Jak rozwiązywać ułamki zwykłe. Jak rozwiązywać przykłady za pomocą ułamków zwykłych


W tym artykule przedstawiono ogólne spojrzenie na działanie na ułamkach zwykłych. Tutaj sformułowamy i uzasadnimy zasady dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania ułamków o postaci ogólnej A/B, gdzie A i B to pewne liczby, wyrażenia numeryczne lub wyrażenia ze zmiennymi. Tradycyjnie zamieścimy materiał z objaśniającymi przykładami wraz ze szczegółowymi opisami rozwiązań.

Nawigacja strony.

Zasady wykonywania operacji na ogólnych ułamkach liczbowych

Przyjmijmy, że przez ogólne ułamki liczbowe rozumiemy ułamki, w których licznik i/lub mianownik mogą być reprezentowane nie tylko przez liczby naturalne, ale także przez inne liczby lub wyrażenia numeryczne. Dla jasności oto kilka przykładów takich ułamków: , .

Znamy zasady według których są przeprowadzane. Stosując te same zasady, możesz wykonywać operacje na ułamkach ogólnych:

Uzasadnienie zasad

Aby uzasadnić ważność zasad wykonywania operacji na ułamkach liczbowych postaci ogólnej, możesz zacząć od następujących punktów:

  • Ukośnik jest zasadniczo znakiem podziału,
  • dzielenie przez jakąś liczbę niezerową można uznać za pomnożenie przez odwrotność dzielnika (to od razu wyjaśnia zasadę dzielenia ułamków),
  • właściwości operacji na liczbach rzeczywistych,
  • i jego ogólne zrozumienie,

Umożliwiają one przeprowadzenie następujących przekształceń uzasadniających zasady dodawania, odejmowania ułamków o podobnych i różnych mianownikach, a także zasadę mnożenia ułamków:

Przykłady

Podajmy przykłady wykonywania operacji na ułamkach ogólnych zgodnie z zasadami poznanymi w poprzednim akapicie. Powiedzmy od razu, że zwykle po wykonaniu operacji na ułamkach powstały ułamek wymaga uproszczenia, a proces upraszczania ułamka jest często bardziej skomplikowany niż wykonanie poprzednich czynności. Nie będziemy szczegółowo omawiać upraszczania ułamków (odpowiednie przekształcenia omówiono w artykule dotyczącym przekształcania ułamków), aby nie odwracać uwagi od interesującego nas tematu.

Zacznijmy od przykładów dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach. Najpierw dodajmy ułamki i . Oczywiście mianowniki są równe. Zgodnie z odpowiednią zasadą zapisujemy ułamek, którego licznik jest równy sumie liczników pierwotnych ułamków, a mianownik pozostawiamy bez zmian. Dodawanie zostało zakończone, pozostaje tylko uprościć powstały ułamek: . Więc, .

Rozwiązanie można było rozwiązać inaczej: najpierw dokonaj przejścia na zwykłe ułamki, a następnie wykonaj dodawanie. Dzięki takiemu podejściu mamy .

Teraz odejmiemy od ułamka frakcja . Mianowniki ułamków są równe, dlatego stosujemy zasadę odejmowania ułamków o tych samych mianownikach:

Przejdźmy do przykładów dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach. Główną trudnością jest tutaj sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. W przypadku ułamków ogólnych jest to dość obszerny temat, omówimy go szczegółowo w osobnym artykule. sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika. Na razie ograniczymy się do kilku ogólnych zaleceń, ponieważ w tej chwili bardziej interesuje nas technika wykonywania operacji na ułamkach.

Ogólnie proces jest podobny do sprowadzania ułamków zwykłych do wspólnego mianownika. Oznacza to, że mianowniki są przedstawiane w postaci iloczynów, następnie pobierane są wszystkie czynniki z mianownika pierwszego ułamka i dodawane są do nich brakujące czynniki z mianownika drugiego ułamka.

Kiedy mianowniki dodawanych lub odejmowanych ułamków nie mają wspólnych czynników, logiczne jest przyjęcie ich iloczynu jako wspólnego mianownika. Podajmy przykład.

Powiedzmy, że musimy wykonać dodawanie ułamków zwykłych i 1/2. Tutaj, jako wspólny mianownik, logiczne jest przyjęcie iloczynu mianowników pierwotnych ułamków, czyli . W tym przypadku dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka wyniesie 2. Po pomnożeniu przez niego licznika i mianownika ułamek przyjmie postać . A dla drugiego ułamka dodatkowym czynnikiem jest wyrażenie. Za jego pomocą ułamek 1/2 zostaje zredukowany do postaci . Pozostaje tylko dodać powstałe ułamki o tych samych mianownikach. Oto podsumowanie całego rozwiązania:

W przypadku ułamków ogólnych nie mówimy już o najniższym wspólnym mianowniku, do którego zwykle sprowadza się ułamki zwykłe. Chociaż w tej kwestii nadal wskazane jest dążenie do pewnego minimalizmu. Chcemy przez to powiedzieć, że nie należy od razu przyjmować iloczynu mianowników pierwotnych ułamków jako wspólnego mianownika. Na przykład wcale nie jest konieczne przyjmowanie wspólnego mianownika ułamków i iloczynu . Tutaj możemy wziąć.

Przejdźmy do przykładów mnożenia ułamków ogólnych. Pomnóżmy ułamki zwykłe i . Zasada wykonania tej czynności nakazuje nam zapisanie ułamka, którego licznik jest iloczynem liczników pierwotnych ułamków, a mianownik jest iloczynem mianowników. Mamy . Tutaj, podobnie jak w wielu innych przypadkach przy mnożeniu ułamków, możesz zmniejszyć ułamek: .

Zasada dzielenia ułamków pozwala przejść od dzielenia do mnożenia przez ułamek odwrotny. Tutaj trzeba pamiętać, że żeby otrzymać odwrotność danego ułamka należy zamienić licznik i mianownik danego ułamka. Oto przykład przejścia od dzielenia ogólnych ułamków liczbowych do mnożenia: . Pozostaje tylko wykonać mnożenie i uprościć powstały ułamek (w razie potrzeby zobacz transformację wyrażeń irracjonalnych):

Kończąc informacje zawarte w tym akapicie, pamiętaj, że dowolną liczbę lub wyrażenie liczbowe można przedstawić jako ułamek o mianowniku 1, dlatego dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb i ułamków można uznać za wykonanie odpowiedniej operacji na ułamkach, jeden z czego ma jeden w mianowniku. Na przykład zastąpienie w wyrażeniu pierwiastek z trzech przez ułamek, przechodzimy od mnożenia ułamka przez liczbę do mnożenia dwóch ułamków: .

Wykonywanie czynności z ułamkami zawierającymi zmienne

Zasady z pierwszej części tego artykułu dotyczą także wykonywania operacji na ułamkach zawierających zmienne. Uzasadnijmy pierwszy z nich - zasadę dodawania i odejmowania ułamków o identycznych mianownikach, resztę dowodzimy w absolutnie ten sam sposób.

Udowodnijmy, że dla dowolnych wyrażeń A, C i D (D nie jest identycznie równe zero) zachodzi równość na swoim zakresie dopuszczalnych wartości zmiennych.

Weźmy pewien zestaw zmiennych z ODZ. Niech wyrażenia A, C i D przyjmą wartości a 0, c 0 i d 0 dla tych wartości zmiennych. Następnie podstawiając wartości zmiennych z wybranego zbioru do wyrażenia zamieniamy je w sumę (różnicę) ułamków liczbowych o jednakowych mianownikach postaci , co zgodnie z zasadą dodawania (odejmowania) ułamków liczbowych o podobnych mianownikach , jest równe . Ale podstawienie wartości zmiennych z wybranego zestawu do wyrażenia zamienia je na ten sam ułamek. Oznacza to, że dla wybranego zbioru wartości zmiennych z ODZ wartości wyrażeń i są równe. Oczywiste jest, że wartości wskazanych wyrażeń będą równe dla dowolnego innego zbioru wartości zmiennych z ODZ, co oznacza, że ​​wyrażenia i są identycznie równe, to znaczy udowadniana równość jest prawdziwa .

Przykłady dodawania i odejmowania ułamków zwykłych ze zmiennymi

Kiedy mianowniki dodawanych lub odejmowanych ułamków są takie same, wszystko jest dość proste - liczniki są dodawane lub odejmowane, ale mianownik pozostaje taki sam. Oczywiste jest, że uzyskana po tym frakcja jest uproszczona, jeśli to konieczne i możliwe.

Zauważ, że czasami mianowniki ułamków różnią się tylko na pierwszy rzut oka, ale w rzeczywistości są to identycznie równe wyrażenia, na przykład i , lub i . A czasami wystarczy uprościć pierwotne ułamki zwykłe, aby „pojawiły się ich identyczne mianowniki”.

Przykład.

, B) , V) .

Rozwiązanie.

a) Musimy odjąć ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Zgodnie z odpowiednią zasadą zostawiamy mianownik bez zmian i odejmujemy liczniki, które mamy . Akcja została zakończona. Ale możesz także otworzyć nawiasy w liczniku i przedstawić podobne terminy: .

b) Oczywiście mianowniki dodawanych ułamków są takie same. Dlatego dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian: . Dodawanie zakończone. Ale łatwo zauważyć, że powstały ułamek można zmniejszyć. Rzeczywiście, licznik otrzymanego ułamka można zwinąć, stosując wzór do kwadratu sumy jako (lgx+2) 2 (patrz wzory na skrócone mnożenie), w związku z czym zachodzą następujące przekształcenia: .

c) Ułamki w sumie mają różne mianowniki. Ale po przekształceniu jednego z ułamków możesz przejść do dodawania ułamków o tych samych mianownikach. Pokażemy dwa rozwiązania.

Pierwszy sposób. Mianownik pierwszego ułamka można rozłożyć na czynniki korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, a następnie skrócić ten ułamek: . Zatem, . Nadal nie zaszkodzi uwolnić się od irracjonalności w mianowniku ułamka: .

Drugi sposób. Mnożenie licznika i mianownika drugiego ułamka przez (to wyrażenie nie dąży do zera dla żadnej wartości zmiennej x z ODZ dla pierwotnego wyrażenia) pozwala osiągnąć dwa cele na raz: uwolnić się od irracjonalności i przejść do dodawanie ułamków o tych samych mianownikach. Mamy

Odpowiedź:

A) , B) , V) .

Ostatni przykład doprowadził nas do kwestii sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika. Tam prawie przypadkowo doszliśmy do tych samych mianowników, upraszczając jeden z dodanych ułamków. Ale w większości przypadków, dodając i odejmując ułamki o różnych mianownikach, musisz celowo doprowadzić ułamki do wspólnego mianownika. Aby to zrobić, zwykle mianowniki ułamków przedstawia się w postaci iloczynów, pobierane są wszystkie czynniki z mianownika pierwszego ułamka i dodawane są do nich brakujące czynniki z mianownika drugiego ułamka.

Przykład.

Wykonaj działania na ułamkach: a) , pne) .

Rozwiązanie.

a) Nie ma potrzeby nic robić z mianownikami ułamków. Za wspólny mianownik bierzemy produkt . W tym przypadku dodatkowym czynnikiem dla pierwszego ułamka jest wyrażenie, a dla drugiego ułamka - liczba 3. Te dodatkowe czynniki sprowadzają ułamki do wspólnego mianownika, co później pozwala nam wykonać potrzebną akcję, mamy

b) W tym przykładzie mianowniki są już przedstawione jako iloczyny i nie wymagają żadnych dodatkowych przekształceń. Oczywiście czynniki w mianownikach różnią się tylko wykładnikami, dlatego jako wspólny mianownik bierzemy iloczyn czynników o najwyższych wykładnikach, czyli . Wtedy dodatkowym współczynnikiem dla pierwszego ułamka będzie x 4, a dla drugiego – ln(x+1) . Teraz jesteśmy gotowi do odejmowania ułamków:

c) W tym przypadku najpierw będziemy pracować z mianownikami ułamków. Wzory na różnicę kwadratów i kwadrat sumy pozwalają przejść od sumy pierwotnej do wyrażenia . Teraz jest jasne, że ułamki te można sprowadzić do wspólnego mianownika . Przy takim podejściu rozwiązanie będzie wyglądać następująco:

Odpowiedź:

A)

B)

V)

Przykłady mnożenia ułamków zwykłych przez zmienne

Mnożenie ułamków daje ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników pierwotnych ułamków, a mianownik jest iloczynem mianowników. Tutaj jak widać wszystko jest znajome i proste, a my możemy tylko dodać, że otrzymany w wyniku tego działania ułamek często okazuje się redukowalny. W takich przypadkach ulega on zmniejszeniu, chyba że jest to oczywiście konieczne i uzasadnione.

Ułamki

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

W szkole średniej ułamki nie są zbyt uciążliwe. Obecnie. Dopóki nie natkniesz się na potęgi z wymiernymi wykładnikami i logarytmami. I tam... Naciskasz i naciskasz kalkulator, a pojawia się pełny wyświetlacz niektórych liczb. Trzeba myśleć głową jak w trzeciej klasie.

W końcu wymyślmy ułamki! No, ile można się w nich pogubić!? Co więcej, wszystko jest proste i logiczne. Więc, jakie są rodzaje ułamków?

Rodzaje ułamków. Transformacje.

Istnieją trzy rodzaje ułamków.

1. Ułamki zwykłe , Na przykład:

Czasami zamiast poziomej linii wstawia się ukośnik: 1/2, 3/4, 19/5, cóż, i tak dalej. Tutaj często będziemy używać tej pisowni. Wybierany jest najwyższy numer licznik ułamka, niżej - mianownik. Jeżeli ciągle mylicie te nazwy (zdarza się...), powiedzcie sobie zdanie: „ Zzzzz Pamiętać! Zzzzz mianownik - spójrz zzzzz uh!” Słuchaj, wszystko zostanie zzzz zapamiętane.)

Kreska, pozioma lub nachylona, ​​oznacza dział od góry (licznik) do dołu (mianownik). To wszystko! Zamiast myślnika całkiem możliwe jest umieszczenie znaku podziału - dwóch kropek.

Jeżeli możliwy jest całkowity podział, należy tego dokonać. Zatem zamiast ułamka „32/8” znacznie przyjemniej jest napisać liczbę „4”. Te. 32 dzieli się po prostu przez 8.

32/8 = 32: 8 = 4

O ułamku „4/1” nawet nie mówię. Co również jest po prostu „4”. A jeśli nie jest to całkowicie podzielne, zostawiamy to jako ułamek. Czasami trzeba wykonać operację odwrotną. Zamień liczbę całkowitą na ułamek. Ale o tym później.

2. Dziesiętne , Na przykład:

W tej formie będziesz musiał zapisać odpowiedzi na zadania „B”.

3. Liczby mieszane , Na przykład:

Liczby mieszane praktycznie nie są używane w szkole średniej. Aby z nimi pracować, należy je przekształcić w zwykłe ułamki. Ale na pewno musisz to umieć! Inaczej natkniesz się na taki numer w problemie i zamarzniesz... Znikąd. Ale będziemy pamiętać tę procedurę! Trochę niżej.

Najbardziej wszechstronny ułamki zwykłe. Zacznijmy od nich. Nawiasem mówiąc, jeśli ułamek zawiera wszelkiego rodzaju logarytmy, sinusy i inne litery, niczego to nie zmienia. W tym sensie, że wszystko działania z wyrażeniami ułamkowymi nie różnią się od działań ze zwykłymi ułamkami!

Główna właściwość ułamka.

Więc chodźmy! Na początek cię zaskoczę. Cała gama przekształceń ułamkowych zapewniana jest przez jedną właściwość! Tak to się nazywa główna właściwość ułamka. Pamiętać: Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę, ułamek się nie zmieni. Te:

Oczywiste jest, że możesz pisać dalej, aż zrobi ci się smutno na twarzy. Nie pozwól, aby sinusy i logarytmy Cię zmyliły, zajmiemy się nimi dalej. Najważniejsze jest, aby zrozumieć, że wszystkie te różne wyrażenia są ten sam ułamek . 2/3.

Czy tego potrzebujemy, tych wszystkich przemian? I jak! Teraz przekonasz się sam. Na początek skorzystajmy z podstawowej właściwości ułamka dla ułamki redukujące. Wydawałoby się, że to elementarna rzecz. Podziel licznik i mianownik przez tę samą liczbę i gotowe! Nie da się popełnić błędu! Ale... człowiek jest istotą twórczą. Wszędzie możesz popełnić błąd! Zwłaszcza jeśli musisz zmniejszyć nie ułamek taki jak 5/10, ale wyrażenie ułamkowe z różnymi rodzajami liter.

Jak poprawnie i szybko redukować ułamki bez wykonywania dodatkowej pracy, można przeczytać w specjalnym rozdziale 555.

Zwykły uczeń nie zawraca sobie głowy dzieleniem licznika i mianownika przez tę samą liczbę (lub wyrażenie)! Po prostu przekreśla wszystko, co jest takie samo powyżej i poniżej! Tu właśnie czai się typowy błąd, pomyłka, jeśli można tak powiedzieć.

Na przykład musisz uprościć wyrażenie:

Tu nie ma o czym myśleć, przekreśl literę „a” na górze i „2” na dole! Otrzymujemy:

Wszystko jest poprawne. Ale tak naprawdę podzieliliście się Wszystko licznik i Wszystko mianownikiem jest „a”. Jeśli jesteś przyzwyczajony do po prostu przekreślania, możesz w pośpiechu skreślić „a” w wyrażeniu

i zdobądź to jeszcze raz

Co byłoby kategoryczną nieprawdą. Ponieważ tutaj Wszystko licznik na „a” już jest nie udostępniony! Ułamka tego nie można zmniejszyć. Swoją drogą taka obniżka to... hmm... poważne wyzwanie dla nauczyciela. Tego się nie wybacza! Pamiętasz? Redukując, musisz dzielić Wszystko licznik i Wszystko mianownik!

Zmniejszanie ułamków znacznie ułatwia życie. Dostaniesz gdzieś ułamek, na przykład 375/1000. Jak mogę teraz kontynuować z nią współpracę? Bez kalkulatora? Pomnóż, powiedz, dodaj, podnieś do kwadratu!? A jeśli nie jesteś zbyt leniwy, to ostrożnie skróć go o pięć, a potem o kolejne pięć, a nawet… krótko mówiąc, w trakcie skracania. Zdobądźmy 3/8! Dużo ładniej, prawda?

Główna właściwość ułamka pozwala na konwersję zwykłych ułamków zwykłych na dziesiętne i odwrotnie bez kalkulatora! To ważne dla ujednoliconego egzaminu państwowego, prawda?

Jak zamienić ułamki jednego typu na inny.

W przypadku ułamków dziesiętnych wszystko jest proste. Jak się słyszy, tak jest napisane! Powiedzmy 0,25. To jest zero przecinek dwadzieścia pięć setnych. Piszemy więc: 25/100. Zmniejszamy (dzielimy licznik i mianownik przez 25), otrzymujemy zwykły ułamek: 1/4. Wszystko. To się zdarza i nic nie zostaje zredukowane. Jak 0,3. To trzy dziesiąte, tj. 3/10.

A co jeśli liczby całkowite nie są zerem? W porządku. Zapisujemy cały ułamek bez przecinków w liczniku i mianowniku - co słychać. Na przykład: 3.17. To jest trzy przecinek siedemnaście setnych. W liczniku piszemy 317, a w mianowniku 100. Otrzymujemy 317/100. Nic nie jest redukowane, to znaczy wszystko. To jest odpowiedź. Podstawowy Watsonie! Z tego wszystkiego, co zostało powiedziane, użyteczny wniosek: każdy ułamek dziesiętny można zamienić na ułamek zwykły .

Ale niektórzy ludzie nie mogą dokonać odwrotnej konwersji ze zwykłego na dziesiętny bez kalkulatora. I jest to konieczne! Jak zapiszesz odpowiedź na egzaminie Unified State Exam!? Przeczytaj uważnie i opanuj ten proces.

Jaka jest cecha ułamka dziesiętnego? Jej mianownik to Zawsze kosztuje 10, 100, 1000 lub 10000 i tak dalej. Jeśli twój ułamek zwykły ma taki mianownik, nie ma problemu. Na przykład 4/10 = 0,4. Lub 7/100 = 0,07. Lub 12/10 = 1,2. A co by było, gdyby odpowiedź na zadanie z sekcji „B” okazała się 1/2? Co napiszemy w odpowiedzi? Wymagane są ułamki dziesiętne...

Zapamiętajmy główna właściwość ułamka ! Matematyka korzystnie pozwala pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Swoją drogą, cokolwiek! Oprócz zera, oczywiście. Wykorzystajmy więc tę właściwość na naszą korzyść! Przez co można pomnożyć mianownik, tj. 2, aby uzyskać liczbę 10, 100 lub 1000 (oczywiście im mniej, tym lepiej...)? Oczywiście o 5. Możesz pomnożyć mianownik (tzn nas konieczne) przez 5. Ale wtedy licznik należy również pomnożyć przez 5. To już jest matematykażąda! Otrzymujemy 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. To wszystko.

Jednak spotykają się różne mianowniki. Spotkasz się na przykład z ułamkiem 3/16. Spróbuj dowiedzieć się, przez co pomnożyć 16, aby otrzymać 100 lub 1000... Czy to nie działa? Wtedy wystarczy po prostu podzielić 3 przez 16. W przypadku braku kalkulatora trzeba będzie dzielić narożnikiem na kartce papieru, jak uczono w szkole podstawowej. Otrzymujemy 0,1875.

Są też bardzo złe mianowniki. Na przykład nie ma możliwości zamiany ułamka 1/3 na dobry ułamek dziesiętny. Zarówno na kalkulatorze, jak i na kartce papieru otrzymujemy 0,3333333... Oznacza to, że 1/3 to dokładny ułamek dziesiętny nie tłumaczy. To samo co 1/7, 5/6 i tak dalej. Jest ich wiele, nieprzetłumaczalnych. To prowadzi nas do kolejnego przydatnego wniosku. Nie każdy ułamek zwykły można zamienić na ułamek dziesiętny !

Nawiasem mówiąc, jest to przydatna informacja do samodzielnego testowania. W części „B” należy wpisać ułamek dziesiętny w swojej odpowiedzi. I masz na przykład 4/3. Ułamek ten nie jest konwertowany na ułamek dziesiętny. Oznacza to, że gdzieś po drodze popełniłeś błąd! Wróć i sprawdź rozwiązanie.

Więc wymyśliliśmy ułamki zwykłe i dziesiętne. Pozostaje tylko zająć się liczbami mieszanymi. Aby z nimi pracować, należy je przekształcić w zwykłe ułamki. Jak to zrobić? Możesz złapać szóstoklasistę i go zapytać. Ale szóstoklasista nie zawsze będzie pod ręką... Musisz to zrobić sam. To nie jest trudne. Musisz pomnożyć mianownik części ułamkowej przez część całkowitą i dodać licznik części ułamkowej. Będzie to licznik ułamka zwykłego. A co z mianownikiem? Mianownik pozostanie taki sam. Brzmi skomplikowanie, ale w rzeczywistości wszystko jest proste. Spójrzmy na przykład.

Załóżmy, że przestraszyłeś się, widząc liczbę związaną z problemem:

Myślimy, że spokojnie, bez paniki. Cała część to 1. Jednostka. Część ułamkowa to 3/7. Dlatego mianownik części ułamkowej wynosi 7. Mianownik ten będzie mianownikiem ułamka zwykłego. Liczymy licznik. Mnożymy 7 przez 1 (część całkowitą) i dodajemy 3 (licznik części ułamkowej). Otrzymujemy 10. Będzie to licznik ułamka zwykłego. To wszystko. W zapisie matematycznym wygląda to jeszcze prościej:

Czy to jasne? Zatem zapewnij sobie sukces! Zamień na ułamki zwykłe. Powinieneś dostać 10/7, 7/2, 23/10 i 21/4.

W szkole średniej rzadko wymagana jest operacja odwrotna – zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną. Cóż, jeśli tak... A jeśli nie jesteś w szkole średniej, możesz zapoznać się ze specjalną sekcją 555. Przy okazji dowiesz się tam również o ułamkach niewłaściwych.

No cóż, to praktycznie wszystko. Zapamiętałeś rodzaje ułamków i zrozumiałeś Jak przenieść je z jednego typu na drugi. Pozostaje pytanie: Po co Zrób to? Gdzie i kiedy zastosować tę głęboką wiedzę?

Odpowiadam. Każdy przykład sam w sobie sugeruje niezbędne działania. Jeśli w przykładzie zmieszamy ułamki zwykłe, dziesiętne, a nawet liczby mieszane, wszystko zamienimy na ułamki zwykłe. Zawsze można to zrobić. Cóż, jeśli jest napisane coś w rodzaju 0,8 + 0,3, to liczymy to w ten sposób, bez żadnego tłumaczenia. Dlaczego potrzebujemy dodatkowej pracy? Wybieramy rozwiązanie, które jest wygodne nas !

Jeśli zadaniem są same ułamki dziesiętne, ale... jakieś złe, przejdź do zwykłych i spróbuj! Słuchaj, wszystko się ułoży. Na przykład będziesz musiał podnieść do kwadratu liczbę 0,125. To nie jest takie proste, jeśli nie przyzwyczaiłeś się do korzystania z kalkulatora! Nie tylko musisz pomnożyć liczby w kolumnie, ale także pomyśleć o tym, gdzie wstawić przecinek! Na pewno nie będzie to działać w Twojej głowie! A co jeśli przejdziemy do ułamka zwykłego?

0,125 = 125/1000. Zmniejszamy go o 5 (to na początek). Dostajemy 25/200. Znowu o 5. Dostajemy 5/40. Och, wciąż się kurczy! Powrót do 5! Dostajemy 1/8. Z łatwością poddajemy to kwadratowi (w naszych umysłach!) i otrzymujemy 1/64. Wszystko!

Podsumujmy tę lekcję.

1. Istnieją trzy rodzaje ułamków. Liczby zwykłe, dziesiętne i mieszane.

2. Liczby dziesiętne i mieszane Zawsze można zamienić na ułamki zwykłe. Przeniesienie zwrotne nie zawsze dostępny.

3. Wybór rodzaju ułamków do pracy z zadaniem zależy od samego zadania. Jeśli w jednym zadaniu występują różne rodzaje ułamków, najbardziej niezawodną rzeczą jest przejście na ułamki zwykłe.

Teraz możesz ćwiczyć. Najpierw zamień te ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Powinieneś otrzymać takie odpowiedzi (w bałaganie!):

Zakończmy to. Podczas tej lekcji odświeżyliśmy naszą pamięć o kluczowych kwestiach dotyczących ułamków zwykłych. Zdarza się jednak, że nie ma nic specjalnego do odświeżenia...) Jeśli ktoś zupełnie o tym zapomniał, albo jeszcze tego nie opanował... Wtedy można przejść do specjalnego Sekcji 555. Wszystkie podstawy są tam szczegółowo omówione. Wielu nagle rozumieć wszystko zaczynają się. I rozwiązują ułamki na bieżąco).

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Aby wyrazić część jako ułamek całości, należy podzielić część na całość.

Zadanie 1. W klasie jest 30 uczniów, czterech jest nieobecnych. Jaka część uczniów jest nieobecna?

Rozwiązanie:

Odpowiedź: W klasie nie ma uczniów.

Znajdowanie ułamka liczby

Aby rozwiązać problemy, w których trzeba znaleźć część całości, obowiązuje następująca zasada:

Jeśli część całości jest wyrażona jako ułamek, to aby znaleźć tę część, możesz podzielić całość przez mianownik ułamka i pomnożyć wynik przez jego licznik.

Zadanie 1. Było 600 rubli, tę kwotę wydano. Ile pieniędzy wydałeś?

Rozwiązanie: aby znaleźć 600 rubli lub więcej, musimy podzielić tę kwotę na 4 części, w ten sposób dowiemy się, ile pieniędzy wynosi jedna czwarta części:

600: 4 = 150 (p.)

Odpowiedź: wydał 150 rubli.

Zadanie 2. Było 1000 rubli, tę kwotę wydano. Ile pieniędzy wydano?

Rozwiązanie: z opisu problemu wiemy, że 1000 rubli składa się z pięciu równych części. Najpierw dowiedzmy się, ile rubli to jedna piąta z 1000, a następnie dowiemy się, ile rubli to dwie piąte:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - jedna piąta.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - dwie piąte.

Te dwa działania można połączyć: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

Odpowiedź: Wydano 400 rubli.

Drugi sposób na znalezienie części całości:

Aby znaleźć część całości, możesz pomnożyć całość przez ułamek wyrażający tę część całości.

Zadanie 3. Zgodnie ze statutem spółdzielni, aby zebranie sprawozdawcze było ważne, konieczna jest obecność przynajmniej członków organizacji. Spółdzielnia liczy 120 członków. W jakim składzie może odbyć się spotkanie sprawozdawcze?

Rozwiązanie:

Odpowiedź: spotkanie sprawozdawcze może się odbyć, jeżeli w organizacji uczestniczy 80 członków.

Znajdowanie liczby przez jej ułamek

Aby rozwiązać problemy, w których trzeba znaleźć całość z jej części, obowiązuje następująca zasada:

Jeśli część pożądanej całości jest wyrażona jako ułamek, to aby znaleźć tę całość, możesz podzielić tę część przez licznik ułamka i pomnożyć wynik przez jego mianownik.

Zadanie 1. Wydaliśmy 50 rubli, czyli mniej niż pierwotna kwota. Znajdź pierwotną kwotę pieniędzy.

Rozwiązanie: z opisu problemu widzimy, że 50 rubli to 6 razy mniej niż pierwotna kwota, tj. pierwotna kwota jest 6 razy większa niż 50 rubli. Aby znaleźć tę kwotę, należy pomnożyć 50 przez 6:

50 · 6 = 300 (r.)

Odpowiedź: kwota początkowa wynosi 300 rubli.

Zadanie 2. Wydaliśmy 600 rubli, czyli mniej niż pierwotna kwota pieniędzy. Znajdź pierwotną kwotę.

Rozwiązanie: Zakładamy, że wymagana liczba składa się z trzech trzecich. Zgodnie z warunkiem dwie trzecie liczby to 600 rubli. Najpierw znajdźmy jedną trzecią pierwotnej kwoty, a następnie ile rubli to trzy trzecie (pierwotna kwota):

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

Odpowiedź: kwota początkowa wynosi 900 rubli.

Drugi sposób znalezienia całości z jej części:

Aby znaleźć całość według wartości wyrażającej jej część, możesz podzielić tę wartość przez ułamek wyrażający tę część.

Zadanie 3. Odcinek AB, równa 42 cm, to długość odcinka płyta CD. Znajdź długość odcinka płyta CD.

Rozwiązanie:

Odpowiedź: długość segmentu płyta CD 70cm.

Zadanie 4. Do sklepu przywieziono arbuzy. Przed lunchem sklep sprzedał przyniesione arbuzy, a po obiedzie pozostało do sprzedania 80 arbuzów. Ile arbuzów przyniosłeś do sklepu?

Rozwiązanie: Najpierw dowiedzmy się, jaką częścią przyniesionych arbuzów jest liczba 80. Aby to zrobić, weźmy całkowitą liczbę przyniesionych arbuzów jako jeden i odejmijmy od niej liczbę sprzedanych (sprzedanych) arbuzów:

I tak dowiedzieliśmy się, że na ogólną liczbę przyniesionych arbuzów przypada 80 arbuzów. Teraz dowiadujemy się, ile arbuzów z całkowitej ilości stanowi, a następnie ile arbuzów stanowi (liczba przyniesionych arbuzów):

2) 80: 4 15 = 300 (arbuzy)

Odpowiedź:Łącznie do sklepu przywieziono 300 arbuzów.

W tej sekcji opisano operacje na ułamkach zwykłych. Jeśli konieczne jest wykonanie operacji matematycznej na liczbach mieszanych, wystarczy zamienić ułamek mieszany na ułamek nadzwyczajny, przeprowadzić niezbędne operacje i, jeśli to konieczne, ponownie przedstawić wynik końcowy w postaci liczby mieszanej . Operacja ta zostanie opisana poniżej.

Zmniejszanie ułamka

Działanie matematyczne. Zmniejszanie ułamka

Aby skrócić ułamek \frac(m)(n) należy znaleźć największy wspólny dzielnik jego licznika i mianownika: gcd(m,n), a następnie podzielić licznik i mianownik ułamka przez tę liczbę. Jeśli NWD(m,n)=1, to ułamka nie można skrócić. Przykład: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Zwykle od razu znalezienie największego wspólnego dzielnika wydaje się zadaniem trudnym, a w praktyce ułamek redukuje się w kilku etapach, krok po kroku izolując oczywiste wspólne czynniki z licznika i mianownika. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Działanie matematyczne. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Aby sprowadzić dwa ułamki \frac(a)(b) i \frac(c)(d) do wspólnego mianownika potrzebujesz:

  • znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników: M=LMK(b,d);
  • pomnóż licznik i mianownik pierwszego ułamka przez M/b (po czym mianownik ułamka staje się równy liczbie M);
  • pomnóż licznik i mianownik drugiego ułamka przez M/d (po czym mianownik ułamka staje się równy liczbie M).

W ten sposób przekształcamy pierwotne ułamki na ułamki o tych samych mianownikach (które będą równe liczbie M).

Na przykład ułamki \frac(5)(6) i \frac(4)(9) mają LCM(6,9) = 18. Wtedy: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Zatem powstałe ułamki mają wspólny mianownik.

W praktyce znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) mianowników nie zawsze jest prostym zadaniem. Dlatego jako wspólny mianownik wybiera się liczbę równą iloczynowi mianowników pierwotnych ułamków. Na przykład ułamki \frac(5)(6) i \frac(4)(9) sprowadza się do wspólnego mianownika N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Porównanie ułamków

Działanie matematyczne. Porównanie ułamków

Aby porównać dwie zwykłe ułamki, potrzebujesz:

  • porównaj liczniki powstałych ułamków; ułamek o większym liczniku będzie większy.
Na przykład \frac(9)(14)

Porównując ułamki, istnieje kilka szczególnych przypadków:

  1. Z dwóch frakcji z tymi samymi mianownikami Ułamek, którego licznik jest większy, jest większy. Na przykład \frac(3)(15)
  2. Z dwóch frakcji z tymi samymi licznikami Większy jest ułamek, którego mianownik jest mniejszy. Na przykład \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
  3. Ten ułamek, który jednocześnie większy licznik i mniejszy mianownik, więcej. Na przykład \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Uwaga! Zasada 1 ma zastosowanie do dowolnych ułamków, jeśli ich wspólny mianownik jest liczbą dodatnią. Reguły 2 i 3 dotyczą ułamków dodatnich (tych, których licznik i mianownik są większe od zera).

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Działanie matematyczne. Dodawanie i odejmowanie ułamków

Aby dodać dwa ułamki potrzebujesz:

  • sprowadzić je do wspólnego mianownika;
  • dodaj ich liczniki, a mianownik pozostaw bez zmian.

Przykład: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Aby odjąć inny od jednego ułamka, potrzebujesz:

  • sprowadź ułamki do wspólnego mianownika;
  • Od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian.

Przykład: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Jeśli pierwotne ułamki mają początkowo wspólny mianownik, wówczas krok 1 (sprowadzanie do wspólnego mianownika) jest pomijany.

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy i odwrotnie

Działanie matematyczne. Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy i odwrotnie

Aby zamienić ułamek mieszany na ułamek niewłaściwy, wystarczy zsumować całą część ułamka mieszanego z częścią ułamkową. Wynikiem takiej sumy będzie ułamek niewłaściwy, którego licznik jest równy sumie iloczynu całej części przez mianownik ułamka z licznikiem ułamka mieszanego, a mianownik pozostanie taki sam. Na przykład 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną:

  • podziel licznik ułamka przez jego mianownik;
  • resztę podziału zapisz w liczniku, a mianownik pozostaw bez zmian;
  • wynik dzielenia zapisz jako część całkowitą.

Na przykład ułamek \frac(23)(4) . Przy dzieleniu 23:4=5,75 cała część wynosi 5, a reszta dzielenia wynosi 23-5*4=3. Następnie zostanie zapisana liczba mieszana: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Konwersja ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły

Działanie matematyczne. Konwersja ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły

Aby zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły należy:

  1. jako mianownik weź n-tą potęgę dziesięciu (tutaj n to liczba miejsc po przecinku);
  2. jako licznik należy przyjąć liczbę po przecinku (jeżeli część całkowita pierwotnej liczby nie jest równa zero, należy przyjąć także wszystkie zera wiodące);
  3. niezerowa część całkowita jest zapisywana w liczniku na samym początku; zerowa część całkowita jest pomijana.

Przykład 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (są 4 miejsca po przecinku, więc w mianowniku jest 10 4 =10000, ponieważ część całkowita wynosi 0, licznik zawiera liczbę po przecinku bez zer wiodących)

Przykład 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (w liczniku zapisujemy liczbę po przecinku z samymi zerami: „0109”, a następnie przed nią dodajemy całą część pierwotnej liczby „31”)

Jeśli cała część ułamka dziesiętnego jest różna od zera, wówczas można go zamienić na ułamek mieszany. W tym celu zamieniamy liczbę na ułamek zwykły tak, jakby cała część była równa zeru (punkty 1 i 2) i po prostu przepisujemy całą część przed ułamkiem - będzie to cała część liczby mieszanej . Przykład:

3,014=3\frac(14)(100)

Aby zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, wystarczy podzielić licznik przez mianownik. Czasami kończy się to nieskończoną liczbą dziesiętną. W takim przypadku konieczne jest zaokrąglenie do żądanego miejsca po przecinku. Przykłady:

\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\około0,6667

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

Działanie matematyczne. Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe, należy pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Aby podzielić jeden ułamek zwykły przez drugi, musisz pomnożyć pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego ( ułamek odwrotny- ułamek, w którym zamieniono licznik i mianownik.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Jeżeli jeden z ułamków jest liczbą naturalną, to powyższe zasady mnożenia i dzielenia pozostają w mocy. Trzeba tylko wziąć pod uwagę, że liczba całkowita to ten sam ułamek, którego mianownik jest równy jeden. Na przykład: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Treść lekcji

Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje dodawania ułamków:

  1. Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach
  2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się dodawania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian. Na przykład dodajmy ułamki i . Dodaj liczniki, a mianownik pozostaw bez zmian:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 2. Dodaj ułamki i .

Odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Kiedy nadchodzi koniec zadania, zwyczajowo pozbywamy się ułamków niewłaściwych. Aby pozbyć się ułamka niewłaściwego, musisz wybrać całą jego część. W naszym przypadku całą część można łatwo wyizolować – dwa podzielone przez dwa równa się jeden:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę podzieloną na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:

Przykład 3. Dodaj ułamki i .

Ponownie dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w dodawaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

  1. Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian;

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Teraz nauczmy się dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.

Na przykład ułamki można dodawać, ponieważ mają te same mianowniki.

Ale ułamków nie można od razu dodać, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Istnieje kilka sposobów redukcji ułamków zwykłych do tego samego mianownika. Dzisiaj przyjrzymy się tylko jednemu z nich, ponieważ inne metody mogą wydawać się początkującemu skomplikowane.

Istota tej metody polega na tym, że w pierwszej kolejności przeszukiwane jest LCM mianowników obu ułamków. LCM jest następnie dzielona przez mianownik pierwszego ułamka, aby uzyskać pierwszy dodatkowy współczynnik. To samo robią z drugim ułamkiem - LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik.

Liczniki i mianowniki ułamków są następnie mnożone przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych działań ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki.

Przykład 1. Dodajmy ułamki i

Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 6

LCM (2 i 3) = 6

Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i . Najpierw podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskaj pierwszy dodatkowy współczynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 6 przez 3, otrzymujemy 2.

Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, narysuj małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisz znajdujący się nad nią dodatkowy współczynnik:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 6 przez 2, otrzymujemy 3.

Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do drugiego ułamka. Ponownie robimy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i zapisujemy dodatkowy czynnik znajdujący się nad nim:

Teraz mamy wszystko gotowe do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:

Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:

To kończy przykład. Okazuje się, że należy dodać.

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzy:

Sprowadzanie ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Redukując ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery części z sześciu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z sześciu). Dodając te kawałki otrzymamy (siedem kawałków z sześciu). Ten ułamek jest niewłaściwy, więc podkreśliliśmy całą jego część. W rezultacie otrzymaliśmy (całą pizzę i kolejną szóstą pizzę).

Należy pamiętać, że opisaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucjach edukacyjnych nie jest zwyczajowo pisać tak szczegółowo. Musisz umieć szybko znaleźć LCM obu mianowników i dodatkowych czynników do nich, a także szybko pomnożyć znalezione dodatkowe czynniki przez swoje liczniki i mianowniki. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy zapisać ten przykład w następujący sposób:

Ale jest też druga strona medalu. Jeżeli na pierwszych etapach nauki matematyki nie będziemy robić szczegółowych notatek, wówczas zaczną pojawiać się tego typu pytania. „Skąd taka liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.

Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z poniższych instrukcji krok po kroku:

  1. Znajdź LCM mianowników ułamków;
  2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka;
  3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
  4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach;
  5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jej część;

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia .

Skorzystajmy z instrukcji podanych powyżej.

Krok 1. Znajdź LCM mianowników ułamków

Znajdź LCM mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4

Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka

Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 12 przez 2, otrzymujemy 6. Otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy 4. Otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 4. Dzieląc 12 przez 4, otrzymujemy 3. Otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy to nad trzecim ułamkiem:

Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki

Mnożymy liczniki i mianowniki przez ich dodatkowe współczynniki:

Krok 4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. Pozostaje tylko dodać te frakcje. Dodaj go:

Dodatek nie zmieścił się w jednym wierszu, więc pozostałe wyrażenie przenieśliśmy do następnego wiersza. Jest to dozwolone w matematyce. Jeżeli wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest ono przenoszone do następnego wiersza, przy czym należy postawić znak równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku nowego wiersza. Znak równości w drugiej linii oznacza, że ​​jest to kontynuacja wyrażenia z pierwszej linii.

Krok 5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, zaznacz całą jej część

Nasza odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Musimy podkreślić całą jego część. Wyróżniamy:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków zwykłych:

  1. Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
  2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się odejmować ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka, ale mianownik pozostawić bez zmian.

Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian. Zróbmy to:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia.

Ponownie od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka należy odjąć liczniki pozostałych ułamków:

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

  1. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian;
  2. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć całą jej część.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na przykład możesz odjąć ułamek od ułamka, ponieważ ułamki mają te same mianowniki. Ale nie można odjąć ułamka od ułamka, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Wspólny mianownik znajdujemy przy użyciu tej samej zasady, której używaliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad pierwszym ułamkiem. Podobnie LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad drugim ułamkiem.

Następnie ułamki mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniane są na ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki.

Przykład 1. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Ułamki te mają różne mianowniki, dlatego należy je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12

LCM (3 i 4) = 12

Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i

Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymamy 4. Napisz cztery nad pierwszym ułamkiem:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymamy 3. Napisz trójkę nad drugim ułamkiem:

Teraz jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli odetniesz pizzę od pizzy, otrzymasz pizzę

To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy rozwiązać ten przykład krócej. Takie rozwiązanie wyglądałoby następująco:

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Ułamki te będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika):

Pierwsze zdjęcie przedstawia ułamek (osiem części z dwunastu), a drugie zdjęcie przedstawia ułamek (trzy części z dwunastu). Przecinając trzy kawałki z ośmiu kawałków, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Ułamek opisuje te pięć części.

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Ułamki te mają różne mianowniki, więc najpierw trzeba je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Znajdźmy LCM mianowników tych ułamków.

Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Teraz znajdujemy dodatkowe współczynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik każdego ułamka.

Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla drugiego ułamka. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla trzeciego ułamka. Podziel LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 5. Dzieląc 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.

Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc kontynuację przenosimy do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym i wszystko wydaje się nam pasować, ale jest zbyt kłopotliwe i brzydkie. Powinniśmy to uprościć. Co można zrobić? Możesz skrócić ten ułamek.

Aby skrócić ułamek, należy podzielić jego licznik i mianownik przez (NWD) liczby 20 i 30.

Znajdujemy więc gcd liczb 20 i 30:

Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez znaleziony gcd, czyli przez 10

Otrzymaliśmy odpowiedź

Mnożenie ułamka przez liczbę

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian.

Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.

Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1

Nagranie można rozumieć jako trwające połowę czasu. Na przykład, jeśli raz zjesz pizzę, dostaniesz pizzę

Z praw mnożenia wiemy, że jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie zostanie zapisane jako , wówczas iloczyn będzie nadal równy . Ponownie zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka działa:

Zapis ten można rozumieć jako branie połowy jednego. Przykładowo, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy połowę, to będziemy mieli pizzę:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik ułamka przez 4

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:

Wyrażenie można rozumieć jako branie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz 4 pizze, otrzymasz dwie całe pizze

A jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, otrzymamy wyrażenie . Będzie ono również równe 2. Wyrażenie to można rozumieć jako wzięcie dwóch pizz z czterech całych pizz:

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeżeli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, należy zaznaczyć całą jej część.

Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia.

Otrzymaliśmy odpowiedź. Wskazane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Wtedy ostateczne rozwiązanie będzie miało następującą postać:

Wyrażenie to można rozumieć jako oddzielenie pizzy od połowy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Jak wyciągnąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:

I weź dwa z tych trzech kawałków:

Zrobimy pizzę. Przypomnij sobie, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:

Jeden kawałek tej pizzy i dwa kawałki, które wzięliśmy, będą miały takie same wymiary:

Innymi słowy, mówimy o pizzy tej samej wielkości. Zatem wartość wyrażenia wynosi

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym, ale dobrze by było, gdyby została skrócona. Aby skrócić ten ułamek, należy podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 105 i 450.

Znajdźmy więc gcd liczb 105 i 450:

Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi przez znaleziony teraz gcd, czyli przez 15

Przedstawianie liczby całkowitej w postaci ułamka

Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka. Na przykład liczbę 5 można przedstawić jako . Nie zmieni to znaczenia pięciu, ponieważ wyrażenie to oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiemy, równa się pięć:

Liczby wzajemne

Teraz zapoznamy się z bardzo interesującym tematem z matematyki. Nazywa się to „liczbami odwrotnymi”.

Definicja. Odwróć numerA to liczba, która po pomnożeniu przezA daje jeden.

Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej A numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:

Odwróć numer 5 to liczba, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden.

Czy można znaleźć liczbę, która pomnożona przez 5 daje jeden? Okazuje się, że jest to możliwe. Wyobraźmy sobie pięć jako ułamek:

Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik z mianownikiem. Inaczej mówiąc, pomnóżmy ułamek sam, tylko do góry nogami:

Co się stanie w rezultacie tego? Jeśli będziemy kontynuować rozwiązywanie tego przykładu, otrzymamy jeden:

Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba , ponieważ gdy pomnożysz 5 przez, otrzymasz jeden.

Odwrotność liczby można znaleźć także dla dowolnej innej liczby całkowitej.

Możesz także znaleźć odwrotność dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, po prostu odwróć go.

Dzielenie ułamka przez liczbę

Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Podzielmy to równo pomiędzy dwa. Ile pizzy dostanie każda osoba?

Można zauważyć, że po podzieleniu połowy pizzy otrzymano dwie równe części, z których każda stanowi pizzę. Więc każdy dostaje pizzę.

Dzielenie ułamków odbywa się za pomocą odwrotności. Liczby odwrotne pozwalają zastąpić dzielenie mnożeniem.

Aby podzielić ułamek przez liczbę, należy pomnożyć ułamek przez odwrotność dzielnika.

Korzystając z tej zasady zapiszemy podział naszej połowy pizzy na dwie części.

Musisz więc podzielić ułamek przez liczbę 2. Tutaj dywidenda jest ułamkiem, a dzielnikiem jest liczba 2.

Aby podzielić ułamek przez liczbę 2, należy pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika 2. Odwrotnością dzielnika 2 jest ułamek. Więc musisz pomnożyć przez