Sammenligning i matematikk - hvordan bestemme hvilket av tallene som er større eller mindre. Sammenligning av negative tall: regel, eksempler

Mattetime i 6 I klasserommet

Emne: "Sammenligning av positive og negative tall"

Leksjonstype: leksjon setter et læringsproblem

Arbeidsformer: individuell, frontal, dampbad, gruppe.

Læringsmetoder: verbal, visuell, praktisk, problematisk.

Utstyr: datamaskin, multimediaprojektor.

Leksjonens mål:

Kognitiv: formuler en regel for å sammenligne tall med forskjellige tegn, lær hvordan du setter den i praksis.

Metasubjekter, inkludert:

Regulatorisk: sett en læringsoppgave basert på sammenhengen mellom det som allerede er kjent og lært av elevene, og det som fortsatt er ukjent; bestemme rekkefølgen av handlinger for å løse problemet; korriger resultatet under hensyntagen til vurderingen fra studenten, læreren, kameratene; forstå kvaliteten og graden av assimilering av materialet.

Kommunikativ: å lære proaktivt samarbeid i søket etter en løsning på problemet; lære å uttrykke tankene sine med tilstrekkelig fullstendighet og nøyaktighet i samsvar med oppgavene og kommunikasjonsforholdene.

I løpet av timene

Motivasjon.

Vi jobber videre med positive og negative tall. Vi har kjent positive tall i lang tid, først lærte vi å sammenligne dem, deretter utføre forskjellige handlinger: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Tror du det er mulig å utføre de samme operasjonene med negative tall som med positive? (svar). Hva vil du lære i klassen i dag?

Målsetting: Utled en regel for å sammenligne tall med forskjellige tegn, og lær hvordan du bruker den.

Oppdatering av grunnleggende kunnskap.

Oppgaver for muntlig arbeid:

Definer en modul.

Hva er tegnet på tallene på koordinatlinjen til høyre for null? Venstre for null?

Finn modulen til tallet 6,8; -3,5; 18.11; 0,03; -12.3

Redegjørelse av pedagogisk oppgave.

Sammenlign moduler av tall

1. Hvordan sammenligne tall ved å bruke en koordinatlinje?

   Punkt A på koordinatlinjen ligger til venstre for punkt B. Koordinaten til hvilket punkt er størst?

   Hvilket punkt på koordinatlinjen ligger til venstre?

   1. A(0,6) eller B(3,11)

Løsning.

For å fullføre neste oppgave vil vi dele inn i 5 grupper på 6 personer. Hver gruppe må sammenligne tallene og svare på spørsmålene.

1. 2. 2 og -11

   3. -15 og 16

Primær feste.

Nevn fem forskjellige tall

stor 0;

mindre 0;

mindre -5;

stor -3;

stor -11, men mindre -3

Mellom hvilke tilstøtende heltall er tallet 3,8; nummer -8,9

Skriv ned alle heltall som ligger på koordinatlinjen mellom tallene -2,5 og 6; mellom tallene -17,3 og -8,1

Skriv tallene i rekkefølge synkende -6,9; 3,8; 5; -10; 15; 0; -3:

Sette lekser. punkt 29, lær regelen for å sammenligne positive og negative tall, fullfør nr. 995, 996, 997, 999, 1000

Refleksjon av læringsaktiviteter i klasserommet.

1. Hvilke mål satte vi oss på timen i dag, svarte vi på alle spørsmålene?

   Hvordan sammenligner du positive og negative tall?

   Hvordan sammenligne to negative tall?

   Fyll ut vurderingskortene for dagens leksjon.

Sammenlign tall ved å bruke en koordinatlinje:

2. 2 og -11

3. -15 og 16

Gi svar på følgende spørsmål:

Sammenlign to positive tall

Sammenlign positivt tall med null

Sammenlign negativt tall med null

Sammenlign positive og negative tall

Sammenlign to negative tall

Negative tall er tall med et minustegn (-), for eksempel -1, -2, -3. Leser som: minus én, minus to, minus tre.

Eksempel på applikasjon negative tall er et termometer som viser temperaturen på kroppen, luften, jorda eller vannet. Om vinteren, når det er veldig kaldt ute, er temperaturen negativ (eller, som folk sier, "minus").

For eksempel -10 grader kaldt:

De vanlige tallene som vi vurderte tidligere, for eksempel 1, 2, 3, kalles positive. Positive tall er tall med plusstegn (+).

Når du skriver positive tall, skrives ikke +-tegnet ned, derfor ser vi tallene 1, 2, 3 som er kjent for oss. Men man bør huske på at disse positive tallene ser slik ut: +1, + 2, +3.

Dette er en rett linje der alle tall er plassert: både negative og positive. Følgende:

Her vises tall fra -5 til 5. Faktisk er koordinatlinjen uendelig. Figuren viser bare et lite fragment av den.

