Løse systemer av lineære algebraiske ligninger, løsningsmetoder, eksempler. Finn den generelle løsningen av systemet og fsr

Gaussmetoden har en rekke ulemper: det er umulig å vite om systemet er konsistent eller ikke før alle transformasjonene som er nødvendige i Gaussmetoden er utført; Gaussmetoden egner seg ikke for systemer med bokstavkoeffisienter.

Vurder andre metoder for å løse systemer med lineære ligninger. Disse metodene bruker konseptet rangering av en matrise og reduserer løsningen av ethvert felles system til løsningen av et system som Cramers regel gjelder for.

Eksempel 1 Finn den generelle løsningen av følgende system av lineære ligninger ved å bruke det grunnleggende løsningssystemet til det reduserte homogene systemet og en spesiell løsning av det inhomogene systemet.

1. Vi lager en matrise EN og den utvidede matrisen til systemet (1)

2. Utforsk systemet (1) for kompatibilitet. For å gjøre dette finner vi matrisenes rekker EN og https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Hvis det viser seg at , så systemet (1) uforenlig. Hvis vi får det , så er dette systemet konsekvent, og vi vil løse det. (Konsistensstudien er basert på Kronecker-Capelli-teoremet).

en. Vi finner rA.

Å finne rA, vil vi vurdere suksessivt ikke-null molorer av den første, andre, osv. rekkefølgen av matrisen EN og de mindreårige rundt dem.

M1=1≠0 (1 er tatt fra øvre venstre hjørne av matrisen MEN).

Grenser M1 den andre raden og den andre kolonnen i denne matrisen. . Vi fortsetter til grensen M1 den andre linjen og den tredje kolonnen..gif" width="37" height="20 src=">. Nå setter vi grensen for moll som ikke er null М2′ andre bestilling.

Vi har: (fordi de to første kolonnene er like)

(fordi andre og tredje linje er proporsjonale).

Det ser vi rA=2, og er basis-moll i matrisen EN.

b. Vi finner .

Tilstrekkelig grunnleggende bifag М2′ matriser EN kantlinje med en kolonne med ledige medlemmer og alle linjer (vi har bare den siste linjen).

. Det følger av dette at М3′′ forblir basis-moll av matrisen https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Fordi М2′- basis moll av matrisen EN systemer (2) , da er dette systemet ekvivalent med systemet (3) , som består av de to første likningene i systemet (2) (til М2′ er i de to første radene i matrise A).

(3)

Siden grunnfaget er https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

I dette systemet, to gratis ukjente ( x2 og x4 ). Derfor FSR systemer (4) består av to løsninger. For å finne dem tildeler vi gratis ukjente (4) verdier først x2=1 , x4=0 , og så - x2=0 , x4=1 .

På x2=1 , x4=0 vi får:

.

Dette systemet har allerede den eneste tingen løsning (den kan bli funnet ved Cramers regel eller ved en annen metode). Trekker vi den første likningen fra den andre likningen, får vi:

Hennes avgjørelse vil være x1= -1 , x3=0 . Gitt verdiene x2 og x4 , som vi har gitt, får vi den første grunnleggende løsningen av systemet (2) : .

Nå legger vi inn (4) x2=0 , x4=1 . Vi får:

.

Vi løser dette systemet ved å bruke Cramers teorem:

.

Vi får den andre grunnleggende løsningen av systemet (2) : .

Løsninger β1 , β2 og sminke FSR systemer (2) . Da blir dens generelle løsning

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Her C1 , C2 er vilkårlige konstanter.

4. Finn en privat løsning heterogent system(1) . Som i avsnitt 3 , i stedet for systemet (1) vurdere tilsvarende system (5) , som består av de to første likningene i systemet (1) .

(5)

Vi overfører de frie ukjente til høyresiden x2 og x4.

(6)

La oss gi gratis ukjente x2 og x4 vilkårlige verdier, for eksempel x2=2 , x4=1 og koble dem til (6) . La oss få systemet

Dette systemet har en unik løsning (fordi dets determinant М2′0). Å løse det (ved å bruke Cramer-teoremet eller Gauss-metoden), får vi x1=3 , x3=3 . Gitt verdiene til de gratis ukjente x2 og x4 , vi får spesiell løsning av et inhomogent system(1)a1=(3,2,3,1).

5. Nå gjenstår det å skrive generell løsning α av et inhomogent system(1) : det er lik summen privat avgjørelse dette systemet og generell løsning av det reduserte homogene systemet (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Dette betyr: (7)

6. Undersøkelse. For å sjekke om du har løst systemet riktig (1) , vi trenger en generell løsning (7) erstatte inn (1) . Hvis hver ligning blir en identitet ( C1 og C2 bør destrueres), så er løsningen funnet riktig.

