Zależność liniowa i liniowa niezależność wektorów. Baza wektorów

Pozwalać L jest dowolną przestrzenią liniową, a I Î L,- jego elementy (wektory).

Definicja 3.3.1. Wyrażenie , Gdzie , - dowolne liczby rzeczywiste, zwane kombinacją liniową wektory a 1 , a 2 ,…, a N.

Jeśli wektor R = , wtedy tak mówią R rozłożone na wektory a 1 , a 2 ,…, a N.

Definicja 3.3.2. Nazywa się liniową kombinacją wektorów nietrywialne, jeśli wśród liczb jest przynajmniej jedna liczba różna od zera. W przeciwnym razie wywoływana jest kombinacja liniowa trywialny.

Definicja 3.3.3 . Wektory a 1 , a 2 ,…, a N nazywane są liniowo zależnymi, jeśli istnieje ich nietrywialna kombinacja liniowa taka, że

= 0 .

Definicja 3.3.4. Wektory a 1 , a 2 ,…, a N nazywane są liniowo niezależnymi, jeśli równość = 0 jest możliwe tylko w przypadku, gdy wszystkie liczby l 1, l 2,…, l n są jednocześnie równe zeru.

Należy zauważyć, że każdy niezerowy element a 1 można uznać za układ liniowo niezależny, ponieważ zachodzi równość l 1 = 0 możliwe tylko wtedy, gdy l= 0.

Twierdzenie 3.3.1. Warunek konieczny i wystarczający zależności liniowej a 1 , a 2 ,…, a N jest możliwością rozłożenia przynajmniej jednego z tych elementów na resztę.

Dowód. Konieczność. Niech elementy a 1 , a 2 ,…, a N liniowo zależne. To znaczy, że = 0 i co najmniej jedną z liczb l 1, l 2,…, l n różny od zera. Niech będzie pewność l 1 ¹ 0. Następnie

tj. element a 1 jest rozkładany na elementy a 2 , a 3 , …, a N.

Adekwatność. Niech element a 1 zostanie rozłożony na elementy a 2 , a 3 , …, a N, tj. 1 = . Następnie = 0 , zatem istnieje nietrywialna kombinacja liniowa wektorów a 1 , a 2 ,…, a N, równy 0 , więc są liniowo zależne .

Twierdzenie 3.3.2. Jeżeli przynajmniej jeden z elementów a 1 , a 2 ,…, a N zero, to wektory te są liniowo zależne.

Dowód . Pozwalać A N= 0 , wtedy = 0 , co oznacza liniową zależność tych elementów.

Twierdzenie 3.3.3. Jeśli spośród n wektorów dowolne p (str< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dowód. Niech dla określoności elementy a 1 , a 2 ,…, a P liniowo zależne. Oznacza to, że istnieje nietrywialna kombinacja liniowa taka, że = 0 . Podana równość zostanie zachowana, jeśli dodamy element do obu jego części. Następnie + = 0 i co najmniej jedną z liczb l 1, l 2,…, lp różny od zera. Zatem wektory a 1 , a 2 ,…, a N są liniowo zależne.

Wniosek 3.3.1. Jeżeli n elementów jest liniowo niezależnych, to dowolne k z nich jest liniowo niezależne (k< n).

Twierdzenie 3.3.4. Jeśli wektory a 1 , a 2 ,…, a N- 1 są liniowo niezależne, oraz elementy a 1 , a 2 ,…, a N- 1, za n są liniowo zależne, to wektor A n można rozwinąć na wektory a 1 , a 2 ,…, a N- 1 .

Dowód. Ponieważ według warunku a 1 , a 2 ,…, A N- 1, za N są liniowo zależne, to istnieje ich nietrywialna kombinacja liniowa = 0 , oraz (w przeciwnym razie wektory a 1 , a 2 ,…, a okażą się liniowo zależne N- 1). Ale potem wektor

,

co było do okazania

Nazywa się system wektorowy liniowo zależne, jeśli istnieją liczby, spośród których co najmniej jedna jest różna od zera, tak że równość https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" szerokość="57" wysokość="24 src= " >.

Jeżeli równość ta jest spełniona tylko w przypadku, gdy wszystkie , to wywoływany jest układ wektorów liniowo niezależny.

Twierdzenie. System wektorowy będzie liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pozostałych.

Przykład 1. Wielomian jest liniową kombinacją wielomianów https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" szerokość="88 wysokość=24" wysokość="24">. Wielomiany stanowią układ liniowo niezależny, ponieważ wielomian https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" szerokość="129" wysokość="24">.

Przykład 2. System macierzowy, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" szerokość="51" wysokość="48 src="> jest liniowo niezależny, ponieważ kombinacja liniowa jest równa macierz zerowa tylko w przypadku, gdy https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" szerokość="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" szerokość="40" wysokość="21"> zależna liniowo.

Rozwiązanie.

Zróbmy kombinację liniową tych wektorów https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" szerokość="97" wysokość="24">=0..gif" szerokość="360" wysokość=" 22">.

Przyrównując te same współrzędne równych wektorów, otrzymujemy https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" szerokość="289" wysokość="69">

Wreszcie dostajemy

I

Układ ma unikalne rozwiązanie trywialne, więc kombinacja liniowa tych wektorów jest równa zero tylko w przypadku, gdy wszystkie współczynniki są równe zero. Dlatego ten układ wektorów jest liniowo niezależny.