Tallene på koordinatlinjen er markert som prikker. I figuren er den dristige sorte prikken utgangspunktet. Nedtellingen starter fra null. Til venstre for referansepunktet er negative tall markert, og til høyre positive.

Koordinatlinjen fortsetter i det uendelige på begge sider. Uendelig i matematikk er merket med symbolet ∞. Den negative retningen vil bli merket med symbolet −∞, og den positive med symbolet +∞. Da kan vi si at alle tall fra minus uendelig til pluss uendelig er plassert på koordinatlinjen:

Hvert punkt på koordinatlinjen har sitt eget navn og koordinat. Navn er enhver latinsk bokstav. Koordinere er et tall som indikerer posisjonen til et punkt på denne linjen. Enkelt sagt er koordinaten det samme tallet som vi ønsker å markere på koordinatlinjen.

For eksempel lyder punkt A(2) som "punkt A med koordinat 2" og vil bli angitt på koordinatlinjen som følger:

Her EN er navnet på punktet, 2 er koordinaten til punktet EN.

Eksempel 2 Punkt B(4) lyder som "punkt B ved koordinat 4"

Her B er navnet på punktet, 4 er koordinaten til punktet b.

Eksempel 3 Punktet M(−3) leses som "punkt M med koordinat minus tre" og vil bli angitt på koordinatlinjen som følger:

Her M er navnet på punktet, −3 er koordinaten til punktet M .

Poeng kan angis med alle bokstaver. Men det er generelt akseptert å betegne dem med store latinske bokstaver. Dessuten begynnelsen på rapporten, som ellers heter opprinnelse vanligvis betegnet med stor bokstav O

Det er lett å se at negative tall ligger til venstre for origo, og positive tall til høyre.

Det er setninger som "jo mer til venstre, jo mindre" og "jo mer til høyre, jo mer". Du har sikkert allerede gjettet hva vi snakker om. For hvert trinn til venstre vil tallet synke nedover. Og for hvert trinn til høyre vil antallet øke. Pilen som peker mot høyre indikerer den positive retningen for telling.

Sammenligning av negative og positive tall

Regel 1 Ethvert negativt tall er mindre enn ethvert positivt tall.

La oss for eksempel sammenligne to tall: −5 og 3. Minus fem mindre enn tre, til tross for at de fem fanger oppmerksomheten i utgangspunktet, som et tall større enn tre.

Dette er fordi −5 er negativt og 3 er positivt. På koordinatlinjen kan du se hvor tallene −5 og 3 er plassert

Det kan sees at −5 ligger til venstre, og 3 til høyre. Og det sa vi "jo mer til venstre, jo mindre" . Og regelen sier at ethvert negativt tall er mindre enn ethvert positivt tall. Derfor følger det

−5 < 3

"Minus fem er mindre enn tre"

Regel 2 Av de to negative tallene er det minste det som er plassert til venstre på koordinatlinjen.

La oss for eksempel sammenligne tallene -4 og -1. minus fire mindre enn minus én.

Dette skyldes igjen at på koordinatlinjen ligger −4 mer til venstre enn −1

Det kan sees at -4 ligger til venstre, og -1 til høyre. Og det sa vi "jo mer til venstre, jo mindre" . Og regelen sier at av to negative tall er den som er plassert til venstre på koordinatlinjen mindre. Derfor følger det

Minus fire er mindre enn minus én

Regel 3 Null er større enn ethvert negativt tall.

La oss for eksempel sammenligne 0 og −3. Null mer enn minus tre. Dette skyldes at på koordinatlinjen ligger 0 til høyre enn −3

Det kan sees at 0 ligger til høyre, og −3 til venstre. Og det sa vi "jo mer til høyre, jo mer" . Og regelen sier at null er større enn et hvilket som helst negativt tall. Derfor følger det

Null er større enn minus tre

Regel 4 Null er mindre enn et positivt tall.

Sammenlign for eksempel 0 og 4. Null mindre enn 4. I prinsippet er dette klart og sant. Men vi skal prøve å se det med egne øyne, igjen på koordinatlinjen:

Det kan sees at på koordinatlinjen ligger 0 til venstre, og 4 til høyre. Og det sa vi "jo mer til venstre, jo mindre" . Og regelen sier at null er mindre enn et hvilket som helst positivt tall. Derfor følger det

Null er mindre enn fire

Likte du leksjonen?
Bli med i vår nye Vkontakte-gruppe og begynn å motta varsler om nye leksjoner

§ 1 Sammenligning av positive tall

I denne leksjonen skal vi huske hvordan vi sammenligner positive tall og ser på å sammenligne negative tall.

La oss starte med oppgaven. På dagtid var lufttemperaturen +7 grader, om kvelden falt den til +2 grader, om natten ble den -2 grader, og om morgenen falt den til -7 grader. Hvordan endret lufttemperaturen seg?

Problemet handler om å senke, d.v.s. om nedgangen i temperatur. Dette betyr at i hvert tilfelle er den endelige temperaturverdien mindre enn den opprinnelige, derfor 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

La oss betegne tallene 7, 2, -2, -7 på koordinatlinjen. Husk at på koordinatlinjen er et større positivt tall plassert til høyre.

