Den tilfeldige variabelen x er gitt av fordelingsloven. Fordelingsloven til en tilfeldig variabel

Fordelingslov for tilfeldig variabel X:

Eksempel nr. 2. Sannsynligheten for at en skytter treffer målet med ett skudd for den første skytteren er 0,8, for den andre skytteren - 0,85. Skytterne skjøt ett skudd mot målet. Vurderer å treffe målet som uavhengige hendelser for individuelle skyttere, finn sannsynligheten for hendelse A – nøyaktig ett treff på skiven.
Løsning.
Tenk på hendelse A - ett treff på målet. Mulige alternativer for at denne hendelsen skal skje er som følger:

1. Den første skytteren traff, den andre skytteren bommet: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Den første skytteren bommet, den andre skytteren traff målet: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
3. Den første og andre pilen treffer målet uavhengig av hverandre: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Diskret tilfeldig Variabler er tilfeldige variabler som kun tar verdier som er fjernt fra hverandre og som kan listes opp på forhånd.
Fordelingsloven
Fordelingsloven til en tilfeldig variabel er et forhold som etablerer en sammenheng mellom de mulige verdiene til en tilfeldig variabel og deres tilsvarende sannsynligheter.
Fordelingsserien til en diskret tilfeldig variabel er listen over mulige verdier og de tilsvarende sannsynlighetene.
Fordelingsfunksjonen til en diskret tilfeldig variabel er funksjonen:
,
bestemme for hver verdi av argumentet x sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen X vil ha en verdi mindre enn denne x.

Forventning om en diskret tilfeldig variabel
,
hvor er verdien av en diskret tilfeldig variabel; - sannsynligheten for at en tilfeldig variabel godtar X-verdier.
Hvis en tilfeldig variabel tar et tellbart sett med mulige verdier, så:
.
Matematisk forventning om antall forekomster av en hendelse i n uavhengige forsøk:
,

Spredning og standardavvik for en diskret tilfeldig variabel
Spredning av en diskret tilfeldig variabel:
eller .
Varians av antall forekomster av en hendelse i n uavhengige forsøk
,
hvor p er sannsynligheten for at hendelsen inntreffer.
Standardavvik for en diskret tilfeldig variabel:
.

Eksempel 1
Tegn en lov om sannsynlighetsfordeling for en diskret tilfeldig variabel (DRV) X – antall k forekomster av minst én «seks» i n = 8 kast av et par terninger. Konstruer en distribusjonspolygon. Finn de numeriske egenskapene til fordelingen (fordelingsmodus, matematisk forventning M(X), dispersjon D(X), standardavvik s(X)). Løsning: La oss introdusere notasjonen: hendelse A – "når du kaster et par terninger, vises en sekser minst én gang." For å finne sannsynligheten P(A) = p for hendelse A, er det mer praktisk å først finne sannsynligheten P(Ā) = q for den motsatte hendelsen Ā - "når du kastet et par terninger, dukket det aldri opp en sekser."
Siden sannsynligheten for at en "seks" ikke vises når du kaster en terning er 5/6, er det i henhold til sannsy
P(Ā) = q = = .
Henholdsvis
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Testene i oppgaven følger Bernoulli-ordningen, så d.s.v. omfanget X- Antall k forekomsten av minst en sekser når du kaster to terninger overholder den binomiale loven om sannsynlighetsfordeling:

hvor = er antall kombinasjoner av n Av k.

Beregningene utført for dette problemet kan enkelt presenteres i form av en tabell:
Sannsynlighetsfordeling d.s.v. X º k (n = 8; s = ; q = )

Polygon (polygon) av sannsynlighetsfordeling av en diskret tilfeldig variabel X vist på figuren:

Ris. Sannsynlighetsfordeling polygon d.s.v. X=k.
Den vertikale linjen viser den matematiske forventningen til fordelingen M(X).

La oss finne de numeriske egenskapene til sannsynlighetsfordelingen til d.s.v. X. Distribusjonsmodusen er 2 (her P 8(2) = 0,2932 maksimum). Den matematiske forventningen er per definisjon lik:
M(X) = = 2,4444,
Hvor xk = k– verdi tatt av d.s.v. X. Forskjell D(X) finner vi fordelingen ved å bruke formelen:
D(X) = = 4,8097.
Standardavvik (RMS):
s( X) = = 2,1931.

