Forklaring av løsning av enkle trigonometriske ligninger. Trigonometriske ligninger
Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
- I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.
Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å bestå Unified State Exam i matematikk med 60-65 poeng. Fullstendig alle oppgavene 1-13 i Profile Unified State-eksamen i matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!
Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.
All nødvendig teori. Raske løsninger, fallgruver og hemmeligheter til Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.
Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.
Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Et grunnlag for å løse komplekse problemer i del 2 av Unified State Exam.
Trigonometriske ligninger er ikke et lett tema. De er for forskjellige.) For eksempel disse:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Etc...
Men disse (og alle andre) trigonometriske monstre har to felles og obligatoriske trekk. For det første - du vil ikke tro det - det er trigonometriske funksjoner i ligningene.) For det andre: alle uttrykk med x finnes innenfor de samme funksjonene. Og bare der! Hvis X vises et sted utenfor, For eksempel, sin2x + 3x = 3, dette vil allerede være en likning av blandet type. Slike ligninger krever en individuell tilnærming. Vi vil ikke vurdere dem her.
Vi skal heller ikke løse onde ligninger i denne leksjonen.) Her skal vi ta for oss de enkleste trigonometriske ligningene. Hvorfor? Ja fordi løsningen noen trigonometriske ligninger består av to trinn. På det første stadiet reduseres den onde ligningen til en enkel gjennom en rekke transformasjoner. På den andre er denne enkleste ligningen løst. Ingen annen vei.
Så hvis du har problemer i det andre trinnet, gir ikke det første trinnet mye mening.)
Hvordan ser elementære trigonometriske ligninger ut?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Her EN står for et hvilket som helst tall. Noen.
Forresten, inne i en funksjon er det kanskje ikke en ren X, men et slags uttrykk, som:
cos(3x+π /3) = 1/2
etc. Dette kompliserer livet, men påvirker ikke metoden for å løse en trigonometrisk ligning.
Hvordan løse trigonometriske ligninger?
Trigonometriske ligninger kan løses på to måter. Den første måten: ved hjelp av logikk og den trigonometriske sirkelen. Vi skal se på denne veien her. Den andre måten - ved å bruke minne og formler - vil bli diskutert i neste leksjon.
Den første måten er tydelig, pålitelig og vanskelig å glemme.) Den er god for å løse trigonometriske ligninger, ulikheter og alle slags vanskelige ikke-standardiserte eksempler. Logikk er sterkere enn minne!)
Løse ligninger ved hjelp av en trigonometrisk sirkel.
Vi inkluderer elementær logikk og evnen til å bruke den trigonometriske sirkelen. Vet du ikke hvordan? Imidlertid ... Du vil ha det vanskelig i trigonometri ...) Men det spiller ingen rolle. Ta en titt på leksjonene "Trigonometrisk sirkel...... Hva er det?" og "Måle vinkler på en trigonometrisk sirkel." Alt er enkelt der. I motsetning til lærebøker...)
Å, vet du!? Og til og med mestret "Praktisk arbeid med den trigonometriske sirkelen"!? Gratulerer. Dette emnet vil være nært og forståelig for deg.) Det som er spesielt gledelig er at den trigonometriske sirkelen ikke bryr seg om hvilken ligning du løser. Sinus, cosinus, tangent, cotangens - alt er det samme for ham. Det er bare ett løsningsprinsipp.
Så vi tar en hvilken som helst elementær trigonometrisk ligning. I det minste dette:
cosx = 0,5
Vi må finne X. Snakker på menneskelig språk, du trenger finn vinkelen (x) hvis cosinus er 0,5.
Hvordan brukte vi sirkelen tidligere? Vi tegnet en vinkel på den. I grader eller radianer. Og med en gang sag trigonometriske funksjoner til denne vinkelen. La oss nå gjøre det motsatte. La oss tegne en cosinus på sirkelen lik 0,5 og umiddelbart vi får se hjørne. Det gjenstår bare å skrive ned svaret.) Ja, ja!
Tegn en sirkel og merk cosinus lik 0,5. På cosinus-aksen, selvfølgelig. Som dette:
La oss nå tegne vinkelen som denne cosinus gir oss. Hold musen over bildet (eller trykk på bildet på nettbrettet ditt), og du vil se akkurat dette hjørnet X.
