Felles multiplum av tall. Hvordan finne det minste felles multiplum av to tall

Matematiske uttrykk og oppgaver krever mye tilleggskunnskap. NOC er en av de viktigste, spesielt ofte brukt i emnet Emnet studeres på videregående, mens det ikke er spesielt vanskelig å forstå stoff, vil det ikke være vanskelig for en person som er kjent med potenser og multiplikasjonstabellen å velge de nødvendige tallene og finn resultatet.

Definisjon

Et felles multiplum er et tall som kan deles helt inn i to tall samtidig (a og b). Oftest oppnås dette tallet ved å multiplisere de opprinnelige tallene a og b. Tallet må være delelig med begge tallene samtidig, uten avvik.

NOC er et kort navn, som er hentet fra de første bokstavene.

Måter å få et nummer på

For å finne LCM er metoden for å multiplisere tall ikke alltid egnet, den er mye bedre egnet for enkle ett- eller tosifrede tall. Det er vanlig å dele inn i faktorer, jo større antall, jo flere faktorer vil det være.

Eksempel #1

For det enkleste eksempelet tar skoler vanligvis enkle, ett- eller tosifrede tall. For eksempel må du løse følgende oppgave, finne det minste felles multiplum av tallene 7 og 3, løsningen er ganske enkel, bare multipliser dem. Som et resultat er det tallet 21, det er rett og slett ikke noe mindre tall.

Eksempel #2

Det andre alternativet er mye vanskeligere. Tallene 300 og 1260 er gitt, det er obligatorisk å finne LCM. For å løse oppgaven antas følgende handlinger:

Dekomponering av det første og andre tallet til de enkleste faktorene. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Første etappe er fullført.

Den andre fasen innebærer å jobbe med allerede innhentede data. Hvert av de mottatte tallene må delta i beregningen av det endelige resultatet. For hver faktor er det største antallet forekomster hentet fra de opprinnelige tallene. LCM er et vanlig tall, så faktorene fra tallene må gjentas i det til det siste, også de som finnes i ett eksemplar. Begge initialtallene har i sin sammensetning tallene 2, 3 og 5, i forskjellige grader, 7 er bare i ett tilfelle.

For å beregne det endelige resultatet, må du ta hvert tall i den største av deres representerte potenser inn i ligningen. Det gjenstår bare å multiplisere og få svaret, med riktig fylling passer oppgaven inn i to trinn uten forklaring:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) kr = 6300,-.

Det er hele oppgaven, hvis du prøver å beregne ønsket tall ved å multiplisere, vil svaret definitivt ikke være riktig, siden 300 * 1260 = 378 000.

Undersøkelse:

6300 / 300 = 21 - sant;

6300 / 1260 = 5 er riktig.

Riktigheten av resultatet bestemmes ved å sjekke - å dele LCM med begge de opprinnelige tallene, hvis tallet er et heltall i begge tilfeller, så er svaret riktig.

Hva betyr NOC i matematikk

Som du vet er det ikke en eneste ubrukelig funksjon i matematikk, denne er intet unntak. Det vanligste formålet med dette tallet er å bringe brøker til en fellesnevner. Det som vanligvis studeres i 5-6 klasse på videregående. Det er også i tillegg en felles divisor for alle multipler, hvis slike forhold er i problemet. Et slikt uttrykk kan finne et multiplum ikke bare av to tall, men også av et mye større tall - tre, fem, og så videre. Jo flere tall - jo flere handlinger i oppgaven, men kompleksiteten til dette øker ikke.

For eksempel, gitt tallene 250, 600 og 1500, må du finne deres totale LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - dette eksemplet beskriver faktoriseringen i detalj, uten reduksjon.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

For å komponere et uttrykk er det nødvendig å nevne alle faktorene, i dette tilfellet er 2, 5, 3 gitt - for alle disse tallene kreves det å bestemme maksimalgraden.

Oppmerksomhet: alle multiplikatorer må bringes til full forenkling, hvis mulig, dekomponeres til enkeltsifrede nivå.

Undersøkelse:

1) 3000 / 250 = 12 - sant;

2) 3000 / 600 = 5 - sant;

3) 3000 / 1500 = 2 er riktig.

Denne metoden krever ingen triks eller geninivåevner, alt er enkelt og tydelig.

Annen vei

I matematikk henger mye sammen, mye kan løses på to eller flere måter, det samme gjelder å finne minste felles multiplum, LCM. Følgende metode kan brukes ved enkle tosifrede og ensifrede tall. En tabell er kompilert der multiplikatoren legges inn vertikalt, multiplikatoren horisontalt, og produktet er indikert i de kryssende cellene i kolonnen. Du kan reflektere tabellen ved hjelp av en linje, et tall tas og resultatene av å multiplisere dette tallet med heltall er skrevet på rad, fra 1 til uendelig, noen ganger er 3-5 poeng nok, de andre og påfølgende tallene blir utsatt for til samme beregningsprosess. Alt skjer til et felles multiplum er funnet.

Gitt tallene 30, 35, 42, må du finne LCM som forbinder alle tallene:

1) Multipler på 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 osv.

2) Multipler på 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 osv.

3) Multipler av 42: 84, 126, 168, 210, 252 osv.

Det er merkbart at alle tallene er ganske forskjellige, det eneste vanlige tallet blant dem er 210, så det blir LCM. Blant prosessene knyttet til denne beregningen er det også den største felles divisoren, som beregnes etter lignende prinsipper og ofte støtes på i naboproblemer. Forskjellen er liten, men betydelig nok, LCM innebærer beregning av et tall som er delelig med alle gitte startverdier, og GCD antar beregningen av den største verdien som de første tallene deles med.

La oss begynne å studere det minste felles multiplum av to eller flere tall. I avsnittet skal vi gi en definisjon av begrepet, vurdere et teorem som etablerer en sammenheng mellom minste felles multiplum og største felles divisor, og gi eksempler på å løse problemer.

Felles multipler - definisjon, eksempler

I dette emnet vil vi bare være interessert i felles multipler av heltall annet enn null.

Definisjon 1

Felles multiplum av heltall er et heltall som er et multiplum av alle gitte tall. Faktisk er det et hvilket som helst heltall som kan deles på hvilke som helst av de gitte tallene.

Definisjonen av felles multipler refererer til to, tre eller flere heltall.

Eksempel 1

I henhold til definisjonen gitt ovenfor for tallet 12, er de felles multiplene 3 og 2. Også tallet 12 vil være et felles multiplum av tallene 2, 3 og 4. Tallene 12 og -12 er felles multiplum av tallene ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Samtidig vil felles multiplum for tallene 2 og 3 være tallene 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 og et antall av eventuelle andre.

Hvis vi tar tall som er delbare med det første tallet i et par og ikke delelige med det andre, så vil ikke slike tall være felles multipler. Så for tallene 2 og 3 vil tallene 16 , − 27 , 5009 , 27001 ikke være felles multipler.

0 er et felles multiplum av ethvert sett med heltall som ikke er null.