Eksempel 2
Diskret tilfeldig variabel X gitt av distribusjonsloven

Løsning. Hvis , da (tredje egenskap).
Hvis da. Egentlig, X kan ta verdien 1 med sannsynlighet 0,3.
Hvis da. Faktisk, hvis det tilfredsstiller ulikheten
, er da lik sannsynligheten for en hendelse som kan inntreffe når X vil ta verdien 1 (sannsynligheten for denne hendelsen er 0,3) eller verdien 4 (sannsynligheten for denne hendelsen er 0,1). Siden disse to hendelsene er inkompatible, er sannsynligheten for en hendelse i henhold til addisjonsteoremet lik summen av sannsynlighetene 0,3 + 0,1 = 0,4. Hvis da. Hendelsen er faktisk sikker, derfor er sannsynligheten lik én. Så distribusjonsfunksjonen kan skrives analytisk som følger:

Graf over denne funksjonen:
La oss finne sannsynlighetene som tilsvarer disse verdiene. Etter betingelse er sannsynlighetene for feil på enhetene like: da er sannsynlighetene for at enhetene vil fungere i løpet av garantiperioden like:




Fordelingsloven har formen:

Som kjent, tilfeldig variabel kalles en variabel mengde som kan anta visse verdier avhengig av tilfellet. Tilfeldige variabler er merket med store bokstaver i det latinske alfabetet (X, Y, Z), og verdiene deres er merket med tilsvarende små bokstaver (x, y, z). Tilfeldige variabler er delt inn i diskontinuerlige (diskrete) og kontinuerlige.

Diskret tilfeldig variabel er en tilfeldig variabel som bare tar et begrenset eller uendelig (telbart) sett med verdier med visse sannsynligheter som ikke er null.

Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel er en funksjon som forbinder verdiene til en tilfeldig variabel med deres tilsvarende sannsynligheter. Fordelingsloven kan spesifiseres på en av følgende måter.

1 . Fordelingsloven kan gis av tabellen:

hvor λ>0, k = 0, 1, 2, ….

V) ved bruk av distribusjonsfunksjon F(x) , som bestemmer for hver verdi x sannsynligheten for at den stokastiske variabelen X vil ta en verdi mindre enn x, dvs. F(x) = P(X< x).

Egenskaper til funksjonen F(x)

3 . Fordelingsloven kan spesifiseres grafisk – distribusjonspolygon (polygon) (se oppgave 3).

Merk at for å løse noen problemer er det ikke nødvendig å kjenne til distribusjonsloven. I noen tilfeller er det nok å kjenne til ett eller flere tall som gjenspeiler fordelingslovens viktigste trekk. Dette kan være et tall som har betydningen av "gjennomsnittsverdien" til en tilfeldig variabel, eller et tall som viser gjennomsnittsstørrelsen på avviket til en tilfeldig variabel fra dens middelverdi. Tall av denne typen kalles numeriske egenskaper for en tilfeldig variabel.

Grunnleggende numeriske egenskaper for en diskret tilfeldig variabel :

• Matematisk forventning (gjennomsnittsverdi) av en diskret tilfeldig variabel M(X)=Σ x i pi.
  For binomialfordeling M(X)=np, for Poisson-fordeling M(X)=λ
• Spredning diskret tilfeldig variabel D(X)=M2 eller D(X) = M(X 2)− 2. Forskjellen X–M(X) kalles avviket til en tilfeldig variabel fra dens matematiske forventning.
  For binomialfordeling D(X)=npq, for Poisson-fordeling D(X)=λ
• Standardavvik (standardavvik) σ(X)=√D(X).

Eksempler på å løse problemer om emnet "Loven om distribusjon av en diskret tilfeldig variabel"

Oppgave 1.

1000 lottokuponger ble utstedt: 5 av dem vinner 500 rubler, 10 vinner 100 rubler, 20 vinner 50 rubler, 50 vinner 10 rubler. Bestem loven om sannsynlighetsfordeling av den tilfeldige variabelen X - gevinster per lodd.

Løsning. I henhold til betingelsene for problemet er følgende verdier av den tilfeldige variabelen X mulige: 0, 10, 50, 100 og 500.

Antall lodd uten å vinne er 1000 – (5+10+20+50) = 915, deretter P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

På samme måte finner vi alle andre sannsynligheter: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. La oss presentere den resulterende loven i form av en tabell:

La oss finne den matematiske forventningen til verdien X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Oppgave 3.