Przykład 4. Wektory są liniowo niezależne. Jakie będą systemy wektorowe?

A).;

B).?

Rozwiązanie.

A). Zróbmy kombinację liniową i przyrównajmy ją do zera

Korzystając z własności operacji na wektorach w przestrzeni liniowej, przepisujemy ostatnią równość w postaci

Ponieważ wektory są liniowo niezależne, współczynniki at muszą być równe zeru, tj..gif" szerokość="12" wysokość="23 src=">

Powstały układ równań ma unikalne, trywialne rozwiązanie .

Od równości (*) wykonywany tylko wtedy, gdy https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" szerokość="115 wysokość=20" wysokość="20"> – liniowo niezależny;

B). Zróbmy równość https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" szerokość="265" wysokość="24 src="> (**)

Stosując podobne rozumowanie, otrzymujemy

Rozwiązując układ równań metodą Gaussa, otrzymujemy

Lub

Ten ostatni system ma nieskończoną liczbę rozwiązań https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" szerokość="149" wysokość="24 src=">. Zatem istnieje nie- zerowy zbiór współczynników, dla którego zachodzi równość (**) . Dlatego układ wektorów – liniowo zależny.

Przykład 5 Układ wektorów jest liniowo niezależny, a układ wektorów jest liniowo zależny..gif" szerokość="80" wysokość="24">.gif" szerokość="149 wysokość=24" wysokość="24"> (***)

W równości (***) . Rzeczywiście, w , system byłby liniowo zależny.

Z relacji (***) dostajemy Lub Oznaczmy .

Dostajemy

Problemy do samodzielnego rozwiązania (w klasie)

1. Układ zawierający wektor zerowy jest liniowo zależny.

2. Układ składający się z jednego wektora A, jest liniowo zależna wtedy i tylko wtedy, gdy, a=0.

3. Układ składający się z dwóch wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są proporcjonalne (to znaczy jeden z nich otrzymuje się z drugiego przez pomnożenie przez liczbę).

4. Jeśli dodasz wektor do układu liniowo zależnego, otrzymasz układ liniowo zależny.

5. Jeśli wektor zostanie usunięty z układu liniowo niezależnego, wówczas powstały układ wektorów będzie liniowo niezależny.

6. Jeśli systemu S jest liniowo niezależny, ale staje się liniowo zależny po dodaniu wektora B, następnie wektor B wyrażone liniowo poprzez wektory systemowe S.

C). Układ macierzy , , w przestrzeni macierzy drugiego rzędu.

10. Niech układ wektorów A,B,C przestrzeń wektorowa jest liniowo niezależna. Udowodnić liniową niezależność następujących układów wektorowych:

A).+b, b, c.

B).+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" szerokość="15" wysokość="19">– dowolna liczba

C).+b, a+c, b+c.

11. Pozwalać A,B,C– trzy wektory na płaszczyźnie, z których można utworzyć trójkąt. Czy te wektory będą liniowo zależne?

12. Podano dwa wektory a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Znajdź dwa kolejne czterowymiarowe wektory a3 ia4 tak, że system a1,a2,a3,a4 był liniowo niezależny .

A 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, A 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, A 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Rozwiązanie. Szukamy ogólnego rozwiązania układu równań

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

Metoda Gaussa. Aby to zrobić, zapisujemy ten jednorodny układ we współrzędnych:

Matryca systemu

Dozwolony system ma postać: (r A = 2, N= 3). System jest kooperatywny i niepewny. Jego rozwiązanie ogólne ( X 2 – zmienna wolna): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Na przykład obecność niezerowego rozwiązania konkretnego wskazuje, że wektory A 1 , A 2 , A 3 liniowo zależne.

Przykład 2.

Dowiedz się, czy dany układ wektorów jest liniowo zależny czy liniowo niezależny:

1. A 1 = { -20, -15, - 4 }, A 2 = { –7, -2, -4 }, A 3 = { 3, –1, –2 }.

Rozwiązanie. Rozważmy jednorodny układ równań A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

lub w formie rozwiniętej (według współrzędnych)

System jest jednorodny. Jeśli nie jest zdegenerowany, to ma unikalne rozwiązanie. W przypadku układu jednorodnego istnieje rozwiązanie zerowe (trywialne). Oznacza to, że w tym przypadku układ wektorów jest niezależny. Jeśli układ jest zdegenerowany, to ma rozwiązania niezerowe i dlatego jest zależny.

Sprawdzamy system pod kątem degeneracji:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Układ jest niezdegenerowany, a co za tym idzie i wektory A 1 , A 2 , A 3 liniowo niezależny.

