Eksempler på invers matrise med 3x3 løsning. Metode for elementære transformasjoner (Gauss og Gauss-Jordan metoder for å finne inverse matriser)

Dette emnet er et av de mest hatede blant studenter. Verre, sannsynligvis, bare determinanter.

Trikset er at selve konseptet med det inverse elementet (og jeg snakker ikke bare om matriser nå) refererer oss til operasjonen av multiplikasjon. Selv i skolens læreplan betraktes multiplikasjon som en kompleks operasjon, og matrisemultiplikasjon er generelt et eget emne, som jeg har et helt avsnitt og en videoleksjon viet til det.

I dag vil vi ikke gå inn på detaljene i matriseberegninger. Bare husk: hvordan matriser betegnes, hvordan de multipliseres og hva som følger av dette.

Gjennomgang: Matrisemultiplikasjon

Først av alt, la oss bli enige om notasjon. En matrise $A$ av størrelsen $\left[ m\times n \right]$ er ganske enkelt en talltabell med nøyaktig $m$ rader og $n$ kolonner:

\=\underbrace(\venstre[ \begin(matrise) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrise) \right])_(n)\]

For ikke å forveksle rader og kolonner ved et uhell på steder (tro meg, i eksamen kan du forveksle en enhet med en toer - hva kan vi si om noen linjer der), bare ta en titt på bildet:

Hva skjer? Hvis vi plasserer standard koordinatsystemet $OXY$ i øvre venstre hjørne og dirigerer aksene slik at de dekker hele matrisen, så kan hver celle i denne matrisen assosieres unikt med koordinatene $\left(x;y \right) $ - dette vil være radnummeret og kolonnenummeret.

Hvorfor er koordinatsystemet plassert nøyaktig i øvre venstre hjørne? Ja, for det er derfra vi begynner å lese tekster. Det er veldig lett å huske.

Hvorfor peker $x$-aksen ned og ikke til høyre? Igjen, det er enkelt: ta standard koordinatsystemet ($x$-aksen går til høyre, $y$-aksen går opp) og roter den slik at den omslutter matrisen. Dette er en 90 graders rotasjon med klokken - vi ser resultatet på bildet.

Generelt fant vi ut hvordan vi skulle bestemme indeksene til matriseelementene. La oss nå ta for oss multiplikasjon.

Definisjon. Matrisene $A=\venstre[ m\ ganger n \right]$ og $B=\left[ n\ ganger k \right]$, når antall kolonner i den første samsvarer med antall rader i den andre, er kalt konsekvent.

Det er i den rekkefølgen. Man kan være tvetydig og si at matrisene $A$ og $B$ danner et ordnet par $\left(A;B \right)$: hvis de er konsistente i denne rekkefølgen, så er det slett ikke nødvendig at $B $ og $A$, de. paret $\left(B;A \right)$ er også konsistent.

Bare konsistente matriser kan multipliseres.

Definisjon. Produktet av konsistente matriser $A=\venstre[ m\ ganger n \høyre]$ og $B=\venstre[ n\ ganger k \høyre]$ er den nye matrisen $C=\venstre[ m\ ganger k \høyre ]$ , hvis elementer $((c)_(ij))$ beregnes med formelen:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Med andre ord: for å få elementet $((c)_(ij))$ i matrisen $C=A\cdot B$, må du ta $i$-raden til den første matrisen, $j$ -th kolonne i den andre matrisen, og multipliser deretter elementer fra denne raden og kolonnen. Legg sammen resultatene.

Ja, det er en hard definisjon. Flere fakta følger umiddelbart av det:

1. Matrisemultiplikasjon er generelt sett ikke-kommutativ: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Imidlertid er multiplikasjon assosiativ: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Og til og med distributiv: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Og distributivt igjen: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributiviteten til multiplikasjon måtte beskrives separat for venstre og høyre multiplikasjonssum bare på grunn av ikke-kommutativiteten til multiplikasjonsoperasjonen.

Hvis det likevel viser seg at $A\cdot B=B\cdot A$, kalles slike matriser permutable.

Blant alle matrisene som multipliseres med noe der, er det spesielle - de som, når de multipliseres med en hvilken som helst matrise $A$, igjen gir $A$:

Definisjon. En matrise $E$ kalles identitet hvis $A\cdot E=A$ eller $E\cdot A=A$. I tilfellet med en kvadratisk matrise $A$ kan vi skrive:

Identitetsmatrisen er en hyppig gjest i å løse matriseligninger. Og generelt, en hyppig gjest i matrisens verden. :)

Og på grunn av denne $E$, kom noen opp med alt spillet som skal skrives neste gang.

Hva er en invers matrise

Siden matrisemultiplikasjon er en veldig tidkrevende operasjon (du må multiplisere en haug med rader og kolonner), er konseptet med en invers matrise heller ikke det mest trivielle. Og det trenger litt forklaring.

Nøkkeldefinisjon

Vel, det er på tide å vite sannheten.

Definisjon. Matrisen $B$ kalles den inverse av matrisen $A$ if

Den inverse matrisen er betegnet med $((A)^(-1))$ (ikke å forveksle med graden!), så definisjonen kan skrives om slik:

Det ser ut til at alt er ekstremt enkelt og klart. Men når man analyserer en slik definisjon, oppstår det umiddelbart flere spørsmål:

1. Finnes det alltid en invers matrise? Og hvis ikke alltid, hvordan bestemme: når det eksisterer og når det ikke finnes?
2. Og hvem sa at en slik matrise er nøyaktig en? Hva om det for en original matrise $A$ er en hel mengde inverser?
3. Hvordan ser alle disse "reversene" ut? Og hvordan teller du dem egentlig?

