Zakharov Fundamentals of Mathematical Logic and Theory of Algoritms. «Matematisk logikk og teori om algoritmer

Bøker. Last ned DJVU-bøker, PDF gratis. Gratis elektronisk bibliotek
A.K. Guts, matematisk logikk og teori om algoritmer

Du kan (programmet vil merke det med gult)
Du kan se listen over bøker om høyere matematikk sortert alfabetisk.
Du kan se listen over bøker om høyere fysikk sortert alfabetisk.

• Gratis nedlasting av bok, volum 556 Kb, .djvu-format (moderne lærebok)

Damer og herrer!! For å laste ned filer av elektroniske publikasjoner uten "feil", klikk på den understrekede lenken med filen HØYRE museknapp, velg en kommando "Lagre målet som ..." ("Lagre målet som...") og lagre e-pub-filen på din lokale datamaskin. Elektroniske publikasjoner er vanligvis i Adobe PDF- og DJVU-formater.

I. Logikk
1. Klassisk logikk
1.1. proposisjonell logikk
1.1.1. ordtak
1.1.2. Grunnleggende logiske lover
1.1.3. Russells logiske paradoks
1.1.4. Algebra (logikk) av utsagn
1.1.5. Stigediagrammer
1.1.6. Tilsvarende formler
1.1.7. Boole algebra
1.1.8. Sanne og gyldige formler
1.1.9. Avgjørelsesproblem
1.1.10. logisk konsekvens
1.1.11. Syllogismer
1.2. Predikatlogikk
1.2.1. Predikater og formler
1.2.2. Tolkninger
1.2.3. Sannhet og tilfredsstillelse av formler. Modeller, gyldighet, logisk konsekvens
1.2.4. Gottlob Frege
1.2.5. Skolem funksjoner
og skolemisering av formler
1.3. Oppløsningsmetode
1.3.1. Metode for resolusjoner i proposisjonell logikk
1.3.2. Oppløsningsmetode i predikatlogikk

2. Formelle teorier (kalkulus)
2.1. Definisjon av formell teori, eller kalkulus
2.1.1. Bevis. Konsistens av teorien. Teoriens fullstendighet
2.2. proposisjonskalkyle
2.2.1. Språk og regler for slutningen av proposisjonskalkylen
2.2.2. Eksempel på teorembevis
2.2.3. Fullstendighet og konsistens i proposisjonskalkylen
2.3. Predikatregning
2.3.1. Språk og slutningsregler for predikatregningen
2.3.2. Fullstendighet og konsistens av predikatregningen
2.4. Formell aritmetikk
2.4.1. Egalitære teorier
2.4.2. Språk og regler for utledning av formell regning
2.4.3. Konsistens av formell aritmetikk. Gentzens teorem
2.4.4. Godels ufullstendighetsteorem
2.4.5. Kurt Gödel
2.5. Automatisk teoremavledning
2.5.1. S.Yu. Maslov
2.6. Logisk programmering
2.6.1. logisk program
2.6.2. Logiske programmeringsspråk

3. Ikke-klassiske logikker
3.1. intuisjonistisk logikk
3.2. uklar logikk
3.2.1. Uklare undergrupper
3.2.2. Operasjoner på uklare undergrupper
3.2.3. Egenskaper for settet med uklare delsett
3.2.4. Fuzzy proposisjonell logikk
3.2.5. Uklare stigediagrammer
3.3. Modal logikk
3.3.1. Modalitetstyper
3.3.2. Kalkulus 1 og T (Feis-von Wright)
3.3.3. Calculus S4, S5 og Wrouer Calculus
3.3.4. Formelvurdering
3.3.5. Kripkes semantikk
3.3.6. Andre tolkninger av modale tegn
3.4. Georg von Wright
3.5. Temporal logikk
3.5.1. Pryors timinglogikk
3.5.2. Lemmons tidsmessige logikk
3.5.3. Von Wrights tidsmessige logikk
3.5.4. Anvendelse av timing logikk til programmering
3.5.5. Pnueli Temporal Logic
3.6. Algoritmiske logikk
3.6.1. Prinsipper for å konstruere algoritmisk logikk
3.6.2. Charles Hoare
3.6.3. Hoares algoritmiske logikk

II. Algoritmer
4. Algoritmer
4.1. Konsept for algoritme og beregnelig funksjon
4.2. Rekursive funksjoner
4.2.1. Primitive rekursive funksjoner
4.2.2. Delvis rekursive funksjoner
4.2.3. Kirkens avhandling
4.3. Turing-Post maskin
4.3.1. Funksjonsberegninger på en Turing-Post-maskin
4.3.2. Regneeksempler
4.3.3. Turing avhandling
4.3.4. Universal Turing-Post maskin
4.4. Alan Turing
4.5. Emil Post
4.6. Effektive algoritmer
4.7. Algoritmisk uløselige problemer

5. Kompleksiteten til algoritmer
5.1. Konseptet med kompleksiteten til algoritmer
5.2. Problemklassene Р og NP
5.2.1. Problemklasse Р
5.2.2. Klasse av problemer NP
5.2.3. Ikke-deterministisk Turing-maskin
5.3. Om begrepet kompleksitet
5.3.1. Tre typer vanskeligheter
5.3.2. Fire kategorier av tall ifølge Kolmogorov
5.3.3. Kolmogorovs avhandling
5.4. A.N. Kolmogorov

6. Algoritmer av virkeligheten
6.1. Virtual Reality Generator
6.2. Turing-prinsippet
6.3. Logisk mulige Kantgotu-miljøer

Kort oppsummering av boken

Læreboken er viet presentasjonen av grunnlaget for matematisk logikk og teorien om algoritmer. Læreboken er basert på forelesningsnotater gitt til andreårsstudenter ved informatikkavdelingen ved Omsk State University i 2002. For studenter som studerer i spesialiteten "Datasikkerhet" og i spesialiteten "Datamaskiner, komplekser, systemer og nettverk".

