Tabell for å finne integraler. Grunnleggende formler og metoder for integrasjon

Hovedintegraler alle elever bør kjenne til

De listede integralene er grunnlaget, grunnlaget for fundamentene. Disse formlene bør selvfølgelig huskes. Når du beregner mer komplekse integraler, må du bruke dem konstant.

Vær spesielt oppmerksom på formlene (5), (7), (9), (12), (13), (17) og (19). Ikke glem å legge til en vilkårlig konstant C til svaret når du integrerer!

Integral av en konstant

Power funksjon integrering

Faktisk kunne man begrenset seg til formlene (5) og (7), men resten av integralene fra denne gruppen er så vanlige at det er verdt å være litt oppmerksom på dem.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integraler av eksponentialfunksjonen og hyperbolske funksjoner

Selvfølgelig kan formel (8) (kanskje den mest praktiske å huske) betraktes som et spesielt tilfelle av formel (9). Formler (10) og (11) for integralene til hyperbolsk sinus og hyperbolsk cosinus er lett avledet fra formel (8), men det er bedre å bare huske disse relasjonene.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Grunnleggende integraler av trigonometriske funksjoner

En feil som elevene ofte gjør: de forveksler tegnene i formlene (12) og (13). Husk at den deriverte av sinus er lik cosinus, av en eller annen grunn tror mange at integralet til sinx-funksjonen er lik cosx. Dette er ikke sant! Integralet til sinus er "minus cosinus", men integralet til cosx er "bare sinus":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integraler som reduserer til inverse trigonometriske funksjoner

Formel (16), som fører til buetangens, er naturligvis et spesialtilfelle av formel (17) for a=1. Tilsvarende er (18) et spesialtilfelle av (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Mer komplekse integraler

Disse formlene er det også ønskelig å huske. De brukes også ganske ofte, og produksjonen deres er ganske kjedelig.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Generelle integreringsregler

1) Integralet av summen av to funksjoner er lik summen av de tilsvarende integralene: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integralet av forskjellen mellom to funksjoner er lik forskjellen til de tilsvarende integralene: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Konstanten kan tas ut av integrertegnet: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Det er lett å se at eiendom (26) ganske enkelt er en kombinasjon av egenskaper (25) og (27).

4) Integral av en kompleks funksjon hvis den indre funksjonen er lineær: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Her er F(x) antideriverten for funksjonen f(x). Merk at denne formelen bare fungerer når den indre funksjonen er Ax + B.

Viktig: det er ingen universell formel for integralet av produktet av to funksjoner, så vel som for integralet av en brøk:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (tretti)

Dette betyr selvsagt ikke at en brøkdel eller et produkt ikke kan integreres. Det er bare det at hver gang du ser en integral som (30), må du finne på en måte å "sloss" med den på. I noen tilfeller vil integrering av deler hjelpe deg, et sted må du gjøre en endring av variabel, og noen ganger kan til og med "skole"-formler for algebra eller trigonometri hjelpe.

Et enkelt eksempel for beregning av ubestemt integral

Vi bruker formlene (25) og (26) (integralet av summen eller differansen av funksjoner er lik summen eller forskjellen av de tilsvarende integralene. Vi får: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Husk at konstanten kan tas ut av integrertegnet (formel (27)). Uttrykket konverteres til formen

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

La oss nå bare bruke tabellen over grunnleggende integraler. Vi må bruke formlene (3), (12), (8) og (1). La oss integrere potensfunksjonen, sinus, eksponent og konstant 1. Ikke glem å legge til en vilkårlig konstant C på slutten:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Etter elementære transformasjoner får vi det endelige svaret:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Test deg selv med differensiering: ta den deriverte av den resulterende funksjonen og sørg for at den er lik den opprinnelige integranden.