Vi vil erstatte (7) for eksempel bare i siste ligning av systemet (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Vi får: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Hvor -1=-1. Vi har en identitet. Vi gjør dette med alle andre likninger i systemet (1) .

Kommentar. Verifisering er vanligvis ganske tungvint. Vi kan anbefale følgende "delvis verifisering": i den totale løsningen av systemet (1) tilordne noen verdier til vilkårlige konstanter og erstatte den resulterende bestemte løsningen bare i de forkastede ligningene (dvs. i de ligningene fra (1) som ikke er inkludert i (5) ). Hvis du får identiteter, da mest sannsynlig, løsning av systemet (1) funnet riktig (men en slik sjekk gir ikke full garanti for korrekthet!). For eksempel, hvis i (7) sette C2=- 1 , C1=1, da får vi: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Setter vi inn i siste ligning av system (1), har vi: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , dvs. –1=–1. Vi har en identitet.

Eksempel 2 Finn en generell løsning på et system med lineære ligninger (1) , som uttrykker de viktigste ukjente i form av gratis.

Løsning. Som i eksempel 1, komponer matriser EN og https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> av disse matrisene. Nå forlater vi bare de likningene til systemet (1) , hvis koeffisienter er inkludert i denne grunnleggende minor (dvs. vi har de to første ligningene) og vurdere systemet som består av dem, som er ekvivalent med system (1).

La oss overføre de frie ukjente til høyresiden av disse ligningene.

system (9) vi løser etter Gauss-metoden, vurderer de riktige delene som gratis medlemmer.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Alternativ 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Alternativ 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Alternativ 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Alternativ 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Homogene systemer av lineære algebraiske ligninger

Innenfor timene Gauss metode og Inkompatible systemer/systemer med felles løsning vi vurderte inhomogene systemer av lineære ligninger, hvor gratis medlem(som vanligvis er til høyre) minst en av ligningene var forskjellig fra null.
Og nå, etter en god oppvarming med matriserangering, vil vi fortsette å polere teknikken elementære transformasjoner på homogent system av lineære ligninger.
Ifølge de første avsnittene kan materialet virke kjedelig og ordinært, men dette inntrykket er villedende. I tillegg til å videreutvikle teknikker, vil det være mye ny informasjon, så prøv å ikke overse eksemplene i denne artikkelen.

Hva er et homogent system av lineære ligninger?

Svaret tyder på seg selv. Et system med lineære ligninger er homogent hvis det frie leddet alle systemligningen er null. For eksempel:

Det er helt klart det homogent system er alltid konsistent, det vil si at den alltid har en løsning. Og først og fremst den såkalte triviell løsning . Trivielt, for de som ikke forstår betydningen av adjektivet i det hele tatt, betyr bespontovoe. Ikke akademisk, selvfølgelig, men forståelig =) ... Hvorfor slå rundt busken, la oss finne ut om dette systemet har noen andre løsninger:

Eksempel 1

Løsning: for å løse et homogent system er det nødvendig å skrive systemmatrise og ved hjelp av elementære transformasjoner bringe den til en trinnvis form. Merk at det ikke er nødvendig å skrive ned den vertikale linjen og nullkolonnen med gratis medlemmer her - for uansett hva du gjør med nuller, vil de forbli null:

(1) Den første raden ble lagt til den andre raden, multiplisert med -2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med -3.

(2) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med -1.

Å dele den tredje raden med 3 gir ikke mye mening.

Som et resultat av elementære transformasjoner oppnås et ekvivalent homogent system , og ved å bruke den omvendte bevegelsen av Gauss-metoden, er det lett å verifisere at løsningen er unik.

Svar:

La oss formulere et åpenbart kriterium: et homogent system av lineære ligninger har bare triviell løsning, hvis systemmatriserangering(i dette tilfellet 3) er lik antall variabler (i dette tilfellet 3 stk.).

Vi varmer opp og stiller inn radioen vår til en bølge av elementære transformasjoner:

Eksempel 2

Løs et homogent system av lineære ligninger

Fra artikkelen Hvordan finne rangeringen til en matrise? vi husker den rasjonelle metoden for tilfeldig å redusere antallet av matrisen. Ellers må du slakte stor, og ofte bitende fisk. Et eksempel på en oppgave på slutten av leksjonen.

Null er bra og praktisk, men i praksis er tilfellet mye mer vanlig når radene i matrisen til systemet lineært avhengig. Og så er utseendet til en generell løsning uunngåelig:

Eksempel 3

Løs et homogent system av lineære ligninger

Løsning: vi skriver matrisen til systemet, og ved å bruke elementære transformasjoner bringer vi den til en trinnform. Den første handlingen er ikke bare rettet mot å oppnå en enkelt verdi, men også på å redusere tallene i den første kolonnen:

(1) Den tredje raden ble lagt til den første raden, multiplisert med -1. Den tredje linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med -2. Øverst til venstre fikk jeg en enhet med "minus", som ofte er mye mer praktisk for videre transformasjoner.