Enheten består av tre uavhengig opererende elementer. Sannsynligheten for feil på hvert element i ett eksperiment er 0,1. Tegn en distribusjonslov for antall mislykkede elementer i ett eksperiment, konstruer en distribusjonspolygon. Finn fordelingsfunksjonen F(x) og plott den. Finn den matematiske forventningen, variansen og standardavviket til en diskret tilfeldig variabel.

Løsning. 1. Den diskrete tilfeldige variabelen X = (antall mislykkede elementer i ett eksperiment) har følgende mulige verdier: x 1 = 0 (ingen av enhetselementene mislyktes), x 2 = 1 (ett element mislyktes), x 3 = 2 ( to elementer mislyktes) og x 4 =3 (tre elementer mislyktes).

Feil på elementer er uavhengige av hverandre, sannsynlighetene for feil på hvert element er like, derfor er det aktuelt Bernoullis formel . Tatt i betraktning at, i henhold til betingelsen, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, bestemmer vi sannsynlighetene for verdiene:
P3(0) = C30p0q3-0 = q3 = 0,93 = 0,729;
P3(1) = C31p1q3-1 = 3*0,1*0,92 = 0,243;
P3(2) = C32p2q3-2 = 3*0,12*0,9 = 0,027;
P3(3) = C33p3q3-3 = p3 =0,13 = 0,001;
Sjekk: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dermed har den ønskede binomiale distribusjonsloven til X formen:

Vi plotter de mulige verdiene av x i langs abscisseaksen, og de tilsvarende sannsynlighetene pi langs ordinataksen. La oss konstruere punktene M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Ved å koble disse punktene med rette linjestykker får vi ønsket fordelingspolygon.

3. La oss finne fordelingsfunksjonen F(x) = Р(Х

Graf for funksjon F(x)

4. For binomialfordeling X:
- matematisk forventning M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varians D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardavvik σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Tilfeldig variabel En variabel kalles en variabel som, som et resultat av hver test, får én tidligere ukjent verdi, avhengig av tilfeldige årsaker. Tilfeldige variabler er merket med store latinske bokstaver: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ I henhold til deres type kan tilfeldige variabler være diskret Og kontinuerlige.

Diskret tilfeldig variabel- dette er en tilfeldig variabel hvis verdier ikke kan være mer enn tellbare, det vil si enten endelige eller tellbare. Med tellbarhet mener vi at verdiene til en tilfeldig variabel kan nummereres.

Eksempel 1 . Her er eksempler på diskrete tilfeldige variabler:

a) antall treff på målet med $n$ skudd, her er de mulige verdiene $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) antall emblemer som ble droppet når du kaster en mynt, her er de mulige verdiene $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) antall skip som ankommer om bord (et tellbart sett med verdier).

d) antall samtaler som ankommer PBX (tellbare verdier).

1. Lov om sannsynlighetsfordeling av en diskret tilfeldig variabel.

En diskret tilfeldig variabel $X$ kan ta verdiene $x_1,\dots ,\ x_n$ med sannsynligheter $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Korrespondansen mellom disse verdiene og deres sannsynligheter kalles loven om distribusjon av en diskret tilfeldig variabel. Som regel spesifiseres denne korrespondansen ved hjelp av en tabell, hvor den første linjen indikerer verdiene $x_1,\dots ,\ x_n$, og den andre linjen inneholder sannsynlighetene $p_1,\dots ,\ p_n$ som tilsvarer disse verdiene.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Eksempel 2 . La den tilfeldige variabelen $X$ være antall poeng som kastes når du kaster en terning. En slik tilfeldig variabel $X$ kan ha følgende verdier: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Sannsynlighetene for alle disse verdiene er lik $1/6$. Deretter loven om sannsynlighetsfordeling av den tilfeldige variabelen $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Kommentar. Siden i distribusjonsloven til en diskret tilfeldig variabel $X$ utgjør hendelsene $1,\ 2,\ \prikker ,\ 6$ en komplett gruppe av hendelser, så må summen av sannsynlighetene være lik én, det vil si $ \sum(p_i)=1$.

2. Matematisk forventning til en diskret tilfeldig variabel.

Forventning til en tilfeldig variabel setter sin "sentrale" betydning. For en diskret tilfeldig variabel beregnes den matematiske forventningen som summen av produktene av verdiene $x_1,\dots ,\ x_n$ og sannsynlighetene $p_1,\dots ,\ p_n$ som tilsvarer disse verdiene, dvs. : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. I engelskspråklig litteratur brukes en annen notasjon $E\left(X\right)$.