La oss se på negative tall, tallet -2 er til høyre enn -7, dvs. for negative tall på koordinatlinjen bevares den samme rekkefølgen: når punktet beveger seg til høyre, øker koordinaten, og når punktet flyttes til venstre, reduseres koordinaten.

Vi kan konkludere: Ethvert positivt tall er større enn null og større enn ethvert negativt tall. 1 > 0; 12 > -2,5. Ethvert negativt tall er mindre enn null og mindre enn ethvert positivt tall. -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

Det er praktisk å sammenligne rasjonelle tall (det vil si alle heltall og brøktall) ved hjelp av modulen.

Positive tall er plassert på koordinatlinjen i stigende rekkefølge fra origo, som betyr at jo lenger tallet er fra origo, jo større lengde på segmentet fra null til tallet, dvs. sin modul. Derfor, av to positive tall, er den som har større modul større.

§ 2 Sammenligning av negative tall

Når du sammenligner to negative tall, vil det største være plassert til høyre, det vil si nærmere origo. Dette betyr at modulen (lengden på segmentet fra null til et tall) vil være mindre. Av to negative tall er altså det med den minste modulen større.

For eksempel. La oss sammenligne tallene -1 og -5. Punktet som tilsvarer tallet -1 ligger nærmere origo enn punktet som tilsvarer tallet -5. Så lengden på segmentet fra 0 til -1 eller modulen til tallet -1 er mindre enn lengden på segmentet fra 0 til -5 eller modulen til tallet -5, noe som betyr at tallet -1 er større enn tallet -5.

Vi trekker konklusjoner:

Når du sammenligner rasjonelle tall, vær oppmerksom på:

Tegn: Et negativt tall er alltid mindre enn et positivt tall og null;

På plasseringen på koordinatlinjen: jo mer til høyre, jo mer;

På moduler: for positive tall er modulen større og tallet er større, for negative tall er modulen større, og tallet er mindre.

Liste over brukt litteratur:

1. Matematikk.6. klasse: timeplaner for læreboken av I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // forfatter-kompilator L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
2. Matte. Klasse 6: en lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013
3. Matte. Klasse 6: en lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner. /N.Ja. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemosyne, 2013
4. Matematikkhåndbok - http://lyudmilanik.com.ua
5. Håndbok for elever i ungdomsskolen http://shkolo.ru

Første nivå

Sammenligning av tall. Omfattende veiledning (2019)

Ved løsning av likninger og ulikheter, samt problemer med moduler, er det nødvendig å lokalisere de funne røttene på den virkelige linjen. Som du vet, kan de funnet røttene være forskjellige. De kan være slik:, eller de kan være slik:,.

Følgelig, hvis tallene ikke er rasjonelle, men irrasjonelle (hvis du har glemt hva det er, se i emnet), eller er komplekse matematiske uttrykk, er det veldig problematisk å plassere dem på talllinjen. Dessuten kan ikke kalkulatorer brukes i eksamen, og en omtrentlig utregning gir ikke 100 % garanti for at ett tall er mindre enn et annet (hva om det er forskjell mellom de sammenlignede tallene?).

Selvfølgelig vet du at positive tall alltid er større enn negative, og at hvis vi representerer en tallakse, vil de største tallene være til høyre enn de minste: ; ; etc.

Men er det alltid så lett? Hvor på tallinjen markerer vi .

Hvordan sammenligne dem, for eksempel med et tall? Det er der rubbet er...)

Til å begynne med, la oss snakke i generelle termer om hvordan og hva vi skal sammenligne.

Viktig: det er ønskelig å gjøre transformasjoner på en slik måte at ulikhetstegnet ikke endres! Det vil si at i løpet av transformasjoner er det uønsket å multiplisere med et negativt tall, og det er forbudt kvadrat hvis en av delene er negativ.

Brøksammenlikning

Så vi må sammenligne to brøker: og.

Det er flere alternativer for hvordan du gjør dette.

Alternativ 1. Ta med brøker til en fellesnevner.

La oss skrive det som en vanlig brøk:

- (som du kan se, har jeg også redusert med teller og nevner).

Nå må vi sammenligne brøker:

Nå kan vi fortsette å sammenligne også på to måter. Vi kan:

1. bare reduser alt til en fellesnevner, og presenter begge brøkene som uekte (telleren er større enn nevneren):

   Hvilket tall er høyest? Det er riktig, den hvis teller er større, det vil si den første.

2. "kasser" (anta at vi har trukket en fra hver brøk, og forholdet mellom brøker og hverandre har ikke endret seg), og vi vil sammenligne brøkene:

   Vi bringer dem også til en fellesnevner:

   Vi fikk nøyaktig samme resultat som i forrige tilfelle - det første tallet er større enn det andre:

   La oss også sjekke om vi har trukket fra en riktig? La oss beregne forskjellen i telleren i den første beregningen og den andre:
   1)
   2)

Så vi så på hvordan man sammenligner brøker, og bringer dem til en fellesnevner. La oss gå videre til en annen metode - å sammenligne brøker ved å bringe dem til en felles ... teller.

