Finn ligningen til linjen sol. Generell ligning for en rett linje i et plan

Generell ligning for en rett linje:

Spesielle tilfeller av den generelle ligningen av en rett linje:

hva om C= 0, vil ligning (2) ha formen

Øks + Av = 0,

og den rette linjen definert av denne ligningen går gjennom origo, siden koordinatene til origo x = 0, y= 0 tilfredsstiller denne ligningen.

b) Hvis i den generelle ligningen for den rette linjen (2) B= 0, så tar ligningen formen

Øks + FRA= 0, eller .

Ligningen inneholder ikke en variabel y, og den rette linjen definert av denne ligningen er parallell med aksen Oy.

c) Hvis i den generelle ligningen for den rette linjen (2) EN= 0, så tar denne ligningen formen

Av + FRA= 0, eller ;

ligningen inneholder ingen variabel x, og den rette linjen definert av den er parallell med aksen Okse.

Det bør huskes: hvis en rett linje er parallell med en hvilken som helst koordinatakse, inneholder ikke ligningen dens en term som inneholder en koordinat med samme navn med denne aksen.

d) Når C= 0 og EN= 0 ligning (2) har formen Av= 0, eller y = 0.

Dette er akseligningen Okse.

e) Når C= 0 og B= 0 ligning (2) kan skrives i formen Øks= 0 eller x = 0.

Dette er akseligningen Oy.

Gjensidig arrangement av rette linjer på et plan. Vinkel mellom linjer på et plan. Tilstanden til parallelle linjer. Betingelsen for vinkelrett på linjer.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektorene S 1 og S 2 kalles hjelpelinjer for sine linjer.

Vinkelen mellom linjene l 1 og l 2 bestemmes av vinkelen mellom retningsvektorene.
Teorem 1: cos-vinkel mellom l 1 og l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

Teorem 2: For at 2 linjer skal være like, er det nødvendig og tilstrekkelig:

Teorem 3: slik at 2 linjer er vinkelrette er nødvendig og tilstrekkelig:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Generell ligning av flyet og dets spesielle tilfeller. Ligning av et plan i segmenter.

Generell planligning:

Axe + By + Cz + D = 0

Spesielle tilfeller:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - planet går gjennom origo

2. С=0 Ax+By+D = 0 – plan || oz

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – plan || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – plan || OKSE

5. A=0 og D=0 By+Cz = 0 - planet går gjennom OX

6. B=0 og D=0 Ax+Cz = 0 - planet går gjennom OY

7. C=0 og D=0 Ax+By = 0 - flyet går gjennom OZ

Gjensidig arrangement av fly og rette linjer i rommet:

1. Vinkelen mellom linjer i rommet er vinkelen mellom retningsvektorene deres.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Vinkelen mellom planene bestemmes gjennom vinkelen mellom deres normalvektorer.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Cosinus til vinkelen mellom en linje og et plan kan finnes gjennom sin av vinkelen mellom retningsvektoren til linjen og normalvektoren til planet.

4. 2 linjer || i verdensrommet når deres || vektorguider

5. 2 fly || når || normale vektorer

6. Begrepene vinkelrett på linjer og plan introduseres på samme måte.

Spørsmål #14

Ulike typer av ligningen til en rett linje på et plan (ligningen av en rett linje i segmenter, med en helning, etc.)

Ligning av en rett linje i segmenter:
Anta at i den generelle ligningen for en rett linje:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - den rette linjen går gjennom opprinnelsen.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. i \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Ligningen av en rett linje med en helning:

Enhver rett linje som ikke er lik y-aksen (B ikke = 0) kan skrives i det følgende. form:

k = tgα α er vinkelen mellom den rette linjen og den positivt rettede linjen ОХ

b - skjæringspunktet for den rette linjen med OS-aksen

Dok-in:

Axe+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: B

Ligning av en rett linje på to punkter:

Spørsmål #16

Den endelige grensen for en funksjon i et punkt og for x→∞

Sluttgrense ved punkt x 0:

Tallet A kalles grensen for funksjonen y \u003d f (x) for x → x 0, hvis det for noen E > 0 er b > 0 slik at for x ≠ x 0, som tilfredsstiller ulikheten |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Grensen er angitt: = A

Sluttgrense ved punkt +∞:

Tallet A kalles grensen for funksjonen y = f(x) for x → + ∞ , hvis det for noen E > 0 eksisterer C > 0 slik at for x > C ulikheten |f(x) - A|< Е

Grensen er angitt: = A

Sluttgrense ved punkt -∞:

Tallet A kalles grensen for funksjonen y = f(x) for x→-∞, hvis for noen E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

I denne artikkelen vil vi vurdere den generelle ligningen for en rett linje i et plan. La oss gi eksempler på å konstruere den generelle ligningen for en rett linje hvis to punkter på denne rette linjen er kjent eller hvis ett punkt og normalvektoren til denne rette linjen er kjent. La oss presentere metoder for å transformere en likning i generell form til kanoniske og parametriske former.

La et vilkårlig kartesisk rektangulært koordinatsystem gis Oxy. Tenk på en førstegradsligning eller en lineær ligning:

hvor A, B, C er noen konstanter, og minst ett av elementene EN og B forskjellig fra null.

Vi skal vise at en lineær ligning i planet definerer en rett linje. La oss bevise følgende teorem.

Teorem 1. I et vilkårlig kartesisk rektangulært koordinatsystem på et plan kan hver rett linje gis ved en lineær ligning. Omvendt definerer hver lineær ligning (1) i et vilkårlig kartesisk rektangulært koordinatsystem på planet en rett linje.

Bevis. Det er nok for å bevise at linjen L bestemmes av en lineær ligning for ethvert kartesisk rektangulært koordinatsystem, siden det vil bli bestemt av en lineær ligning og for ethvert valg av kartesisk rektangulært koordinatsystem.

La det gis en rett linje på flyet L. Vi velger et koordinatsystem slik at aksen Okse på linje med linjen L, og aksen Oy var vinkelrett på den. Deretter ligningen av linjen L vil ha følgende form:

Alle punkter på en linje L vil tilfredsstille den lineære ligningen (2), og alle punkter utenfor denne rette linjen vil ikke tilfredsstille ligningen (2). Den første delen av teoremet er bevist.

La et kartesisk rektangulært koordinatsystem gis og la lineær ligning (1) gis, hvor minst ett av elementene EN og B forskjellig fra null. Finn stedet for punkter hvis koordinater tilfredsstiller ligning (1). Siden minst en av koeffisientene EN og B er forskjellig fra null, så har ligning (1) minst én løsning M(x 0 ,y 0). (For eksempel når EN≠0, prikk M 0 (−C/A, 0) tilhører det gitte punktlokuset). Ved å erstatte disse koordinatene i (1) får vi identiteten

La oss trekke identitet (3) fra (1):

Åpenbart er ligning (4) ekvivalent med ligning (1). Derfor er det tilstrekkelig å bevise at (4) definerer en linje.

Siden vi vurderer et kartesisk rektangulært koordinatsystem, følger det av likhet (4) at vektoren med komponenter ( x−x 0 , y−y 0 ) er ortogonal på vektoren n med koordinater ( A,B}.

Tenk på en linje L passerer gjennom punktet M 0 (x 0 , y 0) og vinkelrett på vektoren n(Figur 1). La poenget M(x,y) tilhører linjen L. Deretter vektoren med koordinater x−x 0 , y−y 0 vinkelrett n og ligning (4) er oppfylt (skalarprodukt av vektorer n og er lik null). Omvendt, hvis poenget M(x,y) ligger ikke på en linje L, deretter vektoren med koordinater x−x 0 , y−y 0 er ikke ortogonal til vektor n og ligning (4) er ikke tilfredsstilt. Teoremet er bevist.