Egenskaper for matematisk forventning$M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ ligger mellom den minste og største verdien av tilfeldig variabel $X$.
2. Den matematiske forventningen til en konstant er lik konstanten selv, dvs. $M\left(C\right)=C$.
3. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den matematiske forventningen: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Den matematiske forventningen til summen av tilfeldige variabler er lik summen av deres matematiske forventninger: $M\venstre(X+Y\høyre)=M\venstre(X\høyre)+M\venstre(Y\høyre)$.
5. Den matematiske forventningen til produktet av uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Eksempel 3 . La oss finne den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $X$ fra eksempel $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1) )\over (6))=3,5.$$

Vi kan legge merke til at $M\left(X\right)$ ligger mellom de minste ($1$) og største ($6$) verdiene til den tilfeldige variabelen $X$.

Eksempel 4 . Det er kjent at den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $M\left(X\right)=2$. Finn den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $3X+5$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor får vi $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Eksempel 5 . Det er kjent at den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $M\left(X\right)=4$. Finn den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $2X-9$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor får vi $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Spredning av en diskret tilfeldig variabel.

Mulige verdier av tilfeldige variabler med like matematiske forventninger kan spre seg forskjellig rundt deres gjennomsnittsverdier. For eksempel i to elevgrupper ble gjennomsnittsskåren til eksamen i sannsynlighetsteori 4, men i den ene gruppen viste alle seg å være gode elever, og i den andre gruppen var det kun C-elever og fremragende elever. Derfor er det behov for en numerisk karakteristikk av en tilfeldig variabel som vil vise spredningen av verdiene til den tilfeldige variabelen rundt dens matematiske forventning. Denne egenskapen er spredning.

Varians av en diskret tilfeldig variabel$X$ er lik:

$$D\venstre(X\høyre)=\sum^n_(i=1)(p_i(\venstre(x_i-M\venstre(X\høyre)\høyre))^2).\ $$

I engelsk litteratur brukes notasjonen $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Svært ofte beregnes variansen $D\venstre(X\høyre)$ ved å bruke formelen $D\venstre(X\høyre)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\venstre(M\ venstre(X \høyre)\høyre))^2$.

Dispersjonsegenskaper$D\venstre(X\høyre)$:

1. Variansen er alltid større enn eller lik null, dvs. $D\venstre(X\høyre)\ge 0$.
2. Variansen til konstanten er null, dvs. $D\venstre(C\høyre)=0$.
3. Konstantfaktoren kan tas ut av dispersjonens tegn forutsatt at den er kvadratisk, dvs. $D\venstre(CX\høyre)=C^2D\venstre(X\høyre)$.
4. Variansen av summen av uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians, dvs. $D\venstre(X+Y\høyre)=D\venstre(X\høyre)+D\venstre(Y\høyre)$.
5. Variansen av forskjellen mellom uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians, dvs. $D\venstre(X-Y\høyre)=D\venstre(X\høyre)+D\venstre(Y\høyre)$.

Eksempel 6 . La oss beregne variansen til den tilfeldige variabelen $X$ fra eksempel $2$.

$$D\venstre(X\høyre)=\sum^n_(i=1)(p_i(\venstre(x_i-M\venstre(X\høyre)\høyre))^2)=((1)\over (6))\cdot (\venstre(1-3.5\høyre))^2+((1)\over (6))\cdot (\venstre(2-3.5\høyre))^2+ \prikker +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\ca. 2.92.$$

Eksempel 7 . Det er kjent at variansen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $D\left(X\right)=2$. Finn variansen til den tilfeldige variabelen $4X+1$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor finner vi $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ venstre(X\høyre)=16\cdot 2=32$.

Eksempel 8 . Det er kjent at variansen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $D\left(X\right)=3$. Finn variansen til den tilfeldige variabelen $3-2X$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor finner vi $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ venstre(X\høyre)=4\cdot 3=12$.

4. Fordelingsfunksjon av en diskret tilfeldig variabel.

Metoden for å representere en diskret tilfeldig variabel i form av en distribusjonsserie er ikke den eneste, og viktigst av alt, den er ikke universell, siden en kontinuerlig tilfeldig variabel ikke kan spesifiseres ved hjelp av en distribusjonsserie. Det er en annen måte å representere en tilfeldig variabel på - fordelingsfunksjonen.