Alternativ 2. Sammenligne brøker ved å redusere til en felles teller.

Ja Ja. Dette er ikke en skrivefeil. På skolen læres denne metoden sjelden til noen, men veldig ofte er den veldig praktisk. For at du raskt skal forstå essensen, vil jeg stille deg bare ett spørsmål - "i hvilke tilfeller er verdien av brøkdelen størst?" Selvfølgelig vil du si "når telleren er så stor som mulig, og nevneren er så liten som mulig."

For eksempel vil du definitivt si at Sant? Og hvis vi trenger å sammenligne slike brøker: Jeg tror du også vil sette skiltet riktig med en gang, fordi i det første tilfellet er de delt inn i deler, og i det andre i hele, noe som betyr at i det andre tilfellet viser bitene seg å være veldig små, og følgelig: . Som du kan se, er nevnerne forskjellige her, men tellerne er de samme. Men for å sammenligne disse to brøkene trenger du ikke finne en fellesnevner. Skjønt ... finne det og se om sammenligningstegnet fortsatt er feil?

Men skiltet er det samme.

La oss gå tilbake til vår opprinnelige oppgave - å sammenligne og. Vi vil sammenligne og Vi bringer disse brøkene ikke til en fellesnevner, men til en felles teller. For dette er det enkelt teller og nevner gang den første brøken med. Vi får:

og. Hvilken brøkdel er størst? Det stemmer, den første.

Alternativ 3. Sammenligne brøker ved hjelp av subtraksjon.

Hvordan sammenligne brøker ved hjelp av subtraksjon? Ja, veldig enkelt. Vi trekker en annen fra en brøkdel. Hvis resultatet er positivt, er den første brøken (redusert) større enn den andre (trukket fra), og hvis den er negativ, så omvendt.

I vårt tilfelle, la oss prøve å trekke den første brøken fra den andre: .

Som du allerede har forstått, oversetter vi også til en vanlig brøk og får samme resultat -. Vårt uttrykk blir:

Videre må vi fortsatt ty til reduksjon til en fellesnevner. Spørsmålet er hvordan: på den første måten, konvertere brøker til upassende, eller på den andre, som om du "fjerner" enheten? Denne handlingen har forresten en fullstendig matematisk begrunnelse. Se:

Jeg liker det andre alternativet bedre, siden det blir mange ganger enklere å multiplisere i telleren når du reduserer til en fellesnevner.

Vi bringer til en fellesnevner:

Det viktigste her er å ikke bli forvirret om hvilket tall og hvor vi trakk fra. Se nøye på forløpet av løsningen og ikke forveksle skiltene ved et uhell. Vi trakk det første fra det andre tallet og fikk et negativt svar, så? .. Det stemmer, det første tallet er større enn det andre.

Har det? Prøv å sammenligne brøker:

Stopp, stopp. Ikke skynd deg å bringe til en fellesnevner eller trekke fra. Se: det kan enkelt konverteres til en desimalbrøk. Hvor mye blir det? Riktig. Hva ender opp med å bli mer?

Dette er et annet alternativ - å sammenligne brøker ved å redusere til en desimal.

Alternativ 4. Sammenligne brøker ved hjelp av divisjon.

Ja Ja. Og slik er det også mulig. Logikken er enkel: når vi deler et større tall med et mindre, får vi et tall som er større enn én i svaret, og hvis vi deler et mindre tall på et større, så faller svaret på intervallet fra til.

For å huske denne regelen, ta for sammenligning to primtall, for eksempel og. Vet du hva som er mer? La oss nå dele med. Vårt svar er. Følgelig er teorien riktig. Hvis vi deler på, er det vi får mindre enn én, som igjen bekrefter hva som faktisk er mindre.

La oss prøve å bruke denne regelen på vanlige brøker. Sammenligne:

Del den første brøken med den andre:

La oss forkorte etter hvert.

Resultatet er mindre, så utbyttet er mindre enn divisoren, det vil si:

Vi har analysert alle mulige alternativer for å sammenligne brøker. Som du kan se er det 5 av dem:

• reduksjon til en fellesnevner;
• reduksjon til en felles teller;
• reduksjon til form av en desimalbrøk;
• subtraksjon;
• inndeling.

Klar til å trene? Sammenlign brøker på den beste måten:

La oss sammenligne svarene:

1. (- konverter til desimal)
2. (del en brøk med en annen og reduser med teller og nevner)
3. (velg hele delen og sammenlign brøker etter prinsippet om samme teller)
4. (del en brøk med en annen og reduser med teller og nevner).

2. Sammenligning av grader

Tenk deg nå at vi trenger å sammenligne ikke bare tall, men uttrykk der det er en grad ().

