Sammendrag: Kvadratiske ligninger og ligninger av høyere orden. Fra historien til kvadratiske ligninger og kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Kopyevskaya landlige ungdomsskole

10 måter å løse kvadratiske ligninger på

Leder: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematikklærer

s. Kopyevo, 2007

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

1.2 Hvordan Diophantus kompilerte og løste andregradsligninger

1.3 Kvadratiske ligninger i India

1.4 Kvadratiske ligninger i al-Khwarizmi

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII århundrer

1.6 Om Vietas teorem

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Konklusjon

Litteratur

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at i deres kileskrifttekster, i tillegg til ufullstendige, er det slike for eksempel komplette kvadratiske ligninger:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Til tross for det høye utviklingsnivået av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

1.2 Hvordan Diophantus kompilerte og løste andregradsligninger.

Diophantus' Aritmetikk inneholder ikke en systematisk utstilling av algebra, men den inneholder en systematisk rekke problemer, ledsaget av forklaringer og løst ved å formulere ligninger av ulike grader.

Ved kompilering av ligninger velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen.

Her er for eksempel en av oppgavene hans.

Oppgave 11."Finn to tall og vite at summen deres er 20 og produktet deres er 96"

Diophantus argumenterer som følger: det følger av betingelsen for problemet at de ønskede tallene ikke er like, siden hvis de var like, ville produktet deres ikke være lik 96, men 100. Dermed vil en av dem være mer enn halvparten av summen deres, dvs. 10+x, den andre er mindre, dvs. 10-tallet. Forskjellen mellom dem 2x .

Derav ligningen:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Herfra x = 2. Et av de ønskede tallene er 12 , annet 8 . Løsning x = -2 for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall.

Hvis vi løser dette problemet ved å velge et av de ønskede tallene som det ukjente, så kommer vi til løsningen av ligningen

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Det er klart at ved å velge halvforskjellen til de ønskede tallene som det ukjente, forenkler Diophantus løsningen; han klarer å redusere problemet til å løse en ufullstendig andregradsligning (1).

1.3 Kvadratiske ligninger i India

Problemer for kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske kanalen "Aryabhattam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk forsker, Brahmagupta (7. århundre), skisserte den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

I ligning (1), koeffisientene, bortsett fra en, kan også være negativ. Brahmaguptas styre faller i hovedsak sammen med vårt.

I det gamle India var offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer vanlig. I en av de gamle indiske bøkene sies følgende om slike konkurranser: "Som solen overstråler stjernene med sin glans, slik vil en lærd person overstråle en annens herlighet på offentlige møter, foreslå og løse algebraiske problemer." Oppgaver var ofte kledd i poetisk form.

Her er et av problemene til den berømte indiske matematikeren fra XII århundre. Bhaskara.

Oppgave 13.

"En sprudlende flokk aper og tolv i vinstokker ...

Etter å ha spist kraft, hatt det gøy. De begynte å hoppe, henge ...

Del åtte av dem i en firkant Hvor mange aper var det,

Ha det gøy på enga. Fortell meg, i denne flokken?

Bhaskaras løsning indikerer at han visste om toverdien til røttene til kvadratiske ligninger (fig. 3).

Ligningen som tilsvarer oppgave 13 er:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara skriver under dekke av:

x 2 - 64x = -768

og for å fullføre venstre side av denne ligningen til et kvadrat, legger han til på begge sider 32 2 , får da:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratiske ligninger i al-Khorezmi

Al-Khorezmis algebraiske avhandling gir en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger. Forfatteren lister opp 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1) "Kvadrater er lik røtter", dvs. akse 2 + c = b X.

2) "Kvadrater er lik tall", dvs. akse 2 = s.

3) "Røttene er lik tallet", dvs. ah = s.

4) "Kvadrater og tall er lik røtter", dvs. akse 2 + c = b X.

5) "Kvadrater og røtter er lik tallet", dvs. ah 2+ bx = s.

6) "Røtter og tall er lik kvadrater", dvs. bx + c \u003d akse 2.

al-Khorezmi, som alle matematikere før 1600-tallet, tar ikke hensyn til nullløsningen, sannsynligvis fordi den ikke spiller noen rolle i spesifikke praktiske problemer. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir al-Khorezmi reglene for løsning, og deretter geometriske bevis, ved å bruke spesielle numeriske eksempler.

Oppgave 14.«Kvadraten og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn roten" (forutsatt roten av ligningen x 2 + 21 = 10x).

Forfatterens løsning er omtrent slik: del antall røtter i to, du får 5, gang 5 med seg selv, trekk 21 fra produktet, 4 gjenstår Ta roten av 4, du får 2. Trekk 2 fra 5, du får 3, vil dette være ønsket rot. Eller legg til 2 til 5, som vil gi 7, dette er også en rot.

Treatise al - Khorezmi er den første boken som har kommet ned til oss, der klassifiseringen av andregradsligninger er systematisk oppgitt og formler for deres løsning er gitt.

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII århundrer

Formler for å løse kvadratiske ligninger på modellen til al - Khorezmi i Europa ble først fremsatt i "Book of the Abacus", skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike verket, som gjenspeiler innflytelsen fra matematikk, både islams land og antikkens Hellas, utmerker seg både ved fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på problemløsning og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange oppgaver fra "Book of the Abacus" gikk over i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII.

Den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

x 2+ bx = med,

for alle mulige kombinasjoner av tegn på koeffisientene b , Med ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. De italienske matematikerne Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. Ta i betraktning, i tillegg til positive og negative røtter. Bare i det XVII århundre. Takket være arbeidet til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får måten å løse andregradsligninger på et moderne utseende.

1.6 Om Vietas teorem

Teoremet som uttrykker forholdet mellom koeffisientene til en kvadratisk ligning og dens røtter, som bærer navnet Vieta, ble formulert av ham for første gang i 1591 som følger: "Hvis B + D ganget med EN - EN 2 , er lik BD, deretter EN er lik PÅ og likeverdig D ».