Zadania. Dowiedz się, czy dany układ wektorów jest liniowo zależny czy liniowo niezależny:

1. A 1 = { -4, 2, 8 }, A 2 = { 14, -7, -28 }.

2. A 1 = { 2, -1, 3, 5 }, A 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. A 1 = { -7, 5, 19 }, A 2 = { -5, 7 , -7 }, A 3 = { -8, 7, 14 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

5. A 1 = { 1, 8 , -1 }, A 2 = { -2, 3, 3 }, A 3 = { 4, -11, 9 }.

6. A 1 = { 1, 2 , 3 }, A 2 = { 2, -1 , 1 }, A 3 = { 1, 3, 4 }.

7. A 1 = {0, 1, 1 , 0}, A 2 = {1, 1 , 3, 1}, A 3 = {1, 3, 5, 1}, A 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. A 1 = {-1, 7, 1 , -2}, A 2 = {2, 3 , 2, 1}, A 3 = {4, 4, 4, -3}, A 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Udowodnić, że układ wektorów będzie liniowo zależny, jeżeli zawiera:

a) dwa równe wektory;

b) dwa wektory proporcjonalne.

Zależność liniowa i liniowa niezależność wektorów.
Baza wektorów. Afiniczny układ współrzędnych

Na widowni stoi wózek z czekoladkami, a każdy dzisiejszy gość otrzyma słodką parę – geometrię analityczną z algebrą liniową. W tym artykule poruszymy jednocześnie dwa działy wyższej matematyki i zobaczymy, jak współistnieją one w jednym opakowaniu. Zrób sobie przerwę, zjedz Twix! ... cholera, co za bzdury. Chociaż ok, nie zdobędę punktów, ostatecznie powinieneś mieć pozytywne nastawienie do nauki.

Liniowa zależność wektorów, niezależność wektora liniowego, baza wektorów i inne terminy mają nie tylko interpretację geometryczną, ale przede wszystkim znaczenie algebraiczne. Samo pojęcie „wektora” z punktu widzenia algebry liniowej nie zawsze jest „zwykłym” wektorem, który możemy przedstawić na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Dowodów nie trzeba szukać daleko, spróbuj narysować wektor przestrzeni pięciowymiarowej . Albo wektor pogodowy, po który właśnie pojechałem do Gismeteo: odpowiednio temperatura i ciśnienie atmosferyczne. Przykład jest oczywiście niepoprawny z punktu widzenia właściwości przestrzeni wektorowej, niemniej jednak nikt nie zabrania sformalizowania tych parametrów jako wektora. Oddech jesieni...

Nie, nie będę Was zanudzać teorią, liniowymi przestrzeniami wektorowymi, zadaniem jest to zrobić zrozumieć definicje i twierdzenia. Nowe terminy (zależność liniowa, niezależność, kombinacja liniowa, baza itp.) mają zastosowanie do wszystkich wektorów z algebraicznego punktu widzenia, ale zostaną podane przykłady geometryczne. Dzięki temu wszystko jest proste, dostępne i przejrzyste. Oprócz problemów geometrii analitycznej rozważymy także niektóre typowe problemy algebry. Aby opanować materiał, wskazane jest zapoznanie się z lekcjami Wektory dla manekinów I Jak obliczyć wyznacznik?

Liniowa zależność i niezależność wektorów płaskich.
Podstawa płaska i afiniczny układ współrzędnych

Rozważmy płaszczyznę biurka komputerowego (tylko stół, stolik nocny, podłoga, sufit, co tylko chcesz). Zadanie będzie składać się z następujących działań:

1) Wybierz podstawę płaszczyzny. Z grubsza rzecz biorąc, blat ma długość i szerokość, więc intuicyjnie wiadomo, że do zbudowania podstawy potrzebne będą dwa wektory. Jeden wektor to zdecydowanie za mało, trzy wektory to za dużo.

2) Na podstawie wybranej podstawy ustawić układ współrzędnych(siatka współrzędnych), aby przypisać współrzędne wszystkim obiektom na stole.

Nie zdziw się, na początku wyjaśnienia będą na palcach. Co więcej, na twoim. Proszę umieścić lewy palec wskazujący na krawędzi blatu, tak aby patrzył na monitor. To będzie wektor. Teraz miejsce prawy mały palec na krawędzi stołu w ten sam sposób - tak, aby był skierowany w stronę ekranu monitora. To będzie wektor. Uśmiechnij się, wyglądasz świetnie! Co możemy powiedzieć o wektorach? Wektory danych współliniowy, co znaczy liniowy wyrażane przez siebie:
, cóż, lub odwrotnie: , gdzie jest pewna liczba różna od zera.

Możesz zobaczyć zdjęcie tego działania w klasie. Wektory dla manekinów, gdzie wyjaśniłem zasadę mnożenia wektora przez liczbę.

Czy Twoje palce postawią podstawę na płaszczyźnie biurka komputerowego? Oczywiście, że nie. Wektory współliniowe przemieszczają się tam i z powrotem sam kierunku, a płaszczyzna ma długość i szerokość.

Takie wektory nazywane są liniowo zależne.

Odniesienie: Słowa „liniowy”, „liniowy” oznaczają fakt, że w równaniach i wyrażeniach matematycznych nie ma kwadratów, sześcianów, innych potęg, logarytmów, sinusów itp. Istnieją tylko wyrażenia i zależności liniowe (1. stopnia).

Dwa wektory płaskie liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współliniowe.