Hvis vi husker egenskapen til delbarhet med hensyn til motsatte tall, så viser det seg at et heltall k vil være et felles multiplum av disse tallene på samme måte som tallet - k. Dette betyr at felles divisorer kan være enten positive eller negative.

Er det mulig å finne en LCM for alle tall?

Felles multiplum kan finnes for alle heltall.

Eksempel 2

Anta at vi er gitt k heltall a 1 , a 2 , … , a k. Tallet vi får under multiplikasjonen av tall a 1 a 2 … a k i henhold til delebarhetsegenskapen vil den bli delt på hver av faktorene som var inkludert i det opprinnelige produktet. Dette betyr at produktet av tallene a 1 , a 2 , … , a k er det minste felles multiplum av disse tallene.

Hvor mange felles multipler kan disse heltallene ha?

En gruppe heltall kan ha et stort antall felles multipler. Faktisk er antallet deres uendelig.

Eksempel 3

Anta at vi har et tall k . Da vil produktet av tallene k · z , der z er et heltall, være et felles multiplum av tallene k og z . Gitt at antallet tall er uendelig, så er antallet felles multipler uendelig.

Least Common Multiple (LCM) - Definisjon, symbol og eksempler

Husk konseptet med det minste tallet fra et gitt sett med tall, som vi vurderte i avsnittet Sammenligning av heltall. Med dette konseptet i tankene formulerer vi definisjonen av minste felles multiplum, som har størst praktisk betydning blant alle felles multipler.

Definisjon 2

Minste felles multiplum av gitte heltall er det minst positive felles multiplum av disse tallene.

Det minste felles multiplumet finnes for et hvilket som helst antall gitte tall. Forkortelsen NOK er den mest brukte for å betegne et begrep i referanselitteraturen. Stenografi for minste felles multiplum for tall a 1 , a 2 , … , a k vil se ut som LCM (a 1 , a 2 , … , a k).

Eksempel 4

Minste felles multiplum av 6 og 7 er 42. De. LCM(6; 7) = 42. Det minste felles multiplum av fire tall - 2 , 12 , 15 og 3 vil være lik 60 . Stenografi vil være LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​= 60 .

Ikke for alle grupper av gitte tall er det minste felles multiplum åpenbart. Ofte må det beregnes.

Forholdet mellom NOC og NOD

Den minste felles multiplum og den største felles divisor er relatert. Forholdet mellom begreper fastsettes av teoremet.

Teorem 1

Det minste felles multiplum av to positive heltall a og b er lik produktet av tallene a og b delt på den største felles divisor av tallene a og b , det vil si LCM (a , b) = a b: gcd (a , b) .

Bevis 1

Anta at vi har et tall M som er et multiplum av tallene a og b . Hvis tallet M er delelig med a , er det også et heltall z , hvorunder likestillingen M = a k. I følge definisjonen av delbarhet, hvis M også er delelig med b, så da en k delt på b.

Hvis vi introduserer en ny notasjon for gcd (a , b) som d, så kan vi bruke likestillingene a = a 1 d og b = b 1 · d. I dette tilfellet vil begge likhetene være coprimtall.

Det har vi allerede etablert ovenfor en k delt på b. Nå kan denne tilstanden skrives som følger:
a 1 d k delt på b 1 d, som tilsvarer tilstanden en 1 k delt på b 1 i henhold til egenskapene til delbarhet.

I henhold til egenskapen til relativt primtall, if en 1 og b 1 er innbyrdes primtall, en 1 ikke delelig med b 1 til tross for at en 1 k delt på b 1, deretter b 1 bør dele k.

I dette tilfellet vil det være hensiktsmessig å anta at det er et tall t, for hvilket k = b 1 t, og siden b1=b:d, deretter k = b: d t.

Nå i stedet for k satt inn i likestilling M = a k uttrykk for formen b: d t. Dette gjør at vi kan komme til likestilling M = a b: d t. På t=1 vi kan få det minst positive felles multiplum av a og b , lik a b:d, forutsatt at tallene a og b positivt.

Så vi har bevist at LCM (a , b) = a b: GCD (a,b).

Ved å etablere en forbindelse mellom LCM og GCD kan du finne det minste felles multiplum gjennom den største felles divisor av to eller flere gitte tall.

Definisjon 3

Teoremet har to viktige konsekvenser:

• multipler av det minste felles multiplum av to tall er det samme som felles multiplum av disse to tallene;
• det minste felles multiplum av positive positive tall a og b er lik deres produkt.

Det er ikke vanskelig å underbygge disse to fakta. Ethvert felles multiplum av M tall a og b er definert av likheten M = LCM (a, b) t for en heltallsverdi t. Siden a og b er coprime, er gcd (a, b) = 1, derfor er LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Minste felles multiplum av tre eller flere tall

For å finne det minste felles multiplum av flere tall, må du suksessivt finne LCM for to tall.

Teorem 2

La oss late som det a 1 , a 2 , … , a k er noen positive heltall. For å beregne LCM m k disse tallene må vi beregne sekvensielt m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = INGEN C(m 2 , a 3 ), … , m k = INGEN C(m k-1, a k).

Bevis 2

Den første konsekvensen av det første teoremet diskutert i dette emnet vil hjelpe oss å bevise riktigheten av det andre teoremet. Resonnement bygges i henhold til følgende algoritme:

• felles multiplum av tall en 1 og en 2 sammenfaller med multipler av deres LCM, faktisk sammenfaller de med multipler av tallet m2;
• felles multiplum av tall en 1, en 2 og en 3 m2 og en 3 m 3;
• felles multiplum av tall a 1 , a 2 , … , a k faller sammen med felles multiplum av tall m k - 1 og en k, derfor sammenfaller med multipler av tallet m k;
• på grunn av at det minste positive multiplum av tallet m k er selve tallet m k, deretter det minste felles multiplum av tallene a 1 , a 2 , … , a k er m k.

Så vi har bevist teoremet.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Tilbake fremover

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisningen er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke hele omfanget av presentasjonen. Hvis du er interessert i dette arbeidet, last ned fullversjonen.

Med begrepene største felles divisor (GCD) og minste felles multiplum (LCM), møtes elever på videregående skole i sjette klasse. Dette emnet er alltid vanskelig å mestre. Barn forvirrer ofte disse begrepene, forstår ikke hvorfor de trenger å bli studert. Nylig, i populærvitenskapelig litteratur, er det egne uttalelser om at dette materialet bør utelukkes fra skolens læreplan. Jeg tror at dette ikke er helt sant, og det er nødvendig å studere det, om ikke i klasserommet, så under utenomfaglig tid i klasserommet til skolekomponenten, da dette bidrar til utviklingen av den logiske tenkningen til skolebarn, og øker hastighet på beregningsoperasjoner, og evnen til å løse problemer ved hjelp av vakre metoder.

