Løsning 9 av eksamensoppgaven. Koding av grafisk informasjon

Videregående allmennutdanning

Linje UMK G. K. Muravin. Algebra og prinsipper for matematisk analyse (10-11) (i dybden)

UMK Merzlyak linje. Algebra og begynnelsen av analyse (10-11) (U)

Matematikk

Forberedelse til Unified State-eksamen i matematikk (profilnivå): oppgaver, løsninger og forklaringer

Profilnivåundersøkelsen varer 3 timer 55 minutter (235 minutter).

Minimum terskel- 27 poeng.

Eksamensoppgaven består av to deler, som er forskjellige i innhold, kompleksitet og antall oppgaver.

Det definerende trekk ved hver del av arbeidet er formen på oppgavene:

• del 1 inneholder 8 oppgaver (oppgave 1-8) med et kort svar i form av et helt tall eller en siste desimalbrøk;
• del 2 inneholder 4 oppgaver (oppgave 9-12) med et kort svar i form av et heltall eller en siste desimalbrøk og 7 oppgaver (oppgave 13–19) med et detaljert svar (en fullstendig oversikt over løsningen med begrunnelse for tiltak iverksatt).

Panova Svetlana Anatolevna, matematikklærer i høyeste skolekategori, arbeidserfaring 20 år:

"For å motta et skolebevis, må en nyutdannet bestå to obligatoriske eksamener i form av Unified State Examination, hvorav den ene er matematikk. I samsvar med konseptet for utvikling av matematisk utdanning i den russiske føderasjonen, er den enhetlige statlige eksamen i matematikk delt inn i to nivåer: grunnleggende og spesialisert. I dag skal vi se på alternativer på profilnivå."

Oppgave nr. 1- tester Unified State Exam-deltakernes evne til å bruke ferdighetene ervervet i 5. til 9. klassekurs i grunnleggende matematikk i praktiske aktiviteter. Deltakeren må ha regneferdigheter, kunne arbeide med rasjonelle tall, kunne avrunde desimaler, og kunne konvertere en måleenhet til en annen.

Eksempel 1. I leiligheten hvor Peter bor, ble det installert en kaldtvannsmengdemåler (måler). 1. mai viste måleren et forbruk på 172 kubikkmeter. m vann, og den første juni - 177 kubikkmeter. m. Hvor mye skal Peter betale for kaldt vann i mai, hvis prisen er 1 kubikkmeter? m kaldt vann er 34 rubler 17 kopek? Gi svaret ditt i rubler.

Løsning:

1) Finn mengden vann som brukes per måned:

177 - 172 = 5 (kubikkm)

2) La oss finne ut hvor mye penger de vil betale for bortkastet vann:

34,17 5 = 170,85 (gni)

Svar: 170,85.

Oppgave nr. 2- er en av de enkleste eksamensoppgavene. Flertallet av nyutdannede klarer det, noe som indikerer kunnskap om definisjonen av funksjonsbegrepet. Type oppgave nr. 2 i henhold til kravkodifisereren er en oppgave om bruk av tilegnet kunnskap og ferdigheter i praktiske aktiviteter og hverdagsliv. Oppgave nr. 2 består i å beskrive, bruke funksjoner, ulike reelle sammenhenger mellom størrelser og tolke deres grafer. Oppgave nr. 2 tester evnen til å trekke ut informasjon presentert i tabeller, diagrammer og grafer. Nyutdannede må kunne bestemme verdien av en funksjon fra verdien av argumentet på ulike måter for å spesifisere funksjonen og beskrive funksjonen og egenskapene til funksjonen basert på grafen. Du må også kunne finne den største eller minste verdien fra en funksjonsgraf og bygge grafer av de studerte funksjonene. Feil som gjøres er tilfeldige ved å lese betingelsene for problemet, ved å lese diagrammet.

#ADVERTISING_INSERT#

Eksempel 2. Figuren viser endringen i bytteverdien til én aksje i et gruveselskap i første halvdel av april 2017. 7. april kjøpte forretningsmannen 1000 aksjer i dette selskapet. 10. april solgte han tre fjerdedeler av aksjene han kjøpte, og 13. april solgte han alle de resterende aksjene. Hvor mye tapte forretningsmannen som følge av disse operasjonene?