For å forstå Vieta må man huske det MEN, som enhver vokal, betydde for ham det ukjente (vår X), vokalene PÅ, D- koeffisienter for det ukjente. På språket til moderne algebra betyr Vietas formulering ovenfor: hvis

(et + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Ved å uttrykke forholdet mellom røttene og koeffisientene til ligninger med generelle formler skrevet ved hjelp av symboler, etablerte Viet ensartethet i metodene for å løse ligninger. Imidlertid er symbolikken til Vieta fortsatt langt fra sin moderne form. Han gjenkjente ikke negative tall, og derfor vurderte han bare tilfeller der alle røtter er positive når han løste ligninger.

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Kvadratiske ligninger er grunnlaget som det majestetiske byggverket til algebra hviler på. Kvadratiske ligninger er mye brukt for å løse trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske, irrasjonelle og transcendentale ligninger og ulikheter. Vi vet alle hvordan vi løser andregradsligninger fra skolen (8. klasse) til eksamen.

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i Republikken Tatarstan

Kommunal budsjettutdanningsinstitusjon

"Usad ungdomsskole

Vysokogorsky kommunale distrikt i republikken Tatarstan

Forskningsarbeid:

"Historie hendelsetorget ligninger»

Fullført av: Andreeva Ekaterina,

8B klasse elev

Vitenskapelig rådgiver:

Pozharskaya Tatyana Leonidovna,

matematikklærer

Introduksjon

Som ønsker å være begrenset til nåtiden

uten kunnskap om fortiden,

han vil aldri forstå.

G.V. Leibniz

Ligninger i matematikkkurset inntar en ledende plass, men ingen av ligningstypene har funnet så bred anvendelse som kvadratiske ligninger.

Ligningen av andregraden eller kvadratiske ligninger, var folk i stand til å løse selv i det gamle Babylon i II årtusen f.Kr. Problemer som fører til kvadratiske ligninger er diskutert i mange gamle matematiske manuskripter og avhandlinger. Og for tiden løses mange problemer med algebra, geometri, fysikk også ved hjelp av kvadratiske ligninger. Ved å løse dem finner folk svar på ulike spørsmål om vitenskap og teknologi.

Mål denne studien - for å studere historien om fremveksten av kvadratiske ligninger.

For å oppnå dette målet er det nødvendig å løse følgende oppgaver:

Studer den vitenskapelige litteraturen om emnet.
Spor historien om fremveksten av andregradsligninger.

Studieobjekt: andregradsligninger.

Studieemne: historien om fremveksten av kvadratiske ligninger.

Temaets relevans :

Folk har løst andregradsligninger siden antikken. Jeg ønsket å vite historien om opprinnelsen til kvadratiske ligninger.
I skolebøkene er det ingen informasjon om historien om fremveksten av kvadratiske ligninger.

Forskningsmetoder:

Arbeid med pedagogisk og populærvitenskapelig litteratur.
Observasjon, sammenligning, analyse.

Den vitenskapelige verdien av arbeidet ligger etter min mening i at dette materialet kan være av interesse for skolebarn som er glad i matematikk, og lærere i valgfrie klasser.

Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon.

I det gamle Babylon var behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder med land og jordarbeid av militær karakter, samt utviklingen av astronomi og matematikken i seg selv.

Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at i deres kileskrifttekster, i tillegg til ufullstendige, er det slike for eksempel komplette kvadratiske ligninger:

x 2 - x \u003d 14.5

Til tross for det høye utviklingsnivået av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

Et eksempel hentet fra en av leirtavlene fra denne perioden.

"Arealet av summen av to ruter er 1000. Siden av en av rutene er siden til den andre firkanten minus 10. Hva er sidene av rutene?"

Dette fører til ligninger hvis løsning reduseres til å løse en andregradsligning som har en positiv rot.

Faktisk er løsningen i kileskriftet begrenset, som i alle østlige problemer, til en enkel oppregning av trinnene i beregningen som er nødvendig for å løse den kvadratiske ligningen:

«Kvadrat 10; dette gir 100; trekk 100 fra 1000; dette gir 900" etc

Hvordan Diophantus kompilerte og løste andregradsligninger

Diophantus presenterer en av de vanskeligste gåtene i vitenskapens historie. Han var en av de mest originale antikke greske matematikerne var Diophantus av Alexandria, hvis arbeider var av stor betydning for algebra og tallteori. Så langt er verken fødselsår eller dødsdato til Diophantus avklart. Tidsperioden da Diophantus kunne ha levd er et halvt årtusen! Det antas at han levde på 300-tallet e.Kr. Men bostedet til Diophantus er velkjent - dette er det berømte Alexandria, sentrum for vitenskapelig tanke i den hellenistiske verden.

Av verkene til Diophantus er den viktigste aritmetikk, hvorav 13 bøker bare 6 har overlevd til i dag.

Ved kompilering av ligninger velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen.

Her er for eksempel en av oppgavene hans.

En oppgave: "Finn to tall og vite at summen deres er 20 og produktet deres er 96"

Derav ligningen:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Herfra x = 2. Et av de ønskede tallene er 12 , annet 8 . Løsning x = -2 for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall.

Hvis vi løser dette problemet ved å velge et av de ønskede tallene som det ukjente, så kommer vi til løsningen av ligningen

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Kvadratiske ligninger fra Diophantus aritmetikk:

12x2+x=1
630x2 +73x=6.

Selv i antikken var India kjent for sin kunnskap innen astronomi, grammatikk og andre vitenskaper.

Indiske forskere har oppnådd størst suksess innen matematikk. De var grunnleggerne av aritmetikk og algebra, i utviklingen som de gikk lenger enn grekerne.

Problemer for kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske avhandlingen "Aryabhattiam", kompilert i 499. Indisk matematiker og astronom Aryabhatta. En annen indisk vitenskapsmann, Brahmagupta (7. århundre), skisserte den generelle regelen for løsning av kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form: ax 2 +bx=c, a>0.