(2) De to første linjene er like, en av dem er fjernet. Ærlig talt, jeg justerte ikke avgjørelsen - det skjedde. Hvis du utfører transformasjoner i en mal, da lineær avhengighet linjer ville dukke opp litt senere.

(3) Til den tredje linjen legger du til den andre linjen, multiplisert med 3.

(4) Tegnet på den første linjen er endret.

Som et resultat av elementære transformasjoner oppnås et ekvivalent system:

Algoritmen fungerer akkurat det samme som for heterogene systemer. Variabler "sitter på trinnene" er de viktigste, variabelen som ikke fikk "trinnene" er gratis.

Vi uttrykker de grunnleggende variablene i form av den frie variabelen:

Svar: felles beslutning:

Den trivielle løsningen er inkludert i den generelle formelen, og det er unødvendig å skrive den separat.

Verifikasjonen utføres også i henhold til det vanlige skjemaet: den resulterende generelle løsningen må erstattes på venstre side av hver ligning av systemet og en legitim null oppnås for alle erstatninger.

Dette kan avsluttes stille, men løsningen av et homogent ligningssystem må ofte representeres i vektorform ved bruk av grunnleggende beslutningssystem. Glem det midlertidig analytisk geometri, siden vi nå skal snakke om vektorer i generell algebraisk forstand, som jeg åpnet litt i en artikkel om matriserangering. Terminologi er ikke nødvendig å skygge, alt er ganske enkelt.

Homogent system av lineære ligninger over et felt

DEFINISJON. Det grunnleggende løsningssystemet for ligningssystem (1) er et ikke-tomt lineært uavhengig system av dets løsninger, hvis lineære spenn faller sammen med settet av alle løsninger av systemet (1).

Legg merke til at et homogent system av lineære ligninger som bare har en nullløsning ikke har et fundamentalt system av løsninger.

FORSLAG 3.11. Hvilke som helst to grunnleggende løsninger av et homogent system av lineære ligninger består av samme antall løsninger.

Bevis. Faktisk er alle to grunnleggende løsninger av det homogene likningssystemet (1) ekvivalente og lineært uavhengige. Derfor, i henhold til proposisjon 1.12, er deres rangeringer like. Derfor er antallet løsninger inkludert i ett grunnleggende system lik antallet løsninger som er inkludert i et hvilket som helst annet grunnleggende system av løsninger.

Hvis hovedmatrisen A til det homogene ligningssystemet (1) er null, så er enhver vektor fra en løsning til system (1); i dette tilfellet er enhver samling av lineært uavhengige vektorer fra et grunnleggende system av løsninger. Hvis kolonnerangeringen til matrise A er , så har system (1) bare én løsning - null; derfor, i dette tilfellet, har ikke ligningssystemet (1) et grunnleggende system av løsninger.

SETING 3.12. Hvis rangeringen av hovedmatrisen til det homogene systemet med lineære ligninger (1) er mindre enn antall variabler, har system (1) et grunnleggende system av løsninger som består av løsninger.

Bevis. Hvis rangeringen av hovedmatrisen A til det homogene systemet (1) er lik null eller , ble det vist ovenfor at teoremet er sant. Derfor antas det nedenfor at Forutsatt , vil vi anta at de første kolonnene i matrisen A er lineært uavhengige. I dette tilfellet er matrisen A radvis ekvivalent med den reduserte trinnmatrisen, og system (1) er ekvivalent med følgende reduserte trinnsystem av ligninger:

Det er enkelt å sjekke at ethvert verdisystem av frie variabler i system (2) tilsvarer én og bare én løsning av system (2) og derfor av system (1). Spesielt er det bare nullløsningen til system (2) og system (1) som tilsvarer systemet med nullverdier.

I system (2) vil vi tildele en verdi lik 1 til en av de frie variablene, og null verdier til de andre variablene. Som et resultat får vi løsninger til ligningssystemet (2), som vi skriver som rader av følgende matrise C:

Radsystemet til denne matrisen er lineært uavhengig. Faktisk, for alle skalarer fra likestilling

likestilling følger

og dermed likestilling

La oss bevise at det lineære spennet til systemet med rader av matrise C sammenfaller med settet av alle løsninger av systemet (1).

Vilkårlig løsning av system (1). Deretter vektoren

er også en løsning på system (1), og

Løsning finne med en kalkulator. Løsningsalgoritmen er den samme som for systemer med lineære inhomogene ligninger.
Hvis vi kun opererer med rader, finner vi rangeringen av matrisen, den grunnleggende moll; vi erklærer avhengige og frie ukjente og finner den generelle løsningen.

Eksempel 2. Finn den generelle løsningen og det grunnleggende løsningssystemet til systemet
Løsning.