Hva er vitenskapen om logikk. Dette er en teori som lærer hvordan man kan resonnere riktig, trekke konklusjoner og konklusjoner riktig, noe som resulterer i korrekte (riktige) utsagn. Derfor må logikk som vitenskap inneholde en liste med regler for å få korrekte utsagn. Et slikt sett med regler, slutninger kalles en liste over syllogismer. Et utsagn er et utsagn om objektene som studeres som har en entydig og presist definert betydning. På russisk er en ytring en deklarativ setning som det bes om å si at den forteller oss noe sant eller noe helt galt. Derfor kan utsagnet enten være sant eller usant.

Bøker, last ned bøker, last ned bok, bøker på nett, les på nettet, last ned bøker gratis, les bøker, les bøker på nettet, les, bibliotek på nettet, bøker lest, les gratis på nettet, les bøker gratis, e-bok, les bøker på nettet, beste bøker matematikk og fysikk, interessante bøker matematikk og fysikk, e-bøker, bøker gratis, bøker for gratis nedlasting, gratis nedlasting av bøker matematikk og fysikk, last ned bøker helt gratis, nettbibliotek, bøker last ned gratis, les bøker online gratis uten registrering matematikk og fysikk, les bøker gratis på nettet matematikk og fysikk, elektronisk bibliotek matematikk og fysikk, bøker for å lese matematikk og fysikk på nett, bokverdenen matematikk og fysikk, les matematikk og fysikk gratis, bibliotek online matematikk og fysikk, lese bøker matematikk og fysikk, bøker online gratis matematikk og fysikk, populære bøker matematikk og fysikk, bibliotek med gratis bøker matematikk og fysikk, last ned elektr. matematikk og fysikk bok, gratis online matematikk og fysikk bibliotek, last ned e-bøker, online matematikk og fysikk lærebøker, matematikk og fysikk e-bok bibliotek, e-bøker gratis nedlasting uten registrering matematikk og fysikk, gode matematikk og fysikk bøker, last ned hele matematikkbøker og fysikk, elektronisk bibliotek lese gratis matematikk og fysikk, elektronisk bibliotek gratis nedlasting matematikk og fysikk, nettsteder for nedlasting av bøker matematikk og fysikk, smartbøker matematikk og fysikk, søk etter bøker matematikk og fysikk, last ned e-bøker gratis matematikk og fysikk, e-bok nedlasting matematikk og fysikk, de beste bøkene om matematikk og fysikk, elektronisk bibliotek for gratis matematikk og fysikk, les online gratis bøker om matematikk og fysikk, nettsted for bøker om matematikk og fysikk, elektronisk bibliotek, online bøker å lese , bok om elektronisk matematikk og fysikk, nettsted for nedlasting av bøker gratis og uten registrering , et gratis nettbibliotek for matematikk og fysikk, hvor du kan laste ned bøker om matematikk og fysikk gratis, lese bøker gratis og uten registrering matematikk og fysikk, laste ned lærebøker i matematikk og fysikk, laste ned gratis e-bøker om matematikk og fysikk, last ned gratis bøker fullstendig, bibliotek på nett gratis, de beste e-bøkene matematikk og fysikk, nettbibliotek for bøker matematikk og fysikk, last ned e-bøker gratis uten registrering, nedlasting av nettbibliotek gratis, hvor du kan laste ned gratis bøker, e- biblioteker gratis, e-bøker gratis, gratis e-biblioteker, nettbibliotek gratis, les bøker gratis, bøker på nettet gratis å lese, lese gratis på nettet, interessante bøker å lese matematikk og fysikk på nett, lese bøker på nett matematikk og fysikk, elektronisk bibliotek online matematikk og fysikk, gratis bibliotek med elektroniske bøker matematikk og fysikk, bibliotek online for å lese, lese gratis og uten registrering og matematikk og fysikk, finn en bok om matematikk og fysikk, katalog over bøker om matematikk og fysikk, last ned bøker på nettet for gratis matematikk og fysikk, nettbibliotek for matematikk og fysikk, last ned gratis bøker uten registrering matematikk og fysikk, hvor du kan laste ned bøker for gratis matematikk og fysikk, hvor du kan laste ned bøker, nettsteder for gratis nedlasting av bøker, online for å lese, bibliotek for å lese, bøker for å lese online gratis uten registrering, bøker bibliotek, gratis bibliotek online, nettbibliotek for å lese gratis , bøker å lese gratis og uten registrering, elektronisk bibliotek for å laste ned bøker gratis, online å lese er gratis.