Brahmaguptas styre faller i hovedsak sammen med vårt.
I det gamle India var offentlige konkurranser vanlig
i å løse vanskelige problemer. I en av de gamle indiske bøkene sies følgende om slike konkurranser: "Akkurat som solen overstråler stjernene med sin glans, slik vil en lærd person overstråle en annens herlighet på offentlige møter, og foreslår og løser algebraiske problemer."

Oppgaver var ofte kledd i poetisk form.
Her er et av problemene til den berømte indiske matematikeren fra XII århundre. Bhaskara:

« Frisk flokk aper,

Spise godt, ha det gøy.

Den åttende delen av dem er kvadratisk,

Ha det gøy på enga.

Og tolv i vinstokker ...

De begynte å hoppe, henge ...

Hvor mange aper var det

Fortell meg, i denne flokken?

Bhaskaras løsning indikerer at han var klar over to-verdien av røttene til kvadratiske ligninger.

Ligningen som tilsvarer problemet

Bhaskara skriver som x 2 - 64x \u003d -768, og for å fullføre venstre side av denne ligningen til et kvadrat, legg til 32 2 til begge deler, og får deretter:

x 2 -64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Kvadratiske ligninger i Kina (1. årtusen f.Kr.).

De første kinesiske skriftlige monumentene som har kommet ned til oss dateres tilbake til Shang-tiden (XVIII-XII århundrer f.Kr.). Og allerede på spåbein fra XIV århundre. f.Kr e., funnet i Henan, er notasjonen av tall bevart. Men den sanne blomstringen av vitenskap begynte etter på XII århundre. f.Kr e. Kina ble erobret av Zhou-nomadene. I løpet av disse årene oppsto kinesisk matematikk og astronomi og nådde fantastiske høyder. De første nøyaktige kalenderne og lærebøkene i matematikk dukket opp. Dessverre tillot ikke "utryddelsen av bøker" av keiser Qin Shi Huang (Shi Huangdi) de tidlige bøkene å nå oss, men de dannet mest sannsynlig grunnlaget for påfølgende verk.

"Matematikk i ni bøker" er det første matematiske verket fra en rekke klassiske verk i det gamle Kina, et bemerkelsesverdig monument over det gamle Kina under det tidlige Han-dynastiet (206 f.Kr. – 7 e.Kr.). Dette essayet inneholder et mangfoldig og rikt matematisk materiale, inkludert kvadratiske ligninger.

Kinesisk oppgave: "Det er et reservoar med en side på 10 chi. I midten av den vokser siv, som stikker ut over vannet i 1 chi. Hvis du drar sivet til land, så vil det bare berøre det. Spørsmålet er: hva er dybden på vannet og hva er lengden på sivet?

(x + 1) 2 \u003d x 2 +5 2,

x 2 + 2x + 1 \u003d x 2 +25,

Svar: 12chi; 13t.

Al-Khwarizmis kvadratiske ligninger

"Jeg har satt sammen en kort bok om algebra- og almukabala-regningen, som inneholder enkle og komplekse aritmetiske spørsmål, for dette er nødvendig for mennesker." Al-Khwarizmi Muhammad bin Musa.

Al-Khwarizmi (Usbekistan) er mest kjent for sin "Book of Complementation and Contradiction" ("Al-kitab al mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala"), fra navnet som ordet "algebra" kommer fra . Denne avhandlingen er den første boken som har kommet ned til oss, der klassifiseringen av andregradsligninger er systematisk presentert og formler for deres løsning er gitt.

I den teoretiske delen av avhandlingen hans gir al-Khwarizmi en klassifisering av ligninger av 1. og 2. grad og identifiserer seks av deres typer:

1) "Kvadrater er lik røtter", dvs. akse 2 = bx. (eksempel:)

2) "Kvadrater er lik et tall", dvs. akse 2 \u003d s. (Eksempel:)

3) "Røttene er lik tallet", dvs. øks \u003d c. (eksempel:)

4) «Kvadrater og tall er lik røtter», dvs. ax 2 + c = bx. (eksempel:)

5) "Kvadrater og røtter er lik tallet", dvs. akse 2 + bx \u003d c.

6) "Røtter og tall er lik kvadrater", dvs. bx + c == akse 2. (eksempel:)

For al-Khwarizmi, som unngikk bruken av negative tall, er vilkårene for hver av disse ligningene addisjoner, ikke subtraksjoner. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren skisserer metodene for å løse disse ligningene ved å bruke metodene til al-jabr og al-muqabala. Hans avgjørelse er selvfølgelig ikke helt sammenfallende med vår. For ikke å nevne det faktum at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig kvadratisk ligning av den første typen, tar ikke al-Khwarizmi, som alle matematikere før 1600-tallet, hensyn til null løsning, sannsynligvis fordi det i spesifikke praktiske oppgaver ikke spiller noen rolle. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir al-Khwarizmi reglene for å løse dem ved å bruke spesielle numeriske eksempler, og deretter deres geometriske bevis.

La oss ta et eksempel.

«Kvadraten og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn roten"(forutsatt roten av ligningen x 2 + 21 = 10x).

Forfatterens løsning lyder omtrent slik: «Del antall røtter i to, du får 5, gang 5 med seg selv, trekk 21 fra produktet, 4 gjenstår. Ta roten av 4, du får 2. Trekk fra 2 fra 5, du får 3, vil dette være ønsket rot . Eller legg til 2 til 5, som vil gi 7, dette er også en rot.

Al-Khwarizmis berømte ligning: "En kvadrat og ti røtter er lik 39." x 2 + 10x= 39 (IX århundre). I sin avhandling skriver han: «Regelen er denne: Hvis du dobler antall røtter, får du fem i denne oppgaven. Legg det til trettini, det er sekstifire. Ta en rot fra dette, det blir åtte, og trekk fra dette halvparten av antall røtter, dvs. fem, det vil være tre: dette vil være roten til kvadratet du lette etter "

Kvadratiske ligninger i Europa XII-XVII århundrer.