,
det følger at rangeringen av matrisen er 3 og er lik antall ukjente. Dette betyr at systemet ikke har noen ledige ukjente, og derfor har en unik løsning - en triviell.

Trening . Utforske og løse et system med lineære ligninger.
Eksempel 4

Trening . Finn generelle og spesielle løsninger for hvert system.
Løsning. Vi skriver hovedmatrisen til systemet:

En oppgave . Finn et grunnleggende sett med løsninger til et homogent system av lineære ligninger.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE) er utvilsomt det viktigste temaet i lineær algebrakurset. Et stort antall problemer fra alle grener av matematikken er redusert til å løse systemer med lineære ligninger. Disse faktorene forklarer årsaken til å lage denne artikkelen. Materialet til artikkelen er valgt og strukturert slik at du med dens hjelp kan

• velg den optimale metoden for å løse systemet med lineære algebraiske ligninger,
• studere teorien om den valgte metoden,
• løse systemet med lineære ligninger, etter å ha vurdert i detalj løsningene av typiske eksempler og problemer.

Kort beskrivelse av materialet i artikkelen.

Først gir vi alle nødvendige definisjoner, konsepter og introduserer noen notasjon.

Deretter tar vi for oss metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger der antall ligninger er lik antall ukjente variabler og som har en unik løsning. Først, la oss fokusere på Cramer-metoden, for det andre vil vi vise matrisemetoden for å løse slike ligningssystemer, og for det tredje vil vi analysere Gauss-metoden (metoden for suksessiv eliminering av ukjente variabler). For å konsolidere teorien vil vi definitivt løse flere SLAE-er på forskjellige måter.

Etter det går vi over til å løse systemer med lineære algebraiske ligninger av en generell form, der antall ligninger ikke sammenfaller med antall ukjente variabler eller hovedmatrisen til systemet er degenerert. Vi formulerer Kronecker-Capelli-teoremet, som lar oss etablere kompatibiliteten til SLAE-er. La oss analysere løsningen av systemer (i tilfelle av deres kompatibilitet) ved å bruke konseptet med basis-minor av en matrise. Vi vil også vurdere Gauss-metoden og beskrive i detalj løsningene til eksemplene.

Sørg for å dvele ved strukturen til den generelle løsningen av homogene og inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger. La oss gi konseptet med et grunnleggende system av løsninger og vise hvordan den generelle løsningen til SLAE er skrevet ved å bruke vektorene til det grunnleggende løsningssystemet. For en bedre forståelse, la oss se på noen få eksempler.

Avslutningsvis tar vi for oss ligningssystemer som er redusert til lineære, så vel som ulike problemer, i løsningen av hvilke SLAE-er oppstår.

Sidenavigering.

Definisjoner, begreper, betegnelser.

Vi vil vurdere systemer med p lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler (p kan være lik n ) av formen

Ukjente variabler, - koeffisienter (noen reelle eller komplekse tall), - frie medlemmer (også reelle eller komplekse tall).

Denne formen for SLAE kalles koordinere.

PÅ matriseform dette ligningssystemet har formen ,
hvor - hovedmatrisen til systemet, - matrise-kolonnen av ukjente variabler, - matrise-kolonnen av frie medlemmer.

Legger vi til matrisen A som (n + 1)-te kolonne matrisekolonnen av frie ledd, så får vi den s.k. utvidet matrise systemer av lineære ligninger. Vanligvis er den utvidede matrisen merket med bokstaven T, og kolonnen med frie medlemmer er atskilt med en vertikal linje fra resten av kolonnene, det vil si,

Ved å løse et system med lineære algebraiske ligninger kalt et sett med verdier av ukjente variabler, som gjør alle likningene i systemet til identiteter. Matriseligningen for de gitte verdiene til de ukjente variablene blir også til en identitet.

Hvis et ligningssystem har minst én løsning, kalles det ledd.

Hvis ligningssystemet ikke har noen løsninger, kalles det uforenlig.

Hvis en SLAE har en unik løsning, kalles den sikker; hvis det er mer enn én løsning, så - usikker.

Hvis de frie leddene til alle likningene i systemet er lik null , så kalles systemet homogen, ellers - heterogen.

Løsning av elementære systemer av lineære algebraiske ligninger.

Hvis antallet systemligninger er lik antall ukjente variabler og determinanten til hovedmatrisen ikke er lik null, vil vi kalle slike SLAE-er elementær. Slike ligningssystemer har en unik løsning, og ved et homogent system er alle ukjente variabler lik null.

Vi begynte å studere slike SLAE på videregående. Når vi løste dem, tok vi en likning, uttrykte en ukjent variabel i form av andre og erstattet den i de resterende likningene, tok deretter den neste likningen, uttrykte den neste ukjente variabelen og erstattet den i andre likninger, og så videre. Eller de brukte addisjonsmetoden, det vil si at de la til to eller flere ligninger for å eliminere noen ukjente variabler. Vi vil ikke dvele ved disse metodene i detalj, siden de i hovedsak er modifikasjoner av Gauss-metoden.