Løsning:

2) 1000 · 3/4 = 750 (aksjer) - utgjør 3/4 av alle kjøpte aksjer.

6) 247500 + 77500 = 325000 (gni) - forretningsmannen mottok 1000 aksjer etter salg.

7) 340 000 – 325 000 = 15 000 (gni) - forretningsmannen tapte som et resultat av alle operasjoner.

Svar: 15000.

Oppgave nr. 3- er en grunnleggende oppgave i første del, tester evnen til å utføre handlinger med geometriske figurer i henhold til innholdet i Planimetri-kurset. Oppgave 3 tester evnen til å beregne arealet til en figur på rutete papir, evnen til å beregne gradmål av vinkler, beregne omkrets, etc.

Eksempel 3. Finn arealet til et rektangel tegnet på rutepapir med en cellestørrelse på 1 cm x 1 cm (se figur). Gi svaret i kvadratcentimeter.

Løsning: For å beregne arealet til en gitt figur kan du bruke toppformelen:

For å beregne arealet til et gitt rektangel bruker vi Peaks formel:

Eksempel 4. Det er 5 røde og 1 blå prikker merket på sirkelen. Bestem hvilke polygoner som er større: de med alle toppunktene røde, eller de med en av toppunktene blå. I svaret ditt, angi hvor mange det er flere av noen enn andre.

Løsning: 1) La oss bruke formelen for antall kombinasjoner av n elementer av k:

hvis toppunkter alle er røde.

3) En femkant med alle hjørner røde.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygoner med alle røde hjørner.

som har røde topper eller med én blå topp.

som har røde topper eller med én blå topp.

8) En sekskant med røde topper og en blå topp.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygoner med alle røde toppunkter eller ett blått toppunkt.

10) 42 – 16 = 26 polygoner med den blå prikken.

11) 26 – 16 = 10 polygoner – hvor mange flere polygoner der en av toppunktene er en blå prikk er det enn polygoner der alle toppunktene bare er røde.

Svar: 10.

Oppgave nr. 5- det grunnleggende nivået i første del tester evnen til å løse enkle ligninger (irrasjonelle, eksponentielle, trigonometriske, logaritmiske).

Eksempel 5. Løs ligning 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Løsning. Del begge sider av denne ligningen med 5 3 + X≠ 0, får vi

hvorfra det følger at 3 + x = 1, x = –2.

Svar: –2.

Oppgave nr. 6 i planimetri for å finne geometriske størrelser (lengder, vinkler, arealer), modellering av virkelige situasjoner på geometrispråket. Studie av konstruerte modeller ved bruk av geometriske begreper og teoremer. Kilden til vanskeligheter er som regel uvitenhet eller feilaktig anvendelse av de nødvendige planimetrisetningene.

Arealet av en trekant ABC tilsvarer 129. DE– midtlinje parallelt med siden AB. Finn arealet av trapesen EN SENG.

Løsning. Triangel CDE ligner på en trekant DROSJE i to vinkler, siden vinkelen ved toppunktet C generelt, vinkel СDE lik vinkel DROSJE som de tilsvarende vinklene ved DE || AB sekant A.C.. Fordi DE er midtlinjen i en trekant etter tilstand, deretter etter egenskapen til midtlinjen | DE = (1/2)AB. Dette betyr at likhetskoeffisienten er 0,5. Arealene med lignende figurer er derfor relatert til kvadratet av likhetskoeffisienten

Derfor, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Oppgave nr. 7- kontrollerer anvendelsen av den deriverte til studiet av en funksjon. Vellykket implementering krever meningsfull, ikke-formell kunnskap om begrepet derivat.

Eksempel 7. Til grafen til funksjonen y = f(x) ved abscissepunktet x 0 tegnes en tangent som er vinkelrett på linjen som går gjennom punktene (4; 3) og (3; –1) i denne grafen. Finne f′( x 0).

Løsning. 1) La oss bruke ligningen til en linje som går gjennom to gitte punkter og finne ligningen til en linje som går gjennom punktene (4; 3) og (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, hvor k 1 = 4.

2) Finn hellingen til tangenten k 2, som er vinkelrett på linjen y = 4x– 13, hvor k 1 = 4, i henhold til formelen:

3) Tangentvinkelen er den deriverte av funksjonen ved tangenspunktet. Midler, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Svar: –0,25.

