Znajdź równanie prostej. Ogólne równanie prostej na płaszczyźnie

Ogólne równanie prostej:

Szczególne przypadki równania ogólnego prostej:

i jeśli C= 0, równanie (2) będzie miało postać

Topór + Przez = 0,

a linia prosta określona przez to równanie przechodzi przez początek, ponieważ współrzędne początku są takie X = 0, y= 0 spełniają to równanie.

b) Jeżeli w ogólnym równaniu prostej (2) B= 0, wówczas równanie przyjmuje postać

Topór + Z= 0 lub .

Równanie nie zawiera zmiennej y, a linia prosta określona przez to równanie jest równoległa do osi Oj.

c) Jeżeli w ogólnym równaniu prostej (2) A= 0, to równanie to przyjmie postać

Przez + Z= 0 lub ;

równanie nie zawiera zmiennej X, a linia prosta, którą wyznacza, jest równoległa do osi Wół.

Należy pamiętać: jeśli prosta jest równoległa do jakiejś osi współrzędnych, to w jej równaniu nie ma wyrazu zawierającego współrzędną o tej samej nazwie co ta oś.

d) Kiedy C= 0 i A= 0 równanie (2) przyjmuje postać Przez= 0 lub y = 0.

To jest równanie osi Wół.

d) Kiedy C= 0 i B= 0 równanie (2) zostanie zapisane w postaci Topór= 0 lub X = 0.

To jest równanie osi Oj.

Względne położenie linii na płaszczyźnie. Kąt między prostymi na płaszczyźnie. Warunek dla prostych równoległych. Warunek prostopadłości prostych.

l 1 l 2 l 1: ZA 1 x + b 1 y + do 1 = 0
l 2: ZA 2 x + b 2 y + do 2 = 0

S 2 S 1 Wektory S 1 i S 2 nazywane są prowadnicami dla swoich linii.

Kąt między liniami prostymi l 1 i l 2 jest określony przez kąt między wektorami kierunkowymi.
Twierdzenie 1: cos kąta pomiędzy l 1 i l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Twierdzenie 2: Aby 2 linie były równe, konieczne i wystarczające jest:

Twierdzenie 3: Aby 2 proste były prostopadłe konieczne i wystarczające jest:

L 1 l 2 ó ZA 1 ZA 2 + B 1 B 2 = 0

Ogólne równanie płaszczyzny i jego przypadki szczególne. Równanie płaszczyzny w odcinkach.

Ogólne równanie płaszczyzny:

Topór + By + Cz + D = 0

Specjalne przypadki:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych

2. С=0 Ax+By+D = 0 – płaszczyzna || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – płaszczyzna || OJ

4. A=0 By+Cz+D = 0 – płaszczyzna || WÓŁ

5. A=0 i D=0 By+Cz = 0 – płaszczyzna przechodzi przez OX

6. B=0 i D=0 Ax+Cz = 0 – samolot przechodzi przez OY

7. C=0 i D=0 Ax+By = 0 – samolot przechodzi przez OZ

Względne położenie płaszczyzn i prostych w przestrzeni:

1. Kąt między prostymi w przestrzeni to kąt między ich wektorami kierunkowymi.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = =

2. Kąt między płaszczyznami wyznacza się poprzez kąt między ich wektorami normalnymi.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. Cosinus kąta między prostą a płaszczyzną można znaleźć poprzez grzech kąta między wektorem kierunkowym linii a wektorem normalnym płaszczyzny.

4. 2 proste || w kosmosie, kiedy ich || prowadnice wektorowe

5. 2 samoloty || kiedy || wektory normalne

6. W podobny sposób wprowadza się pojęcia prostopadłości prostych i płaszczyzn.

Pytanie nr 14

Różne rodzaje równań prostej na płaszczyźnie (równanie prostej w odcinkach, ze współczynnikiem kąta itp.)