Når vi studerer temaet "Addisjon og subtraksjon av brøker med forskjellige nevnere" lærer vi barna å finne fellesnevneren for to eller flere tall. For eksempel må du legge til brøkene 1/3 og 1/5. Elever kan enkelt finne et tall som er delelig uten en rest med 3 og 5. Dette tallet er 15. Faktisk, hvis tallene er små, er fellesnevneren deres lett å finne, når du kjenner multiplikasjonstabellen godt. En av gutta legger merke til at dette tallet er produktet av tallene 3 og 5. Barna har den oppfatning at man på denne måten alltid kan finne en fellesnevner for tall. Trekk for eksempel fra brøkene 7/18 og 5/24. La oss finne produktet av tallene 18 og 24. Det er lik 432. Vi har allerede mottatt et stort antall, og hvis ytterligere beregninger må gjøres (spesielt for eksempler for alle handlinger), øker sannsynligheten for en feil. Men det minste felles multiplumet av tallene (LCM), som i dette tilfellet tilsvarer minste fellesnevneren (LCD) - tallet 72 - vil i stor grad lette beregningene og føre til en raskere løsning av eksemplet, og dermed lagre tid tildelt for å fullføre denne oppgaven, som spiller en viktig rolle i utførelsen av den endelige testen, kontrollarbeidet, spesielt under den endelige sertifiseringen.

Når du studerer emnet "Reduksjon av brøker", kan du bevege deg suksessivt ved å dele telleren og nevneren av brøken med det samme naturlige tallet, ved å bruke tegnene på delbarhet av tall, og til slutt oppnå en irreduserbar brøk. For eksempel må du redusere brøken 128/344. Vi deler først telleren og nevneren til brøken med tallet 2, vi får brøken 64/172. Nok en gang deler vi telleren og nevneren til den resulterende brøken med 2, vi får brøken 32/86. Dele nok en gang telleren og nevneren til brøken med 2, vi får den irreduserbare brøken 16/43. Men brøkreduksjon kan gjøres mye lettere hvis vi finner den største felles divisor av tallene 128 og 344. GCD (128, 344) = 8. Dividere telleren og nevneren av brøken med dette tallet, får vi umiddelbart en irreduserbar brøk.

Vis barn forskjellige måter å finne den største felles divisor (GCD) og minste felles multiplum (LCM) av tall. I enkle tilfeller er det praktisk å finne den største felles divisor (GCD) og minste felles multiplum (LCM) av tall ved enkel oppregning. Etter hvert som tallene blir større, kan primfaktorer brukes. Sjette klasses lærebok (forfatter N.Ya. Vilenkin) viser følgende metode for å finne den største felles divisor (GCD) av tall. La oss dekomponere tallene i primfaktorer:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Deretter, fra faktorene som er inkludert i utvidelsen av ett av disse tallene, krysser vi ut de som ikke er inkludert i utvidelsen av det andre tallet. Produktet av de resterende faktorene vil være den største felles deleren av disse tallene. I dette tilfellet er dette tallet 8. Fra min egen erfaring var jeg overbevist om at det er mer forståelig for barn hvis vi understreker de samme faktorene i utvidelsene av tall, og så i en av utvidelsene finner vi produktet av det understrekede faktorer. Dette er den største felles deleren av disse tallene. I sjette klasse er barna aktive og nysgjerrige. Du kan sette dem følgende oppgave: prøv å finne den største felles divisoren for tallene 343 og 287 på den beskrevne måten. Det er ikke umiddelbart klart hvordan de skal innregnes i primfaktorer. Og her kan du fortelle dem om den fantastiske metoden som ble oppfunnet av de gamle grekerne, som lar deg søke etter den største felles divisor (GCD) uten å dekomponere til primfaktorer. Denne metoden for å finne den største felles divisor ble først beskrevet i Euklids elementer. Det kalles Euklid-algoritmen. Den består av følgende: Del først det største tallet med det minste. Hvis det er en rest, divider du det minste tallet med resten. Hvis resten oppnås igjen, del den første resten med den andre. Så fortsett å dele til resten er null. Den siste divisoren er den største felles divisor (GCD) av disse tallene.

La oss gå tilbake til vårt eksempel, og for klarhet skrive løsningen i form av en tabell.

Så gcd(344 287) = 7

Og hvordan finne det minste felles multiplum (LCM) av de samme tallene? Er det en måte for dette som ikke krever en foreløpig dekomponering av disse tallene til primfaktorer? Det viser seg at det er det, og en veldig enkel en for det. Vi må gange disse tallene og dele produktet med den største felles divisor (GCD) vi fant. I dette eksemplet er produktet av tallene 98441. Del det med 7 og få tallet 14063. LCM(343,287) = 14063.

Et av de vanskelige temaene i matematikk er løsning av ordoppgaver. Vi må vise elevene hvordan de kan bruke begrepene "Greatest Common Divisor (GCD)" og "Least Common Multiple (LCM)" for å løse problemer som noen ganger er vanskelige å løse på vanlig måte. Her er det hensiktsmessig å vurdere sammen med elevene, sammen med oppgavene foreslått av forfatterne av skoleboken, gamle og underholdende oppgaver som utvikler barnas nysgjerrighet og øker interessen for å studere dette temaet. Dyktig besittelse av disse konseptene lar elevene se en vakker løsning på et ikke-standardproblem. Og hvis barnets humør stiger etter å ha løst et godt problem, er dette et tegn på vellykket arbeid.

Dermed studerer skolen av slike konsepter som "Greatest Common Divisor (GCD)" og "Least Common Multiple (LCD)" av tall

Lar deg spare tid tildelt for utførelse av arbeid, noe som fører til en betydelig økning i volumet av fullførte oppgaver;

Øker hastigheten og nøyaktigheten ved å utføre aritmetiske operasjoner, noe som fører til en betydelig reduksjon i antall tillatte beregningsfeil;

Lar deg finne vakre måter å løse ikke-standard tekstproblemer på;

Utvikler nysgjerrigheten til studentene, utvider deres horisont;

Skaper forutsetninger for utdannelse av en allsidig kreativ personlighet.

Det største naturlige tallet som tallene a og b er delbare med uten rest kalles største felles deler disse tallene. Angi GCD(a, b).

Vurder å finne GCD ved å bruke eksemplet med to naturlige tall 18 og 60:

324 , 111 og 432

La oss dekomponere tallene i primfaktorer:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Slett fra det første tallet, hvis faktorer ikke er i det andre og tredje tallet, får vi:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

Som et resultat av GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Finne GCD med Euclids algoritme

Den andre måten å finne den største felles divisor ved å bruke Euklids algoritme. Euklids algoritme er den mest effektive måten å finne GCD, ved å bruke det må du hele tiden finne resten av tallinndelingen og bruke tilbakevendende formel.

Tilbakevendende formel for GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), hvor a mod b er resten av å dele a med b.

Euklids algoritme

Eksempel Finn den største felles deleren av tall 7920 og 594

La oss finne GCD( 7920 , 594 ) ved å bruke Euclid-algoritmen, vil vi beregne resten av divisjonen ved hjelp av en kalkulator.

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Som et resultat får vi GCD( 7920 , 594 ) = 198

Minste felles multiplum

For å finne en fellesnevner når du legger til og subtraherer brøker med ulike nevnere, må du kjenne til og kunne regne ut minste felles multiplum(INGEN C).