Skjemaer for å løse kvadratiske ligninger på modellen til Al-Khwarizmi i Europa ble først beskrevet i "Book of the Abacus", skrevet i 1202. Den italienske matematikeren Leonard Fibonacci. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på problemløsning og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall.

Denne boken bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange oppgaver fra denne boken ble overført til nesten alle europeiske lærebøker på 1300- og 1600-tallet. Den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til formen x 2 + bx \u003d c med alle mulige kombinasjoner av tegn og koeffisienter b, c ble formulert i Europa i 1544 av M. Stiefel.

Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. De italienske matematikerne Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. ta hensyn til, i tillegg til positive, og negative røtter. Bare i det XVII århundre. takket være verkene til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får metoden for å løse kvadratiske ligninger et moderne utseende.

Konklusjon.

Kvadratiske ligninger er grunnlaget som det majestetiske byggverket til algebra hviler på. Ulike ligninger, både kvadratiske og ligninger av høyere grader, ble løst av våre fjerne forfedre. Disse ligningene ble løst i de mest forskjellige og fjerntliggende landene. Behovet for ligninger var stort. Ligningene ble brukt i konstruksjon, i militære anliggender og i hverdagssituasjoner.

Nå for tiden er evnen til å løse andregradsligninger avgjørende for alle. Evnen til raskt, rasjonelt og riktig å løse andregradsligninger gjør det lettere å passere mange emner i matematikkkurset. Kvadratiske ligninger løses ikke bare i matematikktimer, men også i fysikk, kjemi, informatikktimer. De fleste praktiske problemer i den virkelige verden kommer også ned til å løse andregradsligninger.

Litteratur

Bashmakova I. G. Diophantine og Diophantine Equations. Moskva: Nauka, 1972.
Berezkina E.I. Matematikk i det gamle Kina - M.: Nauka, 1980
Pichurin L.F. Bak sidene i læreboken i algebra: Bok. for studenter

7-9 celler. ungdomsskolen - M.: Opplysning, 1990

Glazer G. I. Matematikkens historie ved skole VII - VIII klasse. En veiledning for lærere. - M.: Opplysning, 1982.

Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad selv i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder med land og jordarbeid av militær karakter, samt med utviklingen av astronomi og matematikk selv. Babylonerne visste hvordan de skulle løse kvadratiske ligninger omtrent 2000 år før vår tro. Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at det i deres kileskrifttekster, i tillegg til ufullstendige, er slike for eksempel komplette andregradsligninger: forskrifter. Nesten alle kileskriftstekstene som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger oppgitt i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet. Til tross for det høye utviklingsnivået av algebra i Babylonia, er konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger fraværende i kileskriftstekster.

Hvordan Diophantus kompilerte og løste de kvadratiske ligningene "Finn to tall, vel vitende om at summen deres er 20, og produktet er 96" Diophantus argumenterer som følger: det følger av betingelsen for problemet at de ønskede tallene ikke er like, fordi hvis de var like, så ville deres produkt ikke vært 96, men 100. Dermed vil en av dem være mer enn halvparten av summen deres, dvs. 10+X, den andre er mindre, dvs. 10-X. Forskjellen mellom dem er 2X Derfor X=2. Et av de ønskede tallene er 12, det andre er 8. Løsningen X = -2 for Diophantus finnes ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall. LIGNING: eller annet:

Andregradsligninger i India Problemer med kvadratiske ligninger finnes også i den astronomiske avhandlingen "Aryabhattam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk vitenskapsmann, Brahmagupta, skisserte den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form: ax ² +bx=c, a>0 Del åtte av dem på en firkant hadde jeg det gøy i lysningen. Og tolv langs lianene ... De begynte å hoppe hengende ... Hvor mange aper var det, fortell meg, i denne flokken?. Ligningen som tilsvarer problemet: Baskara skriver under dekke: Komplementerte venstre side til en firkant, 0 En av oppgavene til den berømte indiske matematikeren fra 1100-tallet Bhaskara En flokk med frekke apekatter Etter å ha spist av hjertens lyst, hadde de det gøy. Del åtte av dem på en firkant hadde jeg det gøy i lysningen. Og tolv langs lianene ... De begynte å hoppe hengende ... Hvor mange aper var det, fortell meg, i denne flokken?. Ligningen som tilsvarer problemet: Baskara skriver under dekke: Supplert venstre side til en firkant, ">

Kvadratiske ligninger i det gamle Asia Slik løste den sentralasiatiske forskeren al-Khwarizmi denne ligningen: Han skrev: «Regelen er denne: doble antall røtter, x = 2x 5, få fem i denne oppgaven, gang 5 med denne likningen til det vil det være tjuefem, 5 5=25 legg dette til trettini, det blir sekstifire, 64 ta roten av dette, det blir åtte, 8 og trekk fra dette halve antallet røtter , dvs. fem, 8-5 vil forbli 3, dette vil være roten til kvadratet du søkte." Hva med den andre roten? Den andre roten ble ikke funnet, siden negative tall ikke var kjent. x x = 39

Kvadratiske ligninger i Europa XIII-XVII århundrer. Den generelle regelen for løsning av kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form x2 + in + c = 0 ble formulert i Europa først av Stiefel i 1544. Formlene for å løse kvadratiske ligninger i Europa ble først angitt i 1202 av den italienske matematikeren Leonard Fibonacci. Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. Først på 1600-tallet takket være verkene til Descartes, Newton og andre forskere, tar metoden for å løse kvadratiske ligninger en moderne form

Om Vietas teorem Teoremet, som uttrykker forholdet mellom koeffisientene til en kvadratisk ligning og dens røtter, som bærer navnet Vieta, ble formulert av ham for første gang i 1591. Som følger: «Hvis B + D multiplisert med A-A er lik til BD, så er A lik B og lik D. For å forstå Vieta, bør det huskes at A, som enhver vokal, betydde det ukjente (vår x), mens vokalene B, D er koeffisienter for det ukjente. På språket til moderne algebra betyr formuleringen ovenfor av Vieta: Hvis den gitte kvadratiske ligningen x 2 +px + q \u003d 0 har reelle røtter, er summen deres lik -p, og produktet er lik q, at er, x 1 + x 2 \u003d -p, x 1 x 2 = q (summen av røttene til den gitte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik til friperioden).

