Teori om mekaniske vibrasjoner. Grunnleggende om teorien om vibrasjoner av mekaniske systemer

Vi har allerede sett på opprinnelsen til klassisk mekanikk, materialers styrke og elastisitetsteori. Den viktigste komponenten i mekanikk er også teorien om svingninger. Vibrasjoner er hovedårsaken til ødeleggelse av maskiner og strukturer. På slutten av 1950-tallet. 80 % av utstyrsulykkene skjedde på grunn av økte vibrasjoner. Vibrasjoner har også en skadelig effekt på personer som er involvert i driften av utstyr. De kan også forårsake svikt i kontrollsystemer.

Til tross for alt dette dukket teorien om oscillasjoner opp som en uavhengig vitenskap først ved begynnelsen av 1800-tallet. Imidlertid beregninger av maskiner og mekanismer opp til begynnelsen XX århundre ble utført i en statisk setting. Utviklingen av maskinteknikk, økningen i kraften og hastigheten til dampmotorer samtidig som de reduserer vekten, fremveksten av nye typer motorer - forbrenningsmotorer og dampturbiner - førte til behovet for å utføre styrkeberegninger som tar hensyn til dynamisk laster. Som regel oppsto nye problemer i teorien om vibrasjoner i teknologi under påvirkning av ulykker eller til og med katastrofer som følge av økte vibrasjoner.

Oscillasjoner er bevegelser eller endringer i tilstand som har varierende grad av repeterbarhet.

Oscillasjonsteori kan deles inn i fire perioder.

Jegperiode– fremveksten av teorien om oscillasjoner innenfor rammen av teoretisk mekanikk (slutten av 1500-tallet – slutten av 1700-tallet). Denne perioden er preget av fremveksten og utviklingen av dynamikk i verkene til Galileo, Huygens, Newton, d'Alembert, Euler, D. Bernoulli og Lagrange.

Grunnleggeren av teorien om svingninger var Leonhard Euler. I 1737 begynte L. Euler, på vegne av St. Petersburg Academy of Sciences, forskning på balansen og bevegelsen til et skip, og i 1749 ble hans bok «Ship Science» publisert i St. Petersburg. Det var i dette arbeidet til Euler at grunnlaget for teorien om statisk stabilitet og teorien om svingninger ble lagt.

Jean Leron d'Alembert undersøkte i sine mange arbeider individuelle problemer, for eksempel små svingninger av et legeme rundt massesenteret og rundt rotasjonsaksen i forbindelse med problemet med presesjon og nutasjon av jorden, svingninger av en pendel , en flytende kropp, en fjær osv. Men den generelle teorien d'Alembert skapte ingen nøling.

Den viktigste anvendelsen av metodene for vibrasjonsteori var den eksperimentelle bestemmelsen av torsjonsstivheten til en ledning, utført av Charles Coulomb. Coulomb etablerte også eksperimentelt egenskapen til isokronisme av små oscillasjoner i dette problemet. Ved å studere demping av vibrasjoner, kom denne store eksperimentatoren til den konklusjon at hovedårsaken ikke var luftmotstand, men tap fra intern friksjon i trådmaterialet.

Et stort bidrag til grunnlaget for teorien om oscillasjoner ble gitt av L. Euler, som la grunnlaget for teorien om statisk stabilitet og teorien om små svingninger, d'Alembert, D. Bernoulli og Lagrange. begreper om perioden og frekvensen av svingninger, formen på svingninger ble dannet, og begrepet små svingninger ble tatt i bruk, prinsippet om superposisjon av løsninger ble formulert, og det ble forsøkt å utvide løsningen til en trigonometrisk serie.

De første problemene i teorien om svingninger var problemene med svingninger av en pendel og en streng. Vi har allerede snakket om svingningene til pendelen - det praktiske resultatet av å løse dette problemet var oppfinnelsen av klokken av Huygens.

Når det gjelder problemet med strengvibrasjoner, er dette et av de viktigste problemene i historien om utviklingen av matematikk og mekanikk. La oss se nærmere på det.

Akustisk streng Dette er en ideell, glatt, tynn og fleksibel tråd med begrenset lengde laget av solid materiale, strukket mellom to faste punkter. I moderne tolkning, problemet med tverrgående vibrasjoner av en lengdestreng l reduserer til å finne en løsning på differensialligningen (1) i partielle deriverte. Her x er koordinaten til strengpunktet langs lengden, og y- dens tverrgående forskyvning; H- strengspenning, – dens løpevekt. en er hastigheten på bølgeutbredelsen. En lignende ligning beskriver også de langsgående vibrasjonene til luftsøylen i røret.

I dette tilfellet må den innledende fordelingen av avvik av strengpunkter fra en rett linje og deres hastigheter spesifiseres, dvs. ligning (1) må tilfredsstille startbetingelsene (2) og grensebetingelsene (3).

De første fundamentale eksperimentelle studiene av strengvibrasjoner ble utført av den nederlandske matematikeren og mekanikeren Isaac Beckmann (1614–1618) og M. Mersenne, som etablerte en rekke regelmessigheter og publiserte resultatene hans i 1636 i «Konsonansboken»:

Mersennes lover ble teoretisk bekreftet i 1715 av Newtons student Brooke Taylor. Han betrakter en streng som et system av materielle punkter og aksepterer følgende forutsetninger: alle punkter i strengen passerer samtidig gjennom deres likevektsposisjoner (sammenfaller med aksen x) og kraften som virker på hvert punkt er proporsjonal med dets forskyvning y i forhold til aksen x. Dette betyr at det reduserer problemet til et system med én frihetsgrad - ligning (4). Taylor oppnådde riktig den første naturlige frekvensen (grunntone) - (5).

D'Alembert i 1747 for dette problemet brukte metoden for å redusere problemet med dynamikk til problemet med statikk (d'Alemberts prinsipp) og oppnådde differensialligningen for oscillasjoner av en homogen streng i partielle deriverte (1) - den første ligningen av matematisk fysikk. Han søkte en løsning på denne ligningen i form av en sum av to vilkårlige funksjoner (6)

Hvor Og – periodiske funksjoner i periode 2 l. Når du skal avklare spørsmålet om typen funksjoner Og d'Alembert tar hensyn til grensebetingelser (1.2), forutsatt at når
strengen faller sammen med aksen x. Meningen er
ikke spesifisert i problemstillingen.

Euler vurderer det spesielle tilfellet når
strengen avbøyes fra sin likevektsposisjon og slippes uten starthastighet. Det viktige er at Euler ikke legger noen begrensninger på den opprinnelige formen på strengen, dvs. krever ikke at den kan spesifiseres analytisk ved å vurdere en kurve som "kan tegnes for hånd." Det endelige resultatet oppnådd av forfatteren: if
formen på strengen er beskrevet av ligningen
, så ser svingningene slik ut (7). Euler reviderte sitt syn på funksjonsbegrepet, i motsetning til den tidligere ideen om det bare som et analytisk uttrykk. Dermed ble klassen av funksjoner som skulle studeres i analyse utvidet, og Euler kom til den konklusjon at "siden enhver funksjon vil definere en viss linje, er det motsatte også sant - buede linjer kan reduseres til funksjoner."

Løsningene oppnådd av d'Alembert og Euler representerer loven om strengsvingninger i form av to bølger som løper mot hverandre, men de var ikke enige i spørsmålet om formen til funksjonen som definerer bøyelinjen.

D. Bernoulli tok en annen vei i å studere strengvibrasjoner, og bryte strengen i materielle punkter, hvor antallet han anså som uendelig. Han introduserer begrepet enkel harmonisk oscillasjon av et system, dvs. en slik bevegelse der alle punkter i systemet vibrerer synkront med samme frekvens, men forskjellige amplituder. Eksperimenter utført med klingende kropper førte D. Bernoulli til ideen om at den mest generelle bevegelsen av en streng består i samtidig fremføring av alle tilgjengelige bevegelser. Dette er den såkalte superposisjonen av løsninger. Derfor fikk han i 1753, basert på fysiske betraktninger, en generell løsning for strengvibrasjoner, og presenterte den som en sum av delløsninger, for hver av disse bøyes strengen i form av en karakteristisk kurve (8).

I denne serien er den første oscillasjonsmodusen en halv sinusbølge, den andre er en hel sinusbølge, den tredje består av tre halvsinusbølger, etc. Deres amplituder er representert som funksjoner av tid og er i hovedsak generaliserte koordinater for systemet som vurderes. I følge løsningen til D. Bernoulli er bevegelsen av strengen en uendelig serie av harmoniske svingninger med perioder
. I dette tilfellet er antall noder (faste punkter) én mindre enn antall naturlige frekvenser. Ved å begrense rekke (8) til et endelig antall ledd, får vi et endelig antall ligninger for et kontinuumssystem.

D. Bernoullis løsning inneholder imidlertid en unøyaktighet – den tar ikke hensyn til at faseforskyvningen til hver harmoniske av oscillasjoner er forskjellig.

D. Bernoulli, som presenterte løsningen i form av en trigonometrisk serie, brukte prinsippet om superposisjon og utvidelse av løsningen til et komplett system av funksjoner. Han mente med rette at det ved hjelp av ulike termer i formel (8) er mulig å forklare de harmoniske tonene som strengen sender ut samtidig med grunntonen. Han betraktet dette som en generell lov, gyldig for ethvert system av kropper som utfører små svingninger. Den fysiske motivasjonen kan imidlertid ikke erstatte det matematiske beviset, som ikke ble presentert på den tiden. På grunn av dette forsto ikke kollegene D. Bernoullis løsning, selv om K. A. Clairaut tilbake i 1737 brukte serieutvidelsen av funksjoner.

Tilstedeværelsen av to forskjellige måter å løse problemet med strengvibrasjoner på skapte oppsikt blant ledende forskere på 1700-tallet. heftig debatt - "strengtvist". Denne tvisten gjaldt hovedsakelig spørsmål om hvilken form tillatte løsninger på problemet har, om den analytiske representasjonen av en funksjon, og om det er mulig å representere en vilkårlig funksjon i form av en trigonometrisk serie. I "strengtvisten" ble et av de viktigste analysebegrepene utviklet - funksjonsbegrepet.

D'Alembert og Euler var ikke enige i at løsningen foreslått av D. Bernoulli kunne være generell. Spesielt kunne ikke Euler være enig i at denne serien kunne representere noen "fritt tegnet kurve", slik han selv nå definerte funksjonsbegrepet.

Joseph Louis Lagrange, som gikk inn i kontrovers, brøt strengen i små buer av lik lengde med massen konsentrert i sentrum, og undersøkte løsningen av et system med vanlige differensialligninger med et begrenset antall frihetsgrader. Deretter passerte Lagrange til grensen og oppnådde et resultat som ligner resultatet til D. Bernoulli, uten å imidlertid på forhånd postulere at den generelle løsningen må være en uendelig sum av delløsninger. Samtidig foredler han D. Bernoullis løsning, presenterer den i formen (9), og utleder også formler for å bestemme koeffisientene til denne serien. Selv om løsningen til grunnleggeren av analytisk mekanikk ikke oppfylte alle kravene til matematisk strenghet, var det et betydelig skritt fremover.

Når det gjelder utvidelsen av løsningen til en trigonometrisk serie, mente Lagrange at serien divergerer under vilkårlige startforhold. 40 år senere, i 1807, fant J. Fourier igjen utvidelsen av en funksjon til en trigonometrisk serie for tredje gang og viste hvordan dette kan brukes til å løse problemet, og bekreftet dermed riktigheten av D. Bernoullis løsning. Et fullstendig analytisk bevis på Fouriers teorem om utvidelsen av en periodisk funksjon med én verdi til en trigonometrisk serie ble gitt i Todgönthers integralregning og i Thomson (Lord Kelvin) og Taits Treatise on Natural Philosophy.

Forskning på frie vibrasjoner av en strukket streng fortsatte i to århundrer, regnet fra arbeidet til Beckmann. Dette problemet fungerte som en kraftig stimulans for utviklingen av matematikk. Med tanke på svingningene til kontinuumsystemer, skapte Euler, d'Alembert og D. Bernoulli en ny disiplin - matematisk fysikk. Matematisering av fysikk, dvs. dens presentasjon gjennom ny analyse, er Eulers største fortjeneste, takket være hvilken nye veier i vitenskapen ble banet. Den logiske utviklingen av resultatene Euler og Fourier kom opp med den velkjente definisjonen av en funksjon av Lobachevsky og Lejeune Dirichlet, basert på ideen om en en-til-en korrespondanse av to sett. Dirichlet beviste også muligheten for utvidelse av stykkevis kontinuerlige og monotone funksjoner til en Fourier-serie. En endimensjonal bølgeligning ble også oppnådd og likheten mellom de to løsningene ble etablert, som matematisk bekreftet sammenhengen mellom vibrasjoner og bølger. Det faktum at en vibrerende streng genererer lyd, fikk forskere til å tenke på identiteten til prosessen med lydutbredelse og prosessen med strengvibrasjon. Den viktigste rollen til grense- og startbetingelser i slike problemer ble også identifisert. For utviklingen av mekanikk var et viktig resultat bruken av d'Alemberts prinsippet for å skrive differensialligninger av bevegelse, og for teorien om svingninger spilte dette problemet også en veldig viktig rolle, nemlig prinsippet om superposisjon og utvidelse av løsningen når det gjelder naturlige vibrasjonsmåter ble brukt, de grunnleggende konseptene til teorien av vibrasjoner ble formulert - naturlig frekvens og vibrasjonsmåte.

Resultatene oppnådd for frie vibrasjoner av en streng tjente som grunnlag for etableringen av teorien om vibrasjoner av kontinuumsystemer. Ytterligere studier av vibrasjonene til inhomogene strenger, membraner og stenger krevde oppdagelsen av spesielle metoder for å løse de enkleste hyperbolske ligningene av andre og fjerde orden.

Problemet med frie vibrasjoner fra en strukket streng interesserte selvsagt forskere, selvfølgelig ikke på grunn av dens praktiske anvendelse; lovene for disse vibrasjonene var i en eller annen grad kjent for håndverkere som laget musikkinstrumenter. Dette er bevist av de uovertrufne strengeinstrumentene til slike mestere som Amati, Stradivari, Guarneri og andre, hvis mesterverk ble skapt tilbake på 1600-tallet. Interessene til de største forskerne som jobbet med dette problemet lå mest sannsynlig i ønsket om å gi et matematisk grunnlag for de allerede eksisterende lovene for strengvibrasjon. I denne saken ble den tradisjonelle veien til enhver vitenskap avslørt, og startet med å lage en teori som forklarer allerede kjente fakta, for deretter å finne og studere ukjente fenomener.

IIperiode – analytisk(slutten av 1700-tallet - slutten av 1800-tallet). Det viktigste trinnet i utviklingen av mekanikk ble oppnådd av Lagrange, som skapte en ny vitenskap - analytisk mekanikk. Begynnelsen av den andre perioden med utvikling av teorien om svingninger er assosiert med arbeidet til Lagrange. I sin bok Analytical Mechanics, utgitt i Paris i 1788, oppsummerte Lagrange alt som hadde blitt gjort innen mekanikk på 1700-tallet og formulerte en ny tilnærming til å løse problemene. I doktrinen om likevekt forlot han de geometriske metodene for statikk og foreslo prinsippet om mulige forskyvninger (Lagranges prinsipp). I dynamikk oppnådde Lagrange, etter å ha samtidig brukt d'Alembert-prinsippet og prinsippet om mulige forskyvninger, en generell variasjonsligning av dynamikk, som også kalles d'Alembert-Lagrange-prinsippet. Til slutt introduserte han konseptet med generaliserte koordinater og oppnådde bevegelsesligningene i den mest praktiske formen - Lagrange-ligningene av den andre typen.

Disse ligningene ble grunnlaget for etableringen av teorien om små oscillasjoner, beskrevet av lineære differensialligninger med konstante koeffisienter. Linearitet er sjelden iboende i et mekanisk system, og er i de fleste tilfeller et resultat av dets forenkling. Tatt i betraktning små oscillasjoner nær likevektsposisjonen, som oppstår ved lave hastigheter, er det mulig å forkaste termer av andre og høyere ordener i bevegelsesligningene med hensyn til generaliserte koordinater og hastigheter.

Anvendelse av Lagrange-ligninger av den andre typen for konservative systemer

vi får systemet s lineære differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter

, (11)

Hvor Jeg Og C– henholdsvis treghetsmatriser og stivhetsmatriser, hvis komponenter vil være treghets- og elastiske koeffisienter.

En spesiell løsning (11) søkes i skjemaet

og beskriver en monoharmonisk oscillerende modus med en frekvens k, det samme for alle generaliserte koordinater. Differensiere (12) to ganger mht t og erstatte resultatet i ligninger (11), får vi et system med lineære homogene ligninger for å finne amplituder i matriseform

. (13)

Siden når systemet oscillerer, kan ikke alle amplituder være lik null, er determinanten lik null

. (14)

Frekvensligningen (14) ble kalt den sekulære ligningen, siden den først ble vurdert av Lagrange og Laplace i teorien om sekulære forstyrrelser av elementer i planetbaner. Det er en ligning s-grad slektning , antall røtter er lik antallet frihetsgrader til systemet. Disse røttene er vanligvis ordnet i stigende rekkefølge, og de danner et spektrum av sine egne frekvenser. Til hver rot tilsvarer en bestemt løsning av formen (12), settet s amplituder representerer formen på vibrasjonene, og den totale løsningen er summen av disse løsningene.

Lagrange ga uttalelsen til D. Bernoulli at den generelle oscillerende bevegelsen til et system av diskrete punkter består av samtidig utførelse av alle dets harmoniske oscillasjoner, i form av en matematisk teorem, ved å bruke teorien om integrasjon av differensialligninger med konstante koeffisienter, opprettet av Euler på 40-tallet av 1700-tallet. og prestasjonene til d'Alembert, som viste hvordan systemer med slike ligninger er integrert.Samtidig var det nødvendig å bevise at røttene til den eldgamle ligningen er ekte, positive og ulik hverandre.

I Analytical Mechanics oppnådde Lagrange således frekvensligningen i generell form. Samtidig gjentar han feilen som ble gjort av d'Alembert i 1761, at de multiple røttene til den sekulære ligningen tilsvarer en ustabil løsning, siden det i dette tilfellet angivelig er sekulære eller sekulære termer som inneholder t ikke under sinus- eller cosinustegnet. I denne forbindelse mente både d'Alembert og Lagrange at frekvensligningen ikke kan ha flere røtter (d'Alembert–Lagrange paradoks). Det var nok for Lagrange å vurdere i det minste en sfærisk pendel eller svingningene til en stang hvis tverrsnitt er for eksempel rundt eller firkantet, for å bli overbevist om at flere frekvenser er mulige i konservative mekaniske systemer. Feilen som ble gjort i den første utgaven av Analytical Mechanics ble gjentatt i den andre utgaven (1812), utgitt under Lagranges levetid, og i den tredje (1853). Den vitenskapelige autoriteten til d'Alembert og Lagrange var så høy at denne feilen ble gjentatt av både Laplace og Poisson, og den ble korrigert bare nesten 100 år senere uavhengig av hverandre i 1858 av K. Weierstrass og i 1859 av Osip Ivanovich Somov , som ga et stort bidrag til utviklingen av teorien om oscillasjoner av diskrete systemer.

For å bestemme frekvensene og formene for frie oscillasjoner til et lineært system uten motstand, er det derfor nødvendig å løse den sekulære ligningen (13). Gradslikninger høyere enn den femte har imidlertid ingen analytisk løsning.

Problemet var ikke bare å løse den sekulære ligningen, men også i større grad kompilere den, siden den utvidede determinanten (13) har
termer, for eksempel for et system med 20 frihetsgrader, er antall termer 2,4 10 18, og tiden for å avsløre en slik determinant for den kraftigste datamaskinen på 1970-tallet, som utfører 1 million operasjoner per sekund, er omtrent 1,5 millioner år , og for en moderne datamaskin er den «bare» noen hundre år gammel.

Problemet med å bestemme frekvenser og former for frie vibrasjoner kan også betraktes som et problem med lineær algebra og løses numerisk. Omskriving av likhet (13) i skjemaet

, (14)

Merk at kolonnematrisen er en egenvektor til matrisen

, (15)

EN sin egen mening.

Å løse problemet med egenverdier og vektorer er et av de mest attraktive problemene i numerisk analyse. Samtidig er det umulig å foreslå en enkelt algoritme for å løse alle problemer som oppstår i praksis. Valget av algoritme avhenger av typen matrise, samt om det er nødvendig å bestemme alle egenverdier eller bare den minste (største) eller nær et gitt tall. I 1846 foreslo Carl Gustav Jacob Jacobi en iterativ rotasjonsmetode for å løse hele egenverdiproblemet. Metoden er basert på en uendelig sekvens av elementære rotasjoner, som i grensen forvandler matrise (15) til en diagonal. De diagonale elementene i den resulterende matrisen vil være de ønskede egenverdiene. I dette tilfellet er det nødvendig for å bestemme egenverdiene
aritmetiske operasjoner, og også for egenvektorer
operasjoner. I denne forbindelse metoden på 1800-tallet. fant ingen søknad og ble glemt i mer enn hundre år.

Det neste viktige trinnet i utviklingen av teorien om svingninger var arbeidet til Rayleigh, spesielt hans grunnleggende arbeid "The Theory of Sound". I denne boken undersøker Rayleigh oscillerende fenomener i mekanikk, akustikk og elektriske systemer fra et samlet synspunkt. Rayleigh eier en rekke grunnleggende teoremer i den lineære teorien om oscillasjoner (teoremer om stasjonaritet og egenskaper til naturlige frekvenser). Rayleigh formulerte også prinsippet om gjensidighet. I analogi med kinetisk og potensiell energi introduserte han den dissipative funksjonen, som ble kalt Rayleigh og representerer halvparten av energispredningshastigheten.

I The Theory of Sound foreslår Rayleigh også en omtrentlig metode for å bestemme den første egenfrekvensen til et konservativt system

, (16)

Hvor
. I dette tilfellet, for å beregne de maksimale verdiene for potensielle og kinetiske energier, tas en viss form for vibrasjon. Hvis det faller sammen med den første oscillasjonsmodusen til systemet, vil vi få den nøyaktige verdien av den første egenfrekvensen, men ellers er denne verdien alltid overvurdert. Metoden gir en nøyaktighet som er ganske akseptabel for praksis hvis den statiske deformasjonen av systemet tas som den første vibrasjonsmodusen.

Så tilbake på 1800-tallet, i verkene til Somov og Rayleigh, ble det dannet en metodikk for å konstruere differensialligninger som beskriver små oscillerende bevegelser av diskrete mekaniske systemer ved å bruke Lagrange-ligninger av den andre typen

hvor i generalisert kraft
alle kraftfaktorer skal inkluderes, med unntak av elastiske og dissipative, dekket av funksjonene R og P.

Lagrangeligninger (17) i matriseform, som beskriver tvangssvingninger i et mekanisk system, etter å ha erstattet alle funksjoner ser slik ut

. (18)

Her er dempningsmatrisen, og
– kolonnevektorer av henholdsvis generaliserte koordinater, hastigheter og akselerasjoner. Den generelle løsningen av denne ligningen består av frie og medfølgende svingninger, som alltid er dempet, og tvangssvingninger som oppstår med frekvensen til den forstyrrende kraften. La oss begrense oss til kun å vurdere en bestemt løsning som tilsvarer tvangssvingninger. Som en eksitasjon betraktet Rayleigh generaliserte krefter som varierte i henhold til en harmonisk lov. Mange tilskrev dette valget til enkelheten i saken under vurdering, men Rayleigh gir en mer overbevisende forklaring - Fourier-seriens utvidelse.

For et mekanisk system med mer enn to frihetsgrader, gir løsning av et ligningssystem visse vanskeligheter, som øker eksponentielt når rekkefølgen til systemet øker. Selv med fem til seks frihetsgrader kan ikke problemet med tvangssvingninger løses manuelt ved hjelp av den klassiske metoden.

I teorien om vibrasjoner av mekaniske systemer spilte små (lineære) vibrasjoner av diskrete systemer en spesiell rolle. Spektralteorien utviklet for lineære systemer krever ikke engang konstruksjon av differensialligninger, og for å få en løsning kan man umiddelbart skrive ned systemer med lineære algebraiske ligninger. Selv om det på midten av 1800-tallet ble utviklet metoder for å bestemme egenvektorer og egenverdier (Jacobi), samt å løse systemer med lineære algebraiske ligninger (Gauss), var deres praktiske anvendelse selv for systemer med et lite antall frihetsgrader. utelukket. Derfor, før ankomsten av tilstrekkelig kraftige datamaskiner, ble mange forskjellige metoder utviklet for å løse problemet med frie og tvungne oscillasjoner av lineære mekaniske systemer. Mange fremragende forskere - matematikere og mekanikere - har behandlet disse problemene; de ​​vil bli diskutert nedenfor. Fremkomsten av kraftig datateknologi har gjort det mulig ikke bare å løse store lineære problemer på et splitsekund, men også å automatisere prosessen med å komponere likningssystemer.

Altså i løpet av 1700-tallet. i teorien om små oscillasjoner av systemer med et begrenset antall frihetsgrader og oscillasjoner av kontinuum elastiske systemer, ble de grunnleggende fysiske skjemaene utviklet og prinsippene som er essensielle for den matematiske analysen av problemer ble forklart. For å lage teorien om mekaniske vibrasjoner som en uavhengig vitenskap, manglet det imidlertid en enhetlig tilnærming til å løse problemer med dynamikk, og det var ingen forespørsler fra teknologien om dens raskere utvikling.

Veksten av storindustri på slutten av 1700- og begynnelsen av 1800-tallet, forårsaket av den utbredte introduksjonen av dampmaskinen, førte til separasjon av anvendt mekanikk i en egen disiplin. Men frem til slutten av 1800-tallet ble styrkeberegninger utført i en statisk formulering, siden maskinene fortsatt var kraftsvake og saktegående.

På slutten av 1800-tallet, med økende hastighet og avtagende dimensjoner på maskiner, ble det umulig å neglisjere svingninger. Tallrike ulykker som skjedde på grunn av utbruddet av resonans eller tretthetssvikt under vibrasjoner tvang ingeniører til å ta hensyn til oscillerende prosesser. Blant problemene som oppsto i løpet av denne perioden, bør følgende bemerkes: sammenbruddet av broer fra passerende tog, torsjonsvibrasjoner av akslinger og vibrasjoner av skipsskrog begeistret av treghetskreftene til bevegelige deler av ubalanserte maskiner.

IIIperiode– dannelse og utvikling av den anvendte teorien om svingninger (1900–1960-tallet). Utvikling av maskinteknikk, forbedring av lokomotiver og skip, fremveksten av damp- og gassturbiner, høyhastighets forbrenningsmotorer, biler, fly, etc. krevde en mer nøyaktig analyse av spenninger i maskindeler. Dette ble diktert av kravene til en mer økonomisk bruk av metall. Avlastende strukturer har gitt opphav til vibrasjonsproblemer, som i økende grad blir avgjørende i spørsmål om maskinstyrke. På begynnelsen av 1900-tallet viser en rekke ulykker på en overbevisende måte hvilke katastrofale konsekvenser som kan følge av neglisjering av vibrasjoner eller uvitenhet om dem.

Fremveksten av ny teknologi stiller som regel nye utfordringer for teorien om svingninger. Så på 30- og 40-tallet. Nye problemer oppsto, som stallfladder og shimmy i luftfart, bøying og bøynings- og torsjonsvibrasjoner av roterende aksler osv., som krevde utvikling av nye metoder for å beregne vibrasjoner. På slutten av 20-tallet, først i fysikk og deretter i mekanikk, begynte studiet av ikke-lineære oscillasjoner. I forbindelse med utviklingen av automatiske kontrollsystemer og andre tekniske behov, fra 30-tallet, ble teorien om bevegelsesstabilitet mye utviklet og anvendt, basert på A. M. Lyapunovs doktorgradsavhandling "The General Problem of Motion Stability."

Mangelen på en analytisk løsning for problemer i teorien om svingninger, selv i en lineær formulering, på den ene siden, og datateknologi, på den andre, førte til utviklingen av et stort antall forskjellige numeriske metoder for å løse dem.

Behovet for å utføre beregninger av vibrasjoner for ulike typer utstyr førte til at de første kursene i vibrasjonsteori dukket opp på 1930-tallet.

Overgang til IVperiode(begynnelsen av 1960-tallet – nåtid) er assosiert med epoken med vitenskapelig og teknologisk revolusjon og er preget av fremveksten av ny teknologi, først og fremst luftfart og romfart, og robotsystemer. I tillegg har utviklingen av kraftteknikk, transport osv. brakt problemene med dynamisk styrke og pålitelighet på spissen. Dette forklares med en økning i driftshastigheter og en reduksjon i materialforbruk med et samtidig ønske om å øke levetiden til maskinene. I teorien om svingninger blir flere og flere problemer løst i en ikke-lineær formulering. Innen vibrasjoner av kontinuumsystemer, under påvirkning av forespørsler fra luftfart og romteknologi, oppstår det problemer med dynamikken til plater og skjell.

Den største innflytelsen på utviklingen av teorien om svingninger i denne perioden ble utøvd av fremveksten og den raske utviklingen av elektronisk datateknologi, noe som førte til utviklingen av numeriske metoder for å beregne oscillasjoner.

Oscillerende bevegelse Enhver bevegelse eller endring av tilstand kalles, karakterisert ved en eller annen grad av repeterbarhet i tid av verdiene til de fysiske størrelsene som bestemmer denne bevegelsen eller tilstanden. Oscillasjoner er karakteristiske for alle naturfenomener: strålingen fra stjerner pulserer; planetene i solsystemet roterer med en høy grad av periodisitet; vind provoserer vibrasjoner og bølger på overflaten av vannet; Inne i enhver levende organisme skjer det kontinuerlig forskjellige, rytmisk repeterende prosesser, for eksempel slår det menneskelige hjertet med utrolig pålitelighet.

Oscillasjoner skiller seg ut i fysikk mekanisk Og elektromagnetisk. Gjennom forplantning av mekaniske svingninger i lufttetthet og trykk, som vi oppfatter som lyd, samt svært raske svingninger i elektriske og magnetiske felt, som vi oppfatter som lys, mottar vi en stor mengde direkte informasjon om verden rundt oss. Eksempler på oscillerende bevegelser i mekanikk inkluderer svingninger av pendler, strenger, broer, etc.

Oscillasjoner kalles periodisk, hvis verdiene av fysiske mengder som endres under svingninger, gjentas med jevne mellomrom. Den enkleste typen periodiske oscillasjoner er harmoniske svingninger. Harmoniske oscillasjoner er de der den fluktuerende mengden endres over tid i henhold til sinus (eller cosinus) loven:

hvor x er forskyvningen fra likevektsposisjonen;

A – amplitude av oscillasjon – maksimal forskyvning fra likevektsposisjonen;

- syklisk frekvens;

- innledende oscillasjonsfase;

- oscillasjonsfase; den bestemmer forskyvningen til enhver tid, dvs. bestemmer tilstanden til det oscillerende systemet.

I tilfelle av strengt harmoniske svingninger av størrelsesorden A, Og ikke avhengig av tid.

Syklisk frekvens assosiert med perioden T av svingninger og frekvens forhold:

(2)

Periode T oscillasjoner er den korteste tidsperioden hvoretter verdiene av alle fysiske størrelser som karakteriserer oscillasjoner gjentas.

Frekvens oscillasjoner er antall komplette oscillasjoner utført per tidsenhet, målt i hertz (1 Hz = 1
).

Syklisk frekvens numerisk lik antall svingninger fullført i 2 sekunder

Oscillasjoner som oppstår i et system som ikke er utsatt for påvirkning av variable ytre krefter, som et resultat av ethvert innledende avvik i dette systemet fra en tilstand med stabil likevekt, kalles gratis(eller din egen).

Hvis systemet er konservativt, skjer det ingen energispredning under svingninger. I dette tilfellet kalles frie vibrasjoner udempet.

Hastighet Vi definerer oscillasjonene til et punkt som den deriverte av forskyvningen i tid:

(3)

Akselerasjon oscillerende punkt er lik den deriverte av hastigheten med hensyn til tid:

(4)

Ligning (4) viser at akselerasjon under harmoniske oscillasjoner er variabel, derfor er oscillasjonen forårsaket av virkningen av en variabel kraft.

Newtons andre lov tillater oss å skrive i generelle termer forholdet mellom kraft F og akselerasjon for rettlinjede harmoniske oscillasjoner av et materialpunkt med masse
:

Hvor
, (6)

k – elastisitetskoeffisient.

Dermed er kraften som forårsaker harmoniske vibrasjoner proporsjonal med forskyvningen og rettet mot forskyvningen. I denne forbindelse kan vi gi en dynamisk definisjon av en harmonisk oscillasjon: harmonisk er en oscillasjon forårsaket av en kraft direkte proporsjonal med forskyvningen x og rettet mot forskyvningen.

Gjenopprettingskraften kan for eksempel være en elastisk kraft. Krefter som har en annen karakter enn elastiske krefter, men som også tilfredsstiller betingelse (5), kalles kvasi-elastisk.

Ved rettlinjede svingninger langs x-aksen, akselerasjonen er lik:

.

Erstatter dette uttrykket med akselerasjon og betydningen av styrke
inn i Newtons andre lov, får vi grunnleggende ligning for rettlinjede harmoniske oscillasjoner:


 eller
(7)

Løsningen på denne ligningen er ligning (1).

Kursprogram teori om svingninger for studenter 4 FACI kurs


Disiplinen er basert på resultatene fra slike disipliner som klassisk generell algebra, teorien om vanlige differensialligninger, teoretisk mekanikk og teorien om funksjoner til en kompleks variabel. Et trekk ved studiet av disiplinen er den hyppige bruken av apparatet for matematisk analyse og andre relaterte matematiske disipliner, bruken av praktisk viktige eksempler fra fagområdet teoretisk mekanikk, fysikk, elektroteknikk og akustikk.


1. Kvalitativ analyse av bevegelse i et konservativt system med én frihetsgrad

  • Faseplanmetode
  • Avhengighet av oscillasjonsperioden på amplituden. Myke og harde systemer

2. Duffing-ligning

  • Uttrykk for den generelle løsningen av Duffing-ligningen i elliptiske funksjoner

3. Kvasilineære systemer

  • Van der Pol-variabler
  • Gjennomsnittsmetode

4. Avslappende svingninger

  • Van der Pol ligning
  • Enkelt forstyrrede systemer av differensialligninger

5. Dynamikk av ikke-lineære autonome systemer av generell form med én grad av frihet

  • Konseptet med "ruhet" til et dynamisk system
  • Bifurkasjoner av dynamiske systemer

6. Elementer i Floquets teori

  • Normale løsninger og multiplikatorer av lineære systemer av differensialligninger med periodiske koeffisienter
  • Parametrisk resonans

7. Hills ligning

  • Analyse av oppførselen til løsninger til en ligning av Hill-type som en illustrasjon av anvendelsen av Floquet-teori på lineære Hamilton-systemer med periodiske koeffisienter
  • Mathieus ligning som et spesialtilfelle av en Hill-type ligning. Ines-Strett diagram

8. Tvangssvingninger i et system med en ikke-lineær gjenopprettingskraft

  • Forholdet mellom amplituden til oscillasjonene og størrelsen på drivkraften som påføres systemet
  • Endring av kjøremodus ved endring av frekvensen på drivkraften. Konseptet med "dynamisk" hysterese

9. Adiabatiske invarianter

  • Handlingsvinkelvariabler
  • Bevaring av adiabatiske invarianter med en kvalitativ endring i bevegelsens natur

10. Dynamikk til flerdimensjonale dynamiske systemer

  • Konseptet ergodisitet og blanding i dynamiske systemer
  • Poincaré kart

11. Lorentz ligninger. Merkelig tiltrekker

  • Lorentz-ligninger som en modell for termokonveksjon
  • Bifurkasjoner av løsninger til Lorentz-ligninger. Overgang til kaos
  • Fraktal struktur av en merkelig attraktor

12. Endimensjonale skjermer. Feigenbaums allsidighet

  • Kvadratisk kartlegging - den enkleste ikke-lineære kartleggingen
  • Periodiske baner av kartlegginger. Bifurkasjoner av periodiske baner

Litteratur (hoved)

1. Moiseev N.N. Asymptotiske metoder for ikke-lineær mekanikk. – M.: Nauka, 1981.

2. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Innføring i teorien om svingninger og bølger. Ed. 2. Forskningssenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2000.

3. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Asymptotiske metoder i teorien om ikke-lineære oscillasjoner. – M.: Nauka, 1974.

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. Introduksjon til teorien om ikke-lineære svingninger. – M.: Nauka, 1987.

5. Loskutov A.Yu., Mikhailov A.S. Introduksjon til synergetikk. – M.: Nauka, 1990.

6. Karlov N.V., Kirichenko N.A. Oscillasjoner, bølger, strukturer.. - M.: Fizmatlit, 2003.

Litteratur (tillegg)

7. Zhuravlev V.F., Klimov D.M. Anvendte metoder i teorien om vibrasjoner. Forlag "Science", 1988.

8. Stocker J. Ikke-lineære svingninger i mekaniske og elektriske systemer. – M.: Utenlandsk litteratur, 1952.

9. Starzhinsky V.M., Anvendte metoder for ikke-lineære oscillasjoner. – M.: Nauka, 1977.

10. Hayashi T. Ikke-lineære oscillasjoner i fysiske systemer. – M.: Mir, 1968.

11. Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Oscillasjonsteori. – M.: Fizmatgiz, 1959.

Boken introduserer leseren til de generelle egenskapene til oscillerende prosesser som forekommer i radioteknikk, optiske og andre systemer, samt ulike kvalitative og kvantitative metoder for å studere dem. Betydelig oppmerksomhet rettes mot hensynet til parametriske, selvoscillerende og andre ikke-lineære oscillerende systemer.
Studiet av oscillasjonssystemene og prosessene i dem beskrevet i boken presenteres ved hjelp av velkjente metoder fra teorien om oscillasjoner uten en detaljert presentasjon og begrunnelse av selve metodene. Hovedoppmerksomheten rettes mot å belyse de grunnleggende egenskapene til de studerte oscillerende modellene av virkelige systemer ved å bruke de mest passende analysemetodene.

Frie oscillasjoner i en krets med ikke-lineær induktans.
La oss nå vurdere et annet eksempel på et elektrisk ikke-lineært konservativt system, nemlig en krets med induktans avhengig av strømmen som flyter gjennom den. Dette tilfellet har ikke en klar og enkel ikke-relativistisk mekanisk analog, siden avhengigheten av selvinduksjon av strøm er ekvivalent for mekanikk med tilfellet av avhengighet av masse av hastighet.

Vi møter elektriske systemer av denne typen når kjerner laget av ferromagnetisk materiale brukes i induktanser. I slike tilfeller er det for hver gitt kjerne mulig å oppnå forholdet mellom magnetiseringsfeltet og den magnetiske induksjonsfluksen. Kurven som viser denne avhengigheten kalles magnetiseringskurven. Hvis vi neglisjerer fenomenet hysterese, kan dets omtrentlige forløp representeres av grafen vist i fig. 1.13. Siden størrelsen på feltet H er proporsjonal med strømmen som flyter i spolen, kan strømmen plottes direkte på passende skala langs abscisseaksen.

Last ned e-boken gratis i et praktisk format, se og les:
Last ned boken Fundamentals of the Theory of Oscillations, Migulin V.V., Medvedev V.I., Mustel E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com, rask og gratis nedlasting.

  • Prinsipper for teoretisk fysikk, mekanikk, feltteori, elementer av kvantemekanikk, Medvedev B.V., 2007
  • Fysikkkurs, Ershov A.P., Fedotovich G.V., Kharitonov V.G., Pruuel E.R., Medvedev D.A.
  • Teknisk termodynamikk med det grunnleggende innen varmeoverføring og hydraulikk, Lashutina N.G., Makashova O.V., Medvedev R.M., 1988