Skrzyżuj palce na stole tak, aby powstał między nimi kąt inny niż 0 lub 180 stopni. Dwa wektory płaskieliniowy Nie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są współliniowe. Tak więc uzyskano podstawę. Nie trzeba się wstydzić, że podstawa okazała się „przekrzywiona” nieprostopadłymi wektorami o różnych długościach. Już wkrótce przekonamy się, że do jego konstrukcji odpowiedni jest nie tylko kąt 90 stopni i nie tylko wektory jednostkowe o jednakowej długości

Każdy wektor samolotu jedyny sposób rozwija się według podstawy:
, gdzie są liczbami rzeczywistymi. Numery są nazywane współrzędne wektora na tej podstawie.

Mówi się też, że wektorprzedstawiony jako kombinacja liniowa wektory bazowe. Oznacza to, że wyrażenie nazywa się rozkład wektorowywedług podstawy Lub kombinacja liniowa wektory bazowe.

Na przykład możemy powiedzieć, że wektor jest rozłożony wzdłuż ortonormalnej podstawy płaszczyzny lub możemy powiedzieć, że jest on reprezentowany jako liniowa kombinacja wektorów.

Sformułujmy definicja podstawy formalnie: Podstawa samolotu nazywa się parą liniowo niezależnych (niewspółliniowych) wektorów, , w której każdy wektor płaski jest liniową kombinacją wektorów bazowych.

Istotnym punktem definicji jest fakt, że wektory są brane w określonej kolejności. Bazy – to dwie zupełnie różne bazy! Jak mówią, nie można zastąpić małego palca lewej ręki małym palcem prawej ręki.

Ustaliliśmy podstawę, ale nie wystarczy ustawić siatkę współrzędnych i przypisać współrzędne każdemu elementowi na biurku komputera. Dlaczego to nie wystarczy? Wektory są swobodne i wędrują po całej płaszczyźnie. Jak więc przypisać współrzędne do tych małych brudnych miejsc na stole pozostałych po szalonym weekendzie? Potrzebny jest punkt wyjścia. A taki punkt orientacyjny to punkt znany wszystkim - pochodzenie współrzędnych. Rozumiemy układ współrzędnych:

Zacznę od systemu „szkolnego”. Już na lekcji wprowadzającej Wektory dla manekinów Podkreśliłem pewne różnice pomiędzy prostokątnym układem współrzędnych a bazą ortonormalną. Oto standardowe zdjęcie:

Kiedy o tym mówią prostokątny układ współrzędnych, to najczęściej oznaczają początek, osie współrzędnych i skalę wzdłuż osi. Spróbuj wpisać w wyszukiwarkę „prostokątny układ współrzędnych”, a zobaczysz, że wiele źródeł podpowie Ci o osiach współrzędnych znanych z V-VI klasy i o tym, jak nanosić punkty na płaszczyznę.

Z drugiej strony wydaje się, że prostokątny układ współrzędnych można całkowicie zdefiniować w oparciu o bazę ortonormalną. I to prawie prawda. Sformułowanie jest następujące:

pochodzenie, I ortonormalny podstawa jest ustalona Kartezjański układ współrzędnych płaszczyzny prostokątnej . Oznacza to prostokątny układ współrzędnych zdecydowanie jest zdefiniowany przez pojedynczy punkt i dwa jednostkowe wektory ortogonalne. Dlatego widzisz rysunek, który podałem powyżej - w zadaniach geometrycznych często (choć nie zawsze) rysowane są zarówno wektory, jak i osie współrzędnych.

Myślę, że każdy to rozumie, używając punktu (początku) i podstawy ortonormalnej DOWOLNY PUNKT na płaszczyźnie i DOWOLNY WEKTOR na płaszczyźnie można przypisać współrzędne. Mówiąc obrazowo, „wszystko na płaszczyźnie można policzyć”.

Czy wektory współrzędnych muszą być jednostkowe? Nie, mogą mieć dowolną niezerową długość. Rozważmy punkt i dwa wektory ortogonalne o dowolnej niezerowej długości:

Taka podstawa nazywa się prostokątny. Początek współrzędnych z wektorami jest określony przez siatkę współrzędnych, a każdy punkt na płaszczyźnie, dowolny wektor ma swoje współrzędne w danej bazie. Na przykład lub. Oczywistą niedogodnością jest to, że wektory współrzędnych ogólnie mają różne długości inne niż jedność. Jeśli długości są równe jedności, wówczas uzyskuje się zwykłą podstawę ortonormalną.

! Notatka : w bazie ortogonalnej, a także poniżej w podstawach afinicznych płaszczyzny i przestrzeni, uwzględniane są jednostki wzdłuż osi WARUNKOWY. Na przykład jedna jednostka na osi x zawiera 4 cm, a jedna jednostka na osi rzędnych zawiera 2 cm.Ta informacja wystarczy, aby w razie potrzeby zamienić „niestandardowe” współrzędne na „nasze zwykłe centymetry”.

Drugie pytanie, na które właściwie już udzielono odpowiedzi, brzmi: czy kąt między wektorami bazowymi musi wynosić 90 stopni? NIE! Jak mówi definicja, wektory bazowe muszą być tylko niewspółliniowe. Odpowiednio kąt może wynosić dowolna wartość z wyjątkiem 0 i 180 stopni.