Oppgave nr. 8- tester eksamensdeltakernes kunnskap om elementær stereometri, evnen til å bruke formler for å finne overflatearealer og volumer av figurer, dihedrale vinkler, sammenligne volumene til lignende figurer, kunne utføre handlinger med geometriske figurer, koordinater og vektorer, etc.

Volumet til en terning som er omskrevet rundt en kule er 216. Finn radiusen til kulen.

Løsning. 1) V kube = en 3 (hvor EN– lengden på kanten av kuben), derfor

EN 3 = 216

EN = 3 √216

2) Siden kulen er innskrevet i en kube, betyr det at lengden på kulens diameter er lik lengden på kanten av kuben, derfor d = en, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Oppgave nr. 9- krever at kandidaten har ferdigheter til å transformere og forenkle algebraiske uttrykk. Oppgave nr. 9 av økt vanskelighetsgrad med kort svar. Oppgavene fra delen "Beregninger og transformasjoner" i Unified State-eksamenen er delt inn i flere typer:

transformasjon av numeriske rasjonelle uttrykk;

konvertering av algebraiske uttrykk og brøker;

konvertering av irrasjonelle numeriske/bokstavsuttrykk;

handlinger med grader;

konvertering av logaritmiske uttrykk;

1. konvertere numeriske/bokstav trigonometriske uttrykk.

Eksempel 9. Beregn tanα hvis det er kjent at cos2α = 0,6 og

Løsning. 1) La oss bruke dobbeltargumentformelen: cos2α = 2 cos 2 α – 1 og finne

Dette betyr tan 2 α = ± 0,5.

3) Etter tilstand

dette betyr at α er vinkelen til andre kvartal og tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Svar: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Oppgave nr. 10- tester elevenes evne til å bruke tilegnet tidlig kunnskap og ferdigheter i praktiske aktiviteter og hverdagsliv. Vi kan si at dette er problemer i fysikk, og ikke i matematikk, men alle nødvendige formler og størrelser er gitt i tilstanden. Problemene koker ned til å løse en lineær eller andregradsligning, eller en lineær eller kvadratisk ulikhet. Derfor er det nødvendig å kunne løse slike likninger og ulikheter og bestemme svaret. Svaret må gis som et helt tall eller en endelig desimalbrøk.

To massekropper m= 2 kg hver, beveger seg med samme hastighet v= 10 m/s i en vinkel på 2α til hverandre. Energien (i joule) som frigjøres under deres absolutt uelastiske kollisjon, bestemmes av uttrykket Q = mv 2 sin 2 α. Ved hvilken minste vinkel 2α (i grader) må kroppene bevege seg slik at minst 50 joule frigjøres som følge av kollisjonen?
Løsning. For å løse problemet må vi løse ulikheten Q ≥ 50, på intervallet 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Siden α ∈ (0°; 90°), vil vi bare løse

La oss representere løsningen på ulikheten grafisk:

Siden betingelse α ∈ (0°; 90°), betyr det 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Oppgave nr. 11– er typisk, men viser seg å være vanskelig for elevene. Hovedkilden til vanskeligheter er konstruksjonen av en matematisk modell (tegne opp en ligning). Oppgave nr. 11 tester evnen til å løse ordoppgaver.

Eksempel 11. I løpet av vårpausen måtte 11.-klassingen Vasya løse 560 øvingsproblemer for å forberede seg til Unified State-eksamenen. Den 18. mars, på siste skoledag, løste Vasya 5 problemer. Så hver dag løste han like mange problemer mer enn dagen før. Bestem hvor mange problemer Vasya løste 2. april, den siste dagen i ferien.

560 = (5 + en 16) 8,

5 + en 16 = 560: 8,

5 + en 16 = 70,

en 16 = 70 – 5

en 16 = 65.

Svar: 65.

Oppgave nr. 12- de tester elevenes evne til å utføre operasjoner med funksjoner, og å kunne bruke den deriverte til studiet av en funksjon.

Finn maksimumspunktet for funksjonen y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Løsning: 1) Finn definisjonsdomenet til funksjonen: x + 9 > 0, x> –9, det vil si x ∈ (–9; ∞).

