens kropp, fotograferte den. Forholdet mellom størrelsen på kroppen med en hale og uten en hale, kroppen uten en hale til hodet kommer virkelig nær verdien av det gylne snitt.

65/39=1,67

39/24=1,625

I dette tilfellet er det nødvendig å ta hensyn til målefeilen, relativiteten til lengden på ullen. Men i alle fall er de oppnådde resultatene nær verdien på 1,618. (Fig. 9, vedlegg).

Katten ønsket hardnakket ikke å la henne måles, så jeg prøvde å fotografere henne, kompilerte en gyllent snittskala og la den over på fotografier av katter. Noen av resultatene er veldig interessante.

For eksempel:

  • høyden på den sittende katten fra gulvet til hodet, og fra hodet til "armhulen";
  • "karpal" og "albue ledd";
  • høyden på den sittende katten til høyden på hodet;
  • bredden på snuten til bredden på neseryggen;
  • snutehøyde til øyehøyde;
  • nesebredde til neseborbredde;

Jeg fant bare en spiral i en katt - disse er klør. En lignende spiral kalles en involutt.

I kroppen til en katt kan du finne ulike geometriske former, men jeg lette etter vinkler. Bare ørene og klørne var kantete. Men klør, som jeg definerte tidligere, er spiraler. Formen på ørene er mer som en pyramide.

Søket etter fraktaler på kroppen til en katt ga ingen resultater, siden den ikke har noe lignende og deler seg i de samme små detaljene. Likevel er fraktaler mer typiske for planter enn for dyr, spesielt pattedyr.

Men etter å ha reflektert over dette problemet, kom jeg til den konklusjon at det er fraktaler i kroppen til en katt, men i den indre strukturen. Siden jeg ennå ikke har studert biologien til pattedyr, vendte jeg meg til Internett og fant følgende tegninger (fig. 10, vedlegg):

Takket være dem var jeg overbevist om at sirkulasjons- og luftveiene til en katt forgrener seg i henhold til loven om fraktaler.

Geometrisk progresjon er karakteristisk for reproduksjonsprosessen, men ikke for kroppen. En aritmetisk progresjon er ikke typisk for katter, siden en katt føder et visst antall kattunger. En geometrisk progresjon i kattreproduksjon kan sannsynligvis bli funnet, men mest sannsynlig vil det være noen komplekse koeffisienter. Jeg vil forklare mine tanker.

Katten begynner å føde kattunger i en alder av 9 måneder til 2 år (alt avhenger av katten selv). Svangerskapsperioden er 64 dager. En katt pleier kattunger i ca. 3 måneder, så i gjennomsnitt vil hun ha 4 kull per år. Antall kattunger er fra 3 til 7. Som du kan se kan visse mønstre fanges opp, men dette er ikke en geometrisk progresjon. For uskarpe innstillinger.

Jeg fikk resultater som dette:

I kroppen til en katt er det: aksial symmetri, det gyldne forhold, spiraler (klør), geometriske former (pyramideformede ører).

I utseende er det ingen fraktaler og geometrisk progresjon.

Den indre strukturen til en katt er mer relatert til biologifeltet, men det bør bemerkes at strukturen til lungene og sirkulasjonssystemet (så vel som andre dyr) adlyder logikken til fraktaler.

Konklusjon

I arbeidet mitt undersøkte jeg litteraturen om temaet og studerte de viktigste teoretiske problemstillingene. På et spesifikt eksempel beviste han at i naturen adlyder mye, om ikke alt, matematiske lover.

Etter å ha studert materialet, innså jeg at for å forstå naturen, må du ikke bare vite matematikk, du må studere algebra, geometri og deres seksjoner: stereometri, trigonometri, etc.

På eksemplet med en huskatt, undersøkte jeg utførelsen av matematiske lover. Som et resultat fikk jeg at i kroppen til en katt er det aksial symmetri, det gylne snitt, spiraler, geometriske former, fraktaler (i den indre strukturen). Men samtidig kunne han ikke finne en geometrisk progresjon, selv om visse mønstre tydelig ble sporet i reproduksjonen av katter.

Og nå er jeg enig i setningen: "Naturen er ikke så dum at den ikke underordner alt matematikkens lover."

Noen ganger ser det ut til at vår verden er enkel og klar. Faktisk er dette universets store mysterium som skapte en så perfekt planet. Eller kanskje den er laget av noen som sannsynligvis vet hva han gjør? Vår tids største hjerner jobber med dette spørsmålet.

Hver gang kommer de til den konklusjon at det er umulig å skape alt vi har uten det høyere sinnet. For en ekstraordinær, kompleks og samtidig enkel og direkte vår planet Jorden! Verden rundt oss er fantastisk med sine regler, former, farger.

Naturlover

Det første du kan ta hensyn til på vår enorme og fantastiske planet er at hun finnes i alle former for verden rundt, og er også hovedprinsippet for skjønnhet, idealitet og proporsjonalitet. Dette er ingenting annet enn matematikk i naturen.

