Finn egenverdier og egenvektorer til matriseeksempler. Matrisekarakteristisk ligning

SYSTEM AV HOMOGENE LINEÆRE LIGNINGER

Et system med homogene lineære ligninger er et formsystem

Det er klart at i dette tilfellet , fordi alle elementene i en av kolonnene i disse determinantene er lik null.

Siden de ukjente finnes av formlene , så i tilfellet når Δ ≠ 0, har systemet en unik nullløsning x = y = z= 0. Men i mange problemer er spørsmålet om et homogent system har andre løsninger enn null av interesse.

Teorem. For at et system med lineære homogene ligninger skal ha en løsning som ikke er null, er det nødvendig og tilstrekkelig at Δ ≠ 0.

Så hvis determinanten er Δ ≠ 0, så har systemet en unik løsning. Hvis Δ ≠ 0, så har systemet med lineære homogene ligninger et uendelig antall løsninger.

Eksempler.

Egenvektorer og matriseegenverdier

La det gis en kvadratisk matrise , X er en matrisekolonne hvis høyde sammenfaller med rekkefølgen til matrisen EN. .

I mange problemer må man vurdere ligningen for X

hvor λ er et tall. Det er klart at for enhver λ har denne ligningen en nullløsning.

Tallet λ som denne ligningen har løsninger som ikke er null kalles egenverdi matriser EN, a X for slikt kalles λ egen vektor matriser EN.

La oss finne egenvektoren til matrisen EN. Fordi det E∙X=X, så kan matriseligningen skrives om som eller . I utvidet form kan denne ligningen skrives om som et system av lineære ligninger. Egentlig .

Og derfor

Så vi har et system med homogene lineære ligninger for å bestemme koordinatene x 1, x2, x 3 vektor X. For at systemet skal ha løsninger som ikke er null, er det nødvendig og tilstrekkelig at determinanten til systemet er lik null, dvs.

Dette er en 3. grads ligning med hensyn til λ. Det heter karakteristisk ligning matriser EN og tjener til å bestemme egenverdiene λ.

Hver egenverdi λ tilsvarer en egenvektor X, hvis koordinater bestemmes fra systemet ved den tilsvarende verdien av λ.

Eksempler.

VEKTORALGEBRA. VEKTOR KONSEPT

Når du studerer ulike grener av fysikk, er det mengder som er fullstendig bestemt ved å sette deres numeriske verdier, for eksempel lengde, areal, masse, temperatur, etc. Slike verdier kalles skalar. Men i tillegg til dem er det også mengder, for bestemmelsen av hvilke, i tillegg til den numeriske verdien, det også er nødvendig å vite retningen deres i rommet, for eksempel kraften som virker på kroppen, hastigheten og akselerasjonen. av kroppen når den beveger seg i rommet, magnetfeltstyrken på et gitt punkt i rommet og etc. Slike mengder kalles vektormengder.

La oss introdusere en streng definisjon.

Retningsbestemt segment La oss kalle et segment, i forhold til endene som det er kjent hvilken av dem som er den første og hvilken som er den andre.

Vektor et rettet segment kalles, som har en viss lengde, dvs. Dette er et segment av en viss lengde, der ett av punktene som begrenser det tas som begynnelsen, og det andre - som slutten. Hvis en EN er begynnelsen av vektoren, B er slutten, så er vektoren betegnet med symbolet, i tillegg er vektoren ofte betegnet med en enkelt bokstav . På figuren er vektoren indikert med et segment, og retningen med en pil.

modul eller lang vektor kalles lengden på det rettede segmentet som definerer det. Angitt med || eller ||.

Den såkalte nullvektoren, hvis begynnelse og slutt faller sammen, vil også bli referert til som vektorer. Det er merket. Nullvektoren har ingen bestemt retning og dens modul er lik null ||=0.