Bevis. Siden linjene (5) og (6) definerer den samme linjen, vil normalvektorene n 1 ={EN 1 ,B 1) og n 2 ={EN 2 ,B 2) er kollineære. Siden vektorene n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, så er det et tall λ , hva n 2 =n 1 λ . Derfor har vi: EN 2 =EN 1 λ , B 2 =B 1 λ . La oss bevise det C 2 =C 1 λ . Det er åpenbart at sammenfallende linjer har et felles poeng M 0 (x 0 , y 0). Multiplisere ligning (5) med λ og subtrahere ligning (6) fra den får vi:

Siden de to første likhetene fra uttrykk (7) er oppfylt, da C 1 λ −C 2=0. De. C 2 =C 1 λ . Merknaden er bevist.

Merk at ligning (4) definerer ligningen til en rett linje som går gjennom punktet M 0 (x 0 , y 0) og har en normalvektor n={A,B). Derfor, hvis normalvektoren til linjen og punktet som tilhører denne linjen er kjent, kan den generelle ligningen til linjen konstrueres ved å bruke ligning (4).

Eksempel 1. En linje går gjennom et punkt M=(4,−1) og har en normalvektor n=(3, 5). Konstruer den generelle ligningen for en rett linje.

Løsning. Vi har: x 0 =4, y 0 =−1, EN=3, B=5. For å konstruere den generelle ligningen til en rett linje, erstatter vi disse verdiene i ligning (4):

Svar:

Vektor parallelt med linjen L og er derfor vinkelrett på normalvektoren til linjen L. La oss konstruere en normal linjevektor L, gitt at skalarproduktet av vektorer n og er lik null. Vi kan skrive f.eks. n={1,−3}.

For å konstruere den generelle ligningen for en rett linje, bruker vi formel (4). La oss sette inn (4) koordinatene til punktet M 1 (vi kan også ta koordinatene til punktet M 2) og normalvektoren n:

Erstatter punktkoordinater M 1 og M 2 i (9) kan vi sørge for at den rette linjen gitt av ligning (9) går gjennom disse punktene.

Svar:

Trekk fra (10) fra (1):

Vi har fått den kanoniske ligningen for en rett linje. Vektor q={−B, EN) er retningsvektoren til den rette linjen (12).

Se omvendt transformasjon.

Eksempel 3. En rett linje i et plan er representert ved følgende generelle ligning:

Flytt det andre leddet til høyre og del begge sider av ligningen med 2 5.

Leksjon fra serien "Geometriske algoritmer"

Hei kjære leser!

I dag skal vi begynne å lære algoritmer relatert til geometri. Faktum er at det er ganske mange Olympiade-problemer innen informatikk knyttet til beregningsgeometri, og løsningen av slike problemer forårsaker ofte vanskeligheter.

I noen få leksjoner vil vi ta for oss en rekke elementære delproblemer som løsningen av de fleste problemene innen beregningsgeometri er basert på.

I denne leksjonen skal vi skrive et program for finne ligningen til en rett linje passerer gjennom det gitte to prikker. For å løse geometriske problemer trenger vi litt kunnskap om beregningsgeometri. Vi vil bruke en del av leksjonen til å bli kjent med dem.

Informasjon fra beregningsgeometri

Beregningsgeometri er en gren av informatikk som studerer algoritmer for å løse geometriske problemer.

De første dataene for slike problemer kan være et sett med punkter på planet, et sett med segmenter, en polygon (gitt for eksempel av en liste over hjørnene i urviserens rekkefølge), etc.

Resultatet kan enten være et svar på et spørsmål (for eksempel hører et punkt til et segment, krysser to segmenter seg, ...), eller et geometrisk objekt (for eksempel den minste konvekse polygonen som forbinder gitte punkter, arealet av en polygon, etc.).

Vi vil vurdere problemer med beregningsgeometri bare på planet og bare i det kartesiske koordinatsystemet.

Vektorer og koordinater

For å bruke metodene for beregningsgeometri, er det nødvendig å oversette geometriske bilder til tallspråket. Vi vil anta at det er gitt et kartesisk koordinatsystem på planet, der rotasjonsretningen mot klokken kalles positiv.

Nå får geometriske objekter et analytisk uttrykk. Så for å sette et punkt, er det nok å spesifisere dets koordinater: et tallpar (x; y). Et segment kan spesifiseres ved å spesifisere koordinatene til endene, en rett linje kan spesifiseres ved å spesifisere koordinatene til et par av punktene.

Men hovedverktøyet for å løse problemer vil være vektorer. La meg derfor minne deg om litt informasjon om dem.

Linjestykke AB, som har et poeng MEN betraktet begynnelsen (applikasjonspunktet), og punktet PÅ- slutten kalles en vektor AB og angitt med enten , eller en fet liten bokstav, for eksempel en .

For å angi lengden på en vektor (det vil si lengden på det tilsvarende segmentet), vil vi bruke modulsymbolet (for eksempel ).

En vilkårlig vektor vil ha koordinater lik forskjellen mellom de tilsvarende koordinatene til slutten og begynnelsen:

,

prikker her EN og B har koordinater hhv.

For beregninger vil vi bruke konseptet orientert vinkel, det vil si en vinkel som tar hensyn til den relative posisjonen til vektorene.

Orientert vinkel mellom vektorer en og b positiv hvis rotasjonen er borte fra vektoren en til vektoren b gjøres i positiv retning (mot klokken) og negativ i det andre tilfellet. Se fig.1a, fig.1b. Det sies også at et par vektorer en og b positivt (negativt) orientert.

Dermed avhenger verdien av den orienterte vinkelen av rekkefølgen for oppregning av vektorene og kan ta verdier i intervallet.

Mange beregningsgeometriproblemer bruker konseptet med vektorprodukter (skjeve eller pseudoskalare) av vektorer.

Vektorproduktet til vektorene a og b er produktet av lengdene til disse vektorene og sinusen til vinkelen mellom dem:

.

Vektorprodukt av vektorer i koordinater:

Uttrykket til høyre er en andreordens determinant:

I motsetning til definisjonen gitt i analytisk geometri, er dette en skalar.

Tegnet til kryssproduktet bestemmer plasseringen av vektorene i forhold til hverandre:

en og b positivt orientert.

Hvis verdien er , så vektorparet en og b negativt orientert.

Kryssproduktet til vektorer som ikke er null er null hvis og bare hvis de er kollineære ( ). Dette betyr at de ligger på samme linje eller på parallelle linjer.

La oss vurdere noen enkle oppgaver som er nødvendige for å løse mer komplekse oppgaver.

La oss definere ligningen til en rett linje med koordinatene til to punkter.

Ligningen til en rett linje som går gjennom to forskjellige punkter gitt av deres koordinater.

La to ikke-sammenfallende punkter gis på linjen: med koordinater (x1;y1) og med koordinater (x2; y2). Følgelig har vektoren med begynnelsen ved punktet og slutten på punktet koordinater (x2-x1, y2-y1). Hvis P(x, y) er et vilkårlig punkt på linjen vår, så er koordinatene til vektoren (x-x1, y - y1).

Ved hjelp av kryssproduktet kan betingelsen for kollineariteten til vektorene og skrives som følger:

De. (x-x1)(y2-yl)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Vi omskriver den siste ligningen som følger:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Så den rette linjen kan gis ved en ligning på formen (1).

Oppgave 1. Koordinatene til to punkter er gitt. Finn representasjonen på formen ax + by + c = 0.

I denne leksjonen ble vi kjent med litt informasjon fra beregningsgeometri. Vi løste problemet med å finne likningen til linjen ved koordinatene til to punkter.

I neste leksjon skal vi skrive et program for å finne skjæringspunktet for to linjer gitt av ligningene våre.

Egenskaper til en rett linje i euklidisk geometri.

Det er uendelig mange linjer som kan trekkes gjennom et hvilket som helst punkt.

Gjennom to ikke-sammenfallende punkter er det bare én rett linje.

To ikke-sammenfallende linjer i planet krysser enten i et enkelt punkt, eller er

parallell (følger av den forrige).

I tredimensjonalt rom er det tre alternativer for den relative plasseringen av to linjer:

• linjer krysser hverandre;

• rette linjer er parallelle;

• rette linjer krysser hverandre.

Rett linje- algebraisk kurve av første orden: i det kartesiske koordinatsystemet, en rett linje

er gitt på planet ved en ligning av første grad (lineær ligning).

Generell ligning for en rett linje.

Definisjon. Enhver linje i planet kan gis ved en førsteordens ligning

Ah + Wu + C = 0,

og konstant A, B ikke lik null på samme tid. Denne førsteordensligningen kalles generell

rettlinjeligning. Avhengig av verdiene til konstantene A, B og FRA Følgende spesielle tilfeller er mulige:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linjen går gjennom origo

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- rett linje parallelt med aksen Åh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- rett linje parallelt med aksen OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linjen faller sammen med aksen OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linjen faller sammen med aksen Åh

Ligningen til en rett linje kan representeres i forskjellige former avhengig av en gitt

Innledende forhold.

Ligning av en rett linje med et punkt og en normalvektor.

Definisjon. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelrett på linjen gitt av ligningen

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom et punkt A(1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).

Løsning. La oss komponere ved A \u003d 3 og B \u003d -1 ligningen til den rette linjen: 3x - y + C \u003d 0. For å finne koeffisienten C

vi erstatter koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket Vi får: 3 - 2 + C = 0, derfor

C = -1. Totalt: ønsket ligning: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ligning av en rett linje som går gjennom to punkter.

La to poeng gis i rom M 1 (x 1, y 1, z 1) og M2 (x 2, y 2 , z 2), deretter rettlinjeligning,

passerer gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er lik null, skal den tilsvarende telleren settes lik null. På

planet, er ligningen til en rett linje skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2 .

Brøkdel = k kalt helningsfaktor rett.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved å bruke formelen ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje med et punkt og en helning.

Hvis den generelle ligningen av en rett linje Ah + Wu + C = 0 ta med til skjemaet:

og utpeke , så kalles den resulterende ligningen

ligning av en rett linje med helning k.

Ligningen av en rett linje på et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom normalvektoren, kan du gå inn i oppgaven

en rett linje gjennom et punkt og en retningsvektor til en rett linje.

Definisjon. Hver vektor som ikke er null (α 1 , α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen

Aα 1 + Bα 2 = 0 kalt retningsvektor for den rette linjen.

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punkt A(1, 2).

Løsning. Vi vil se etter ligningen til den ønskede rette linjen i skjemaet: Axe + By + C = 0. I henhold til definisjonen,

koeffisienter må tilfredsstille vilkårene:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Da har ligningen til en rett linje formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0.

på x=1, y=2 vi får C/A = -3, dvs. ønsket ligning:

x + y - 3 = 0

Ligning av en rett linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ah + Wu + C = 0 C≠0, så, ved å dele med -C, får vi:

eller , hvor

Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten a er koordinaten til skjæringspunktet

rett med aksel Åh, en b- koordinaten til skjæringspunktet mellom linjen og aksen OU.

Eksempel. Den generelle ligningen for en rett linje er gitt x - y + 1 = 0. Finn ligningen til denne rette linjen i segmenter.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal ligning for en rett linje.

Hvis begge sider av ligningen Ah + Wu + C = 0 dividere med tall , som kalles

normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal ligning av en rett linje.

Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ * C< 0.

R- lengden på perpendikulæren falt fra origo til linjen,

en φ - vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til aksen Åh.

Eksempel. Gitt den generelle ligningen for en rett linje 12x - 5y - 65 = 0. Nødvendig for å skrive ulike typer ligninger

denne rette linjen.

Ligningen til denne rette linjen i segmenter:

Ligningen av denne linjen med helning: (del med 5)

Ligning av en rett linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer,

parallelt med aksene eller går gjennom origo.

Vinkel mellom linjer på et plan.

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, deretter den spisse vinkelen mellom disse linjene

vil bli definert som

To linjer er parallelle if k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette

hvis k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorem.

Direkte Ah + Wu + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 er parallelle når koeffisientene er proporsjonale

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Hvis også С 1 \u003d λС, da faller linjene sammen. Koordinater til skjæringspunktet mellom to linjer

finnes som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt er vinkelrett på en gitt linje.

Definisjon. En linje som går gjennom et punkt M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y = kx + b

representert ved ligningen:

Avstanden fra et punkt til en linje.

Teorem. Hvis et poeng er gitt M(x 0, y 0), deretter avstanden til linjen Ah + Wu + C = 0 definert som:

Bevis. La poenget M 1 (x 1, y 1)- bunnen av perpendikulæren falt fra punktet M for en gitt

direkte. Deretter avstanden mellom punktene M og M 1:

(1)

Koordinater x 1 og 1 kan finnes som en løsning på ligningssystemet:

Den andre ligningen i systemet er ligningen av en rett linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett

gitt linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.

La den rette linjen gå gjennom punktene M 1 (x 1; y 1) og M 2 (x 2; y 2). Ligningen til en rett linje som går gjennom punktet M 1 har formen y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

hvor k - fortsatt ukjent koeffisient.

Siden den rette linjen går gjennom punktet M 2 (x 2 y 2), må koordinatene til dette punktet tilfredsstille ligningen (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Herfra finner vi Substituting the found value k inn i ligning (10.6), får vi ligningen til en rett linje som går gjennom punktene M 1 og M 2:

Det antas at i denne ligningen x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Hvis x 1 \u003d x 2, er den rette linjen som går gjennom punktene M 1 (x 1, y I) og M 2 (x 2, y 2) parallell med y-aksen. Dens ligning er x = x 1 .

Hvis y 2 \u003d y I, så kan ligningen til den rette linjen skrives som y \u003d y 1, den rette linjen M 1 M 2 er parallell med x-aksen.

Ligning av en rett linje i segmenter

La den rette linjen skjære Ox-aksen i punktet M 1 (a; 0), og Oy-aksen - ved punktet M 2 (0; b). Ligningen vil ha formen:
de.
. Denne ligningen kalles ligningen av en rett linje i segmenter, fordi tallene a og b indikerer hvilke segmenter den rette linjen skjærer av på koordinataksene.

Ligning av en rett linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor

La oss finne ligningen til en rett linje som går gjennom et gitt punkt Mo (x O; y o) vinkelrett på en gitt vektor som ikke er null n = (A; B).

Ta et vilkårlig punkt M(x; y) på den rette linjen og betrakt vektoren M 0 M (x - x 0; y - y o) (se fig. 1). Siden vektorene n og M o M er vinkelrette, er deres skalarprodukt lik null: det vil si,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ligning (10.8) kalles likning av en rett linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor .

Vektoren n = (A; B) vinkelrett på linjen kalles normal normal vektor for denne linjen .

Ligning (10.8) kan skrives om som Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

hvor A og B er koordinatene til normalvektoren, C \u003d -Ax o - Vu o - fritt medlem. Ligning (10,9) er den generelle ligningen for en rett linje(se fig.2).

Fig.1 Fig.2

Kanoniske ligninger av den rette linjen

,

Hvor
er koordinatene til punktet som linjen går gjennom, og
- retningsvektor.

Kurver av andre ordens sirkel

En sirkel er settet av alle punkter i et plan like langt fra et gitt punkt, som kalles sentrum.

Kanonisk ligning av en sirkel med radius R sentrert på et punkt
:

Spesielt hvis sentrum av innsatsen sammenfaller med opprinnelsen, vil ligningen se slik ut:

Ellipse

En ellipse er et sett med punkter i et plan, summen av avstandene fra hver av dem til to gitte punkter og , som kalles foci, er en konstant verdi
, større enn avstanden mellom brennpunktene
.

Den kanoniske ligningen for en ellipse hvis brennpunkter ligger på okseaksen og hvis opprinnelse er midt mellom brennpunktene, har formen
G de en lengden på den store halvaksen; b er lengden på den mindre halvaksen (fig. 2).