Punkt na płaszczyźnie tzw pochodzenie, I niewspółliniowy wektory, , ustawić układ współrzędnych płaszczyzny afinicznej :

Czasami nazywany jest taki układ współrzędnych skośny system. Jako przykład, rysunek pokazuje punkty i wektory:

Jak rozumiesz, afiniczny układ współrzędnych jest jeszcze mniej wygodny, nie działają w nim wzory na długości wektorów i odcinków, które omówiliśmy w drugiej części lekcji Wektory dla manekinów, wiele pysznych receptur związanych Iloczyn skalarny wektorów. Ale zasady dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, wzory na dzielenie segmentu w tej relacji, a także niektóre inne rodzaje problemów, które wkrótce rozważymy.

Wniosek jest taki, że najwygodniejszym szczególnym przypadkiem afinicznego układu współrzędnych jest kartezjański układ prostokątny. Dlatego najczęściej musisz ją widywać, moja droga. ...Jednak wszystko w tym życiu jest względne - jest wiele sytuacji, w których kąt skośny (lub jakiś inny, np. polarny) system współrzędnych. A humanoidom mogą spodobać się takie systemy =)

Przejdźmy do części praktycznej. Wszystkie problemy z tej lekcji obowiązują zarówno dla prostokątnego układu współrzędnych, jak i dla ogólnego przypadku afinicznego. Nie ma tu nic skomplikowanego, cały materiał jest dostępny nawet dla ucznia.

Jak określić współliniowość wektorów płaskich?

Typowa rzecz. Aby uzyskać dwa wektory płaskie były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne Zasadniczo jest to szczegółowy opis oczywistej relacji współrzędna po współrzędnej.

Przykład 1

a) Sprawdź, czy wektory są współliniowe .
b) Czy wektory tworzą bazę? ?

Rozwiązanie:
a) Sprawdźmy, czy istnieje dla wektorów współczynnik proporcjonalności, taki, że równości są spełnione:

Na pewno opowiem Wam o „fantastycznej” wersji stosowania tej zasady, która w praktyce sprawdza się całkiem nieźle. Chodzi o to, żeby od razu uzupełnić proporcję i sprawdzić, czy się zgadza:

Zróbmy proporcję ze stosunków odpowiednich współrzędnych wektorów:

Skróćmy:
, zatem odpowiednie współrzędne są proporcjonalne, zatem

Zależność można odwrócić; jest to opcja równoważna:

Do autotestu można wykorzystać fakt, że wektory współliniowe wyrażają się liniowo względem siebie. W tym przypadku zachodzą równości . Ich zasadność można łatwo zweryfikować poprzez elementarne operacje na wektorach:

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Badamy wektory pod kątem kolinearności . Stwórzmy system:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, z drugiego równania wynika, że ​​, co oznacza system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem odpowiednie współrzędne wektorów nie są proporcjonalne.

Wniosek: wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Uproszczona wersja rozwiązania wygląda następująco:

Zróbmy proporcję z odpowiednich współrzędnych wektorów :
, co oznacza, że ​​wektory te są liniowo niezależne i stanowią bazę.

Zwykle opcja ta nie jest odrzucana przez recenzentów, jednak problem pojawia się w przypadkach, gdy niektóre współrzędne są równe zeru. Lubię to: . Lub tak: . Lub tak: . Jak tu zastosować proporcję? (w rzeczywistości nie można dzielić przez zero). Z tego powodu uproszczone rozwiązanie nazwałem „fantastycznym”.

Odpowiedź: a), b) forma.

Mały kreatywny przykład własnego rozwiązania:

Przykład 2

Przy jakiej wartości parametru znajdują się wektory czy będą współliniowe?

W przykładowym rozwiązaniu parametr znajduje się poprzez proporcję.

Istnieje elegancki algebraiczny sposób sprawdzenia wektorów pod kątem kolinearności.Usystematyzujmy naszą wiedzę i dodajmy ją jako piąty punkt:

Dla dwóch wektorów płaskich poniższe stwierdzenia są równoważne:

2) wektory stanowią bazę;
3) wektory nie są współliniowe;

+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest niezerowy.

Odpowiednio, poniższe przeciwstawne stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo zależne;
2) wektory nie stanowią bazy;
3) wektory są współliniowe;
4) wektory mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru.

Naprawdę mam nadzieję, że już rozumiesz wszystkie terminy i stwierdzenia, z którymi się spotkałeś.

Przyjrzyjmy się bliżej nowemu, piątemu punktowi: dwa wektory płaskie są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru:. Aby zastosować tę funkcję, oczywiście musisz to zrobić znaleźć determinanty.

Zdecydujmy Przykład 1 w drugi sposób:

a) Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów :
, co oznacza, że ​​wektory te są współliniowe.

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych :
, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne i stanowią bazę.

Odpowiedź: a), b) forma.

Wygląda znacznie bardziej kompaktowo i ładniej niż rozwiązanie o proporcjach.

Za pomocą rozważanego materiału można ustalić nie tylko współliniowość wektorów, ale także udowodnić równoległość odcinków i linii prostych. Rozważmy kilka problemów z określonymi kształtami geometrycznymi.

Przykład 3

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnić, że czworokąt jest równoległobokiem.

Dowód: Nie ma potrzeby tworzenia rysunku w zadaniu, ponieważ rozwiązanie będzie czysto analityczne. Przypomnijmy definicję równoległoboku:
Równoległobok Nazywa się czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe parami.

Należy zatem udowodnić:
1) równoległość przeciwnych stron i;
2) równoległość przeciwnych stron i.

Udowodnimy:

1) Znajdź wektory:

2) Znajdź wektory:

Wynikiem jest ten sam wektor („według szkoły” – wektory równe). Kolinearność jest dość oczywista, ale lepiej sformalizować decyzję jasno, z układem. Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych:
, co oznacza, że ​​wektory te są współliniowe, oraz .

Wniosek: Przeciwległe boki czworokąta są równoległe parami, co oznacza, że ​​z definicji jest to równoległobok. CO BYŁO DO OKAZANIA.

Więcej dobrych i różnych liczb:

Przykład 4

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnić, że czworokąt jest trapezem.

Dla bardziej rygorystycznego sformułowania dowodu lepiej oczywiście uzyskać definicję trapezu, ale wystarczy po prostu przypomnieć sobie, jak on wygląda.

To zadanie, które możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie na końcu lekcji.

A teraz czas powoli przenieść się z samolotu w kosmos:

Jak określić kolinearność wektorów przestrzennych?

Zasada jest bardzo podobna. Aby dwa wektory przestrzenne były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne.

Przykład 5

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:

A) ;
B)
V)

Rozwiązanie:
a) Sprawdźmy, czy istnieje współczynnik proporcjonalności dla odpowiednich współrzędnych wektorów:

Układ nie ma rozwiązania, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

„Uproszczenie” jest sformalizowane poprzez sprawdzenie proporcji. W tym przypadku:
– odpowiadające im współrzędne nie są proporcjonalne, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

Odpowiedź: wektory nie są współliniowe.

b-c) Są to punkty do samodzielnej decyzji. Wypróbuj na dwa sposoby.

Istnieje metoda sprawdzania kolinearności wektorów przestrzennych poprzez wyznacznik trzeciego rzędu; metoda ta została omówiona w artykule Iloczyn wektorowy wektorów.

Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, rozważane narzędzia można wykorzystać do badania równoległości odcinków przestrzennych i prostych.

Witamy w drugiej części:

Liniowa zależność i niezależność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej.
Baza przestrzenna i afiniczny układ współrzędnych

Wiele wzorów, które sprawdziliśmy w samolocie, będzie dotyczyć przestrzeni kosmicznej. Starałem się zminimalizować notatki z teorii, ponieważ lwia część informacji została już przeżuta. Zalecam jednak uważne przeczytanie części wprowadzającej, gdyż pojawią się nowe terminy i koncepcje.

Teraz zamiast płaszczyzny biurka komputerowego eksplorujemy trójwymiarową przestrzeń. Najpierw stwórzmy jego podstawę. Ktoś jest teraz w pomieszczeniu, ktoś na zewnątrz, ale w każdym razie nie możemy uciec od trzech wymiarów: szerokości, długości i wysokości. Dlatego do skonstruowania podstawy potrzebne będą trzy wektory przestrzenne. Jeden lub dwa wektory nie wystarczą, czwarty jest zbędny.

I znowu rozgrzewamy się na palcach. Proszę podnieść rękę do góry i rozłożyć ją w różnych kierunkach kciuk, palec wskazujący i środkowy. Będą to wektory, patrzą w różnych kierunkach, mają różne długości i mają między sobą różne kąty. Gratulacje, podstawa trójwymiarowej przestrzeni jest gotowa! Swoją drogą, nie ma potrzeby demonstrowania tego nauczycielom, bez względu na to, jak mocno kręcisz palcami, ale od definicji nie ma ucieczki =)

Następnie zadajmy sobie ważne pytanie: czy dowolne trzy wektory tworzą podstawę przestrzeni trójwymiarowej? Naciśnij mocno trzema palcami na blat biurka komputera. Co się stało? Trzy wektory znajdują się w tej samej płaszczyźnie i, z grubsza rzecz biorąc, straciliśmy jeden z wymiarów - wysokość. Takie wektory są współpłaszczyznowy i jest całkiem oczywiste, że podstawa przestrzeni trójwymiarowej nie jest tworzona.

Należy zauważyć, że wektory współpłaszczyznowe nie muszą leżeć w tej samej płaszczyźnie, mogą leżeć w płaszczyznach równoległych (tylko nie rób tego palcami, zrobił to tylko Salvador Dali =)).

Definicja: wektory są nazywane współpłaszczyznowy, jeśli istnieje płaszczyzna, do której są one równoległe. Logiczne jest tutaj dodanie, że jeśli taka płaszczyzna nie istnieje, to wektory nie będą współpłaszczyznowe.

Trzy wektory współpłaszczyznowe są zawsze liniowo zależne, to znaczy, że są wyrażane liniowo przez siebie. Dla uproszczenia wyobraźmy sobie jeszcze raz, że leżą one w tej samej płaszczyźnie. Po pierwsze, wektory są nie tylko współpłaszczyznowe, mogą być również współliniowe, wtedy dowolny wektor można wyrazić poprzez dowolny wektor. W drugim przypadku, jeśli np. wektory nie są współliniowe, to trzeci wektor wyraża się przez nie w unikalny sposób: (i dlaczego łatwo zgadnąć z materiałów w poprzedniej sekcji).

Odwrotna sytuacja jest również prawdą: trzy niewspółpłaszczyznowe wektory są zawsze liniowo niezależne to znaczy nie wyrażają się one poprzez siebie nawzajem. I oczywiście tylko takie wektory mogą stanowić podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja: Podstawa przestrzeni trójwymiarowej nazywa się potrójną liniowo niezależnymi (niewspółpłaszczyznowymi) wektorami, podjęte w określonej kolejności i dowolny wektor przestrzeni jedyny sposób jest rozkładany na zadaną bazę, gdzie są współrzędne wektora w tej bazie

Przypomnę, że możemy również powiedzieć, że wektor jest przedstawiony w postaci kombinacja liniowa wektory bazowe.

Pojęcie układu współrzędnych wprowadza się dokładnie tak samo, jak w przypadku płaszczyzny, wystarczy jeden punkt i dowolne trzy liniowo niezależne wektory:

pochodzenie, I niewspółpłaszczyznowe wektory, podjęte w określonej kolejności, ustawić afiniczny układ współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej :

Oczywiście siatka współrzędnych jest „ukośna” i niewygodna, ale mimo to skonstruowany układ współrzędnych pozwala nam zdecydowanie określić współrzędne dowolnego wektora i współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni. Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, niektóre formuły, o których już wspomniałem, nie będą działać w afinicznym układzie współrzędnych przestrzeni.

Najbardziej znanym i wygodnym przypadkiem specjalnym afinicznego układu współrzędnych, jak wszyscy się domyślają, jest prostokątny układ współrzędnych przestrzeni:

Punkt w przestrzeni zwany pochodzenie, I ortonormalny podstawa jest ustalona Kartezjański prostokątny układ współrzędnych przestrzeni . Znajomy obrazek:

Zanim przejdziemy do zadań praktycznych, ponownie usystematyzujmy informacje:

Dla trzech wektorów przestrzennych poniższe stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo niezależne;
2) wektory stanowią bazę;
3) wektory nie są współpłaszczyznowe;
4) wektory nie mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest różny od zera.

Myślę, że przeciwne stwierdzenia są zrozumiałe.

Liniową zależność/niezależność wektorów przestrzennych tradycyjnie sprawdza się za pomocą wyznacznika (punkt 5). Pozostałe zadania praktyczne będą miały wyraźny charakter algebraiczny. Czas odłożyć kij do geometrii i chwycić kij baseballowy algebry liniowej:

Trzy wektory przestrzeni są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru: .

Chciałbym zwrócić uwagę na mały niuans techniczny: współrzędne wektorów można zapisać nie tylko w kolumnach, ale także w wierszach (wartość wyznacznika nie zmieni się z tego powodu - patrz właściwości wyznaczników). Ale jest znacznie lepszy w kolumnach, ponieważ jest bardziej korzystny w rozwiązywaniu niektórych praktycznych problemów.

Tym czytelnikom, którzy trochę zapomnieli o metodach obliczania wyznaczników, a może w ogóle ich nie rozumieją, polecam jedną z moich najstarszych lekcji: Jak obliczyć wyznacznik?

Przykład 6

Sprawdź, czy następujące wektory stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej:

Rozwiązanie: Tak naprawdę całe rozwiązanie sprowadza się do obliczenia wyznacznika.

a) Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych (wyznacznik ujawnia się w pierwszym wierszu):

, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne (nie współpłaszczyznowe) i stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Odpowiedź: te wektory tworzą bazę

b) Jest to punkt do samodzielnej decyzji. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Istnieją również zadania twórcze:

Przykład 7

Przy jakiej wartości parametru wektory będą współpłaszczyznowe?

Rozwiązanie: Wektory są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru:

Zasadniczo musisz rozwiązać równanie z wyznacznikiem. Spadamy na zera niczym latawce na skoczkach - najlepiej otworzyć wyznacznik w drugiej linii i od razu pozbyć się minusów:

Dokonujemy dalszych uproszczeń i sprowadzamy sprawę do najprostszego równania liniowego:

Odpowiedź: Na

Tutaj łatwo to sprawdzić, w tym celu należy podstawić uzyskaną wartość do pierwotnego wyznacznika i upewnić się, że , otwierając je ponownie.

Podsumowując, rozważymy inny typowy problem, który ma charakter bardziej algebraiczny i jest tradycyjnie uwzględniany w kursie algebry liniowej. Jest to tak powszechne, że zasługuje na własny temat:

Udowodnić, że 3 wektory stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej
i znajdź na tej podstawie współrzędne czwartego wektora

Przykład 8

Podano wektory. Pokaż, że wektory tworzą bazę w przestrzeni trójwymiarowej i znajdź na tej podstawie współrzędne wektora.

Rozwiązanie: Najpierw zajmijmy się warunkiem. Warunkowo podano cztery wektory i, jak widać, mają one już w jakiejś bazie współrzędne. Nie interesuje nas, jaka jest ta podstawa. Interesująca jest następująca rzecz: trzy wektory mogą stanowić nową bazę. A pierwszy etap całkowicie pokrywa się z rozwiązaniem z Przykładu 6, należy sprawdzić, czy wektory są rzeczywiście liniowo niezależne:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych:

, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

! Ważny : współrzędne wektora Koniecznie zanotować w kolumny wyznacznik, a nie w łańcuchach. W przeciwnym razie w dalszym algorytmie rozwiązania wystąpi zamieszanie.

Zadanie 1. Sprawdź, czy układ wektorów jest liniowo niezależny. Układ wektorów będzie określony przez macierz układu, której kolumny składają się ze współrzędnych wektorów.

.

Rozwiązanie. Niech kombinacja liniowa równy zeru. Po zapisaniu tej równości we współrzędnych otrzymujemy następujący układ równań:

.

Taki układ równań nazywa się trójkątnym. Ona ma tylko jedno rozwiązanie . Dlatego wektory liniowo niezależny.

Zadanie 2. Sprawdź, czy układ wektorów jest liniowo niezależny.

.

Rozwiązanie. Wektory są liniowo niezależne (patrz zadanie 1). Udowodnijmy, że wektor jest liniową kombinacją wektorów . Współczynniki rozszerzalności wektora wyznaczane są z układu równań

.

System ten, podobnie jak trójkątny, posiada unikalne rozwiązanie.

Dlatego układ wektorów liniowo zależne.

Komentarz. Nazywa się macierze tego samego typu co w Zadaniu 1 trójkątny , a w zadaniu 2 – schodkowy trójkątny . Zagadnienie liniowej zależności układu wektorów można łatwo rozwiązać, jeśli macierz złożona ze współrzędnych tych wektorów jest trójkątem schodkowym. Jeśli macierz nie ma specjalnej formy, to użyj konwersje ciągów elementarnych , zachowując liniowe zależności między kolumnami, można je sprowadzić do postaci trójkąta schodkowego.

Podstawowe konwersje ciągów macierze (EPS) nazywane są następującymi operacjami na macierzy:

1) przegrupowanie linii;

2) pomnożenie ciągu przez liczbę niezerową;

3) dodanie kolejnego ciągu do ciągu pomnożonego przez dowolną liczbę.

Zadanie 3. Znajdź maksymalny liniowo niezależny podsystem i oblicz rząd układu wektorów

.

Rozwiązanie. Zredukujmy macierz układu za pomocą EPS do postaci trójkąta schodkowego. Aby wyjaśnić procedurę, oznaczamy linię z numerem macierzy, która ma zostać przekształcona przez symbol . Kolumna za strzałką wskazuje działania na wierszach konwertowanej macierzy, które należy wykonać, aby otrzymać wiersze nowej macierzy.

.

Oczywiście dwie pierwsze kolumny wynikowej macierzy są liniowo niezależne, trzecia kolumna jest ich liniową kombinacją, a czwarta nie zależy od pierwszych dwóch. Wektory nazywane są podstawowymi. Tworzą maksymalnie liniowo niezależny podsystem systemu , a ranga systemu wynosi trzy.

Podstawa, współrzędne

Zadanie 4. Znajdź bazę i współrzędne wektorów z tej bazy na zbiorze wektorów geometrycznych, których współrzędne spełniają warunek .

Rozwiązanie. Zbiór jest płaszczyzną przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Dowolna baza na płaszczyźnie składa się z dwóch niewspółliniowych wektorów. Współrzędne wektorów w wybranej bazie wyznacza się rozwiązując odpowiedni układ równań liniowych.

Istnieje inny sposób rozwiązania tego problemu, polegający na znalezieniu podstawy za pomocą współrzędnych.

Współrzędne przestrzenie nie są współrzędnymi na płaszczyźnie, ponieważ są ze sobą powiązane relacją , to znaczy, że nie są niezależne. Zmienne niezależne i (nazywane są wolnymi) jednoznacznie definiują wektor na płaszczyźnie i dlatego można je wybrać jako współrzędne w . Następnie podstawa składa się z wektorów leżących w zbiorach wolnych zmiennych i odpowiadających im I , to jest .

Zadanie 5. Znajdź bazę i współrzędne wektorów na tej podstawie na zbiorze wszystkich wektorów w przestrzeni, których współrzędne nieparzyste są sobie równe.

Rozwiązanie. Wybierzmy, podobnie jak w poprzednim zadaniu, współrzędne w przestrzeni.

Ponieważ , a następnie wolne zmienne jednoznacznie określają wektor z i dlatego są współrzędnymi. Odpowiednia baza składa się z wektorów.

Zadanie 6. Znajdź bazę i współrzędne wektorów na tej podstawie na zbiorze wszystkich macierzy postaci , Gdzie – liczby dowolne.

Rozwiązanie. Każda macierz jest jednoznacznie reprezentowana w postaci:

Relacja ta jest rozwinięciem wektora względem podstawy
ze współrzędnymi .

Zadanie 7. Znajdź wymiar i podstawę liniowego kadłuba układu wektorów

.

Rozwiązanie. Korzystając z EPS, przekształcamy macierz ze współrzędnych wektorów układu do postaci trójkąta schodkowego.

.

Kolumny ostatnie macierze są liniowo niezależne, a kolumny wyrażane poprzez nie liniowo. Dlatego wektory stanowić podstawę , I .

Komentarz. Podstawa w jest wybrany niejednoznacznie. Na przykład wektory stanowią również podstawę .