Vektorer og kalles kollineær hvis de er plassert på samme linje eller på parallelle linjer. I dette tilfellet, hvis vektorene og er likt rettet, vil vi skrive , motsatt.

Vektorer plassert på rette linjer parallelt med samme plan kalles koplanar.

To vektorer og kalles lik hvis de er collineære, har samme retning og er like lange. Skriv i dette tilfellet.

Det følger av definisjonen av vektorlikhet at en vektor kan flyttes parallelt med seg selv ved å plassere sin opprinnelse på et hvilket som helst punkt i rommet.

For eksempel.

LINEÆRE OPERASJONER PÅ VEKTORER

1. Multiplisere en vektor med et tall.

   Produktet av en vektor med et tall λ er en ny vektor slik at:

   Produktet av en vektor og et tall λ er betegnet med .

   

   For eksempel, er en vektor som peker i samme retning som vektoren og har en lengde som er halvparten av vektoren.

   Den angitte operasjonen har følgende eiendommer:

2. Addisjon av vektorer.

   La og være to vilkårlige vektorer. Ta et vilkårlig poeng O og konstruer en vektor. Etter det, fra poenget EN sett til side vektoren. Vektoren som forbinder begynnelsen av den første vektoren med slutten av den andre kalles sum av disse vektorene og er betegnet .

   

   Den formulerte definisjonen av vektoraddisjon kalles parallellogramregel, siden samme sum av vektorer kan oppnås som følger. Sett til side fra poenget O vektorer og . Konstruer et parallellogram på disse vektorene OABC. Siden vektorene, så vektoren, som er diagonalen til parallellogrammet trukket fra toppunktet O, vil åpenbart være summen av vektorer.

   

   Det er enkelt å sjekke følgende vektoraddisjonsegenskaper.

3. Forskjell mellom vektorer.

   En vektor kollineær til en gitt vektor, lik lengde og motsatt rettet, kalles motsatte vektor for en vektor og er betegnet med . Den motsatte vektoren kan betraktes som resultatet av vektormultiplikasjon med tallet λ = –1: .

Hvordan sette inn matematiske formler på nettstedet?

Hvis du noen gang trenger å legge til en eller to matematiske formler på en nettside, er den enkleste måten å gjøre dette på som beskrevet i artikkelen: matematiske formler settes enkelt inn på nettstedet i form av bilder som Wolfram Alpha genererer automatisk. I tillegg til enkelhet, vil denne universelle metoden bidra til å forbedre synligheten til nettstedet i søkemotorer. Det har fungert lenge (og jeg tror det vil fungere for alltid), men det er moralsk utdatert.

Hvis du derimot stadig bruker matematiske formler på nettstedet ditt, anbefaler jeg at du bruker MathJax, et spesielt JavaScript-bibliotek som viser matematisk notasjon i nettlesere som bruker MathML, LaTeX eller ASCIIMathML-markering.

Det er to måter å begynne å bruke MathJax på: (1) ved hjelp av en enkel kode kan du raskt koble et MathJax-skript til nettstedet ditt, som automatisk lastes fra en ekstern server til rett tid (liste over servere); (2) last opp MathJax-skriptet fra en ekstern server til serveren din og koble det til alle sidene på nettstedet ditt. Den andre metoden er mer komplisert og tidkrevende og vil tillate deg å øke hastigheten på lasting av sidene til nettstedet ditt, og hvis den overordnede MathJax-serveren blir midlertidig utilgjengelig av en eller annen grunn, vil dette ikke påvirke ditt eget nettsted på noen måte. Til tross for disse fordelene, valgte jeg den første metoden, da den er enklere, raskere og ikke krever tekniske ferdigheter. Følg mitt eksempel, og innen 5 minutter vil du kunne bruke alle funksjonene til MathJax på nettstedet ditt.

