Unified State Exam opplæringsoppgaver på derivater. Anvendelse av derivater i eksamensoppgaver

Geometrisk betydning av den deriverte X Y 0 tangent α k – vinkelkoeffisienten til den rette linjen (tangens) Geometrisk betydning av den deriverte: hvis en tangent kan trekkes til grafen til funksjonen y = f(x) i punktet med abscissen , ikke-parallell med y-aksen, så uttrykker den vinkelkoeffisienten til tangenten, dvs. Siden er likheten til den rette linjen sann

X y Hvis α 0. Hvis α > 90°, så k 90°, så k 90°, så k 90°, så k 90°, så k title="х y If α 0. Hvis α > 90°, deretter k

X y Oppgave 1. Figuren viser en graf av funksjonen y = f(x) og en tangent til denne grafen tegnet i punktet med abscisse -1. Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x =

Y x x0x Figuren viser en graf av funksjonen y = f(x) og en tangent til denne i punktet med abscissen x 0. Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x 0. Svar: -0,25

Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-6;6). Finn økningsintervallene til funksjonen f(x). I svaret ditt angir du summen av heltallspoeng som er inkludert i disse intervallene. B =...

Den deriverte av en funksjon er et av de vanskelige temaene i skolens læreplan. Ikke alle nyutdannede vil svare på spørsmålet om hva et derivat er.

Denne artikkelen forklarer på en enkel og tydelig måte hva et derivat er og hvorfor det er nødvendig.. Vi skal nå ikke etterstrebe matematisk strenghet i presentasjonen. Det viktigste er å forstå meningen.

La oss huske definisjonen:

Den deriverte er endringshastigheten til en funksjon.

Figuren viser grafer over tre funksjoner. Hvilken tror du vokser raskere?

Svaret er åpenbart - det tredje. Den har den høyeste endringshastigheten, det vil si det største derivatet.

Her er et annet eksempel.

Kostya, Grisha og Matvey fikk jobb samtidig. La oss se hvordan inntektene deres endret seg i løpet av året:

Grafen viser alt på en gang, ikke sant? Kostyas inntekt mer enn doblet seg på seks måneder. Og Grishas inntekt økte også, men bare litt. Og Matveys inntekt sank til null. Startbetingelsene er de samme, men endringshastigheten til funksjonen, altså derivat, - annerledes. Når det gjelder Matvey, er inntektsderivatet hans generelt negativt.

Intuitivt estimerer vi enkelt endringshastigheten til en funksjon. Men hvordan gjør vi dette?

Det vi egentlig ser på er hvor bratt grafen til en funksjon går opp (eller ned). Med andre ord, hvor raskt endres y når x endres? Det er klart at den samme funksjonen på forskjellige punkter kan ha forskjellige deriverte verdier - det vil si at den kan endre seg raskere eller langsommere.

Den deriverte av en funksjon er betegnet .

Vi viser deg hvordan du finner den ved hjelp av en graf.

Det er tegnet en graf over en funksjon. La oss ta et poeng med en abscisse på. La oss tegne en tangent til grafen til funksjonen på dette punktet. Vi ønsker å estimere hvor bratt grafen til en funksjon går opp. En praktisk verdi for dette er tangens til tangentvinkelen.

Den deriverte av en funksjon i et punkt er lik tangenten til tangentvinkelen tegnet til grafen til funksjonen i dette punktet.

Vær oppmerksom på at som helningsvinkelen til tangenten tar vi vinkelen mellom tangenten og den positive retningen til aksen.

Noen ganger spør elevene hva en tangent til grafen til en funksjon er. Dette er en rett linje som har et enkelt felles punkt med grafen i denne delen, og som vist i figuren vår. Det ser ut som en tangent til en sirkel.

La oss finne den. Vi husker at tangenten til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side. Fra trekanten:

Vi fant den deriverte ved å bruke en graf uten engang å vite formelen til funksjonen. Slike problemer finnes ofte i Unified State Examination i matematikk under nummeret.

Det er et annet viktig forhold. Husk at den rette linjen er gitt av ligningen

Mengden i denne ligningen kalles hellingen av en rett linje. Det er lik tangenten til helningsvinkelen til den rette linjen til aksen.

.

Det skjønner vi

La oss huske denne formelen. Det uttrykker den geometriske betydningen av derivatet.

Den deriverte av en funksjon i et punkt er lik helningen til tangenten tegnet til grafen til funksjonen i det punktet.

Med andre ord er den deriverte lik tangenten til tangentvinkelen.

Vi har allerede sagt at samme funksjon kan ha forskjellige deriverte på forskjellige punkter. La oss se hvordan den deriverte er relatert til funksjonen til funksjonen.