Równanie prostej w odcinkach:
Załóżmy, że w ogólnym równaniu prostej:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – prosta przechodzi przez początek.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Równanie prostej z nachyleniem:

Dowolną linię prostą, która nie jest równa osi wzmacniacza operacyjnego (B nie = 0), można zapisać w następnym wierszu. formularz:

k = tanα α – kąt pomiędzy prostą a linią skierowaną dodatnio OX

b – punkt przecięcia prostej z osią wzmacniacza operacyjnego

Dokument:

Topór+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Równanie prostej na podstawie dwóch punktów:

Pytanie nr 16

Skończona granica funkcji w punkcie i dla x→∞

Granica końcowa przy x0:

Liczbę A nazywamy granicą funkcji y = f(x) dla x→x 0, jeżeli dla dowolnego E > 0 istnieje b > 0 takie, że dla x ≠x 0 spełniające nierówność |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Granicę wyznacza: = A

Granica końcowa w punkcie +∞:

Liczbę A nazywamy granicą funkcji y = f(x) w punkcie x → + ∞ , jeśli dla dowolnego E > 0 istnieje C > 0 takie, że dla x > C nierówność |f(x) - A|< Е

Granicę wyznacza: = A

Granica końcowa w punkcie -∞:

Liczbę A nazywa się granicą funkcji y = f(x) dla x →-∞, jeśli dla dowolnego E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

W tym artykule rozważymy ogólne równanie linii prostej na płaszczyźnie. Podajmy przykłady konstrukcji ogólnego równania prostej, jeśli znane są dwa punkty tej prostej lub jeśli znany jest jeden punkt i wektor normalny tej prostej. Przedstawmy metody transformacji równania w postaci ogólnej do postaci kanonicznej i parametrycznej.

Niech zostanie dany dowolny kartezjański prostokątny układ współrzędnych Oksy. Rozważmy równanie pierwszego stopnia lub równanie liniowe:

Gdzie A, B, C− pewne stałe i przynajmniej jeden z elementów A I B różny od zera.

Pokażemy, że równanie liniowe na płaszczyźnie definiuje linię prostą. Udowodnimy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1. W dowolnym kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie każdą linię prostą można określić za pomocą równania liniowego. I odwrotnie, każde równanie liniowe (1) w dowolnym kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie definiuje linię prostą.

Dowód. Wystarczy udowodnić, że jest to linia prosta L jest wyznaczany przez równanie liniowe dla dowolnego kartezjańskiego prostokątnego układu współrzędnych, ponieważ wtedy będzie wyznaczany przez równanie liniowe dla dowolnego wyboru kartezjańskiego prostokątnego układu współrzędnych.

Niech na płaszczyźnie zostanie dana linia prosta L. Wybierzmy układ współrzędnych tak, aby oś Wół pokrywała się z linią prostą L i oś Oj był do niego prostopadły. Następnie równanie prostej L przyjmie następującą postać:

Wszystkie punkty na linii L spełni równanie liniowe (2), a wszystkie punkty poza tą prostą nie będą spełniać równania (2). Pierwsza część twierdzenia została udowodniona.

Niech dany będzie kartezjański prostokątny układ współrzędnych i równanie liniowe (1), w którym co najmniej jeden z elementów A I B różny od zera. Znajdźmy miejsce geometryczne punktów, których współrzędne spełniają równanie (1). Ponieważ co najmniej jeden ze współczynników A I B jest różna od zera, to równanie (1) ma co najmniej jedno rozwiązanie M(X 0 ,y 0). (Na przykład, kiedy A≠0, punkt M 0 (−C/A, 0) należy do zadanego geometrycznego miejsca punktów). Podstawiając te współrzędne do (1) otrzymujemy tożsamość

Odejmijmy tożsamość (3) od (1):

Oczywiście równanie (4) jest równoważne równaniu (1). Wystarczy zatem udowodnić, że (4) wyznacza pewną prostą.

Ponieważ rozważamy prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich, z równości (4) wynika, że ​​wektor ze składowymi ( x-x 0 , y-y 0 ) ortogonalne do wektora N ze współrzędnymi ( A, B}.

Rozważmy pewną linię prostą L, przechodząc przez punkt M 0 (X 0 , y 0) i prostopadle do wektora N(ryc. 1). Niech chodzi M(X,y) należy do linii L. Następnie wektor ze współrzędnymi x-x 0 , y-y 0 prostopadle N i równanie (4) jest spełnione (iloczyn skalarny wektorów N i równe zeru). I odwrotnie, jeśli pkt M(X,y) nie leży na prostej L, następnie wektor ze współrzędnymi x-x 0 , y-y 0 nie jest prostopadłe do wektora N oraz równanie (4) nie jest spełnione. Twierdzenie zostało udowodnione.