Du kan koble til MathJax-biblioteksskriptet fra en ekstern server ved å bruke to kodealternativer hentet fra MathJax hovednettsted eller fra dokumentasjonssiden:

Ett av disse kodealternativene må kopieres og limes inn i koden til nettsiden din, helst mellom taggene og eller rett etter taggen . I henhold til det første alternativet laster MathJax raskere og bremser siden mindre. Men det andre alternativet sporer og laster automatisk de nyeste versjonene av MathJax. Hvis du setter inn den første koden, må den oppdateres med jevne mellomrom. Hvis du limer inn den andre koden, vil sidene lastes saktere, men du trenger ikke å overvåke MathJax-oppdateringer konstant.

Den enkleste måten å koble til MathJax på er i Blogger eller WordPress: i nettstedets kontrollpanel, legg til en widget designet for å sette inn tredjeparts JavaScript-kode, kopier den første eller andre versjonen av lastekoden presentert ovenfor inn i den, og plasser widgeten nærmere til begynnelsen av malen (forresten, dette er ikke i det hele tatt nødvendig, siden MathJax-skriptet lastes asynkront). Det er alt. Lær nå MathML-, LaTeX- og ASCIIMathML-markeringssyntaksen, og du er klar til å bygge inn matematiske formler på nettsidene dine.

Enhver fraktal er bygget i henhold til en bestemt regel, som konsekvent brukes et ubegrenset antall ganger. Hver slik tid kalles en iterasjon.

Den iterative algoritmen for å konstruere en Menger-svamp er ganske enkel: den originale kuben med side 1 er delt av plan parallelt med flatene i 27 like terninger. En sentral kube og 6 terninger ved siden av den langs ansiktene fjernes fra den. Det viser seg et sett bestående av 20 gjenværende mindre kuber. Gjør vi det samme med hver av disse kubene, får vi et sett bestående av 400 mindre terninger. Hvis vi fortsetter denne prosessen på ubestemt tid, får vi Menger-svampen.

En egenvektor til en kvadratisk matrise er en som, multiplisert med en gitt matrise, resulterer i en kollineær vektor. Med enkle ord, når en matrise multipliseres med en egenvektor, forblir sistnevnte den samme, men multiplisert med et eller annet tall.

Definisjon

En egenvektor er en ikke-null vektor V, som, når multiplisert med en kvadratisk matrise M, blir seg selv, økt med et eller annet tall λ. I algebraisk notasjon ser dette slik ut:

M × V = λ × V,

hvor λ er en egenverdi til matrisen M.

La oss vurdere et numerisk eksempel. For enkelhets skyld vil tallene i matrisen være atskilt med et semikolon. La oss si at vi har en matrise:

• M = 0; fire;
• 6; 10.

La oss multiplisere det med en kolonnevektor:

• V = -2;

Når vi multipliserer en matrise med en kolonnevektor, får vi også en kolonnevektor. I strengt matematisk språk vil formelen for å multiplisere en 2 × 2 matrise med en kolonnevektor se slik ut:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 x V11 + M22 x V21.

M11 betyr elementet i matrisen M, som står i første rad og første kolonne, og M22 er elementet som ligger i andre rad og andre kolonne. For matrisen vår er disse elementene M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. For en kolonnevektor er disse verdiene V11 = –2, V21 = 1. I følge denne formelen får vi følgende resultat av produktet av en kvadratisk matrise med en vektor:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

For enkelhets skyld skriver vi kolonnevektoren i en rad. Så vi har multiplisert kvadratmatrisen med vektoren (-2; 1), noe som resulterer i vektoren (4; -2). Det er klart at dette er den samme vektoren multiplisert med λ = -2. Lambda i dette tilfellet angir en egenverdi til matrisen.

Egenvektoren til en matrise er en kollineær vektor, det vil si et objekt som ikke endrer sin posisjon i rommet når det multipliseres med en matrise. Konseptet med kollinearitet i vektoralgebra ligner på begrepet parallellisme i geometri. I geometrisk tolkning er kollineære vektorer parallellrettede segmenter av forskjellig lengde. Siden Euklids tid vet vi at en enkelt linje har et uendelig antall linjer parallelle med seg, så det er logisk å anta at hver matrise har et uendelig antall egenvektorer.