Distribusjonsfunksjon tilfeldig variabel $X$ kalles en funksjon $F\left(x\right)$, som bestemmer sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen $X$ vil ha en verdi mindre enn en fast verdi $x$, det vil si $F\ venstre(x\høyre)=P\venstre(X< x\right)$

Egenskaper til distribusjonsfunksjonen:

1. $0\le F\venstre(x\høyre)\le 1$.
2. Sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen $X$ tar verdier fra intervallet $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ er lik differansen mellom verdiene til distribusjonsfunksjonen i enden av denne intervall: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - ikke avtagende.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Eksempel 9 . La oss finne fordelingsfunksjonen $F\left(x\right)$ for fordelingsloven til den diskrete tilfeldige variabelen $X$ fra eksempel $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Hvis $x\le 1$, så er selvsagt $F\left(x\right)=0$ (inkludert for $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Hvis $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Hvis $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Hvis $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Hvis $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Hvis $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Hvis $x > 6$, så $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\venstre(X=4\høyre)+P\venstre(X=5\høyre)+P\venstre(X=6\høyre)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Så $F(x)=\venstre\(\begin(matrise)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, kl. 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, kl\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(matrise)\right.$

I anvendelser av sannsynlighetsteori er de kvantitative egenskapene til eksperimentet av primær betydning. En mengde som kan bestemmes kvantitativt og som, som et resultat av et eksperiment, kan få ulike verdier avhengig av tilfellet kalles tilfeldig variabel.

Eksempler på tilfeldige variabler:

1. Antall ganger et partall poeng vises i ti kast av en terning.

2. Antall treff på skiven av en skytter som avfyrer en rekke skudd.

3. Antall fragmenter av et eksploderende skall.

I hvert av eksemplene som er gitt, kan den tilfeldige variabelen bare ta på seg isolerte verdier, det vil si verdier som kan nummereres ved hjelp av en naturlig serie med tall.

En slik tilfeldig variabel, hvis mulige verdier er individuelle isolerte tall, som denne variabelen tar med visse sannsynligheter, kalles diskret.

Antallet mulige verdier for en diskret tilfeldig variabel kan være endelig eller uendelig (tellbar).

Fordelingsloven En diskret tilfeldig variabel er en liste over mulige verdier og deres tilsvarende sannsynligheter. Fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel kan spesifiseres i form av en tabell (sannsynlighetsfordelingsserie), analytisk og grafisk (sannsynlighetsfordelingspolygon).

Når du utfører et eksperiment, blir det nødvendig å evaluere verdien som studeres "i gjennomsnitt". Rollen til gjennomsnittsverdien til en tilfeldig variabel spilles av en numerisk karakteristikk kalt matematisk forventning, som bestemmes av formelen

Hvor x 1 , x 2 ,.. , x n– tilfeldige variable verdier X, A s 1 ,s 2 , ... , s n– sannsynlighetene for disse verdiene (merk at s 1 + s 2 +…+ s n = 1).

Eksempel. Skyting utføres på målet (fig. 11).

Et treff i I gir tre poeng, i II – to poeng, i III – ett poeng. Antall poeng scoret i ett skudd av en skytter har en fordelingslov av formen

For å sammenligne ferdighetene til skyttere, er det nok å sammenligne gjennomsnittsverdiene for poengene som ble scoret, dvs. matematiske forventninger M(X) Og M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Den andre skytteren gir i snitt et litt høyere antall poeng, d.v.s. det vil gi bedre resultater når den skytes gjentatte ganger.

La oss merke oss egenskapene til den matematiske forventningen:

1. Den matematiske forventningen til en konstant verdi er lik konstanten selv:

M(C) = C.

2. Den matematiske forventningen til summen av tilfeldige variabler er lik summen av de matematiske forventningene til leddene:

M=(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Den matematiske forventningen til produktet av gjensidig uavhengige stokastiske variabler er lik produktet av de matematiske forventningene til faktorene

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Den matematiske negasjonen av binomialfordelingen er lik produktet av antall forsøk og sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i ett forsøk (oppgave 4.6).

M(X) = pr.

For å vurdere hvordan en tilfeldig variabel «i gjennomsnitt» avviker fra sin matematiske forventning, dvs. For å karakterisere spredningen av verdier til en tilfeldig variabel i sannsynlighetsteori, brukes begrepet spredning.

Forskjell tilfeldig variabel X kalles den matematiske forventningen til kvadratavviket:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Dispersjon er en numerisk karakteristikk av spredningen av en tilfeldig variabel. Fra definisjonen er det klart at jo mindre spredningen av en tilfeldig variabel er, desto nærmere er dens mulige verdier plassert rundt den matematiske forventningen, det vil si, jo bedre er verdiene til den tilfeldige variabelen preget av dens matematiske forventning. .