Faktoriseringsmetoden er å bringe en generell kvadratisk ligning til formen: A(x)·B(x)=0, hvor A(x) og B(x) er polynomer med hensyn til x. Formål: Ta fellesfaktoren ut av parentes; Bruke forkortede multiplikasjonsformler; grupperingsmetode. Måter: Eksempel:

Røttene til den kvadratiske ligningen: Hvis D>0, hvis D 0, If D"> 0, If D"> 0, If D" title="(!LANG: Kvadratiske røtter: If D>0, If D"> title="Røttene til den kvadratiske ligningen: Hvis D>0, hvis D"> !}

X 1 og x 2 er røttene til ligningen Løse ligninger ved å bruke Vieta-setningen X 2 + 3X - 10 \u003d 0 X 1 X 2 \u003d - 10, som betyr at røttene har forskjellige tegn X 1 + X 2 \u003d - 3, som betyr at roten er større i absolutt verdi - negativ Ved valg finner vi røttene: X 1 \u003d - 5, X 2 \u003d 2 For eksempel:

0, i henhold til teoremet omvendt til Vieta-setningen, får vi røttene: 5, 6, så går vi tilbake til røttene til den opprinnelige ligningen: 2,5; 3. Svar: 2,5; 3. Løsning av ligningen "title =" (!LANG: Løs ligningen: 2x 2 - 11x +15 = 0. La oss overføre koeffisienten 2 til frileddet y 2 - 11y +30 = 0. D> 0, iht. til teoremet, det inverse av Vietas teorem, får vi røttene: 5;6, så går vi tilbake til røttene til den opprinnelige ligningen: 2.5; 3. Svar: 2.5; 3. Løsning av ligningen" class="link_thumb"> 14 !} Løs ligningen: 2x x +15 \u003d 0. La oss overføre koeffisienten 2 til frileddet y y +30 \u003d 0. D> 0, ifølge teoremet, den inverse av Vieta-setningen, får vi røttene: 5 6, så går vi tilbake til røttene til den opprinnelige ligningen: 2, 5; 3. Svar: 2,5; 3. Løsning av ligninger ved hjelp av metoden "overføring" 0, i henhold til teoremet omvendt til Vieta-setningen, får vi røttene: 5, 6, så går vi tilbake til røttene til den opprinnelige ligningen: 2,5; 3. Svar: 2,5; 3. Løsningen av ligningen "\u003e 0, i henhold til teoremet, inversen av Vietas teorem, får vi røttene: 5; 6, så går vi tilbake til røttene til den opprinnelige ligningen: 2.5; 3. Svar: 2.5 3. Løser likningene ved å bruke "overføringsmetoden" > 0, i henhold til teoremet omvendt til Vieta-setningen, får vi røttene: 5;6, så går vi tilbake til røttene til den opprinnelige ligningen: 2,5; 3. Svar: 2,5; 3. Løsning av ligningen "title =" (!LANG: Løs ligningen: 2x 2 - 11x +15 = 0. La oss overføre koeffisienten 2 til frileddet y 2 - 11y +30 = 0. D> 0, iht. til teoremet, det inverse av Vietas teorem, får vi røttene: 5;6, så går vi tilbake til røttene til den opprinnelige ligningen: 2.5; 3. Svar: 2.5; 3. Løsning av ligningen"> title="Løs ligningen: 2x 2 - 11x +15 \u003d 0. La oss overføre koeffisienten 2 til frileddet y 2 - 11y +30 \u003d 0. D> 0, ifølge teoremet, den inverse av Vieta-setningen, vi få røttene: 5, 6, så går vi tilbake til røttene til de opprinnelige ligningene: 2,5; 3. Svar: 2,5; 3. Løsning av ligningen"> !}

Hvis i andregradsligningen a + b + c \u003d 0, så er en av røttene lik 1, og den andre i henhold til Vieta-setningen er lik den andre i henhold til Vieta-setningen er If i andregradsligningen a + c \u003d b, så er en av røttene lik (-1), og den andre, ifølge Vietas teorem, er lik Eksempel: Egenskaper til koeffisientene til kvadratisk ligning 137x x - 157 = 0. a = 137 , b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0. x 1 = 1, Svar: 1; 137x x - 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0. x 1 = 1, Svar: 1;

Grafisk måte å løse en andregradsligning Uten å bruke formler kan en andregradsligning løses grafisk. La oss løse ligningen For å gjøre dette skal vi bygge to grafer: X Y X 01 Y012 Svar: Abscissen til grafenes skjæringspunkt og vil være røttene til ligningen. Hvis grafene skjærer hverandre i to punkter, har ligningen to røtter. Hvis grafene krysser hverandre på ett punkt, har ligningen én rot. Hvis grafene ikke skjærer hverandre, har ligningen ingen røtter. 1)y=x2 2)y=x+1

Løse andregradsligninger ved hjelp av nomogram Dette er en gammel og ufortjent glemt metode for å løse andregradsligninger, plassert på s. 83 "Fire-verdi matematiske tabeller" Bradis V.M. Tabell XXII. Nomogram for å løse ligningen Dette nomogrammet tillater, uten å løse en kvadratisk ligning, å bestemme røttene til ligningen ved hjelp av koeffisientene. For ligningen gir nomogrammet røttene

Geometrisk måte å løse andregradsligninger på I antikken, da geometri var mer utviklet enn algebra, ble kvadratiske ligninger løst ikke algebraisk, men geometrisk. Og her, for eksempel, hvordan de gamle grekerne løste ligningen: eller Uttrykk og geometrisk gir samme kvadrat, og den opprinnelige ligningen er den samme ligningen. Hvor får vi hva, eller