Et multiplum av tallet "a" er et tall som i seg selv er delelig med tallet "a" uten en rest.

Tall som er multipler av 8 (det vil si at disse tallene blir delt på 8 uten en rest): dette er tallene 16, 24, 32 ...

Multipler av 9: 18, 27, 36, 45...

Det er uendelig mange multipler av et gitt tall a, i motsetning til divisorene til samme tall. Divisorer - et endelig tall.

Et felles multiplum av to naturlige tall er et tall som er jevnt delelig med begge disse tallene..

Minste felles multiplum(LCM) av to eller flere naturlige tall er det minste naturlige tallet som i seg selv er delelig med hvert av disse tallene.

Hvordan finne NOC

LCM kan finnes og skrives på to måter.

Den første måten å finne LCM

Denne metoden brukes vanligvis for små tall.

1. Vi skriver multiplene for hvert av tallene på en linje til det er et multiplum som er likt for begge tallene.
2. Et multiplum av tallet "a" er angitt med stor bokstav "K".

Eksempel. Finn LCM 6 og 8.

Den andre måten å finne LCM på

Denne metoden er praktisk å bruke for å finne LCM for tre eller flere tall.

Antall identiske faktorer i utvidelser av tall kan være forskjellige.

Du kan også formalisere å finne det minste felles multiplum (LCM) som følger. La oss finne LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Som du kan se fra utvidelsen av tall, er alle faktorene på 12 inkludert i utvidelsen av 24 (den største av tallene), så vi legger bare til én 2 fra utvidelsen av tallet 16 til LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Svar: LCM (12, 16, 24) = 48

Spesielle tilfeller av å finne NOC

For eksempel, LCM(60; 15) = 60
Siden koprimtall ikke har noen felles primtall, er deres minste felles multiplum lik produktet av disse tallene.

På siden vår kan du også bruke en spesiell kalkulator for å finne det minste vanlige multiplumet på nettet for å sjekke beregningene dine.

Hvis et naturlig tall bare er delelig med 1 og seg selv, kalles det primtall.

Ethvert naturlig tall er alltid delelig med 1 og seg selv.

Tallet 2 er det minste primtallet. Dette er det eneste partallsprimtallet, resten av primtallene er oddetall.

Det er mange primtall, og det første blant dem er tallet 2. Det er imidlertid ikke noe siste primtall. I "For Study"-delen kan du laste ned en tabell med primtall opptil 997.

Men mange naturlige tall er jevnt delbare med andre naturlige tall.

• tallet 12 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;
• 36 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.

Tallene som tallet er jevnt delelig med (for 12 er disse 1, 2, 3, 4, 6 og 12) kalles tallets divisorer.

Divisoren til et naturlig tall a er et slikt naturlig tall som deler det gitte tallet "a" uten en rest.

Et naturlig tall som har mer enn to faktorer kalles et sammensatt tall.

Merk at tallene 12 og 36 har felles divisorer. Dette er tall: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den største deleren av disse tallene er 12.

Fellesdeleren for to gitte tall "a" og "b" er tallet som begge gitte tall "a" og "b" er delt med uten rest.

Største felles deler(GCD) av to gitte tall "a" og "b" er det største tallet som begge tallene "a" og "b" er delbare med uten en rest.

Kort fortalt er den største felles divisor for tallene "a" og "b" skrevet som følger:

Eksempel: gcd (12; 36) = 12 .

Divisorene av tall i løsningsposten er angitt med stor bokstav "D".

Tallene 7 og 9 har bare én felles deler - tallet 1. Slike tall kalles coprimtall.

Coprime tall er naturlige tall som bare har én felles deler - tallet 1. Deres GCD er 1.

Hvordan finne den største felles deleren

For å finne gcd for to eller flere naturlige tall trenger du:

• dekomponere talls divisorer i primfaktorer;

Beregninger skrives enkelt ved hjelp av en vertikal strek. Til venstre for linjen, skriv først ned utbyttet, til høyre - divisor. Videre i venstre kolonne skriver vi ned verdiene til privat.

La oss forklare med en gang med et eksempel. La oss faktorisere tallene 28 og 64 til primfaktorer.

Understrek de samme primfaktorene i begge tallene.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Vi finner produktet av identiske primfaktorer og skriver ned svaret;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Svar: GCD (28; 64) = 4

Du kan ordne plasseringen av GCD på to måter: i en kolonne (som ble gjort ovenfor) eller "i en linje".

Den første måten å skrive GCD på

Finn GCD 48 og 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Den andre måten å skrive GCD på

La oss nå skrive GCD-søkeløsningen på en linje. Finn GCD 10 og 15.

På vår informasjonsside kan du også finne den største felles divisor på nett ved hjelp av et assistentprogram for å sjekke beregningene dine.

Finne det minste felles multiplumet, metoder, eksempler på å finne LCM.

Materialet som presenteres nedenfor er en logisk videreføring av teorien fra artikkelen under overskriften LCM - Least Common Multiple, definisjon, eksempler, forhold mellom LCM og GCD. Her skal vi snakke om finne det minste felles multiplum (LCM), og vær spesielt oppmerksom på å løse eksempler. La oss først vise hvordan LCM for to tall beregnes i form av GCD for disse tallene. Deretter bør du vurdere å finne det minste felles multiplum ved å faktorisere tall i primfaktorer. Etter det vil vi fokusere på å finne LCM for tre eller flere tall, og også ta hensyn til beregningen av LCM for negative tall.

Sidenavigering.

Beregning av minste felles multiplum (LCM) gjennom gcd

En måte å finne det minste felles multiplumet er basert på forholdet mellom LCM og GCD. Det eksisterende forholdet mellom LCM og GCD lar deg beregne det minste felles multiplum av to positive heltall gjennom den kjente største felles divisor. Den tilsvarende formelen har formen LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Tenk på eksempler på å finne LCM i henhold til formelen ovenfor.

Finn det minste felles multiplum av de to tallene 126 og 70 .

I dette eksemplet a=126 , b=70 . La oss bruke koblingen til LCM med GCD, som uttrykkes med formelen LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Det vil si at vi først må finne den største felles divisor av tallene 70 og 126, hvoretter vi kan beregne LCM for disse tallene i henhold til den skrevne formelen.

Finn gcd(126, 70) ved å bruke Euklids algoritme: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , derav gcd(126, 70)=14 .

Nå finner vi det minste felles multiplumet som kreves: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Hva er LCM(68, 34)?

Siden 68 er jevnt delelig med 34, så er gcd(68, 34)=34 . Nå beregner vi det minste felles multiplum: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Merk at det forrige eksemplet passer til følgende regel for å finne LCM for positive heltall a og b: hvis tallet a er delelig med b, så er det minste felles multiplum av disse tallene a .