Hvilken vinkel er cosinus 0,5?
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Noen mennesker vil humre skeptisk, ja... Som, var det verdt å lage en sirkel når alt allerede er klart... Du kan selvfølgelig humre...) Men faktum er at dette er et feilsvar. Eller rettere sagt, utilstrekkelig. Sirkelkjennere forstår at det er en hel haug med andre vinkler her som også gir en cosinus på 0,5.
Hvis du snur den bevegelige siden OA full sving, vil punkt A gå tilbake til sin opprinnelige posisjon. Med samme cosinus lik 0,5. De. vinkelen vil endre seg med 360° eller 2π radianer, og kosinus - nei. Den nye vinkelen 60° + 360° = 420° vil også være en løsning på ligningen vår, fordi
Et uendelig antall slike komplette omdreininger kan gjøres... Og alle disse nye vinklene vil være løsninger på vår trigonometriske ligning. Og de må alle skrives ned på en eller annen måte som svar. Alle. Ellers teller ikke avgjørelsen, ja...)
Matematikk kan gjøre dette enkelt og elegant. Skriv ned i ett kort svar uendelig sett beslutninger. Slik ser det ut for ligningen vår:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Jeg skal tyde det. Skriv fortsatt meningsfullt Det er mer behagelig enn å tegne noen mystiske bokstaver dumt, ikke sant?)
π /3 – dette er det samme hjørnet som vi sag på sirkelen og fast bestemt i henhold til cosinustabellen.
2π er en fullstendig revolusjon i radianer.
n - dette er antallet komplette, dvs. hel rpm Det er klart at n kan være lik 0, ±1, ±2, ±3.... og så videre. Som indikert av den korte oppføringen:
n ∈ Z
n tilhører ( ∈ ) sett med heltall ( Z ). Forresten, i stedet for bokstaven n bokstaver kan godt brukes k, m, t etc.
Denne notasjonen betyr at du kan ta et hvilket som helst heltall n . Minst -3, minst 0, minst +55. Hva enn du vil. Hvis du erstatter dette tallet i svaret, vil du få en spesifikk vinkel, som definitivt vil være løsningen på vår harde ligning.)
Eller med andre ord, x = π /3 er den eneste roten til et uendelig sett. For å få alle de andre røttene er det nok å legge til et hvilket som helst antall hele omdreininger til π /3 ( n ) i radianer. De. 2πn radian.
Alle? Nei. Jeg forlenger gleden bevisst. For å huske bedre.) Vi fikk bare deler av svarene på ligningen vår. Jeg vil skrive denne første delen av løsningen slik:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - ikke bare én rot, men en hel rekke røtter, skrevet ned i kort form.
Men det finnes også vinkler som også gir en cosinus på 0,5!
La oss gå tilbake til bildet vårt som vi skrev ned svaret fra. Her er hun:
Hold musen over bildet og vi ser en annen vinkel det gir også en cosinus på 0,5. Hva tror du det er lik? Trekantene er like... Ja! Det er lik vinkelen X , bare forsinket i negativ retning. Dette er hjørnet -X. Men vi har allerede beregnet x. π /3 eller 60°. Derfor kan vi trygt skrive:
x 2 = - π /3
Vel, selvfølgelig legger vi til alle vinklene som oppnås gjennom hele omdreininger:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Det er alt nå.) På den trigonometriske sirkelen vi sag(hvem forstår, selvfølgelig)) Alle vinkler som gir en cosinus på 0,5. Og vi skrev ned disse vinklene i en kort matematisk form. Svaret resulterte i to uendelige serier med røtter:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Dette er det riktige svaret.
Håp, generelt prinsipp for å løse trigonometriske ligningerå bruke en sirkel er tydelig. Vi markerer cosinus (sinus, tangens, cotangens) fra den gitte ligningen på en sirkel, tegner vinklene som tilsvarer den og skriver ned svaret. Selvfølgelig må vi finne ut hvilke hjørner vi er sag på sirkelen. Noen ganger er det ikke så tydelig. Vel, jeg sa at logikk kreves her.)
La oss for eksempel se på en annen trigonometrisk ligning:
Vennligst ta i betraktning at tallet 0,5 ikke er det eneste mulige tallet i ligninger!) Det er bare mer praktisk for meg å skrive det enn røtter og brøker.