Selvfølgelig kan du enkelt sette et skilt:

Tross alt, hvis vi erstatter graden med multiplikasjon, får vi:

Fra dette lille og primitive eksemplet følger regelen:

Prøv nå å sammenligne følgende: . Du vil også enkelt sette et skilt:

For hvis vi erstatter eksponentiering med multiplikasjon...

Generelt forstår du alt, og det er ikke vanskelig i det hele tatt.

Vanskeligheter oppstår bare når, sammenlignet, gradene har forskjellige grunnlag og indikatorer. I dette tilfellet er det nødvendig å prøve å bringe til et felles grunnlag. For eksempel:

Selvfølgelig vet du at dette, følgelig, uttrykket har formen:

La oss åpne parentesene og sammenligne hva som skjer:

Et noe spesielt tilfelle er når basisen til graden () er mindre enn én.

Hvis, da av to grader eller mer, den hvis indikator er mindre.

La oss prøve å bevise denne regelen. La.

Vi introduserer et naturlig tall som forskjellen mellom og.

Logisk, ikke sant?

La oss nå ta hensyn til tilstanden - .

Henholdsvis:. Følgelig.

For eksempel:

Som du forstår, vurderte vi tilfellet når grunnlaget til potensene er like. La oss nå se når basen er i området fra til, men eksponentene er like. Alt er veldig enkelt her.

La oss huske hvordan du sammenligner dette med et eksempel:

Selvfølgelig regnet du raskt ut:

Derfor, når du kommer over lignende problemer for sammenligning, husk et enkelt lignende eksempel som du raskt kan beregne, og basert på dette eksemplet, sett inn tegn i et mer komplekst.

Når du utfører transformasjoner, husk at hvis du multipliserer, adderer, subtraherer eller deler, så må alle handlinger gjøres på både venstre og høyre side (hvis du multipliserer med, må du gange begge).

I tillegg er det tider når det er ulønnsomt å gjøre noen manipulasjoner. For eksempel må du sammenligne. I dette tilfellet er det ikke så vanskelig å heve til en makt, og ordne skiltet basert på dette:

La oss øve. Sammenlign grader:

Klar til å sammenligne svar? Det var det jeg gjorde:

1. - det samme som
2. - det samme som
3. - det samme som
4. - det samme som

3. Sammenligning av tall med en rot

La oss starte med hva er røtter? Husker du denne oppføringen?

Roten til et reelt tall er et tall som det gjelder likhet.

Røtter oddetall eksisterer for negative og positive tall, og selv røtter– Bare for positivt.

Verdien av roten er ofte en uendelig desimal, noe som gjør det vanskelig å beregne den nøyaktig, så det er viktig å kunne sammenligne røtter.

Hvis du har glemt hva det er og hva det spises med -. Hvis du husker alt, la oss lære å sammenligne røttene trinn for trinn.

La oss si at vi må sammenligne:

For å sammenligne disse to røttene trenger du ikke å gjøre noen beregninger, bare analyser selve konseptet "root". Har du det jeg snakker om? Ja, om dette: ellers kan det skrives som tredje potens av et tall, lik rotuttrykket.

Hva mer? eller? Dette kan du selvfølgelig sammenligne uten problemer. Jo større tall vi hever til en potens, desto større blir verdien.

Så. La oss få regelen.

Hvis eksponentene til røttene er de samme (i vårt tilfelle er dette), er det nødvendig å sammenligne rotuttrykkene (og) - jo større rotnummer, jo større er verdien av roten med like indikatorer.

Vanskelig å huske? Da er det bare å ha et eksempel i bakhodet og. Det mer?

Eksponentene til røttene er de samme, siden roten er kvadratisk. Rotuttrykket til ett tall () er større enn et annet (), noe som betyr at regelen virkelig er sann.

Men hva om de radikale uttrykkene er de samme, men gradene av røttene er forskjellige? For eksempel: .

Det er også helt klart at når man trekker ut en rot i større grad, vil man få et mindre antall. La oss ta for eksempel:

Angi verdien av den første roten som, og den andre - som, deretter:

Du kan lett se at det burde være mer i disse ligningene, derfor:

Hvis rotuttrykkene er de samme(i vårt tilfelle), og røttenes eksponenter er forskjellige(i vårt tilfelle er dette og), da er det nødvendig å sammenligne eksponentene(og) - jo større eksponent, jo mindre er gitt uttrykk.

Prøv å sammenligne følgende røtter:

La oss sammenligne resultatene?

Vi har klart å takle dette :). Et annet spørsmål dukker opp: hva om vi alle er forskjellige? Både graden og det radikale uttrykket? Ikke alt er så vanskelig, vi trenger bare å ... "bli kvitt" roten. Ja Ja. Bli kvitt den.)

Hvis vi har forskjellige grader og radikale uttrykk, må vi finne det minste felles multiplum (les avsnittet om) for roteksponentene og heve begge uttrykkene til en potens lik minste felles multiplum.