Konseptet "symmetri" betyr harmoni, korrekthet. Dette er en egenskap ved den omgivende virkeligheten, som systematiserer fragmenter og gjør dem til en enkelt helhet. Selv i antikkens Hellas begynte tegn på denne loven å bli lagt merke til for første gang. For eksempel mente Platon at skjønnhet vises utelukkende som et resultat av symmetri og proporsjonalitet. Faktisk, hvis vi ser på ting som er proporsjonale, regelmessige og komplette, vil vår indre tilstand være vakker.

Matematikkens lover i livlig og livløs natur

La oss ta en titt på enhver skapning, for eksempel den mest perfekte - en mann. Vi vil se strukturen til kroppen, som ser lik ut på begge sider. Du kan også liste opp mange prøver, for eksempel insekter, dyr, marint liv, fugler. Hver art har sin egen farge.

Hvis noe mønster eller mønster er til stede, er det kjent at det speiles rundt midtlinjen. Alle organismer er skapt på grunn av universets regler. Slike matematiske regelmessigheter kan også spores i den livløse naturen.

Hvis du tar hensyn til alle fenomener, som en tornado, en regnbue, planter, snøflak, kan du finne mye til felles i dem. Relativt sett er bladet på treet delt i to, og hver del vil være en refleksjon av den forrige.

Selv om vi som eksempel tar en tornado som reiser seg vertikalt og ser ut som en trakt, så kan den også betinget deles inn i to helt like halvdeler. Du kan møte fenomenet symmetri i skifte av dag og natt, årstidene. Lovene i omverdenen er matematikk i naturen, som har sitt eget perfekte system. Hele konseptet med skapelsen av universet er basert på det.

Regnbue

Vi tenker sjelden på naturfenomener. Det begynte å snø eller regne, solen kom frem eller tordenen slo ned - den vanlige tilstanden med skiftende vær. Tenk på en flerfarget bue som vanligvis kan bli funnet etter nedbør. En regnbue på himmelen er et fantastisk naturfenomen, ledsaget av et spekter av alle farger som bare er synlig for det menneskelige øyet. Dette skjer på grunn av passasjen av solstrålene gjennom den utgående skyen. Hver regndråpe fungerer som et prisme som har optiske egenskaper. Vi kan si at enhver dråpe er en liten regnbue.

Når de passerer gjennom en vannbarriere, endrer strålene sin opprinnelige farge. Hver lysstrøm har en viss lengde og nyanse. Derfor oppfatter øyet vårt regnbuen som en så flerfarget en. Legg merke til det interessante faktum at dette fenomenet bare kan sees av en person. For det er bare en illusjon.

typer regnbue

  1. En regnbue dannet av solen er den vanligste. Det er den lyseste av alle varianter. Består av syv primærfarger: rød oransje, gul, grønn, blå, indigo, fiolett. Men hvis du ser på detaljene, er det mye flere nyanser enn øynene våre kan se.
  2. En regnbue skapt av månen oppstår om natten. Det antas at det alltid kan sees. Men som praksis viser, observeres i utgangspunktet dette fenomenet bare i regnfulle områder eller i nærheten av store fossefall. Fargene på månens regnbue er veldig matte. De er bestemt til å bli vurdert bare ved hjelp av spesialutstyr. Men selv med det, er øyet vårt i stand til å skille ut bare en stripe av hvitt.
  3. Regnbuen, som dukket opp som et resultat av tåke, er som en bred skinnende lysbue. Noen ganger forveksles denne typen med den forrige. Ovenfra kan fargen være oransje, nedenfra kan den ha en nyanse av lilla. Solens stråler, som passerer gjennom tåken, danner et vakkert naturfenomen.
  4. forekommer sjelden på himmelen. Den ligner ikke den forrige arten i sin horisontale form. fenomenet er bare mulig over cirrusskyer. De strekker seg vanligvis i en høyde på 8-10 kilometer. Vinkelen som regnbuen vil vise seg i all sin prakt må være mer enn 58 grader. Fargene forblir vanligvis de samme som i solregnbuen.

Gyldent snitt (1,618)

Ideell andel finnes oftest i dyreverdenen. De tildeles en slik andel, som er lik roten av det tilsvarende antallet PHI til en. Dette forholdet er koblingsfaktumet til alle dyr på planeten. Antikkens store sinn kalte dette tallet den guddommelige proporsjonen. Det kan også kalles det gylne snitt.

Denne regelen er helt i samsvar med harmonien i den menneskelige strukturen. For eksempel, hvis du bestemmer avstanden mellom øynene og øyenbrynene, vil den være lik den guddommelige konstanten.

Det gylne snitt er et eksempel på hvor viktig matematikk er i naturen, loven som designere, kunstnere, arkitekter, skapere av vakre og perfekte ting begynte å følge. De skaper ved hjelp av den guddommelige konstanten sine kreasjoner, som er balanserte, harmoniske og behagelige å se på. Vårt sinn er i stand til å vurdere vakre ting, gjenstander, fenomener, hvor det er et ulikt forhold mellom deler. Proporsjonalitet er det hjernen vår kaller det gylne snitt.