Sammendragstabell over integraler

Last ned tabellen over integraler (del II) fra denne lenken

Hvis du studerer ved et universitet, hvis du har problemer med høyere matematikk (matematisk analyse, lineær algebra, sannsynlighetsteori, statistikk), hvis du trenger tjenestene til en kvalifisert lærer, gå til siden til en veileder i høyere matematikk. La oss løse problemene dine sammen!

Du kan også være interessert

Antiderivativ funksjon og ubestemt integral

Fakta 1. Integrasjon er det motsatte av differensiering, nemlig gjenoppretting av en funksjon fra den kjente deriverte av denne funksjonen. Funksjonen gjenopprettet på denne måten F(x) er kalt primitiv for funksjon f(x).

Definisjon 1. Funksjon F(x f(x) på et eller annet intervall X, hvis for alle verdier x fra dette intervallet likheten F "(x)=f(x), det vil si denne funksjonen f(x) er derivatet av antiderivatfunksjonen F(x). .

For eksempel funksjonen F(x) = synd x er antiderivatet for funksjonen f(x) = cos x på hele talllinjen, siden for enhver verdi av x (synd x)" = (cos x) .

Definisjon 2. Ubestemt integral av en funksjon f(x) er samlingen av alle antiderivatene. Dette bruker notasjonen

∫

f(x)dx

hvor er skiltet ∫ kalles integrertegnet, funksjonen f(x) er en integrand, og f(x)dx er integranden.

Således, hvis F(x) er noe antiderivat for f(x) , deretter

∫

f(x)dx = F(x) +C

hvor C - vilkårlig konstant (konstant).

For å forstå betydningen av settet med antiderivater av en funksjon som et ubestemt integral, er følgende analogi passende. La det være en dør (en tradisjonell tredør). Dens funksjon er "å være en dør". Hva er døren laget av? Fra et tre. Dette betyr at settet med antiderivater av integranden "å være en dør", det vil si dens ubestemte integral, er funksjonen "å være et tre + C", der C er en konstant, som i denne sammenheng kan betegne, for for eksempel et treslag. Akkurat som en dør er laget av tre med noen verktøy, er den deriverte av en funksjon "laget" av den antiderivative funksjonen med formel som vi lærte ved å studere den deriverte .

Da er funksjonstabellen til vanlige gjenstander og deres tilsvarende primitiver ("å være en dør" - "å være et tre", "å være en skje" - "å være et metall", etc.) lik tabellen til grunnleggende ubestemte integraler, som vil bli gitt nedenfor. Tabellen over ubestemte integraler viser vanlige funksjoner, og indikerer antiderivatene som disse funksjonene er "laget" fra. Som en del av oppgavene for å finne det ubestemte integralet gis det slike integrander som kan integreres direkte uten spesiell innsats, det vil si i henhold til tabellen over ubestemte integraler. I mer komplekse problemer må integranden først transformeres slik at tabellintegraler kan brukes.

Fakta 2. Å gjenopprette en funksjon som en antiderivert, må vi ta hensyn til en vilkårlig konstant (konstant) C, og for ikke å skrive en liste over antiderivater med forskjellige konstanter fra 1 til uendelig, må du skrive ned et sett med antiderivater med en vilkårlig konstant C, slik: 5 x³+C. Så en vilkårlig konstant (konstant) er inkludert i uttrykket til antiderivatet, siden antiderivatet kan være en funksjon, for eksempel 5 x³+4 eller 5 x³+3 og når differensiering 4 eller 3 eller en annen konstant forsvinner.

Vi setter integreringsproblemet: for en gitt funksjon f(x) finne en slik funksjon F(x), hvis derivat er lik f(x).

Eksempel 1 Finn settet med antideriverte av en funksjon

Løsning. For denne funksjonen er antiderivatet funksjonen

Funksjon F(x) kalles antiderivat for funksjonen f(x) hvis den deriverte F(x) er lik f(x), eller, som er det samme, differensialen F(x) er lik f(x) dx, dvs.

(2)

Derfor er funksjonen antiderivativ for funksjonen. Det er imidlertid ikke det eneste antiderivatet for . De er også funksjoner

hvor FRA er en vilkårlig konstant. Dette kan verifiseres ved differensiering.