Finne LCM ved å faktorisere tall i hovedfaktorer

En annen måte å finne det minste felles multiplumet er basert på å faktorisere tall i primfaktorer. Hvis vi lager et produkt av alle primfaktorer av disse tallene, hvoretter vi ekskluderer fra dette produktet alle vanlige primfaktorer som er tilstede i utvidelsene av disse tallene, så vil det resulterende produktet være lik det minste felles multiplum av disse tallene.

Den annonserte regelen for å finne LCM følger av likheten LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Faktisk er produktet av tallene a og b lik produktet av alle faktorene som er involvert i utvidelsene av tallene a og b. I sin tur er gcd(a, b) lik produktet av alle primfaktorer som er tilstede samtidig i utvidelsene av tallene a og b (som er beskrevet i avsnittet om å finne gcd ved å bruke dekomponering av tall til primfaktorer ).

La oss ta et eksempel. La oss vite at 75=3 5 5 og 210=2 3 5 7 . Komponer produktet av alle faktorene i disse utvidelsene: 2 3 3 5 5 5 7 . Nå ekskluderer vi fra dette produktet alle faktorene som er til stede både i utvidelsen av tallet 75 og i utvidelsen av tallet 210 (slike faktorer er 3 og 5), da vil produktet ha formen 2 3 5 5 7 . Verdien av dette produktet er lik det minste felles multiplum av 75 og 210, det vil si LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Etter å ha faktorisert tallene 441 og 700 til primfaktorer, finn det minste felles multiplum av disse tallene.

La oss dekomponere tallene 441 og 700 til primfaktorer:

Vi får 441=3 3 7 7 og 700=2 2 5 5 7.

La oss nå lage et produkt av alle faktorene som er involvert i utvidelsene av disse tallene: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . La oss ekskludere fra dette produktet alle faktorer som er tilstede samtidig i begge utvidelsene (det er bare én slik faktor - dette er tallet 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Så LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441; 700)= 44 100 .

Regelen for å finne LCM ved å bruke dekomponering av tall til primfaktorer kan formuleres litt annerledes. Hvis vi legger til de manglende faktorene fra utvidelsen av tallet b til faktorene fra utvidelsen av tallet a, vil verdien av det resulterende produktet være lik det minste felles multiplum av tallene a og b.

La oss for eksempel ta alle de samme tallene 75 og 210, utvidelsene deres til primfaktorer er som følger: 75=3 5 5 og 210=2 3 5 7. Til faktorene 3, 5 og 5 fra utvidelsen av tallet 75, legger vi til de manglende faktorene 2 og 7 fra utvidelsen av tallet 210, vi får produktet 2 3 5 5 7 , hvis verdi er LCM(75 , 210).

Finn det minste felles multiplum av 84 og 648.

Vi får først dekomponeringen av tallene 84 og 648 til primfaktorer. De ser ut som 84=2 2 3 7 og 648=2 2 2 3 3 3 3. Til faktorene 2 , 2 , 3 og 7 fra utvidelsen av tallet 84 legger vi til de manglende faktorene 2 , 3 , 3 og 3 fra utvidelsen av tallet 648 , vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7 , som er lik 4 536 . Dermed er det ønskede minste felles multiplum av tallene 84 og 648 4536.

Finne LCM for tre eller flere tall

Det minste felles multiplum av tre eller flere tall kan bli funnet ved å finne LCM for to tall suksessivt. Husk det tilsvarende teoremet, som gir en måte å finne LCM for tre eller flere tall.

La positive heltall a 1 , a 2 , …, a k gis, det minste felles multiplum m k av disse tallene finnes i sekvensberegningen m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Vurder bruken av denne teoremet på eksemplet med å finne det minste felles multiplum av fire tall.

Finn LCM for de fire tallene 140, 9, 54 og 250.

Først finner vi m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . For å gjøre dette, ved å bruke den euklidiske algoritmen, bestemmer vi gcd(140, 9) , vi har 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , derfor gcd( 140, 9)=1, hvorav LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Det vil si, m 2 = 1 260 .

Nå finner vi m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . La oss beregne det gjennom gcd(1 260, 54) , som også bestemmes av Euklid-algoritmen: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Deretter gcd(1 260, 54)=18 , hvorav LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Det vil si m 3 \u003d 3 780.

Det gjenstår å finne m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . For å gjøre dette finner vi GCD(3 780, 250) ved å bruke Euklid-algoritmen: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Derfor er gcd(3 780, 250)=10 , derav LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Det vil si m 4 \u003d 94 500.

Så det minste felles multiplum av de opprinnelige fire tallene er 94 500.

LCM(140; 9; 54; 250)=94500 .

I mange tilfeller er det minste felles multiplum av tre eller flere tall praktisk funnet ved å bruke primfaktoriseringer av gitte tall. I dette tilfellet bør følgende regel følges. Det minste felles multiplum av flere tall er lik produktet, som er sammensatt som følger: de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet legges til alle faktorene fra utvidelsen av det første tallet, de manglende faktorene fra utvidelsen av det tredje tallet legges til de oppnådde faktorene, og så videre.

Tenk på et eksempel på å finne det minste felles multiplum ved å bruke dekomponering av tall til primfaktorer.

Finn det minste felles multiplum av fem tall 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Først får vi dekomponeringer av disse tallene til primfaktorer: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 er et primtall, det sammenfaller med dekomponeringen til primtall) og 143=11 13 .

For å finne LCM for disse tallene, til faktorene til det første tallet 84 (de er 2 , 2 , 3 og 7) må du legge til de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet 6 . Utvidelsen av tallet 6 inneholder ikke manglende faktorer, siden både 2 og 3 allerede er til stede i utvidelsen av det første tallet 84 . Videre til faktorene 2 , 2 , 3 og 7 legger vi til de manglende faktorene 2 og 2 fra utvidelsen av det tredje tallet 48 , vi får et sett med faktorer 2 , 2 , 2 , 2 , 3 og 7 . Det er ikke nødvendig å legge til faktorer til dette settet i neste trinn, siden 7 allerede er inneholdt i det. Til slutt, til faktorene 2 , 2 , 2 , 2 , 3 og 7 legger vi til de manglende faktorene 11 og 13 fra utvidelsen av tallet 143 . Vi får produktet 2 2 2 2 3 7 11 13, som er lik 48 048.

Derfor er LCM(84; 6; 48; 7; 143)=48048 .

LCM(84; 6; 48; 7; 143)=48048 .

Finne det minste felles multiplum av negative tall

Noen ganger er det oppgaver der du må finne det minste felles multiplum av tall, blant hvilke ett, flere eller alle tall er negative. I disse tilfellene må alle negative tall erstattes med deres motsatte tall, hvoretter LCM for positive tall skal finnes. Dette er måten å finne LCM for negative tall. For eksempel, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) og LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Vi kan gjøre dette fordi settet med multipler av a er det samme som settet med multipler av −a (a og −a er motsatte tall). Faktisk, la b være et multiplum av a , da er b delelig med a , og begrepet delbarhet hevder eksistensen av et slikt heltall q at b=a q . Men likheten b=(−a)·(−q) vil også være sann, som i kraft av det samme delelighetsbegrepet betyr at b er delelig med −a , det vil si at b er et multiplum av −a . Det motsatte utsagnet er også sant: hvis b er et multiplum av −a , så er b også et multiplum av a .

