Løsning av eksponentialligninger. Eksempler

Eksempler:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Hvordan løse eksponentialligninger

Når vi løser en eksponentiell ligning, prøver vi å bringe den til formen \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), og deretter gjøre overgangen til indikatorlikhet, det vil si:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

For eksempel:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Viktig! Fra samme logikk følger to krav for en slik overgang:
- nummer inn venstre og høyre skal være det samme;
- grader venstre og høyre må være "rene", det vil si at det ikke skal være noen, multiplikasjoner, divisjoner osv.

For eksempel:

For å bringe likningen til formen \(a^(f(x))=a^(g(x))\) og brukes.

Eksempel . Løs eksponentialligningen \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Løsning:

Løsningen av de fleste matematiske problemer er på en eller annen måte forbundet med transformasjonen av numeriske, algebraiske eller funksjonelle uttrykk. Dette gjelder spesielt løsningen. I USE-variantene i matematikk inkluderer denne typen oppgaver spesielt oppgave C3. Å lære å løse C3-oppgaver er viktig ikke bare for vellykket beståelse av eksamen, men også av den grunn at denne ferdigheten vil komme godt med når du studerer et matematikkkurs i høyere utdanning.

Når du utfører oppgavene C3, må du løse ulike typer ligninger og ulikheter. Blant dem er rasjonelle, irrasjonelle, eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske, inneholdende moduler (absoluttverdier), så vel som kombinerte. Denne artikkelen diskuterer hovedtypene av eksponentielle ligninger og ulikheter, samt ulike metoder for å løse dem. Les om løsning av andre typer likninger og ulikheter i overskriften "" i artikler som er viet metoder for å løse C3-oppgaver fra USE-variantene i matematikk.

Før du går videre til analysen av spesifikke eksponentielle ligninger og ulikheter, som matteveileder foreslår jeg at du frisker opp noe av det teoretiske materialet vi trenger.

Eksponentiell funksjon

Hva er en eksponentiell funksjon?

Vis funksjon y = en x, hvor en> 0 og en≠ 1, kalt eksponentiell funksjon.

Hoved eksponentielle funksjonsegenskaper y = en x:

Graf av en eksponentiell funksjon

Grafen til eksponentialfunksjonen er utstiller:

Grafer av eksponentielle funksjoner (eksponenter)

Løsning av eksponentialligninger

veiledende kalt ligninger der den ukjente variabelen bare finnes i eksponenter for potenser.

For løsninger eksponentielle ligninger du må kjenne til og kunne bruke følgende enkle teorem:

Teorem 1. eksponentiell ligning en f(x) = en g(x) (hvor en > 0, en≠ 1) er ekvivalent med ligningen f(x) = g(x).

I tillegg er det nyttig å huske de grunnleggende formlene og handlingene med grader:

Title="(!LANG:Gengitt av QuickLaTeX.com">!}

Eksempel 1 Løs ligningen:

Løsning: bruk formlene ovenfor og substitusjon:

Ligningen blir da:

Diskriminanten til den oppnådde kvadratiske ligningen er positiv:

Title="(!LANG:Gengitt av QuickLaTeX.com">!}

Dette betyr at denne ligningen har to røtter. Vi finner dem:

Går tilbake til bytte, får vi:

Den andre ligningen har ingen røtter, siden eksponentialfunksjonen er strengt tatt positiv over hele definisjonsdomenet. La oss løse den andre:

Når vi tar i betraktning det som ble sagt i teorem 1, går vi over til den ekvivalente ligningen: x= 3. Dette vil være svaret på oppgaven.

Svar: x = 3.

Eksempel 2 Løs ligningen:

Løsning: ligningen har ingen begrensninger på området for tillatte verdier, siden det radikale uttrykket gir mening for enhver verdi x(eksponentiell funksjon y = 9 4 -x positiv og ikke lik null).

Vi løser likningen ved ekvivalente transformasjoner ved å bruke reglene for multiplikasjon og deling av potenser:

Den siste overgangen ble utført i samsvar med teorem 1.

Svar:x= 6.

Eksempel 3 Løs ligningen:

Løsning: begge sider av den opprinnelige ligningen kan deles med 0,2 x. Denne overgangen vil være ekvivalent, siden dette uttrykket er større enn null for en hvilken som helst verdi x(den eksponentielle funksjonen er strengt tatt positiv på sitt domene). Deretter har ligningen formen:

Svar: x = 0.