Således, hvis det er en antiderivert for en funksjon, så er det for den et uendelig sett med antiderivater som avviker med en konstant summand. Alle antiderivater for en funksjon er skrevet i skjemaet ovenfor. Dette følger av følgende teorem.

Teorem (formell faktaerklæring 2). Hvis en F(x) er antiderivatet for funksjonen f(x) på et eller annet intervall X, deretter et hvilket som helst annet antiderivat for f(x) på samme intervall kan representeres som F(x) + C, hvor FRA er en vilkårlig konstant.

I det følgende eksemplet vender vi oss allerede til tabellen over integraler, som vil bli gitt i avsnitt 3, etter egenskapene til det ubestemte integralet. Vi gjør dette før vi gjør oss kjent med hele tabellen, slik at essensen av ovenstående er tydelig. Og etter tabellen og egenskapene vil vi bruke dem i sin helhet ved integrering.

Eksempel 2 Finn sett med antiderivater:

Løsning. Vi finner sett med antideriverte funksjoner som disse funksjonene er "laget av". Når du nevner formler fra tabellen over integraler, for nå, bare godta at det finnes slike formler, og vi vil studere tabellen over ubestemte integraler i sin helhet litt lenger.

1) Bruk av formel (7) fra tabellen over integraler for n= 3, får vi

2) Ved å bruke formel (10) fra tabellen over integraler for n= 1/3, vi har

3) Siden

deretter i henhold til formel (7) kl n= -1/4 funn

Under integrertegnet skriver de ikke selve funksjonen f, og dets produkt ved differensialen dx. Dette gjøres først og fremst for å indikere hvilken variabel det søkes etter antiderivatet. For eksempel,

, ;

her i begge tilfeller er integranden lik , men dens ubestemte integraler i de vurderte tilfellene viser seg å være forskjellige. I det første tilfellet betraktes denne funksjonen som en funksjon av en variabel x, og i den andre - som en funksjon av z .

Prosessen med å finne det ubestemte integralet til en funksjon kalles å integrere den funksjonen.

Den geometriske betydningen av det ubestemte integralet

La det kreves å finne en kurve y=F(x) og vi vet allerede at tangenten til hellingen til tangenten i hvert av punktene er en gitt funksjon f(x) abscisse av dette punktet.

I henhold til den geometriske betydningen av den deriverte, tangenten til hellingen til tangenten i et gitt punkt på kurven y=F(x) lik verdien av derivatet F"(x). Så vi må finne en slik funksjon F(x), for hvilket F"(x)=f(x). Nødvendig funksjon i oppgaven F(x) er avledet fra f(x). Tilstanden til problemet tilfredsstilles ikke av en kurve, men av en familie av kurver. y=F(x)- en av disse kurvene, og enhver annen kurve kan oppnås fra den ved parallell translasjon langs aksen Oy.

La oss kalle grafen til antiderivertefunksjonen til f(x) integrert kurve. Hvis en F"(x)=f(x), deretter grafen til funksjonen y=F(x) er en integralkurve.

Fakta 3. Det ubestemte integralet er geometrisk representert av familien av alle integralkurver som på bildet under. Avstanden til hver kurve fra origo bestemmes av en vilkårlig integrasjonskonstant (konstant). C.

Egenskaper til det ubestemte integralet

Fakta 4. Teorem 1. Den deriverte av et ubestemt integral er lik integranden, og dens differensial er lik integranden.

Fakta 5. Teorem 2. Det ubestemte integralet av differensialen til en funksjon f(x) er lik funksjonen f(x) opp til en konstant term , dvs.

(3)

Teoremer 1 og 2 viser at differensiering og integrasjon er gjensidig inverse operasjoner.

Fakta 6. Teorem 3. Konstantfaktoren i integranden kan tas ut av fortegnet til det ubestemte integralet , dvs.