Finn det minste felles multiplum av de negative tallene −145 og −45.

La oss erstatte de negative tallene −145 og −45 med deres motsatte tall 145 og 45 . Vi har LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Etter å ha bestemt gcd(145, 45)=5 (for eksempel ved å bruke Euklid-algoritmen), beregner vi LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Dermed er det minste felles multiplum av de negative heltallene -145 og -45 1305 .

www.cleverstudents.ru

Vi fortsetter å studere divisjon. I denne leksjonen skal vi se på begreper som f.eks GCD og INGEN C.

GCD er den største felles deleren.

INGEN C er det minste felles multiplum.

Emnet er ganske kjedelig, men det er nødvendig å forstå det. Uten å forstå dette emnet vil du ikke være i stand til å jobbe effektivt med brøker, som er en reell hindring i matematikk.

Største felles deler

Definisjon. Største felles deler av tall en og b en og b delt uten rest.

For å forstå denne definisjonen godt, erstatter vi i stedet for variabler en og b hvilke som helst to tall, for eksempel, i stedet for en variabel en erstatte tallet 12, og i stedet for variabelen b nummer 9. La oss nå prøve å lese denne definisjonen:

Største felles deler av tall 12 og 9 er det største tallet som 12 og 9 delt uten rest.

Det fremgår tydelig av definisjonen at vi snakker om en felles divisor av tallene 12 og 9, og denne divisoren er den største av alle eksisterende divisorer. Denne største felles divisor (gcd) må finnes.

For å finne den største felles divisor av to tall, brukes tre metoder. Den første metoden er ganske tidkrevende, men den lar deg forstå essensen av emnet godt og føle hele meningen.

Den andre og tredje metoden er ganske enkle og gjør det mulig å raskt finne GCD. Vi vil vurdere alle tre metodene. Og hva du skal bruke i praksis - du velger.

Den første måten er å finne alle mulige divisorer av to tall og velge den største av dem. La oss vurdere denne metoden i følgende eksempel: finn den største felles deleren av tallene 12 og 9.

Først finner vi alle mulige divisorer av tallet 12. For å gjøre dette deler vi 12 i alle divisorer i området fra 1 til 12. Hvis divisoren lar oss dele 12 uten en rest, vil vi markere den i blått og gi en passende forklaring i parentes.

12: 1 = 12
(12 delt på 1 uten en rest, så 1 er en deler av 12)

12: 2 = 6
(12 delt på 2 uten en rest, så 2 er en deler av 12)

12: 3 = 4
(12 delt på 3 uten en rest, så 3 er en deler av 12)

12: 4 = 3
(12 delt på 4 uten en rest, så 4 er en deler av 12)

12:5 = 2 (2 igjen)
(12 deles ikke på 5 uten en rest, så 5 er ikke en divisor av 12)

12: 6 = 2
(12 delt på 6 uten en rest, så 6 er en deler av 12)

12: 7 = 1 (5 igjen)
(12 deles ikke på 7 uten en rest, så 7 er ikke en deler av 12)

12: 8 = 1 (4 igjen)
(12 er ikke delt på 8 uten en rest, så 8 er ikke en divisor av 12)

12:9 = 1 (3 igjen)
(12 deles ikke på 9 uten en rest, så 9 er ikke en divisor av 12)

12: 10 = 1 (2 igjen)
(12 er ikke delt på 10 uten en rest, så 10 er ikke en divisor av 12)

12:11 = 1 (1 igjen)
(12 er ikke delt på 11 uten en rest, så 11 er ikke en divisor av 12)

12: 12 = 1
(12 delt på 12 uten en rest, så 12 er en deler av 12)

La oss nå finne divisorene til tallet 9. For å gjøre dette, sjekk alle divisorene fra 1 til 9

9: 1 = 9
(9 delt på 1 uten en rest, så 1 er en deler av 9)

9: 2 = 4 (1 igjen)
(9 deles ikke på 2 uten en rest, så 2 er ikke en divisor av 9)

9: 3 = 3
(9 delt på 3 uten en rest, så 3 er en deler av 9)

9: 4 = 2 (1 igjen)
(9 er ikke delt på 4 uten en rest, så 4 er ikke en divisor av 9)

9:5 = 1 (4 igjen)
(9 deles ikke på 5 uten en rest, så 5 er ikke en divisor av 9)

9: 6 = 1 (3 igjen)
(9 delte ikke på 6 uten en rest, så 6 er ikke en deler av 9)

9:7 = 1 (2 igjen)
(9 deles ikke på 7 uten en rest, så 7 er ikke en divisor av 9)

9:8 = 1 (1 igjen)
(9 deles ikke på 8 uten en rest, så 8 er ikke en divisor av 9)

9: 9 = 1
(9 delt på 9 uten en rest, så 9 er en deler av 9)

Skriv nå ned divisorene til begge tallene. Tallene uthevet i blått er divisorene. La oss skrive dem ut:

Etter å ha skrevet ut divisorene, kan du umiddelbart finne ut hvilken som er den største og vanligste.

Per definisjon er den største felles divisor av 12 og 9 tallet som 12 og 9 er jevnt delbare med. Den største og felles deleren av tallene 12 og 9 er tallet 3

Både tallet 12 og tallet 9 er delelig med 3 uten en rest:

Så gcd (12 og 9) = 3

Den andre måten å finne GCD på

Vurder nå den andre måten å finne den største felles divisoren. Essensen av denne metoden er å dekomponere begge tallene til primfaktorer og multiplisere de vanlige.

Eksempel 1. Finn GCD for tallene 24 og 18

Først, la oss faktorere begge tallene inn i primfaktorer:

Nå multipliserer vi deres felles faktorer. For ikke å bli forvirret, kan de vanlige faktorene understrekes.

Vi ser på dekomponeringen av tallet 24. Dens første faktor er 2. Vi ser etter den samme faktoren i dekomponeringen av tallet 18 og ser at den også er der. Vi understreker begge to:

Igjen ser vi på dekomponeringen av tallet 24. Dens andre faktor er også 2. Vi ser etter den samme faktoren i dekomponeringen av tallet 18 og ser at den ikke er der for andre gang. Da fremhever vi ingenting.

De to neste i utvidelsen av tallet 24 mangler også i utvidelsen av tallet 18.

Vi går over til den siste faktoren i dekomponeringen av tallet 24. Dette er faktoren 3. Vi ser etter den samme faktoren i dekomponeringen av tallet 18, og vi ser at den også er der. Vi legger vekt på begge tre:

Så de vanlige faktorene for tallene 24 og 18 er faktorene 2 og 3. For å få GCD må disse faktorene multipliseres:

Så gcd (24 og 18) = 6

Den tredje måten å finne GCD på

Vurder nå den tredje måten å finne den største felles divisoren. Essensen av denne metoden ligger i det faktum at tallene som skal søkes etter den største felles divisoren dekomponeres i primfaktorer. Deretter, fra dekomponeringen av det første tallet, slettes faktorer som ikke er inkludert i dekomponeringen av det andre tallet. De resterende tallene i den første utvidelsen multipliseres og får GCD.