Konklusjon Disse beslutningsmetodene fortjener oppmerksomhet, siden de ikke alle gjenspeiles i lærebøker i skolens matematikk; å mestre disse teknikkene vil hjelpe elevene å spare tid og løse ligninger effektivt; behovet for en rask løsning skyldes bruken av et testsystem for opptaksprøver;

INTRODUKSJON

Ligninger i skoleløpet til algebra inntar en ledende plass. Mer tid er viet til studiet deres enn til noe annet emne på skolens matematikkkurs. Styrken til likningsteorien er at den ikke bare har teoretisk betydning for kunnskapen om naturlover, men også tjener spesifikke praktiske formål. De fleste problemer om romlige former og kvantitative relasjoner i den virkelige verden kommer ned til å løse ulike typer ligninger. Ved å mestre måtene å løse dem på, finner folk svar på ulike spørsmål fra vitenskap og teknologi (transport, landbruk, industri, kommunikasjon, etc.). Også for dannelsen av evnen til å løse likninger er studentens selvstendige arbeid med å lære å løse likninger av stor betydning. Når du studerer et hvilket som helst emne, kan ligninger brukes som et effektivt middel for å konsolidere, utdype, gjenta og utvide teoretisk kunnskap, for utvikling av kreativ matematisk aktivitet til studenter.

I den moderne verden er ligninger mye brukt i ulike grener av matematikk, for å løse viktige anvendte problemer. Dette emnet er preget av en stor dybde i presentasjonen og rikdommen i forbindelsene som er etablert med dets hjelp til læring, den logiske gyldigheten av presentasjonen. Derfor inntar den en eksepsjonell posisjon i likningslinjen. Studentene begynner å studere emnet "Square trinomials" etter å ha allerede samlet litt erfaring, og eier et ganske stort lager av algebraiske og generelle matematiske konsepter, konsepter og ferdigheter. I stor grad er det på materialet til dette emnet at det er nødvendig å syntetisere materialet knyttet til ligninger, for å implementere prinsippene om historisisme og tilgjengelighet.

Relevans Temaet er behovet for å implementere historismens prinsipper og mangel på materiell for gjennomføringen av dette på temaet «Løsning av kvadratiske ligninger».

Forskningsproblem: identifisere historisk materiale for å lære å løse andregradsligninger.

Objektiv: dannelse av ideer om å jobbe med kvadratiske ligninger i matematikktimer, valg av et sett med leksjoner med elementer av historisisme om emnet "Kvadriske ligninger".

Studieobjekt: løse andregradsligninger i klasse 8 ved å bruke elementer fra historisisme.

Studieemne: andregradsligninger og utvikling av leksjoner om å lære å løse andregradsligninger ved hjelp av historisk materiale.

Oppgaver:

utføre en analyse av vitenskapelig og metodisk litteratur om forskningsproblemet;

analysere skolebøker og fremheve stedet for å lære å løse andregradsligninger i dem;

plukke opp et sett med leksjoner om å løse andregradsligninger ved hjelp av historisk materiale.

Forskningsmetoder:

analyse av litteratur om emnet "Løsning av kvadratiske ligninger";

observasjon av elever under en leksjon om emnet "Løse andregradsligninger";

valg av materiale: leksjoner om temaet "Løse andregradsligninger" ved hjelp av historisk referanse.

§ 1. Fra historien om fremveksten av andregradsligninger

Algebra oppsto i forbindelse med løsning av ulike problemer ved hjelp av ligninger. Vanligvis i problemer er det nødvendig å finne en eller flere ukjente, mens du kjenner resultatene av noen handlinger utført på ønskede og gitte mengder. Slike problemer reduseres til å løse en eller et system med flere ligninger, til å finne de ønskede ved hjelp av algebraiske operasjoner på gitte størrelser. Algebra studerer de generelle egenskapene til handlinger på mengder.

Noen algebraiske teknikker for å løse lineære og kvadratiske ligninger var kjent så tidlig som for 4000 år siden i det gamle Babylon.

Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder med land og jordarbeid av militær karakter, samt utviklingen av astronomi og matematikken selv. Babylonerne visste hvordan de skulle løse andregradsligninger rundt 2000 f.Kr. Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at i deres kileskrifttekster, i tillegg til ufullstendige, er det slike for eksempel komplette kvadratiske ligninger:

Regelen for å løse disse ligningene, angitt i de babylonske tekstene, sammenfaller i hovedsak med den moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom til denne regelen. Nesten alle kileskriftstekstene som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger oppgitt i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet. Til tross for det høye utviklingsnivået av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

Ved kompilering av ligninger velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen.

Her er for eksempel en av oppgavene hans.

Oppgave 2. "Finn to tall, vel vitende om at summen deres er 20, og produktet deres er 96."

Diophantus argumenterer som følger: det følger av betingelsen for problemet at de ønskede tallene ikke er like, siden hvis de var like, ville produktet deres ikke være lik 96, men 100. Dermed vil en av dem være mer enn halvparten av summen deres, dvs.
. Den andre er mindre, dvs.
. Forskjellen mellom dem
. Derav ligningen:

Herfra
. Et av de ønskede tallene er 12, det andre er 8. Løsning
for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall.

Hvis vi løser dette problemet ved å velge et av de ukjente tallene som det ukjente, kan vi komme til løsningen av ligningen:

Det er klart at ved å velge halvforskjellen til de ønskede tallene som det ukjente, forenkler Diophantus løsningen; han klarer å redusere problemet til å løse en ufullstendig andregradsligning.

Kvadratiske ligninger i India

Problemer for kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske avhandlingen Aryabhattam, kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk forsker, Brahmagupta (7. århundre), skisserte den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

(1)

I ligning (1) kan koeffisienter være negative. Brahmaguptas styre faller i hovedsak sammen med vårt.

I India var offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer vanlig. I en av de gamle indiske bøkene sies følgende om slike konkurranser: "Som solen overstråler stjernene med sin glans, slik vil en lærd person overstråle herligheten i offentlige møter, foreslå og løse algebraiske problemer." Oppgaver var ofte kledd i poetisk form.