2) Finn den deriverte av funksjonen:

4) Det funnet punktet tilhører intervallet (–9; ∞). La oss bestemme tegnene på den deriverte av funksjonen og skildre funksjonen til funksjonen i figuren:

Ønsket maksimumspunkt x = –8.

a) Løs ligningen 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Finn alle røttene til denne ligningen som tilhører segmentet.

Løsning: a) La logg 3 (2cos x) = t, deretter 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Finn røttene som ligger på segmentet .

Figuren viser at røttene til det gitte segmentet tilhører

Diameteren på sirkelen til sylinderens basis er 20, sylinderens generatrise er 28. Planet skjærer bunnen langs akkorder med lengde 12 og 16. Avstanden mellom akkordene er 2√197.

a) Bevis at sentrene til sylinderens base ligger på den ene siden av dette planet.

b) Finn vinkelen mellom dette planet og planet til bunnen av sylinderen.

Løsning: a) En korde med lengde 12 er i en avstand = 8 fra sentrum av grunnsirkelen, og en korde med lengde 16 er på samme måte i en avstand på 6. Derfor er avstanden mellom deres projeksjoner på et plan parallelt med basene på sylindrene er enten 8 + 6 = 14, eller 8 - 6 = 2.

Da er avstanden mellom akkordene enten

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

I henhold til betingelsen ble det andre tilfellet realisert, der fremspringene til akkordene ligger på den ene siden av sylinderaksen. Dette betyr at aksen ikke skjærer dette planet i sylinderen, det vil si at basene ligger på den ene siden av den. Det som måtte bevises.

b) La oss betegne sentrene til basene som O 1 og O 2. La oss tegne fra midten av basen med en akkord med lengde 12 en vinkelrett halveringslinje på denne akkorden (den har lengde 8, som allerede nevnt) og fra midten av den andre basen til den andre akkorden. De ligger i samme plan β, vinkelrett på disse akkordene. La oss kalle midtpunktet til den mindre akkorden B, den større akkorden A og projeksjonen av A på den andre basen - H (H ∈ β). Da er AB,AH ∈ β og derfor AB,AH vinkelrett på akkorden, det vil si den rette skjæringslinjen mellom basen og det gitte planet.

Dette betyr at den nødvendige vinkelen er lik

Oppgave nr. 15- økt kompleksitetsnivå med detaljert svar, tester evnen til å løse ulikheter, som mest vellykket løses blant oppgaver med detaljert svar av økt kompleksitetsnivå.

Eksempel 15. Løs ulikhet | x 2 – 3x| logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Løsning: Definisjonsdomenet for denne ulikheten er intervallet (–1; +∞). Vurder tre tilfeller separat:

1) La x 2 – 3x= 0, dvs. X= 0 eller X= 3. I dette tilfellet blir denne ulikheten sann, derfor er disse verdiene inkludert i løsningen.

2) La nå x 2 – 3x> 0, dvs. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Dessuten kan denne ulikheten omskrives som ( x 2 – 3x) logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 og del med et positivt uttrykk x 2 – 3x. Vi får logg 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 eller x≤ –0,5. Med tanke på definisjonsdomenet har vi x ∈ (–1; –0,5].

3) Til slutt, vurder x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). I dette tilfellet vil den opprinnelige ulikheten skrives om i formen (3 x – x 2) logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Etter å ha delt på positive 3 x – x 2, vi får logg 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Med hensyn til regionen har vi x ∈ (0; 1].

Ved å kombinere de oppnådde løsningene får vi x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Svar: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Oppgave nr. 16- avansert nivå refererer til oppgaver i andre del med et detaljert svar. Oppgaven tester evnen til å utføre handlinger med geometriske former, koordinater og vektorer. Oppgaven inneholder to punkter. I det første punktet skal oppgaven bevises, og i det andre punktet beregnes.

I en likebenet trekant ABC med en vinkel på 120°, er halveringslinjen BD tegnet ved toppunktet A. Rektangel DEFH er innskrevet i trekant ABC slik at side FH ligger på segment BC, og toppunkt E ligger på segment AB. a) Bevis at FH = 2DH. b) Finn arealet av rektangelet DEFH hvis AB = 4.

Løsning: EN)

1) ΔBEF – rektangulær, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, så EF = BE ved egenskapen til benet som ligger motsatt vinkelen på 30°.