De fire viktigste integreringsmetodene er listet opp nedenfor.

1) Sum eller differanse integreringsregel.
.
Her og nedenfor er u, v, w funksjoner av integrasjonsvariabelen x .

2) Ta konstanten ut av integrertegnet.
La c være en konstant uavhengig av x. Deretter kan den tas ut av integrertegnet.

3) Variabel erstatningsmetode.
Tenk på den ubestemte integralen.
Hvis det er mulig å velge en slik funksjon φ (x) fra x, altså
,
så, etter å ha endret variabelen t = φ(x) , har vi
.

4) Formelen for integrering etter deler.
,
hvor u og v er funksjoner av integrasjonsvariabelen.

Det endelige målet med å beregne ubestemte integraler er, gjennom transformasjoner, å bringe det gitte integralet til de enkleste integralene, som kalles tabellintegraler. Tabellintegraler uttrykkes i form av elementære funksjoner ved bruk av kjente formler.
Se Tabell over integraler >>>

Eksempel

Beregn ubestemt integral

Løsning

Merk at integranden er summen og differansen av tre ledd:
, og .
Vi bruker metoden 1 .

Videre legger vi merke til at integrandene til de nye integralene multipliseres med konstantene 5, 4, og 2 , henholdsvis. Vi bruker metoden 2 .

I tabellen over integraler finner vi formelen
.
Innstilling n = 2 , finner vi det første integralet.

La oss omskrive det andre integralet i skjemaet
.
Det merker vi. Deretter

La oss bruke den tredje metoden. Vi gjør endringen av variabelen t = φ (x) = log x.
.
I tabellen over integraler finner vi formelen

Siden integrasjonsvariabelen kan betegnes med hvilken som helst bokstav, da

La oss omskrive det tredje integralet i skjemaet
.
Vi bruker formelen for integrering etter deler.
La .
Deretter
;
;

;
;
.

Endelig har vi
.
Samle vilkår med x 3 .
.

Svar

Referanser:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling av problemer i høyere matematikk, Lan, 2003.

Vi lister opp integralene til elementære funksjoner, som noen ganger kalles tabellform:

Enhver av formlene ovenfor kan bevises ved å ta den deriverte av høyresiden (som et resultat vil integranden bli oppnådd).

Integreringsmetoder

La oss vurdere noen grunnleggende metoder for integrering. Disse inkluderer:

1. Dekomponeringsmetode(direkte integrasjon).

Denne metoden er basert på direkte applikasjon av tabellintegraler, så vel som på applikasjonen av egenskapene 4 og 5 til det ubestemte integralet (dvs. å ta konstantfaktoren ut av parentesen og/eller representere integranden som en sum av funksjoner - utvide integranden til termer).

Eksempel 1 For å finne (dx/x 4) kan du for eksempel bruke tabellintegralet direkte for x n dx. Faktisk, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

La oss se på noen flere eksempler.

Eksempel 2 For å finne bruker vi det samme integralet:

Eksempel 3 For å finne må du ta

Eksempel 4 For å finne, representerer vi integranden i skjemaet og bruk tabellintegralet for eksponentialfunksjonen:

Vurder bruken av bracketing den konstante faktoren.

Eksempel 5La oss finne f.eks . Med tanke på det får vi

Eksempel 6 La oss finne. Fordi det , bruker vi tabellintegralen Få

Du kan også bruke parenteser og tabellintegraler i følgende to eksempler:

Eksempel 7

(vi bruker og );

Eksempel 8

(vi bruker og ).

La oss se på mer komplekse eksempler som bruker sumintegralet.

Eksempel 9 La oss for eksempel finne
. For å bruke utvidelsesmetoden i telleren bruker vi sumkubeformelen , og deler deretter det resulterende polynomleddet på ledd med nevneren.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Det skal bemerkes at på slutten av løsningen skrives en felles konstant C (og ikke separate ved integrering av hvert ledd). I fremtiden foreslås det også å utelate konstantene fra integreringen av individuelle termer i prosessen med å løse så lenge uttrykket inneholder minst ett ubestemt integral (vi vil skrive en konstant på slutten av løsningen).

Eksempel 10 La oss finne . For å løse dette problemet faktoriserer vi telleren (etter det kan vi redusere nevneren).

Eksempel 11. La oss finne. Trigonometriske identiteter kan brukes her.

Noen ganger, for å dekomponere et uttrykk i termer, må du bruke mer komplekse teknikker.

Eksempel 12. La oss finne . I integranden velger vi heltallsdelen av brøken . Deretter

Eksempel 13 La oss finne

2. Variabel erstatningsmetode (substitusjonsmetode)

Metoden er basert på følgende formel: f(x)dx=f((t))`(t)dt, hvor x =(t) er en funksjon som kan differensieres på det betraktede intervallet.

Bevis. La oss finne de deriverte med hensyn til variabelen t fra venstre og høyre del av formelen.

Merk at på venstre side er det en kompleks funksjon hvis mellomargument er x = (t). Derfor, for å differensiere det med hensyn til t, differensierer vi først integralet med hensyn til x, og deretter tar vi den deriverte av mellomargumentet med hensyn til t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivat av høyre side:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Siden disse derivatene er like, av en følge av Lagranges teorem, avviker venstre og høyre del av formelen med en konstant forskjell. Siden de ubestemte integralene selv er definert opp til et ubestemt konstantledd, kan denne konstanten utelates i den endelige notasjonen. Bevist.

En vellykket endring av variabel lar oss forenkle det opprinnelige integralet, og i de enkleste tilfellene redusere det til en tabell. Ved anvendelsen av denne metoden skilles metodene for lineær og ikke-lineær substitusjon.

a) Lineær substitusjonsmetode la oss se på et eksempel.

Eksempel 1
. Lat = 1 – 2x, da

dx=d(½ - ½t) = -½dt

Det skal bemerkes at den nye variabelen ikke trenger å skrives ut eksplisitt. I slike tilfeller snakker man om transformasjonen av en funksjon under differensialens fortegn, eller om introduksjonen av konstanter og variabler under differensialens fortegn, dvs. Om implisitt variabel substitusjon.

Eksempel 2 La oss for eksempel finne cos(3x + 2)dx. Ved egenskapene til differensialen dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), såcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

I begge de betraktede eksemplene ble den lineære substitusjonen t=kx+b(k0) brukt for å finne integralene.

I det generelle tilfellet gjelder følgende teorem.

Lineær substitusjonsteorem. La F(x) være en antiderivert for funksjonen f(x). Daf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, hvor k og b er noen konstanter,k0.

Bevis.

Ved definisjon av integralet f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Vi tar ut konstantfaktoren k for integrertegnet: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nå kan vi dele venstre og høyre del av likheten med k og få påstanden som skal bevises opp til notasjonen av et konstant ledd.

Denne teoremet sier at hvis uttrykket (kx+b) erstattes i definisjonen av integralet f(x)dx= F(x) + C, så vil dette føre til at det vises en ekstra faktor 1/k foran av antiderivatet.

Ved å bruke det beviste teoremet løser vi følgende eksempler.

Eksempel 3

La oss finne . Her er kx+b= 3 –x, dvs. k= -1,b= 3. Deretter

Eksempel 4

La oss finne. Her er kx+b= 4x+ 3, dvs. k= 4,b= 3. Deretter

Eksempel 5

La oss finne . Her er kx+b= -2x+ 7, dvs. k= -2,b= 7. Deretter

.

Eksempel 6 La oss finne
. Her er kx+b= 2x+ 0, dvs. k= 2,b= 0.

.

La oss sammenligne det oppnådde resultatet med eksempel 8, som ble løst ved dekomponeringsmetoden. Når vi løser det samme problemet med en annen metode, fikk vi svaret
. La oss sammenligne resultatene: Dermed skiller disse uttrykkene seg fra hverandre med en konstant term , dvs. de mottatte svarene motsier ikke hverandre.

Eksempel 7 La oss finne
. Vi velger en hel firkant i nevneren.

I noen tilfeller reduserer endringen av variabel ikke integralet direkte til en tabell, men det kan forenkle løsningen ved å gjøre det mulig å anvende dekomponeringsmetoden på neste trinn.

Eksempel 8 La oss for eksempel finne . Erstatt t=x+ 2, deretter dt=d(x+ 2) =dx. Deretter

,

hvor C \u003d C 1 - 6 (når vi erstatter uttrykket (x + 2) i stedet for t), i stedet for de to første leddene, får vi ½x 2 -2x - 6).

Eksempel 9 La oss finne
. La t= 2x+ 1, så dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Vi erstatter uttrykket (2x + 1) i stedet for t, åpner parentesene og gir lignende.

Legg merke til at i prosessen med transformasjoner gikk vi over til et annet konstant begrep, fordi gruppen av konstante ledd i prosessen med transformasjoner kunne utelates.

b) Metode for ikke-lineær substitusjon la oss se på et eksempel.

Eksempel 1
. La t= -x 2 . Videre kan man uttrykke x i form av t, deretter finne et uttrykk for dx og implementere en endring av variabel i det nødvendige integralet. Men i dette tilfellet er det lettere å gjøre noe annet. Finn dt=d(-x 2) = -2xdx. Merk at uttrykket xdx er en faktor av integranden til det ønskede integralet. Vi uttrykker det fra den resulterende likheten xdx= - ½dt. Deretter

På skolen klarer mange ikke å løse integraler eller har problemer med dem. Denne artikkelen vil hjelpe deg med å finne ut av det, siden du finner alt i den. tabeller over integraler.

Integral er en av de viktigste beregningene og konseptet i kalkulus. Hans utseende kom til for to formål:
Første mål- gjenopprette funksjonen ved å bruke dens deriverte.
Andre mål- beregning av arealet som ligger i avstand fra grafen til funksjonen f (x) på en rett linje der a er større enn eller lik x er større enn eller lik b og abscisseaksen.

Disse målene fører oss til bestemte og ubestemte integraler. Sammenhengen mellom disse integralene ligger i søk etter egenskaper og beregning. Men alt flyter og alt forandrer seg med tiden, nye løsninger ble funnet, tillegg ble avslørt, og derved bringes bestemte og ubestemte integraler til andre former for integrasjon.

Hva ubestemt integral du spør. Dette er den antideriverte funksjonen F(x) til én variabel x i intervallet a større enn x større enn b. kalles en hvilken som helst funksjon F(x), i det gitte intervallet for enhver notasjon x, er den deriverte lik F(x). Det er klart at F(x) er en antiderivert for f(x) i intervallet a større enn x større enn b. Derfor er F1(x) = F(x) + C. C - er enhver konstant og antiderivert for f(x) i det gitte intervallet. Denne setningen er reversibel, for funksjonen f(x) - 2 skiller antiderivatene seg bare i en konstant. Basert på teoremet om integralregning, viser det seg at hver kontinuerlig i intervallet a

Sikker integral forstås som en grense i integrerte summer, eller i en situasjon med en gitt funksjon f(x) definert på en linje (a, b) som har antideriverten F, som betyr forskjellen av dens uttrykk i enden av denne linjen F(b) - F(a).

For klarhet, studiet av dette emnet, foreslår jeg at du ser videoen. Den forklarer i detalj og viser hvordan du finner integraler.

Hver tabell med integraler er veldig nyttig i seg selv, da den hjelper til med å løse en bestemt type integral.

Alle mulige typer skrivesaker og mer. Du kan kjøpe gjennom nettbutikken v-kant.ru. Eller bare følg lenken Stationery Samara (http://v-kant.ru) kvalitet og priser vil hyggelig overraske deg.