Hovedmetodene for å løse elementære systemer av lineære ligninger er Cramer-metoden, matrisemetoden og Gauss-metoden. La oss sortere dem.

Løse systemer av lineære ligninger ved Cramers metode.

La oss løse et system med lineære algebraiske ligninger

hvor antall ligninger er lik antall ukjente variabler og determinanten til hovedmatrisen til systemet er forskjellig fra null, det vil si .

La være determinanten for hovedmatrisen til systemet, og er determinanter for matriser som er hentet fra A ved å erstatte 1., 2., …, n kolonnen til kolonnen med gratis medlemmer:

Med slik notasjon beregnes de ukjente variablene ved formlene til Cramers metode som . Slik finner man løsningen av et system med lineære algebraiske ligninger ved Cramer-metoden.

Eksempel.

Cramer metode .

Løsning.

Hovedmatrisen til systemet har formen . Beregn dens determinant (om nødvendig, se artikkelen):

Siden determinanten for hovedmatrisen til systemet ikke er null, har systemet en unik løsning som kan finnes ved Cramers metode.

Komponer og beregn de nødvendige determinantene (determinanten oppnås ved å erstatte den første kolonnen i matrise A med en kolonne med frie medlemmer, determinanten - ved å erstatte den andre kolonnen med en kolonne av frie medlemmer, - ved å erstatte den tredje kolonnen av matrise A med en kolonne med frie medlemmer ):

Finne ukjente variabler ved hjelp av formler :

Svar:

Den største ulempen med Cramers metode (hvis den kan kalles en ulempe) er kompleksiteten ved å beregne determinantene når antallet systemligninger er mer enn tre.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden (ved å bruke den inverse matrisen).

La systemet med lineære algebraiske ligninger gis i matriseform , hvor matrisen A har dimensjon n ved n og dens determinant er ikke null.

Siden , så er matrisen A inverterbar, det vil si at det er en invers matrise . Hvis vi multipliserer begge deler av likheten med til venstre, får vi en formel for å finne kolonnematrisen med ukjente variabler. Så vi fikk løsningen av systemet med lineære algebraiske ligninger ved matrisemetoden.

Eksempel.

Løs system av lineære ligninger matrisemetoden.

Løsning.

La oss omskrive ligningssystemet i matriseform:

Fordi

da kan SLAE løses med matrisemetoden. Ved å bruke den inverse matrisen kan løsningen på dette systemet finnes som .

La oss bygge en invers matrise ved å bruke en matrise av algebraiske komplementer til elementene i matrise A (om nødvendig, se artikkelen):

Det gjenstår å beregne - matrisen av ukjente variabler ved å multiplisere den inverse matrisen på matrisekolonnen med gratis medlemmer (om nødvendig, se artikkelen):

Svar:

eller i en annen notasjon x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hovedproblemet med å finne løsninger på systemer med lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden er kompleksiteten ved å finne den inverse matrisen, spesielt for kvadratiske matriser av orden høyere enn den tredje.

Løse systemer av lineære ligninger ved Gauss-metoden.

Anta at vi må finne en løsning på et system med n lineære ligninger med n ukjente variabler
determinanten til hovedmatrisen som er forskjellig fra null.

Essensen av Gauss-metoden består i suksessiv ekskludering av ukjente variabler: først ekskluderes x 1 fra alle likninger i systemet, starter fra den andre, deretter ekskluderes x 2 fra alle likninger, starter fra den tredje, og så videre, inntil bare den ukjente variabelen x n forblir i den siste ligningen. En slik prosess med å transformere likningene til systemet for suksessiv eliminering av ukjente variabler kalles direkte Gauss-metoden. Etter at foroverkjøringen av Gauss-metoden er fullført, blir x n funnet fra den siste ligningen, x n-1 beregnes fra den nest siste ligningen ved å bruke denne verdien, og så videre, x 1 blir funnet fra den første ligningen. Prosessen med å beregne ukjente variabler når man går fra den siste ligningen i systemet til den første kalles omvendt Gauss-metode.

La oss kort beskrive algoritmen for å eliminere ukjente variabler.

Vi vil anta det, siden vi alltid kan oppnå dette ved å omorganisere likningene til systemet. Vi ekskluderer den ukjente variabelen x 1 fra alle likninger i systemet, fra den andre. For å gjøre dette, legg til den første likningen multiplisert med til den andre likningen i systemet, legg den første multiplisert med til den tredje likningen, og så videre, legg den første multiplisert med til den n'te likningen. Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor en .

Vi ville komme til det samme resultatet hvis vi uttrykte x 1 i form av andre ukjente variabler i den første ligningen av systemet og erstattet det resulterende uttrykket i alle andre ligninger. Dermed er variabelen x 1 ekskludert fra alle ligninger, fra den andre.