Eksempel 4 Løs ligningen:

Løsning: vi forenkler ligningen til en elementær ved ekvivalente transformasjoner ved å bruke reglene for divisjon og multiplikasjon av potenser gitt i begynnelsen av artikkelen:

Dele begge sider av ligningen med 4 x, som i forrige eksempel, er en ekvivalent transformasjon, siden dette uttrykket ikke er lik null for noen verdier x.

Svar: x = 0.

Eksempel 5 Løs ligningen:

Løsning: funksjon y = 3x, som står på venstre side av ligningen, øker. Funksjon y = —x-2/3, som står på høyre side av ligningen, er avtagende. Dette betyr at hvis grafene til disse funksjonene krysser hverandre, så høyst på ett punkt. I dette tilfellet er det lett å gjette at grafene skjærer hverandre i punktet x= -1. Det vil ikke være andre røtter.

Svar: x = -1.

Eksempel 6 Løs ligningen:

Løsning: vi forenkler ligningen ved ekvivalente transformasjoner, med tanke på overalt at eksponentialfunksjonen er strengt tatt større enn null for en hvilken som helst verdi x og ved å bruke reglene for å beregne produktet og delkreftene gitt i begynnelsen av artikkelen:

Svar: x = 2.

Løse eksponentielle ulikheter

veiledende kalt ulikheter der den ukjente variabelen bare finnes i eksponentene til noen potenser.

For løsninger eksponentielle ulikheter kjennskap til følgende teorem er nødvendig:

Teorem 2. Hvis en en> 1, så ulikheten en f(x) > en g(x) tilsvarer en ulikhet med samme betydning: f(x) > g(x). Hvis 0< en < 1, то показательное неравенство en f(x) > en g(x) tilsvarer en ulikhet av motsatt betydning: f(x) < g(x).

Eksempel 7 Løs ulikheten:

Løsning: representere den opprinnelige ulikheten i formen:

Del begge deler av denne ulikheten med 3 2 x, og (på grunn av den positive funksjonen y= 3 2x) ulikhetstegnet vil ikke endre seg:

La oss bruke en erstatning:

Deretter tar ulikheten formen:

Så løsningen på ulikheten er intervallet:

går over til omvendt erstatning, får vi:

Den venstre ulikheten, på grunn av positiviteten til den eksponentielle funksjonen, oppfylles automatisk. Ved å bruke den velkjente egenskapen til logaritmen går vi over til ekvivalent ulikhet:

Siden grunnlaget for graden er et tall større enn én, vil ekvivalent (av setning 2) være overgangen til følgende ulikhet:

Så får vi endelig svar:

Eksempel 8 Løs ulikheten:

Løsning: ved å bruke egenskapene til multiplikasjon og deling av potenser, omskriver vi ulikheten i formen:

La oss introdusere en ny variabel:

Med denne substitusjonen tar ulikheten formen:

Multipliser telleren og nevneren til brøken med 7, vi får følgende ekvivalente ulikhet:

Så ulikheten tilfredsstilles av følgende verdier av variabelen t:

Så, går vi tilbake til erstatning, får vi:

Siden grunnlaget for graden her er større enn én, er det ekvivalent (ved setning 2) å gå over til ulikheten:

Endelig får vi svar:

Eksempel 9 Løs ulikheten:

Løsning:

Vi deler begge sider av ulikheten med uttrykket:

Den er alltid større enn null (fordi eksponentialfunksjonen er positiv), så ulikhetstegnet trenger ikke å endres. Vi får:

t , som er i intervallet:

Går vi til den omvendte substitusjonen, finner vi at den opprinnelige ulikheten deler seg i to tilfeller:

Den første ulikheten har ingen løsninger på grunn av positiviteten til eksponentialfunksjonen. La oss løse den andre:

Eksempel 10 Løs ulikheten:

Løsning:

Parabelgrener y = 2x+2-x 2 er rettet nedover, derfor er den avgrenset ovenfra av verdien den når på toppen:

Parabelgrener y = x 2 -2x+2, som er i indikatoren, er rettet oppover, noe som betyr at den er begrenset nedenfra av verdien som den når på toppen:

Samtidig viser det seg at funksjonen er avgrenset nedenfra y = 3 x 2 -2x+2 på høyre side av ligningen. Den når sin minste verdi på samme punkt som parabelen i indeksen, og denne verdien er lik 3 1 = 3. Så den opprinnelige ulikheten kan bare være sann hvis funksjonen til venstre og funksjonen til høyre tar verdi , lik 3 (skjæringspunktet mellom områdene til disse funksjonene er bare dette tallet). Denne betingelsen er oppfylt på et enkelt punkt x = 1.