2) La EF = DH = x, så BE = 2 x, BF = x√3 i henhold til Pythagoras teorem.

3) Siden ΔABC er likebenet, betyr det ∠B = ∠C = 30˚.

BD er halveringslinjen til ∠B, som betyr ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Tenk på ΔDBH – rektangulær, fordi DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Svar: 24 – 12√3.

Eksempel 17. Et depositum på 20 millioner rubler er planlagt åpnet i fire år. Ved utgangen av hvert år øker banken innskuddet med 10 % sammenlignet med størrelsen ved inngangen til året. I tillegg, i begynnelsen av det tredje og fjerde året, fyller investoren årlig på innskuddet med X millioner rubler, hvor X - hel Antall. Finn den største verdien X, der banken vil påløpe mindre enn 17 millioner rubler til innskuddet over fire år.

Løsning: På slutten av det første året vil bidraget være 20 + 20 · 0,1 = 22 millioner rubler, og på slutten av det andre - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 millioner rubler. Ved begynnelsen av det tredje året vil bidraget (i millioner rubler) være (24,2 + X), og på slutten - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Ved begynnelsen av det fjerde året vil bidraget være (26,62 + 2,1 X), og på slutten - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Etter betingelse må du finne det største heltall x som ulikheten gjelder for

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Den største heltallsløsningen på denne ulikheten er tallet 24.

Svar: 24.

På hva en system av ulikheter

har nøyaktig to løsninger?

Løsning: Dette systemet kan skrives om i skjemaet

Hvis vi tegner på planet settet med løsninger til den første ulikheten, får vi det indre av en sirkel (med en grense) med radius 1 med sentrum i punktet (0, EN). Settet med løsninger til den andre ulikheten er den delen av planet som ligger under grafen til funksjonen y = | x| – en, og sistnevnte er grafen til funksjonen
y = | x| , flyttet ned av EN. Løsningen til dette systemet er skjæringspunktet mellom settene med løsninger på hver av ulikhetene.

Følgelig vil dette systemet kun ha to løsninger i tilfellet vist i fig. 1.

Kontaktpunktene til sirkelen med linjene vil være de to løsningene til systemet. Hver av de rette linjene er skråstilt til aksene i en vinkel på 45°. Så det er en trekant PQR– rektangulære likebenete. Punktum Q har koordinater (0, EN), og poenget R– koordinater (0, – EN). I tillegg kommer segmentene PR Og PQ lik radiusen til sirkelen lik 1. Dette betyr

La Sn sum P termer av en aritmetisk progresjon ( en s). Det er kjent at S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Oppgi formelen P termin av denne progresjonen.

b) Finn den minste absolutte summen S n.

c) Finn den minste P, ved hvilken S n vil være kvadratet av et heltall.

Løsning: a) Det er åpenbart at en n = S n – S n- 1 . Ved å bruke denne formelen får vi:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Midler, en n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Siden S n = 2n 2 – 25n, og vurder deretter funksjonen S(x) = | 2x 2 – 25x|. Grafen kan sees på figuren.

Det er klart at den minste verdien oppnås ved heltallspunktene som ligger nærmest nullpunktene til funksjonen. Dette er åpenbart poeng X= 1, X= 12 og X= 13. Siden, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, så er den minste verdien 12.

c) Av forrige avsnitt følger det at Sn positiv, med utgangspunkt i n= 13. Siden S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), så blir det åpenbare tilfellet, når dette uttrykket er et perfekt kvadrat, realisert når n = 2n– 25, altså kl P= 25.

Det gjenstår å sjekke verdiene fra 13 til 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Det viser seg at for mindre verdier P en fullstendig firkant oppnås ikke.