Dowód. Ponieważ linie (5) i (6) definiują tę samą linię, to wektory normalne N 1 ={A 1 ,B 1) i N 2 ={A 2 ,B 2) współliniowy. Ponieważ wektory N 1 ≠0, N 2 ≠0, to istnieje taka liczba λ , Co N 2 =N 1 λ . Stąd mamy: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Udowodnijmy to C 2 =C 1 λ . Oczywiście zbiegające się linie mają wspólny punkt M 0 (X 0 , y 0). Mnożenie równania (5) przez λ i odejmując od niego równanie (6) otrzymujemy:

Skoro spełnione są dwie pierwsze równości z wyrażeń (7), to zatem C 1 λ −C 2 = 0. Te. C 2 =C 1 λ . Uwaga została udowodniona.

Należy zauważyć, że równanie (4) definiuje równanie prostej przechodzącej przez punkt M 0 (X 0 , y 0) i posiadający wektor normalny N={A, B). Jeśli zatem znany jest wektor normalny prostej i punkt należący do tej prostej, to ogólne równanie prostej można skonstruować za pomocą równania (4).

Przykład 1. Linia prosta przechodzi przez punkt M=(4,−1) i ma wektor normalny N=(3, 5). Skonstruuj ogólne równanie prostej.

Rozwiązanie. Mamy: X 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Aby skonstruować ogólne równanie prostej, podstawiamy te wartości do równania (4):

Odpowiedź:

Wektor jest równoległy do ​​prostej L a zatem prostopadle do wektora normalnego linii L. Skonstruujmy normalny wektor liniowy L, biorąc pod uwagę, że iloczyn skalarny wektorów N i równe zeru. Możemy napisać np. N={1,−3}.

Aby skonstruować ogólne równanie prostej, korzystamy ze wzoru (4). Podstawmy współrzędne punktu do (4) M 1 (możemy również przyjąć współrzędne punktu M 2) i wektor normalny N:

Podstawienie współrzędnych punktów M 1 i M 2 w (9) możemy się upewnić, że linia prosta określona równaniem (9) przechodzi przez te punkty.

Odpowiedź:

Odejmij (10) od (1):

Otrzymaliśmy równanie kanoniczne prostej. Wektor Q={−B, A) jest wektorem kierunku linii (12).

Zobacz konwersję odwrotną.

Przykład 3. Linię prostą na płaszczyźnie reprezentuje następujące równanie ogólne:

Przesuńmy drugi wyraz w prawo i podzielmy obie strony równania przez 2,5.

Lekcja z cyklu „Algorytmy geometryczne”

Witaj drogi czytelniku!

Dzisiaj zaczniemy uczyć się algorytmów związanych z geometrią. Faktem jest, że problemów olimpijskich w informatyce związanych z geometrią obliczeniową jest dość dużo, a rozwiązanie takich problemów często powoduje trudności.

W ciągu kilku lekcji rozważymy szereg elementarnych podzadań, na których opiera się rozwiązanie większości problemów geometrii obliczeniowej.

Na tej lekcji utworzymy program dla znalezienie równania prostej, przechodząc przez dane dwa punkty. Aby rozwiązać problemy geometryczne, potrzebujemy pewnej wiedzy z geometrii obliczeniowej. Część lekcji poświęcimy na ich poznanie.

Spostrzeżenia z geometrii obliczeniowej

Geometria obliczeniowa to dziedzina informatyki zajmująca się badaniem algorytmów rozwiązywania problemów geometrycznych.

Danymi początkowymi dla takich problemów może być zbiór punktów na płaszczyźnie, zbiór odcinków, wielokąt (określony na przykład przez listę jego wierzchołków w kolejności zgodnej z ruchem wskazówek zegara) itp.

Wynikiem może być albo odpowiedź na jakieś pytanie (np. czy punkt należy do odcinka, czy dwa odcinki przecinają się, ...), albo jakiś obiekt geometryczny (na przykład najmniejszy wielokąt wypukły łączący dane punkty, pole powierzchni wielokąt itp.).

Zagadnienia geometrii obliczeniowej będziemy rozpatrywać tylko na płaszczyźnie i tylko w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Wektory i współrzędne

Aby zastosować metody geometrii obliczeniowej, konieczne jest przełożenie obrazów geometrycznych na język liczb. Zakładamy, że płaszczyzna ma dany kartezjański układ współrzędnych, w którym kierunek obrotu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara nazywany jest dodatnim.

Teraz obiekty geometryczne otrzymują analityczny wyraz. Aby więc określić punkt, wystarczy podać jego współrzędne: parę liczb (x; y). Segment można określić podając współrzędne jego końców, linię prostą można określić podając współrzędne pary jej punktów.