Vi jobber etter det generelle prinsippet. Vi tegner en sirkel, markerer (på sinusaksen, selvfølgelig!) 0,5. Vi tegner alle vinklene som tilsvarer denne sinusen samtidig. Vi får dette bildet:
La oss ta for oss vinkelen først X i første kvartal. Vi husker tabellen over sinus og bestemmer verdien av denne vinkelen. Det er en enkel sak:
x = π /6
Vi husker om fulle svinger, og med god samvittighet skriver vi ned den første serien med svar:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Halve jobben er gjort. Men nå må vi bestemme andre hjørnet... Det er vanskeligere enn å bruke kosinus, ja... Men logikken vil redde oss! Hvordan bestemme den andre vinkelen gjennom x? Ja enkelt! Trekantene på bildet er like, og det røde hjørnet X lik vinkel X . Bare det telles fra vinkelen π i negativ retning. Det er derfor den er rød.) Og for svaret trenger vi en vinkel, målt riktig, fra den positive halvaksen OX, dvs. fra en vinkel på 0 grader.
Vi holder markøren over tegningen og ser alt. Jeg fjernet det første hjørnet for ikke å komplisere bildet. Vinkelen vi er interessert i (tegnet i grønt) vil være lik:
π - x
X vi vet dette π /6 . Derfor vil den andre vinkelen være:
π - π /6 = 5π /6
Igjen husker vi å legge til hele omdreininger og skrive ned den andre serien med svar:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Det er alt. Et fullstendig svar består av to serier med røtter:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Tangent- og cotangensligninger kan enkelt løses ved å bruke det samme generelle prinsippet for å løse trigonometriske ligninger. Hvis du selvfølgelig vet hvordan du tegner tangent og cotangens på en trigonometrisk sirkel.
I eksemplene ovenfor brukte jeg tabellverdien for sinus og cosinus: 0,5. De. en av de betydningene som eleven kjenner til må. La oss nå utvide våre evner til alle andre verdier. Bestem, så bestem!)
Så la oss si at vi må løse denne trigonometriske ligningen:
Det er ingen slik cosinusverdi i de korte tabellene. Vi ignorerer kaldt dette forferdelige faktum. Tegn en sirkel, merk 2/3 på cosinus-aksen og tegn de tilsvarende vinklene. Vi får dette bildet.
La oss først se på vinkelen i første kvartal. Hvis vi bare visste hva x er lik, ville vi umiddelbart skrevet ned svaret! Vi vet ikke ... Feil!? Rolig! Matematikk etterlater ikke sine egne folk i trøbbel! Hun kom opp med buekosinus til denne saken. Vet ikke? Forgjeves. Finn ut, det er mye enklere enn du tror. Det er ikke en eneste vanskelig spell om "inverse trigonometriske funksjoner" på denne lenken... Dette er overflødig i dette emnet.
Hvis du vet, bare si til deg selv: "X er en vinkel hvis cosinus er lik 2/3." Og umiddelbart, rent av definisjonen av arc cosinus, kan vi skrive:
Vi husker de ekstra revolusjonene og skriver rolig ned den første serien med røtter til vår trigonometriske ligning:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Den andre serien med røtter for den andre vinkelen skrives nesten automatisk ned. Alt er det samme, bare X (arccos 2/3) vil ha et minus:
x 2 = - buer 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Og det er det! Dette er det riktige svaret. Enda enklere enn med tabellverdier. Det er ikke nødvendig å huske noe.) De mest oppmerksomme vil forresten legge merke til at dette bildet viser løsningen gjennom buekosinus i hovedsak ikke forskjellig fra bildet for ligningen cosx = 0,5.
Nøyaktig! Det generelle prinsippet er nettopp det! Jeg har bevisst tegnet to nesten like bilder. Sirkelen viser oss vinkelen X ved sin kosinus. Om det er en tabellform kosinus eller ikke er ukjent for alle. Hva slags vinkel dette er, π /3, eller hva buekosinus er - det er opp til oss å bestemme.