Av definisjonen følger det at variansen kan beregnes ved hjelp av formelen

.

Det er praktisk å beregne variansen ved å bruke en annen formel:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dispersjonen har følgende egenskaper:

1. Variansen til konstanten er null:

D(C) = 0.

2. Konstantfaktoren kan tas ut av spredningstegnet ved å kvadrere det:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Variansen av summen av uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av variansen av leddene:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Variansen av binomialfordelingen er lik produktet av antall forsøk og sannsynligheten for at en hendelse skal skje og ikke forekommer i ett forsøk:

D(X) = npq.

I sannsynlighetsteori brukes ofte en numerisk karakteristikk lik kvadratroten av variansen til en tilfeldig variabel. Denne numeriske karakteristikken kalles gjennomsnittlig kvadratavvik og er angitt med symbolet

.

Den karakteriserer den omtrentlige størrelsen på avviket til en tilfeldig variabel fra dens gjennomsnittsverdi og har samme dimensjon som den tilfeldige variabelen.

4.1. Skytteren skyter tre skudd mot skiven. Sannsynligheten for å treffe målet med hvert skudd er 0,3.

Konstruer en distribusjonsserie for antall treff.

Løsning. Antall treff er en diskret tilfeldig variabel X. Hver verdi x n tilfeldig variabel X tilsvarer en viss sannsynlighet P n .

Fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel i dette tilfellet kan spesifiseres nær distribusjon.

I dette problemet X tar verdier 0, 1, 2, 3. I følge Bernoullis formel

,

La oss finne sannsynlighetene for mulige verdier av den tilfeldige variabelen:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Ved å ordne verdiene til den tilfeldige variabelen X i økende rekkefølge får vi distribusjonsserien:

Merk at beløpet

betyr sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen X vil ta minst én verdi blant de mulige, og denne hendelsen er derfor pålitelig

.

4.2 .Det er fire kuler i urnen med tall fra 1 til 4. To kuler tas ut. Tilfeldig verdi X– summen av balltallene. Konstruer en distribusjonsserie av en tilfeldig variabel X.

Løsning. Tilfeldige variabelverdier X er 3, 4, 5, 6, 7. La oss finne de tilsvarende sannsynlighetene. Verdi for tilfeldig variabel 3 X kan aksepteres i det eneste tilfellet når en av de valgte ballene har tallet 1, og den andre 2. Antall mulige testresultater er lik antall kombinasjoner av fire (antall mulige ballpar) av to.

Ved å bruke den klassiske sannsynlighetsformelen får vi

Like måte,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Summen 5 kan vises i to tilfeller: 1 + 4 og 2 + 3, så

.

X har formen:

Finn distribusjonsfunksjonen F(x) tilfeldig variabel X og plotte det. Beregn for X dens matematiske forventning og varians.

Løsning. Fordelingsloven til en tilfeldig variabel kan spesifiseres av fordelingsfunksjonen

F(x) = P(X x).

Distribusjonsfunksjon F(x) er en ikke-avtagende, venstrekontinuerlig funksjon definert på hele tallinjen, mens

F (- )= 0,F (+ )= 1.

For en diskret tilfeldig variabel uttrykkes denne funksjonen med formelen

.

Derfor i dette tilfellet

Distribusjonsfunksjonsgraf F(x) er en trinnvis linje (fig. 12)

Forventet verdiM(X) er det vektede aritmetiske gjennomsnittet av verdiene X 1 , X 2 ,……X n tilfeldig variabel X med vekter ρ 1, ρ 2, …… , ρ n og kalles middelverdien til den tilfeldige variabelen X. I henhold til formelen

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Spredning karakteriserer graden av spredning av verdiene til en tilfeldig variabel fra dens gjennomsnittsverdi og er betegnet D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

For en diskret tilfeldig variabel har variansen formen

eller det kan beregnes ved hjelp av formelen

Ved å erstatte de numeriske dataene for problemet med formelen får vi:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. To terninger kastes to ganger samtidig. Skriv den binomiale fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel X- antall forekomster av et jevnt totalt antall poeng på to terninger.

Løsning. La oss introdusere en tilfeldig hendelse

EN= (to terninger med ett kast resulterte i totalt partall poeng).