At vi alle er i ord og i ord. Her er et eksempel:

1. Vi ser på indikatorene for røttene - og. Deres minste felles multiplum er .
2. La oss heve begge uttrykkene til en makt:
3. La oss transformere uttrykket og utvide parentesene (mer detaljer i kapittelet):
4. La oss vurdere hva vi har gjort, og sette et tegn:

4. Sammenligning av logaritmer

Så sakte men sikkert nærmet vi oss spørsmålet om hvordan man sammenligner logaritmer. Hvis du ikke husker hva slags dyr dette er, anbefaler jeg deg å lese teorien fra avsnittet først. Lese? Svar så på noen viktige spørsmål:

1. Hva er argumentet til logaritmen og hva er dens base?
2. Hva avgjør om en funksjon øker eller minker?

Hvis du husker alt og lærte det godt - la oss komme i gang!

For å sammenligne logaritmer med hverandre, trenger du bare å kunne tre triks:

• reduksjon til samme base;
• støping til samme argument;
• sammenligning med det tredje tallet.

Vær først oppmerksom på basen av logaritmen. Du husker at hvis den er mindre, så reduseres funksjonen, og hvis den er større, så øker den. Det er dette våre dommer vil være basert på.

Vurder å sammenligne logaritmer som allerede er redusert til samme base eller argument.

Til å begynne med, la oss forenkle problemet: la inn de sammenlignede logaritmene like grunnlag. Deretter:

1. Funksjonen, når den øker på intervallet fra, betyr per definisjon da ("direkte sammenligning").
2. Eksempel:- basene er de samme, henholdsvis, vi sammenligner argumentene: , derfor:
3. Funksjonen, at, avtar på intervallet fra, som betyr, per definisjon, deretter ("omvendt sammenligning"). - basene er de samme, henholdsvis, vi sammenligner argumentene: , imidlertid vil fortegnet til logaritmene være "omvendt", siden funksjonen reduseres: .

Vurder nå tilfellene der grunnlagene er forskjellige, men argumentene er de samme.

1. Basen er større.
   • . I dette tilfellet bruker vi "omvendt sammenligning". For eksempel: - argumentene er de samme, og. Vi sammenligner basene: imidlertid vil tegnet til logaritmene være "omvendt":
2. Base a er i mellom.
   • . I dette tilfellet bruker vi "direkte sammenligning". For eksempel:
   • . I dette tilfellet bruker vi "omvendt sammenligning". For eksempel:

La oss skrive alt i en generell tabellform:

Følgelig, som du allerede har forstått, når vi sammenligner logaritmer, må vi bringe til samme base, eller argument, Vi kommer til samme base ved å bruke formelen for å flytte fra en base til en annen.

Du kan også sammenligne logaritmer med et tredje tall og, basert på dette, utlede hva som er mindre og hva som er mer. Tenk for eksempel på hvordan du sammenligner disse to logaritmene?

Et lite hint - til sammenligning vil logaritmen hjelpe deg mye, hvis argument vil være likt.

Tanken? La oss bestemme sammen.

Vi kan enkelt sammenligne disse to logaritmene med deg:

Vet ikke hvordan? Se ovenfor. Vi tok den fra hverandre. Hvilket skilt vil være der? Riktig:

Jeg er enig?

La oss sammenligne med hverandre:

Du bør få følgende:

Kombiner nå alle konklusjonene våre til én. Skjedd?

5. Sammenligning av trigonometriske uttrykk.

Hva er sinus, cosinus, tangens, cotangens? Hva er enhetssirkelen for og hvordan finner man verdien av trigonometriske funksjoner på den? Hvis du ikke vet svarene på disse spørsmålene, anbefaler jeg på det sterkeste at du leser teorien om dette emnet. Og hvis du vet, så er det ikke vanskelig for deg å sammenligne trigonometriske uttrykk med hverandre!

La oss friske opp hukommelsen litt. La oss tegne en trigonometrisk enhetssirkel og en trekant innskrevet i den. Klarte du deg? Marker nå på hvilken side vi har cosinus, og på hvilken sinus, ved hjelp av sidene i trekanten. (Selvfølgelig husker du at sinus er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen, og cosinus til den tilstøtende?). Har du tegnet? Utmerket! Siste touch - legg ned hvor vi skal ha det, hvor og så videre. Legg ned? Puh) Sammenlign hva som skjedde med meg og deg.

Puh! Og la oss nå starte sammenligningen!

Anta at vi må sammenligne og . Tegn disse vinklene ved å bruke hintene i boksene (der vi har markert hvor), og legg ut punktene på enhetssirkelen. Klarte du deg? Det var det jeg gjorde.

La oss nå senke perpendikulæren fra punktene vi markerte på sirkelen til aksen ... Hvilken? Hvilken akse viser verdien av sinusene? Riktig,. Her er hva du bør få:

Ser du på denne figuren, hvilken er større: eller? Selvfølgelig fordi poenget er over poenget.