Samme sang med sinus. For eksempel:
Tegn en sirkel igjen, merk sinus lik 1/3, tegn vinklene. Dette er bildet vi får:
Og igjen er bildet nesten det samme som for ligningen sinx = 0,5. Igjen starter vi fra hjørnet i første kvarter. Hva er X lik hvis sinus er 1/3? Ikke noe problem!
Nå er den første pakken med røtter klar:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
La oss ta for oss den andre vinkelen. I eksemplet med en tabellverdi på 0,5 var den lik:
π - x
Det blir akkurat det samme her også! Bare x er forskjellig, arcsin 1/3. Hva så!? Du kan trygt skrive ned den andre pakken med røtter:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Dette er et helt riktig svar. Selv om det ikke ser veldig kjent ut. Men det er klart, håper jeg.)
Slik løses trigonometriske ligninger ved hjelp av en sirkel. Denne veien er tydelig og forståelig. Det er han som sparer i trigonometriske ligninger med utvalg av røtter på et gitt intervall, i trigonometriske ulikheter - de løses stort sett alltid i en sirkel. Kort sagt, i alle oppgaver som er litt vanskeligere enn standardoppgaver.
La oss bruke kunnskap i praksis?)
Løs trigonometriske ligninger:
Først, enklere, rett fra denne leksjonen.
Nå er det mer komplisert.
Hint: her må du tenke på sirkelen. Personlig.)
Og nå er de utad enkle... De kalles også spesielle tilfeller.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Hint: her må du finne ut i en sirkel hvor det er to serier med svar og hvor det er en ... Og hvordan du skriver en i stedet for to serier med svar. Ja, slik at ikke en eneste rot fra et uendelig antall går tapt!)
Vel, veldig enkelt):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Hint: her må du vite hva arcsine og arccosine er? Hva er arctangens, arccotangent? De enkleste definisjonene. Men du trenger ikke å huske noen tabellverdier!)
Svarene er selvfølgelig et rot):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2
Ikke alt ordner seg? Skjer. Les leksjonen på nytt. Bare ettertenksomt(det er et så utdatert ord...) Og følg linkene. Hovedlenkene handler om sirkelen. Uten den er trigonometri som å krysse veien med bind for øynene. Noen ganger fungerer det.)
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)
Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.
Løse enkle trigonometriske ligninger.
Å løse trigonometriske ligninger på et hvilket som helst nivå av kompleksitet kommer til slutt ned til å løse de enkleste trigonometriske ligningene. Og i dette viser den trigonometriske sirkelen seg igjen å være den beste assistenten.
La oss huske definisjonene av cosinus og sinus.
Cosinus til en vinkel er abscissen (det vil si koordinaten langs aksen) til et punkt på enhetssirkelen som tilsvarer en rotasjon gjennom en gitt vinkel.
Sinusen til en vinkel er ordinaten (det vil si koordinaten langs aksen) til et punkt på enhetssirkelen som tilsvarer en rotasjon gjennom en gitt vinkel.
Den positive bevegelsesretningen på den trigonometriske sirkelen er mot klokken. En rotasjon på 0 grader (eller 0 radianer) tilsvarer et punkt med koordinater (1;0)
Vi bruker disse definisjonene til å løse enkle trigonometriske ligninger.
1. Løs ligningen
Denne ligningen er tilfredsstilt av alle verdiene av rotasjonsvinkelen som tilsvarer punkter på sirkelen hvis ordinat er lik .
La oss markere et punkt med ordinat på ordinataksen:
Tegn en horisontal linje parallelt med x-aksen til den skjærer sirkelen. Vi får to punkter som ligger på sirkelen og har en ordinat. Disse punktene tilsvarer rotasjonsvinkler i og radianer:
Hvis vi etterlater punktet som tilsvarer rotasjonsvinkelen per radian, går rundt en hel sirkel, så kommer vi til et punkt som tilsvarer rotasjonsvinkelen per radian og har samme ordinat. Det vil si at denne rotasjonsvinkelen også tilfredsstiller ligningen vår. Vi kan gjøre så mange "tomganger" som vi vil, gå tilbake til samme punkt, og alle disse vinkelverdiene vil tilfredsstille ligningen vår. Antallet "tomgangs" omdreininger vil bli merket med bokstaven (eller). Siden vi kan gjøre disse revolusjonene i både positive og negative retninger, (eller) kan ta på alle heltallsverdier.