La oss for eksempel finne GCD for tallene 28 og 16 på denne måten. Først av alt, dekomponerer vi disse tallene i primfaktorer:

Vi har to utvidelser: og

Nå, fra utvidelsen av det første tallet, sletter vi faktorene som ikke er inkludert i utvidelsen av det andre tallet. Utvidelsen av det andre tallet inkluderer ikke syv. Vi vil slette den fra den første utvidelsen:

Nå multipliserer vi de gjenværende faktorene og får GCD:

Tallet 4 er den største felles divisor av tallene 28 og 16. Begge disse tallene er delbare med 4 uten en rest:

Eksempel 2 Finn GCD med tallene 100 og 40

Faktorer ut tallet 100

Faktorer ut tallet 40

Vi har to utvidelser:

Nå, fra utvidelsen av det første tallet, sletter vi faktorene som ikke er inkludert i utvidelsen av det andre tallet. Utvidelsen av det andre tallet inkluderer ikke én femmer (det er bare én femmer). Vi sletter det fra den første dekomponeringen

Multipliser de resterende tallene:

Vi fikk svaret 20. Så tallet 20 er den største felles deleren av tallene 100 og 40. Disse to tallene er delbare med 20 uten en rest:

GCD (100 og 40) = 20.

Eksempel 3 Finn gcd for tallene 72 og 128

Faktorer ut tallet 72

Faktorer ut tallet 128

2×2×2×2×2×2×2

Nå, fra utvidelsen av det første tallet, sletter vi faktorene som ikke er inkludert i utvidelsen av det andre tallet. Utvidelsen av det andre tallet inkluderer ikke to trillinger (det er ingen i det hele tatt). Vi sletter dem fra den første utvidelsen:

Vi fikk svaret 8. Så tallet 8 er den største felles divisor av tallene 72 og 128. Disse to tallene er delbare med 8 uten en rest:

GCD (72 og 128) = 8

Finne GCD for flere tall

Den største felles divisor kan finnes for flere tall, og ikke bare for to. For dette blir tallene som skal søkes etter den største felles divisoren dekomponert i primfaktorer, deretter blir produktet av de felles primfaktorene til disse tallene funnet.

La oss for eksempel finne GCD for tallene 18, 24 og 36

Faktorer tallet 18

Faktorer tallet 24

Faktorer tallet 36

Vi har tre utvidelser:

Nå velger vi og understreker de vanlige faktorene i disse tallene. Vanlige faktorer må inkluderes i alle tre tallene:

Vi ser at de felles faktorene for tallene 18, 24 og 36 er faktorene 2 og 3. Ved å multiplisere disse faktorene får vi GCDen vi ser etter:

Vi fikk svaret 6. Så tallet 6 er den største felles divisor av tallene 18, 24 og 36. Disse tre tallene er delbare med 6 uten en rest:

GCD (18, 24 og 36) = 6

Eksempel 2 Finn gcd for nummer 12, 24, 36 og 42

La oss faktorisere hvert tall. Så finner vi produktet av fellesfaktorene til disse tallene.

Faktorer tallet 12

Faktorer tallet 42

Vi har fire utvidelser:

Nå velger vi og understreker de vanlige faktorene i disse tallene. Vanlige faktorer må inkluderes i alle fire tallene:

Vi ser at de felles faktorene for tallene 12, 24, 36 og 42 er faktorene 2 og 3. Ved å multiplisere disse faktorene får vi GCDen vi ser etter:

Vi fikk svaret 6. Så tallet 6 er den største felles divisor av tallene 12, 24, 36 og 42. Disse tallene er delbare med 6 uten en rest:

gcd(12, 24, 36 og 42) = 6

Fra forrige leksjon vet vi at hvis et tall deles med et annet uten en rest, kalles det et multiplum av dette tallet.

Det viser seg at et multiplum kan være felles for flere tall. Og nå vil vi være interessert i et multiplum av to tall, mens det skal være så lite som mulig.

Definisjon. Minste felles multiplum (LCM) av tall en og b- en og b en og nummer b.

Definisjonen inneholder to variabler en og b. La oss erstatte to vilkårlige tall med disse variablene. For eksempel i stedet for en variabel en erstatte tallet 9, og i stedet for variabelen b la oss erstatte tallet 12. La oss nå prøve å lese definisjonen:

Minste felles multiplum (LCM) av tall 9 og 12 - er det minste tallet som er et multiplum av 9 og 12 . Det er med andre ord et så lite tall som er delelig uten en rest med tallet 9 og på nummeret 12 .

Det er klart fra definisjonen at LCM er det minste tallet som er delelig uten en rest med 9 og 12. Denne LCM må finnes.

Det er to måter å finne det minste felles multiplum (LCM). Den første måten er at du kan skrive ned de første multiplene av to tall, og deretter velge blant disse multiplene et slikt tall som vil være felles for både tall og lite. La oss bruke denne metoden.

Først av alt, la oss finne de første multiplene for tallet 9. For å finne multipler for 9, må du multiplisere disse ni med tallene fra 1 til 9. Svarene du får vil være multipler av tallet 9. Så, la oss begynne. Multipler vil bli uthevet i rødt:

Nå finner vi multipler for tallet 12. For å gjøre dette multipliserer vi 12 med alle tallene 1 til 12 etter tur.

La oss fortsette diskusjonen om det minste felles multiplumet som vi startet i delen LCM - Least Common Multiple, Definition, Examples. I dette emnet vil vi se på måter å finne LCM for tre tall eller flere, vi vil analysere spørsmålet om hvordan du finner LCM for et negativt tall.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Beregning av minste felles multiplum (LCM) gjennom gcd

Vi har allerede etablert forholdet mellom det minste felles multiplum og den største felles divisor. La oss nå lære hvordan du definerer LCM gjennom GCD. La oss først finne ut hvordan du gjør dette for positive tall.

Definisjon 1

Du kan finne det minste felles multiplum gjennom den største felles divisor ved å bruke formelen LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Eksempel 1

Det er nødvendig å finne LCM for tallene 126 og 70.

Løsning

La oss ta a = 126 , b = 70 . Bytt ut verdiene i formelen for å beregne minste felles multiplum gjennom den største felles divisor LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Finner GCD for tallene 70 og 126. For dette trenger vi Euklid-algoritmen: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , derav gcd (126 , 70) = 14 .

La oss beregne LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Svar: LCM (126, 70) = 630.

Eksempel 2

Finn nok til tallene 68 og 34.

Løsning

GCD i dette tilfellet er lett å finne, siden 68 er delelig med 34. Beregn det minste felles multiplum ved hjelp av formelen: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Svar: LCM(68; 34) = 68.

I dette eksemplet brukte vi regelen for å finne det minste felles multiplum av positive heltall a og b: hvis det første tallet er delelig med det andre, vil LCM til disse tallene være lik det første tallet.