Fra forrige eksempel kan man se at både (-8; 4), og (16; -8), og (32, -16) kan være egenvektorer. Alle disse er kollineære vektorer som tilsvarer egenverdien λ = -2. Når vi multipliserer den opprinnelige matrisen med disse vektorene, vil vi fortsatt få en vektor som et resultat, som avviker fra originalen med 2 ganger. Det er derfor, når du løser problemer for å finne en egenvektor, er det nødvendig å finne bare lineært uavhengige vektorobjekter. Oftest, for en n × n matrise, er det n-te antall egenvektorer. Kalkulatoren vår er designet for analyse av andre-ordens kvadratmatriser, så nesten alltid to egenvektorer vil bli funnet som et resultat, bortsett fra når de faller sammen.

I eksemplet ovenfor kjente vi på forhånd egenvektoren til den opprinnelige matrisen og bestemte lambdatallet visuelt. Men i praksis skjer alt omvendt: i begynnelsen er det egenverdier og først da egenvektorer.

Løsningsalgoritme

La oss se på den opprinnelige matrisen M igjen og prøve å finne begge dens egenvektorer. Så matrisen ser slik ut:

• M = 0; fire;
• 6; 10.

Til å begynne med må vi bestemme egenverdien λ, som vi må beregne determinanten for følgende matrise for:

• (0 - λ); fire;
• 6; (10 − λ).

Denne matrisen oppnås ved å trekke den ukjente λ fra elementene på hoveddiagonalen. Determinanten bestemmes av standardformelen:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Siden vektoren vår ikke må være null, tar vi den resulterende ligningen som lineært avhengig og likestiller vår determinant detA til null.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

La oss åpne parentesene og få den karakteristiske ligningen til matrisen:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Dette er en standard andregradsligning som må løses i form av diskriminanten.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

Roten til diskriminanten er sqrt(D) = 14, så λ1 = -2, λ2 = 12. Nå for hver lambda-verdi må vi finne en egenvektor. La oss uttrykke koeffisientene til systemet for λ = -2.

• M - λ × E = 2; fire;
• 6; 12.

I denne formelen er E identitetsmatrisen. Basert på den oppnådde matrisen, komponerer vi et system med lineære ligninger:

2x + 4y = 6x + 12y

hvor x og y er elementer i egenvektoren.

La oss samle alle X-ene til venstre og alle Y-ene til høyre. Åpenbart - 4x = 8y. Del uttrykket med - 4 og få x = -2y. Nå kan vi bestemme den første egenvektoren til matrisen ved å ta alle verdier av de ukjente (husk om uendeligheten av lineært avhengige egenvektorer). La oss ta y = 1, så x = -2. Derfor ser den første egenvektoren ut som V1 = (–2; 1). Gå tilbake til begynnelsen av artikkelen. Det var dette vektorobjektet vi multipliserte matrisen med for å demonstrere konseptet med en egenvektor.

La oss nå finne egenvektoren for λ = 12.

• M - X x E = -12; fire
• 6; -2.

La oss komponere det samme systemet med lineære ligninger;

• -12x + 4y = 6x - 2y
• -18x = -6y
• 3x=y.

La oss nå ta x = 1, derav y = 3. Dermed ser den andre egenvektoren ut som V2 = (1; 3). Når du multipliserer den opprinnelige matrisen med denne vektoren, vil resultatet alltid være den samme vektoren multiplisert med 12. Dette fullfører løsningsalgoritmen. Nå vet du hvordan du manuelt definerer en egenvektor til en matrise.

• avgjørende faktor;
• spor, det vil si summen av elementene på hoveddiagonalen;
• rangering, dvs. maksimalt antall lineært uavhengige rader/kolonner.

Programmet fungerer i henhold til algoritmen ovenfor, og minimerer løsningsprosessen. Det er viktig å påpeke at i programmet er lambdaen merket med bokstaven "c". La oss se på et numerisk eksempel.

Program eksempel

La oss prøve å definere egenvektorer for følgende matrise:

• M=5; 1. 3;
• 4; 14.

La oss legge inn disse verdiene i cellene på kalkulatoren og få svaret i følgende skjema:

• Matriserangering: 2;
• Matrisedeterminant: 18;
• Matrisespor: 19;
• Egenvektorberegning: c 2 − 19,00c + 18,00 (karakteristisk ligning);
• Egenvektorberegning: 18 (første lambdaverdi);
• Egenvektorberegning: 1 (andre lambdaverdi);
• Ligningssystem av vektor 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Vektor 2 ligningssystem: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Egenvektor 1: (1; 1);
• Egenvektor 2: (-3,25; 1).

Dermed har vi fått to lineært uavhengige egenvektorer.

Konklusjon

Lineær algebra og analytisk geometri er standardfag for enhver nybegynner i ingeniørfag. Et stort antall vektorer og matriser er skremmende, og det er lett å gjøre feil i slike tungvinte beregninger. Programmet vårt lar studentene sjekke beregningene sine eller automatisk løse problemet med å finne en egenvektor. Det er andre lineære algebrakalkulatorer i vår katalog, bruk dem i studiet eller arbeidet ditt.

Med matrise A, hvis det er et tall l slik at AX = lX.

I dette tilfellet kalles tallet l egenverdi operator (matrise A) som tilsvarer vektoren X.

En egenvektor er med andre ord en vektor som under påvirkning av en lineær operator transformerer seg til en kollineær vektor, dvs. bare multipliser med et tall. I motsetning til dette er uriktige vektorer vanskeligere å transformere.

Vi skriver definisjonen av egenvektoren som et ligningssystem:

La oss flytte alle begrepene til venstre side:

Det siste systemet kan skrives i matriseform som følger:

(A - lE)X \u003d O

Det resulterende systemet har alltid en nullløsning X = O. Slike systemer der alle frie ledd er lik null kalles homogen. Hvis matrisen til et slikt system er kvadratisk, og dens determinant ikke er lik null, vil vi i henhold til Cramers formler alltid få en unik løsning - null. Det kan bevises at systemet har ikke-null løsninger hvis og bare hvis determinanten til denne matrisen er lik null, dvs.

|A - lE| = = 0

Denne ligningen med ukjent l kalles karakteristisk ligning (karakteristisk polynom) matrise A (lineær operator).

Det kan bevises at det karakteristiske polynomet til en lineær operator ikke er avhengig av valget av grunnlag.

La oss for eksempel finne egenverdiene og egenvektorene til den lineære operatoren gitt av matrisen A = .

For å gjøre dette, komponerer vi den karakteristiske ligningen |А - lЕ| = \u003d (1 - l) 2 - 36 \u003d 1 - 2l + l 2 - 36 \u003d l 2 - 2l - 35 \u003d 0; D \u003d 4 + 140 \u003d 144; egenverdier l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 \u003d (2 + 12) / 2 \u003d 7.

For å finne egenvektorene løser vi to ligningssystemer

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

For den første av dem vil den utvidede matrisen ha formen

,

hvorfra x 2 \u003d c, x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s, dvs. X (1) \u003d (- (2/3) s; s).

For den andre av dem vil den utvidede matrisen ha formen

,

hvorfra x 2 \u003d c 1, x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; x 1 \u003d (2/3) s 1, dvs. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).

Dermed er egenvektorene til denne lineære operatoren alle vektorer av formen (-(2/3)c; c) med egenverdi (-5) og alle vektorer av formen ((2/3)c 1 ; c 1) med egenverdi 7 .