Ved å bruke den klassiske definisjonen av sannsynlighet finner vi

R(EN)= ,

Hvor n - Antall mulige testresultater er funnet av regelen

multiplikasjon:

n = 6∙6 =36,

m - antall personer som favoriserer arrangementet EN utfall - like

m= 3∙6=18.

Dermed er sannsynligheten for suksess i ett forsøk

ρ = P(EN)= 1/2.

Problemet løses ved hjelp av et Bernoulli-testskjema. En utfordring her vil være å kaste to terninger én gang. Antall slike tester n = 2. Tilfeldig variabel X tar verdier 0, 1, 2 med sannsynligheter

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Ønsket binomialfordeling av en tilfeldig variabel X kan representeres som en distribusjonsserie:

4.5 . I en batch på seks deler er det fire standarddeler. Tre deler ble valgt tilfeldig. Konstruer en sannsynlighetsfordeling av en diskret tilfeldig variabel X– antall standarddeler blant de utvalgte og finne dens matematiske forventning.

Løsning. Tilfeldige variabelverdier X er tallene 0,1,2,3. Det er klart det R(X=0)=0, siden det bare er to ikke-standarddeler.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Fordelingsloven til en tilfeldig variabel X La oss presentere det i form av en distribusjonsserie:

Forventet verdi

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Bevis at den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel X- antall forekomster av hendelsen EN V n uavhengige forsøk, i hver av disse er sannsynligheten for at en hendelse inntreffer lik ρ – er lik produktet av antall forsøk med sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i ett forsøk, det vil si å bevise at den matematiske forventningen til binomialfordelingen

M(X) =n . ρ ,

og spredning

D(X) =n.p. .

Løsning. Tilfeldig verdi X kan ta verdier 0, 1, 2..., n. Sannsynlighet R(X= k) er funnet ved å bruke Bernoullis formel:

R(X=k)= R n(k)= ρ Til (1-ρ ) n- Til

Distribusjonsrekke av en tilfeldig variabel X har formen:

Hvor q= 1- ρ .

For den matematiske forventningen har vi uttrykket:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

Ved én test, det vil si med n= 1 for tilfeldig variabel X 1 – antall forekomster av hendelsen EN- distribusjonsserien har formen:

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ s = s

D(X 1) = s – s 2 = s(1- s) = pq.

Hvis X k – antall forekomster av hendelsen EN i hvilken test da R(X Til)= ρ Og

X=X 1 +X 2 +….+X n .

Herfra får vi

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Kvalitetskontrollavdelingen sjekker produktene for standard. Sannsynligheten for at produktet er standard er 0,9. Hver batch inneholder 5 produkter. Finn den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel X- antall partier, som hver vil inneholde 4 standardprodukter - dersom 50 partier er gjenstand for inspeksjon.

Løsning. Sannsynligheten for at det vil være 4 standardprodukter i hver tilfeldig valgt batch er konstant; la oss betegne det med ρ .Deretter den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen X er lik M(X)= 50∙ρ.

La oss finne sannsynligheten ρ i henhold til Bernoullis formel:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Tre terninger kastes. Finn den matematiske forventningen til summen av de tapte poengene.

Løsning. Du kan finne fordelingen av en tilfeldig variabel X- summen av de tapte poengene og deretter dens matematiske forventning. Denne veien er imidlertid for tungvint. Det er lettere å bruke en annen teknikk, som representerer en tilfeldig variabel X, hvis matematiske forventninger må beregnes, i form av en sum av flere enklere tilfeldige variabler, hvis matematiske forventning er lettere å beregne. Hvis den tilfeldige variabelen X Jeg er antall poeng falt på Jeg– th bein ( Jeg= 1, 2, 3), deretter summen av poeng X vil komme til uttrykk i skjemaet

X = X 1 + X 2 + X 3 .

For å beregne den matematiske forventningen til den opprinnelige tilfeldige variabelen, gjenstår det bare å bruke egenskapen til matematisk forventning

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Det er åpenbart det

R(X Jeg = K)= 1/6, TIL= 1, 2, 3, 4, 5, 6, Jeg= 1, 2, 3.

Derfor er den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen X Jeg ser ut som

M(X Jeg) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Bestem den matematiske forventningen til antall enheter som mislyktes under testing hvis:

a) sannsynligheten for feil for alle enheter er den samme R, og antall enheter som testes er lik n;

b) sannsynlighet for feil for Jeg – av enheten er lik s Jeg , Jeg= 1, 2, … , n.

