Alternativer for exe-profiler. Bestått poengsum på grunnnivået til Unified State Examination i matematikk

Det er ingen endringer ved USE i matematikk på profilnivå i 2019 - eksamensprogrammet er som tidligere år bygd opp av materialer fra de matematiske hoveddisiplinene. Billettene vil inneholde matematiske, geometriske og algebraiske problemer.

Det er ingen endringer i KIM BRUK 2019 i matematikk på profilnivå.

Funksjoner av USE-oppgaver i matematikk-2019

• Når du forbereder deg til eksamen i matematikk (profil), vær oppmerksom på de grunnleggende kravene til eksamensprogrammet. Det er designet for å teste kunnskapen om det avanserte programmet: vektor- og matematiske modeller, funksjoner og logaritmer, algebraiske ligninger og ulikheter.
• Separat øve på å løse oppgaver for.
• Det er viktig å vise ikke-standard tenkning.

Eksamensstruktur

Oppgaver til Unified State Examination av profilmatematikk delt i to blokker.

1. Del - korte svar, inkluderer 8 oppgaver som tester grunnleggende matematisk opplæring og evnen til å anvende kunnskap om matematikk i hverdagen.
2. Del - kort og detaljerte svar. Den består av 11 oppgaver, hvorav 4 krever et kort svar, og 7 - en detaljert med en argumentasjon for utførte handlinger.

• Økt kompleksitet- oppgave 9-17 i andre del av KIM.
• Høy vanskelighetsgrad- oppgaver 18-19 –. Denne delen av eksamensoppgavene kontrollerer ikke bare nivået av matematisk kunnskap, men også tilstedeværelsen eller fraværet av en kreativ tilnærming til å løse tørre "digitale" oppgaver, samt effektiviteten av evnen til å bruke kunnskap og ferdigheter som et profesjonelt verktøy .

Viktig! Støtt derfor alltid teorien i matematikk ved å løse praktiske problemer når du forbereder deg til eksamen.

Hvordan vil poeng fordeles?

Oppgavene til den første delen av KIM-ene i matematikk er nær USE-testene på basisnivået, så det er umulig å få høy score på dem.

Poengene for hver oppgave i matematikk på profilnivå ble fordelt slik:

• for riktige svar på oppgave nr. 1-12 - 1 poeng hver;
• nr. 13-15 - 2 hver;
• nr. 16-17 - 3 hver;
• nr. 18-19 - 4 stk.

Eksamens varighet og oppførselsregler for eksamen

For å fullføre eksamen -2019 eleven er tildelt 3 timer 55 minutter(235 minutter).

I løpet av denne tiden skal studenten ikke:

• være støyende;
• bruke dingser og andre tekniske midler;
• avskrive;
• prøv å hjelpe andre, eller be om hjelp for deg selv.

For slike handlinger kan sensor bli bortvist fra salen.

Til statseksamen i matematikk lov å ta med bare en linjal med deg, resten av materialet vil bli gitt deg rett før eksamen. utstedt på stedet.

Effektiv forberedelse er løsningen på nettbaserte matteprøver 2019. Velg og få høyest poengsum!

Videregående allmennutdanning

Linje UMK G.K. Muravina. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse (10-11) (dyp)

Linje UMK Merzlyak. Algebra og begynnelsen av analyse (10-11) (U)

Matte

Forberedelse til eksamen i matematikk (profilnivå): oppgaver, løsninger og forklaringer

Eksamensoppgaven på profilnivå varer i 3 timer 55 minutter (235 minutter).

Minimum terskel– 27 poeng.

Eksamensoppgaven består av to deler, som er forskjellige i innhold, kompleksitet og antall oppgaver.

Det definerende trekk ved hver del av arbeidet er oppgaveformen:

• del 1 inneholder 8 oppgaver (oppgave 1-8) med et kort svar i form av et heltall eller en siste desimalbrøk;
• del 2 inneholder 4 oppgaver (oppgavene 9-12) med et kort svar i form av et heltall eller en siste desimalbrøk og 7 oppgaver (oppgavene 13-19) med et detaljert svar (full oversikt over avgjørelsen med begrunnelsen for utførte handlinger).

Panova Svetlana Anatolievna, lærer i matematikk av skolens høyeste kategori, arbeidserfaring på 20 år:

"For å få et skolebevis, må en nyutdannet bestå to obligatoriske eksamener i form av Unified State Examination, hvorav den ene er matematikk. I samsvar med konseptet for utvikling av matematisk utdanning i den russiske føderasjonen, er den enhetlige statlige eksamen i matematikk delt inn i to nivåer: grunnleggende og spesialisert. I dag vil vi vurdere alternativer for profilnivået.

Oppgave nummer 1- sjekker USE-deltakernes evne til å anvende ferdighetene tilegnet i løpet av 5-9 karakterer i elementær matematikk i praktiske aktiviteter. Deltakeren må ha regneferdigheter, kunne arbeide med rasjonelle tall, kunne avrunde desimalbrøker, kunne gjøre om en måleenhet til en annen.

Eksempel 1 I leiligheten der Petr bor ble det installert en kaldtvannsmåler (måler). Første mai viste måleren et forbruk på 172 kubikkmeter. m vann, og den første juni - 177 kubikkmeter. m. Hvilket beløp bør Peter betale for kaldt vann for mai, hvis prisen på 1 cu. m kaldt vann er 34 rubler 17 kopek? Gi svaret ditt i rubler.

Løsning:

1) Finn mengden vann som brukes per måned:

177 - 172 = 5 (cu m)

2) Finn hvor mye penger som skal betales for det brukte vannet:

34,17 5 = 170,85 (gni)

Svar: 170,85.

Oppgave nummer 2- er en av de enkleste oppgavene på eksamen. Flertallet av nyutdannede takler det med hell, noe som indikerer besittelse av definisjonen av funksjonsbegrepet. Oppgavetype nr. 2 i henhold til kravkodifisereren er en oppgave for å bruke tilegnet kunnskap og ferdigheter i praktiske aktiviteter og hverdagsliv. Oppgave nr. 2 består i å beskrive, bruke funksjoner, ulike reelle sammenhenger mellom størrelser og tolke deres grafer. Oppgave nummer 2 tester evnen til å trekke ut informasjon presentert i tabeller, diagrammer, grafer. Nyutdannede må være i stand til å bestemme verdien av en funksjon ved verdien av argumentet med ulike måter å spesifisere funksjonen på og beskrive funksjonen og egenskapene til funksjonen i henhold til dens graf. Det er også nødvendig å kunne finne den største eller minste verdien fra funksjonsgrafen og bygge grafer over de studerte funksjonene. Feilene som gjøres er av tilfeldig karakter når man leser forholdene for problemet, leser diagrammet.

#ADVERTISING_INSERT#

Eksempel 2 Figuren viser endringen i bytteverdien til én aksje i et gruveselskap i første halvdel av april 2017. 7. april kjøpte forretningsmannen 1000 aksjer i dette selskapet. 10. april solgte han tre fjerdedeler av de kjøpte aksjene, og 13. april solgte han alle de resterende. Hvor mye tapte forretningsmannen som følge av disse operasjonene?

Løsning:

2) 1000 3/4 = 750 (aksjer) - utgjør 3/4 av alle kjøpte aksjer.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubler) - forretningsmannen mottok etter salg av 1000 aksjer.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (rubler) - forretningsmannen tapte som et resultat av alle operasjoner.

Svar: 15000.

Oppgave nummer 3- er en oppgave på grunnleggende nivå i den første delen, den kontrollerer evnen til å utføre handlinger med geometriske former i henhold til innholdet i kurset "Planimetri". Oppgave 3 tester evnen til å beregne arealet til en figur på rutete papir, evnen til å beregne gradmål av vinkler, beregne omkrets, etc.

Eksempel 3 Finn arealet til et rektangel tegnet på rutepapir med en cellestørrelse på 1 cm x 1 cm (se figur). Gi svaret i kvadratcentimeter.

Løsning: For å beregne arealet til denne figuren kan du bruke toppformelen:

For å beregne arealet til dette rektangelet bruker vi toppformelen:

Eksempel 4 Det er 5 røde og 1 blå prikker på sirkelen. Bestem hvilke polygoner som er større: de med alle røde toppunkter, eller de med en av de blå toppunktene. I svaret ditt, angi hvor mange flere av den ene enn den andre.

Løsning: 1) Vi bruker formelen for antall kombinasjoner fra n elementer av k:

alle hjørnene er røde.

3) En femkant med alle røde hjørner.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygoner med alle røde hjørner.

hvis toppunkter er røde eller med ett blått toppunkt.

hvis toppunkter er røde eller med ett blått toppunkt.

8) En sekskant hvis toppunkter er røde med en blå toppunkt.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygoner som har alle røde toppunkter eller ett blått toppunkt.

10) 42 - 16 = 26 polygoner som bruker den blå prikken.

11) 26 - 16 = 10 polygoner - hvor mange polygoner, der en av toppunktene er en blå prikk, er flere enn polygoner, der alle toppunktene kun er røde.

Svar: 10.

Oppgave nummer 5- det grunnleggende nivået i første del tester evnen til å løse de enkleste ligningene (irrasjonelle, eksponentielle, trigonometriske, logaritmiske).

Eksempel 5 Løs ligning 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Løsning. Del begge sider av denne ligningen med 5 3 + X≠ 0, får vi

hvorfra det følger at 3 + x = 1, x = –2.

Svar: –2.

Oppgave nummer 6 i planimetri for å finne geometriske størrelser (lengder, vinkler, arealer), modellering av virkelige situasjoner på geometrispråket. Studiet av de konstruerte modellene ved hjelp av geometriske konsepter og teoremer. Kilden til vanskeligheter er som regel uvitenhet eller feilaktig anvendelse av de nødvendige planimetrisetningene.

Arealet av en trekant ABC tilsvarer 129. DE- midtlinje parallelt med siden AB. Finn arealet av trapesen EN SENG.

Løsning. Triangel CDE ligner på en trekant DROSJE ved to hjørner, siden hjørnet ved toppunktet C generelt, vinkel CDE lik vinkelen DROSJE som de tilsvarende vinklene ved DE || AB sekant AC. Fordi DE er midtlinjen i trekanten ved betingelsen, deretter av egenskapen til midtlinjen | DE = (1/2)AB. Så likhetskoeffisienten er 0,5. Arealene til lignende figurer er relatert som kvadratet av likhetskoeffisienten, så

Følgelig S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Oppgave nummer 7- kontrollerer anvendelsen av den deriverte til studiet av funksjonen. For vellykket implementering er en meningsfull, ikke-formell besittelse av begrepet et derivat nødvendig.

Eksempel 7 Til grafen til funksjonen y = f(x) på punktet med abscissen x 0 tegnes en tangent som er vinkelrett på den rette linjen som går gjennom punktene (4; 3) og (3; -1) i denne grafen. Finne f′( x 0).

Løsning. 1) La oss bruke ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter og finne ligningen til en rett linje som går gjennom punktene (4; 3) og (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-en)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, hvor k 1 = 4.

2) Finn hellingen til tangenten k 2 som er vinkelrett på linjen y = 4x– 13, hvor k 1 = 4, i henhold til formelen:

3) Helningen til tangenten er den deriverte av funksjonen i kontaktpunktet. Midler, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Svar: –0,25.

Oppgave nummer 8- kontrollerer kunnskapen om elementær stereometri blant deltakerne på eksamen, evnen til å bruke formler for å finne overflatearealer og volumer av figurer, dihedrale vinkler, sammenligne volumene til lignende figurer, kunne utføre handlinger med geometriske figurer, koordinater og vektorer , etc.

Volumet til en terning som er omskrevet rundt en kule er 216. Finn radiusen til kulen.

Løsning. 1) V kube = en 3 (hvor en er lengden på kanten av kuben), så

en 3 = 216

en = 3 √216

2) Siden sfæren er innskrevet i en terning, betyr det at lengden på sfærens diameter er lik lengden på kanten av kuben, derfor d = en, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Oppgave nummer 9- krever at kandidaten transformerer og forenkler algebraiske uttrykk. Oppgave nr. 9 av økt kompleksitetsnivå med kort svar. Oppgaver fra avsnittet "Beregninger og transformasjoner" i USE er delt inn i flere typer:

transformasjoner av numeriske rasjonelle uttrykk;

transformasjoner av algebraiske uttrykk og brøker;

transformasjoner av numeriske/bokstavirrasjonelle uttrykk;

handlinger med grader;

transformasjon av logaritmiske uttrykk;

1. konvertering av numeriske/bokstav trigonometriske uttrykk.

Eksempel 9 Beregn tgα hvis det er kjent at cos2α = 0,6 og

Løsning. 1) La oss bruke dobbeltargumentformelen: cos2α = 2 cos 2 α - 1 og finne

Derfor er tan 2a = ± 0,5.

3) Etter tilstand

derfor er α vinkelen til andre kvartal og tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Svar: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Oppgave nummer 10- sjekker elevenes evne til å bruke tilegnet tidlig kunnskap og ferdigheter i praktiske aktiviteter og hverdagsliv. Vi kan si at dette er problemer i fysikk, og ikke i matematikk, men alle nødvendige formler og størrelser er gitt i tilstanden. Oppgavene reduseres til å løse en lineær eller andregradsligning, eller en lineær eller kvadratisk ulikhet. Derfor er det nødvendig å kunne løse slike likninger og ulikheter, og bestemme svaret. Svaret må være i form av et helt tall eller en siste desimalbrøk.

To massekropper m= 2 kg hver, beveger seg med samme hastighet v= 10 m/s i en vinkel på 2α til hverandre. Energien (i joule) som frigjøres under deres absolutt uelastiske kollisjon, bestemmes av uttrykket Q = mv 2 sin 2 α. Ved hvilken minste vinkel 2α (i grader) må kroppene bevege seg slik at minst 50 joule frigjøres som følge av kollisjonen?
Løsning. For å løse problemet må vi løse ulikheten Q ≥ 50, på intervallet 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Siden α ∈ (0°; 90°), vil vi bare løse

Vi representerer løsningen av ulikheten grafisk:

Siden ved antagelse α ∈ (0°; 90°), betyr det at 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Oppgave nummer 11– er typisk, men det viser seg å være vanskelig for elevene. Hovedkilden til vanskeligheter er konstruksjonen av en matematisk modell (tegning av en ligning). Oppgave nummer 11 tester evnen til å løse ordoppgaver.

Eksempel 11 I løpet av vårpausen måtte 11-klassingen Vasya løse 560 treningsproblemer for å forberede seg til eksamen. Den 18. mars, på siste skoledag, løste Vasya 5 problemer. Så hver dag løste han like mange problemer mer enn dagen før. Bestem hvor mange problemer Vasya løste 2. april på den siste dagen i ferien.

560 = (5 + en 16) 8,

5 + en 16 = 560: 8,

5 + en 16 = 70,

en 16 = 70 – 5

en 16 = 65.

Svar: 65.

Oppgave nummer 12- sjekke elevenes evne til å utføre handlinger med funksjoner, kunne anvende den deriverte på studiet av funksjonen.

Finn maksimumspunktet for en funksjon y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Løsning: 1) Finn domenet til funksjonen: x + 9 > 0, x> –9, det vil si x ∈ (–9; ∞).

2) Finn den deriverte av funksjonen:

4) Det funnet punktet tilhører intervallet (–9; ∞). Vi definerer tegnene til den deriverte av funksjonen og viser funksjonen til funksjonen i figuren:

Ønsket maksimumspunkt x = –8.

a) Løs ligningen 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Finn alle røttene til denne ligningen som tilhører segmentet.

Løsning: a) La logg 3 (2cos x) = t, deretter 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Finn røttene som ligger på segmentet .

Det kan ses av figuren at det gitte segmentet har røtter

Diameteren på sirkelen til sylinderens basis er 20, sylinderens generatrise er 28. Planet skjærer basene langs akkorder med lengde 12 og 16. Avstanden mellom akkordene er 2√197.

a) Bevis at sentrene til sylinderens base ligger på samme side av dette planet.

b) Finn vinkelen mellom dette planet og planet til bunnen av sylinderen.

Løsning: a) En korde med lengde 12 er i en avstand = 8 fra midten av grunnsirkelen, og en korde med lengde 16 er på samme måte i en avstand på 6. Derfor er avstanden mellom deres projeksjoner på et plan parallelt med basene på sylindrene er enten 8 + 6 = 14, eller 8 - 6 = 2.

Da er avstanden mellom akkordene enten

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

I henhold til betingelsen ble det andre tilfellet realisert, der fremspringene til akkordene ligger på den ene siden av sylinderens akse. Dette betyr at aksen ikke skjærer dette planet i sylinderen, det vil si at basene ligger på den ene siden av den. Det som måtte bevises.

b) La oss betegne sentrene til basene som O 1 og O 2. La oss tegne fra midten av basen med en akkord med lengde 12 den vinkelrette halveringslinjen til denne akkorden (den har en lengde på 8, som allerede nevnt) og fra midten av den andre basen til en annen akkord. De ligger i samme plan β vinkelrett på disse akkordene. La oss kalle midtpunktet til den mindre akkorden B, større enn A, og projeksjonen av A på den andre basen H (H ∈ β). Da er AB,AH ∈ β og derfor AB,AH vinkelrett på akkorden, det vil si skjæringslinjen mellom basen og det gitte planet.

Så den nødvendige vinkelen er

Oppgave nummer 15- et økt kompleksitetsnivå med et detaljert svar, kontrollerer evnen til å løse ulikheter, den mest vellykkede løst blant oppgavene med et detaljert svar med et økt kompleksitetsnivå.

Eksempel 15 Løs ulikheten | x 2 – 3x| logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Løsning: Definisjonsdomenet for denne ulikheten er intervallet (–1; +∞). Vurder tre tilfeller separat:

1) La x 2 – 3x= 0, dvs. X= 0 eller X= 3. I dette tilfellet blir denne ulikheten sann, derfor er disse verdiene inkludert i løsningen.

2) La nå x 2 – 3x> 0, dvs. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). I dette tilfellet kan denne ulikheten skrives om i formen ( x 2 – 3x) logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 og del med et positivt uttrykk x 2 – 3x. Vi får logg 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 eller x≤ -0,5. Med tanke på definisjonsdomenet har vi x ∈ (–1; –0,5].

3) Til slutt, vurder x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). I dette tilfellet vil den opprinnelige ulikheten skrives om i formen (3 x – x 2) logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Etter å ha dividert med et positivt uttrykk 3 x – x 2, vi får logg 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Med hensyn til arealet har vi x ∈ (0; 1].

Ved å kombinere de oppnådde løsningene får vi x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Svar: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Oppgave nummer 16- avansert nivå refererer til oppgavene i andre del med et detaljert svar. Oppgaven tester evnen til å utføre handlinger med geometriske former, koordinater og vektorer. Oppgaven inneholder to elementer. I første ledd skal oppgaven bevises, og i andre ledd skal den beregnes.

I en likebenet trekant ABC med en vinkel på 120° ved toppunktet A, tegnes en halveringslinje BD. Rektangel DEFH er innskrevet i trekant ABC slik at side FH ligger på segment BC og toppunkt E ligger på segment AB. a) Bevis at FH = 2DH. b) Finn arealet av rektangelet DEFH hvis AB = 4.

Løsning: en)

1) ΔBEF - rektangulær, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, så EF = BE på grunn av egenskapen til benet motsatt vinkelen på 30°.

2) La EF = DH = x, så BE = 2 x, BF = x√3 ved Pythagoras teorem.

3) Siden ΔABC er likebenet, så er ∠B = ∠C = 30˚.

BD er halveringslinjen til ∠B, så ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Tenk på ΔDBH - rektangulær, fordi DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Svar: 24 – 12√3.

Eksempel 17. Innskuddet på 20 millioner rubler er planlagt åpnet i fire år. Ved utgangen av hvert år øker banken innskuddet med 10 % sammenlignet med størrelsen ved inngangen til året. I tillegg, ved begynnelsen av tredje og fjerde år, fyller innskyter årlig på innskuddet med X millioner rubler, hvor X - hel Antall. Finn den høyeste verdien X, hvor banken vil legge til mindre enn 17 millioner rubler til innskuddet om fire år.

Løsning: På slutten av det første året vil bidraget være 20 + 20 · 0,1 = 22 millioner rubler, og på slutten av det andre - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 millioner rubler. Ved begynnelsen av det tredje året vil bidraget (i millioner rubler) være (24,2 + X), og på slutten - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Ved begynnelsen av det fjerde året vil bidraget være (26,62 + 2,1 X), og på slutten - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Etter betingelse må du finne det største heltall x som ulikheten for

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Den største heltallsløsningen på denne ulikheten er tallet 24.

Svar: 24.

På hva en system av ulikheter

har nøyaktig to løsninger?

Løsning: Dette systemet kan skrives om som

Hvis vi tegner på planet settet med løsninger til den første ulikheten, får vi det indre av en sirkel (med en grense) med radius 1 sentrert ved punktet (0, en). Settet med løsninger av den andre ulikheten er den delen av planet som ligger under grafen til funksjonen y = | x| – en, og sistnevnte er grafen til funksjonen
y = | x| , flyttet ned av en. Løsningen til dette systemet er skjæringspunktet mellom løsningssettene til hver av ulikhetene.

Følgelig vil dette systemet kun ha to løsninger i tilfellet vist i fig. en.

Kontaktpunktene mellom sirkelen og linjene vil være de to løsningene til systemet. Hver av de rette linjene er skråstilt til aksene i en vinkel på 45°. Så trekanten PQR- rektangulære likebenete. Punktum Q har koordinater (0, en), og poenget R– koordinater (0, – en). I tillegg kutt PR og PQ er lik sirkelradius lik 1. Derfor,

La sn sum P medlemmer av en aritmetisk progresjon ( en s). Det er kjent at S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Gi formelen P medlem av denne progresjonen.

b) Finn den minste modulosummen S n.

c) Finn den minste P, ved hvilken S n vil være kvadratet av et heltall.

Løsning: a) Selvfølgelig, en n = S n – S n- en . Ved å bruke denne formelen får vi:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

midler, en n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) fordi S n = 2n 2 – 25n, og vurder deretter funksjonen S(x) = | 2x 2 – 25x|. Grafen hennes kan sees på figuren.

Det er åpenbart at den minste verdien nås ved heltallspunktene som ligger nærmest nullpunktene til funksjonen. Dette er åpenbart poeng. X= 1, X= 12 og X= 13. Siden, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, så er den minste verdien 12.

c) Det følger av forrige ledd at sn positiv siden n= 13. Siden S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), så realiseres det åpenbare tilfellet når dette uttrykket er et perfekt kvadrat n = 2n- 25, altså med P= 25.

Det gjenstår å sjekke verdiene fra 13 til 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Det viser seg at for mindre verdier P hel firkant oppnås ikke.

Svar: en) en n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Siden mai 2017 har den felles publiseringsgruppen DROFA-VENTANA vært en del av Russian Textbook Corporation. Selskapet inkluderte også Astrel forlag og den digitale utdanningsplattformen LECTA. Alexander Brychkin, utdannet ved Financial Academy under regjeringen i den russiske føderasjonen, kandidat for økonomiske vitenskaper, leder for innovative prosjekter i DROFA-forlaget innen digital utdanning (elektroniske former for lærebøker, Russian Electronic School, LECTA digital educational plattform) har blitt utnevnt til daglig leder. Før han begynte i DROFA forlag, hadde han stillingen som visepresident for strategisk utvikling og investeringer i EKSMO-AST forlag. I dag har Russian Textbook Publishing Corporation den største porteføljen av lærebøker inkludert i den føderale listen - 485 titler (omtrent 40%, unntatt lærebøker for kriminalomsorgsskoler). Selskapets forlag eier settene med lærebøker i fysikk, tegning, biologi, kjemi, teknologi, geografi, astronomi, mest etterspurt av russiske skoler - kunnskapsområder som trengs for å utvikle landets produksjonspotensial. Selskapets portefølje inkluderer lærebøker og læremidler for grunnskoler som har blitt tildelt presidentens pris i utdanning. Dette er lærebøker og håndbøker om fagområder som er nødvendige for utviklingen av Russlands vitenskapelige, tekniske og industrielle potensial.

Evaluering

to deler, gjelder også 19 oppgaver. Del 1 Del 2

3 timer 55 minutter(235 minutter).

Svar

Men du kan lage et kompass Kalkulatorer på eksamen ikke brukt.

passet), sende og kapillær eller! Tillatt å ta med meg selv vann(i en gjennomsiktig flaske) og mat

Eksamensoppgaven består av to deler, gjelder også 19 oppgaver. Del 1 inneholder 8 oppgaver på et grunnleggende kompleksitetsnivå med et kort svar. Del 2 inneholder 4 oppgaver med økt kompleksitet med kort besvarelse og 7 oppgaver med høy kompleksitet med detaljert besvarelse.

For å fullføre eksamen gis det arbeid i matematikk 3 timer 55 minutter(235 minutter).

Svar til oppgave 1–12 registreres som et heltall eller sluttdesimal. Skriv tallene i svarfeltene i teksten til arbeidet, og overfør dem deretter til svarark nr. 1 utstedt under eksamen!

Når du utfører arbeid, kan du bruke de som er utstedt med arbeidet. Du kan bare bruke en linjal, men du kan lage et kompass med egne hender. Ikke bruk verktøy med referansemateriale trykt på. Kalkulatorer på eksamen ikke brukt.

Du må ha med deg legitimasjon til eksamen. passet), sende og kapillær eller gelpenn med svart blekk! Tillatt å ta med meg selv vann(i en gjennomsiktig flaske) og mat(frukt, sjokolade, boller, smørbrød), men kan bli bedt om å gå i gangen.

Evaluering

to deler, gjelder også 19 oppgaver. Del 1 Del 2

3 timer 55 minutter(235 minutter).

Svar

Men du kan lage et kompass Kalkulatorer på eksamen ikke brukt.

passet), sende og kapillær eller! Tillatt å ta med meg selv vann(i en gjennomsiktig flaske) og mat

Eksamensoppgaven består av to deler, gjelder også 19 oppgaver. Del 1 inneholder 8 oppgaver på et grunnleggende kompleksitetsnivå med et kort svar. Del 2 inneholder 4 oppgaver med økt kompleksitet med kort besvarelse og 7 oppgaver med høy kompleksitet med detaljert besvarelse.

For å fullføre eksamen gis det arbeid i matematikk 3 timer 55 minutter(235 minutter).

Svar til oppgave 1–12 registreres som et heltall eller sluttdesimal. Skriv tallene i svarfeltene i teksten til arbeidet, og overfør dem deretter til svarark nr. 1 utstedt under eksamen!

Når du utfører arbeid, kan du bruke de som er utstedt med arbeidet. Du kan bare bruke en linjal, men du kan lage et kompass med egne hender. Ikke bruk verktøy med referansemateriale trykt på. Kalkulatorer på eksamen ikke brukt.

Du må ha med deg legitimasjon til eksamen. passet), sende og kapillær eller gelpenn med svart blekk! Tillatt å ta med meg selv vann(i en gjennomsiktig flaske) og mat(frukt, sjokolade, boller, smørbrød), men kan bli bedt om å gå i gangen.