Svar: x= 1.

For å lære å løse eksponentielle ligninger og ulikheter, du må hele tiden trene på løsningen deres. Ulike metodiske manualer, elementære matematikkproblembøker, samlinger av konkurranseproblemer, matematikktimer på skolen, samt individuelle leksjoner med en profesjonell veileder kan hjelpe deg i denne vanskelige oppgaven. Jeg ønsker deg oppriktig suksess med forberedelsene dine og strålende resultater på eksamen.

Sergey Valerievich

P.S. Kjære gjester! Vennligst ikke skriv forespørsler om å løse ligningene dine i kommentarene. Jeg har dessverre ikke tid til dette i det hele tatt. Slike meldinger vil bli slettet. Vennligst les artikkelen. Kanskje vil du i den finne svar på spørsmål som ikke tillot deg å løse oppgaven din på egen hånd.

Eksponentiell funksjon er en generalisering av produktet av n tall lik a :
y (n) = a n = a a a a,
til settet med reelle tall x :
y (x) = x.
Her er a et fast reelt tall, som kalles basen til eksponentialfunksjonen.
En eksponentiell funksjon med grunntall a kalles også eksponentiell til base a.

Generaliseringen utføres som følger.
For naturlig x = 1, 2, 3,... , er eksponentialfunksjonen produktet av x-faktorer:
.
Dessuten har den egenskapene (1,5-8) (), som følger av reglene for multiplisering av tall. Ved null og negative verdier av heltall bestemmes eksponentialfunksjonen av formler (1,9-10). For brøkverdier x = m/n av rasjonelle tall, bestemmes det av formel (1.11). For ekte er eksponentialfunksjonen definert som grensen for sekvensen:
,
hvor er en vilkårlig sekvens av rasjonelle tall som konvergerer til x : .
Med denne definisjonen er eksponentialfunksjonen definert for alle , og tilfredsstiller egenskapene (1,5-8), samt for naturlig x .

En streng matematisk formulering av definisjonen av en eksponentiell funksjon og et bevis på dens egenskaper er gitt på siden "Definisjon og bevis på egenskapene til en eksponentiell funksjon".

Egenskaper til eksponentialfunksjonen

Eksponentialfunksjonen y = a x har følgende egenskaper på settet med reelle tall ():
(1.1) er definert og kontinuerlig, for , for alle ;
(1.2) når en ≠ 1 har mange betydninger;
(1.3) øker strengt ved , reduseres strengt ved ,
er konstant på ;
(1.4) kl ;
kl ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Andre nyttige formler
.
Formelen for å konvertere til en eksponentiell funksjon med en annen potensbase:

For b = e får vi uttrykket for eksponentialfunksjonen i form av eksponenten:

Private verdier

, , , , .

Figuren viser grafer for eksponentialfunksjonen
y (x) = x
for fire verdier gradsgrunnlag:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 og en = 1/8 . Det kan sees at for en > 1 eksponentiell funksjon øker monotont. Jo større bunnen av graden a, jo sterkere vekst. På 0 < a < 1 eksponentiell funksjon er monotont avtagende. Jo mindre eksponent a, jo sterkere reduksjon.

Stigende synkende

Eksponentialfunksjonen ved er strengt monotonisk, så den har ingen ekstreme. Hovedegenskapene er presentert i tabellen.

Invers funksjon

Den resiproke av en eksponentiell funksjon med en base av grad a er logaritmen til base a.

Hvis da
.
Hvis da
.

Differensiering av eksponentialfunksjonen

For å differensiere en eksponentiell funksjon, må basen reduseres til tallet e, bruke tabellen med deriverte og regelen for å differensiere en kompleks funksjon.