DNA-helix

Som den tyske forskeren Hugo Weil med rette bemerket, kom røttene til symmetri gjennom matematikk. Mange la merke til perfeksjonen til geometriske figurer og ga oppmerksomhet til dem. For eksempel er en honningkake ikke noe mer enn en sekskant skapt av naturen selv. Du kan også ta hensyn til konglene av gran, som har en sylindrisk form. Også i verden rundt finnes ofte en spiral: horn av store og små husdyr, bløtdyrskjell, DNA-molekyler.

Laget etter prinsippet om det gylne snitt. Det er en kobling mellom skjemaet til den materielle kroppen og dens virkelige bilde. Og hvis vi vurderer hjernen, så er den ikke noe mer enn en leder mellom kropp og sinn. Intellektet forbinder livet og formen for dets manifestasjon og lar livet i formen kjenne seg selv. Ved hjelp av dette kan menneskeheten forstå den omkringliggende planeten, se etter mønstre i den, som deretter brukes til studiet av den indre verden.

splittelse i naturen

Cellemitose består av fire faser:

  • Profase. Det øker kjernen. Kromosomer vises, som begynner å vri seg til en spiral og blir til sin vanlige form. Det dannes et sted for celledeling. På slutten av fasen oppløses kjernen og dens membran, og kromosomene strømmer inn i cytoplasmaet. Dette er den lengste divisjonsfasen.
  • metafase. Her slutter vridningen til en spiral av kromosomer, de danner en metafaseplate. Kromatidene stiller opp overfor hverandre som forberedelse til deling. Mellom dem er det et sted for frakobling - en spindel. Det er her den andre etappen slutter.

  • Anafase. Kromatidene beveger seg i motsatte retninger. Nå har cellen to sett med kromosomer på grunn av deres deling. Dette stadiet er veldig kort.
  • Telofase. I hver halvdel av cellen dannes det en kjerne, inne i hvilken kjernen dannes. Cytoplasmaet er aktivt dissosiert. Spindelen forsvinner gradvis.

Betydningen av mitose

På grunn av den unike delingsmetoden har hver påfølgende celle etter reproduksjon samme sammensetning av gener som sin mor. Sammensetningen av kromosomene til begge cellene mottar det samme. Det klarte seg ikke uten en slik vitenskap som geometri. Progresjon i mitose er viktig fordi alle celler formerer seg etter dette prinsippet.

Hvor kommer mutasjoner fra

Denne prosessen garanterer et konstant sett med kromosomer og genetiske materialer i hver celle. På grunn av mitose oppstår utviklingen av organismen, reproduksjon, regenerering. I tilfelle et brudd på grunn av virkningen av noen giftstoffer, kan det hende at kromosomene ikke spres i deres halvdeler, eller de kan observeres strukturelle forstyrrelser. Dette vil være en klar indikator på begynnende mutasjoner.

Oppsummering

Hva har matematikk og natur til felles? Du finner svaret på dette spørsmålet i artikkelen vår. Og hvis du graver dypere, må du si at ved hjelp av å studere verden rundt deg, blir en person kjent med seg selv. Uten Skaperen av alt levende, kunne det ikke vært noe. Naturen er utelukkende i harmoni, i en streng rekkefølge av dens lover. Er alt dette mulig uten grunn?

La oss sitere uttalelsen til vitenskapsmannen, filosofen, matematikeren og fysikeren Henri Poincaré, som, som ingen andre, vil være i stand til å svare på spørsmålet om matematikk er grunnleggende av natur. Noen materialister liker kanskje ikke slike resonnementer, men de vil neppe kunne tilbakevise det. Poincaré sier at harmonien som menneskesinnet ønsker å oppdage i naturen ikke kan eksistere utenfor den. som er tilstede i hodet til minst noen få individer, kan være tilgjengelig for hele menneskeheten. Forbindelsen som samler mental aktivitet kalles verdens harmoni. Den siste tiden har det vært en enorm fremgang på veien til en slik prosess, men de er svært små. Disse koblingene som forbinder universet og individet bør være verdifulle for ethvert menneskesinn som er følsomt for disse prosessene.

Introduksjon. 2

Kapittel 1. Matematiske mønstre av levende natur. 3

Kapittel 2. Prinsipper for forming i naturen 5

kapittel 3

Kapittel 4. Escher's Geometric Rhapsody. femten

Kapittel 5

Liste over brukt litteratur. tjue

Introduksjon.

Fra et overfladisk bekjentskap med matematikk kan det virke som en uforståelig labyrint av formler, numeriske avhengigheter og logiske veier. Tilfeldige besøkende som ikke kjenner den sanne verdien av matematiske skatter blir skremt av det tørre opplegget med matematiske abstraksjoner, som matematikeren ser den levende flerfargede virkeligheten gjennom.

Den som forsto matematikkens vidunderlige verden forblir ikke bare en entusiastisk betrakter av dens skatter. Selv søker han å lage nye matematiske objekter, på jakt etter måter å løse nye problemer på, eller nye, mer avanserte løsninger på allerede løste problemer. Mer enn 300 bevis på Pythagorean-setningen, dusinvis av ikke-klassiske sirkelkvadraturer, vinkeltriseksjoner og kubedoblinger er allerede funnet og publisert.