Når det gjelder beregningsalgoritmene - vi vil snakke om dette litt senere. Men vi vil svare på resten av spørsmålene nå. La oss ordne dem i form av separate påstandslemmaer.

Grunnleggende egenskaper

La oss starte med hvordan matrisen $A$ skal se ut for at den skal ha $((A)^(-1))$. Nå skal vi sørge for at begge disse matrisene må være kvadratiske og av samme størrelse: $\left[ n\ ganger n \right]$.

Lemma 1. Gitt en matrise $A$ og dens inverse $((A)^(-1))$. Da er begge disse matrisene kvadratiske og har samme rekkefølge $n$.

Bevis. Alt er enkelt. La matrisen $A=\venstre[ m\ ganger n \høyre]$, $((A)^(-1))=\venstre[ a\ ganger b \høyre]$. Siden produktet $A\cdot ((A)^(-1))=E$ eksisterer per definisjon, er matrisene $A$ og $((A)^(-1))$ konsistente i den rekkefølgen:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( tilpasse)\]

Dette er en direkte konsekvens av: koeffisientene $n$ og $a$ er "transit" og må være like.

Samtidig er den inverse multiplikasjonen også definert: $((A)^(-1))\cdot A=E$, så matrisene $((A)^(-1))$ og $A$ er også konsekvent i denne rekkefølgen:

\[\begin(align) & \venstre[ a\ ganger b \høyre]\cdot \venstre[ m\ ganger n \høyre]=\venstre[ a\ganger n \høyre] \\ & b=m \end( tilpasse)\]

Dermed, uten tap av generalitet, kan vi anta at $A=\venstre[ m\ ganger n \høyre]$, $((A)^(-1))=\venstre[ n\ ganger m \høyre]$. Imidlertid, i henhold til definisjonen av $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, så er dimensjonene til matrisene nøyaktig de samme:

\[\begin(align) & \venstre[ m\ ganger n \høyre]=\venstre[ n\ ganger m \høyre] \\ & m=n \end(align)\]

Så det viser seg at alle tre matrisene - $A$, $((A)^(-1))$ og $E$ - er kvadratiske i størrelse $\venstre[ n\ ganger n \høyre]$. Lemmaet er bevist.

Vel, det er allerede bra. Vi ser at bare kvadratiske matriser er inverterbare. La oss nå sørge for at den inverse matrisen alltid er den samme.

Lemma 2. Gitt en matrise $A$ og dens inverse $((A)^(-1))$. Da er denne inverse matrisen unik.

Bevis. La oss starte fra det motsatte: la matrisen $A$ ha minst to forekomster av inverser - $B$ og $C$. Da, i henhold til definisjonen, er følgende likheter sanne:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Fra Lemma 1 konkluderer vi med at alle fire matrisene $A$, $B$, $C$ og $E$ er kvadratiske av samme rekkefølge: $\venstre[ n\ ganger n \right]$. Derfor er produktet definert:

Siden matrisemultiplikasjon er assosiativ (men ikke kommutativ!), kan vi skrive:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\venstre(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \venstre(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Høyrepil B=C. \\ \end(align)\]

Vi har det eneste mulige alternativet: to kopier av den inverse matrisen er like. Lemmaet er bevist.

Resonnementet ovenfor gjentar nesten ordrett beviset på det unike til det inverse elementet for alle reelle tall $b\ne 0$. Det eneste signifikante tillegget er å ta hensyn til dimensjonen til matriser.

Imidlertid vet vi fortsatt ikke noe om hvorvidt en kvadratisk matrise er inverterbar. Her kommer determinanten til hjelp - dette er en nøkkelegenskap for alle kvadratiske matriser.

Lemma 3. Gitt en matrise $A$. Hvis matrisen $((A)^(-1))$ invers til den eksisterer, så er determinanten til den opprinnelige matrisen ikke null:

\[\venstre| En \right|\ne 0\]

Bevis. Vi vet allerede at $A$ og $((A)^(-1))$ er kvadratiske matriser av størrelsen $\left[ n\ ganger n \right]$. Derfor er det mulig for hver av dem å beregne determinanten: $\left| A \right|$ og $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Imidlertid er determinanten til produktet lik produktet av determinantene:

\[\venstre| A\cdot B \right|=\venstre| En \høyre|\cdot \venstre| B \høyre|\Høyrepil \venstre| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\venstre| En \høyre|\cdot \venstre| ((A)^(-1)) \right|\]

Men i henhold til definisjonen av $A\cdot ((A)^(-1))=E$, og determinanten til $E$ er alltid lik 1, så

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \venstre| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\venstre| E\høyre|; \\ & \venstre| En \høyre|\cdot \venstre| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Produktet av to tall er lik én bare hvis hvert av disse tallene er forskjellig fra null:

\[\venstre| En \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Så det viser seg at $\venstre| En \right|\ne 0$. Lemmaet er bevist.

Faktisk er dette kravet ganske logisk. Nå skal vi analysere algoritmen for å finne den inverse matrisen - og det vil bli helt klart hvorfor det i prinsippet ikke kan eksistere noen invers matrise med null determinant.

Men først, la oss formulere en "hjelpe" definisjon:

Definisjon. En degenerert matrise er en kvadratisk matrise med størrelsen $\venstre[ n\ ganger n \høyre]$ hvis determinant er null.

Dermed kan vi hevde at enhver inverterbar matrise er ikke degenerert.

Hvordan finne den inverse matrisen

Nå skal vi vurdere en universell algoritme for å finne inverse matriser. Generelt er det to allment aksepterte algoritmer, og vi vil også vurdere den andre i dag.