Det vil si at den første serien med løsninger til den opprinnelige ligningen har formen:
, , - sett med heltall (1)
På samme måte har den andre serien med løsninger formen:
, Hvor , . (2)
Som du kanskje har gjettet, er denne løsningsserien basert på punktet på sirkelen som tilsvarer rotasjonsvinkelen med .
Disse to seriene med løsninger kan kombineres til én oppføring:
Hvis vi tar (det vil si til og med) i denne oppføringen, vil vi få den første serien med løsninger.
Hvis vi tar (det vil si merkelig) i denne oppføringen, får vi den andre serien med løsninger.
2. La oss nå løse ligningen
Siden dette er abscissen til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere gjennom en vinkel, markerer vi punktet med abscissen på aksen:
Tegn en vertikal linje parallelt med aksen til den skjærer sirkelen. Vi vil få to punkter som ligger på sirkelen og har en abscisse. Disse punktene tilsvarer rotasjonsvinkler inn og radianer. Husk at når vi beveger oss med klokken, får vi en negativ rotasjonsvinkel:
La oss skrive ned to serier med løsninger:
,
,
(Vi kommer til ønsket punkt ved å gå fra hovedsirkelen, det vil si.
La oss kombinere disse to seriene til én oppføring:
3. Løs ligningen
Tangentlinjen går gjennom punktet med koordinatene (1,0) til enhetssirkelen parallelt med OY-aksen
La oss markere et punkt på det med en ordinat lik 1 (vi leter etter tangenten for hvilke vinkler er lik 1):
La oss koble dette punktet til opprinnelsen til koordinatene med en rett linje og markere skjæringspunktene til linjen med enhetssirkelen. Skjæringspunktene til den rette linjen og sirkelen tilsvarer rotasjonsvinklene på og :
Siden punktene som tilsvarer rotasjonsvinklene som tilfredsstiller ligningen vår ligger i en avstand på radianer fra hverandre, kan vi skrive løsningen på denne måten:
4. Løs ligningen
Linjen med cotangens går gjennom punktet med koordinatene til enhetssirkelen parallelt med aksen.
La oss markere et punkt med abscisse -1 på linjen med cotangenter:
La oss koble dette punktet til opprinnelsen til den rette linjen og fortsette det til det krysser sirkelen. Denne rette linjen vil skjære sirkelen i punkter som tilsvarer rotasjonsvinklene i og radianer:
Siden disse punktene er atskilt fra hverandre med en avstand lik , kan vi skrive den generelle løsningen av denne ligningen som følger:
I de gitte eksemplene som illustrerer løsningen av de enkleste trigonometriske ligningene, ble tabellverdier av trigonometriske funksjoner brukt.
Imidlertid, hvis høyre side av ligningen inneholder en ikke-tabellverdi, erstatter vi verdien med den generelle løsningen av ligningen:
SPESIELLE LØSNINGER:
La oss markere punktene på sirkelen hvis ordinat er 0:
La oss markere et enkelt punkt på sirkelen hvis ordinat er 1:
La oss markere et enkelt punkt på sirkelen hvis ordinat er lik -1:
Siden det er vanlig å angi verdier nærmest null, skriver vi løsningen som følger:
La oss markere punktene på sirkelen hvis abscisse er lik 0:
5.
La oss markere et enkelt punkt på sirkelen hvis abscisse er lik 1:
La oss markere et enkelt punkt på sirkelen hvis abscisse er lik -1:
Og litt mer komplekse eksempler:
1.
Sinus er lik en hvis argumentet er lik
Argumentet til sinusen vår er lik, så vi får:
La oss dele begge sider av likheten med 3:
Svar:
2.
Cosinus er null hvis argumentet for cosinus er det
Argumentet til cosinus er lik , så vi får:
La oss uttrykke , for å gjøre dette går vi først til høyre med motsatt fortegn:
La oss forenkle høyresiden:
Del begge sider med -2:
Merk at tegnet foran begrepet ikke endres, siden k kan ha en hvilken som helst heltallsverdi.
Svar:
Og til slutt, se videoleksjonen "Velge røtter i en trigonometrisk ligning ved hjelp av en trigonometrisk sirkel"
Dette avslutter samtalen vår om å løse enkle trigonometriske ligninger. Neste gang skal vi snakke om hvordan vi skal bestemme oss.