Løsning. La den tilfeldige variabelen X er antall defekte enheter, da

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X Jeg =

Det er klart det

R(X Jeg = 1)= R Jeg , R(X Jeg = 0)= 1– R Jeg ,i= 1, 2, … ,n.

M(X Jeg)= 1∙R Jeg + 0∙(1-R Jeg)=P Jeg ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .

I tilfelle "a" er sannsynligheten for enhetsfeil den samme, det vil si

R Jeg =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Dette svaret kan fås umiddelbart hvis vi legger merke til at den tilfeldige variabelen X har en binomialfordeling med parametere ( n, s).

4.10. To terninger kastes samtidig to ganger. Skriv den binomiale fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel X - antall kast med et partall poeng på to terninger.

Løsning. La

EN=(å kaste et partall på den første terningen),

B =(kaster et partall på den andre terningen).

Å få et partall på begge terningene i ett kast uttrykkes av produktet AB. Deretter

R (AB) = R(EN)∙R(I) =
.

Resultatet av det andre kastet med to terninger avhenger ikke av det første, så Bernoullis formel gjelder når

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Tilfeldig verdi X kan ta verdier 0, 1, 2 , sannsynligheten for dette kan bli funnet ved å bruke Bernoullis formel:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Distribusjonsrekke av en tilfeldig variabel X:

4.11. Enheten består av et stort antall uavhengig opererende elementer med samme svært lille sannsynlighet for svikt av hvert element over tid t. Finn gjennomsnittlig antall avslag over tid t elementer, hvis sannsynligheten for at minst ett element vil mislykkes i løpet av denne tiden er 0,98.

Løsning. Antall personer som takket nei over tid t elementer – tilfeldig variabel X, som er fordelt i henhold til Poissons lov, siden antallet elementer er stort, elementene fungerer uavhengig og sannsynligheten for svikt for hvert element er liten. Gjennomsnittlig antall forekomster av en hendelse i n tester lik

M(X) = n.p..

Siden sannsynligheten for feil TIL elementer fra n uttrykt med formelen

R n (TIL)
,

hvor  = n.p., da sannsynligheten for at ikke et enkelt element vil svikte i løpet av tiden t vi kommer til K = 0:

R n (0)= e -  .

Derfor er sannsynligheten for den motsatte hendelsen i tide t minst ett element feiler – lik 1 - e -  . I henhold til betingelsene for problemet er denne sannsynligheten 0,98. Fra Eq.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

herfra  = -ln 0,02  4.

Så i tide t drift av enheten, vil i gjennomsnitt 4 elementer mislykkes.

4.12 . Terningen kastes til en "to" kommer opp. Finn gjennomsnittlig antall kast.

Løsning. La oss introdusere en tilfeldig variabel X– antall tester som må utføres til hendelsen av interesse for oss inntreffer. Sannsynligheten for at X= 1 er lik sannsynligheten for at det under ett terningkast vil dukke opp en "to", dvs.

R(X= 1) = 1/6.

Begivenhet X= 2 betyr at på den første testen falt ikke de "to" ut, men på den andre gjorde det det. Sannsynlighet for hendelse X= 2 er funnet ved regelen om å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Like måte,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

etc. Vi får en serie med sannsynlighetsfordelinger:

Gjennomsnittlig antall kast (forsøk) er den matematiske forventningen

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + TIL (5/6) TIL -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + TIL (5/6) TIL -1 + …)

La oss finne summen av serien:

TILg TIL -1 = (g TIL) g 
.

Derfor,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Dermed må du gjøre et gjennomsnitt på 6 kast med terningene til en "to" kommer opp.

4.13. Uavhengige tester utføres med samme sannsynlighet for at hendelsen inntreffer EN i hver test. Finn sannsynligheten for at en hendelse inntreffer EN, hvis variansen av antall forekomster av en hendelse i tre uavhengige forsøk er 0,63 .

Løsning. Antall forekomster av en hendelse i tre forsøk er en tilfeldig variabel X, fordelt i henhold til binomialloven. Variansen av antall forekomster av en hendelse i uavhengige forsøk (med samme sannsynlighet for forekomst av hendelsen i hvert forsøk) er lik produktet av antall forsøk med sannsynlighetene for at hendelsen inntreffer og ikke-forekomst. (problem 4.6)

D(X) = npq.

Etter tilstand n = 3, D(X) = 0,63, så du kan R finne fra ligning

0,63 = 3∙R(1-R),

som har to løsninger R 1 = 0,7 og R 2 = 0,3.