På samme måte sammenligner vi verdien av cosinus. Vi senker bare perpendikulæren ned på aksen ... Høyre, . Følgelig ser vi på hvilket punkt som er til høyre (vel, eller høyere, som i tilfellet med sines), da er verdien større.

Du vet sikkert allerede hvordan du sammenligner tangenter, ikke sant? Alt du trenger å vite er hva som er tangent. Så hva er tangent?) Det stemmer, forholdet mellom sinus og cosinus.

For å sammenligne tangentene tegner vi også en vinkel, som i forrige tilfelle. La oss si at vi må sammenligne:

Har du tegnet? Nå markerer vi også verdiene til sinusen på koordinataksen. Notert? Og angi nå verdiene til cosinus på koordinatlinjen. Skjedd? La oss sammenligne:

Analyser nå det du har skrevet. – vi deler et stort segment i et lite. Svaret vil være en verdi som er nøyaktig større enn én. Ikke sant?

Og når vi deler den lille med den store. Svaret vil være et tall som er nøyaktig mindre enn ett.

Så verdien av hvilket trigonometrisk uttrykk er størst?

Riktig:

Som du nå forstår, er sammenligningen av cotangenter den samme, bare omvendt: vi ser på hvordan segmentene som definerer cosinus og sinus forholder seg til hverandre.

Prøv å sammenligne følgende trigonometriske uttrykk selv:

Eksempler.

Svar.

SAMMENLIGNING AV TALL. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ.

Hvilket av tallene er størst: eller? Svaret er åpenbart. Og nå: eller? Ikke så åpenbart lenger, ikke sant? Og så: eller?

Ofte trenger du å vite hvilket av de numeriske uttrykkene som er størst. For eksempel å sette punkter på aksen i riktig rekkefølge når man løser en ulikhet.

Nå skal jeg lære deg å sammenligne slike tall.

Hvis du trenger å sammenligne tall og sett et tegn mellom dem (avledet fra det latinske ordet Versus eller forkortet vs. - mot):. Dette tegnet erstatter det ukjente ulikhetstegnet (). Videre vil vi utføre identiske transformasjoner til det blir klart hvilket tegn som skal settes mellom tallene.

Essensen av å sammenligne tall er som følger: vi behandler tegnet som om det var et slags ulikhetstegn. Og med uttrykket kan vi gjøre alt vi vanligvis gjør med ulikheter:

• legg til et hvilket som helst tall til begge deler (og subtrahere, selvfølgelig, vi kan også)
• "flytt alt i én retning", det vil si å trekke fra et av de sammenlignede uttrykkene fra begge deler. I stedet for det subtraherte uttrykket vil forbli: .
• multiplisere eller dele med samme tall. Hvis dette tallet er negativt, reverseres ulikhetstegnet: .
• Hev begge sider til samme kraft. Hvis denne kraften er jevn, må du sørge for at begge deler har samme fortegn; hvis begge deler er positive, endres ikke tegnet når det heves til en potens, og hvis de er negative, endres det til det motsatte.
• ta roten av samme grad fra begge deler. Hvis vi trekker ut roten til en jevn grad, må du først sørge for at begge uttrykkene er ikke-negative.
• andre tilsvarende transformasjoner.

Viktig: det er ønskelig å gjøre transformasjoner på en slik måte at ulikhetstegnet ikke endres! Det vil si at i løpet av transformasjoner er det uønsket å multiplisere med et negativt tall, og det er umulig å kvadrere hvis en av delene er negativ.

La oss se på noen typiske situasjoner.

1. Eksponentiering.

Eksempel.

Hva er mer: eller?

Løsning.

Siden begge sider av ulikheten er positive, kan vi kvadrat for å bli kvitt roten:

Eksempel.

Hva er mer: eller?

Løsning.

Også her kan vi kvadrat, men dette vil bare hjelpe oss med å bli kvitt kvadratroten. Her er det nødvendig å heve i en slik grad at begge røttene forsvinner. Dette betyr at eksponenten til denne graden må være delelig med både (graden til den første roten) og med. Dette tallet er, så vi hever det til potens:

2. Multiplikasjon med konjugatet.

Eksempel.

Hva er mer: eller?

Løsning.

Multipliser og del hver forskjell med den konjugerte summen:

Det er klart at nevneren på høyre side er større enn nevneren til venstre. Derfor er høyre brøk mindre enn venstre:

3. Subtraksjon

La oss huske det.

Eksempel.

Hva er mer: eller?

Løsning.

Selvfølgelig kunne vi kvadre alt, omgruppere og kvadre igjen. Men du kan gjøre noe smartere:

Det kan sees at hvert ledd på venstre side er mindre enn hvert ledd på høyre side.

Følgelig er summen av alle ledd på venstre side mindre enn summen av alle ledd på høyre side.

Men vær forsiktig! Vi ble spurt mer...

Høyre side er større.

Eksempel.