Ale naszym głównym narzędziem do rozwiązywania problemów będą wektory. Przypomnę zatem kilka informacji na ich temat.

Odcinek AB, co ma rację A jest uważany za początek (punkt zastosowania) i punkt W– koniec, zwany wektorem AB i jest oznaczony na przykład jedną lub pogrubioną małą literą A .

Aby oznaczyć długość wektora (czyli długość odpowiedniego odcinka), użyjemy symbolu modułu (na przykład ).

Dowolny wektor będzie miał współrzędne równe różnicy między odpowiednimi współrzędnymi jego końca i początku:

,

oto punkty A I B mają współrzędne odpowiednio.

Do obliczeń użyjemy pojęcia zorientowany kąt, czyli kąt uwzględniający względne położenie wektorów.

Kąt zorientowany pomiędzy wektorami A I B dodatnie, jeśli obrót pochodzi od wektora A do wektora B odbywa się w kierunku dodatnim (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), a w drugim przypadku ujemnym. Patrz ryc. 1a, ryc. 1b. Mówi się również, że para wektorów A I B zorientowany pozytywnie (negatywnie).

Zatem wartość zorientowanego kąta zależy od kolejności, w jakiej wektory są wymienione i może przyjmować wartości z przedziału.

Wiele problemów geometrii obliczeniowej wykorzystuje koncepcję iloczynów wektorowych (skośnych lub pseudoskalarnych) wektorów.

Iloczyn wektorowy wektorów aib jest iloczynem długości tych wektorów i sinusa kąta między nimi:

.

Iloczyn krzyżowy wektorów we współrzędnych:

Wyrażenie po prawej stronie jest wyznacznikiem drugiego rzędu:

W przeciwieństwie do definicji podanej w geometrii analitycznej, jest to skalar.

Znak iloczynu wektorowego określa położenie wektorów względem siebie:

A I B pozytywnie zorientowany.

Jeśli wartość wynosi , to para wektorów A I B zorientowany negatywnie.

Iloczyn krzyżowy niezerowych wektorów wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy są one współliniowe ( ). Oznacza to, że leżą na tej samej linii lub na liniach równoległych.

Przyjrzyjmy się kilku prostym problemom, które są niezbędne przy rozwiązywaniu bardziej złożonych.

Wyznaczmy równanie prostej ze współrzędnych dwóch punktów.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty określone przez ich współrzędne.

Niech na prostej zostaną dane dwa nie pokrywające się punkty: o współrzędnych (x1; y1) i o współrzędnych (x2; y2). Odpowiednio wektor mający początek w punkcie i koniec w punkcie ma współrzędne (x2-x1, y2-y1). Jeżeli P(x, y) jest dowolnym punktem na naszej prostej, to współrzędne wektora są równe (x-x1, y – y1).

Korzystając z iloczynu wektorowego, warunek kolinearności wektorów i można zapisać w następujący sposób:

Te. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Ostatnie równanie przepisujemy w następujący sposób:

topór + o + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Zatem linię prostą można określić za pomocą równania postaci (1).

Zadanie 1. Podano współrzędne dwóch punktów. Znajdź jego reprezentację w postaci ax + by + c = 0.

Na tej lekcji poznaliśmy pewne informacje na temat geometrii obliczeniowej. Rozwiązaliśmy problem znalezienia równania linii na podstawie współrzędnych dwóch punktów.

Na następnej lekcji utworzymy program, który znajdzie punkt przecięcia dwóch prostych podanych przez nasze równania.

Własności prostej w geometrii euklidesowej.

Przez dowolny punkt można poprowadzić nieskończoną liczbę linii prostych.

Przez dowolne dwa nie pokrywające się punkty można poprowadzić pojedynczą linię prostą.

Dwie rozbieżne linie na płaszczyźnie albo przecinają się w jednym punkcie, albo są

równolegle (wynika z poprzedniego).

W przestrzeni trójwymiarowej istnieją trzy opcje względnego położenia dwóch linii:

• linie przecinają się;

• linie są równoległe;

• linie proste przecinają się.

Prosty linia— krzywa algebraiczna pierwszego rzędu: linia prosta w kartezjańskim układzie współrzędnych

jest dana na płaszczyźnie równaniem pierwszego stopnia (równaniem liniowym).

Ogólne równanie prostej.

Definicja. Dowolną linię prostą na płaszczyźnie można określić za pomocą równania pierwszego rzędu

Topór + Wu + C = 0,

i stałe A, B nie są jednocześnie równe zeru. To równanie pierwszego rzędu nazywa się ogólny

równanie prostej. W zależności od wartości stałych A, B I Z Możliwe są następujące szczególne przypadki:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linia prosta przechodzi przez początek

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- linia prosta równoległa do osi Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Topór + C = 0)- linia prosta równoległa do osi Jednostka organizacyjna

. B = C = 0, A ≠0- linia prosta pokrywa się z osią Jednostka organizacyjna

. A = C = 0, B ≠0- linia prosta pokrywa się z osią Oh

Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od danego

warunki początkowe.

Równanie prostej z punktu i wektora normalnego.

Definicja. W prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich wektor ze składowymi (A, B)

prostopadle do prostej określonej równaniem

Topór + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2) prostopadle do wektora (3, -1).

Rozwiązanie. Mając A = 3 i B = -1, ułóżmy równanie prostej: 3x - y + C = 0. Aby znaleźć współczynnik C

Do powstałego wyrażenia podstawiamy współrzędne danego punktu A. Otrzymujemy zatem: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Razem: wymagane równanie: 3x - y - 1 = 0.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.

Niech w przestrzeni będą dane dwa punkty M 1 (x 1 , y 1 , z 1) I M2 (x 2, y 2, z 2), Następnie równanie linii,

przechodząc przez te punkty:

Jeżeli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiadający mu licznik należy ustawić na zero. NA

płaszczyźnie, równanie prostej zapisane powyżej jest uproszczone:

Jeśli x 1 ≠ x 2 I x = x 1, Jeśli x 1 = x 2 .

Frakcja = k zwany nachylenie prosty.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2) i B(3, 4).

Rozwiązanie. Stosując napisany powyżej wzór otrzymujemy:

Równanie prostej za pomocą punktu i nachylenia.

Jeśli ogólne równanie linii Topór + Wu + C = 0 prowadzić do:

i wyznaczyć , to wynikowe równanie nazywa się

równanie prostej o nachyleniu k.

Równanie prostej z punktu i wektora kierunkowego.

Analogicznie do punktu uwzględniającego równanie prostej przechodzącej przez wektor normalny, możesz wprowadzić zadanie

linia prosta przechodząca przez punkt i wektor kierunkowy linii prostej.

Definicja. Każdy niezerowy wektor (α 1, α 2), których elementy spełniają warunek

Aα 1 + Ba 2 = 0 zwany wektor kierujący linii prostej.

Topór + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej z wektorem kierunku (1, -1) i przechodzącej przez punkt A(1, 2).

Rozwiązanie. Równania żądanej linii będziemy szukać w postaci: Topór + By + C = 0. Zgodnie z definicją,

współczynniki muszą spełniać następujące warunki:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Wtedy równanie prostej ma postać: Topór + Ay + C = 0, Lub x + y + C / A = 0.

Na x = 1, y = 2 dostajemy C/A = -3, tj. wymagane równanie:

x + y - 3 = 0

Równanie prostej w odcinkach.

Jeśli w ogólnym równaniu linii prostej Ах + Ву + С = 0 С≠0, to dzieląc przez -С, otrzymujemy:

czy gdzie

Geometryczne znaczenie współczynników jest takie, że współczynnik a jest współrzędną punktu przecięcia

proste z osią Oh, A B- współrzędna punktu przecięcia linii z osią Jednostka organizacyjna.

Przykład. Podano ogólne równanie prostej x - y + 1 = 0. Znajdź równanie tej prostej w odcinkach.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Równanie normalne linii.

Jeśli obie strony równania Topór + Wu + C = 0 podzielić przez liczbę który jest nazywany

czynnik normalizujący, wtedy otrzymamy

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalne równanie linii.

Znak ± współczynnika normalizującego należy tak dobrać, aby: µ*C< 0.

R- długość prostopadłej opuszczonej od początku do prostej,

A φ - kąt utworzony przez tę prostopadłą z dodatnim kierunkiem osi Oh.

Przykład. Podano ogólne równanie prostej 12x - 5 lat - 65 = 0. Wymagane do pisania różnych typów równań

tę linię prostą.

Równanie tej prostej w odcinkach:

Równanie tej prostej z nachyleniem: (podziel przez 5)

Równanie prostej:

cos φ = 12/13; grzech φ= -5/13; p = 5.

Należy zauważyć, że nie każdą linię prostą można przedstawić za pomocą równania w postaci odcinków, np. linie proste,

równolegle do osi lub przechodząc przez początek układu współrzędnych.