Deretter handler vi på samme måte, men bare med en del av det resulterende systemet, som er merket på figuren

For å gjøre dette, legg til den andre likningen multiplisert med til den tredje likningen i systemet, legg den andre multiplisert med til den fjerde likningen, og så videre, legg den andre multiplisert med til den n'te likningen. Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor en . Dermed er variabelen x 2 ekskludert fra alle ligninger, fra den tredje.

Deretter fortsetter vi til eliminering av den ukjente x 3, mens vi handler på samme måte med den delen av systemet som er merket på figuren

Så vi fortsetter det direkte forløpet til Gauss-metoden til systemet tar formen

Fra dette øyeblikket begynner vi det omvendte forløpet til Gauss-metoden: vi beregner x n fra den siste ligningen som , ved å bruke den oppnådde verdien av x n finner vi x n-1 fra den nest siste ligningen, og så videre finner vi x 1 fra første ligning.

Eksempel.

Løs system av lineære ligninger Gaussisk metode.

Løsning.

La oss ekskludere den ukjente variabelen x 1 fra den andre og tredje ligningen i systemet. For å gjøre dette, til begge deler av den andre og tredje ligningen, legger vi til de tilsvarende delene av den første ligningen, multiplisert med og med henholdsvis:

Nå ekskluderer vi x 2 fra den tredje ligningen ved å legge til venstre og høyre del av dens venstre og høyre del av den andre ligningen, multiplisert med:

På dette er fremforløpet til Gauss-metoden fullført, vi begynner bakoverkurset.

Fra den siste ligningen til det resulterende ligningssystemet finner vi x 3:

Fra den andre ligningen får vi .

Fra den første ligningen finner vi den gjenværende ukjente variabelen og denne fullfører det omvendte forløpet til Gauss-metoden.

Svar:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

I det generelle tilfellet faller ikke antall ligninger av systemet p sammen med antallet ukjente variabler n:

Slike SLAE-er har kanskje ingen løsninger, har en enkelt løsning eller har uendelig mange løsninger. Denne uttalelsen gjelder også for ligningssystemer hvis hovedmatrise er kvadratisk og degenerert.

Kronecker-Capelli teorem.

Før du finner en løsning på et system med lineære ligninger, er det nødvendig å etablere kompatibiliteten. Svaret på spørsmålet når SLAE er kompatibelt, og når det er inkompatibelt, gir Kronecker-Capelli teorem:
for at et likningssystem med n ukjente (p kan være lik n ) skal være konsistent, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen til hovedmatrisen til systemet er lik rangeringen til den utvidede matrisen, det vil si Rank( A)=Rank(T) .

La oss vurdere anvendelsen av Kronecker-Cappelli-teoremet for å bestemme kompatibiliteten til et system med lineære ligninger som et eksempel.

Eksempel.

Finn ut om systemet med lineære ligninger har løsninger.

Løsning.

. La oss bruke metoden for å grense til mindreårige. Mindre av andre orden forskjellig fra null. La oss gå over de mindreårige av tredje orden rundt det:

Siden alle grensende tredje-ordens mindreårige er lik null, er rangeringen av hovedmatrisen to.

I sin tur, rangeringen av den utvidede matrisen er lik tre, siden moll av tredje orden

forskjellig fra null.

På denne måten, Rang(A) , derfor, ifølge Kronecker-Capelli-teoremet, kan vi konkludere med at det opprinnelige systemet med lineære ligninger er inkonsekvent.

Svar:

Det finnes ikke noe løsningssystem.

Så vi har lært å etablere inkonsistensen til systemet ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet.

Men hvordan finne løsningen til SLAE hvis kompatibiliteten er etablert?

For å gjøre dette trenger vi konseptet med basismoll av en matrise og teoremet om rangeringen av en matrise.

Den høyeste ordens moll av matrisen A, annet enn null, kalles grunnleggende.

Det følger av definisjonen av basisminoren at dens rekkefølge er lik rangeringen av matrisen. For en matrise A som ikke er null, kan det være flere grunnleggende mindreårige; det er alltid en grunnleggende biroll.

Tenk for eksempel på matrisen .

Alle tredjeordens mindreårige i denne matrisen er lik null, siden elementene i den tredje raden i denne matrisen er summen av de tilsvarende elementene i den første og andre raden.

Følgende mindreårige av andre orden er grunnleggende, siden de ikke er null

Mindreårige er ikke grunnleggende, siden de er lik null.

Matriserangeringsteorem.

Hvis rangeringen av en matrise av orden p ved n er r, blir alle elementene i radene (og kolonnene) i matrisen som ikke utgjør den valgte basis-moll lineært uttrykt i form av de tilsvarende elementene i radene (og kolonnene) ) som danner grunnlaget mindre.

Hva gir matriserangsetningen oss?