Men rastløs nysgjerrighet fører til nye søk. Samtidig, enda mer enn selve resultatet, tiltrekker søket etter det. Dette er naturlig. Tross alt er veien til å løse hvert tilstrekkelig meningsfylt problem alltid en fantastisk kjede av slutninger, sementert av logikkens lov.

Matematisk kreativitet er sinnets sanne kreativitet. Her er hva den sovjetiske matematikeren G.D. Suvorov skrev: «Setningen, nedskrevet logisk feilfritt, ser virkelig ut til å være blottet for enhver poetisk begynnelse og virker ikke som frukten av en brennende fantasi, men et dystert barn av morslogikk. Men ingen vet, bortsett fra vitenskapsmannen, hvilken virvelvind av fantasier og poetiske oppsving som faktisk ga opphav til dette teoremet. Tross alt var hun en bevinget, eksotisk sommerfugl før hun ble fanget, sovnet av logikk og festet til papiret med prøvenåler!". Det er naturlig at i deres memoarer K.F. Gauss, A. Poincaré, J. Hadamard, A.N. for dem var veier inn i det ukjente. Fordi de skulle til disse løsningene for første gang, og matematikken ga dem det fulle mål av gleden til oppdagerne.

I noen problemer, blant de mange veiene til svaret, er det en, den mest uventede, ofte nøye "kamuflert" og som regel den vakreste og mest attraktive. Stor lykke å finne den og gå gjennom den. Jakten på slike løsninger, evnen til å gå utover evnene til allerede kjente algoritmer er en ekte estetisk matematisk kreativitet.
^

Kapittel 1. Matematiske mønstre av levende natur.

Dyrelivet viser mange symmetriske former for organismer. I mange tilfeller er den symmetriske formen til organismen supplert med fargerike symmetriske farger.

En liten bjørkesvite som knapt når 4 mm, kan selvfølgelig ikke høyere matematikk. Men når han lager en vugge til avkommet sitt, "tegner", eller rettere sagt skjærer han ut på et blad av et tre en evolute - en kurve, som er et sett med sentre med bladkrumning. Kanten på selve bladet vil være uvoldig i forhold til kurven kuttet av snutebillen.


Arkitekturen til honeycomb-cellen er underlagt komplekse geometriske mønstre.


Teoretiske kurver og fasekurve for fluktuasjoner i antall bestander i aggregatet av to interagerende arter (biocenose) "rovdyr-byttedyr".

Vito Voltaire (1860-1940) var en fremragende italiensk matematiker. Han bygde en teori om dynamikken i antall biologiske populasjoner,

der han brukte metoden for differensialligninger.

Som de fleste matematiske modeller av biologiske fenomener, kommer det fra mange forenklede antakelser.

PÅ hopping, massesenteret til dyr beskriver en velkjent figur - en firkantet parabel, hvis grener er vendt nedover: y=ax 2 , a>1, a

Konturene av bladene til mange planter er vakre. Formene deres er med stor nøyaktighet beskrevet av elegante ligninger i et polart eller kartesisk koordinatsystem.

^

Kapittel 2

Alt som tok en eller annen form dannet seg, vokste, strebet etter å ta plass i rommet og bevare seg selv. Denne ambisjonen finner oppfyllelse hovedsakelig i to varianter - vekst oppover eller spredning over jordens overflate og vridning i en spiral.

Skallet er vridd i en spiral. Bretter du den ut får du en lengde som er litt dårligere enn lengden på slangen. Et lite ti-centimeters skall har en spiral på 35 cm.Spiraler er svært vanlig i naturen.

Formen på det spiralkrøllede skallet tiltrakk seg oppmerksomheten til Archimedes. Han studerte det og utledet spiralens ligning. Spiralen tegnet i henhold til denne ligningen kalles ved hans navn. Økningen i trinnet hennes er alltid jevn. For tiden er Archimedes-spiralen mye brukt i ingeniørfag.

Selv Goethe la vekt på naturens tendens til spiralitet. Spiral- og spiralarrangementet av blader på tregrener ble lagt merke til for lenge siden. Spiralen ble sett i arrangementet av solsikkefrø, i kongler, ananas, kaktus, etc. Edderkoppen spinner nettet sitt i et spiralmønster. En orkan er i spiral. En skremt reinflokk sprer seg i en spiral. DNA-molekylet er vridd inn i en dobbel helix. Goethe kalte spiralen «livets kurve».

Skallet til Nautilus, Haliotis og andre bløtdyr dannes i form av en logaritmisk spiral: p=ae b φ .

Blader på unge skudd av planter er ordnet i en romlig spiral. Og ser på dem ovenfra, finner vi en andre spiral, siden de fortsatt er plassert for ikke å forstyrre hverandre for å oppfatte sollys. Avstandene mellom individuelle blader er preget av tallene til Fibonacci-serien: 1,1,2,3,5,8,…,u n , u n +1 ,…, hvor u n =u n -1 +u n -2.


I en solsikke er frøene ordnet langs karakteristiske buer nær to familier av logaritmiske spiraler.

Naturen foretrakk den logaritmiske spiralen på grunn av de mange fantastiske egenskapene til denne kurven. For eksempel endres det ikke under en likhetstransformasjon.

Derfor trenger ikke kroppen å gjenoppbygge arkitekturen til kroppen sin i vekstprosessen.

Et slående eksempel på asymmetrien til levende ting på submolekylært nivå er den sekundære formen av de materielle bærerne av arvelig informasjon - den doble helixen til DNA-kjempemolekylet. Men DNA er allerede en helix viklet rundt nukleosomet, det er en dobbel helix. Livet oppstår i en subtil, utrolig presis prosess med å realisere planene til naturarkitekten, i henhold til hvilke proteinmolekyler er bygget.

Edderkoppen vever fellen sin i form av en kompleks transcendental kurve - en logaritmisk spiral p=ae b φ

^

kapittel 3

En person skiller gjenstander rundt seg etter form. Interesse i form av et objekt kan være diktert av vital nødvendighet, eller det kan være forårsaket av skjønnheten i formen. Formen, som er basert på en kombinasjon av symmetri og det gylne snitt, bidrar til den beste visuelle oppfatningen og fremtoningen av en følelse av skjønnhet og harmoni. Helheten består alltid av deler, deler av ulik størrelse står i et visst forhold til hverandre og til helheten. Prinsippet til det gylne snitt er den høyeste manifestasjonen av den strukturelle og funksjonelle perfeksjonen av helheten og dens deler i kunst, vitenskap, teknologi og natur.

I matematikk er proporsjon (latin proportio) likheten mellom to forhold: a: b = c: d.

Linjesegment AB kan deles inn i to deler på følgende måter:


  • i to like deler - AB: AC = AB: BC;

  • i to ulike deler i alle forhold (slike deler danner ikke proporsjoner);

  • altså når AB: AC = AC: BC.
Sistnevnte er den gylne inndelingen eller inndelingen av segmentet i ekstrem- og gjennomsnittsforhold.

^ Gyldent snitt- dette er en slik proporsjonal inndeling av segmentet i ulik deler, der hele segmentet forholder seg til den større delen på samme måte som den større delen selv forholder seg til den mindre; eller med andre ord, det mindre segmentet er relatert til det større som det større er til alt

a: b = b: c eller c: b = b: a.

Geometrisk representasjon av det gylne snitt

P Et praktisk bekjentskap med det gylne snitt begynner med å dele et rett linjesegment i det gyldne snitt ved hjelp av et kompass og linjal. Inndeling av et linjestykke i henhold til det gylne snitt. BC = 1/2 AB; CD=BC

Fra punkt B gjenopprettes en perpendikulær lik halve AB. Det resulterende punktet C er forbundet med en linje til punktet A. På den resulterende linjen er det plottet et linjestykke BC, som slutter med punkt D. Segmentet AD overføres til den rette linjen AB. Det resulterende punktet E deler segmentet AB i forholdet til det gylne snitt.

Segmenter av det gylne snitt uttrykkes som en uendelig irrasjonell brøk AE \u003d 0,618 ..., hvis AB tas som en enhet, BE \u003d 0,382 ... For praktiske formål, omtrentlige verdier på 0,62 og 0,38 brukes ofte. Hvis segmentet AB tas som 100 deler, er den største delen av segmentet 62, og den minste er 38 deler.

Egenskapene til det gylne snitt er beskrevet av ligningen:

x 2 - x - 1 \u003d 0.

Løsning på denne ligningen:

Egenskapene til det gylne snitt skapte en romantisk aura av mystikk og nesten mystisk tilbedelse rundt dette nummeret.
^ Historien om det gylne snitt
Det er generelt akseptert at konseptet med den gylne inndelingen ble introdusert i vitenskapelig bruk av Pythagoras, en gammel gresk filosof og matematiker (VI århundre f.Kr.). Det er en antagelse om at Pythagoras lånte sin kunnskap om den gylne divisjonen fra egypterne og babylonerne. Faktisk indikerer proporsjonene til Cheops-pyramiden, templene, basrelieffer, husholdningsartikler og dekorasjoner fra graven til Tutankhamun at de egyptiske håndverkerne brukte forholdene til den gylne divisjonen når de laget dem. Den franske arkitekten Le Corbusier fant at i relieffet fra tempelet til farao Seti I i Abydos og i relieffet som viser farao Ramses, samsvarer proporsjonene av figurene med verdiene til den gylne inndelingen. Arkitekten Khesira, avbildet på et relieff av en treplate fra graven til navnet hans, holder måleinstrumenter i hendene, der proporsjonene til den gyldne inndelingen er fastsatt.

Grekerne var dyktige geometre. Til og med aritmetikk ble lært til barna deres ved hjelp av geometriske figurer. Kvadraten til Pythagoras og diagonalen til denne firkanten var grunnlaget for å konstruere dynamiske rektangler.

^ Dynamiske rektangler

Platon (427...347 f.Kr.) visste også om den gylne inndelingen. Dialogen hans "Timaeus" er viet de matematiske og estetiske synspunktene til Pythagoras-skolen og spesielt spørsmålene om den gylne divisjonen.

I fasaden til det gamle greske tempelet til Parthenon er det gylne proporsjoner. Under utgravningene ble det funnet kompasser som ble brukt av arkitekter og skulptører fra den antikke verden. Det pompeianske kompasset (museet i Napoli) inneholder også proporsjonene til den gylne inndelingen.

I den antikke litteraturen som har kommet ned til oss, ble den gylne inndelingen først nevnt i Euklids elementer. I den 2. boken av "Begynnelsene" er det gitt en geometrisk konstruksjon av den gylne inndelingen. Etter Euclid, Hypsicles (II århundre f.Kr.), Pappus (III århundre e.Kr.) og andre var engasjert i studiet av den gylne inndelingen. I middelalderens Europa med den gylne inndelingen Vi møttes gjennom arabiske oversettelser av Euklids elementer. Oversetteren J. Campano fra Navarra (3. århundre) kommenterte oversettelsen. Hemmelighetene til den gylne divisjonen ble nidkjært bevoktet, holdt i streng hemmelighet. De var bare kjent for de innvidde.

Under renessansen økte interessen for den gyldne divisjonen blant forskere og kunstnere i forbindelse med bruken både i geometri og i kunst, spesielt innen arkitektur Leonardo da Vinci, en kunstner og vitenskapsmann, så at italienske kunstnere hadde stor empirisk erfaring, men lite kunnskap. . Han ble unnfanget og begynte å skrive en bok om geometri, men på den tiden dukket det opp en bok av munken Luca Pacioli, og Leonardo forlot ideen. I følge samtidige og vitenskapshistorikere var Luca Pacioli en ekte lysmann, den største matematikeren i Italia mellom Fibonacci og Galileo. Luca Pacioli var elev av kunstneren Piero della Francesca, som skrev to bøker, hvorav den ene het On Perspective in Painting. Han regnes som skaperen av beskrivende geometri.

Luca Pacioli var godt klar over vitenskapens betydning for kunsten. I 1496, på invitasjon fra hertugen av Moreau, kom han til Milano, hvor han foreleste om matematikk. Leonardo da Vinci jobbet også ved Moro-domstolen i Milano på den tiden. I 1509 ble Luca Paciolis guddommelige proporsjon utgitt i Venezia, med strålende utførte illustrasjoner, og det er grunnen til at de antas å være laget av Leonardo da Vinci. Boken var en entusiastisk salme til det gylne snitt. Blant de mange fordelene med det gyldne snitt, unnlot ikke munken Luca Pacioli å navngi dens "guddommelige essens" som et uttrykk for den guddommelige treenigheten av Gud Sønnen, Gud Faderen og Gud Den Hellige Ånd (det ble forstått at den lille segmentet er personifiseringen av Gud Sønnen, det større segmentet er personifiseringen av Gud Faderen, og hele segmentet - den hellige ånds gud).

Leonardo da Vinci ga også mye oppmerksomhet til studiet av den gylne divisjonen. Han laget seksjoner av en stereometrisk kropp dannet av vanlige femkanter, og hver gang fikk han rektangler med sideforhold i gylden inndeling. Derfor ga han denne inndelingen navnet på det gyldne snitt. Så det er fortsatt det mest populære.

Samtidig, i Nord-Europa, i Tyskland, jobbet Albrecht Dürer med de samme problemene. Han skisserer en introduksjon til det første utkastet til en avhandling om proporsjoner. Durer skriver. «Det er nødvendig at den som kan noe, lærer det til andre som trenger det. Dette er hva jeg satte meg for å gjøre."

Etter et av Dürers brev å dømme møtte han Luca Pacioli under oppholdet i Italia. Albrecht Dürer utvikler i detalj teorien om proporsjonene til menneskekroppen. Dürer tildelte det gylne snitt en viktig plass i forholdstallene hans. Høyden til en person er delt i gylne proporsjoner av beltelinjen, så vel som av linjen trukket gjennom tuppene av langfingrene på de senkede hendene, den nedre delen av ansiktet - av munnen, etc. Kjent proporsjonal kompass Dürer.

Stor astronom på 1500-tallet Johannes Kepler kalte det gylne snitt for en av geometriens skatter. Han er den første som trekker oppmerksomheten til betydningen av det gylne snitt for botanikk (plantevekst og struktur).

I de påfølgende århundrene ble regelen om det gylne snitt omgjort til en akademisk kanon, og da det over tid begynte en kamp i kunsten med den akademiske rutinen, i kampens hete, "kastet de barnet ut med vannet." Det gylne snitt ble "oppdaget" igjen på midten av 1800-tallet. I 1855 publiserte den tyske forskeren av det gylne snitt, professor Zeising, sitt verk Estetisk forskning. Med Zeising måtte akkurat det som skjedde skje med forskeren som vurderer fenomenet som sådan, uten sammenheng med andre fenomener. Han absolutterte andelen av det gyldne snitt, og erklærte det universelt for alle fenomener av natur og kunst. Zeising hadde mange tilhengere, men det var også motstandere som erklærte hans proporsjonsdoktrine for å være "matematisk estetikk".

^ Gylne proporsjoner i menneskefiguren
Zeising gjorde en god jobb. Han målte rundt to tusen menneskekropper og kom til den konklusjon at det gylne snitt uttrykker den gjennomsnittlige statistiske loven. Delingen av kroppen etter navlepunktet er den viktigste indikatoren på det gylne snitt. Andelene til den mannlige kroppen svinger innenfor gjennomsnittsforholdet 13: 8 = 1,625 og er noe nærmere det gyldne snitt enn proporsjonene til kvinnekroppen, i forhold til hvilken gjennomsnittsverdien av andelen er uttrykt i forholdet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfødt er andelen 1: 1, ved 13 års alder er den 1,6, og ved 21 år er den lik hannen. Proporsjonene til det gylne snittet manifesteres også i forhold til andre deler av kroppen - lengden på skulderen, underarmen og hånden, hånden og fingrene, etc.



^ Gylne proporsjoner i deler av menneskekroppen
På slutten av XIX - begynnelsen av XX århundrer. det dukket opp mange rent formalistiske teorier om bruken av det gylne snitt i kunstverk og arkitektur. Med utviklingen av design og teknisk estetikk utvidet loven om det gylne snitt seg til design av biler, møbler osv.

Blant urtene langs veien vokser en umerkelig plante - sikori. La oss se nærmere på det. En gren ble dannet fra hovedstammen. Her er det første bladet.

Sikori

Prosessen gjør et kraftig utkast ut i rommet, stopper, slipper ut et blad, men er allerede kortere enn det første, gjør igjen et utkast ut i rommet, men med mindre kraft, slipper ut et blad av enda mindre størrelse og utstøter igjen. Hvis den første uteliggeren tas som 100 enheter, er den andre lik 62 enheter, den tredje er 38, den fjerde er 24, og så videre. Lengden på kronbladene er også underlagt det gylne snitt. I vekst, erobringen av verdensrommet, beholdt planten visse proporsjoner. Dens vekstimpulser avtok gradvis i forhold til det gylne snitt.



^ viviparøs øgle

I øglen, ved første øyekast, fanges proporsjoner som er behagelige for øynene våre - lengden på halen er relatert til lengden på resten av kroppen som 62 til 38.

Naturen har utført inndelingen i symmetriske deler og gylne proporsjoner. I deler manifesteres en repetisjon av strukturen til helheten.
^ Fugleegg

Den store Goethe, en poet, naturforsker og kunstner (han malte og malte i akvarell), drømte om å skape en enhetlig doktrine om form, dannelse og transformasjon av organiske kropper.

Pierre Curie formulerte på begynnelsen av vårt århundre en rekke dyptgripende ideer om symmetri. Han hevdet at man ikke kan vurdere symmetrien til noen kropp uten å ta hensyn til miljøets symmetri.

Mønstrene til "gylden" symmetri manifesteres i energiovergangene til elementære partikler, i strukturen til noen kjemiske forbindelser, i planet- og romsystemer, i genstrukturene til levende organismer. Disse mønstrene, som angitt ovenfor, er i strukturen til individuelle organer til en person og kroppen som helhet, og er også manifestert i biorytmer og funksjonen til hjernen og visuell persepsjon.

Det gylne snitt kan ikke betraktes i seg selv, separat, uten sammenheng med symmetri. Den store russiske krystallografen G.V. Wulff (1863...1925) anså det gylne snitt for å være en av manifestasjonene av symmetri.

^

Kapittel 4. Escher's Geometric Rhapsody.




Den nederlandske kunstneren Maur Cornelius Escher (1898-1971) skapte en hel verden av visuelle bilder som avslører de grunnleggende ideene og mønstrene i matematikk, fysikk, de psykologiske egenskapene til menneskelig oppfatning av virkelighetsobjekter i det tredimensjonale rommet rundt oss.

Ubegrenset plass, speilbilder, motsetninger mellom flyet og rommet - alle disse konseptene er nedfelt i minneverdige, fulle av spesielle sjarmbilder. Øgler representerer visuelt geometriske representasjoner studert på videregående skole.

Ryttere gir en utmerket visuell representasjon av parallell overføring, symmetri, og fyller hele planet med figurer av kompleks konfigurasjon.

"Kube og magiske bånd". Belvedere-bånd - ikke bare -

virkelig magisk: en geometrisk vits, og en helhet

"Prominenser" på dem kan være et kompleks av overraskelser,

vurdere tegnet på både konveksitet generert av singulariteter og konkavitet. menneskelig oppfatning av objekter

Det er nok å endre synspunktet, i tredimensjonalt rom.

Hvordan blir båndene vridd?
Maurits Cornelius Escher har laget et unikt galleri med malerier som tilhører både kunst og vitenskap. De illustrerer Einsteins relativitetsteori, materiens struktur, geometriske transformasjoner, topologi, krystallografi og fysikk. Dette bevises av navnene på noen av artistens album: "Unlimited Space", "Mirror Images", "Inversions", "Polyhedrons", "Relativity", "Contradictions between Plane and Space", "Impossible Constructions".

"Jeg føler meg ofte nærmere matematikere enn mine medkunstnere," skrev Escher. Og faktisk er maleriene hans uvanlige, de er fylt med dyp filosofisk mening, de formidler komplekse matematiske forhold. Eschers reproduksjoner av malerier er mye brukt som illustrasjoner i vitenskapelige og faglitterære bøker.

^

Kapittel 5

Tallets natur  er et av matematikkens største mysterier. Intuisjon antydet at omkretsen av en sirkel og dens diameter er like forståelige størrelser.

Beregningen av hundrevis av desimaler  i løpet av de siste to århundrene har mange forskere vært engasjert i

I boken Nightmares of Eminent Persons skrev den berømte engelske matematikeren og filosofen Bertrand Russell: «Pis ansikt var skjult av en maske. Alle forsto at ingen kunne bryte den, mens de forble i live. Øyne så gjennomtrengende, hensynsløst, kaldt og mystisk gjennom spaltene på masken. Det kan være for patetisk å beskrive et matematisk konsept, men generelt sett er det sant. Faktisk er historien til tallet  spennende sider av den flere hundre år gamle seiersmarsjen for matematisk tanke, det utrettelige arbeidet til sannhetens oppdagere. Det var triumfer av seire langs denne veien, det var bitre nederlag, dramatiske kollisjoner og komiske misforståelser. Forskere har gjort en gigantisk jobb med å søke, og avslørte den aritmetiske naturen til et av de mest vanskelige, mystiske og populære tallene - tallet angitt med den greske bokstaven .

Sumero-babylonske matematikere beregnet omkretsen og arealet til en sirkel med tilnærminger som tilsvarer verdien =3, de visste også en mer nøyaktig tilnærming =3 1/8. Papyrusen til Rayna (Ahmes) sier at arealet av en sirkel er (8/9*2R) 2 =256/81R 2

Dette betyr at ≈3.1605….
Archimedes var den første som satte oppgaven med å beregne omkretsen og arealet til en sirkel på vitenskapelig grunnlag. Så, r =  > 48a 96 ≈3.1410>3 10/71

Forskeren beregnet den øvre grensen (3 1/7): 3 10/71≈3.14084... Den usbekiske matematikeren og astronomen al-Kashi, som jobbet ved det vitenskapelige senteret til den berømte matematikeren og astronomen Ulugbek, regnet ut tallet 2 med en nøyaktighet på 16 riktige desimaler: 2=6,283 185 307 179 5866.

Ved å doble antall sider av vanlige polygoner innskrevet i en sirkel, fikk han en polygon med 800 355 168 sider.

Den nederlandske matematikeren Ludolf Van Zeilen (1540-1610) regnet ut 35 desimaler  og testamenterte denne verdien på gravmonumentet sitt.

En av de vakreste kvadraturene i en sirkel, laget av den polske matematikeren A.A. Kochansky (1631-1700).

Alle konstruksjoner utføres med samme kompassåpning og fører raskt til en ganske god tilnærming av tallet.

Johann Heinrich Lambert (1728-1777) var en tysk matematiker, fysiker, astronom og filosof. Han tok et avgjørende skritt mot å nøste opp tallet . I 1766

han beviste irrasjonaliteten til tallet . Resultatet av å avsløre tallets hemmelighet  ble oppsummert av den tyske matematikeren Ferdinand Lindemann (1852-1939).

I 1882 han beviste at tallet  er transcendentalt. Dermed ble umuligheten av å kvadrere sirkelen i den klassiske formuleringen av dette problemet bevist.

Tilfeldige hendelser: de ble realisert ved å kaste en nål og hjalp også forskere med å beregne tallet  med ganske høy nøyaktighet.
Denne oppgaven ble først satt og utført av den franske naturforskeren Georges Louis Leclerc Buffon (1707-1788).

På samme måte fant den sveitsiske astronomen og matematikeren Rudolf Wolf (1816-1896), som et resultat av 5 tusen kast med en nål, at =3,1596.

Andre forskere fikk følgende resultater: med 3204 kast =3,1533; med 3408 kast =3,141593.

^

Liste over brukt litteratur.

1. Encyklopedisk ordbok for en ung matematiker

2. Vasiliev N.B., Gutenmakher V.L. Rette linjer og kurver. - M .: Nauka, 1976

3. Markushevich A.I. Bemerkelsesverdige kurver. - M., Nauka, 1978

4. Stroyk D.Ya. Kort oversikt over matematikkens historie. - M., Nauka, 1984

5. Glazer G.I. Historie om matematikk på skolen., M., Education, 1982

6. Gardner M. Matematiske mirakler og hemmeligheter. M., Mir. 1978


  1. Kovalev F.V. Gyldent snitt i maleri. K .: Vyscha skole, 1989.

  2. Kepler I. Om sekskantede snøfnugg. - M., 1982.

  3. Durer A. Dagbøker, brev, avhandlinger - L., M., 1957.

  4. Tsekov-Karandasj Ts. Om det andre gylne snittet. – Sofia, 1983.

  5. Stakhov A. Koder for det gylne snitt.