Sammenlign tall og.

Løsning.

Husk trigonometriformlene:

La oss sjekke i hvilke kvartaler punktene og ligge på den trigonometriske sirkelen.

4. Divisjon.

Her bruker vi også en enkel regel: .

Med eller, altså.

Når skiltet endres: .

Eksempel.

Foreta en sammenligning: .

Løsning.

5. Sammenlign tallene med det tredje tallet

Hvis og, da (lov om transitivitet).

Eksempel.

Sammenligne.

Løsning.

La oss sammenligne tallene ikke med hverandre, men med tallet.

Det er åpenbart det.

På den andre siden, .

Eksempel.

Hva er mer: eller?

Løsning.

Begge tallene er større, men mindre. Velg et tall slik at det er større enn det ene, men mindre enn det andre. For eksempel, . La oss sjekke:

6. Hva skal man gjøre med logaritmer?

Ikke noe spesielt. Hvordan bli kvitt logaritmer er beskrevet i detalj i emnet. De grunnleggende reglene er:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \venstrehøyrepil (\rm( ))\venstre[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \kile (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \kile y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Vi kan også legge til en regel om logaritmer med forskjellige baser og samme argument:

Det kan forklares som følger: jo større basen er, jo mindre må den heves for å få den samme. Hvis basen er mindre, er det motsatte sant, siden den tilsvarende funksjonen er monotont avtagende.

Eksempel.

Sammenlign tall: i.

Løsning.

I henhold til reglene ovenfor:

Og nå den avanserte formelen.

Regelen for å sammenligne logaritmer kan også skrives kortere:

Eksempel.

Hva er mer: eller?

Løsning.

Eksempel.

Sammenlign hvilket av tallene som er størst: .

Løsning.

SAMMENLIGNING AV TALL. KORT OM HOVEDET

1. Eksponentiering

Hvis begge sider av ulikheten er positive, kan de kvadreres for å bli kvitt roten

2. Multiplikasjon med konjugatet

Et konjugat er en multiplikator som utfyller uttrykket til formelen for forskjellen av kvadrater: - konjuger for og omvendt, fordi .

3. Subtraksjon

4. Divisjon

På eller altså

Når skiltet endres:

5. Sammenligning med det tredje tallet

Hvis og da

6. Sammenligning av logaritmer

Grunnleggende regler.

Definisjon 1. Hvis to tall 1) en og b når man deler på s gi den samme resten r, da kalles slike tall ekvidistant eller sammenlignbar i modul s.

Uttalelse 1. La s et positivt tall. Deretter et hvilket som helst tall en alltid og dessuten på en unik måte kan representeres i skjemaet

Men disse tallene kan fås ved å spørre r lik 0, 1, 2,..., s-1. Følgelig sp+r=a tar alle mulige heltallsverdier.

La oss vise at denne representasjonen er unik. La oss late som det s kan representeres på to måter a=sp+r og a=s 1 s+r en . Deretter

(2)

Fordi r 1 tar et av tallene 0,1, ..., s−1, deretter den absolutte verdien r 1 −r mindre s. Men av (2) følger det at r 1 −r flere s. Følgelig r 1 =r og s 1 =s.

Antall r kalt minus tall en modulo s(med andre ord, tallet r kalt resten av delingen av et tall en på s).

Uttalelse 2. Hvis to tall en og b sammenlignbare modulo s, deretter a−b delt på s.

Egentlig. Hvis to tall en og b sammenlignbare modulo s, så når delt på s ha den samme resten s. Deretter

delt på s, fordi høyre side av ligning (3) er delt med s.

Uttalelse 3. Hvis forskjellen på to tall er delelig med s, da er disse tallene sammenlignbare modulo s.

Bevis. Angi med r og r 1 gjenværende fra divisjon en og b på s. Deretter

Eksempler 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Det følger av det første eksemplet at 25 når deles på 7 gir den samme resten som 39. Faktisk, 25=3 7+4 (resten 4). 39=3 7+4 (resten 4). Når du vurderer det andre eksemplet, husk at resten må være et ikke-negativt tall mindre enn modulen (dvs. 4). Da kan vi skrive: −18=−5 4+2 (rest 2), 14=3 4+2 (rest 2). Derfor vil −18 når deles på 4 gir en rest av 2, og 14 når de deles på 4 gir en rest av 2.

Egenskaper til Modulo-sammenlikninger

Eiendom 1. For alle en og s bestandig

sammenligning er ikke alltid nødvendig

hvor λ er den største felles deleren av tall m og s.

Bevis. La λ største felles deler av tall m og s. Deretter

Fordi m(a−b) delt på k, deretter

Følgelig

og m er en av divisorene til tallet s, deretter

hvor h=pqs.

Merk at vi kan tillate sammenligninger i negative moduler, dvs. sammenligning a≡b mod( s) betyr i dette tilfellet at forskjellen a−b delt på s. Alle egenskapene til sammenligninger forblir gyldige for negative moduler.