La oss tegne en graf over en funksjon. La denne funksjonen øke på noen områder og avta på andre, og med forskjellige hastigheter. Og la denne funksjonen ha maksimum og minimum poeng.

På et tidspunkt øker funksjonen. En tangent til grafen tegnet ved punktet danner en spiss vinkel; med positiv akseretning. Dette betyr at den deriverte på punktet er positiv.

På det tidspunktet reduseres funksjonen vår. Tangenten på dette punktet danner en stump vinkel; med positiv akseretning. Siden tangenten til en stump vinkel er negativ, er den deriverte i punktet negativ.

Her er hva som skjer:

Hvis en funksjon øker, er dens deriverte positiv.

Hvis den avtar, er dens deriverte negativ.

Hva vil skje ved maksimums- og minimumspoeng? Vi ser at i punktene (maksimumspunktet) og (minimumspunktet) er tangenten horisontal. Derfor er tangenten til tangenten i disse punktene null, og den deriverte er også null.

Punkt - maksimum poeng. På dette tidspunktet erstattes økningen i funksjonen med en reduksjon. Følgelig endres tegnet på den deriverte ved punktet fra "pluss" til "minus".

På punktet - minimumspunktet - er den deriverte også null, men tegnet endres fra "minus" til "pluss".

Konklusjon: ved å bruke den deriverte kan vi finne ut alt som interesserer oss om oppførselen til en funksjon.

Hvis den deriverte er positiv, øker funksjonen.

Hvis den deriverte er negativ, reduseres funksjonen.

Ved maksimumspunktet er den deriverte null og skifter fortegn fra "pluss" til "minus".

Ved minimumspunktet er den deriverte også null og skifter fortegn fra "minus" til "pluss".

La oss skrive disse konklusjonene i form av en tabell:

La oss gjøre to små avklaringer. Du trenger en av dem når du skal løse problemet. En annen - i det første året, med en mer seriøs studie av funksjoner og derivater.

Det er mulig at den deriverte av en funksjon på et tidspunkt er lik null, men funksjonen har verken et maksimum eller et minimum på dette punktet. Dette er den såkalte :

I et punkt er tangenten til grafen horisontal og den deriverte er null. Men før punktet økte funksjonen - og etter punktet fortsetter den å øke. Tegnet til den deriverte endres ikke - det forblir positivt som det var.

Det hender også at ved punktet for maksimum eller minimum eksisterer ikke derivatet. På grafen tilsvarer dette et skarpt brudd, når det er umulig å tegne en tangent i et gitt punkt.

Hvordan finne den deriverte hvis funksjonen ikke er gitt av en graf, men av en formel? I dette tilfellet gjelder det

Tilbake fremover

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisninger er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert i dette arbeidet, last ned fullversjonen.

Leksjonstype: repetisjon og generalisering.

Leksjonsformat: leksjon-konsultasjon.

Leksjonens mål:

• pedagogisk: gjenta og generalisere teoretisk kunnskap om emnene: "Geometrisk betydning av den deriverte" og "Anvendelse av den deriverte til studiet av funksjoner"; vurdere alle typer B8-problemer som oppstår på Unified State Examination i matematikk; gi studentene muligheten til å teste kunnskapene sine ved å løse problemer selvstendig; lære hvordan du fyller ut eksamensbesvarelsesskjemaet;
• utvikle seg: å fremme utviklingen av kommunikasjon som en metode for vitenskapelig kunnskap, semantisk hukommelse og frivillig oppmerksomhet; dannelse av slike nøkkelkompetanser som sammenligning, sidestilling, klassifisering av objekter, bestemmelse av adekvate måter å løse en pedagogisk oppgave basert på gitte algoritmer, evnen til å handle uavhengig i usikkerhetssituasjoner, overvåke og evaluere ens aktiviteter, finne og eliminere årsakene av vanskeligheter;
• pedagogisk: utvikle studentenes kommunikative kompetanse (kommunikasjonskultur, evne til å jobbe i grupper); fremme utviklingen av behovet for egenutdanning.

Teknologier: utviklingsutdanning, IKT.

Læringsmetoder: verbalt, visuelt, praktisk, problematisk.

Arbeidsformer: individuell, frontal, gruppe.

Pedagogisk og metodisk støtte:

1. Algebra og begynnelsen på matematisk analyse 11. klasse: lærebok. For allmennutdanning Institusjoner: basis og profil. nivåer / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); redigert av A. B. Zhizhchenko. – 4. utg. – M.: Utdanning, 2011.

2. Unified State Exam: 3000 problemer med svar i matematikk. Alle oppgaver i gruppe B/A.L. Semenov, I.V. Yashchenko og andre; redigert av A.L. Semyonova, I.V. Jasjtsjenko. – M.: Forlaget “Eksamen”, 2011.

3. Åpne oppgavebanken.

Utstyr og materiell til leksjonen: projektor, lerret, pc til hver elev med presentasjon installert på, utskrift av notat til alle elever (vedlegg 1) og resultatliste ( Vedlegg 2) .

Foreløpig forberedelse til leksjonen: som lekser blir studentene bedt om å gjenta teoretisk materiale fra læreboken om emnene: "Geometrisk betydning av den deriverte", "Anvendelse av den deriverte til studiet av funksjoner"; Klassen er delt inn i grupper (4 personer hver), i hver av dem er det elever på ulike nivåer.

Leksjonsforklaring: Denne leksjonen undervises i 11. klasse på stadiet med repetisjon og forberedelse til Unified State Exam. Leksjonen er rettet mot repetisjon og generalisering av teoretisk stoff, å anvende det til å løse eksamensoppgaver. Leksjonens varighet - 1,5 timer .

Denne leksjonen er ikke knyttet til læreboken, så den kan undervises mens du arbeider med undervisningsmateriell. Denne leksjonen kan også deles inn i to separate og undervises som avsluttende leksjoner om temaene som dekkes.

I løpet av timene

I. Organisatorisk øyeblikk.

II. Sette mål leksjon.

III. Repetisjon om emnet "Geometrisk betydning av derivater."

Muntlig frontalarbeid ved bruk av projektor (lysbilder nr. 3-7)

Arbeid i grupper: løse problemer med hint, svar, med lærerkonsultasjon (lysbilder nr. 8-17)

IV. Selvstendig arbeid 1.

Elevene jobber individuelt på PC (lysbilde nr. 18-26), og legger inn svarene sine i evalueringsarket. Om nødvendig kan du konsultere en lærer, men i dette tilfellet vil studenten miste 0,5 poeng. Dersom eleven fullfører arbeidet tidligere, kan han velge å løse tilleggsoppgaver fra samlingen, s. 242, 306-324 (tilleggsoppgaver vurderes separat).

V. Gjensidig verifisering.

Studenter utveksler vurderingsark, sjekker en venns arbeid og tildeler poeng (lysbilde nr. 27)

VI. Korrigering av kunnskap.

VII. Repetisjon om emnet "Anvendelse av derivatet til studiet av funksjoner"

Muntlig frontalarbeid ved bruk av projektor (lysbilder nr. 28-30)

Arbeid i grupper: løse problemer med hint, svar, med lærerkonsultasjon (lysbilder nr. 31-33)

VIII. Selvstendig arbeid 2.

Elevene jobber individuelt på PC (lysbilde nr. 34-46), og legger inn svarene sine på svarskjemaet. Om nødvendig kan du konsultere en lærer, men i dette tilfellet vil studenten miste 0,5 poeng. Dersom eleven fullfører arbeidet tidligere, kan han velge å løse tilleggsoppgaver fra samlingen, s. 243-305 (tilleggsoppgaver vurderes separat).

IX. Fagfellevurdering.

Elevene utveksler vurderingsark, sjekker vennens arbeid og tildeler poeng (lysbilde nr. 47).

X. Retting av kunnskap.

Elevene jobber igjen i gruppene sine, diskuterer løsningen og retter feil.

XI. Oppsummering.

Hver elev beregner poengene sine og setter en karakter på resultatarket.

Elevene leverer til læreren et vurderingsark og løsninger på tilleggsproblemer.

Hver elev får et notat (lysbilde nr. 53-54).

XII. Speilbilde.

Studentene blir bedt om å vurdere kunnskapen sin ved å velge en av setningene:

• Jeg lyktes!!!
• Vi må løse et par eksempler til.
• Vel, hvem kom opp med denne matematikken!

XIII. Hjemmelekser.

Til lekser blir elevene bedt om å velge oppgaver fra samlingen, s. 242-334, samt fra en åpen oppgavebank.

La oss forestille oss en rett vei som går gjennom et kupert område. Det vil si at den går opp og ned, men svinger ikke til høyre eller venstre. Hvis aksen er rettet horisontalt langs veien og vertikalt, vil veilinjen være veldig lik grafen til en kontinuerlig funksjon:

Aksen er et visst nivå av null høyde; i livet bruker vi havnivået som det.

Når vi beveger oss fremover langs en slik vei, beveger vi oss også opp eller ned. Vi kan også si: når argumentet endres (bevegelse langs abscisseaksen), endres verdien av funksjonen (bevegelse langs ordinataksen). La oss nå tenke på hvordan vi bestemmer "brattheten" på veien vår? Hva slags verdi kan dette være? Det er veldig enkelt: hvor mye høyden vil endre seg når du beveger deg en viss avstand fremover. Faktisk, på forskjellige deler av veien, når vi beveger oss fremover (langs x-aksen) med én kilometer, vil vi stige eller falle med et annet antall meter i forhold til havnivået (langs y-aksen).

La oss betegne fremgang (les "delta x").

Den greske bokstaven (delta) brukes ofte i matematikk som et prefiks som betyr "endring". Det vil si - dette er en endring i mengde, - en endring; så hva er det? Det stemmer, en endring i størrelsesorden.

Viktig: et uttrykk er en enkelt helhet, én variabel. Aldri skille "delta" fra "x" eller noen annen bokstav! Det er for eksempel.

Så vi har gått fremover, horisontalt, ved. Hvis vi sammenligner veiens linje med grafen til funksjonen, hvordan betegner vi da stigningen? Gjerne,. Det vil si at når vi beveger oss fremover, stiger vi høyere.

Verdien er lett å beregne: hvis vi i begynnelsen var i en høyde, og etter å ha flyttet vi befant oss i en høyde, da. Hvis endepunktet er lavere enn startpunktet, vil det være negativt - dette betyr at vi ikke stiger opp, men synker.

La oss gå tilbake til "bratthet": dette er en verdi som viser hvor mye (bratt) høyden øker når du beveger deg en avstandsenhet fremover:

La oss anta at på en del av veien, når man beveger seg en kilometer fremover, stiger veien opp med en kilometer. Da er helningen på dette stedet lik. Og hvis veien, mens den beveget seg fremover med m, sank med km? Da er helningen lik.

La oss nå se på toppen av en ås. Hvis du tar begynnelsen av strekningen en halv kilometer før toppen, og slutten en halv kilometer etter den, kan du se at høyden er nesten den samme.

Det vil si, ifølge vår logikk viser det seg at helningen her er nesten lik null, noe som tydeligvis ikke stemmer. Litt over en strekning på kilometer kan mye endre seg. Det er nødvendig å vurdere mindre områder for en mer adekvat og nøyaktig vurdering av bratthet. Hvis du for eksempel måler høydeendringen når du beveger deg én meter, vil resultatet bli mye mer nøyaktig. Men selv denne nøyaktigheten er kanskje ikke nok for oss - tross alt, hvis det er en stolpe midt på veien, kan vi ganske enkelt passere den. Hvilken avstand skal vi velge da? Centimeter? Millimeter? Mindre er bedre!

I det virkelige liv er det mer enn nok å måle avstander til nærmeste millimeter. Men matematikere streber alltid etter perfeksjon. Derfor ble konseptet oppfunnet uendelig liten, det vil si at den absolutte verdien er mindre enn et hvilket som helst tall vi kan navngi. For eksempel sier du: en trilliondel! Hvor mye mindre? Og du deler dette tallet på - og det blir enda mindre. Og så videre. Hvis vi vil skrive at en mengde er uendelig, skriver vi slik: (vi leser «x har en tendens til null»). Det er veldig viktig å forstå at dette tallet ikke er null! Men veldig nærme det. Dette betyr at du kan dele på det.

Konseptet motsatt til infinitesimal er uendelig stort (). Du har sikkert allerede kommet over det da du jobbet med ulikheter: dette tallet er modulo større enn noe tall du kan tenke deg. Hvis du kommer opp med det størst mulige tallet, multipliserer du det med to og du får et enda større tall. Og uendeligheten er enda større enn det som skjer. Faktisk er det uendelig store og det uendelig små det motsatte av hverandre, det vil si ved, og omvendt: at.

La oss nå gå tilbake til veien vår. Den ideelt beregnede helningen er helningen beregnet for et uendelig lite segment av banen, det vil si:

Jeg legger merke til at med en uendelig forskyvning vil høydeendringen også være uendelig. Men la meg minne deg på at infinitesimal ikke betyr lik null. Hvis du deler uendelige tall med hverandre, kan du få et helt ordinært tall, for eksempel . Det vil si at en liten verdi kan være nøyaktig ganger større enn en annen.

Hva er alt dette for noe? Veien, brattheten... Vi skal ikke på bilrally, men vi underviser i matematikk. Og i matematikk er alt nøyaktig det samme, bare kalt annerledes.

Konseptet avledet

Den deriverte av en funksjon er forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig inkrement av argumentet.

Inkrementelt i matematikk kaller de endring. I hvilken grad argumentet () endres når det beveger seg langs aksen kalles argumentøkning og er betegnet Hvor mye funksjonen (høyden) har endret seg når man beveger seg en avstand fremover langs aksen kalles funksjonsøkning og er utpekt.

Så den deriverte av en funksjon er forholdet til når. Vi betegner den deriverte med samme bokstav som funksjonen, bare med et primtall øverst til høyre: eller ganske enkelt. Så la oss skrive den deriverte formelen ved å bruke disse notasjonene:

Som i analogien med veien, her når funksjonen øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ.

Kan den deriverte være lik null? Sikkert. For eksempel, hvis vi kjører på en flat horisontal vei, er brattheten null. Og det er sant, høyden endres ikke i det hele tatt. Slik er det med den deriverte: den deriverte av en konstant funksjon (konstant) er lik null:

siden økningen av en slik funksjon er lik null for en hvilken som helst.

La oss huske eksempelet på en bakketopp. Det viste seg at det var mulig å arrangere endene av segmentet på motsatte sider av toppunktet på en slik måte at høyden på endene viser seg å være den samme, det vil si at segmentet er parallelt med aksen:

Men store segmenter er et tegn på unøyaktig måling. Vi vil heve segmentet vårt opp parallelt med seg selv, så vil lengden minke.

Til slutt, når vi er uendelig nær toppen, vil lengden på segmentet bli uendelig liten. Men samtidig forble den parallelt med aksen, det vil si at forskjellen i høyder i endene er lik null (den pleier ikke, men er lik). Så den deriverte

Dette kan forstås slik: når vi står helt øverst, endrer en liten forskyvning til venstre eller høyre høyden vår ubetydelig.

Det er også en rent algebraisk forklaring: til venstre for toppunktet øker funksjonen, og til høyre avtar den. Som vi fant ut tidligere, når en funksjon øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ. Men den endrer seg jevnt, uten hopp (siden veien ikke endrer helningen kraftig noe sted). Derfor må det være mellom negative og positive verdier. Det vil være der funksjonen verken øker eller minker - ved toppunktet.

Det samme gjelder for trauet (området der funksjonen til venstre reduseres og til høyre øker):

Litt mer om økninger.

Så vi endrer argumentet til størrelsesorden. Vi endrer fra hvilken verdi? Hva har det (argumentet) blitt til nå? Vi kan velge hvilket som helst punkt, og nå skal vi danse fra det.

Tenk på et punkt med en koordinat. Verdien av funksjonen i den er lik. Så gjør vi det samme trinnet: vi øker koordinaten med. Hva er argumentet nå? Meget lett: . Hva er verdien av funksjonen nå? Der argumentet går, gjør også funksjonen: . Hva med funksjonsøkning? Ikke noe nytt: Dette er fortsatt beløpet som funksjonen har endret seg med:

Øv på å finne trinn:

1. Finn økningen til funksjonen på et punkt når økningen av argumentet er lik.
2. Det samme gjelder funksjonen på et punkt.

Løsninger:

På forskjellige punkter med samme argumentøkning vil funksjonen inkrement være forskjellig. Dette betyr at den deriverte på hvert punkt er forskjellig (vi diskuterte dette helt i begynnelsen - brattheten til veien er forskjellig på forskjellige punkter). Derfor, når vi skriver en derivert, må vi indikere på hvilket tidspunkt:

Power funksjon.

En potensfunksjon er en funksjon der argumentet til en viss grad er (logisk, ikke sant?).

Dessuten - i noen grad: .

Det enkleste tilfellet er når eksponenten er:

La oss finne dens deriverte på et punkt. La oss huske definisjonen av et derivat:

Så argumentasjonen endres fra til. Hva er økningen av funksjonen?

Inkrement er dette. Men en funksjon til enhver tid er lik argumentet. Derfor:

Den deriverte er lik:

Den deriverte av er lik:

b) Vurder nå den kvadratiske funksjonen (): .

La oss nå huske det. Dette betyr at verdien av økningen kan neglisjeres, siden den er uendelig liten, og derfor ubetydelig på bakgrunn av det andre begrepet:

Så vi kom opp med en annen regel:

c) Vi fortsetter den logiske rekken: .

Dette uttrykket kan forenkles på forskjellige måter: Åpne den første parentesen ved å bruke formelen for forkortet multiplikasjon av kuben av summen, eller faktoriser hele uttrykket ved å bruke formelen for forskjellen av terninger. Prøv å gjøre det selv ved å bruke en av de foreslåtte metodene.

Så jeg fikk følgende:

Og igjen la oss huske det. Dette betyr at vi kan neglisjere alle termer som inneholder:

Vi får: .

d) Lignende regler kan oppnås for store makter:

e) Det viser seg at denne regelen kan generaliseres for en potensfunksjon med en vilkårlig eksponent, ikke engang et heltall:

Regelen kan formuleres med ordene: "graden føres frem som en koeffisient, og deretter reduseres med ."

Vi vil bevise denne regelen senere (nesten helt på slutten). La oss nå se på noen få eksempler. Finn den deriverte av funksjonene:

1. (på to måter: ved formel og ved å bruke definisjonen av derivert - ved å beregne økningen av funksjonen);

Trigonometriske funksjoner.

Her skal vi bruke ett faktum fra høyere matematikk:

Med uttrykk.

Du vil lære beviset i det første året på instituttet (og for å komme dit må du bestå Unified State Exam godt). Nå skal jeg bare vise det grafisk:

Vi ser at når funksjonen ikke eksisterer - kuttes punktet på grafen ut. Men jo nærmere verdien, desto nærmere er funksjonen. Det er dette som «måler».

I tillegg kan du sjekke denne regelen ved hjelp av en kalkulator. Ja, ja, ikke vær sjenert, ta en kalkulator, vi er ikke på Unified State Exam ennå.

Så la oss prøve: ;

Ikke glem å bytte kalkulatoren til Radians-modus!

etc. Vi ser at jo mindre, jo nærmere er verdien av forholdet.

a) Vurder funksjonen. Som vanlig, la oss finne økningen:

La oss gjøre forskjellen på sinus til et produkt. For å gjøre dette bruker vi formelen (husk emnet ""): .

Nå den deriverte:

La oss gjøre en erstatning: . Så for infinitesimal er det også infinitesimal: . Uttrykket for har formen:

Og nå husker vi det med uttrykket. Og også, hva om en uendelig mengde kan neglisjeres i summen (det vil si at).

Så vi får følgende regel: den deriverte av sinus er lik cosinus:

Dette er grunnleggende ("tabellform") derivater. Her er de i en liste:

Senere vil vi legge til noen flere til dem, men disse er de viktigste, siden de brukes oftest.

Øve på:

1. Finn den deriverte av funksjonen i et punkt;
2. Finn den deriverte av funksjonen.

Løsninger:

Eksponent og naturlig logaritme.

Det er en funksjon i matematikk, hvis deriverte for enhver er lik verdien av selve funksjonen på samme tid. Det kalles "eksponent", og er en eksponentiell funksjon

Grunnlaget for denne funksjonen - en konstant - er en uendelig desimalbrøk, det vil si et irrasjonelt tall (som f.eks.). Det kalles "Euler-nummeret", og det er derfor det er angitt med en bokstav.

Så, regelen:

Veldig lett å huske.

Vel, la oss ikke gå langt, la oss umiddelbart vurdere den inverse funksjonen. Hvilken funksjon er inversen til eksponentialfunksjonen? Logaritme:

I vårt tilfelle er basen tallet:

En slik logaritme (det vil si en logaritme med en base) kalles "naturlig", og vi bruker en spesiell notasjon for den: vi skriver i stedet.

Hva er det lik? Selvfølgelig, .

Den deriverte av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:

Eksempler:

1. Finn den deriverte av funksjonen.
2. Hva er den deriverte av funksjonen?

Svar: Den eksponentielle og naturlige logaritmen er unikt enkle funksjoner fra et derivert perspektiv. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner med en hvilken som helst annen base vil ha en annen derivert, som vi vil analysere senere, etter at vi har gått gjennom reglene for differensiering.

Regler for differensiering

Regler for hva? Igjen en ny periode, igjen?!...

Differensiering er prosessen med å finne den deriverte.

Det er alt. Hva annet kan du kalle denne prosessen med ett ord? Ikke derivert... Matematikere kaller differensialet det samme inkrementet til en funksjon ved. Dette begrepet kommer fra det latinske differentia - forskjell. Her.

Når vi utleder alle disse reglene, vil vi bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for trinnene deres:

Det er 5 regler totalt.

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet.

Hvis - et konstant tall (konstant), da.

Selvfølgelig fungerer denne regelen også for forskjellen: .

La oss bevise det. La det være, eller enklere.

Eksempler.

Finn de deriverte av funksjonene:

1. på et tidspunkt;
2. på et tidspunkt;
3. på et tidspunkt;
4. på punktet.

Løsninger:

Derivat av produktet

Alt er likt her: la oss introdusere en ny funksjon og finne dens økning:

Derivat:

Eksempler:

1. Finn de deriverte av funksjonene og;
2. Finn den deriverte av funksjonen i et punkt.

Løsninger:

Derivert av en eksponentiell funksjon

Nå er kunnskapen din nok til å lære hvordan du finner den deriverte av en hvilken som helst eksponentiell funksjon, og ikke bare eksponenter (har du glemt hva det er ennå?).

Så, hvor er et tall.

Vi kjenner allerede den deriverte av funksjonen, så la oss prøve å redusere funksjonen vår til en ny base:

For å gjøre dette bruker vi en enkel regel: . Deretter:

Vel, det fungerte. Prøv nå å finne den deriverte, og ikke glem at denne funksjonen er kompleks.

Skjedd?

Her, sjekk deg selv:

Formelen viste seg å være veldig lik den deriverte av en eksponent: som den var, forblir den den samme, bare en faktor dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.

Eksempler:
Finn de deriverte av funksjonene:

Svar:

Derivert av en logaritmisk funksjon

Det er likt her: du kjenner allerede den deriverte av den naturlige logaritmen:

Derfor, for å finne en vilkårlig logaritme med en annen base, for eksempel:

Vi må redusere denne logaritmen til basen. Hvordan endrer du basen til en logaritme? Jeg håper du husker denne formelen:

Først nå vil vi skrive i stedet:

Nevneren er ganske enkelt en konstant (et konstant tall, uten en variabel). Deriverten oppnås veldig enkelt:

Derivater av eksponentielle og logaritmiske funksjoner finnes nesten aldri i Unified State Examination, men det vil ikke være overflødig å kjenne dem.

Derivat av en kompleks funksjon.

Hva er en "kompleks funksjon"? Nei, dette er ikke en logaritme, og ikke en arctangent. Disse funksjonene kan være vanskelige å forstå (selv om du synes logaritmen er vanskelig, les emnet "Logarithms" så går det bra), men fra et matematisk synspunkt betyr ikke ordet "kompleks" "vanskelig".

Se for deg et lite transportbånd: to personer sitter og gjør noen handlinger med noen gjenstander. For eksempel pakker den første en sjokoladeplate inn i en innpakning, og den andre binder den med et bånd. Resultatet er en sammensatt gjenstand: en sjokoladeplate pakket inn og bundet med et bånd. For å spise en sjokoladeplate, må du gjøre de omvendte trinnene i motsatt rekkefølge.

La oss lage en lignende matematisk rørledning: først vil vi finne cosinus til et tall, og deretter kvadrere det resulterende tallet. Så vi får et tall (sjokolade), jeg finner dens cosinus (omslag), og deretter firer du det jeg har (bind det med et bånd). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: når vi, for å finne verdien, utfører den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en andre handling med det som ble resultatet av den første.

Vi kan enkelt gjøre de samme trinnene i omvendt rekkefølge: først kvadrerer du det, og så ser jeg etter cosinus til det resulterende tallet: . Det er lett å gjette at resultatet nesten alltid vil være annerledes. Et viktig trekk ved komplekse funksjoner: når rekkefølgen av handlinger endres, endres funksjonen.

Med andre ord, en kompleks funksjon er en funksjon hvis argument er en annen funksjon: .

For det første eksemplet, .

Andre eksempel: (samme). .

Handlingen vi gjør sist vil bli kalt "ekstern" funksjon, og handlingen utført først - tilsvarende "intern" funksjon(dette er uformelle navn, jeg bruker dem kun for å forklare stoffet på et enkelt språk).

Prøv selv å finne ut hvilken funksjon som er ekstern og hvilken intern:

Svar:Å skille indre og ytre funksjoner er veldig likt å endre variabler: for eksempel i en funksjon

Vi endrer variabler og får en funksjon.

Vel, nå skal vi trekke ut sjokoladeplaten vår og se etter derivatet. Prosedyren er alltid omvendt: først ser vi etter den deriverte av den ytre funksjonen, deretter multipliserer vi resultatet med den deriverte av den indre funksjonen. I forhold til det originale eksemplet ser det slik ut:

Et annet eksempel:

Så la oss til slutt formulere den offisielle regelen:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Det virker enkelt, ikke sant?

La oss sjekke med eksempler:

DERIVAT. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Derivert av en funksjon- forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig inkrement av argumentet:

Grunnleggende derivater:

Regler for differensiering:

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet:

Avledet av summen:

Avledet av produktet:

Derivat av kvotienten:

Derivert av en kompleks funksjon:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

1. Vi definerer den "interne" funksjonen og finner dens deriverte.
2. Vi definerer den "eksterne" funksjonen og finner dens deriverte.
3. Vi multipliserer resultatene av det første og andre punktet.

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, så er du på disse 5%!

Nå er det viktigste.

Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

For å ha bestått Unified State-eksamenen, for å gå inn på college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...

Folk som har fått god utdanning tjener mye mer enn de som ikke har fått den. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er GLADERE (det finnes slike studier). Kanskje fordi mange flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?

FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.

Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.

Du vil trenge løse problemer mot tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.

Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.

Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

1. Lås opp alle skjulte oppgaver i denne artikkelen -
2. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - Kjøp en lærebok - 499 RUR

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for HELE nettstedets levetid.

For å konkludere...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.

«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs dem!

Den rette linjen y=3x+2 er tangent til grafen til funksjonen y=-12x^2+bx-10. Finn b, gitt at abscissen til tangentpunktet er mindre enn null.

Løsning

La x_0 være abscissen til punktet på grafen til funksjonen y=-12x^2+bx-10 som tangenten til denne grafen går gjennom.

Verdien av den deriverte i punktet x_0 er lik stigningstallet til tangenten, det vil si y"(x_0)=-24x_0+b=3. På den annen side hører tangenspunktet samtidig til både grafen til funksjonen og tangenten, det vil si -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Vi får et ligningssystem \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(saker)

Ved å løse dette systemet får vi x_0^2=1, som betyr enten x_0=-1 eller x_0=1. I henhold til abscissebetingelsen er tangentpunktene mindre enn null, så x_0=-1, deretter b=3+24x_0=-21.

Svar

Betingelse

Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x) (som er en brutt linje som består av tre rette segmenter). Bruk figuren til å beregne F(9)-F(5), hvor F(x) er en av antiderivertene til funksjonen f(x).

Løsning

I følge Newton-Leibniz-formelen er forskjellen F(9)-F(5), hvor F(x) er en av antiderivatene til funksjonen f(x), lik arealet til den krumlinjede trapesen begrenset ved grafen til funksjonen y=f(x), rette linjer y=0 , x=9 og x=5. Fra grafen bestemmer vi at den indikerte buede trapesen er en trapes med baser lik 4 og 3 og høyde 3.

Arealet er likt \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Figuren viser en graf av y=f"(x) - den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-4; 10). Finn intervallene til avtagende funksjon f(x). I svaret ditt, angi lengden på den største av dem.

Løsning

Som kjent avtar funksjonen f(x) på de intervallene ved hvert punkt hvor den deriverte f"(x) er mindre enn null. Med tanke på at det er nødvendig å finne lengden på den største av dem, er tre slike intervaller naturlig skilt fra figuren: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Lengden på den største av dem - (5; 9) er 4.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Figuren viser en graf av y=f"(x) - den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-8; 7). Finn antall maksimumspunkter til funksjonen f(x) som hører til intervallet [-6; -2].

Løsning

Grafen viser at den deriverte f"(x) av funksjonen f(x) endrer fortegn fra pluss til minus (ved slike punkter vil det være et maksimum) på nøyaktig ett punkt (mellom -5 og -4) fra intervallet [ -6; -2 ] Derfor, på intervallet [-6; -2] er det nøyaktig ett maksimumspunkt.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x), definert på intervallet (-2; 8). Bestem antall punkter der den deriverte av funksjonen f(x) er lik 0.

Løsning

Likheten til den deriverte ved et punkt til null betyr at tangenten til grafen til funksjonen tegnet på dette punktet er parallell med Ox-aksen. Derfor finner vi punkter der tangenten til grafen til funksjonen er parallell med Ox-aksen. På dette diagrammet er slike punkter ekstremumpunkter (maksimums- eller minimumspoeng). Som du kan se, er det 5 ekstremumpunkter.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Den rette linjen y=-3x+4 er parallell med tangenten til grafen til funksjonen y=-x^2+5x-7. Finn abscissen til tangentpunktet.

Løsning

Vinkelkoeffisienten til den rette linjen til grafen til funksjonen y=-x^2+5x-7 i et vilkårlig punkt x_0 er lik y"(x_0). Men y"=-2x+5, som betyr y" (x_0)=-2x_0+5. Vinkelkoeffisienten til linjen y=-3x+4 spesifisert i betingelsen er lik -3. Parallelle linjer har samme helningskoeffisienter. Derfor finner vi en verdi x_0 slik at =- 2x_0 +5=-3.

Vi får: x_0 = 4.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x) og punktene -6, -1, 1, 4 er markert på abscissen. På hvilket av disse punktene er den deriverte den minste? Vennligst angi dette punktet i svaret ditt.