Svar: EN) en n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Siden mai 2017 har den forente forlagsgruppen "DROFA-VENTANA" vært en del av Russian Textbook-selskapet. Selskapet inkluderer også forlaget Astrel og den digitale utdanningsplattformen LECTA. Alexander Brychkin, utdannet ved Financial Academy under regjeringen i den russiske føderasjonen, kandidat for økonomiske vitenskaper, leder for innovative prosjekter i DROFA-forlaget innen digital utdanning (elektroniske former for lærebøker, Russian Electronic School, digital utdanningsplattform LECTA) ble utnevnt til daglig leder. Før han begynte i DROFA forlag, hadde han stillingen som visepresident for strategisk utvikling og investeringer i forlagsselskapet EKSMO-AST. I dag har forlagsselskapet "Russian Textbook" den største porteføljen av lærebøker inkludert i den føderale listen - 485 titler (omtrent 40%, unntatt lærebøker for spesialskoler). Selskapets forlag eier de mest populære settene med lærebøker i russiske skoler innen fysikk, tegning, biologi, kjemi, teknologi, geografi, astronomi - kunnskapsområder som er nødvendige for utviklingen av landets produktive potensial. Selskapets portefølje inkluderer lærebøker og læremidler for grunnskoler, som ble tildelt presidentprisen innen utdanning. Dette er lærebøker og håndbøker innen fagområder som er nødvendige for utviklingen av Russlands vitenskapelige, tekniske og produksjonspotensiale.

I oppgave nr. 9 av Unified State-eksamen i matematikk på profilnivå, må vi transformere uttrykk og utføre grunnleggende beregninger. Oftest finnes trigonometriske uttrykk i denne delen, så for å fullføre den må du kjenne til reduksjonsformler og andre trigonometriske identiteter.

Analyse av typiske alternativer for oppgaver nr. 9 i Unified State Examination i matematikk på profilnivå

Første versjon av oppgaven (demoversjon 2018)

Finn sin2α hvis cosα = 0,6 og π< α < 2π.

Løsningsalgoritme:

1. Finn verdien av sinusen til en gitt vinkel.
2. Vi beregner verdien av sin2α.
3. Vi skriver ned svaret.

Løsning:

1. α ligger i tredje eller fjerde kvartal, som betyr at sinusen til vinkelen er negativ. La oss bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten:

2. Bruke sinusformelen med dobbel vinkel: sin2α = 2sinαcosα = 2∙(-0.8)∙0.6 = -0.96

Svar: -0,96.

Andre versjon av oppgaven (fra Yashchenko, nr. 1)

Finn om .

Løsningsalgoritme:

1. La oss transformere dobbelvinkelkosinusformelen.
2. Vi beregner cosinus.
3. Vi skriver ned svaret.

Løsning:

1. Transformer dobbel vinkel cosinusformelen:

2. Beregn cosinus for ønsket vinkel 2α, multiplisert med 25, og erstatte den gitte verdien av cosinus for vinkelen α

Tredje versjon av oppgaven (fra Yashchenko, nr. 16)

Finn betydningen av uttrykket .

Løsningsalgoritme:

1. La oss se på uttrykket.
2. Vi bruker egenskapene til trigonometriske funksjoner for å bestemme verdiene til sinus og cosinus til gitte vinkler.
3. Vi beregner verdien av uttrykket.
4. Vi skriver ned svaret.

Løsning:

1. Uttrykket er produktet av tall og verdier av trigonometriske funksjoner av negative vinkler.

2. La oss bruke formlene:

3. Da får vi:

Svar: -23.

Den fjerde versjonen av oppgaven (fra Yashchenko)

Finn betydningen av uttrykket.

Løsningsalgoritme:

1. La oss analysere uttrykket.
2. Vi transformerer og vurderer uttrykket.
3. Vi skriver ned svaret.

Løsning:

1. Uttrykket inneholder to røtter. Under roten av telleren er forskjellen av kvadrater. For å forenkle beregninger kan du faktorisere forskjellen på kvadrater ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen.

La oss se på typiske oppgaver for 9. OGE i matematikk. Temaet for oppgave 9 er statistikk og sannsynligheter. Oppgaven er ikke vanskelig selv for en person som ikke er kjent med sannsynlighetsteori eller statistikk.

Vanligvis blir vi tilbudt et sett med ting - epler, søtsaker, kopper eller noe som er forskjellig i farge eller annen kvalitet. Vi må estimere sannsynligheten for at en person får en av en klasse ting. Oppgaven kommer ned til å beregne det totale antallet ting, og deretter dele antall ting i den nødvendige klassen med det totale antallet.

Så la oss gå videre til å vurdere typiske alternativer.

Analyse av typiske alternativer for oppgave nr. 9 OGE i matematikk

Første versjon av oppgaven

Bestemor har 20 kopper: 6 med røde blomster, resten med blå. Bestemor heller te i en tilfeldig valgt kopp. Finn sannsynligheten for at det blir en kopp med blå blomster.

Løsning:

Som nevnt ovenfor finner vi det totale antallet kopper - i dette tilfellet er det kjent av tilstanden - 20 kopper. Vi må finne antall blå kopper:

Nå kan vi finne sannsynligheten:

14 / 20 = 7 / 10 = 0,7

Andre versjon av oppgaven

Papirhandelen selger 138 penner, hvorav 34 er røde, 23 er grønne, 11 er lilla, det er også blå og svarte, det er like mange av dem. Finn sannsynligheten for at hvis én penn velges tilfeldig, vil enten en rød eller en svart penn bli valgt.

Løsning:

La oss først finne antall svarte penner; for å gjøre dette, trekk alle kjente farger fra det totale antallet og del på to, siden det er like mange blå og svarte penner:

(138 - 34 - 23 - 11) / 2 = 35

Etter dette kan vi finne sannsynligheten ved å legge til antallet svarte og røde, dele på det totale antallet:

(35 + 34) / 138 = 0,5

Tredje versjon av oppgaven

Taxiselskapet har i dag 12 biler tilgjengelig: 1 sort, 3 gul og 8 grønne. En av bilene, som tilfeldigvis var nærmest kunden, svarte på oppfordringen. Finn sannsynligheten for at en gul taxi kommer til ham.

Løsning:

La oss finne det totale antallet biler:

La oss nå estimere sannsynligheten ved å dele antall gule med det totale antallet:

Svar: 0,25

Demoversjon av OGE 2019

På tallerkenen er det paier som ser identiske ut: 4 med kjøtt, 8 med kål og 3 med epler. Petya velger en pai tilfeldig. Finn sannsynligheten for at paien inneholder epler.

Løsning:

Et klassisk problem innen sannsynlighetsteori. I vårt tilfelle er et vellykket resultat en eplepai. Det er 3 paier med epler, og totalt paier:

Sannsynligheten for å finne en eplepai er antall eplepai delt på det totale antallet:

3 / 15 = 0,2 eller 20 %

Fjerde versjon av oppgaven

Sannsynligheten for at en ny skriver varer mer enn ett år er 0,95. Sannsynligheten for at den varer to år eller mer er 0,88. Finn sannsynligheten for at den varer mindre enn to år, men ikke mindre enn ett år.

Løsning:

La oss introdusere hendelsesbetegnelser:

X - skriveren vil vare "mer enn 1 år";

Y – skriveren vil vare "2 år eller mer";

Z – skriveren vil vare "minst 1 år, men mindre enn 2 år."

Vi analyserer. Hendelser Y og Z er uavhengige, fordi utelukke hverandre. Event X vil skje uansett, dvs. både ved forekomsten av hendelse Y og hendelsen Z. Faktisk betyr "mer enn 1 år" "2 år", og "mer enn 2 år", og "mindre enn 2 år, men ikke mindre enn 1 år" .

P(X)=P(Y)+P(Z).

I henhold til betingelsen er sannsynligheten for hendelse X (dvs. "mer enn et år") 0,95, hendelse Y (dvs. "2 år eller mer") er 0,88.

La oss erstatte numeriske data i formelen:

Vi får:

Р(Z)=0,95–0,88=0,07

Р(Z) – ønsket hendelse.

Svar: 0,07

Femte versjon av oppgaven

Ved et rundt bord med 9 stoler sitter 7 gutter og 2 jenter i tilfeldig rekkefølge. Finn sannsynligheten for at jentene vil være på tilstøtende steder.

Løsning:

For å beregne sannsynligheten bruker vi den klassiske formelen:

der m er antall gunstige utfall for den ønskede hendelsen, n er det totale antallet av alle mulige utfall.

En av jentene (som satte seg først) tar en stol vilkårlig. Dette betyr at for den andre er det 9-1=8 stoler å sitte på. De. antall mulige alternativer for hendelser er n=8.

Den andre jenta bør ta en av de 2 stolene ved siden av den første. Bare en slik situasjon kan betraktes som et gunstig resultat av arrangementet. Dette betyr at antall gunstige utfall er m=2.

Vi erstatter dataene i formelen for å beregne sannsynligheten: