Mając daną dystrybuantę, znajdź prawdopodobieństwo. Oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej

4. Gęstość prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej

Ciągłą zmienną losową można określić za pomocą funkcji rozkładu F(X) . Ten sposób przypisania nie jest jedyny. Ciągłą zmienną losową można również określić za pomocą innej funkcji zwanej gęstością rozkładu lub gęstością prawdopodobieństwa (czasami nazywaną funkcją różniczkową).

Definicja 4.1: Gęstość rozkładu ciągłej zmiennej losowej X wywołać funkcję F (X) - pierwsza pochodna funkcji rozkładu F(X) :

F ( X ) = F "( X ) .

Z tej definicji wynika, że ​​funkcja dystrybucji jest funkcją pierwotną gęstości rozkładu. Należy zauważyć, że gęstość rozkładu nie ma zastosowania do opisu rozkładu prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej.

Prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa znajdzie się w danym przedziale

Znając gęstość rozkładu, można obliczyć prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa przyjmie wartość należącą do zadanego przedziału.

Twierdzenie: Prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa X przyjmie wartości należące do przedziału (A, B), jest równa pewnej całce gęstości rozkładu, przyjętej w przedziale odAzanimB :

Dowód: Używamy proporcji

P(A ≤ XB) = F(B) – F(A).

Zgodnie ze wzorem Newtona-Leibniza,

Zatem,

.

Ponieważ P(A ≤ X B)= P(A X B) , w końcu dostajemy

.

Geometrycznie uzyskany wynik można interpretować następująco: prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa przyjmie wartość należącą do przedziału (A, B), równy obszarowi krzywoliniowego trapezu ograniczonego osiąWół, krzywa dystrybucjiF(X) i prostoX = AIX = B.

Komentarz: W szczególności, jeśli F(X) – funkcja jest wówczas parzysta, a końce przedziału są symetryczne względem początku

.

Przykład. Podana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X

Znajdź prawdopodobieństwo, że w wyniku testu X przyjmie wartości należące do przedziału (0,5, 1).

Rozwiązanie: Wymagane prawdopodobieństwo

.

Znalezienie funkcji rozkładu na podstawie znanej gęstości rozkładu

Znając gęstość dystrybucji F(X) , możemy znaleźć funkcję dystrybucji F(X) według formuły

.

Naprawdę, F(X) = P(X X) = P(-∞ X X) .

Stąd,

.

Zatem, Znając gęstość rozkładu, możesz znaleźć funkcję rozkładu. Oczywiście ze znanej funkcji rozkładu można wyznaczyć gęstość rozkładu, a mianowicie:

F(X) = F"(X).

Przykład. Znajdź funkcję rozkładu dla danej gęstości rozkładu:

Rozwiązanie: Skorzystajmy ze wzoru

Jeśli X ≤ A, To F(X) = 0 , stąd, F(X) = 0 . Jeśli a, zatem f(x) = 1/(b-a),

stąd,

.

Jeśli X > B, To

.

Zatem wymagana funkcja dystrybucji

Komentarz: Otrzymaliśmy funkcję rozkładu zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym (patrz rozkład równomierny).

Właściwości gęstości rozkładu

Właściwość 1: Gęstość rozkładu jest funkcją nieujemną:

F ( X ) ≥ 0 .

Właściwość 2: Całka niewłaściwa z gęstości rozkładu w zakresie od -∞ do ∞ jest równa jedności:

.

Komentarz: Nazywa się wykres gęstości rozkładu krzywa dystrybucji.

Komentarz: Gęstość rozkładu ciągłej zmiennej losowej nazywana jest także prawem dystrybucji.

Przykład. Gęstość rozkładu zmiennej losowej ma następującą postać:

Znajdź stały parametr A.

Rozwiązanie: Gęstość rozkładu musi spełniać warunek , więc będziemy wymagać, aby równość była spełniona

.

Stąd
. Znajdźmy całkę nieoznaczoną:

.

Obliczmy całkę niewłaściwą:

Zatem wymagany parametr

.

Prawdopodobne znaczenie gęstości dystrybucji

Pozwalać F(X) – dystrybuanta ciągłej zmiennej losowej X. Z definicji gęstości dystrybucji, F(X) = F"(X) , Lub

Różnica F(X+∆x) -F(X) określa prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość należącą do przedziału (X, X+∆х). Zatem granica prawdopodobieństwa, że ​​ciągła zmienna losowa przyjmie wartość należącą do przedziału (X, X+∆х), do długości tego przedziału (at ∆х →0) jest równa wartości gęstości rozkładu w punkcie X.

Zatem funkcja F(X) wyznacza gęstość rozkładu prawdopodobieństwa dla każdego punktu X. Z rachunku różniczkowego wiadomo, że przyrost funkcji jest w przybliżeniu równy różniczce funkcji, tj.

Ponieważ F"(X) = F(X) I dx = ∆ X, To F(X+∆ X) - F(X) ≈ F(X)∆ X.

Probabilistyczne znaczenie tej równości jest następujące: prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość należącą do przedziału (X, X+∆ X) jest w przybliżeniu równy iloczynowi gęstości prawdopodobieństwa w punkcie x i długości przedziału ∆x.

Geometrycznie wynik ten można interpretować w następujący sposób: prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość należącą do przedziału (X, X+∆ X) jest w przybliżeniu równy obszarowi prostokąta o podstawie ∆х i wysokościF(X).

5. Typowe rozkłady dyskretnych zmiennych losowych

5.1. Rozkład Bernoulliego

Definicja 5.1: Losowa wartość X, przyjmując dwie wartości 1 I 0 z prawdopodobieństwem („sukces”) P i („porażka”) Q, zwany Bernoulliewskiej:

, Gdzie k=0,1.

5.2. Rozkład dwumianowy

Niech się wyprodukuje N niezależne badania, w każdym z nich zdarzenie A może się pojawić lub nie. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia we wszystkich próbach jest stałe i równe P(stąd prawdopodobieństwo niewystąpienia Q = 1 - P).

Rozważ zmienną losową X– liczba wystąpień zdarzenia A w tych testach. Losowa wartość X przyjmuje wartości 0,1,2,… N z prawdopodobieństwami obliczonymi ze wzoru Bernoulliego: , Gdzie k = 0,1,2,… N.

Definicja 5.2: Dwumianowy nazywa się rozkładem prawdopodobieństwa określonym wzorem Bernoulliego.

Przykład. Do tarczy oddawane są trzy strzały, a prawdopodobieństwo trafienia każdego strzału wynosi 0,8. Rozważ zmienną losową X– liczba trafień w cel. Znajdź jego serię dystrybucyjną.

Rozwiązanie: Losowa wartość X przyjmuje wartości 0,1,2,3 z prawdopodobieństwami obliczonymi za pomocą wzoru Bernoulliego, gdzie N = 3, P = 0,8 (prawdopodobieństwo trafienia), Q = 1 - 0,8 = = 0,2 (prawdopodobieństwo zaginięcia).

Zatem szereg dystrybucyjny ma następującą postać:

Użyj wzoru Bernoulliego dla dużych wartości N dość trudne, dlatego do obliczenia odpowiednich prawdopodobieństw należy zastosować lokalne twierdzenie Laplace'a, które pozwala w przybliżeniu dokładnie znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia k za każdym razem N testów, jeśli liczba testów jest wystarczająco duża.

Lokalne twierdzenie Laplace'a: Jeśli prawdopodobieństwo P wystąpienie zdarzenia A
że wydarzenie A pojawi się w N dokładnie testuje k razy, w przybliżeniu równe (im dokładniejsze, tym więcej N) wartość funkcji
, Gdzie
, .

Notatka 1: Tabele zawierające wartości funkcji
, podano w Załączniku 1, oraz
. Funkcjonować jest gęstością standardowego rozkładu normalnego (patrz rozkład normalny).

Przykład: Znajdź prawdopodobieństwo, że zdarzenie A przyjdzie dokładnie 80 za każdym razem 400 prób, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia w każdej próbie jest równe 0,2.

Rozwiązanie: Według warunku N = 400, k = 80, P = 0,2 , Q = 0,8 . Obliczmy wartość określoną na podstawie danych zadania X:
. Z tabeli w dodatku 1 znajdujemy
. Wtedy wymagane prawdopodobieństwo będzie wynosić:

Jeśli chcesz obliczyć prawdopodobieństwo, że zdarzenie A pojawi się w N testy nie mniej k 1 raz i nigdy więcej k 2 razy, to należy skorzystać z twierdzenia całkowego Laplace’a:

Twierdzenie całkowe Laplace'a: Jeśli prawdopodobieństwo P wystąpienie zdarzenia A w każdej próbie jest stała i różna od zera i jedynki, to prawdopodobieństwo że wydarzenie A pojawi się w N testy od k 1 zanim k 2 razy, w przybliżeniu równe pewnej całce

, Gdzie
I
.

Innymi słowy, prawdopodobieństwo, że zdarzenie A pojawi się w N testy od k 1 zanim k 2 razy, w przybliżeniu równe

Gdzie
, I .

Uwaga 2: Funkcjonować
zwaną funkcją Laplace'a (patrz rozkład normalny). Tabele zawierające wartości funkcji , podano w Załączniku 2, oraz
.

Przykład: Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród 400 losowo wybrane części okażą się niesprawdzone od 70 do 100 części, jeśli prawdopodobieństwo, że część nie przeszła kontroli jakości jest równe 0,2.

Rozwiązanie: Według warunku N = 400, P = 0,2 , Q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Obliczmy dolną i górną granicę całkowania:

;
.

Zatem mamy:

Z tabeli w Załączniku 2 dowiadujemy się, że
I
. Zatem wymagane prawdopodobieństwo wynosi:

Uwaga 3: W serii niezależnych prób (gdy n jest duże, p jest małe) wzór Poissona służy do obliczenia prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia dokładnie k razy (patrz rozkład Poissona).

5.3. Rozkład Poissona

Definicja 5.3: Nazywa się dyskretną zmienną losową Poissona, jeżeli jego prawo dystrybucji ma następującą postać:

, Gdzie
I
(stała wartość).

Przykłady zmiennych losowych Poissona:

Liczba wywołań do stacji automatycznej w danym okresie czasu T.

Liczba cząstek rozpadu jakiejś substancji radioaktywnej w pewnym okresie czasu T.

Liczba telewizorów, które dotarły do ​​warsztatu w danym okresie T w dużym mieście .

Liczba samochodów, które dojadą na linię zatrzymania skrzyżowania w dużym mieście .

Notatka 1: Specjalne tabele do obliczania tych prawdopodobieństw podano w dodatku 3.

Uwaga 2: W serii niezależnych testów (kiedy NŚwietnie, P nie wystarczy), aby dokładnie obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia k razy, korzystając ze wzoru Poissona:
, Gdzie
, oznacza to, że średnia liczba wystąpień zdarzeń pozostaje stała.

Uwaga 3: Jeśli istnieje zmienna losowa o rozkładzie zgodnie z prawem Poissona, to koniecznie istnieje zmienna losowa o rozkładzie zgodnie z prawem wykładniczym i odwrotnie (patrz Rozkład wykładniczy).

Przykład. Roślina wysłana do bazy 5000 produkty dobrej jakości. Prawdopodobieństwo, że produkt ulegnie uszkodzeniu w transporcie jest równe 0,0002 . Znajdź prawdopodobieństwo, że do bazy dotrą dokładnie trzy produkty, które nie nadają się do użytku.

Rozwiązanie: Według warunku N = 5000, P = 0,0002, k = 3. Znajdziemy λ: λ = n.p.= 5000·0,0002 = 1.

Zgodnie ze wzorem Poissona pożądane prawdopodobieństwo jest równe:

, gdzie jest zmienna losowa X– liczba produktów nienadających się do użytku.

5.4. Rozkład geometryczny

Niech zostaną przeprowadzone niezależne testy, w każdym z których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia wynosi A równy P(0 s

Q = 1 - P. Wyzwania kończą się wraz z pojawieniem się wydarzenia A. Zatem jeśli wydarzenie A pojawił się w k-ty test, potem w poprzednim k – 1 nie pojawiło się to w testach.

Oznaczmy przez X dyskretna zmienna losowa - liczba prób, które należy przeprowadzić przed pierwszym wystąpieniem zdarzenia A. Oczywiście możliwe wartości X to liczby naturalne x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Niech najpierw k-1 wydarzenie testowe A nie przyszedł, ale wszedł k- pojawił się test. Prawdopodobieństwo tego „złożonego zdarzenia” zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń, P (X = k) = Q k -1 P.

Definicja 5.4: Dyskretna zmienna losowa ma rozkład geometryczny, jeżeli jego prawo dystrybucji ma następującą postać:

P ( X = k ) = Q k -1 P , Gdzie
.

Notatka 1: Wierzyć k = 1,2,… , otrzymujemy postęp geometryczny z pierwszym wyrazem P i mianownik Q (0Q. Z tego powodu rozkład nazywa się geometrycznym.

Uwaga 2: Wiersz
jest zbieżny i jego suma jest równa jeden. Rzeczywiście suma szeregu jest równa
.

Przykład. Z broni strzela się w cel aż do pierwszego trafienia. Prawdopodobieństwo trafienia w cel P = 0,6 . Znajdź prawdopodobieństwo, że trafienie nastąpi przy trzecim strzale.

Rozwiązanie: Według warunku P = 0,6, Q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Wymagane prawdopodobieństwo wynosi:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Rozkład hipergeometryczny

Rozważmy następujący problem. Rozpuść imprezę N dostępne produkty M standard (MN). Pobrane losowo z partii N produktów (każdy produkt można wyodrębnić z takim samym prawdopodobieństwem), a wybrany produkt nie jest zwracany do partii przed wybraniem kolejnego (dlatego wzór Bernoulliego nie ma tutaj zastosowania).

Oznaczmy przez X zmienna losowa - liczba M standardowe produkty wśród N wybrany. Następnie możliwe wartości X będzie 0, 1, 2,…, min; Oznaczmy je i... Przez wartości zmiennej niezależnej (Fonds) użyj przycisku ( rozdział ...

Charakterystyki numeryczne ciągłych zmiennych losowych. Niech ciągłą zmienną losową X określimy dystrybuantą f(x)

Niech ciągła zmienna losowa X będzie określona przez funkcję rozkładu k(x). Załóżmy, że wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej należą do segmentu [ a, b].

Definicja. Oczekiwanie matematyczne ciągła zmienna losowa X, której możliwe wartości należą do segmentu , nazywa się całką oznaczoną

Jeżeli możliwe wartości zmiennej losowej zostaną uwzględnione na całej osi liczbowej, wówczas oczekiwanie matematyczne można znaleźć według wzoru:

W tym przypadku zakłada się oczywiście, że całka niewłaściwa jest zbieżna.

Definicja. Zmienność ciągłej zmiennej losowej jest matematycznym oczekiwaniem kwadratu jej odchylenia.

Analogicznie do wariancji dyskretnej zmiennej losowej, do praktycznego obliczenia wariancji stosuje się wzór:

Definicja. Odchylenie standardowe zwany pierwiastkiem kwadratowym wariancji.

Definicja. Moda M 0 dyskretnej zmiennej losowej nazywa się jej najbardziej prawdopodobną wartością. W przypadku ciągłej zmiennej losowej modą jest wartość zmiennej losowej, przy której gęstość rozkładu osiąga maksimum.

Jeżeli wielokąt rozkładu dyskretnej zmiennej losowej lub krzywa rozkładu ciągłej zmiennej losowej ma dwa lub więcej maksimów, to taki rozkład nazywa się dwumodalny Lub multimodalny. Jeśli rozkład ma minimum, ale nie ma maksimum, nazywa się to dystrybucją antymodalny.

Definicja. Mediana M D zmiennej losowej X to jej wartość, względem której z równym prawdopodobieństwem otrzymana zostanie większa lub mniejsza wartość zmiennej losowej.

Z geometrycznego punktu widzenia mediana jest odciętą punktu, w którym obszar ograniczony krzywą rozkładu jest podzielony na pół. Należy zauważyć, że jeśli rozkład jest jednomodalny, wówczas tryb i mediana pokrywają się z oczekiwaniami matematycznymi.

Definicja. Moment początkowy zamówienie k zmienna losowa X jest matematycznym oczekiwaniem wartości X k.

Dla dyskretnej zmiennej losowej: .

.

Początkowy moment pierwszego rzędu jest równy oczekiwaniu matematycznemu.

Definicja. Centralny moment zamówienie k zmienna losowa X jest matematycznym oczekiwaniem wartości

Dla dyskretnej zmiennej losowej: .

Dla ciągłej zmiennej losowej: .

Moment centralny pierwszego rzędu jest zawsze równy zeru, a moment centralny drugiego rzędu jest równy dyspersji. Moment centralny trzeciego rzędu charakteryzuje asymetrię rozkładu.

Definicja. Nazywa się stosunek momentu centralnego trzeciego rzędu do odchylenia standardowego do potęgi trzeciej współczynnik asymetrii.

Definicja. Aby scharakteryzować szczytowość i płaskość rozkładu, wielkość tzw nadmiar.

Oprócz rozważanych wielkości stosuje się również tak zwane momenty bezwzględne:

Bezwzględny moment początkowy: . Absolutny punkt centralny: . Nazywa się absolutny moment centralny pierwszego rzędu odchylenie średniej arytmetycznej.

Przykład. Dla przykładu omówionego powyżej określ matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej X.

Przykład. W urnie znajduje się 6 kul białych i 4 czarne. Piłka jest z niej usuwana pięć razy z rzędu i za każdym razem usunięta piłka jest zwracana z powrotem i kule są mieszane. Przyjmując liczbę wydobytych kul białych jako zmienną losową X, sporządź prawo rozkładu tej wartości, określ jej matematyczną wartość oczekiwaną i rozproszenie.

Ponieważ kule w każdym eksperymencie są zwracane i mieszane, wówczas testy można uznać za niezależne (wynik poprzedniego eksperymentu nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia lub niewystąpienia zdarzenia w innym eksperymencie).

Zatem prawdopodobieństwo pojawienia się białej kuli w każdym eksperymencie jest stałe i równe

Zatem w wyniku pięciu kolejnych prób biała kula może w ogóle się nie pojawić lub pojawić się raz, dwa, trzy, cztery lub pięć razy. Aby sporządzić prawo dystrybucji, należy znaleźć prawdopodobieństwa każdego z tych zdarzeń.

1) Biała kula w ogóle się nie pojawiła:

2) Biała kula pojawiła się raz:

3) Biała kula pojawi się dwukrotnie: .

ZMIENNE LOSOWE

Przykład 2.1. Losowa wartość X dane przez funkcję dystrybucji

Znajdź prawdopodobieństwo, że w wyniku testu X przyjmie wartości zawarte w przedziale (2,5; 3,6).

Rozwiązanie: X w przedziale (2,5; 3,6) można wyznaczyć na dwa sposoby:

Przykład 2.2. Przy jakich wartościach parametrów A I W funkcjonować F(X) = A + Być - x może być funkcją rozkładu dla nieujemnych wartości zmiennej losowej X.

Rozwiązanie: Ponieważ wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej X należą do przedziału , to aby funkcja była dystrybuantą dla X, właściwość musi być spełniona:

.

Odpowiedź: .

Przykład 2.3. Zmienna losowa X jest określona przez funkcję rozkładu

Znajdź prawdopodobieństwo, że w wyniku czterech niezależnych testów uzyskana zostanie wartość X dokładnie 3 razy przyjmie wartość należącą do przedziału (0,25;0,75).

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo trafienia wartości X w przedziale (0,25;0,75) znajdujemy korzystając ze wzoru:

Przykład 2.4. Prawdopodobieństwo, że piłka trafi do kosza jednym strzałem, wynosi 0,3. Sporządź prawo rozkładu liczby trafień trzema rzutami.