Her er et av problemene til den berømte indiske matematikeren fra XII århundre. Bhaskara.

Bhaskaras løsning indikerer at forfatteren var klar over to-verdien av røttene til kvadratiske ligninger.

Ligningen som tilsvarer oppgave 3 er:

Bhaskara skriver under dekke av:

og for å fullføre venstre side av denne ligningen til kvadratet, legger han til 322 på begge sider, og får da:

Al-Khwarizmis kvadratiske ligninger

Al-Khwarizmis algebraiske avhandling gir en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger. Forfatteren lister opp 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

For Al-Khwarizmi, som unngikk bruken av negative tall, er vilkårene for hver av disse ligningene addisjoner, ikke subtraksjoner. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren skisserer metodene for å løse disse ligningene ved å bruke metodene til al-jabr og al-muqabala. Hans avgjørelse er selvfølgelig ikke helt sammenfallende med vår. For ikke å nevne det faktum at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig kvadratisk ligning av den første typen, tar ikke Al-Khwarizmi, som alle matematikere før 1600-tallet, hensyn til null løsning, sannsynligvis fordi det i spesifikke praktiske oppgaver ikke spiller noen rolle. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir Al-Khwarizmi reglene for å løse dem ved å bruke spesielle numeriske eksempler, og deretter deres geometriske bevis.

La oss ta et eksempel.

Oppgave 4. «Kvadratet og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn roten "(som betyr roten av ligningen
).

Løsning: del antall røtter i to, du får 5, gang 5 med seg selv, trekk 21 fra produktet, 4 gjenstår Ta roten av 4, du får 2. Trekk fra 2 fra 5, du får 3, dette blir ønsket rot. Eller legg til 2 til 5, som vil gi 7, dette er også en rot.

Al-Khwarizmis avhandling er den første boken som har kommet ned til oss, der klassifiseringen av andregradsligninger presenteres systematisk og formler for løsningen deres er gitt.

Kvadratiske ligninger i EuropaXII- XVIIi.

Denne boken bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange oppgaver fra denne boken ble overført til nesten alle europeiske lærebøker på 1300- og 1600-tallet. Generell regel for å løse andregradsligninger redusert til en enkelt kanonisk form
med alle mulige kombinasjoner av tegn og koeffisienter b, c, ble formulert i Europa i 1544 av M. Stiefel.

Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. De italienske matematikerne Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. ta hensyn til, i tillegg til positive, og negative røtter. Bare i det XVII århundre. takket være verkene til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får metoden for å løse andregradsligninger en moderne form.

Opprinnelsen til algebraiske metoder for å løse praktiske problemer er knyttet til vitenskapen i den antikke verden. Som kjent fra matematikkens historie, hadde en betydelig del av problemene av matematisk art, løst av egyptiske, sumeriske, babylonske skriftlærde-datamaskiner (XX-VI århundrer f.Kr.), en kalkulert karakter. Men selv da, fra tid til annen, oppsto det problemer der den ønskede verdien av en mengde ble spesifisert av noen indirekte forhold som krever, fra vårt moderne synspunkt, formuleringen av en ligning eller et ligningssystem. Opprinnelig ble aritmetiske metoder brukt for å løse slike problemer. Senere begynte begynnelsen av algebraiske representasjoner å dannes. For eksempel var babylonske kalkulatorer i stand til å løse problemer som, fra synspunktet til moderne klassifisering, er redusert til ligninger av andre grad. En metode for å løse tekstproblemer ble laget, som senere fungerte som grunnlag for å fremheve den algebraiske komponenten og dens uavhengige studie.

Denne studien ble allerede utført i en annen epoke, først av arabiske matematikere (VI-X århundrer e.Kr.), som pekte ut karakteristiske handlinger der likninger ble redusert til en standardform, reduksjon av lignende termer, overføring av termer fra en del av ligning til en annen med fortegnsendring. Og så av de europeiske matematikerne fra renessansen, som et resultat av et langt søk, skapte de språket til moderne algebra, bruken av bokstaver, introduksjonen av symboler for aritmetiske operasjoner, parentes, etc. Ved begynnelsen av 16. 1600-tallet. Algebra som en spesifikk del av matematikken, som har sitt eget fag, metode, bruksområder, er allerede dannet. Dens videre utvikling, frem til vår tid, besto i å forbedre metodene, utvide omfanget av applikasjoner, klargjøre begrepene og deres forbindelser med begrepene til andre grener av matematikken.

Så, i lys av viktigheten og omfanget av materialet knyttet til konseptet av en ligning, er studiet i den moderne matematikkmetodikken assosiert med tre hovedområder for dens forekomst og funksjon.

Fra kvadratiske ligningers historie.

a) Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad, tilbake i antikken, var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder med land og jordarbeider av militær karakter, samt til utviklingen av astronomi og matematikk selv. Kvadratiske ligninger var i stand til å løse ca 2000 f.Kr. babylonere. Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at i deres kileskrifttekster er det, i tillegg til ufullstendige, slike for eksempel komplette kvadratiske ligninger:

x 2 + x \u003d, x 2 - x \u003d 14

Regelen for å løse disse ligningene, som er angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med den moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom til denne regelen. Nesten alle kileskriftstekstene som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger oppgitt i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet.

Til tross for det høye utviklingsnivået av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

I "Aritmetikk" Diophantus er det ingen systematisk presentasjon av algebra, men den inneholder en systematisert rekke problemer, ledsaget av forklaringer og løst ved å sette sammen ligninger av ulike grader.

Ved kompilering av ligninger velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen.

Her er for eksempel en av oppgavene hans.

Oppgave 2. "Finn to tall, vel vitende om at summen deres er 20 og produktet deres er 96."

Diophantus argumenterer som følger: det følger av betingelsen for problemet at de ønskede tallene ikke er like, siden hvis de var like, ville deres produkt ikke være 96, men 100. Dermed vil en av dem være mer enn halvparten av deres sum, dvs. .10 + x. Den andre er mindre, dvs. 10 - x. Forskjellen mellom dem er 2x. Derav ligningen:

(10+x)(10-x)=96,

eller

100 -x 2 = 96.

Derfor er x = 2. Et av de ønskede tallene er 12, det andre er 8. Løsningen x = - 2 for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall.

Hvis vi løser dette problemet ved å velge et av de ukjente tallene som ukjente, kan vi komme til løsningen av ligningen:

Problemer for kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske kanalen "Aryabhattayam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabahatta. En annen indisk vitenskapsmann, Brahmagupta (7. århundre), skisserte en generell regel for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form

Åh 2 + bx = c, a > 0

I ligningen er koeffisientene unntatt en, kan være negativ. Brahmaguptas styre faller i hovedsak sammen med vårt.

Her er et av problemene til den berømte indiske matematikeren fra XII århundre. Bhaskara.

Oppgave 3.

Bhaskaras løsning indikerer at forfatteren var klar over to-verdien av røttene til kvadratiske ligninger.

Ligningen som tilsvarer oppgave 3 er:

Bhaskara skriver under dekke av:

x 2 - 64x = - 768

og for å fullføre venstre side av denne ligningen til kvadratet, legger du til 32 2 på begge sider, og får deretter:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Al-Khwarizmis andregradsligninger

Al-Khwarizmis algebraiske avhandling gir en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger. Forfatteren lister opp 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

"Kvadratene er lik røttene", dvs. akse 2 = bx.
"Kvadrater er lik tall", dvs. akse 2 = c.
"Røttene er lik tallet", dvs. ax = c.
"Kvadrater og tall er lik røtter", dvs. ax 2 + c \u003d bx.
"Kvadrater og røtter er lik tallet", dvs. akse 2 + bx \u003d c.
"Røtter og tall er lik kvadrater", dvs. bx + c == ax 2.

For Al-Khwarizmi, som unngikk bruken av negative tall, er vilkårene for hver av disse ligningene addisjoner, ikke subtraksjoner. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren angir metoder for å løse disse ligningene, ved å bruke metodene til al-jabr og al-muqabala. Hans avgjørelse er selvfølgelig ikke helt sammenfallende med vår. For ikke å nevne det faktum at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig kvadratisk ligning av den første typen, tar ikke Al-Khwarizmi, som alle matematikere før 1600-tallet, hensyn til null løsning, sannsynligvis fordi det i spesifikke praktiske oppgaver ikke spiller noen rolle. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir Al-Khwarizmi reglene for å løse dem ved å bruke spesielle numeriske eksempler, og deretter deres geometriske bevis.

La oss ta et eksempel.

Oppgave 4. «Kvadratet og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn roten "(som betyr roten av ligningen x 2 + 21 \u003d 10x).

Al-Khwarizmis avhandling er den første boken som har kommet ned til oss, der klassifiseringen av andregradsligninger presenteres systematisk og formler for løsningen deres er gitt.

d) Kvadratiske ligninger i Europa XIII-XVII århundrer.

Formler for å løse kvadratiske ligninger på modellen til al-Khwarizmi i Europa ble først fremsatt i "Book of the Abacus", skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike verket, som gjenspeiler påvirkningen av matematikk fra både islams land og antikkens Hellas, kjennetegnes ved både fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på problemløsning og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange oppgaver fra Abacus-boken gikk over i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII.

Generell regel for å løse andregradsligninger redusert til en enkelt kanonisk form

x 2 + bx \u003d c,

for alle mulige kombinasjoner av tegn på koeffisientene b, Med ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. De italienske matematikerne Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. Ta i betraktning, i tillegg til positive og negative røtter. Bare i det XVII århundre. takket være verkene til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får metoden for å løse kvadratiske ligninger et moderne utseende.

Opprinnelsen til algebraiske metoder for å løse praktiske problemer er knyttet til vitenskapen i den antikke verden. Som kjent fra matematikkens historie, hadde en betydelig del av problemene av matematisk art, løst av egyptiske, sumeriske, babylonske skriftlærde-datamaskiner (XX-VI århundrer f.Kr.), en kalkulert karakter. Men selv da, fra tid til annen, oppsto det problemer der den ønskede verdien av en mengde ble satt av noen indirekte betingelser, som fra vårt moderne synspunkt krever formulering av en ligning eller et ligningssystem. Opprinnelig ble aritmetiske metoder brukt for å løse slike problemer. Senere begynte begynnelsen av algebraiske representasjoner å dannes. For eksempel var babylonske kalkulatorer i stand til å løse problemer som, fra synspunktet til moderne klassifisering, er redusert til ligninger av andre grad. En metode for å løse tekstproblemer ble laget, som senere fungerte som grunnlag for å fremheve den algebraiske komponenten og dens uavhengige studie.

Denne studien ble allerede utført i en annen epoke, først av arabiske matematikere (VI-X århundrer e.Kr.), som pekte ut karakteristiske handlinger der likninger ble redusert til en standardform, reduksjon av lignende termer, overføring av termer fra en del av ligning til en annen med fortegnsendring. Og så av de europeiske matematikerne fra renessansen, som et resultat av et langt søk, skapte de språket til moderne algebra, bruken av bokstaver, introduksjonen av symboler for aritmetiske operasjoner, parentes, etc. Ved begynnelsen av 16. 1600-tallet. algebra som en spesifikk del av matematikken, som har sitt eget fag, metode, bruksområder, er allerede dannet. Dens videre utvikling, frem til vår tid, besto i å forbedre metodene, utvide omfanget av applikasjoner, klargjøre begrepene og deres forbindelser med begrepene til andre grener av matematikken.

Så, i lys av viktigheten og omfanget av materialet knyttet til begrepet ligning, er studiet i den moderne matematikkmetodikken assosiert med tre hovedområder for dets forekomst og funksjon.