Det kan bevises at matrisen til operatoren A i grunnlaget som består av dens egenvektorer er diagonal og har formen:

,

hvor l i er egenverdiene til denne matrisen.

Det motsatte er også sant: hvis matrisen A på en eller annen basis er diagonal, vil alle vektorer av denne basisen være egenvektorer til denne matrisen.

Det kan også bevises at hvis en lineær operator har n parvis distinkte egenverdier, så er de korresponderende egenvektorene lineært uavhengige, og matrisen til denne operatoren i den tilsvarende basisen har en diagonal form.

La oss forklare dette med forrige eksempel. La oss ta vilkårlige ikke-null-verdier c og c 1 , men slik at vektorene X (1) og X (2) er lineært uavhengige, dvs. ville danne grunnlag. La for eksempel c \u003d c 1 \u003d 3, deretter X (1) \u003d (-2; 3), X (2) \u003d (2; 3).

La oss verifisere den lineære uavhengigheten til disse vektorene:

12 ≠ 0. I dette nye grunnlaget vil matrisen A ha formen A * = .

For å bekrefte dette bruker vi formelen A * = C -1 AC. La oss finne C -1 først.

C-1 = ;

Kvadratiske former

kvadratisk form f (x 1, x 2, x n) fra n variabler kalles summen, hvor hvert ledd er enten kvadratet av en av variablene, eller produktet av to forskjellige variabler, tatt med en viss koeffisient: f (x 1) , x 2, x n) = (a ij = en ji).

Matrisen A, sammensatt av disse koeffisientene, kalles matrise kvadratisk form. Det er det alltid symmetrisk matrise (dvs. en matrise symmetrisk om hoveddiagonalen, a ij = a ji).

I matrisenotasjon har den kvadratiske formen f(X) = X T AX, hvor

Faktisk

La oss for eksempel skrive kvadratisk form i matriseform.

For å gjøre dette finner vi en matrise av en kvadratisk form. Dens diagonale elementer er lik koeffisientene ved kvadratene til variablene, og de resterende elementene er lik halvparten av de tilsvarende koeffisientene til kvadratisk form. Derfor

La matrisekolonnen av variablene X oppnås ved en ikke-degenerert lineær transformasjon av matrisekolonnen Y, dvs. X = CY, hvor C er en ikke-degenerert matrise av orden n. Da er den kvadratiske formen f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Under en ikke-degenerert lineær transformasjon C, har matrisen til den kvadratiske formen formen: A * = C T AC.

La oss for eksempel finne den kvadratiske formen f(y 1, y 2) oppnådd fra den kvadratiske formen f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ved en lineær transformasjon.

Den kvadratiske formen kalles kanonisk(Det har kanonisk syn) hvis alle dens koeffisienter a ij = 0 for i ≠ j, dvs.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

Matrisen er diagonal.

Teorem(beviset er ikke gitt her). Enhver kvadratisk form kan reduseres til en kanonisk form ved å bruke en ikke-degenerert lineær transformasjon.

La oss for eksempel redusere den kvadratiske formen til den kanoniske formen
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

For å gjøre dette, velg først hele kvadratet for variabelen x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Nå velger vi hele kvadratet for variabelen x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Deretter bringer den ikke-degenererte lineære transformasjonen y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 + (1/10) x 3 og y 3 \u003d x 3 denne kvadratiske formen til den kanoniske formen f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20) y 3 2 .

Merk at den kanoniske formen til en kvadratisk form er definert tvetydig (den samme kvadratiske formen kan reduseres til den kanoniske formen på forskjellige måter). Imidlertid har kanoniske former oppnådd ved forskjellige metoder en rekke felles egenskaper. Spesielt er antallet ledd med positive (negative) koeffisienter av en kvadratisk form ikke avhengig av hvordan formen reduseres til denne formen (for eksempel vil det i det betraktede eksemplet alltid være to negative og en positiv koeffisient). Denne egenskapen kalles treghetsloven for kvadratiske former.