Hvis vi ved hjelp av Kronecker-Capelli-teoremet har etablert kompatibiliteten til systemet, velger vi en hvilken som helst grunnleggende moll av hovedmatrisen til systemet (rekkefølgen er lik r), og ekskluderer fra systemet alle ligninger som ikke gjør det danne det valgte grunnfaget. SLAE oppnådd på denne måten vil være ekvivalent med den opprinnelige, siden de forkastede ligningene fortsatt er overflødige (ifølge matriserangsetningen er de en lineær kombinasjon av de gjenværende ligningene).

Som et resultat, etter å ha forkastet de overdrevne ligningene til systemet, er to tilfeller mulige.

Hvis antall ligninger r i det resulterende systemet er lik antallet ukjente variabler, vil det være definitivt og den eneste løsningen kan finnes ved Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

Eksempel.

.

Løsning.

Rangering av hovedmatrisen til systemet er lik to, siden moll av andre orden forskjellig fra null. Utvidet matriserangering er også lik to, siden den eneste moll av tredje orden er lik null

og den moll av den andre ordenen vurdert ovenfor er forskjellig fra null. Basert på Kronecker-Capelli-teoremet kan man hevde kompatibiliteten til det opprinnelige systemet med lineære ligninger, siden Rank(A)=Rank(T)=2 .

Som basis mindre tar vi . Den er dannet av koeffisientene til den første og andre ligningen:


Den tredje ligningen til systemet deltar ikke i dannelsen av den grunnleggende minor, så vi ekskluderer den fra systemet basert på matriserangsetningen:


Dermed har vi fått et elementært system av lineære algebraiske ligninger. La oss løse det ved Cramers metode:


Svar:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Hvis antallet likninger r i den resulterende SLAE er mindre enn antallet ukjente variabler n, lar vi begrepene som danner den grunnleggende minor i de venstre delene av likningene, og overfører de resterende leddene til de høyre delene av likningene til systemet med motsatt fortegn.

De ukjente variablene (det er r av dem) som er igjen på venstre side av ligningene kalles hoved-.

Ukjente variabler (det finnes n - r av dem) som havnet på høyre side kalles gratis.

Nå antar vi at de frie ukjente variablene kan ta vilkårlige verdier, mens de r viktigste ukjente variablene vil bli uttrykt i form av de frie ukjente variablene på en unik måte. Uttrykket deres kan bli funnet ved å løse den resulterende SLAE ved Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

La oss ta et eksempel.

Eksempel.

Løs system av lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

Finn rangeringen av hovedmatrisen til systemet etter metoden for grensende mindreårige. La oss ta en 1 1 = 1 som en førsteordens moll som ikke er null. La oss begynne å søke etter en annenordens moll som ikke er null rundt dette bifaget:


Så vi fant en moll som ikke er null av andre orden. La oss begynne å søke etter en moll som ikke er null av tredje orden:


Dermed er rangeringen av hovedmatrisen tre. Rangeringen til den utvidede matrisen er også lik tre, det vil si at systemet er konsistent.

Den funnet ikke-null moll av tredje orden vil bli tatt som den grunnleggende.

For klarhets skyld viser vi elementene som danner basisminor:


Vi lar begrepene som deltar i den grunnleggende minor på venstre side av likningene til systemet, og overfører resten med motsatte fortegn til høyre side:


Vi gir gratis ukjente variabler x 2 og x 5 vilkårlige verdier, det vil si at vi tar , hvor er vilkårlige tall. I dette tilfellet tar SLAE formen


Vi løser det oppnådde elementære systemet med lineære algebraiske ligninger ved Cramer-metoden:


Følgelig.

I svaret, ikke glem å angi gratis ukjente variabler.

Svar:

Hvor er vilkårlige tall.

Oppsummer.

For å løse et system med lineære algebraiske ligninger av en generell form, finner vi først ut dets kompatibilitet ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet. Hvis rangeringen til hovedmatrisen ikke er lik rangeringen til den utvidede matrisen, konkluderer vi med at systemet er inkonsekvent.

Hvis rangeringen til hovedmatrisen er lik rangeringen til den utvidede matrisen, velger vi den grunnleggende minoren og forkaster likningene til systemet som ikke deltar i dannelsen av den valgte grunnleggende minor.

Hvis rekkefølgen på basisminoren er lik antall ukjente variabler, har SLAE en unik løsning, som kan finnes med en hvilken som helst metode kjent for oss.

Hvis rekkefølgen til den grunnleggende minoren er mindre enn antallet ukjente variabler, lar vi på venstre side av likningene til systemet vilkårene med de viktigste ukjente variablene, overføre de resterende leddene til høyresiden og tilordne vilkårlige verdier ​til de frie ukjente variablene. Fra det resulterende systemet med lineære ligninger finner vi de viktigste ukjente variablene ved Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

Gauss-metode for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Ved å bruke Gauss-metoden kan man løse systemer med lineære algebraiske ligninger av noe slag uten deres foreløpige undersøkelse for kompatibilitet. Prosessen med suksessiv ekskludering av ukjente variabler gjør det mulig å trekke en konklusjon om både kompatibiliteten og inkonsistensen til SLAE, og hvis en løsning eksisterer, gjør den det mulig å finne den.