,
Siden 2017 gjenopptar vi mobilversjonen av nettsiden for mobiltelefoner (forkortet tekstdesign, WAP-teknologi) - den øverste knappen i øvre venstre hjørne av nettsiden. Hvis du ikke har tilgang til Internett via en personlig datamaskin eller internettterminal, kan du bruke mobiltelefonen til å besøke nettsiden vår (forkortet design) og om nødvendig lagre data fra nettsiden til mobiltelefonens minne. Lagre bøker og artikler på mobiltelefonen (mobilt internett) og last dem ned fra telefonen til datamaskinen. Praktisk nedlasting av bøker via mobiltelefon (til telefonminne) og til datamaskinen via mobilgrensesnitt. Rask Internett uten unødvendige tagger, gratis (til prisen for Internett-tjenester) og uten passord. Materialet er gitt til gjennomgang. Direkte lenker til filer med bøker og artikler på nettstedet og salg av disse av tredjeparter er forbudt.

Merk. En praktisk tekstlenke for fora, blogger, sitering av nettstedmateriale, html-koden kan kopieres og enkelt limes inn på nettsidene dine når du siterer vårt nettstedmateriale. Materialet er gitt til gjennomgang. Lagre også bøker på mobiltelefonen din via Internett (det finnes en mobilversjon av siden - lenken er øverst til venstre på siden) og last dem ned fra telefonen til datamaskinen. Direkte lenker til bokfiler er forbudt.

KAZAN TECHNICAL UNIVERSITY dem. A. N. Tupoleva

Sh. I. Galiev

MATEMATISK LOGIKK OG ALGORITMETEORI

OPPLÆRINGEN

Kazan 2002

Galiev Sh. I. Matematisk logikk og teori for algoritmer. - Kazan: Forlaget til KSTU. A.N. Tupolev. 2002. - 270 s.

ISBN 5-93629-031-X

Håndboken inneholder følgende avsnitt. Logikken til proposisjoner og predikater med applikasjoner, inkludert oppløsningsmetoden og elementer av dens implementering i PROLOG-språket. Klassisk kalkulus (av proposisjoner og predikater) og elementer av ikke-klassisk logikk: logikk med tre verdier og flerverdier, modale, tidsmessige og uklare logikker. Teori om algoritmer: normale algoritmer, Turing-maskiner, rekursive funksjoner og deres relasjoner. Begrepet beregningskompleksitet, ulike (etter kompleksitet) problemklasser og eksempler på slike problemer.

Alle kapitler er utstyrt med kontrollspørsmål og øvelser, det gis muligheter for typiske oppgaver og tester for egenkontroll av mestring av stoffet.

Manualen er beregnet på studenter ved tekniske universiteter i spesialitet 2201 i retningen "Informatikk og datateknikk" og kan brukes for spesialitet 2202 og andre spesialiteter innen dette området.

INTRODUKSJON

Logikk blir vanligvis forstått som vitenskapen om metoder for bevis og tilbakevisning. Matematisk logikk er logikk utviklet ved hjelp av matematiske metoder.

Ved å studere metodene for bevis og tilbakevisninger, er logikk først og fremst interessert i formen for å oppnå sanne konklusjoner, og ikke i innholdet i premisser og konklusjoner i dette eller det resonnementet. Tenk for eksempel på følgende to utganger:

1. Alle mennesker er dødelige. Sokrates er en mann. Derfor er Sokrates dødelig.

2. Alle kattunger elsker å leke. Moura er en kattunge. Derfor elsker Moura å spille.

Begge disse konklusjonene har samme form: Alle A er B, C er A; derfor er C B. Disse konklusjonene er sanne i kraft av sin form, uavhengig av innholdet, uavhengig av om premissene og konklusjonene som er tatt av seg selv er sanne eller usanne. Systematisk formalisering og katalogisering av riktige måter å resonnere på er en av logikkens hovedoppgaver. Hvis det matematiske apparatet brukes i dette tilfellet og forskningen primært er viet til studiet av matematisk resonnement, så er denne logikken matematisk logikk (formell logikk). Denne definisjonen er ikke en streng (eksakt) definisjon. For å forstå emnet og metoden for matematisk logikk, er det best å begynne å studere det.

Matematisk logikk begynte å ta form for lenge siden. Opprinnelsen til ideene og metodene fant sted i det gamle Hellas, det gamle India og det gamle Kina fra ca 600-tallet f.Kr. f.Kr e. Allerede i denne perioden prøvde forskere å ordne kjeden av matematiske bevis i en slik kjede at overgangen fra ett ledd til et annet ikke ville etterlate tvil og vinne universell anerkjennelse. Allerede i de tidligste manuskriptene som har kommet ned til oss, er "kanonen" for den matematiske presentasjonsstilen godt etablert. Deretter mottar han den endelige fullføringen av de store klassikerne: Aristoteles, Euklid, Arkimedes. Konseptet med bevis for disse forfatterne er ikke forskjellig fra vårt.

Logikken som en uavhengig vitenskap har sitt opphav i studiene til Aristoteles (384 - 322 f.Kr.). Antikkens store filosof, Aristoteles, gjennomførte en leksikon systematisering av gammel kunnskap på alle områder av den daværende vitenskapen. Aristoteles' logiske studier presenteres hovedsakelig i hans to verk "First Analytics" og "Second Analytics", samlet under den generelle tittelen "Organon" (Instrument of Knowledge).

Spesielt å merke seg er den store betydningen for dannelsen og utviklingen av matematisk logikk til en av de mest strålende prestasjonene i menneskehetens historie, nemlig transformasjonen av geometri til et eksakt deduktivt system i Euklids arbeid (330 - 275 f.Kr.) "Begynnelser". Det var denne deduktive tilnærmingen med en klar bevissthet om mål og metoder som var grunnlaget for utviklingen av filosofisk og matematisk tankegang i de påfølgende århundrene.

Også av stor betydning for dannelsen og utviklingen av logikk var prestasjoner i algebra (Bule algebra) og i andre matematiske disipliner, inkludert igjen i geometri (skapelsen av ikke-euklidisk geometri - Lobachevsky-Gauss-Bolyai geometri). En kort oversikt over dannelsen av matematisk logikk finner du i.

Mange og mange vitenskapsmenn, både eldgamle tider, middelalder og påfølgende tider, deltok i dannelsen og utviklingen av matematisk logikk.

Grunnleggende og anvendt betydning av matematisk logikk

Den grunnleggende betydningen av matematisk logikk er underbyggelsen av matematikk (analyse av grunnlaget for matematikk).

Den anvendte verdien av matematisk logikk er for tiden svært høy. Matematisk logikk brukes til følgende formål:

analyse og syntese (konstruksjon) av digitale datamaskiner og andre diskrete automater, inkludert intelligente systemer;

analyse og syntese av formelle og maskinelle språk, for analyse av naturlig språk;

analyse og formalisering av det intuitive konseptet beregnbarhet;

finne ut eksistensen av mekaniske prosedyrer for å løse problemer av en viss type;

analyse av beregningsmessige kompleksitetsproblemer.

Matematisk logikk viste seg også å være nært forbundet med en rekke spørsmål innen lingvistikk, økonomi, psykologi og filosofi.

Denne håndboken skisserer de grunnleggende konseptene for matematisk logikk og teorien om algoritmer. Materialet presentert i manualen

tilsvarer den statlige utdanningsstandarden for retningen "Informatikk og datateknikk" og kan brukes for studenter som studerer i ulike spesialiteter i denne retningen.

Ved skriving av manualen ble det brukt litteratur, og selvfølgelig også andre kilder. Referanselisten inkluderer bøker som det er ønskelig å se for en nysgjerrig og krevende student.

I håndboken inneholder hvert kapittel spørsmål for selvtesting av teoretisk materiale og øvelser designet for å utvikle problemløsningsferdigheter og utdype kunnskap om temaet som presenteres. I tillegg gir manualen muligheter for typiske oppgaver og tester for egenkontroll av assimileringen av materialet.

Federal Agency for Education

TOMSK STATE UNIVERSITY OF CONTROL SYSTEMS AND RADIO ELECTRONICS (TUSUR)

Institutt for automatisering av informasjonsbehandling

Jeg godkjenner:

Hode kafe AOI

Professor

Jepp. Ekhlakov

"__" _____________2007

Retningslinjer

til gjennomføring av praktisk arbeid med faget

"Matematisk logikk og teori om algoritmer"

for studenter med spesialitet 230102 -

"Automatiske systemer for informasjonsbehandling og kontroll"

Utviklere:

Kunst. foreleser ved instituttet AOI

DERETTER. Peremitina

Tomsk - 2007

Praktisk leksjon nr. 1 "Proposisjonelle algebraformler" 3

Praktisk leksjon nr. 2 "Ekvivalente transformasjoner av proposisjonelle algebraformler" 10

Praktisk leksjon nr. 3 "Normale formler" 12

Praktisk leksjon nr. 4 «Logisk resonnement» 14

Praktisk leksjon nr. 5 "Formler for predikatlogikk" 18

Øv #6 boolske funksjoner 23

Øv #7 Delvis rekursive funksjoner 28

Øv #8 Turing-maskiner 34

Praktisk leksjon nr. 1 "Proposisjonelle algebraformler"

Læren om proposisjoner – proposisjonens algebra, eller logikkens algebra – er den enkleste logiske teorien. Atomforestillingen om proposisjonalgebraen er uttalelse - en deklarativ setning i forhold til hvilken uttalelsen om sannheten eller usannheten gir mening.

Et eksempel på et sant utsagn: "Jorden kretser rundt solen." Et eksempel på en falsk uttalelse: "3 > 5". Ikke hver setning er et utsagn; utsagn inkluderer ikke spørrende og utropssetninger. Setningen: "Grøt er en deilig rett" er ikke et utsagn, siden det ikke kan være konsensus om det er sant eller usant. Setningen "Det er liv på Mars" bør betraktes som et utsagn, siden det objektivt sett er enten sant eller usant, selv om ingen ennå vet hvilken.

Siden emnet for studier av logikk bare er sannhetsverdiene til proposisjoner, introduseres bokstavbetegnelsene A, B, ... eller X, Y ... for dem.

Hver påstand anses å være enten sann eller usann. For korthets skyld skriver vi 1 i stedet for den sanne verdien, og 0 i stedet for den falske verdien. For eksempel X= "Jorden roterer rundt solen" og Y= "3\u003e 5", og X=1 og Y = 0. Utsagnet kan ikke være både sant og usant .

Utsagn kan være enkle eller sammensatte. Utsagnene "jorden kretser rundt solen" og "3 > 5" er enkle. Sammensatte utsagn er dannet av enkle utsagn ved hjelp av naturlige (russiske) språkforbindelser IKKE, OG, ELLER, HVIS-SÅ, DA-OG-BARE-DÅ. Når du bruker alfabetisk notasjon for utsagn, erstattes disse forbindelsene med spesielle matematiske symboler, som kan betraktes som symboler for logiske operasjoner.

Nedenfor, i tabell 1, er det varianter av symboler for å angi koblinger og navnene på de tilsvarende logiske operasjonene.

Benektelse (inversjon) utsagn X er et utsagn som er sant hvis og bare hvis X usann (betegnet eller , står det «ikke X” eller “det er ikke sant det X”).

konjunksjon
av to påstander kalles en påstand som er sann hvis og bare hvis begge påstandene er sanne X og Y. Denne logiske operasjonen tilsvarer koblingen av uttalelser med fagforeningen "og".

disjunksjon
to setninger X og Y En påstand sies å være usann hvis og bare hvis begge påstandene X og Y falsk. I dagligtale tilsvarer denne logiske operasjonen foreningen "eller" (ikke eksklusiv "eller").

implikasjon to setninger X og Y er en påstand som er falsk hvis og bare hvis X sant, og Y- usann (angitt
; leser" X innebærer Y", "hvis X, deretter Y”). Operandene til denne operasjonen har spesielle navn: X- pakke, Y- konklusjon.

Ekvivalens to setninger X og Y kalles et utsagn som er sant hvis og bare hvis sannheten verdsetter X og Y er de samme (symbol:
).

Tabell 1. Logiske operasjoner

Operandene til logiske operasjoner kan bare ha to verdier: 1 eller 0. Derfor kan hver logisk operasjon , &, , ,  enkelt spesifiseres ved hjelp av en tabell, som indikerer verdien av resultatet av operasjonen avhengig av verdiene av operandene. Et slikt bord kalles sannhetstabell (Tabell 2).

Tabell 2. Sannhetstabell over logiske operasjoner

Ved hjelp av de logiske operasjonene definert ovenfor er det mulig å bygge ut fra enkle proposisjoner proposisjonelle logiske formler som representerer forskjellige sammensatte utsagn. Den logiske betydningen av et sammensatt utsagn avhenger av strukturen til utsagnet, uttrykt med formelen, og de logiske verdiene til de elementære utsagnene som danner den.

For systematisk studie av formler som uttrykker utsagn, introduseres variable utsagn P, P 1 , P 2 , ..., P N, tar verdier fra settet (0, 1).

Proposisjonell logisk formel F (P 1 , P 2 ,..., P N) kalles en tautologi eller identisk sant hvis verdien for noen verdier P 1 , P 2 ,..., P N er 1 (sant). Formler som evalueres til sann for minst ett sett med variabellister kalles overkommelig . Formler som tar verdien "false" for alle verdier av variablene kalles motsetninger (identisk usant, umulig).

11.1. Konseptet med algoritmen og teorien om algoritmer

Intuitivt forstås en algoritme som prosessen med å sekvensielt løse et problem som fortsetter i diskret tid, slik at systemet med objekter i algoritmen i hvert neste øyeblikk oppnås i henhold til en bestemt lov fra systemet med objekter som var tilgjengelige. i forrige øyeblikk. Intuitivt fordi begrepet en algoritme strengt tatt er beslektet med begrepet et sett, som er udefinerbart.

I samsvar med GOST 19781-74 "Datamaskiner. Programvare. Begreper og definisjoner" algoritme er en eksakt resept som definerer beregningsprosessen som fører fra variable startdata til ønsket resultat. Dette forutsetter tilstedeværelsen av en algoritmeutøver - et objekt som "vet hvordan" skal utføre disse handlingene.

Ordet "algoritme" er ment å komme fra navnet på den sentralasiatiske (usbekiske) matematikeren fra det XIII århundre Al Khorezmi (Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al Khorezmi al Medjusi) - "Algorithmi" i latinsk transkripsjon, som for første gang formulerte reglene (prosedyren) for å utføre fire aritmetiske operasjoner i desimaltallsystem.

Så lenge beregningene var enkle, var det ikke noe spesielt behov for algoritmer. Når det var behov for flere trinnvise prosedyrer, dukket teorien om algoritmer opp. Men med enda større komplikasjon av oppgavene, viste det seg at noen av dem ikke kan løses algoritmisk. Slikt er for eksempel mange oppgaver som løses av en persons «ombord-datamaskin» – hjernen. Løsningen av slike problemer er basert på andre prinsipper - disse prinsippene brukes av en ny vitenskap - nevromemamatikk og de tilsvarende tekniske midlene - nevrodatamaskiner. I dette tilfellet brukes prosessene med læring, prøving og feiling - det vil si det vi for tiden gjør.

Kvaliteten til en algoritme bestemmes av dens egenskaper (karakteristikker). Hovedegenskapene til algoritmen er:

1. massekarakter. Det antas at algoritmen kan være egnet for å løse alle problemer av denne typen. For eksempel bør en algoritme for å løse et system med lineære algebraiske ligninger være anvendelig for et system som består av et vilkårlig antall ligninger.

2. Effektivitet. Denne egenskapen betyr at algoritmen må føre til et resultat i et begrenset antall trinn.

3. Sikkerhet. Instruksjonene som er inkludert i algoritmen må være presise og forståelige. Denne egenskapen sikrer unikheten til resultatet av beregningsprosessen for gitte innledende data.

4. diskrethet. Denne egenskapen betyr at prosessen beskrevet av algoritmen og selve algoritmen kan deles inn i separate elementære stadier, muligheten for hvilke brukeren kan utføre på en datamaskin er hevet over tvil.

I dag er det "digitale årtusenet" i hagen, og du kan få inntrykk av at alle oppgaver er underlagt algoritmer. Det viser seg at mange problemer ikke kan løses algoritmisk. Dette er de såkalte algoritmisk uløselige problemene.

For å bevise den algoritmiske løsebarheten eller uløseligheten til problemer, er det nødvendig med matematisk strenge og presise midler. På midten av 30-tallet av forrige århundre ble det gjort forsøk på å formalisere begrepet en algoritme og ulike modeller for algoritmer ble foreslått: rekursive funksjoner; "maskiner" - Turing, Post; normale Markov-algoritmer.

Deretter ble det funnet at disse og andre modeller er likeverdige i den forstand at klassene av problemer de løser sammenfaller. Dette faktum kalles kirkens avhandling. Nå er dette allment akseptert. Den formelle definisjonen av begrepet en algoritme skapte forutsetningene for utviklingen av teorien om en algoritme allerede før utviklingen av de første datamaskinene. Datateknologiens fremgang stimulerte videreutviklingen av teorien om algoritmer. I tillegg til å etablere den algoritmiske løsebarheten av problemer, omhandler teorien om algoritmer også estimering av kompleksiteten til algoritmer i form av antall trinn (tidskompleksitet) og nødvendig minne (romkompleksitet), og utvikler også effektive algoritmer i denne følelsen.

For implementering av noen algoritmer, under alle rimelige antagelser fra et fysikksynspunkt om hastigheten på å utføre elementære trinn, kan det ta mer tid enn, ifølge moderne synspunkter, universet eksisterer, eller flere minneceller enn atomene som utgjør planeten Jorden.

Derfor er en annen oppgave for teorien om algoritmer å løse problemet med å eliminere oppregningen av alternativer i kombinatoriske algoritmer. Å estimere kompleksiteten til algoritmer og lage såkalte effektive algoritmer er en av de viktigste oppgavene til moderne algoritmeteori.

S. N. Pozdnyakov S. V. Rybin

Opplæringen

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i Den russiske føderasjonen

St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI"

S. N. Pozdnyakov S. V. Rybin

MATEMATISK LOGIKK OG ALGORITMETEORI

St. Petersburg SPbGETU "LETI" forlag

UDC 510.6 BBK V12 P47

Pozdnyakov S. N., Rybin S. V. Matematisk logikk og teori for algoritmer: Proc. godtgjørelse. St. Petersburg: SPbGETU "LETI", 2004. 64 s.

Hovedideene, konseptene og metodene for matematisk logikk vurderes, interessen for disse har vokst på grunn av nye applikasjoner som nylig har dukket opp i forbindelse med utviklingen av informasjonsteknologi.

Den kan brukes både for heltidsstudenter og for kvelds- og korrespondansefakulteter ved tekniske universiteter.

Anmeldere: Institutt for matematisk analyse, St. Petersburg State University; Assoc. M. V. Dmitrieva (St. Petersburg State University).

Godkjent av redaksjonen og forlagsstyret ved universitetet

som læremiddel

Matematisk logikk, i likhet med teorien om algoritmer, dukket opp lenge før datamaskinen kom. Deres fremvekst var forbundet med de interne problemene i matematikk, med studiet av grensene for anvendeligheten til teoriene og metodene.

PÅ For tiden har begge disse (innbyrdes beslektede) teoriene fått anvendt utvikling i den såkalte datamatematikken (datavitenskap). Her er noen områder hvor de kan brukes i brukte områder:

– bruk av ekspertsystemer formelle-logiske konklusjoner for å simulere aktivitetene til eksperter på ulike felt;

– ved utforming av mikrokretser brukes teorien om boolske funksjoner;

– testing av programmer er basert på en logisk analyse av strukturen deres;

– beviset på riktigheten av programmer er basert på teorien om logisk slutning;

– algoritmiske språk knytter sammen to viktige begreper om logikk: begrepet et språk og begrepet en algoritme;

– automatisering av teorembevising er basert på oppløsningsmetoden studert i løpet av logikk.

PÅ Denne læreboken skisserer hovedideene, konseptene og metodene for matematisk logikk som ligger til grunn for både de oppførte og andre anvendelsene.

1. Binære relasjoner og grafer

1.1. Introduksjon. Formulering av problemet

Binære relasjoner har allerede blitt påtruffet i skolematematikkkurs. Eksempler på slike relasjoner er relasjonene ulikhet, likhet, likhet, parallellitet, delbarhet osv. En binær relasjon tildeler den logiske verdien "ja" til hvert to objekter hvis objektene er i denne relasjonen, og "nei" ellers. Med andre ord er settet med par av objekter delt inn i to delmengder, parene til den første delmengden er i denne relasjonen, og den andre er ikke det. Denne egenskapen kan brukes som grunnlag for definisjonen av en binær relasjon.

Definisjon 1.1. La et sett M gis. Tenk på det kartesiske produktet av dette settet og seg selv M × M . En delmengde R av en mengde M ×M kalles en binær relasjon R på mengden M . Hvis paret (x; y) tilhører mengden R, sies elementet x å stå i forhold til elementet y, og xRy skrives.

Eksempel 1.1. La oss introdusere sammenlignbarhetsrelasjonen R : x er sammenlignbar med cy modulo m hvis og bare hvis x og y har samme modulo m . Det vil si x ≡ y (mod m) .

Tenk på den introduserte relasjonen R for tilfellet m = 3 på settet M = (1; 2; 3; 4; 5; 6), så

Relasjonen R er definert av settet med slike par:

Eksempel 1.2. Betrakt som M = R settet med ting

reelle tall, eller, med andre ord, settet med punkter på den reelle linjen. Da er M × M = R 2 settet med punkter i koordinatplanet. Ulikhetsforhold< определяется множеством парR = = {(x; y)|x < y} .

Oppgave 1.1.

1. På settet med reelle tall er relasjonen gitt: xRy da

hvis og bare hvis ett av tallene er det dobbelte av det andre. Tegn på planet et sett med punkter som definerer dette forholdet.

2. På mengden M = (1; 2; 3; 4; 5; 6) er delbarhetsrelasjonen gitt: xRy hvis og bare hvis x er delelig med y . Hvor mange par gjør

er denne holdningen? List opp disse parene.

3. På settet M = (1; 2; 3; 4; 5; 6) introduserer vi coprime-relasjonen, dvs. xRy hvis og bare hvis x og y er coprime: D(x; y) = 1 . Hvor mange par inneholder denne relasjonen? List opp disse

1.2. Egenskaper til binære relasjoner

Definisjon 1.2. En binær relasjon R på en mengde M kalles

er refleksiv hvis hvert element i dette settet er i forhold til seg selv: xRx x M .

Eksempel 1.3.

1. Sammenliknbarhetsrelasjonen er refleksiv (for enhver naturlig m og på ethvert sett med heltall).

2. Den strenge ulikhetsrelasjonen på settet av reelle tall er ikke refleksiv.

3. Delbarhetsrelasjonen er refleksiv (på ethvert sett med heltall som ikke inneholder null).

Definisjon 1.3. Binær relasjon R på settet M kalt

er antirefleksiv hvis ingen elementer i dette settet er i forhold til seg selv: x M er ikke sant at xRx .

Eksempel 1.4.

1. Den strenge ulikhetsrelasjonen på settet av reelle tall er antirefleksiv.

2. Coprime-relasjonen er antirefleksiv på ethvert sett med heltall som ikke inneholder 1 og −1 , er refleksiv på settene(1), (−1) ,(−1; 1) og er verken refleksiv eller antirefleksiv

ellers.

Definisjon 1.4. En binær relasjon R på et sett M kalles symmetrisk hvis relasjonen sammen med hvert par (x; y) også inkluderer et symmetrisk par (y; x) :x, y M xRy yRx .

Eksempel 1.5.

1. Sammenliknbarhetsrelasjonen er symmetrisk for enhver naturlig

2. Den strenge ulikhetsrelasjonen på settet med reelle tall er ikke symmetrisk.

3. Delbarhetsrelasjonen er symmetrisk bare på settet med parvise coprime-heltall som ikke inneholder ett. For eksempel på settet med primtall.

4. Coprime-relasjonen er symmetrisk på ethvert sett med heltall.

Definisjon 1.5. En binær relasjon R på en mengde M kalles

er asymmetrisk hvis ingen par kommer inn i relasjonen sammen med dens symmetriske: x, y M , hvis xRy , så er det ikke sant at yRx .

Eksempel 1.6.

1. Den strenge ulikhetsrelasjonen på settet med reelle tall er asymmetrisk.

2. Delbarhetsrelasjonen er ikke asymmetrisk på et sett med heltall som ikke inneholder null.

Definisjon 1.6. En binær relasjon R på en mengde M kalles

er antisymmetrisk hvis ingen par som består av forskjellige elementer kommer inn i relasjonen sammen med dens symmetriske: x, y M , hvis xRy og yRx så x = y .

Eksempel 1.7.

1. Forholdet mellom ikke-streng ulikhet på settet med reelle tall er antisymmetrisk.

2. Delbarhetsrelasjonen er antisymmetrisk på ethvert sett med heltall som ikke inneholder null.

Oppgave 1.2.

1. Er det sant at en asymmetrisk relasjon alltid er antirefleksiv? Bevis det.

2. Er det sant at en symmetrisk relasjon alltid er refleksiv? Fortell meg.

3. Er det sant at en asymmetrisk relasjon alltid er antisymmetrisk? Bevis det.

4. Er det sant at en relasjon er asymmetrisk hvis og bare hvis den er antirefleksiv og antisymmetrisk? Bevis det.

Definisjon 1.7. En binær relasjon R er transitiv hvis, sammen med parene (x; y), paret (x, z) også kommer inn, dvs. x, y, x M hvis xRy og

sett M kaller vi u(y; z) i relasjon yRz , thenxRz .

Merknad 1.1. Egenskapen til transitivitet er godt illustrert av nåbarhetsrelasjonen: hvis punkt y kan nås fra punkt x , og punkt z kan nås fra punkt y , så kan punkt z nås fra punkt x .

Eksempel 1.8.

1. Sammenliknbarhetsrelasjonen er transitiv for enhver naturlig m og på et hvilket som helst sett med heltall.

2. Den strenge (ikke-strenge) ulikhetsrelasjonen er transitiv på enhver delmengde av reelle tall.

3. Delbarhetsrelasjonen er transitiv på settet med heltall som ikke inneholder null.

4. Coprime-relasjonen er ikke transitiv på noe sett med heltall. For eksempel, 2 er coprime til c3, 3 er coprime til c4, men 2 og 4 er ikke coprime.

Oppgave 1.3. Er det sant at transitive og symmetriske

holdning er alltid refleksiv? Bevis det.

1.3. Måter å definere relasjoner på

I tillegg til en eksplisitt oppregning av par som definerer en binær relasjon, er følgende måter å spesifisere relasjoner på.

Spesifisere verifiseringsprosedyren.

Eksempel 1.9.

1. Coprime-relasjonen kontrolleres av prosedyren for å finne den største felles divisor: if D(x; y) = 1, så er (x; y) inkludert i

forholdet mellom gjensidig enkelhet.

2. Delbarhetsforholdet kontrolleres av delingsprosedyren med en rest: if x ≡ 0 (mod y), da er (x; y) inkludert i delebarhetsrelasjonen.

3. Den samme prosedyren kontrollerer forholdet mellom likhet av restene når de divideres med m : hvis(x−y)≡0 (mod m), så er(x; y) i relasjonen.

For relasjoner på endelige mengder (som er grunnleggende for diskret matematikk) brukes også følgende metoder for å spesifisere og beskrive relasjoner.

Spesifisere en tilstøtende matrise. La oss definere en matrise A av størrelse

|M| × |M |, hvor |M | er antall elementer i settet M . Vi nummererer elementene i settet M . Da er aij = 1 hvis elementet med nummer i står i forhold til elementet med tall j (iRj) og aij = 0 ellers.

Eksempel 1.10. Adjacency-matrisen for delebarhetsrelasjonen på mengden M = (1; 2; 3; 4; 5; 6) ser slik ut:

Grafoppgave. Elementene i settet er representert av punkter i planet og danner et sett med toppunkter i grafen. Relasjonen er representert av buer (kanter) av grafen: hvis (x; y) er inkludert i relasjonen, tegnes en orientert bue fra toppunktet x til y.

Eksempel 1.11. Graf for sammenlignbarhetsrelasjonen modulo tre på

Angi en tilknytningsliste. For hvert element i settet er elementene som er i dette forholdet oppført.

Eksempel 1.12. Adjacency-listen for coprime-relasjonen på settet M = (1; 2; 3; 4; 5; 6) ser slik ut:

La oss gi en tolkning av egenskapene til binære relasjoner på grafene og matrisene som beskriver dem.

Teorem 1.1. Følgende påstander er sanne.

1. Diagonalen til tilstøtende matrisen til en refleksiv relasjon består av enere.

2. En symmetrisk relasjon har en symmetrisk tilgrensningsmatrise

3. En refleksiv relasjonsgraf har løkker ved hvert toppunkt.

4. Symmetrisk relasjonsgraf sammen med en bue som forbinder x

med y , inneholder en bue som forbinder y med x .

5. En graf av en transitiv relasjon har følgende egenskap: if fra et toppunkt x , beveger seg langs buene, kan du komme til toppunktet y , da må det være en bue i grafen som direkte forbinder x med y .

Merknad 1.2. For symmetrisk

løkker er vanligvis ikke tegnet, og par med orienterte buer som forbinder gitte hjørner erstattes av en enkelt, urettet bue.

For eksempel vil grafen i eksempel 1.11 se ut som den som er vist i figur 1.11. 1.2.

og reflekterende relasjoner

Oppgave 1.4.

1. Beskriv egenskapene til adjacency-matrisen: a) antirefleksivt forhold; b) asymmetrisk forhold; c) antisymmetrisk relasjon; d) transitiv relasjon.

2. Beskriv egenskapene til grafen: a) antirefleksiv relasjon; b) asymmetrisk forhold; c) antisymmetrisk relasjon.

1.4. Ekvivalensforhold

Definisjon 1.8. En binær relasjon som har egenskapene til re

inflexivity, symmetri og transitivity kalles en ekvivalensrelasjon.

Eksempel 1.13. Sammenliknbarhetsrelasjonen (ved hvilken som helst modulo) er

er gitt av en ekvivalensrelasjon.

La oss assosiere med hvert element i mengden M alle elementene som er med den i den gitte ekvivalensrelasjonen: Mx = (y M | xRy). Følgende teorem er sant.

Teorem 1.2. Settene M x og M y krysser ikke hverandre eller

Bevis. Alle elementer i samme klasse er ekvivalente med hverandre, dvs. hvis x, y Mz, så xRy. Faktisk, la x, y Mz, derav xRz og yRz. Ved symmetrien til R har vi zRy. Deretter, på grunn av transitivitet, fra xRz og zRy får vi xRy.