Tabellverdier av funksjoner. Lov om sannsynlighetsfordeling av en diskret tilfeldig variabel
2.1. Laplace-funksjon (sannsynlighetsintegral) har formen:
Grafen for Laplace-funksjonen er vist i fig. 5.
Funksjon F(X) tabellert (se tabell 1 i vedleggene). For å bruke denne tabellen må du vite egenskaper til Laplace-funksjonen:
1) Funksjon Ф( X) merkelig: F(-X)= -F(X).
2) Funksjon F(X) monotont økende.
3) F(0)=0.
4) F(+¥ )=0,5; F(-¥ )=-0,5. I praksis kan vi anta at for x³5 funksjonen F(X)=0,5; for x £ -5 funksjon F(X)=-0,5.
2.2. Det finnes andre former for Laplace-funksjonen:
Og 
I motsetning til disse formene, funksjonen F(X) kalles standard eller normalisert Laplace-funksjon. Det er forbundet med andre former for forhold:
 |
EKSEMPEL 2. Kontinuerlig tilfeldig variabel X har en normalfordelingslov med parametere: m=3, s=4. Finn sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen som et resultat av testen X: a) vil ta verdien i intervallet (2; 6); b) vil ha en verdi mindre enn 2; c) vil ha en verdi større enn 10; d) avvik fra den matematiske forventningen med et beløp som ikke overstiger 2. Illustrer løsningen på oppgaven grafisk.
Løsning. a) Sannsynligheten for at en normal tilfeldig variabel X faller innenfor det angitte intervallet ( a,b), Hvor en=2 og b=6, lik:
Laplace funksjonsverdier F(x) fastsatt i henhold til tabellen gitt i vedlegget, tatt i betraktning det F(–X)= –F(X).
b) Sannsynligheten for at en normal tilfeldig variabel X vil ta en verdi mindre enn 2, lik:
c) Sannsynligheten for at en normal tilfeldig variabel X vil ta en verdi større enn 10, lik:
d) Sannsynligheten for at en normal tilfeldig variabel X d=2, lik:
Fra et geometrisk synspunkt er de beregnede sannsynlighetene numerisk lik de skraverte områdene under normalkurven (se fig. 6).
 |
|||
 |
|
Ris. 6. Normalkurve for en tilfeldig variabel X~N(3;4)
EKSEMPEL 3. Skaftdiameteren måles uten systematiske (samme tegn) feil. Tilfeldige målefeil er gjenstand for normalfordeling med et standardavvik på 10 mm. Finn sannsynligheten for at målingen blir utført med en feil som ikke overstiger 15 mm i absolutt verdi.
Løsning. Den matematiske forventningen til tilfeldige feil er null m X vil avvike fra den matematiske forventningen med et beløp mindre enn d=15, lik:
EKSEMPEL 4. Maskinen produserer kuler. Ballen anses som gyldig dersom avviket X kulediameter fra designstørrelsen i absolutt verdi er mindre enn 0,7 mm. Forutsatt at den tilfeldige variabelen X normalfordelt med et standardavvik på 0,4 mm, finn gjennomsnittlig antall passende kuler blant 100 produserte.
Løsning. Tilfeldig verdi X- avvik av kulediameteren fra designstørrelsen. Den matematiske forventningen til avviket er null, dvs. M(X)=m=0. Deretter sannsynligheten for at en normal tilfeldig variabel X vil avvike fra den matematiske forventningen med et beløp mindre enn d=0,7, lik:
Det følger at omtrent 92 baller av 100 vil være passende.
EKSEMPEL 5. Bevis regel "3" s».
Løsning. Sannsynligheten for at en normal tilfeldig variabel X vil avvike fra den matematiske forventningen med et beløp mindre enn d= 3s, er lik:
EKSEMPEL 6. Tilfeldig verdi X normalfordelt med matematisk forventning m=10. Treff sannsynlighet X i intervallet (10, 20) er lik 0,3. Hva er sannsynligheten for å treffe X i intervallet (0, 10)?
Løsning. En normal kurve er symmetrisk om en rett linje X=m=10, derfor er arealene avgrenset over av normalkurven og under av intervallene (0, 10) og (10, 20) lik hverandre. Siden områdene er numerisk lik sannsynligheten for å treffe X med passende intervall, da.
Lokale og integrerte teoremer fra Laplace
Denne artikkelen er en naturlig fortsettelse av leksjonen om uavhengige tester, hvor vi møttes Bernoullis formel og jobbet med typiske eksempler på temaet. De lokale og integrerte teoremene til Laplace (Moivre-Laplace) løser et lignende problem med den forskjellen at de kan brukes på et tilstrekkelig stort antall uavhengige tester. Det er ingen grunn til å overskygge ordene "lokal", "integral", "teoremer" - materialet mestres med samme letthet som Laplace klappet Napoleons krøllede hode. Derfor, uten noen komplekser og foreløpige kommentarer, la oss umiddelbart vurdere et demonstrasjonseksempel:
Mynten kastes 400 ganger. Finn sannsynligheten for å få hoder 200 ganger.
Etter de karakteristiske trekkene bør man søke her Bernoullis formel 
. La oss huske betydningen av disse bokstavene:
– sannsynligheten for at i uavhengige forsøk vil en tilfeldig hendelse inntreffe nøyaktig én gang;
– binomial koeffisient;
– sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i hver rettssak;
I forhold til vår oppgave:
– totalt antall tester;
– antall kast der hoder må falle;
Dermed er sannsynligheten for at hoder som et resultat av 400 myntkast vil dukke opp nøyaktig 200 ganger: ...Stopp, hva skal du gjøre videre? Mikrokalkulatoren (minst min) klarte ikke å takle 400. grad og kapitulerte til factorials. Men jeg ville ikke beregne noe gjennom et produkt =) La oss bruke standard Excel-funksjon, som klarte å behandle monsteret: .
Jeg vil gjøre deg oppmerksom på det som er mottatt nøyaktig mening og en slik løsning ser ut til å være ideell. Ved første blikk. Her er noen overbevisende motargumenter:
– for det første kan det hende at programvaren ikke er tilgjengelig;
– og for det andre vil løsningen se ikke-standard ut (med stor sannsynlighet må du ombestemme deg);
Derfor, kjære lesere, i nær fremtid forventer vi:
Lokalt Laplace-teorem
Hvis sannsynligheten for at en tilfeldig hendelse inntreffer i hvert forsøk er konstant, er sannsynligheten for at hendelsen vil inntreffe nøyaktig én gang i hvert forsøk omtrent lik: 
, Hvor .
Dessuten, jo større, jo bedre vil den beregnede sannsynligheten tilnærme den nøyaktige verdien som oppnås (i det minste hypotetisk) i henhold til Bernoullis formel. Anbefalt minimum antall tester er omtrent 50-100, ellers kan resultatet være langt fra sannheten. I tillegg fungerer det lokale Laplace-teoremet bedre jo nærmere sannsynligheten er 0,5, og omvendt - det gir en signifikant feil for verdier nær null eller én. Av denne grunn, et annet kriterium for effektiv bruk av formelen 
er ulikheten ()
.
Så, for eksempel, hvis , så er bruken av Laplaces teorem for 50 tester berettiget. Men hvis og , så også en tilnærming (til nøyaktig verdi) vil være dårlig.
Om hvorfor og om en spesiell funksjon 
vi skal snakke om i klassen normal sannsynlighetsfordeling, men foreløpig trenger vi den formelle beregningssiden av problemet. Spesielt er et viktig faktum paritet denne funksjonen: 
.
La oss formalisere forholdet med vårt eksempel:
Oppgave 1
Mynten kastes 400 ganger. Finn sannsynligheten for at hoder vil lande nøyaktig:
a) 200 ganger;
b) 225 ganger.
Hvor du skal begynne løsning? Først, la oss skrive ned de kjente mengdene slik at de er foran øynene våre:
– totalt antall uavhengige tester;
– sannsynligheten for å få hoder i hvert kast;
– sannsynlighet for å lande hoder.
a) La oss finne sannsynligheten for at i en serie på 400 kast hoder vil komme opp nøyaktig én gang. På grunn av det store antallet tester bruker vi Laplaces lokale teorem: 
, Hvor 
.
I det første trinnet beregner vi den nødvendige verdien av argumentet:
Deretter finner vi den tilsvarende funksjonsverdien: . Dette kan gjøres på flere måter. Først av alt foreslår selvfølgelig direkte beregninger seg selv:
Avrunding gjøres vanligvis til 4 desimaler.
Ulempen med direkte beregning er at ikke alle mikrokalkulatorer kan fordøye eksponenten, i tillegg er beregningene ikke spesielt hyggelige og tar tid. Hvorfor lide så mye? Bruk terver kalkulator (punkt 4) og få verdier umiddelbart!
I tillegg er det funksjonsverditabell, som er i nesten alle bøker om sannsynlighetsteori, spesielt i læreboken V.E. Gmurman. Hvis du ikke har lastet det ned ennå, last det ned - det er mye nyttig der ;-) Og husk å lære hvordan du bruker tabellen (akkurat nå!)– egnet datautstyr er kanskje ikke alltid tilgjengelig!
På det siste stadiet bruker vi formelen 
:
– sannsynligheten for at hoder i 400 myntkast lander nøyaktig 200 ganger.
Som du kan se, er det oppnådde resultatet veldig nær den nøyaktige verdien beregnet av Bernoullis formel.
b) Finn sannsynligheten for at i en serie på 400 forsøk vil hoder dukke opp nøyaktig én gang. Vi bruker Laplaces lokale teorem. En, to, tre - og du er ferdig:
– ønsket sannsynlighet.
Svar:
Det neste eksemplet, som mange har gjettet, er dedikert til fødsel - og dette må du bestemme selv :)
Oppgave 2
Sannsynligheten for å få en gutt er 0,52. Finn sannsynligheten for at det blant 100 nyfødte vil være nøyaktig: a) 40 gutter, b) 50 gutter, c) 30 jenter.
Avrund resultatene til 4 desimaler.
...Uttrykket "uavhengige tester" høres interessant ut her =) Forresten, ekte statistisk sannsynlighet Fødselsraten for en gutt i mange regioner i verden varierer fra 0,51 til 0,52.
Et omtrentlig eksempel på en oppgave på slutten av leksjonen.
Alle la merke til at tallene viste seg å være ganske små, og dette burde ikke være misvisende - vi snakker tross alt om individuelle sannsynligheter, lokale verdier (derav navnet på teoremet). Og det er mange slike verdier, og billedlig talt burde sannsynligheten «være nok for alle». Riktignok vil mange hendelser nesten umulig.
La meg forklare det ovenfor ved å bruke eksemplet med mynter: i en serie på fire hundre forsøk kan hoder teoretisk falle fra 0 til 400 ganger, og disse hendelsene dannes hel gruppe:
Imidlertid er de fleste av disse verdiene små, for eksempel er sannsynligheten for at hoder vil dukke opp 250 ganger allerede én av ti millioner: . Om verdier som 
La oss tie taktfullt =)
På den annen side bør beskjedne resultater ikke undervurderes: hvis det bare handler om , så er sannsynligheten for å lande hoder, si, fra 220 til 250 ganger, vil være veldig merkbar.
La oss nå tenke: hvordan beregner jeg denne sannsynligheten? Ikke tell med teoremet om addisjon av sannsynligheter for uforenlige hendelser beløp:
Disse verdiene er mye enklere kombinere. Og det å kombinere noe kalles som du vet integrering:
Laplaces integralteorem
Hvis sannsynligheten for at en tilfeldig hendelse inntreffer i hvert forsøk er konstant, så er sannsynligheten 
at hendelsen vil skje i forsøk ikke færre og ikke flere ganger (fra til tider inkludert), er omtrent lik:
I dette tilfellet bør antallet tester selvfølgelig også være stort nok og sannsynligheten bør ikke være for liten/høy (omtrent), ellers vil tilnærmingen være uviktig eller dårlig.
Funksjonen kalles Laplace funksjon, og verdiene er igjen oppsummert i en standardtabell ( finn og lær å jobbe med det!!). En mikrokalkulator vil ikke hjelpe her, siden integralet ikke er kombinerbart. Men Excel har tilsvarende funksjonalitet - bruk punkt 5 design layout.
I praksis er de vanligste verdiene:
- Kopier det inn i notatboken.
Med utgangspunkt i , kan vi anta at , eller for å skrive det mer strengt: 
Dessuten Laplace-funksjonen merkelig: 
, og denne egenskapen utnyttes aktivt i oppgaver som vi allerede er lei av:
Oppgave 3
Sannsynligheten for at skytteren treffer målet er 0,7. Finn sannsynligheten for at med 100 skudd vil målet bli truffet fra 65 til 80 ganger.
Jeg valgte det mest realistiske eksempelet, ellers fant jeg flere oppgaver her der skytteren avfyrer tusenvis av skudd =)
Løsning: i denne oppgaven snakker vi om gjentatte uavhengige tester, og antallet er ganske stort. I henhold til betingelsen må du finne sannsynligheten for at målet vil bli truffet minst 65, men ikke mer enn 80 ganger, noe som betyr at du må bruke Laplaces integralteorem: , hvor
For enkelhets skyld, la oss omskrive de originale dataene i en kolonne:
– totalt skudd;
– minimum antall treff;
– maksimalt antall treff;
– sannsynlighet for å treffe målet med hvert skudd;
- Sannsynligheten for en miss med hvert skudd.
Derfor vil Laplaces teorem gi en god tilnærming.
La oss beregne verdiene til argumentene: 
Jeg vil gjøre deg oppmerksom på at verket ikke trenger å være helt uttrukket fra røttene. (ettersom problemforfattere liker å "justere" tall)– uten en skygge av tvil, trekk ut roten og rund resultatet; Jeg er vant til å legge igjen 4 desimaler. Men de resulterende verdiene er vanligvis avrundet til 2 desimaler - denne tradisjonen kommer fra funksjonsverditabeller, hvor argumentene presenteres nøyaktig i denne formen.
Vi bruker tabellen ovenfor eller design layout for terver (punkt 5).
Som en skriftlig kommentar anbefaler jeg deg å sette inn følgende setning: vi finner funksjonsverdiene ved å bruke den tilsvarende tabellen:
– sannsynligheten for at målet med 100 skudd blir truffet 65 til 80 ganger.
Pass på å dra nytte av oddetall på funksjonen! Bare i tilfelle, vil jeg skrive det ned i detalj:
Faktum er det funksjonsverditabell inneholder bare positive "X"-er, og vi jobber (i det minste ifølge "legenden") med et bord!
Svar:
Resultatet avrundes oftest til 4 desimaler (igjen i henhold til tabellformatet).
For å løse det selv:
Oppgave 4
Det er 2500 lamper i bygningen, sannsynligheten for å slå på hver av dem om kvelden er 0,5. Finn sannsynligheten for at minst 1250 og ikke mer enn 1275 lamper blir slått på om kvelden.
Et omtrentlig utvalg av det endelige designet på slutten av leksjonen.
Det skal bemerkes at oppgavene som vurderes svært ofte forekommer i en "upersonlig" form, for eksempel:
Det utføres et eksperiment der en tilfeldig hendelse kan oppstå med en sannsynlighet på 0,5. Forsøket gjentas under uendrede forhold 2500 ganger. Bestem sannsynligheten for at hendelsen i 2500 eksperimenter vil skje fra 1250 til 1275 ganger
Og lignende formuleringer er gjennom taket. På grunn av oppgavenes klisjéart, prøver de ofte å skjule tilstanden - dette er den "eneste sjansen" til å diversifisere og komplisere løsningen på en eller annen måte:
Oppgave 5
Det er 1000 studenter som studerer ved instituttet. Spisestuen har 105 sitteplasser. Hver elev går til kafeteriaen i det store friminuttet med sannsynlighet 0,1. Hva er sannsynligheten for at på en vanlig skoledag:
a) spisestuen vil ikke være mer enn to tredjedeler full;
b) det er ikke nok plasser til alle.
Jeg vil gjøre deg oppmerksom på den viktige klausulen "på en VANLIG skoledag" - den sikrer at situasjonen forblir relativt uendret. Etter ferien kan det komme betydelig færre studenter til instituttet, og en sulten delegasjon kan komme ned på «Open Doors Day» =) Det vil si at på en «uvanlig» dag vil sannsynligheten være merkbart annerledes.
Løsning: vi bruker Laplaces integralteorem, hvor
I denne oppgaven:
– totalt antall studenter ved instituttet;
– sannsynligheten for at en student går til kafeteriaen i en lang pause;
– sannsynligheten for den motsatte hendelsen.
a) La oss beregne hvor mange seter som utgjør to tredjedeler av det totale antallet: seter
La oss finne sannsynligheten for at kafeteriaen på en vanlig skoledag ikke er mer enn to tredjedeler full. Hva betyr det? Det betyr at i den store pausen kommer det fra 0 til 70 personer. Det at ingen kommer eller bare noen få elever kommer – det er arrangementer praktisk talt umulig, men for å anvende Laplaces integralteorem, bør disse sannsynlighetene fortsatt tas i betraktning. Dermed: 
La oss beregne de tilsvarende argumentene: 
Som et resultat:
– sannsynligheten for at kafeteriaen på en vanlig skoledag ikke er mer enn to tredjedeler full.
Påminnelse : når Laplace-funksjonen anses som lik .
Men det er en publikumsbehager =)
b) Begivenhet «Det er ikke nok plasser til alle» er at fra 106 til 1000 mennesker vil komme til matsalen for å spise lunsj i den store pausen (hovedsaken er å komprimere den godt =)). Det er tydelig at det høye oppmøtet er utrolig, men ikke desto mindre: 
.
Vi beregner argumentene: 
Dermed er sannsynligheten for at det ikke vil være nok seter til alle:
Svar:
La oss nå fokusere på en viktig nyanse metode: når vi utfører beregninger på et enkelt segment, da er alt "skyfritt" - avgjør i henhold til malen som vurderes. Imidlertid, hvis vi vurderer hele gruppen av arrangementer skal vises en viss nøyaktighet. La meg forklare dette punktet ved å bruke eksempelet på problemet som nettopp ble diskutert. På punktet "være" fant vi sannsynligheten for at det ikke vil være nok seter til alle. Deretter, ved å bruke samme skjema, beregner vi:
– sannsynligheten for at det blir nok plasser.
Siden disse hendelsene motsatte, da skal summen av sannsynlighetene være lik én:
Hva er i veien? – Alt ser ut til å være logisk her. Poenget er at Laplace-funksjonen er kontinuerlige, men vi tok ikke hensyn til det intervall fra 105 til 106. Det var her 0,0338-stykket forsvant. Derfor bruker samme standardformel skal beregnes:
Vel, eller enda enklere:
Spørsmålet melder seg: hva om vi FØRST fant ? Da kommer det en annen versjon av løsningen:
Men hvordan kan dette være?! – de to metodene gir forskjellige svar! Det er enkelt: Laplaces integralsetning er en metode Lukk beregninger, og derfor er begge veier akseptable.
For mer nøyaktige beregninger bør du bruke Bernoullis formel og for eksempel Excel-funksjonen BINOMIDST. Som et resultat sin søknad vi får:
Og jeg uttrykker min takknemlighet til en av de besøkende på nettstedet som trakk oppmerksomheten til denne subtiliteten - den falt utenfor synsfeltet mitt, siden studiet av en komplett gruppe hendelser sjelden finnes i praksis. Interesserte kan gjøre seg kjent med
En av de mest kjente ikke-elementære funksjonene, som brukes i matematikk, i teorien om differensialligninger, i statistikk og i sannsynlighetsteori, er Laplace-funksjonen. Å løse problemer med det krever betydelig forberedelse. La oss finne ut hvordan du kan beregne denne indikatoren ved hjelp av Excel-verktøy.
Laplace-funksjonen har brede anvendte og teoretiske anvendelser. For eksempel brukes det ganske ofte til å løse differensialligninger. Dette begrepet har et annet tilsvarende navn - sannsynlighetsintegralet. I noen tilfeller er grunnlaget for løsningen konstruksjonen av en verditabell.
NORM.ST.DIST-operatør
I Excel løses dette problemet ved hjelp av operatøren NORM.ST.DIST.. Navnet er en forkortelse for begrepet "normal standardfordeling". Siden hovedoppgaven er å returnere standard normal kumulativ distribusjon til den valgte cellen. Denne operatøren tilhører den statistiske kategorien av standard Excel-funksjoner.
I Excel 2007 og tidligere versjoner av programmet ble denne operatøren kalt NORMSFORDELING. Av kompatibilitetsgrunner beholdes den i moderne versjoner av applikasjoner. Men likevel anbefaler de bruk av en mer avansert analog - NORM.ST.DIST..
Operatørsyntaks NORM.ST.DIST. følgende:
NORM.ST.FORDELING(z;integral)
Eldre operatør NORMSFORDELING er skrevet slik:
NORMSFORDELING(z)
Som du kan se, i den nye versjonen av det eksisterende argumentet "Z" argument lagt til "Integral". Det skal bemerkes at hvert argument er nødvendig.
Argument "Z" angir den numeriske verdien som fordelingen er konstruert for.
Argument "Integral" representerer en boolsk verdi som kan ha en representasjon "EKTE" ("1") eller "Å LIGGE" («0») . I det første tilfellet returneres den kumulative fordelingsfunksjonen til den angitte cellen, og i det andre tilfellet returneres vektfordelingsfunksjonen.
Løsningen på problemet
For å utføre den nødvendige beregningen for en variabel, bruk følgende formel:
NORM.ST.FORDELING(z;integral(1))-0,5
La oss nå se på bruken av operatøren ved å bruke et spesifikt eksempel NORM.ST.DIST.å løse et spesifikt problem.
Laplace-funksjonen er en ikke-elementær funksjon og brukes ofte både i teorien om differensialligninger og sannsynlighetsteori, og i statistikk. Laplace-funksjonen krever et visst sett med kunnskap og opplæring, fordi den lar deg løse ulike problemer innen anvendte og teoretiske applikasjoner.
Laplace-funksjonen brukes ofte til å løse differensialligninger og kalles ofte sannsynlighetsintegralet. La oss se hvordan denne funksjonen kan brukes i Excel og hvordan den fungerer.
Sannsynlighetsintegralen eller Laplace-funksjonen i Excel tilsvarer operatoren "NORMSDIST", som har syntaksen: "=NORMSDIST(z). I nyere versjoner av programmet har operatøren også navnet "NORM.ST.DIST." og en litt modifisert syntaks "=NORM.ST.DIST(z; integral).
"Z"-argumentet er ansvarlig for den numeriske verdien av distribusjonen. Argumentet "Integral" returnerer to verdier - "1" - integralfordelingsfunksjonen, "0" - vektfordelingsfunksjonen.
Vi har ordnet teorien. La oss gå videre til praksis. La oss se på å bruke Laplace-funksjonen i Excel.
1. Skriv en verdi i en celle og sett inn en funksjon i den neste.
2. La oss skrive funksjonen manuelt "=NORM.ST.FORDELING(B4;1).
3. Eller vi bruker veiviseren for funksjonsinnsetting - gå til kategorien "Statisk" og angi "Full alfabetisk liste.
4. Angi startverdiene i funksjonsargumentvinduet som vises. Vår opprinnelige celle vil være ansvarlig for "Z"-variabelen, og sette inn "1" i "Integral". Vår funksjon vil returnere den kumulative distribusjonsfunksjonen.
5. Vi får en ferdig løsning av standard normal integralfordeling for denne funksjonen “NORM.ST.DIST”. Men det er ikke alt, målet vårt var å finne Laplace-funksjonen eller sannsynlighetsintegralet, så la oss utføre noen flere trinn.
6. Laplace-funksjonen innebærer at "0,5" må trekkes fra verdien av den resulterende funksjonen. Vi legger til den nødvendige operasjonen til funksjonen. Vi trykker "Enter" og får den endelige løsningen. Ønsket verdi er riktig og raskt funnet.
Excel beregner enkelt denne funksjonen for alle celleverdier, celleområde eller cellereferanser. «NORM.ST.DIST»-funksjonen er en standardoperator for å søke etter sannsynlighetsintegralet eller, som det også kalles, Laplace-funksjonen.
Bayes formel
Hendelser B 1, B 2,..., B n er inkompatible og danner en komplett gruppe, dvs. P(B 1)+ P(B 2)+...+ P(B n)=1. Og la hendelse A bare inntreffe når en av hendelsene B 1,B 2,...,B n vises. Da finner man sannsynligheten for hendelse A ved å bruke totalsannsynlighetsformelen.
La hendelse A allerede ha skjedd. Da kan sannsynlighetene for hypotesene B 1, B 2,..., B n overvurderes ved å bruke Bayes-formelen:
Bernoullis formel
La n uavhengige forsøk utføres, i hver av disse hendelsene A kan eller ikke kan forekomme. Sannsynligheten for forekomst (ikke-forekomst) av hendelse A er den samme og lik p (q=1-p).
Sannsynligheten for at hendelse A i n uavhengige forsøk vil skje nøyaktig én gang (avhengig av hvilken rekkefølge) er funnet ved å bruke Bernoullis formel:
Sannsynligheten for at en hendelse vil inntreffe i n uavhengige forsøk er:
EN). Mindre enn ganger Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(k-1).
b). Mer enn én gang P n (k+1)+P n (k+2)+...+P n (n).
V). minst ganger Pn(k)+Pn(k+1)+…+Pn(n).
G). ikke mer enn k ganger P n (0)+P n (1)+...+P n (k).
Lokale og integrerte teoremer fra Laplace.
Vi bruker disse teoremene når n er stor nok.
Lokal Laplace-teorem
Sannsynligheten for at en hendelse vil inntreffe nøyaktig "k" ganger i n uavhengige forsøk er omtrent lik:
Funksjonstabellen for positive verdier (x) er gitt i Gmurman-oppgaveboken i vedlegg 1, s. 324-325.
Siden () er partall, bruker vi samme tabell for negative verdier (x).
Laplaces integralteorem.
Sannsynligheten for at en hendelse vil inntreffe minst 'k' ganger i n uavhengige forsøk er omtrent lik:
Laplace funksjon
Tabellen over funksjoner for positive verdier er gitt i Gmurman problemboken i vedlegg 2, s. 326-327. For verdier større enn 5 setter vi Ф(х)=0,5.
Siden Laplace-funksjonen er oddetall Ф(-х)=-Ф(х), bruker vi den samme tabellen for negative verdier (x), bare vi tar funksjonsverdiene med et minustegn.
Lov om sannsynlighetsfordeling av en diskret tilfeldig variabel
Binomialfordelingslov.
Diskret- en tilfeldig variabel, hvis mulige verdier er individuelle isolerte tall, som denne variabelen tar med visse sannsynligheter. Med andre ord kan de mulige verdiene til en diskret tilfeldig variabel nummereres.
Antallet mulige verdier for en diskret tilfeldig variabel kan være endelig eller uendelig.
Diskrete tilfeldige variabler er merket med store bokstaver X, og deres mulige verdier med små bokstaver x1, x2, x3...
For eksempel.
X er antall poeng kastet på terningen; X tar seks mulige verdier: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 med sannsynligheter p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 = 1/6.
Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel navngi en liste over mulige verdier og deres tilsvarende sannsynligheter.
Fordelingsloven kan gis:
1. i form av en tabell.
2. Analytisk - i form av en formel.
3. grafisk. I dette tilfellet, i det rektangulære XOP-koordinatsystemet, er punktene M1(x1,р1), М2(x2,р2), ... Мn(хn,рn) konstruert. Disse punktene er forbundet med rette segmenter. Den resulterende figuren kalles distribusjonspolygon.
For å skrive distribusjonsloven til en diskret tilfeldig variabel (x), er det nødvendig å liste opp alle mulige verdier og finne de tilsvarende sannsynlighetene.
Hvis de tilsvarende sannsynlighetene er funnet ved bruk av Bernoulli-formelen, kalles en slik distribusjonslov binomial.
Eksempel nr. 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
Numeriske verdier av diskrete tilfeldige variabler.
Forventning, varians og standardavvik.
Karakteristikken for gjennomsnittsverdien til en diskret tilfeldig variabel er den matematiske forventningen.
Matematisk forventning En diskret tilfeldig variabel er summen av produktene av alle dens mulige verdier og deres sannsynligheter. De. hvis fordelingsloven er gitt, så den matematiske forventningen
Hvis antallet mulige verdier for en diskret tilfeldig variabel er uendelig, da
Dessuten konvergerer serien på høyre side av likheten absolutt, og summen av alle sannsynligheter pi er lik én.
Egenskaper for matematisk forventning.
1. M(C)=C, C=konstant.
2. M(Cx)=CM(x)
3. M(x1+x2+…+xn)=M(x1)+M(x2)+…+M(xn)
4. M(x1*x2*…*xn)=M(x1)*M(x2)*…*M(xn).
5. For en binomial distribusjonslov finnes den matematiske forventningen av formelen:
Kjennetegn på spredningen av mulige verdier av en tilfeldig variabel rundt den matematiske forventningen er spredning og standardavvik.
Forskjell diskret tilfeldig variabel (x) kalles den matematiske forventningen til kvadratavviket. D(x)=M(x-M(x)) 2.
Det er praktisk å beregne dispersjonen ved å bruke formelen: D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2.
Egenskaper for spredning.
1. D(S)=0, C=konstant.
2. D(Cx)=C 2D(x)
3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)
4. Spredning av binomialfordelingsloven
Standardavvik en tilfeldig variabel kalles kvadratroten av variansen.
eksempler. 191, 193, 194, 209, d/z.
Kumulativ distribusjonsfunksjon (CDF) av sannsynlighetene for en kontinuerlig tilfeldig variabel (RCV). Kontinuerlige- en mengde som kan ta alle verdier fra et begrenset eller uendelig intervall. Det er en rekke mulige verdier for NSV, og den kan ikke omnummereres.
For eksempel.
Avstanden et prosjektil tilbakelegger ved avfyring er NSV.
IFR kalles en funksjon F(x), som bestemmer for hver verdi x sannsynligheten for at NSV X vil ta verdien X<х, т.е. F(x)=Р(X Ofte, i stedet for IFR, sier de FR. Geometrisk sett er likheten F(x)=P(X Egenskaper til IF. 1. IF-verdien tilhører intervallet, dvs. F(x). 2. IF er en ikke-minkende funksjon, dvs. x2>x1. Konsekvens 1. Sannsynligheten for at NSV X tar en verdi inneholdt i intervallet (a; b) er lik inkrementet til integralfunksjonen på dette intervallet, dvs. P(a Konsekvens 2. Sannsynligheten for at NSV X tar én spesifikk verdi, for eksempel x1=0, er lik 0, dvs. P(x=x1)=0. 3. Hvis alle mulige verdier av NSV X tilhører (a;c), så F(x)=0 ved x<а, и F(x)=1 при х>V. Konsekvens 3. Følgende grenseforhold er gyldige. Differensialfordelingsfunksjon (DDF) av sannsynlighetene for en kontinuerlig tilfeldig variabel (RNV) (sannsynlighetstetthet). DF f(x) sannsynlighetsfordelinger av NSV kalles den første deriverte av IFR: Ofte, i stedet for PDR, sier de sannsynlighetstetthet (PD). Fra definisjonen følger det at når vi kjenner DF F(x), kan vi finne DF f(x). Men den inverse transformasjonen utføres også: når du kjenner DF f(x), kan du finne DF F(x). Sannsynligheten for at NSV X tar en verdi som tilhører (a;b) er funnet: EN). Hvis IF er gitt, konsekvens 1. B). Hvis DF er spesifisert Egenskaper til DF. 1. DF - ikke negativ, dvs. . 2. det upassende integralet av DF innenfor () er lik 1, dvs. . Konsekvens 1. Hvis alle mulige verdier av NSV X tilhører (a;c), så. Eksempler. nr. 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/z. Numeriske egenskaper ved NSV. 1. Matematisk forventning (ME) til NSV X, hvis mulige verdier tilhører hele OX-aksen, bestemmes av formelen: Hvis alle mulige verdier av NSV X tilhører (a;c), bestemmes MO av formelen: Alle MO-egenskaper angitt for diskrete mengder er også bevart for kontinuerlige mengder. 2. Spredningen av NSV X, hvis mulige verdier tilhører hele OX-aksen, bestemmes av formelen: Hvis alle mulige verdier av NSV X tilhører (a;c), bestemmes spredningen av formelen: Alle spredningsegenskaper spesifisert for diskrete mengder er også bevart for kontinuerlige mengder. 3. Standardavviket til NSV X bestemmes på samme måte som for diskrete mengder: Eksempler. nr. 276, 279, X, d/z. Operasjonell beregning (OC). OR er en metode som lar deg redusere operasjonene for differensiering og integrering av funksjoner til enklere handlinger: multiplikasjon og divisjon ved argumentet til de såkalte bildene av disse funksjonene. Å bruke OI gjør det lettere å løse mange problemer. Spesielt problemer med integrasjon av LDE-er med konstante koeffisienter og systemer for slike ligninger, noe som reduserer dem til lineære algebraiske. Originaler og bilder. Laplace forvandler seg. f(t)-original; F(p)-bilde. Overgangen f(t)F(p) kalles Laplace transformasjon. Laplace-transformasjonen av en funksjon f(t) kalles F(p), avhengig av en kompleks variabel og definert av formelen: Dette integralet kalles Laplace-integralet. For konvergens av dette upassende integralet er det tilstrekkelig å anta at i intervallet f(t) er stykkevis kontinuerlig og for noen konstanter M>0 og tilfredsstiller ulikheten En funksjon f(t) som har slike egenskaper kalles opprinnelig, og overgangen fra originalen til bildet kalles Laplace transformasjon. Egenskaper til Laplace-transformasjonen. Direkte bestemmelse av bilder ved hjelp av formel (2) er vanligvis vanskelig og kan gjøres betydelig lettere ved å bruke egenskapene til Laplace-transformasjonen. La F(p) og G(p) være bilder av henholdsvis originalene f(t) og g(t). Da gjelder følgende egenskaper-relasjoner: 1. С*f(t)С*F(p), С=const - homogenitetsegenskap. 2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - additivitetsegenskap. 3. f(t)F(p-) - forskyvningsteorem. overgang av den n-te deriverte av originalen til et bilde (teorem om differensiering av originalen).