Fra et beregningsmessig arbeid er Gauss-metoden å foretrekke.

Se dens detaljerte beskrivelse og analyserte eksempler i artikkelen Gauss-metoden for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Registrering av den generelle løsningen av homogene og inhomogene lineære algebraiske systemer ved å bruke vektorene til det grunnleggende løsningssystemet.

I denne delen vil vi fokusere på felles homogene og inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger som har et uendelig antall løsninger.

La oss først ta for oss homogene systemer.

Grunnleggende beslutningssystem Et homogent system av p lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler er et sett med (n – r) lineært uavhengige løsninger av dette systemet, der r er rekkefølgen til basis-moll av hovedmatrisen til systemet.

Hvis vi betegner lineært uavhengige løsninger av en homogen SLAE som X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) er matriser kolonner med dimensjon n med 1 ), så er den generelle løsningen til dette homogene systemet representert som en lineær kombinasjon av vektorer av det grunnleggende løsningssystemet med vilkårlige konstante koeffisienter С 1 , С 2 , …, С (n-r), det vil si .

Hva betyr begrepet generell løsning av et homogent system av lineære algebraiske ligninger (oroslau)?

Betydningen er enkel: formelen definerer alle mulige løsninger av den opprinnelige SLAE, med andre ord, tar ethvert sett med verdier av vilkårlige konstanter C 1 , C 2 , ..., C (n-r), i henhold til formelen vi vil få en av løsningene til den originale homogene SLAE.

Derfor, hvis vi finner et grunnleggende system av løsninger, kan vi sette alle løsninger av denne homogene SLAE som .

La oss vise prosessen med å konstruere et grunnleggende system av løsninger for en homogen SLAE.

Vi velger grunnmoll i det opprinnelige systemet med lineære ligninger, ekskluderer alle andre ligninger fra systemet, og overfører til høyre side av systemets ligninger med motsatte fortegn alle ledd som inneholder frie ukjente variabler. La oss gi de frie ukjente variablene verdiene 1,0,0,...,0 og beregne de viktigste ukjente ved å løse det resulterende elementære systemet med lineære ligninger på noen måte, for eksempel ved Cramer-metoden. Dermed vil X (1) bli oppnådd - den første løsningen av det grunnleggende systemet. Hvis vi gir de frie ukjente verdiene 0,1,0,0,...,0 og beregner de viktigste ukjente, får vi X (2) . Og så videre. Hvis vi gir de frie ukjente variablene verdiene 0,0,...,0,1 og beregner de viktigste ukjente, får vi X (n-r) . Dette er hvordan det grunnleggende løsningssystemet til den homogene SLAE vil bli konstruert og dens generelle løsning kan skrives i formen.

For inhomogene systemer med lineære algebraiske ligninger er den generelle løsningen representert som

La oss se på eksempler.

Eksempel.

Finn det grunnleggende løsningssystemet og den generelle løsningen av et homogent system av lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

Rangeringen av hovedmatrisen til homogene systemer av lineære ligninger er alltid lik rangeringen til den utvidede matrisen. La oss finne rangeringen til hovedmatrisen ved hjelp av metoden for å frynse mindreårige. Som ulik null-moll av første orden tar vi elementet a 1 1 = 9 av hovedmatrisen til systemet. Finn den avgrensende moll som ikke er null av andre orden:

En moll av andre orden, forskjellig fra null, er funnet. La oss gå gjennom de mindreårige av tredje orden som grenser til den på leting etter en som ikke er null:

Alle grensende mindreårige av tredje orden er lik null, derfor er rangeringen til hovedmatrisen og den utvidede matrisen to. La oss ta det grunnleggende bifaget. For klarhetens skyld noterer vi oss elementene i systemet som danner det:

Den tredje ligningen til den opprinnelige SLAE deltar ikke i dannelsen av den grunnleggende mindreårige, derfor kan den ekskluderes:

Vi lar begrepene som inneholder de viktigste ukjente stå på høyresiden av ligningene, og overfører begrepene med frie ukjente til høyresiden:

La oss konstruere et grunnleggende system av løsninger til det opprinnelige homogene systemet med lineære ligninger. Det grunnleggende løsningssystemet til denne SLAE består av to løsninger, siden den opprinnelige SLAE inneholder fire ukjente variabler, og rekkefølgen på dens grunnleggende mindre er to. For å finne X (1), gir vi de frie ukjente variablene verdiene x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, så finner vi de viktigste ukjente fra ligningssystemet
.