Kąt między prostymi na płaszczyźnie.

Definicja. Jeśli podano dwie linie y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, a następnie kąt ostry między tymi liniami

zostanie zdefiniowany jako

Dwie linie są równoległe jeśli k 1 = k 2. Dwie linie są prostopadłe

Jeśli k 1 = -1/ k 2 .

Twierdzenie.

Bezpośredni Topór + Wu + C = 0 I ZA 1 x + B 1 y + C 1 = 0 równoległe, gdy współczynniki są proporcjonalne

ZA 1 = λA, B 1 = λB. Jeśli także С 1 = λС, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch linii

znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danej prostej.

Definicja. Linia przechodząca przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadle do linii y = kx + b

reprezentowane przez równanie:

Odległość punktu od linii.

Twierdzenie. Jeśli zostanie przyznany punkt M(x 0, y 0), następnie odległość do linii prostej Topór + Wu + C = 0 zdefiniowana jako:

Dowód. Niech chodzi M 1 (x 1, y 1)- podstawa prostopadłej rzucona z punktu M dla danego

bezpośredni. Następnie odległość między punktami M I M 1:

(1)

Współrzędne x 1 I o 1 można znaleźć jako rozwiązanie układu równań:

Drugie równanie układu jest równaniem prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadle

dana linia prosta. Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + O 0 + C = 0,

następnie rozwiązując otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Niech linia przechodzi przez punkty M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Równanie prostej przechodzącej przez punkt M 1 ma postać y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Gdzie k - wciąż nieznany współczynnik.

Ponieważ prosta przechodzi przez punkt M 2 (x 2 y 2), współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Stąd znajdziemy Zastąpienie znalezionej wartości k do równania (10.6) otrzymujemy równanie linii prostej przechodzącej przez punkty M 1 i M 2:

Zakłada się, że w tym równaniu x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jeżeli x 1 = x 2, to prosta przechodząca przez punkty M 1 (x 1,y I) i M 2 (x 2,y 2) jest równoległa do osi rzędnych. Jego równanie to x = x 1 .

Jeśli y 2 = y I, to równanie linii można zapisać jako y = y 1, linia prosta M 1 M 2 jest równoległa do osi odciętych.

Równanie prostej w odcinkach

Niech prosta przecina oś Ox w punkcie M 1 (a;0) i oś Oy w punkcie M 2 (0;b). Równanie będzie miało postać:
te.
. To równanie nazywa się równanie prostej w odcinkach, ponieważ liczby aib wskazują, które odcinki linia odcina na osiach współrzędnych.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do zadanego wektora

Znajdźmy równanie prostej przechodzącej przez dany punkt Mo (x O; y o) prostopadłej do danego niezerowego wektora n = (A; B).

Weźmy dowolny punkt M(x; y) na prostej i rozważmy wektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (patrz ryc. 1). Ponieważ wektory n i Mo M są prostopadłe, ich iloczyn skalarny jest równy zeru: to znaczy

A(x – xo) + B(y – yo) = 0. (10.8)

Równanie (10.8) nazywa się równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do zadanego wektora .

Wektor n= (A; B), prostopadły do ​​prostej, nazywany jest normalnym wektor normalny tej linii .

Równanie (10.8) można przepisać jako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

gdzie A i B są współrzędnymi wektora normalnego, C = -Ax o - Vu o jest wyrazem wolnym. Równanie (10.9) jest ogólnym równaniem prostej(patrz ryc. 2).

Ryc.1 Ryc.2

Równania kanoniczne prostej

,

Gdzie
- współrzędne punktu, przez który przechodzi linia, oraz
- wektor kierunkowy.

Krzywe drugiego rzędu Okrąg

Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny jednakowo odległych od danego punktu, zwanego środkiem.

Równanie kanoniczne okręgu o promieniu R wyśrodkowany w jednym punkcie
:

W szczególności, jeśli środek palika pokrywa się z początkiem współrzędnych, wówczas równanie będzie wyglądać następująco:

Elipsa

Elipsa to zbiór punktów na płaszczyźnie, których suma odległości od każdego z nich do dwóch danych punktów I , zwane ogniskami, jest wielkością stałą
, większa niż odległość między ogniskami
.

Równanie kanoniczne elipsy, której ogniska leżą na osi Wołu, a początek współrzędnych w środku pomiędzy ogniskami ma postać
G de A długość półosi wielkiej; B – długość osi półmałej (ryc. 2).