La oss verifisere dette ved å redusere den samme kvadratiske formen til den kanoniske formen på en annen måte. La oss starte transformasjonen med variabelen x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2, hvor y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 og y 3 = x 1 . Her en negativ koeffisient -3 ved y 1 og to positive koeffisienter 3 og 2 ved y 2 og y 3 (og ved bruk av en annen metode fikk vi en negativ koeffisient (-5) ved y 2 og to positive koeffisienter: 2 ved y 1 og 1/20 for y 3).

Det bør også bemerkes at rangeringen av en matrise av en kvadratisk form, kalt rangeringen av den kvadratiske formen, er lik antall ikke-null koeffisienter for den kanoniske formen og endres ikke under lineære transformasjoner.

Den kvadratiske formen f(X) kalles positivt (negativ) sikker, hvis for alle verdier av variablene som ikke er lik null samtidig, er den positiv, dvs. f(X) > 0 (negativ, dvs.
f(X)< 0).

For eksempel er kvadratisk form f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 positiv bestemt, fordi er summen av kvadrater, og kvadratisk form f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 er negativ bestemt, fordi representerer det kan representeres som f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

I de fleste praktiske situasjoner er det noe vanskeligere å fastslå fortegnsbestemtheten til en kvadratisk form, så en av følgende teoremer brukes til dette (vi formulerer dem uten bevis).

Teorem. En kvadratisk form er positiv (negativ) bestemt hvis og bare hvis alle egenverdiene til matrisen er positive (negative).

Teorem(Sylvesters kriterium). En kvadratisk form er positiv bestemt hvis og bare hvis alle hovedbirollene i matrisen til denne formen er positive.

Major (hjørne) moll Den k-te orden av matrisen A av n-te orden kalles determinanten til matrisen, sammensatt av de første k radene og kolonnene i matrisen A ().

Legg merke til at for negativ-bestemte kvadratiske former veksler fortegnene til de viktigste mindreårige, og førsteordens moll må være negativ.

For eksempel undersøker vi den kvadratiske formen f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 for tegnbestemthet.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D = 25 - 8 = 17;
. Derfor er den kvadratiske formen positiv bestemt.

Metode 2. Hovedmoll av første orden av matrisen A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hovedmoll av andre orden D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Derfor, ifølge Sylvester-kriteriet, den kvadratiske formen er positiv bestemt.

Vi undersøker en annen kvadratisk form for tegnbestemthet, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. La oss konstruere en matrise med kvadratisk form А = . Den karakteristiske ligningen vil ha formen = (-2 - l)*
*(-3 - 1) - 4 = (6 + 2 1 + 3 1 + 1 2) - 4 = 1 2 + 5 1 + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Derfor er den kvadratiske formen negativ bestemt.

Metode 2. Hovedmoll av første orden av matrisen A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Derfor, i henhold til Sylvester-kriteriet, er den kvadratiske formen negativ bestemt (fortegnene til de viktigste mindreårige veksler, starter fra minus).

Og som et annet eksempel undersøker vi den kvadratiske formen f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 for tegnbestemthet.

Metode 1. La oss konstruere en matrise med kvadratisk form А = . Den karakteristiske ligningen vil ha formen = (2 - l)*
*(-3 - 1) - 4 = (-6 - 2 1 + 3 1 + 1 2) - 4 = 1 2 + 1 - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Ett av disse tallene er negativt og det andre er positivt. Tegnene til egenverdiene er forskjellige. Derfor kan ikke en kvadratisk form verken være negativ eller positiv bestemt, dvs. denne kvadratiske formen er ikke tegnbestemt (den kan ta verdier av et hvilket som helst tegn).

Metode 2. Hovedmoll av første orden av matrisen A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hovedmoll av andre orden D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).