Rozwiązanie: Losowa wartość X– liczba trafień w kosz przy trzech strzałach – może przyjmować wartości: 0, 1, 2, 3. Prawdopodobieństwa, że X

X:

Przykład 2.5. Każdy z dwóch strzelców oddaje jeden strzał do celu. Prawdopodobieństwo trafienia pierwszego strzelca wynosi 0,5, drugiego 0,4. Narysuj prawo rozkładu liczby trafień w cel.

Rozwiązanie: Znajdźmy prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X– liczba trafień w cel. Niech zdarzeniem będzie pierwszy strzelec trafiający w tarczę i niech drugi strzelec trafi w tarczę i niech odpowiednio spudłuje.

Ułóżmy prawo rozkładu prawdopodobieństwa SV X:

Przykład 2.6. Badane są trzy elementy, działające niezależnie od siebie. Czas (w godzinach) bezawaryjnej pracy elementów ma funkcję gęstości rozkładu: dla pierwszego: F 1 (T) =1-mi- 0,1 T, dla drugiego: F 2 (T) = 1-mi- 0,2 T, dla trzeciego: F 3 (T) =1-mi- 0,3 T. Znajdź prawdopodobieństwo, że w przedziale czasu od 0 do 5 godzin: uszkodzony zostanie tylko jeden element; tylko dwa elementy zawiodą; wszystkie trzy elementy zawiodą.

Rozwiązanie: Skorzystajmy z definicji funkcji generującej prawdopodobieństwo:

Prawdopodobieństwo, że w niezależnych próbach, w których pierwszym jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A równy , w drugim itd. zdarzeniu A pojawia się dokładnie raz, równy współczynnikowi rozwinięcia funkcji generującej w potęgach . Znajdźmy prawdopodobieństwo awarii i braku awarii odpowiednio pierwszego, drugiego i trzeciego elementu w przedziale czasu od 0 do 5 godzin:

Stwórzmy funkcję generującą:

Współczynnik at jest równy prawdopodobieństwu zdarzenia A pojawi się dokładnie trzy razy, to znaczy prawdopodobieństwo awarii wszystkich trzech elementów; współczynnik at jest równy prawdopodobieństwu, że dokładnie dwa elementy ulegną awarii; współczynnik at jest równy prawdopodobieństwu awarii tylko jednego elementu.

Przykład 2.7. Biorąc pod uwagę gęstość prawdopodobieństwa F(X)zmienna losowa X:

Znajdź funkcję rozkładu F(x).

Rozwiązanie: Używamy wzoru:

.

Zatem funkcja rozkładu wygląda następująco:

Przykład 2.8. Urządzenie składa się z trzech niezależnie działających elementów. Prawdopodobieństwo awarii każdego elementu w jednym eksperymencie wynosi 0,1. Narysuj prawo rozkładu liczby uszkodzonych elementów w jednym doświadczeniu.

Rozwiązanie: Losowa wartość X– liczba elementów, które nie powiodły się w jednym eksperymencie – może przyjmować wartości: 0, 1, 2, 3. Prawdopodobieństwa, że X przyjmuje te wartości, korzystając ze wzoru Bernoulliego znajdujemy:

W ten sposób otrzymujemy następujące prawo rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X:

Przykład 2.9. W partii 6 części znajdują się 4 standardowe. Wybrano losowo 3 części. Sporządź prawo podziału liczby części standardowych wśród wybranych.

Rozwiązanie: Losowa wartość X– liczba części standardowych wśród wybranych – może przyjmować wartości: 1, 2, 3 i ma rozkład hipergeometryczny. Prawdopodobieństwo, że X

Gdzie -- liczba części w partii;

-- liczba części standardowych w partii;

– liczba wybranych części;

-- liczbę części standardowych spośród wybranych.

.

.

.

Przykład 2.10. Zmienna losowa ma gęstość rozkładu

i nie są znane, ale , a i . Znajdź i.

Rozwiązanie: W tym przypadku zmienna losowa X ma rozkład trójkątny (rozkład Simpsona) na przedziale [ a, b] Charakterystyka numeryczna X:

Stąd, . Rozwiązując ten układ otrzymujemy dwie pary wartości: . Ponieważ zgodnie z warunkami problemu ostatecznie mamy: .

Odpowiedź: .

Przykład 2.11.Średnio poniżej 10% umów ubezpieczyciel wypłaca sumy ubezpieczenia w związku z zaistnieniem zdarzenia ubezpieczeniowego. Oblicz matematyczne oczekiwanie i rozrzut liczby takich kontraktów wśród czterech losowo wybranych.

Rozwiązanie: Matematyczne oczekiwanie i wariancję można znaleźć za pomocą wzorów:

.

Możliwe wartości SV (liczba umów (z czterech) z wystąpieniem zdarzenia ubezpieczeniowego): 0, 1, 2, 3, 4.

Do obliczenia prawdopodobieństw wystąpienia różnej liczby umów (z czterech), za które wypłacono sumę ubezpieczenia, stosujemy wzór Bernoulliego:

.

Szereg rozkładowy IC (liczba umów z wystąpieniem zdarzenia ubezpieczeniowego) ma postać:

Odpowiedź: , .

Przykład 2.12. Z pięciu róż dwie są białe. Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej wyrażającej liczbę białych róż z dwóch jednocześnie zebranych.

Rozwiązanie: W zestawie dwóch róż może nie być żadnej białej róży lub może być jedna lub dwie białe róże. Dlatego zmienna losowa X może przyjmować wartości: 0, 1, 2. Prawdopodobieństwa, że X przyjmuje te wartości, znajdujemy je za pomocą wzoru:

Gdzie -- liczba róż;

-- liczba białych róż;

– liczba róż zebranych w tym samym czasie;

-- liczbę białych róż wśród zebranych.

.

.

.

Wtedy prawo rozkładu zmiennej losowej będzie wyglądało następująco:

Przykład 2.13. Spośród 15 zmontowanych jednostek 6 wymaga dodatkowego smarowania. Sporządź prawo podziału liczby jednostek wymagających dodatkowego smarowania spośród pięciu losowo wybranych z całkowitej liczby.

Rozwiązanie: Losowa wartość X– liczba jednostek wymagających dodatkowego smarowania spośród pięciu wybranych – może przyjmować wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5 i ma rozkład hipergeometryczny. Prawdopodobieństwo, że X przyjmuje te wartości, znajdujemy je za pomocą wzoru:

Gdzie -- liczba zmontowanych jednostek;

-- liczba jednostek wymagających dodatkowego smarowania;

– liczba wybranych jednostek;

-- liczba wybranych jednostek wymagających dodatkowego smarowania.

.

.

.

.

.

.

Wtedy prawo rozkładu zmiennej losowej będzie wyglądało następująco:

Przykład 2.14. Spośród 10 zegarków otrzymanych do naprawy 7 wymaga generalnego czyszczenia mechanizmu. Zegarki nie są sortowane według rodzaju naprawy. Mistrz, chcąc znaleźć zegarki wymagające czyszczenia, przegląda je jeden po drugim i po znalezieniu takich zegarków zaprzestaje dalszego przeglądania. Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję liczby godzin oglądania.

Rozwiązanie: Losowa wartość X– liczba jednostek wymagających dodatkowego smarowania spośród pięciu wybranych – może przyjmować wartości: 1, 2, 3, 4. Prawdopodobieństwa, że X przyjmuje te wartości, znajdujemy je za pomocą wzoru:

.

.

.

.

Wtedy prawo rozkładu zmiennej losowej będzie wyglądało następująco:

Teraz obliczmy charakterystykę liczbową ilości:

Odpowiedź: , .

Przykład 2.15. Abonent zapomniał ostatniej cyfry numeru telefonu, którego potrzebuje, ale pamięta, że ​​jest to dziwne. Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję liczby wybierań numeru telefonu przed osiągnięciem żądanego numeru, jeśli losowo wybierze ostatnią cyfrę, a następnie nie wybierze wybranej cyfry.

Rozwiązanie: Zmienna losowa może przyjmować następujące wartości: . Ponieważ abonent nie wybiera w przyszłości wybieranej cyfry, prawdopodobieństwa tych wartości są równe.

Skompilujmy szereg dystrybucyjny zmiennej losowej:

Obliczmy matematyczne oczekiwanie i wariancję liczby prób wybierania numeru:

Odpowiedź: , .

Przykład 2.16. Prawdopodobieństwo awarii podczas testów niezawodności dla każdego urządzenia w serii jest równe P. Określ matematyczne oczekiwanie liczby urządzeń, które uległy awarii, jeśli zostały przetestowane N urządzenia.

Rozwiązanie: Dyskretna zmienna losowa X to liczba uszkodzonych urządzeń N niezależnych testów, w każdym z których prawdopodobieństwo niepowodzenia jest równe P, rozdzielone zgodnie z prawem dwumianu. Matematyczne oczekiwanie rozkładu dwumianowego jest równe liczbie prób pomnożonej przez prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w jednej próbie:

Przykład 2.17. Dyskretna zmienna losowa X przyjmuje 3 możliwe wartości: z prawdopodobieństwem ; z prawdopodobieństwem i z prawdopodobieństwem. Znajdź i , wiedząc, że M( X) = 8.

Rozwiązanie: Korzystamy z definicji oczekiwań matematycznych i prawa rozkładu dyskretnej zmiennej losowej:

Znaleźliśmy: .

Przykład 2.18. Dział kontroli technicznej sprawdza produkty pod kątem normalności. Prawdopodobieństwo, że produkt jest standardowy, wynosi 0,9. Każda partia zawiera 5 produktów. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X– liczbę partii, z których każda zawiera dokładnie 4 produkty standardowe, jeżeli kontroli podlega 50 partii.

Rozwiązanie: W tym przypadku wszystkie przeprowadzone eksperymenty są niezależne, a prawdopodobieństwa, że ​​w każdej partii znajdują się dokładnie 4 standardowe produkty, są takie same, dlatego oczekiwanie matematyczne można określić za pomocą wzoru:

,

gdzie jest liczba stron;

Prawdopodobieństwo, że partia zawiera dokładnie 4 produkty standardowe.

Prawdopodobieństwo obliczamy korzystając ze wzoru Bernoulliego:

Odpowiedź: .

Przykład 2.19. Znajdź wariancję zmiennej losowej X– liczba wystąpień zdarzenia A w dwóch niezależnych próbach, jeżeli prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w tych próbach są takie same i wiadomo, że M(X) = 0,9.

Rozwiązanie: Problem można rozwiązać na dwa sposoby.

1) Możliwe wartości SV X: 0, 1, 2. Korzystając ze wzoru Bernoulliego wyznaczamy prawdopodobieństwa tych zdarzeń:

, , .

Następnie prawo dystrybucji X ma postać:

Z definicji oczekiwań matematycznych wyznaczamy prawdopodobieństwo:

Znajdźmy dyspersję SV X:

.

2) Możesz skorzystać ze wzoru:

.

Odpowiedź: .

Przykład 2.20. Oczekiwanie i odchylenie standardowe zmiennej losowej o rozkładzie normalnym X odpowiednio równe 20 i 5. Znajdź prawdopodobieństwo, że w wyniku testu X przyjmie wartość zawartą w przedziale (15; 25).

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo trafienia normalnej zmiennej losowej X na odcinku od do wyraża się funkcją Laplace'a:

Przykład 2.21. Podana funkcja:

Przy jakiej wartości parametru C ta funkcja jest gęstością rozkładu pewnej ciągłej zmiennej losowej X? Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej X.

Rozwiązanie: Aby funkcja była gęstością rozkładu jakiejś zmiennej losowej musi być nieujemna i spełniać własność:

.

Stąd:

Obliczmy oczekiwanie matematyczne, korzystając ze wzoru:

.

Obliczmy wariancję korzystając ze wzoru:

T jest równe P. Konieczne jest znalezienie matematycznego oczekiwania i wariancji tej zmiennej losowej.

Rozwiązanie: Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X – liczbę wystąpień zdarzenia w niezależnych próbach, w których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest równe , nazywa się dwumianem. Matematyczne oczekiwanie rozkładu dwumianowego jest równe iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia A w jednej próbie:

.

Przykład 2.25. Do tarczy oddawane są trzy niezależne strzały. Prawdopodobieństwo trafienia każdego strzału wynosi 0,25. Określ odchylenie standardowe liczby trafień trzema strzałami.

Rozwiązanie: Ponieważ przeprowadzane są trzy niezależne próby, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A (trafienia) w każdej próbie jest takie samo, założymy, że dyskretna zmienna losowa X – liczba trafień w cel – rozkłada się według prawo dwumianowe.

Wariancja rozkładu dwumianowego jest równa iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia lub niewystąpienia zdarzenia w jednej próbie:

Przykład 2.26.Średnia liczba klientów odwiedzających firmę ubezpieczeniową w ciągu 10 minut to trzy. Znajdź prawdopodobieństwo, że w ciągu najbliższych 5 minut pojawi się co najmniej jeden klient.

Średnia liczba klientów przybywających w ciągu 5 minut: . .

Przykład 2.29. Czas oczekiwania aplikacji w kolejce procesora jest zgodny z prawem rozkładu wykładniczego ze średnią wartością 20 sekund. Znajdź prawdopodobieństwo, że następne (losowe) żądanie będzie czekać na procesorze dłużej niż 35 sekund.

Rozwiązanie: W tym przykładzie oczekiwanie matematyczne , a wskaźnik awaryjności jest równy .

Następnie pożądane prawdopodobieństwo:

Przykład 2.30. Grupa 15 uczniów spotyka się w sali składającej się z 20 rzędów po 10 miejsc każdy. Każdy uczeń zajmuje losowe miejsce na sali. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na siódmym miejscu w rzędzie znajdą się nie więcej niż trzy osoby?

Rozwiązanie:

Przykład 2.31.

Następnie, zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa:

Gdzie -- liczba części w partii;

-- liczba niestandardowych części w partii;

– liczba wybranych części;

-- liczba części niestandardowych spośród wybranych.

Wtedy prawo dystrybucji zmiennej losowej będzie następujące.

W przeciwieństwie do dyskretnej zmiennej losowej, ciągłych zmiennych losowych nie można określić w formie tabeli prawa rozkładu, ponieważ nie można wypisać i zapisać wszystkich jej wartości w określonej kolejności. Jednym z możliwych sposobów określenia ciągłej zmiennej losowej jest użycie funkcji rozkładu.

DEFINICJA. Funkcja rozkładu to funkcja określająca prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość reprezentowaną na osi liczbowej przez punkt leżący na lewo od punktu x, tj.

Czasami zamiast terminu „funkcja rozkładu” używa się terminu „funkcja całkowa”.

Własności funkcji rozkładu:

1. Wartości funkcji rozkładu należą do odcinka: 0F(x)1
2. F(x) jest funkcją niemalejącą, tj. F(x 2)F(x 1), jeśli x 2 > x 1

Wniosek 1. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość zawartą w przedziale (a, b) jest równe przyrostowi funkcji rozkładu w tym przedziale:

Patena

Przykład 9. Zmienna losowa X jest dana dystrybuantą:

Znajdź prawdopodobieństwo, że w wyniku testu X przyjmie wartość należącą do przedziału (0;2): P(0

Rozwiązanie: Ponieważ na przedziale (0;2) według warunku F(x)=x/4+1/4, to F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Zatem P(0

Wniosek 2. Prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa X przyjmie jedną określoną wartość, wynosi zero.

Wniosek 3. Jeżeli możliwe wartości zmiennej losowej należą do przedziału (a;b), to: 1) F(x)=0 dla xa; 2) F(x)=1 przy xb.
Obowiązują następujące relacje graniczne:

Wykres funkcji rozkładu mieści się w paśmie ograniczonym liniami prostymi y=0, y=1 (pierwsza własność). Wraz ze wzrostem x w przedziale (a;b), który zawiera wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej, wykres „podnosi się”. W punkcie xa współrzędne wykresu są równe zeru; w xb współrzędne wykresu są równe jeden:

Obrazek 1

Przykład 10. Dyskretna zmienna losowa X jest dana tablicą rozkładu:

Znajdź funkcję rozkładu i wykreśl ją.
Rozwiązanie: Funkcję rozkładu można zapisać analitycznie w następujący sposób:

Rysunek 2

DEFINICJA: Gęstością rozkładu prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X jest funkcja f(x) - pierwsza pochodna funkcji rozkładu F(x): f(x)=F"(x)

Z tej definicji wynika, że ​​funkcja dystrybucji jest funkcją pierwotną gęstości rozkładu.

Twierdzenie. Prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa X przyjmie wartość należącą do przedziału (a;b) jest równe pewnej całce z gęstości rozkładu, przyjętej w przedziale od a do b:

(8)

Właściwości rozkładu gęstości prawdopodobieństwa:

1. Gęstość prawdopodobieństwa jest funkcją nieujemną: f(x)0.
2. Całka oznaczona od -∞ do +∞ gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej jest równa 1: f(x)dx=1.
3. Całka oznaczona od -∞ do x gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej jest równa dystrybuantce tej zmiennej: f(x)dx=F(x)

Przykład 11. Podano gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X

Znajdź prawdopodobieństwo, że w wyniku testu X przyjmie wartość należącą do przedziału (0,5;1).

Rozwiązanie: Wymagane prawdopodobieństwo:

Rozszerzmy definicję liczbowych charakterystyk wielkości dyskretnych na wielkości ciągłe. Niech ciągła zmienna losowa X będzie określona przez gęstość rozkładu f(x).

DEFINICJA. Matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej X, której możliwe wartości należą do segmentu, nazywa się całką oznaczoną:

M(x)=xf(x)dx (9)

Jeśli możliwe wartości należą do całej osi Wółu, to:

M(x)=xf(x)dx (10)

Mod M 0 (X) ciągłej zmiennej losowej X jest jej możliwą wartością, której odpowiada lokalne maksimum gęstości rozkładu.

Mediana M e (X) ciągłej zmiennej losowej X jest jej możliwą wartością, która jest określona przez równość:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

DEFINICJA. Wariancja ciągłej zmiennej losowej jest matematycznym oczekiwaniem kwadratu jej odchylenia. Jeżeli możliwe wartości X należą do segmentu, to:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
Lub
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Jeśli możliwe wartości należą do całej osi X, to.

Dyspersja ciągła zmienna losowa X, której możliwe wartości należą do całej osi Wółu, jest określona przez równość:

Cel usługi. Kalkulator online przeznaczony jest do rozwiązywania problemów, w których: gęstość dystrybucji f(x) lub dystrybuantę F(x) (patrz przykład). Zwykle w takich zadaniach musisz znaleźć oczekiwanie matematyczne, odchylenie standardowe, funkcje wykresu f(x) i F(x).

Instrukcje. Wybierz typ danych źródłowych: gęstość rozkładu f(x) lub funkcja rozkładu F(x).

Gęstość rozkładu f(x) jest dana:

Dana jest funkcja rozkładu F(x):

Ciągła zmienna losowa jest określona przez gęstość prawdopodobieństwa
(Prawo dystrybucji Rayleigha - stosowane w radiotechnice). Znajdź M(x) , D(x) .

Nazywa się zmienną losową X ciągły , jeśli jego funkcja dystrybucji F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Funkcja rozkładu ciągłej zmiennej losowej służy do obliczenia prawdopodobieństwa, że ​​zmienna losowa znajdzie się w zadanym przedziale:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Co więcej, dla ciągłej zmiennej losowej nie ma znaczenia, czy jej granice mieszczą się w tym przedziale, czy nie:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Gęstość dystrybucji ciągła zmienna losowa nazywana jest funkcją
f(x)=F’(x) , pochodna funkcji rozkładu.

Właściwości gęstości rozkładu