Krever kunnskap om trigonometriens grunnleggende formler - summen av kvadratene av sinus og cosinus, uttrykket for tangent gjennom sinus og cosinus, og andre. For de som har glemt dem eller ikke kjenner dem, anbefaler vi å lese artikkelen "".
Så vi kjenner de grunnleggende trigonometriske formlene, det er på tide å bruke dem i praksis. Løse trigonometriske ligninger med riktig tilnærming er det en ganske spennende aktivitet, som for eksempel å løse en Rubiks kube.
Basert på selve navnet er det klart at en trigonometrisk likning er en likning der det ukjente står under tegnet til den trigonometriske funksjonen.
Det finnes såkalte enkleste trigonometriske ligninger. Slik ser de ut: sinx = a, cos x = a, tan x = a. La oss vurdere hvordan løse slike trigonometriske ligninger, for klarhet vil vi bruke den allerede kjente trigonometriske sirkelen.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
barneseng x = a
Enhver trigonometrisk likning løses i to trinn: vi reduserer likningen til den enkleste formen og løser den deretter som en enkel trigonometrisk likning.
Det er 7 hovedmetoder for å løse trigonometriske ligninger.
Variabel substitusjon og substitusjonsmetode
Løse trigonometriske ligninger gjennom faktorisering
Reduksjon til en homogen ligning
Løse ligninger gjennom overgangen til en halv vinkel
Innføring av hjelpevinkel
Løs ligningen 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Ved å bruke reduksjonsformlene får vi:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Erstatt cos(x + /6) med y for å forenkle og få den vanlige andregradsligningen:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Røttene er y 1 = 1, y 2 = 1/2
La oss nå gå i omvendt rekkefølge
Vi erstatter de funnet verdiene av y og får to svaralternativer:
Hvordan løser man ligningen sin x + cos x = 1?
La oss flytte alt til venstre slik at 0 forblir til høyre:
sin x + cos x – 1 = 0
La oss bruke identitetene diskutert ovenfor for å forenkle ligningen:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
La oss faktorisere:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Vi får to ligninger
En ligning er homogen med hensyn til sinus og cosinus hvis alle leddene er i forhold til sinus og cosinus med samme grad av samme vinkel. For å løse en homogen ligning, fortsett som følger:
a) overføre alle dens medlemmer til venstre side;
b) ta alle vanlige faktorer ut av parentes;
c) sette likhetstegn mellom alle faktorer og parenteser til 0;
d) en homogen ligning av lavere grad oppnås i parentes, som igjen er delt inn i en sinus eller cosinus av en høyere grad;
e) løs den resulterende ligningen for tg.
Løs ligningen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
La oss bruke formelen sin 2 x + cos 2 x = 1 og bli kvitt de to åpne til høyre:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Del på cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Erstatt tan x med y og få en andregradsligning:
y 2 + 4y +3 = 0, hvis røtter er y 1 =1, y 2 = 3
Herfra finner vi to løsninger på den opprinnelige ligningen:
x 2 = arktan 3 + k
Løs ligningen 3sin x – 5cos x = 7
La oss gå videre til x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
La oss flytte alt til venstre:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Del på cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
For vurdering, la oss ta en ligning av formen: a sin x + b cos x = c,
hvor a, b, c er noen vilkårlige koeffisienter, og x er en ukjent.
La oss dele begge sider av ligningen med:
Nå har koeffisientene til ligningen, i henhold til trigonometriske formler, egenskapene sin og cos, nemlig: deres modul er ikke mer enn 1 og summen av kvadrater = 1. La oss betegne dem som henholdsvis cos og sin, hvor - dette er den såkalte hjelpevinkelen. Deretter vil ligningen ha formen:
cos * sin x + sin * cos x = C
eller sin(x + ) = C
Løsningen på denne enkleste trigonometriske ligningen er
x = (-1) k * arcsin C - + k, hvor
Det skal bemerkes at notasjonene cos og sin er utskiftbare.
Løs ligningen sin 3x – cos 3x = 1
Koeffisientene i denne ligningen er:
a = , b = -1, så del begge sider med = 2