For å gjøre dette må du bruke egenskapen til logaritmer
og formelen fra tabellen med derivater:
.

La en eksponentiell funksjon gis:
.
Vi bringer det til basen e:

Vi bruker regelen om differensiering av en kompleks funksjon. For å gjøre dette introduserer vi en variabel

Deretter

Fra tabellen med deriverte har vi (erstatt variabelen x med z):
.
Siden er en konstant, er den deriverte av z med hensyn til x
.
I henhold til regelen om differensiering av en kompleks funksjon:
.

Derivert av eksponentiell funksjon

.
Derivert av n-te orden:
.
Utledning av formler > > >

Et eksempel på å differensiere en eksponentiell funksjon

Finn den deriverte av en funksjon
y= 35 x

Løsning

Vi uttrykker basisen til eksponentialfunksjonen i form av tallet e.
3 = e log 3
Deretter
.
Vi introduserer en variabel
.
Deretter

Fra tabellen over derivater finner vi:
.
Fordi det 5ln 3 er en konstant, så er den deriverte av z med hensyn til x:
.
I henhold til regelen for differensiering av en kompleks funksjon har vi:
.

Svar

Integral

Uttrykk i form av komplekse tall

Tenk på den komplekse tallfunksjonen z:
f (z) = az
hvor z = x + iy; Jeg 2 = - 1 .
Vi uttrykker den komplekse konstanten a i form av modulen r og argumentet φ :
a = r e i φ
Deretter


.
Argumentet φ er ikke unikt definert. Generelt
φ = φ 0 + 2 pn,
hvor n er et heltall. Derfor er funksjonen f (z) er også tvetydig. Ofte betraktet som dens viktigste betydning
.

Utvidelse i serie

.

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook of Mathematics for ingeniører og studenter ved høyere utdanningsinstitusjoner, Lan, 2009.

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere en bestemt person eller kontakte ham.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige varsler og meldinger.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• I tilfelle det er nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettslige prosesser og / eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra statlige organer på territoriet til den russiske føderasjonen - avslør din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
• Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

På forberedelsesstadiet til den endelige testingen må elever på videregående skole forbedre kunnskapen om emnet "Eksponentielle ligninger". Erfaringene fra de siste årene tilsier at slike oppgaver forårsaker visse vanskeligheter for skolebarn. Derfor må elever på videregående skole, uavhengig av deres forberedelsesnivå, nøye mestre teorien, huske formlene og forstå prinsippet for å løse slike ligninger. Etter å ha lært å takle denne typen oppgaver, vil nyutdannede kunne regne med høye poengsummer når de består eksamen i matematikk.

Gjør deg klar for eksamensprøven sammen med Shkolkovo!

Når de gjentar materialet som dekkes, står mange elever overfor problemet med å finne formlene som trengs for å løse likningene. En skolelærebok er ikke alltid tilgjengelig, og valget av nødvendig informasjon om et emne på Internett tar lang tid.

Shkolkovo utdanningsportal inviterer studenter til å bruke kunnskapsbasen vår. Vi implementerer en helt ny metode for å forberede den siste testen. Når du studerer på nettstedet vårt, vil du kunne identifisere hull i kunnskap og ta hensyn til nettopp de oppgavene som forårsaker de største vanskelighetene.

Lærere av "Shkolkovo" samlet, systematiserte og presenterte alt materialet som var nødvendig for vellykket bestått eksamen i den mest enkle og tilgjengelige formen.

Hoveddefinisjonene og formlene er presentert i delen "Teoretisk referanse".

For en bedre assimilering av stoffet anbefaler vi at du øver på oppgavene. Se nøye gjennom eksemplene på eksponentialligninger med løsninger presentert på denne siden for å forstå beregningsalgoritmen. Deretter fortsetter du med oppgavene i delen "Kataloger". Du kan starte med de enkleste oppgavene eller gå rett til å løse komplekse eksponentialligninger med flere ukjente eller . Databasen med øvelser på nettsiden vår suppleres og oppdateres kontinuerlig.

Eksemplene med indikatorer som forårsaket problemer kan legges til i "Favoritter". Så du kan raskt finne dem og diskutere løsningen med læreren.

For å bestå eksamen, studer på Shkolkovo-portalen hver dag!