Finne LCM ved å faktorisere tall i hovedfaktorer

La oss nå se på en måte å finne LCM, som er basert på dekomponering av tall til primfaktorer.

Definisjon 2

For å finne det minste felles multiplum, må vi utføre en rekke enkle trinn:

• vi utgjør produktet av alle primfaktorer av tall som vi trenger å finne LCM for;
• vi ekskluderer alle hovedfaktorer fra deres oppnådde produkter;
• produktet oppnådd etter eliminering av de vanlige primfaktorene vil være lik LCM for de gitte tallene.

Denne måten å finne minste felles multiplum på er basert på likheten LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Hvis du ser på formelen, blir det klart: produktet av tallene a og b er lik produktet av alle faktorer som er involvert i utvidelsen av disse to tallene. I dette tilfellet er GCD for to tall lik produktet av alle primfaktorer som samtidig er tilstede i faktoriseringene av disse to tallene.

Eksempel 3

Vi har to tall 75 og 210 . Vi kan faktorisere dem slik: 75 = 3 5 5 og 210 = 2 3 5 7. Hvis du lager produktet av alle faktorene til de to opprinnelige tallene, får du: 2 3 3 5 5 5 7.

Hvis vi ekskluderer faktorene som er felles for både tall 3 og 5, får vi et produkt av følgende form: 2 3 5 5 7 = 1050. Dette produktet vil være vår LCM for tallene 75 og 210.

Eksempel 4

Finn LCM for tall 441 og 700 , dekomponerer begge tallene til primfaktorer.

Løsning

La oss finne alle primfaktorene til tallene gitt i betingelsen:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Vi får to tallkjeder: 441 = 3 3 7 7 og 700 = 2 2 5 5 7 .

Produktet av alle faktorene som deltok i utvidelsen av disse tallene vil se slik ut: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. La oss finne de vanlige faktorene. Dette tallet er 7. Vi ekskluderer det fra det generelle produktet: 2 2 3 3 5 5 7 7. Det viser seg at NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Svar: LCM (441, 700) = 44 100.

La oss gi enda en formulering av metoden for å finne LCM ved å dekomponere tall i primfaktorer.

Definisjon 3

Tidligere ekskluderte vi fra det totale antallet faktorer som er felles for begge tallene. Nå skal vi gjøre det annerledes:

• La oss dekomponere begge tallene til primfaktorer:
• legg til produktet av primfaktorene til det første tallet de manglende faktorene til det andre tallet;
• vi får produktet, som vil være ønsket LCM av to tall.

Eksempel 5

La oss gå tilbake til tallene 75 og 210, som vi allerede så etter LCM for i et av de forrige eksemplene. La oss dele dem ned i enkle faktorer: 75 = 3 5 5 og 210 = 2 3 5 7. Til produktet av faktorene 3, 5 og 5 nummer 75 legg til de manglende faktorene 2 og 7 nummer 210. Vi får: 2 3 5 5 7 . Dette er LCM for tallene 75 og 210.

Eksempel 6

Det er nødvendig å beregne LCM for tallene 84 og 648.

Løsning

La oss dekomponere tallene fra tilstanden til primfaktorer: 84 = 2 2 3 7 og 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Legg til produktet av faktorene 2 , 2 , 3 og 7 tall 84 mangler faktorer 2 , 3 , 3 og
3 nummer 648. Vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Dette er det minste felles multiplum av 84 og 648.

Svar: LCM (84, 648) = 4536.

Finne LCM for tre eller flere tall

Uansett hvor mange tall vi har å gjøre med, vil algoritmen for handlingene våre alltid være den samme: vi vil sekvensielt finne LCM for to tall. Det er et teorem for denne saken.

Teorem 1

Anta at vi har heltall a 1 , a 2 , … , a k. INGEN C m k av disse tallene finnes i sekvensberegning m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

La oss nå se på hvordan teoremet kan brukes på spesifikke problemer.

Eksempel 7

Du må beregne det minste felles multiplum av de fire tallene 140 , 9 , 54 og 250 .

Løsning

La oss introdusere notasjonen: en 1 \u003d 140, en 2 \u003d 9, en 3 \u003d 54, en 4 \u003d 250.

La oss starte med å beregne m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . La oss bruke den euklidiske algoritmen til å beregne GCD for tallene 140 og 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Vi får: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Derfor er m 2 = 1 260 .

La oss nå regne ut i henhold til den samme algoritmen m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . I løpet av beregningene får vi m 3 = 3 780.

Det gjenstår for oss å beregne m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Vi handler etter samme algoritme. Vi får m 4 \u003d 94 500.

LCM for de fire tallene fra eksempelbetingelsen er 94500.

Svar: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Som du kan se, er beregningene enkle, men ganske arbeidskrevende. For å spare tid kan du gå andre veien.

Definisjon 4

Vi tilbyr deg følgende handlingsalgoritme:

• dekomponere alle tall i primfaktorer;
• til produktet av faktorene til det første tallet, legg til de manglende faktorene fra produktet av det andre tallet;
• til produktet oppnådd på forrige trinn, legger vi til de manglende faktorene til det tredje tallet, etc.;
• det resulterende produktet vil være det minste felles multiplum av alle tall fra betingelsen.

Eksempel 8

Det er nødvendig å finne LCM for fem tall 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Løsning

La oss dekomponere alle fem tallene til primfaktorer: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Primtall, som er tallet 7, kan ikke innregnes i primfaktorer. Slike tall faller sammen med deres dekomponering til primfaktorer.

La oss nå ta produktet av primfaktorene 2, 2, 3 og 7 av tallet 84 og legge til de manglende faktorene til det andre tallet. Vi har dekomponert tallet 6 til 2 og 3. Disse faktorene er allerede i produktet av det første tallet. Derfor utelater vi dem.

Vi fortsetter å legge til de manglende multiplikatorene. Vi vender oss til tallet 48, fra produktet av primfaktorer som vi tar 2 og 2 av. Så legger vi til en enkel faktor på 7 fra det fjerde tallet og faktorene 11 og 13 av det femte. Vi får: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dette er det minste felles multiplum av de fem opprinnelige tallene.

Svar: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Finne det minste felles multiplum av negative tall

For å finne det minste felles multiplum av negative tall, må disse tallene først erstattes med tall med motsatt fortegn, og deretter skal beregningene utføres i henhold til algoritmene ovenfor.

Eksempel 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) og LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Slike handlinger er tillatt på grunn av det faktum at hvis det er akseptert at en og − a- motsatte tall
deretter settet med multipler en sammenfaller med settet med multipler av et tall − a.

Eksempel 10

Det er nødvendig å beregne LCM for negative tall − 145 og − 45 .

Løsning

La oss endre tallene − 145 og − 45 til deres motsatte tall 145 og 45 . Nå, ved å bruke algoritmen, beregner vi LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , etter å ha bestemt GCD tidligere ved å bruke Euklid-algoritmen.

Vi får at LCM for tall − 145 og − 45 er lik 1 305 .

Svar: LCM (− 145, − 45) = 1 305 .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter