Fantastiske grenser for dummies. Den andre bemerkelsesverdige grensen: eksempler på funn, problemer og detaljerte løsninger

Bevis:

La oss først bevise teoremet for tilfellet av sekvensen

I følge Newtons binomiale formel:

Forutsatt at vi får

Av denne likheten (1) følger det at når n øker, øker antallet positive ledd på høyre side. I tillegg, når n øker, synker tallet, slik at verdiene øker. Derfor sekvensen økende, og (2)*Vi viser at den er begrenset. Bytt ut hver parentes på høyre side av likheten med en, høyre side vil øke, og vi får ulikheten

La oss styrke den resulterende ulikheten, erstatte 3,4,5, ..., som står i nevnerne til brøkene, med tallet 2: Vi finner summen i parentes ved å bruke formelen for summen av leddene til en geometrisk progresjon: Derfor (3)*

Så sekvensen er avgrenset ovenfra, og ulikhetene (2) og (3) er tilfredsstilt: Derfor, basert på Weierstrass-teoremet (kriterium for konvergens av en sekvens), sekvensen monotont øker og er begrenset, noe som betyr at den har en grense, betegnet med bokstaven e. De.

Når vi vet at den andre bemerkelsesverdige grensen er sann for naturlige verdier av x, beviser vi den andre bemerkelsesverdige grensen for ekte x, det vil si at vi beviser at . La oss vurdere to tilfeller:

1. La hver verdi av x være innelukket mellom to positive heltall: ,hvor er heltallsdelen av x. => =>

Hvis, så Derfor, i henhold til grensen Vi har

Basert på kriteriet (om grensen for en mellomfunksjon) om eksistensen av grenser

2. La . La oss gjøre substitusjonen − x = t, da

Av disse to sakene følger det at for ekte x.

Konsekvenser:

9 .) Sammenligning av infinitesimals. Teoremet om å erstatte infinitesimaler med ekvivalente i grensen og teoremet om hoveddelen av infinitesimaler.

La funksjonene a( x) og b( x) – b.m. på x ® x 0 .

DEFINISJONER.

1)a( x) kalt uendelig høyere orden enn b (x) Hvis

Skriv ned: a( x) = o(b( x)) .

2)a( x) Og b( x)er kalt infinitesimals av samme orden, Hvis

hvor CÎℝ og C¹ 0 .

Skriv ned: a( x) = O(b( x)) .

3)a( x) Og b( x) er kalt tilsvarende , Hvis

Skriv ned: a( x) ~ b( x).

4)a( x) kalt infinitesimal av orden k relativ
helt uendelig b( x), hvis uendelig en( x)Og(b( x))k ha samme rekkefølge, dvs. Hvis

hvor CÎℝ og C¹ 0 .

TEOREM 6 (om å erstatte infinitesimals med tilsvarende).

La en( x), b( x), en 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. på x ® x 0 . Hvis en( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

At

Bevis: La en( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Deretter

TEOREM 7 (om hoveddelen av infinitesimalen).

La en( x)Og b( x)– b.m. på x ® x 0 , og b( x)– b.m. høyere orden enn en( x).

= , a siden b( x) – høyere orden enn en( x), da, dvs. fra det er klart at en( x) + b( x) ~ a( x)

10) Kontinuitet til en funksjon i et punkt (på språket epsilon-delta, geometriske grenser) Ensidig kontinuitet. Kontinuitet på et intervall, på et segment. Egenskaper til kontinuerlige funksjoner.

1. Grunnleggende definisjoner

La f(x) er definert i et område av punktet x 0 .

DEFINISJON 1. Funksjon f(x) kalt kontinuerlig på et punkt x 0 hvis likheten er sann

Notater.

1) I kraft av setning 5 §3 kan likhet (1) skrives på formen

Tilstand (2) – definisjon av kontinuitet til en funksjon på et punkt i språket med ensidige grenser.

2) Likhet (1) kan også skrives som:

De sier: "hvis en funksjon er kontinuerlig på et punkt x 0, så kan tegnet på grensen og funksjonen byttes."

DEFINISJON 2 (på e-d-språk).

Funksjon f(x) kalt kontinuerlig på et punkt x 0 Hvis"e>0 $d>0 slik, Hva

hvis x OU( x 0 , d) (dvs. | x – x 0 | < d),

deretter f(x)ÎU( f(x 0), e) (dvs. | f(x) – f(x 0) | < e).

La x, x 0 Î D(f) (x 0 - fast, x – vilkårlig)

La oss betegne: D x= x – x 0 – argumentøkning

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – inkrement av funksjon ved punktx 0

DEFINISJON 3 (geometrisk).

Funksjon f(x) på kalt kontinuerlig på et punkt x 0 hvis på dette tidspunktet en uendelig økning i argumentet tilsvarer en infinitesimal økning i funksjonen, dvs.

La funksjonen f(x) er definert på intervallet [ x 0 ; x 0 + d) (på intervallet ( x 0 – d; x 0 ]).

DEFINISJON. Funksjon f(x) kalt kontinuerlig på et punkt x 0 til høyre (venstre ), hvis likheten er sann

Det er åpenbart det f(x) er kontinuerlig på punktet x 0 Û f(x) er kontinuerlig på punktet x 0 høyre og venstre.

DEFINISJON. Funksjon f(x) kalt kontinuerlig i et intervall e ( en; b) hvis den er kontinuerlig på hvert punkt i dette intervallet.

Funksjon f(x) kalles kontinuerlig på segmentet [en; b] hvis den er kontinuerlig i intervallet (en; b) og har enveis kontinuitet ved grensepunktene(dvs. kontinuerlig på punktet en til høyre, på punktet b- venstre).

11) Brytepunkter, deres klassifisering

DEFINISJON. Hvis funksjon f(x) definert i et eller annet nabolag til punkt x 0 , men er ikke kontinuerlig på dette tidspunktet, da f(x) kalt diskontinuerlig i punkt x 0 , og selve poenget x 0 kalt bruddpunktet funksjoner f(x) .

Notater.

1) f(x) kan defineres i et ufullstendig nabolag til punktet x 0 .

Vurder deretter den tilsvarende ensidige kontinuiteten til funksjonen.

2) Fra definisjonen av Þ-punkt x 0 er brytepunktet for funksjonen f(x) i to tilfeller:

a) U( x 0 , d)О D(f), men for f(x) likhet holder ikke

b) U * ( x 0 , d)О D(f) .

For elementære funksjoner er kun tilfelle b) mulig.

La x 0 – funksjonsbruddpunkt f(x) .

DEFINISJON. Punkt x 0 kalt bruddpunkt Jeg på en måte hvis funksjon f(x)har begrensede grenser til venstre og høyre på dette tidspunktet.

Hvis disse grensene er like, så punkt x 0 kalt avtagbart knekkpunkt , ellers - hopppunkt .

DEFINISJON. Punkt x 0 kalt bruddpunkt II på en måte hvis minst en av funksjonens ensidige grenser f(x)på dette punktet er lik¥ eller ikke eksisterer.

12) Egenskaper til funksjoner kontinuerlig på et intervall (teoremer av Weierstrass (uten bevis) og Cauchy

Weierstrass sin teorem

La da funksjonen f(x) være kontinuerlig på intervallet

1)f(x)er begrenset til

2) f(x) tar sin minste og største verdi på intervallet

Definisjon: Verdien av funksjonen m=f kalles den minste hvis m≤f(x) for enhver x€ D(f).

Verdien av funksjonen m=f sies å være størst hvis m≥f(x) for enhver x € D(f).

Funksjonen kan få den minste/største verdien på flere punkter i segmentet.

f(x 3)=f(x 4)=maks

Cauchys teorem.

La funksjonen f(x) være kontinuerlig på segmentet og x være tallet mellom f(a) og f(b), så er det minst ett punkt x 0 € slik at f(x 0)= g

Fra artikkelen ovenfor kan du finne ut hva grensen er og hva den spises med – dette er VELDIG viktig. Hvorfor? Du forstår kanskje ikke hva determinanter er og lykkes med å løse dem; du forstår kanskje ikke i det hele tatt hva en derivat er og finner dem med en "A". Men hvis du ikke forstår hva en grense er, vil det være vanskelig å løse praktiske oppgaver. Det vil også være en god idé å gjøre deg kjent med prøveløsningene og mine designanbefalinger. All informasjon presenteres i en enkel og tilgjengelig form.

Og i forbindelse med denne leksjonen trenger vi følgende undervisningsmateriell: Fantastiske grenser Og Trigonometriske formler. De finner du på siden. Det er best å skrive ut manualene - det er mye mer praktisk, og dessuten må du ofte referere til dem offline.

Hva er så spesielt med bemerkelsesverdige grenser? Det bemerkelsesverdige med disse grensene er at de ble bevist av de største sinnene til kjente matematikere, og takknemlige etterkommere trenger ikke å lide av forferdelige grenser med en haug med trigonometriske funksjoner, logaritmer, potenser. Det vil si at når vi skal finne grensene vil vi bruke ferdige resultater som er bevist teoretisk.

Det er flere fantastiske grenser, men i praksis har deltidsstudenter i 95 % av tilfellene to fantastiske grenser: Den første fantastiske grensen, Andre fantastiske grense. Det skal bemerkes at dette er historisk etablerte navn, og når de for eksempel snakker om "den første bemerkelsesverdige grensen", mener de med dette en veldig spesifikk ting, og ikke en tilfeldig grense tatt fra taket.

Den første fantastiske grensen

Tenk på følgende grense: (i stedet for den opprinnelige bokstaven "han" vil jeg bruke den greske bokstaven "alfa", dette er mer praktisk fra synspunktet om å presentere materialet).

I henhold til vår regel for å finne grenser (se artikkel Grenser. Eksempler på løsninger) prøver vi å erstatte null i funksjonen: i telleren får vi null (sinus til null er null), og i nevneren er det selvsagt også null. Dermed står vi overfor en formusikkerhet som heldigvis ikke trenger å avsløres. I løpet av matematisk analyse er det bevist at:

Dette matematiske faktum kalles Den første fantastiske grensen. Jeg vil ikke gi et analytisk bevis på grensen, men vi skal se på dens geometriske betydning i leksjonen om infinitesimale funksjoner.

Ofte i praktiske oppgaver kan funksjoner ordnes annerledes, dette endrer ingenting:

- den samme første fantastiske grensen.

Men du kan ikke omorganisere telleren og nevneren selv! Hvis det er gitt en grense i skjemaet, må det løses i samme skjema, uten å omorganisere noe.

I praksis kan ikke bare en variabel, men også en elementær funksjon eller en kompleks funksjon fungere som en parameter. Det eneste viktige er at det har en tendens til null.

Eksempler:
, , ,

Her , , , , og alt er bra - den første fantastiske grensen gjelder.

Men følgende oppføring er kjetteri:

Hvorfor? Fordi polynomet ikke har en tendens til null, har det en tendens til fem.

Forresten, et raskt spørsmål: hva er grensen? ? Svaret finner du på slutten av leksjonen.

I praksis er ikke alt så glatt, nesten aldri får en student tilbud om å løse en gratisgrense og få et enkelt pass. Hmmm... jeg skriver disse linjene, og en veldig viktig tanke dukket opp - tross alt er det bedre å huske "gratis" matematiske definisjoner og formler utenat, dette kan gi uvurderlig hjelp i testen, når spørsmålet vil avgjøres mellom "to" og "tre", og læreren bestemmer seg for å stille eleven et enkelt spørsmål eller tilby å løse et enkelt eksempel ("kanskje han(e) fortsatt vet hva?!").

La oss gå videre til å vurdere praktiske eksempler:

Eksempel 1

Finn grensen

Hvis vi merker en sinus i grensen, bør dette umiddelbart få oss til å tenke på muligheten for å bruke den første bemerkelsesverdige grensen.

Først prøver vi å erstatte 0 i uttrykket under grensetegnet (vi gjør dette mentalt eller i et utkast):

Så vi har en usikkerhet på formen sørg for å indikere i å ta en beslutning. Uttrykket under grensetegnet ligner på den første vidunderlige grensen, men dette er ikke akkurat det, det er under sinus, men i nevneren.

I slike tilfeller må vi organisere den første bemerkelsesverdige grensen selv ved å bruke en kunstig teknikk. Resonnementet kan være som følger: "under sinusen har vi , som betyr at vi også må komme inn i nevneren."
Og dette gjøres veldig enkelt:

Det vil si at nevneren blir kunstig multiplisert i dette tilfellet med 7 og delt på de samme syv. Nå har opptaket vårt fått en kjent form.
Når oppgaven er tegnet opp for hånd, er det tilrådelig å markere den første bemerkelsesverdige grensen med en enkel blyant:

Hva skjedde? Faktisk ble vårt innsirklede uttrykk til en enhet og forsvant i verket:

Nå gjenstår det bare å bli kvitt den tre-etasjers brøken:

Hvem har glemt forenklingen av brøker på flere nivåer, vennligst oppdater materialet i oppslagsboken Hete formler for skolematematikkkurs .

Klar. Endelig svar:

Hvis du ikke vil bruke blyanttegn, kan løsningen skrives slik:

“

La oss bruke den første fantastiske grensen

“

Eksempel 2

Finn grensen

Igjen ser vi en brøk og en sinus i grensen. La oss prøve å erstatte null i telleren og nevneren:

Vi har faktisk usikkerhet, og derfor må vi prøve å organisere den første fantastiske grensen. På timen Grenser. Eksempler på løsninger vi vurderte regelen om at når vi har usikkerhet, må vi faktorisere telleren og nevneren. Her er det samme, vi vil representere gradene som et produkt (multiplikatorer):

I likhet med forrige eksempel tegner vi en blyant rundt de bemerkelsesverdige grensene (her er det to av dem), og indikerer at de har en tendens til enhet:

Faktisk er svaret klart:

I de følgende eksemplene vil jeg ikke gjøre kunst i Paint, jeg tenker på hvordan du skal tegne en løsning i en notatbok - du forstår allerede.

Eksempel 3

Finn grensen

Vi erstatter null i uttrykket under grensetegnet:

Det er innhentet en usikkerhet som må avsløres. Hvis det er en tangent i grensen, så konverteres den nesten alltid til sinus og cosinus ved hjelp av den velkjente trigonometriske formelen (de gjør forresten omtrent det samme med cotangens, se metodisk materiale Hot trigonometriske formler På siden Matematiske formler, tabeller og referansemateriell).

I dette tilfellet:

Cosinus av null er lik én, og det er lett å bli kvitt den (ikke glem å merke at den har en tendens til én):

Derfor, hvis cosinus i grensen er en MULTIPLIER, så må den grovt sett gjøres om til en enhet som forsvinner i produktet.

Her ble alt enklere, uten noen multiplikasjoner og divisjoner. Den første bemerkelsesverdige grensen blir også til en og forsvinner i produktet:

Som et resultat oppnås uendelighet, og dette skjer.

Eksempel 4

Finn grensen

La oss prøve å erstatte null i telleren og nevneren:

Usikkerheten er oppnådd (cosinus av null, som vi husker, er lik en)

Vi bruker den trigonometriske formelen. Ta notat! Av en eller annen grunn er grenser ved bruk av denne formelen svært vanlige.

La oss flytte de konstante faktorene utover grenseikonet:

La oss organisere den første fantastiske grensen:

Her har vi bare én bemerkelsesverdig grense, som blir til én og forsvinner i produktet:

La oss bli kvitt den tre-etasjers strukturen:

Grensen er faktisk løst, vi indikerer at den gjenværende sinusen har en tendens til null:

Eksempel 5

Finn grensen

Dette eksemplet er mer komplisert, prøv å finne ut av det selv:

Noen grenser kan reduseres til 1. bemerkelsesverdige grense ved å endre en variabel, dette kan du lese om litt senere i artikkelen Metoder for å løse grenser.

Andre fantastiske grense

I teorien om matematisk analyse er det bevist at:

Dette faktum kalles andre fantastiske grensen.

Henvisning: er et irrasjonelt tall.

Parameteren kan ikke bare være en variabel, men også en kompleks funksjon. Det eneste viktige er at den streber etter uendelighet.

Eksempel 6

Finn grensen

Når uttrykket under grensetegnet er i en grad, er dette det første tegnet på at du må prøve å bruke den andre fantastiske grensen.

Men først, som alltid, prøver vi å erstatte et uendelig stort antall i uttrykket, prinsippet for dette er diskutert i leksjonen Grenser. Eksempler på løsninger.

Det er lett å merke at når grunnlaget for graden er , og eksponenten er , det vil si at det er usikkerhet om formen:

Denne usikkerheten avsløres nettopp ved hjelp av den andre bemerkelsesverdige grensen. Men som ofte skjer, ligger ikke den andre fantastiske grensen på et sølvfat, og den må organiseres kunstig. Du kan resonnere som følger: i dette eksemplet er parameteren , som betyr at vi også må organisere i indikatoren. For å gjøre dette hever vi basen til makten, og slik at uttrykket ikke endres, hever vi det til makten:

Når oppgaven er fullført for hånd, markerer vi med blyant:

Nesten alt er klart, den forferdelige graden har blitt til et fint brev:

I dette tilfellet flytter vi selve grenseikonet til indikatoren:

Eksempel 7

Finn grensen

Merk følgende! Denne typen grenser forekommer veldig ofte, vennligst studer dette eksemplet veldig nøye.

La oss prøve å erstatte et uendelig stort tall i uttrykket under grensetegnet:

Resultatet er usikkerhet. Men den andre bemerkelsesverdige grensen gjelder usikkerheten i formen. Hva å gjøre? Vi må konvertere grunnlaget for graden. Vi resonnerer slik: i nevneren har vi , som betyr at i telleren må vi også organisere .

Formelen for den andre bemerkelsesverdige grensen er lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. En annen form for skriving ser slik ut: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Når vi snakker om den andre bemerkelsesverdige grensen, må vi forholde oss til usikkerhet på formen 1 ∞, dvs. enhet i uendelig grad.

Yandex.RTB R-A-339285-1

La oss vurdere problemer der evnen til å beregne den andre bemerkelsesverdige grensen vil være nyttig.

Eksempel 1

Finn grensen lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Løsning

La oss erstatte den nødvendige formelen og utføre beregningene.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Svaret vårt viste seg å være ett til uendelighetens makt. For å bestemme løsningsmetoden bruker vi usikkerhetstabellen. La oss velge den andre bemerkelsesverdige grensen og gjøre en endring av variabler.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Hvis x → ∞, så t → - ∞.

La oss se hva vi fikk etter erstatningen:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Svar: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Eksempel 2

Beregn grensen lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Løsning

La oss erstatte uendelig og få følgende.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

I svaret fikk vi igjen det samme som i forrige oppgave, derfor kan vi igjen bruke den andre bemerkelsesverdige grensen. Deretter må vi velge hele delen i bunnen av strømfunksjonen:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Etter dette får grensen følgende form:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Bytt ut variabler. La oss anta at t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; hvis x → ∞, så t → ∞.

Etter det skriver vi ned hva vi fikk i den opprinnelige grensen:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

For å utføre denne transformasjonen brukte vi de grunnleggende egenskapene til grenser og krefter.

Svar: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Eksempel 3

Beregn grensen lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5.

Løsning

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Etter det må vi transformere funksjonen for å bruke den andre store grensen. Vi fikk følgende:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Siden vi nå har de samme eksponentene i telleren og nevneren til brøken (lik seks), vil grensen for brøken ved uendelig være lik forholdet mellom disse koeffisientene ved høyere potenser.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Ved å erstatte t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 får vi en andre bemerkelsesverdig grense. Betyr hva:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Svar: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

konklusjoner

Usikkerhet 1 ∞, dvs. enhet til en uendelig potens er en maktlovusikkerhet, derfor kan den avsløres ved å bruke reglene for å finne grensene for eksponentielle potensfunksjoner.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Nå, med en rolig sjel, la oss gå videre til å vurdere fantastiske grenser.
ser ut som .

I stedet for variabelen x kan ulike funksjoner være til stede, det viktigste er at de har en tendens til 0.

Det er nødvendig å beregne grensen

Som du kan se, er denne grensen veldig lik den første bemerkelsesverdige, men dette er ikke helt sant. Generelt, hvis du legger merke til synd i grensen, bør du umiddelbart tenke på om det er mulig å bruke den første bemerkelsesverdige grensen.

I henhold til vår regel nr. 1, erstatter vi null i stedet for x:

Vi får usikkerhet.

La oss nå prøve å organisere den første fantastiske grensen selv. For å gjøre dette, la oss gjøre en enkel kombinasjon:

Så vi organiserer telleren og nevneren for å markere 7x. Nå har den kjente bemerkelsesverdige grensen allerede dukket opp. Det anbefales å fremheve det når du bestemmer deg:

La oss erstatte løsningen med det første bemerkelsesverdige eksemplet og få:

Forenkle brøken:

Svar: 7/3.

Som du kan se, er alt veldig enkelt.

Ser ut som , hvor e = 2,718281828... er et irrasjonelt tall.

Ulike funksjoner kan være til stede i stedet for variabelen x, det viktigste er at de har en tendens til å .

Det er nødvendig å beregne grensen

Her ser vi tilstedeværelsen av en grad under tegnet av en grense, noe som betyr at det er mulig å bruke en andre bemerkelsesverdig grense.

Som alltid vil vi bruke regel nr. 1 - erstatte x i stedet for:

Det kan sees at ved x er basisen til graden , og eksponenten er 4x > , dvs. vi får en usikkerhet på formen:

La oss bruke den andre fantastiske grensen til å avsløre vår usikkerhet, men først må vi organisere den. Som du kan se, må vi oppnå tilstedeværelse i indikatoren, som vi hever basen til kraften 3x, og samtidig til styrken 1/3x, slik at uttrykket ikke endres:

Ikke glem å fremheve vår fantastiske grense:

Det er det de egentlig er fantastiske grenser!
Hvis du fortsatt har spørsmål vedr den første og andre fantastiske grensen, så spør dem gjerne i kommentarfeltet.
Vi vil svare alle så mye som mulig.

Du kan også jobbe med en lærer om dette emnet.
Vi er glade for å kunne tilby deg tjenestene for å velge en kvalifisert veileder i byen din. Våre samarbeidspartnere vil raskt velge en god lærer for deg på gunstige vilkår.

Ikke nok informasjon? - Du kan !

Du kan skrive matematiske beregninger i notatblokker. Det er mye mer behagelig å skrive individuelt i notatbøker med en logo (http://www.blocnot.ru).

Denne artikkelen: "Den andre bemerkelsesverdige grensen" er viet avsløringen innenfor grensene for usikkerhet i skjemaet:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ og $ ^\infty $.

Også slike usikkerheter kan avsløres ved hjelp av logaritmen til eksponentialfunksjonen, men dette er en annen løsningsmetode, som vil bli dekket i en annen artikkel.

Formel og konsekvenser

Formel den andre bemerkelsesverdige grensen er skrevet som følger: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( hvor ) e \ca. 2,718 $$

Det følger av formelen konsekvenser, som er veldig praktisk å bruke for å løse eksempler med grenser: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( hvor ) k \i \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Det er verdt å merke seg at den andre bemerkelsesverdige grensen ikke alltid kan brukes på en eksponentiell funksjon, men bare i tilfeller der basen har en tendens til enhet. For å gjøre dette, må du først mentalt beregne grensen for basen, og deretter trekke konklusjoner. Alt dette vil bli diskutert i eksempelløsninger.

Eksempler på løsninger

La oss se på eksempler på løsninger som bruker den direkte formelen og dens konsekvenser. Vi vil også analysere tilfeller der formelen ikke er nødvendig. Det er nok å skrive ned bare et klart svar.

La oss undersøke tilfeller der problemet ligner den andre bemerkelsesverdige grensen, men kan løses uten den.

I artikkelen: "Den andre bemerkelsesverdige grensen: eksempler på løsninger" ble formelen, dens konsekvenser analysert og vanlige typer problemer om dette emnet ble gitt.