Den som vil bli vurdert nå er svært effektiv for matriser med størrelse $\venstre[ 2\ ganger 2 \høyre]$ og - delvis - av størrelse $\venstre[ 3\ ganger 3 \høyre]$. Men fra størrelsen $\left[ 4\times 4 \right]$ er det bedre å ikke bruke det. Hvorfor - nå vil du forstå alt.

Algebraiske tillegg

Gjør deg klar. Nå blir det smerte. Nei, ikke bekymre deg: en vakker sykepleier i et skjørt, strømper med blonder kommer ikke til deg og vil ikke gi deg en injeksjon i baken. Alt er mye mer prosaisk: algebraiske tillegg og Hennes Majestet "Union Matrix" kommer til deg.

La oss starte med den viktigste. La det være en kvadratisk matrise med størrelsen $A=\venstre[ n\ ganger n \høyre]$ hvis elementer heter $((a)_(ij))$. Så, for hvert slikt element, kan man definere et algebraisk komplement:

Definisjon. Algebraisk komplement $((A)_(ij))$ til elementet $((a)_(ij))$ i $i$-th rad og $j$-th kolonne i matrisen $A=\venstre [ n \times n \right]$ er en konstruksjon av formen

\[((A)_(ij))=((\venstre(-1 \høyre))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Hvor $M_(ij)^(*)$ er determinanten for matrisen hentet fra den opprinnelige $A$ ved å slette den samme $i$-th rad og $j$-th kolonne.

En gang til. Det algebraiske komplementet til matriseelementet med koordinatene $\left(i;j \right)$ er betegnet som $((A)_(ij))$ og beregnes i henhold til skjemaet:

1. Først sletter vi $i$-raden og $j$-th-kolonnen fra den opprinnelige matrisen. Vi får en ny kvadratisk matrise, og vi betegner dens determinant som $M_(ij)^(*)$.
2. Så multipliserer vi denne determinanten med $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - til å begynne med kan dette uttrykket virke overveldende, men faktisk finner vi bare ut tegnet foran $ M_(ij)^(*) $.
3. Vi teller – vi får et bestemt tall. De. det algebraiske tillegget er bare et tall, ikke en ny matrise, og så videre.

Selve matrisen $M_(ij)^(*)$ kalles den komplementære moll til elementet $((a)_(ij))$. Og i denne forstand er definisjonen ovenfor av et algebraisk komplement et spesielt tilfelle av en mer kompleks definisjon - den vi vurderte i leksjonen om determinanten.

Viktig notat. Faktisk, i "voksen" matematikk, er algebraiske tillegg definert som følger:

1. Vi tar $k$ rader og $k$ kolonner i en kvadratisk matrise. I skjæringspunktet deres får vi en matrise med størrelse $\venstre[ k\ ganger k \right]$ — dens determinant kalles en minor av orden $k$ og er betegnet med $((M)_(k))$.
2. Så krysser vi ut disse "utvalgte" $k$-radene og $k$-kolonnene. Igjen får vi en kvadratisk matrise - dens determinant kalles den komplementære moll og er betegnet med $M_(k)^(*)$.
3. Multipliser $M_(k)^(*)$ med $((\left(-1 \right))^(t))$, der $t$ er (merk nå!) summen av tallene for alle valgte rader og kolonner. Dette vil være det algebraiske tillegget.

Ta en titt på det tredje trinnet: det er faktisk en sum på $2k$ vilkår! En annen ting er at for $k=1$ får vi bare 2 ledd - disse vil være de samme $i+j$ - "koordinatene" til elementet $((a)_(ij))$, som vi er for ser etter et algebraisk komplement.

Så i dag bruker vi en litt forenklet definisjon. Men som vi skal se senere, blir det mer enn nok. Mye viktigere er følgende:

Definisjon. Unionsmatrisen $S$ til kvadratmatrisen $A=\venstre[ n\ ganger n \right]$ er en ny matrise med størrelsen $\left[ n\ ganger n \right]$, som er hentet fra $A$ ved å erstatte $(( a)_(ij))$ med algebraiske komplementer $((A)_(ij))$:

\\Høyrepil S=\venstre[ \begin(matrise) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrise) \right]\]

Den første tanken som dukker opp i øyeblikket av å realisere denne definisjonen er "dette er hvor mye du må telle totalt!" Slapp av: du må telle, men ikke så mye. :)

Vel, alt dette er veldig hyggelig, men hvorfor er det nødvendig? Men hvorfor.

Hovedteorem

La oss gå litt tilbake. Husk, Lemma 3 uttalte at en inverterbar matrise $A$ alltid er ikke-singular (det vil si at dens determinant er ikke-null: $\left| A \right|\ne 0$).

Så det motsatte er også sant: hvis matrisen $A$ ikke er degenerert, så er den alltid inverterbar. Og det er til og med et søkeskjema $((A)^(-1))$. Sjekk det ut:

Invers matriseteorem. La en kvadratisk matrise $A=\venstre[ n\ ganger n \right]$ gis, og dens determinant er ikke null: $\left| En \right|\ne 0$. Da eksisterer den inverse matrisen $((A)^(-1))$ og beregnes med formelen:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\venstre| A \høyre|)\cdot ((S)^(T))\]

Og nå - likevel, men med lesbar håndskrift. For å finne den inverse matrisen trenger du:

1. Beregn determinanten $\left| A \right|$ og sørg for at den ikke er null.
2. Kompiler unionsmatrisen $S$, dvs. tell 100500 algebraiske tillegg $((A)_(ij))$ og sett dem på plass $((a)_(ij))$.
3. Transponer denne matrisen $S$ og multipliser den med et tall $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Og det er det! Den inverse matrisen $((A)^(-1))$ er funnet. La oss se på eksempler:

\[\venstre[ \begin(matrise) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrise) \right]\]

Løsning. La oss sjekke reversibiliteten. La oss beregne determinanten:

\[\venstre| En \høyre|=\venstre| \begin(matrise) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrise) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinanten er forskjellig fra null. Så matrisen er inverterbar. La oss lage en fagforeningsmatrise:

La oss beregne de algebraiske addisjonene:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\høyre|=2; \\ & ((A)_(12))=((\venstre(-1 \høyre))^(1+2))\cdot \venstre| 5\høyre|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\venstre(-1 \høyre))^(2+1))\cdot \venstre| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\venstre(-1 \høyre))^(2+2))\cdot \venstre| 3\høyre|=3. \\ \end(align)\]

Vær oppmerksom: determinanter |2|, |5|, |1| og |3| er determinantene for matriser med størrelse $\venstre[ 1\ ganger 1 \høyre]$, ikke moduler. De. hvis det var negative tall i determinantene, er det ikke nødvendig å fjerne "minus".

Totalt ser fagforeningsmatrisen vår slik ut:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\venstre| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\venstre[ \begin (matrise)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(matrise) \right]\]

OK, det er over nå. Problem løst.

Svar. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

En oppgave. Finn den inverse matrisen:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Løsning. Igjen tar vi for oss determinanten:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrise) ) \venstre(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\venstre (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrise)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinanten er forskjellig fra null - matrisen er inverterbar. Men nå blir det mest blikk: du må telle så mange som 9 (ni, for helvete!) algebraiske tillegg. Og hver av dem vil inneholde $\left[ 2\times 2 \right]$-kvalifiseringen. Fløy:

\[\begin(matrise) ((A)_(11))=((\venstre(-1 \høyre))^(1+1))\cdot \venstre| \begin(matrise) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\venstre(-1 \høyre))^(1+2))\cdot \venstre| \begin(matrise) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrise) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\venstre(-1 \høyre))^(1+3))\cdot \venstre| \begin(matrise) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrise) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\venstre(-1 \høyre))^(3+3))\cdot \venstre| \begin(matrise) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrise) \right|=2; \\ \end(matrise)\]

Kort fortalt vil fagforeningsmatrisen se slik ut:

Derfor vil den inverse matrisen være:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \venstre[ \begin(matrise) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrise) \right]=\venstre[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

Vel, det er alt. Her er svaret.

Svar. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Som du kan se, utførte vi en sjekk på slutten av hvert eksempel. I denne forbindelse, en viktig merknad:

Ikke vær lat med å sjekke. Multipliser den opprinnelige matrisen med den funnet inverse - du bør få $E$.

Det er mye enklere og raskere å utføre denne kontrollen enn å se etter en feil i videre beregninger, når du for eksempel løser en matriseligning.

Alternativ måte

Som sagt fungerer invers matriseteoremet fint for størrelsene $\venstre[ 2\ ganger 2 \høyre]$ og $\venstre[ 3\ ganger 3 \høyre]$ (i sistnevnte tilfelle er det ikke så "flott" lenger). ”), men for store matriser begynner tristhet.

Men ikke bekymre deg: det finnes en alternativ algoritme som kan brukes til å finne inversen rolig selv for $\venstre[ 10\ ganger 10 \right]$ matrisen. Men som ofte er tilfellet, for å vurdere denne algoritmen, trenger vi litt teoretisk bakgrunn.

Elementære transformasjoner

Blant de forskjellige transformasjonene av matrisen er det flere spesielle - de kalles elementære. Det er nøyaktig tre slike transformasjoner:

1. Multiplikasjon. Du kan ta $i$-th rad (kolonne) og multiplisere den med et hvilket som helst tall $k\ne 0$;
2. Addisjon. Legg til $i$-th rad (kolonne) en hvilken som helst annen $j$-th rad (kolonne) multiplisert med et hvilket som helst tall $k\ne 0$ (selvfølgelig er $k=0$ også mulig, men hva er vitsen av det? Ingenting vil imidlertid endre seg).
3. Permutasjon. Ta $i$-th og $j$-th radene (kolonner) og bytt dem.

Hvorfor disse transformasjonene kalles elementære (for store matriser ser de ikke så elementære ut) og hvorfor det bare er tre av dem - disse spørsmålene er utenfor rammen av dagens leksjon. Derfor vil vi ikke gå i detaljer.

En annen ting er viktig: vi må utføre alle disse perversjonene på den tilhørende matrisen. Ja, ja, du hørte riktig. Nå blir det en definisjon til - den siste i dagens leksjon.

Vedlagt matrise

Sikkert på skolen løste du likningssystemer ved hjelp av addisjonsmetoden. Vel, der, trekk en annen fra en linje, multipliser en linje med et tall - det er alt.

Så: nå vil alt være det samme, men allerede "på en voksen måte". Klar?

Definisjon. La matrisen $A=\venstre[ n\ ganger n \right]$ og identitetsmatrisen $E$ av samme størrelse $n$ gis. Deretter den tilknyttede matrisen $\left[ A\left| E\rett. \right]$ er en ny $\left[ n\ ganger 2n \right]$ matrise som ser slik ut:

\[\venstre[ A\venstre| E\rett. \right]=\venstre[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Kort sagt, vi tar matrisen $A$, til høyre tildeler vi den identitetsmatrisen $E$ av ønsket størrelse, vi skiller dem med en vertikal strek for skjønnhet - her har du den vedlagte. :)

Hva er fangsten? Og her er hva:

Teorem. La matrisen $A$ være inverterbar. Tenk på den tilstøtende matrisen $\left[ A\left| E\rett. \right]$. Hvis du bruker elementære strengtransformasjoner ta den til formen $\left[ E\left| Lys. \right]$, dvs. ved å multiplisere, subtrahere og omorganisere rader for å få fra $A$ matrisen $E$ til høyre, så er matrisen $B$ oppnådd til venstre den inverse av $A$:

\[\venstre[ A\venstre| E\rett. \høyre]\til \venstre[ E\venstre| Lys. \right]\Høyrepil B=((A)^(-1))\]

Så enkelt er det! Kort sagt, algoritmen for å finne den inverse matrisen ser slik ut:

1. Skriv den tilknyttede matrisen $\left[ A\left| E\rett. \right]$;
2. Utfør elementære strengkonverteringer til høyre i stedet for $A$ vises $E$;
3. Selvfølgelig vil det også dukke opp noe til venstre - en viss matrise $B$. Dette vil være omvendt;
4. FORTJENESTE! :)

Selvfølgelig mye lettere sagt enn gjort. Så la oss se på et par eksempler: for størrelsene $\venstre[ 3\ ganger 3 \høyre]$ og $\venstre[ 4\ ganger 4 \høyre]$.

En oppgave. Finn den inverse matrisen:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Løsning. Vi komponerer den vedlagte matrisen:

\[\venstre[ \begin(matrise)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Siden den siste kolonnen i den opprinnelige matrisen er fylt med enere, trekker du den første raden fra resten:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrise) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrise)\to \\ & \to \venstre [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Det er ingen flere enheter, bortsett fra den første linjen. Men vi rører den ikke, ellers vil de nylig fjernede enhetene begynne å "multipiseres" i den tredje kolonnen.

Men vi kan trekke den andre linjen to ganger fra den siste - vi får en enhet i nedre venstre hjørne:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrise) \ \\ \nedoverpil \\ -2 \\\end(matrise)\to \\ & \venstre [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Nå kan vi trekke den siste raden fra den første og to ganger fra den andre - på denne måten vil vi "nulle ut" den første kolonnen:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrise) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrise)\to \\ & \ til \venstre[ \begin(matrise)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Multipliser den andre raden med −1 og trekk den 6 ganger fra den første og legg til 1 gang til den siste:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrise) \ \\ \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrise)\to \\ & \to \venstre[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrise) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrise)\to \\ & \to \venstre[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Det gjenstår bare å bytte linje 1 og 3:

\[\venstre[ \begin(matrise)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

Klar! Til høyre er den nødvendige inverse matrisen.

Svar. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

En oppgave. Finn den inverse matrisen:

\[\venstre[ \begin(matrise) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrise) \right]\]

Løsning. Igjen komponerer vi den vedlagte:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

La oss låne litt, bekymre oss for hvor mye vi må telle nå ... og begynne å telle. Til å begynne med "nuller" vi den første kolonnen ved å trekke rad 1 fra rad 2 og 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrise) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrise)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Vi observerer for mange "minus" i linje 2-4. Multipliser alle tre radene med −1, og brenn deretter ut den tredje kolonnen ved å trekke rad 3 fra resten:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(matrise) \right]\begin(matrise) \ \\ \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrise)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (matrise) \right]\begin(matrise) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrise)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Nå er det på tide å "steke" den siste kolonnen i den opprinnelige matrisen: trekk rad 4 fra resten:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrise) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrise)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Siste kast: "brenn ut" den andre kolonnen ved å trekke fra rad 2 fra rad 1 og 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrise) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrise)\to \\ & \to \venstre[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Og igjen, identitetsmatrisen til venstre, så den omvendte til høyre. :)

Svar. $\left[ \begin(matrise) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrise) \right]$

Vi fortsetter å snakke om handlinger med matriser. I løpet av å studere denne forelesningen vil du nemlig lære hvordan du finner den inverse matrisen. Lære. Selv om regnestykket er stramt.

Hva er en invers matrise? Her kan vi trekke en analogi med resiproke: tenk for eksempel på det optimistiske tallet 5 og dets gjensidige. Produktet av disse tallene er lik én: . Det er det samme med matriser! Produktet av en matrise og dens inverse er - identitetsmatrise, som er matriseanalogen til den numeriske enheten. Men først og fremst vil vi løse et viktig praktisk problem, nemlig vi vil lære hvordan vi finner denne svært omvendte matrisen.

Hva trenger du å vite og kunne finne den inverse matrisen? Du må kunne bestemme determinanter. Du må forstå hva som er matrise og kunne utføre noen handlinger med dem.

Det er to hovedmetoder for å finne den inverse matrisen:
ved bruk av algebraiske tillegg og ved hjelp av elementære transformasjoner.

I dag skal vi studere den første, enklere måten.

La oss starte med det mest forferdelige og uforståelige. Ta i betraktning torget matrise . Den inverse matrisen kan bli funnet ved å bruke følgende formel:

Hvor er determinanten for matrisen, er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.

Konseptet med en invers matrise eksisterer bare for kvadratiske matriser, matriser "to og to", "tre og tre" osv.

Notasjon: Som du sikkert allerede har lagt merke til, er inversen av en matrise merket med et hevet skrift

La oss starte med det enkleste tilfellet - en to-og-to-matrise. Oftest kreves selvfølgelig "tre og tre", men likevel anbefaler jeg på det sterkeste å studere en enklere oppgave for å lære det generelle prinsippet for løsningen.

Eksempel:

Finn inversen til en matrise

Vi bestemmer. Rekkefølgen av handlinger er praktisk dekomponert i punkter.

1) Først finner vi determinanten til matrisen.

Hvis forståelsen av denne handlingen ikke er god, les materialet Hvordan beregne determinanten?

Viktig! Hvis determinanten for matrisen er NULL– invers matrise EKSISTERER IKKE.

I eksemplet under vurdering, som det viste seg, betyr det at alt er i orden.

2) Finn matrisen av mindreårige.

For å løse problemet vårt er det ikke nødvendig å vite hva en mindreårig er, men det anbefales å lese artikkelen Hvordan beregne determinanten.

Matrisen av mindreårige har samme dimensjoner som matrisen , det vil si i dette tilfellet .
Saken er liten, det gjenstår å finne fire tall og sette dem i stedet for stjerner.

Tilbake til matrisen vår
La oss først se på elementet øverst til venstre:

Hvordan finne den liten?
Og dette gjøres slik: MENTALT kryss ut raden og kolonnen der dette elementet er plassert:

Det resterende tallet er mindre av det gitte elementet, som vi skriver i vår matrise over mindreårige:

Tenk på følgende matriseelement:

Kryss mentalt ut raden og kolonnen der dette elementet er plassert:

Det som gjenstår er minor av dette elementet, som vi skriver inn i matrisen vår:

På samme måte vurderer vi elementene i den andre raden og finner deres mindreårige:


Klar.

Det er enkelt. I matrisen av mindreårige, trenger du ENDRE TEGN for to tall:

Det er disse tallene jeg har satt ring rundt!

er matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.

Og bare noe...

4) Finn den transponerte matrisen av algebraiske addisjoner.

er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.

5) Svar.

Husk formelen vår
Alle funnet!

Så den inverse matrisen er:

Det er best å la svaret være som det er. INGEN BEHOV del hvert element i matrisen med 2, ettersom brøktall vil bli oppnådd. Denne nyansen diskuteres mer detaljert i samme artikkel. Handlinger med matriser.

Hvordan sjekke løsningen?

Matrisemultiplikasjon må heller utføres

Undersøkelse:

allerede nevnt identitetsmatrise er en matrise med enheter på hoveddiagonal og nuller andre steder.

Dermed blir den inverse matrisen funnet riktig.

Hvis du utfører en handling, vil resultatet også være en identitetsmatrise. Dette er et av få tilfeller der matrisemultiplikasjon er permuterbar, mer informasjon finner du i artikkelen Egenskaper for operasjoner på matriser. Matriseuttrykk. Legg også merke til at under kontrollen blir konstanten (brøken) trukket frem og behandlet helt på slutten - etter matrisemultiplikasjonen. Dette er en standardinnstilling.

La oss gå videre til en mer vanlig sak i praksis - tre-av-tre-matrisen:

Eksempel:

Finn inversen til en matrise

Algoritmen er nøyaktig den samme som for to-og-to-tilfellet.

Vi finner den inverse matrisen ved formelen: , hvor er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen .

1) Finn matrisedeterminanten.

Her avsløres determinanten på første linje.

Ikke glem det, noe som betyr at alt er bra - invers matrise eksisterer.

2) Finn matrisen av mindreårige.

Matrisen av mindreårige har dimensjonen "tre ganger tre" , og vi må finne ni tall.

Jeg skal se nærmere på et par mindreårige:

Tenk på følgende matriseelement:

MENTALT kryss ut raden og kolonnen der dette elementet er plassert:

De resterende fire tallene er skrevet i determinanten "to og to"

Denne to-og-to determinanten og er en moll av det gitte elementet. Det må beregnes:


Alt, den mindreårige er funnet, vi skriver det inn i vår matrise av mindreårige:

Som du kanskje har gjettet, er det ni to-og-to determinanter å beregne. Prosessen er selvfølgelig kjedelig, men saken er ikke den vanskeligste, den kan bli verre.

Vel, for å konsolidere - finne en annen mindreårig på bildene:

Prøv å beregne resten av de mindreårige selv.

Endelig resultat:
er matrisen av mindreårige av de tilsvarende elementene i matrisen.

At alle de mindreårige viste seg å være negative er en ren tilfeldighet.

3) Finn matrisen av algebraiske addisjoner.

I matrisen av mindreårige er det nødvendig ENDRE TEGN strengt tatt for følgende elementer:

I dette tilfellet:

Å finne den inverse matrisen for "fire av fire"-matrisen vurderes ikke, siden bare en sadistisk lærer kan gi en slik oppgave (for studenten å beregne en "fire ganger fire" determinant og 16 "tre ganger tre" determinanter) . I min praksis var det bare ett slikt tilfelle, og kunden av testen betalte for min plage ganske dyrt =).

I en rekke lærebøker, manualer kan du finne en litt annen tilnærming til å finne den inverse matrisen, men jeg anbefaler å bruke løsningsalgoritmen ovenfor. Hvorfor? Fordi sannsynligheten for å bli forvirret i beregninger og tegn er mye mindre.

For enhver ikke-singular matrise A eksisterer det en unik matrise A -1 slik at

A*A -1 =A -1 *A = E,

hvor E er identitetsmatrisen av samme rekkefølge som A. Matrisen A -1 kalles den inverse av matrise A.

Hvis noen har glemt, i identitetsmatrisen, bortsett fra diagonalen fylt med enere, er alle andre posisjoner fylt med nuller, et eksempel på en identitetsmatrise:

Finne den inverse matrisen ved hjelp av adjoint matrise-metoden

Den inverse matrisen er definert av formelen:

hvor A ij - elementer a ij .

De. For å beregne inversen til en matrise, må du beregne determinanten til denne matrisen. Finn deretter algebraiske tillegg for alle elementene og lag en ny matrise fra dem. Deretter må du transportere denne matrisen. Og del hvert element i den nye matrisen med determinanten til den opprinnelige matrisen.

La oss se på noen få eksempler.

Finn A -1 for matrise

Løsning Finn A -1 ved hjelp av adjoint matrise-metoden. Vi har det A = 2. Finn de algebraiske komplementene til elementene i matrisen A. I dette tilfellet vil de algebraiske komplementene til matriseelementene være de tilsvarende elementene i selve matrisen, tatt med et tegn i samsvar med formelen

Vi har A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Vi danner den adjunkte matrisen

Vi transporterer matrisen A*:

Vi finner den inverse matrisen ved formelen:

Vi får:

Bruk adjoint matrise-metoden for å finne A -1 if

Løsning: Først og fremst beregner vi den gitte matrisen for å sikre at den inverse matrisen eksisterer. Vi har

Her har vi lagt til elementene i den andre raden elementene i den tredje raden, tidligere multiplisert med (-1), og deretter utvidet determinanten med den andre raden. Siden definisjonen av denne matrisen er forskjellig fra null, eksisterer matrisen invers til den. For å konstruere den tilstøtende matrisen finner vi de algebraiske komplementene til elementene i denne matrisen. Vi har

I henhold til formelen

vi transporterer matrisen A*:

Deretter i henhold til formelen

Finne den inverse matrisen ved hjelp av metoden for elementære transformasjoner

I tillegg til metoden for å finne den inverse matrisen, som følger av formelen (metoden til den tilhørende matrisen), finnes det en metode for å finne den inverse matrisen, kalt metoden for elementære transformasjoner.

Elementære matrisetransformasjoner

Følgende transformasjoner kalles elementære matrisetransformasjoner:

1) permutasjon av rader (kolonner);

2) multiplisere en rad (kolonne) med et tall som ikke er null;

3) legge til elementene i en rad (kolonne) de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne), tidligere multiplisert med et visst tall.

For å finne matrisen A -1, konstruerer vi en rektangulær matrise B \u003d (A | E) av ordrer (n; 2n), og tildeler til matrisen A til høyre identitetsmatrisen E gjennom delelinjen:

Tenk på et eksempel.

Bruk metoden for elementære transformasjoner, finn A -1 if

Løsning. Vi danner matrisen B:

Angi radene i matrisen B til α 1 , α 2 , α 3 . La oss utføre følgende transformasjoner på radene i matrisen B.

Finne den inverse matrisen.

I denne artikkelen vil vi ta for oss konseptet med en invers matrise, dens egenskaper og måter å finne den på. La oss dvele i detalj ved å løse eksempler der det er nødvendig å konstruere en invers matrise for en gitt.

Sidenavigering.

Invers matrise - definisjon.

Finne den inverse matrisen ved å bruke en matrise med algebraiske addisjoner.

Egenskaper til den inverse matrisen.

Finne den inverse matrisen ved Gauss-Jordan-metoden.

Finne elementer i den inverse matrisen ved å løse de tilsvarende systemene med lineære algebraiske ligninger.

Invers matrise - definisjon.

Konseptet med en invers matrise introduseres bare for kvadratiske matriser hvis determinant er forskjellig fra null, det vil si for ikke-singulære kvadratiske matriser.

Definisjon.

Matrisekalles den inverse av matrisen, hvis determinant er forskjellig fra null, hvis likheter er sanne , hvor E er ordenens identitetsmatrise n på n.

Finne den inverse matrisen ved å bruke en matrise med algebraiske addisjoner.

Hvordan finne den inverse matrisen for en gitt en?

Først trenger vi konseptene transponert matrise, matrise-moll og det algebraiske komplementet til matriseelementet.

Definisjon.

Litenk-th rekkefølge matriser EN rekkefølge m på n er determinanten for rekkefølgematrisen k på k, som er hentet fra elementene i matrisen MEN ligger i den valgte k linjer og k kolonner. ( k ikke overstiger det minste antallet m eller n).

Liten (n-1)th rekkefølge, som består av elementene i alle rader, unntatt i-th, og alle kolonner unntatt j-th, kvadratisk matrise MEN rekkefølge n på n la oss betegne det som .

Med andre ord er minor hentet fra kvadratmatrisen MEN rekkefølge n på n krysse ut elementer i-th linjer og j-th kolonne.

For eksempel, la oss skrive, mindre 2 rekkefølge, som er hentet fra matrisen utvalg av elementer i dens andre, tredje rad og første, tredje kolonne . Vi viser også minor, som er hentet fra matrisen sletter den andre raden og den tredje kolonnen . La oss illustrere konstruksjonen av disse mindreårige: og .

Definisjon.

Algebraisk tillegg element i en kvadratisk matrise kalles minor (n-1)th rekkefølge, som er hentet fra matrisen MEN, sletter elementer av dens i-th linjer og j-th kolonne multiplisert med .

Det algebraiske komplementet til et element er betegnet som . Og dermed, .

For eksempel for en matrise det algebraiske komplementet til elementet er .

For det andre vil vi trenge to egenskaper til determinanten, som vi diskuterte i avsnittet matrisedeterminantberegning:

Basert på disse egenskapene til determinanten, definisjonene operasjoner for å multiplisere en matrise med et tall og konseptet med en invers matrise, har vi likheten , hvor er en transponert matrise hvis elementer er algebraiske komplementer .

Matrise er faktisk den inverse av matrisen MEN, siden likhetene . La oss vise det

La oss komponere invers matrisealgoritme ved å bruke likestilling .

La oss analysere algoritmen for å finne den inverse matrisen ved å bruke et eksempel.

Eksempel.

Gitt en matrise . Finn den inverse matrisen.

Løsning.

Regn ut matrisedeterminanten MEN, utvide den med elementene i den tredje kolonnen:

Determinanten er ikke-null, så matrisen MEN reversible.

La oss finne en matrise fra algebraiske tillegg:

Derfor

La oss utføre transposisjonen av matrisen fra algebraiske tillegg:

Nå finner vi den inverse matrisen som :

La oss sjekke resultatet:

Likestilling blir utført, derfor blir den inverse matrisen funnet riktig.

Egenskaper til den inverse matrisen.

Begrepet invers matrise, likhet , definisjonene av operasjoner på matriser, og egenskapene til determinanten til en matrise gjør det mulig å underbygge følgende inverse matriseegenskaper:

Finne elementer i den inverse matrisen ved å løse de tilsvarende systemene med lineære algebraiske ligninger.

Tenk på en annen måte å finne den inverse matrisen for en kvadratisk matrise MEN rekkefølge n på n.

Denne metoden er basert på løsningen n systemer av lineære inhomogene algebraiske ligninger med n ukjent. De ukjente variablene i disse ligningssystemene er elementene i den inverse matrisen.

Ideen er veldig enkel. Angi den inverse matrisen som X, det er, . Siden per definisjon av den inverse matrisen , da

Å likestille de tilsvarende elementene med kolonner, får vi n systemer av lineære ligninger

Vi løser dem på hvilken som helst måte og danner en invers matrise fra de funnet verdiene.

La oss analysere denne metoden med et eksempel.

Eksempel.

Gitt en matrise . Finn den inverse matrisen.

Løsning.

Aksepterer . Likhet gir oss tre systemer med lineære ikke-homogene algebraiske ligninger:

Vi vil ikke beskrive løsningen til disse systemene; se avsnittet om nødvendig løsning av systemer med lineære algebraiske ligninger.

Fra det første likningssystemet har vi , fra det andre - , fra det tredje - . Derfor har den ønskede inverse matrisen formen . Vi anbefaler å sjekke for å sikre at resultatet er riktig.

Oppsummer.

Vi vurderte konseptet med en invers matrise, dens egenskaper og tre metoder for å finne den.

Eksempel på invers matriseløsninger

Øvelse 1. Løs SLAE ved å bruke den inverse matrisemetoden. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Skjemastart

Slutt på skjema

Løsning. La oss skrive matrisen som følger: Vektor B: B T = (1,2,3,4) Major determinant Minor for (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+ 4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor for (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor for (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor for (4,1): = 3 (3 2-6) 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Minor determinant ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transponert matrise Algebraiske komplementer ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7) 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3) 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4) )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5) 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Invers matrise Resultatvektor X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

se også SLAE-løsninger ved invers matrisemetoden på nett. For å gjøre dette, skriv inn dataene dine og få en avgjørelse med detaljerte kommentarer.

Oppgave 2. Skriv ligningssystemet i matriseform og løs det ved å bruke den inverse matrisen. Sjekk den oppnådde løsningen. Løsning:xml:xls

Eksempel 2. Skriv ligningssystemet i matriseform og løs ved hjelp av den inverse matrisen. Løsning:xml:xls

Eksempel. Et system med tre lineære ligninger med tre ukjente er gitt. Påkrevd: 1) finn løsningen ved hjelp av Cramers formler; 2) skriv systemet på matriseform og løs det ved hjelp av matriseregning. Retningslinjer. Etter å ha løst ved Cramers metode, finn knappen "Invers matriseløsning for innledende data". Du vil motta en passende avgjørelse. Dermed vil ikke dataene måtte fylles ut på nytt. Løsning. Angi med A - matrisen av koeffisienter for ukjente; X - kolonnematrise av ukjente; B - matrise-kolonne med gratis medlemmer:

Vektor B: B T =(4,-3,-3) Gitt disse notasjonene, har dette ligningssystemet følgende matriseform: A*X = B. Hvis matrisen A er ikke-degenerert (dens determinant er ikke-null, så har den en invers matrise A -1. Multipliserer begge sider av ligningen med A -1, får vi: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Denne likheten kalles matrisenotasjon av løsningen av systemet med lineære ligninger. For å finne en løsning på ligningssystemet er det nødvendig å beregne den inverse matrisen A -1 . Systemet vil ha en løsning hvis determinanten til matrisen A ikke er null. La oss finne hoveddeterminanten. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Så determinanten er 14 ≠ 0, så vi fortsetter løsningen. For å gjøre dette finner vi den inverse matrisen gjennom algebraiske addisjoner. La oss ha en ikke-singular matrise A:

Vi beregner algebraiske addisjoner.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Undersøkelse. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 dok:xml:xls Svar: -1,1,2.

For å finne den inverse matrisen på nettet, må du spesifisere størrelsen på selve matrisen. For å gjøre dette, klikk på "+" eller "-" ikonene til verdien av antall kolonner og rader passer deg. Deretter skriver du inn de nødvendige elementene i feltene. Nedenfor er "Beregn"-knappen - ved å klikke på den får du svar med en detaljert løsning på skjermen.

I lineær algebra møter man ofte prosessen med å beregne inversen til en matrise. Den eksisterer bare for uuttrykte matriser og for kvadratiske matriser forutsatt at determinanten ikke er null. I prinsippet er det ikke spesielt vanskelig å beregne det, spesielt hvis du har med en liten matrise å gjøre. Men hvis du trenger mer komplekse beregninger eller en grundig dobbeltsjekk av avgjørelsen din, er det bedre å bruke denne online kalkulatoren. Med den kan du raskt og nøyaktig løse den inverse matrisen.

Med denne nettbaserte kalkulatoren kan du forenkle oppgaven betraktelig når det gjelder beregninger. I tillegg hjelper det å konsolidere materialet som er oppnådd i teorien - dette er en slags simulator for hjernen. Du bør ikke vurdere det som en erstatning for manuelle beregninger, det kan gi deg mye mer, noe som gjør det lettere å forstå selve algoritmen. Dessuten skader det aldri å dobbeltsjekke deg selv.