Rozwinięcie funkcji elementarnych w szereg Taylora. Szereg Maclaurina i rozwinięcie niektórych funkcji

Od razu zastrzegam, że w artykule omówione zostanie rozwinięcie stycznej do zera, co w wielu podręcznikach nazywa się rozwinięciem Maclaurina.

Cóż, wszystkie funkcje będą nieskończenie różniczkowalne tam, gdzie ich potrzebujemy.

Chociaż większość innych najprostszych funkcji elementarnych można dość łatwo rozszerzyć do szeregu Taylora, a prawo, według którego tworzone są wyrazy rozwinięcia, najczęściej nie jest skomplikowane i można je po prostu odgadnąć, nie dotyczy to stycznej. Chociaż wydawałoby się, że ten ostatni jest po prostu stosunkiem sinusa do cosinusa, to funkcje, z którymi podczas rozwinięcia nie pojawiają się żadne problemy. Tymczasem, aby wskazać rodzaj określenia ogólnego dla stycznej, będziemy musieli zacząć nieco z daleka i zastosować sztuczne techniki. Jednak w praktyce często nie jest konieczna znajomość wszystkich współczynników szeregu, wystarczy tylko kilka wyrazów rozwinięcia. Jest to sformułowanie problemu, z którym uczniowie spotykają się najczęściej. Więc od tego zaczniemy. Żeby nie zaprzątać sobie zbytnio głowy, będziemy szukać rozwinięcia aż do współczynnika piątej potęgi.

Pierwszą rzeczą, która przychodzi mi na myśl, jest próba bezpośredniego zastosowania wzoru Taylora. Często ludzie po prostu nie mają pojęcia o innych metodach rozkładu w szeregu. Nawiasem mówiąc, nasz seminarzysta z matematyki. analizy, na drugim roku dokładnie w ten sposób szukałem dekompozycji, choć złego słowa na niego nie mogę powiedzieć, to mądry facet, może po prostu chciał się pochwalić umiejętnością brania instrumentów pochodnych. Tak czy inaczej, obliczanie pochodnych stycznych wyższego rzędu jest nadal przyjemnością, niezwykle ponurym zadaniem, jednym z tych, które łatwiej powierzyć maszynie niż osobie. Ale jako prawdziwi sportowcy nie interesuje nas wynik, ale proces i pożądane jest, aby proces był prostszy. Pochodne są następujące (obliczane w systemie maksimów): , , , , . Kto myśli, że instrumenty pochodne można łatwo uzyskać ręcznie, niech robi to w wolnym czasie. Tak czy inaczej, możemy teraz napisać rozwinięcie: .

Oto, co możemy tutaj uprościć: zauważamy to i tak pierwszą pochodną stycznej wyraża się poprzez styczną, ponadto wynika z tego, że wszystkie pozostałe pochodne stycznej będą wielomianami stycznej, co pozwala nam nie cierpieć z pochodnymi ilorazu z sinusów i cosinusy:
,
,
,
.
Rozkład oczywiście okazuje się taki sam.

O innej metodzie rozwinięcia szeregu dowiedziałem się bezpośrednio na egzaminie z matematyki. analizy i za nieznajomość tej metody otrzymałem wówczas chór. zamiast np. -a. Znaczenie tej metody polega na tym, że znamy rozwinięcie szeregowe zarówno sinusa, jak i cosinusa, a także funkcję, przy czym to drugie rozwinięcie pozwala nam znaleźć rozwinięcie drugiego: . Otwierając nawiasy, otrzymujemy szereg, który należy pomnożyć przez rozwinięcie sinusa. Teraz wystarczy pomnożyć oba wiersze. Jeśli mówimy o złożoności, to wątpię, aby była ona gorsza od pierwszej metody, zwłaszcza że objętość obliczeń szybko rośnie wraz ze wzrostem stopnia rozwinięcia, które należy znaleźć.

Kolejna metoda jest odmianą metody współczynników nieokreślonych. Zadajmy sobie najpierw pytanie: co ogólnie wiemy o stycznej, która może pomóc nam w skonstruowaniu rozwinięcia, że tak powiem, apriorycznie? Najważniejsze jest tutaj to, że funkcja styczna jest nieparzysta, a zatem wszystkie współczynniki przy potęgach parzystych są równe zero, czyli nie jest wymagane znalezienie połowy współczynników. Następnie możemy napisać , lub , rozszerzając sinus i cosinus w szeregu, otrzymamy . I zrównując współczynniki w tych samych stopniach, które otrzymujemy, , i na ogół . Zatem stosując proces iteracyjny, możemy znaleźć dowolną liczbę wyrazów rozwinięcia.

Czwarta metoda jest również metodą współczynników nieokreślonych, ale do niej nie potrzebujemy rozwinięcia żadnych innych funkcji. Rozważymy równanie różniczkowe dla stycznej. Widzieliśmy powyżej, że pochodną tangensa można wyrazić jako funkcję tangensa. Podstawiając do tego równania szereg nieokreślonych współczynników, możemy napisać: Podnosząc do kwadratu i stąd ponownie, poprzez proces iteracyjny, możliwe będzie znalezienie współczynników rozszerzalności.

Metody te są znacznie prostsze niż dwie pierwsze, ale znalezienie w ten sposób wyrażeń dla wspólnego wyrazu szeregu nie zadziała, a chciałbym. Jak powiedziałem na początku, trzeba będzie zacząć od daleka (będę się kierować podręcznikiem Couranta). Zaczniemy od rozwinięcia funkcji w szereg. W rezultacie otrzymamy szereg, który zostanie zapisany w postaci , gdzie liczby są liczbami Bernoulliego.
Początkowo liczby te odkrył Jacob Bernoulli, znajdując sumy potęg m-tych liczb naturalnych . Wydawałoby się, co ma z tym wspólnego trygonometria? Później Euler, rozwiązując problem sumy odwrotnych kwadratów szeregu liczb naturalnych, otrzymał odpowiedź z rozwinięcia sinusa w iloczyn nieskończony. Dalej okazało się, że rozwinięcie cotangensu zawiera sumy postaci , dla wszystkich naturalnych n. I na tej podstawie Euler uzyskał wyrażenia dla takich sum w postaci liczb Bernoulliego. Zatem istnieją tu powiązania i nie powinno być zaskoczeniem, że rozwinięcie styczne zawiera tę sekwencję.
Wróćmy jednak do rozkładu frakcji. Rozwijając wykładnik, odejmując jeden i dzieląc przez „x”, ostatecznie otrzymujemy . Stąd już widać, że pierwsza z liczb Bernoulliego jest równa jeden, druga minus jedna sekunda i tak dalej. Zapiszmy wyrażenie na k-tą liczbę Bernoulliego, zaczynając od jedności. Mnożąc to wyrażenie przez, przepisujemy wyrażenie w następującej formie. I z tego wyrażenia możemy otrzymać kolejno liczby Bernoulliego, w szczególności: , ,

W teorii szeregów funkcyjnych centralne miejsce zajmuje rozdział poświęcony rozwinięciu funkcji w szereg.

Zatem zadanie jest ustawione: dla danej funkcji musimy znaleźć taki szereg potęgowy

który zbiegał się w pewnym przedziale, a jego suma była równa
, te.

= ..

To zadanie nazywa się problem rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy.

Warunek konieczny rozkładu funkcji w szeregu potęgowym jest jego różniczkowalnością nieskończoną ilość razy - wynika to z własności zbieżnych szeregów potęgowych. Warunek ten jest spełniony z reguły dla funkcji elementarnych w ich dziedzinie definicji.

Załóżmy więc, że funkcja
ma pochodne dowolnego rzędu. Czy można go rozwinąć w szereg potęgowy?Jeśli tak, jak znaleźć ten szereg? Druga część problemu jest łatwiejsza do rozwiązania, więc zacznijmy od niej.

Załóżmy, że funkcja
można przedstawić jako sumę szeregu potęg zbiegającego się w przedziale zawierającym punkt X 0 :

= .. (*)

Gdzie A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – nieznane (jeszcze) współczynniki.

Podstawmy równość (*) wartość x = x 0 , wtedy otrzymamy

Rozróżnijmy szereg potęgowy (*) wyraz po wyrazie

= ..

i tu wierzyć x = x 0 , dostajemy

Przy kolejnym różniczkowaniu otrzymamy szereg

= ..

wierząc x = x 0 , dostajemy
, Gdzie
.

Po P-otrzymujemy wielokrotne różniczkowanie

Zakładając w ostatniej równości x = x 0 , dostajemy
, Gdzie

Zatem współczynniki zostały znalezione

,
,
, …,
,….,

podstawiając które do szeregu (*), otrzymujemy

Powstały szereg nazywa się obok Taylora dla funkcji
.

W ten sposób to ustaliliśmy jeśli funkcję można rozwinąć w szereg potęgowy w potęgach (x - x 0 ), to rozwinięcie to jest unikalne i otrzymany szereg jest koniecznie szeregiem Taylora.

Należy zauważyć, że szereg Taylora można otrzymać dla dowolnej funkcji, która w punkcie ma pochodne dowolnego rzędu x = x 0 . Nie oznacza to jednak, że między funkcją a wynikowym szeregiem można postawić znak równości, tj. że suma szeregu jest równa funkcji pierwotnej. Po pierwsze, taka równość może mieć sens tylko w obszarze zbieżności, a otrzymany dla funkcji szereg Taylora może być rozbieżny, a po drugie, jeśli szereg Taylora jest zbieżny, to jego suma może nie pokrywać się z pierwotną funkcją.

3.2. Warunki wystarczające na rozkład funkcji szeregu Taylora

Sformułujmy stwierdzenie, za pomocą którego zadanie zostanie rozwiązane.

Jeśli funkcja
w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 ma instrumenty pochodne do (N+ 1) rzędu włącznie, to w tym sąsiedztwie mamyformuła Taylora

GdzieR N (X)-pozostała część wzoru Taylora – ma postać (postać Lagrange’a)

Gdzie kropkaξ leży pomiędzy x i x 0 .

Należy zauważyć, że istnieje różnica pomiędzy szeregiem Taylora a wzorem Taylora: wzór Taylora jest sumą skończoną, tj. P - stały numer.

Przypomnijmy, że suma szeregu S(X) można zdefiniować jako granicę ciągu funkcjonalnego sum częściowych S P (X) w pewnym odstępie X:

Zgodnie z tym rozwinięcie funkcji w szereg Taylora oznacza znalezienie takiego szeregu, że dla dowolnego XX

Zapiszmy wzór Taylora w postaci gdzie

Zauważ, że
definiuje błąd, który otrzymujemy, zamień funkcję F(X) wielomian S N (X).

Jeśli
, To
,te. funkcja jest rozwinięta w szereg Taylora. I odwrotnie, jeśli
, To
.

W ten sposób udowodniliśmy kryterium rozkładu funkcji szeregu Taylora.

Aby spełnić funkcjęF(x) rozwija się w szereg Taylora, konieczne i wystarczające jest, aby na tym przedziale
, GdzieR N (X) jest resztą wyrazu szeregu Taylora.

Stosując sformułowane kryterium można otrzymać wystarczającywarunki rozkładu funkcji szeregu Taylora.

Jeśli wjakieś sąsiedztwo punktu x 0 wartości bezwzględne wszystkich pochodnych funkcji są ograniczone do tej samej liczby M≥ 0, tj.

, To w tym sąsiedztwie funkcja rozwija się w szereg Taylora.

Z powyższego wynika algorytmrozwinięcie funkcji F(X) w szeregu Taylora w pobliżu punktu X 0 :

1. Znajdowanie pochodnych funkcji F(X):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (N) (X),…

2. Oblicz wartość funkcji i wartości jej pochodnych w punkcie X 0

f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), F (N) (X 0 ),…

3. Formalnie piszemy szereg Taylora i wyznaczamy obszar zbieżności otrzymanego szeregu potęgowego.

4. Sprawdzamy spełnienie warunków wystarczających tj. ustalamy dla jakich X z obszaru konwergencji, pozostała część R N (X) zmierza do zera w
Lub
.

Nazywa się rozwinięcie funkcji w szereg Taylora przy użyciu tego algorytmu z definicji rozwinięcie funkcji w szereg Taylora Lub bezpośredni rozkład.

Jeśli funkcja k(x) ma w pewnym przedziale zawierającym punkt A, pochodne wszystkich rzędów, to można do tego zastosować wzór Taylora:

Gdzie r n– tzw. wyraz resztowy lub reszta szeregu, można ją oszacować korzystając ze wzoru Lagrange’a:

, gdzie liczba x znajduje się pomiędzy X I A.

Jeśli dla jakiejś wartości x r n®0 o godz N®¥, wówczas w granicy wzór Taylora zamienia się w wzór zbieżny na tę wartość Seria Taylora:

Zatem funkcja k(x) można rozwinąć w szereg Taylora w danym punkcie X, Jeśli:

1) posiada pochodne wszystkich rzędów;

2) skonstruowany szereg jest zbieżny w tym punkcie.

Na A=0 otrzymujemy serię o nazwie niedaleko Maclaurina:

Przykład 1 f(x)= 2X.

Rozwiązanie. Znajdźmy wartości funkcji i jej pochodne w X=0

k(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2X w 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n)(x) = 2X ln N 2, f(n)( 0) = 2 0 ln N 2=ln N 2.

Podstawiając otrzymane wartości pochodnych do wzoru na szereg Taylora, otrzymujemy:

Promień zbieżności tego szeregu jest równy nieskończoności, dlatego to rozwinięcie obowiązuje dla -¥<X<+¥.

Przykład 2 X+4) dla funkcji f(x)= mi X.

Rozwiązanie. Znajdowanie pochodnych funkcji e X i ich wartości w punkcie X=-4.

k(x)= np X, F(-4) = np -4 ;

f¢(x)= np X, f¢(-4) = np -4 ;

f¢¢(x)= np X, f¢¢(-4) = np -4 ;

f(n)(x)= np X, f(n)( -4) = np -4 .

Zatem wymagany szereg Taylora funkcji ma postać:

To rozwinięcie jest ważne również dla -¥<X<+¥.

Przykład 3 . Rozwiń funkcję k(x)= ln X w szeregu potęgowym ( X- 1),

(tj. w szeregu Taylora w sąsiedztwie punktu X=1).

Rozwiązanie. Znajdź pochodne tej funkcji.

Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy pożądany szereg Taylora:

Korzystając z testu d'Alemberta, możesz sprawdzić, czy szereg jest zbieżny, gdy

½ X- 1½<1. Действительно,

Szereg jest zbieżny, jeśli ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 otrzymujemy szereg przemienny spełniający warunki kryterium Leibniza. Na X Funkcja =0 nie jest zdefiniowana. Zatem obszarem zbieżności szeregu Taylora jest przedział półotwarty (0;2).

Przedstawmy otrzymane w ten sposób rozwinięcia w szereg Maclaurina (tj. w sąsiedztwie punktu X=0) dla niektórych funkcji elementarnych:

(2) ,

(3) ,

( nazywa się ostatni rozkład szereg dwumianowy)

Przykład 4 . Rozwiń funkcję w szereg potęgowy

Rozwiązanie. W rozwinięciu (1) zastępujemy X NA - X 2, otrzymujemy:

Przykład 5 . Rozwiń funkcję w szeregu Maclaurina

Rozwiązanie. Mamy

Korzystając ze wzoru (4) możemy napisać:

zamiast tego zastępując X do formuły -X, otrzymujemy:

Stąd znajdziemy:

Otwierając nawiasy, przestawiając wyrazy szeregu i wprowadzając wyrazy podobne, otrzymujemy

Szereg ten zbiega się w przedziale

(-1;1), ponieważ jest on otrzymywany z dwóch szeregów, z których każdy zbiega się w tym przedziale.

Komentarz .

Wzory (1)-(5) można także wykorzystać do rozwinięcia odpowiednich funkcji w szereg Taylora, tj. do rozwijania funkcji w dodatnich potęgach całkowitych ( Ha). W tym celu należy dokonać takich identycznych przekształceń na danej funkcji, aby otrzymać jedną z funkcji (1)-(5), w której zamiast X kosztuje k( Ha) m , gdzie k jest liczbą stałą, m jest dodatnią liczbą całkowitą. Często wygodnie jest dokonać zmiany zmiennej T=Ha i rozwiń wynikową funkcję względem t w szeregu Maclaurina.

Metoda ta ilustruje twierdzenie o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy. Istota tego twierdzenia polega na tym, że w sąsiedztwie tego samego punktu nie można otrzymać dwóch różnych szeregów potęgowych, które zbiegałyby się do tej samej funkcji, niezależnie od sposobu jej rozwinięcia.

Przykład 6 . Rozwiń funkcję w szereg Taylora w sąsiedztwie punktu X=3.

Rozwiązanie. Problem ten można rozwiązać, jak poprzednio, korzystając z definicji szeregu Taylora, dla którego musimy znaleźć pochodne funkcji i ich wartości w X=3. Łatwiej będzie jednak skorzystać z istniejącego rozszerzenia (5):

Powstały szereg jest zbieżny w lub –3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Przykład 7 . Zapisz szereg Taylora w potęgach ( X-1) funkcje .

Rozwiązanie.

Szereg zbiega się w godz lub 2< X 5 funtów.

Studenci matematyki wyższej powinni wiedzieć, że suma pewnego szeregu potęgowego należącego do podanego nam przedziału zbieżności szeregu okazuje się funkcją ciągłą i nieograniczoną liczbę razy różnicowaną. Powstaje pytanie: czy można powiedzieć, że dana dowolna funkcja f(x) jest sumą pewnego szeregu potęgowego? To znaczy, pod jakimi warunkami funkcję f(x) można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego? Znaczenie tego pytania polega na tym, że można w przybliżeniu zastąpić funkcję f(x) sumą kilku pierwszych wyrazów szeregu potęgowego, czyli wielomianem. To zastąpienie funkcji dość prostym wyrażeniem - wielomianem - jest również wygodne przy rozwiązywaniu niektórych problemów, a mianowicie: przy rozwiązywaniu całek, przy obliczaniu itp.

Udowodniono, że dla pewnej funkcji f(x), w której można obliczyć pochodne aż do (n+1) rzędu, łącznie z ostatnim, w sąsiedztwie (α - R; x 0 + R ) w pewnym punkcie x = α, prawdą jest, że wzór:

Formuła ta została nazwana na cześć słynnego naukowca Brooke Taylor. Szereg uzyskany z poprzedniego nazywa się szeregiem Maclaurina:

Reguła umożliwiająca rozwinięcie szeregu Maclaurina:

Wyznacz pochodne pierwszego, drugiego, trzeciego... rzędu.
Oblicz, jakie są pochodne przy x=0.
Zapisz szereg Maclaurina dla tej funkcji, a następnie wyznacz przedział jej zbieżności.
Określ przedział (-R;R), gdzie jest reszta wzoru Maclaurina

R n (x) -> 0 przy n -> nieskończoność. Jeśli taka istnieje, to zawarta w niej funkcja f(x) musi pokrywać się z sumą szeregu Maclaurina.

Rozważmy teraz szereg Maclaurina dla poszczególnych funkcji.

1. Zatem pierwszym będzie f(x) = e x. Oczywiście, ze względu na swoją charakterystykę, taka funkcja ma pochodne bardzo różnych rzędów, a f (k) (x) = e x , gdzie k równa się wszystkim.Podstaw x = 0. Otrzymujemy f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Na podstawie powyższego szereg e x będzie wyglądał następująco:

2. Szereg Maclaurina dla funkcji f(x) = sin x. Wyjaśnijmy od razu, że funkcja dla wszystkich niewiadomych będzie miała dodatkowo pochodne f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), gdzie k jest równe dowolnej liczbie naturalnej, czyli po wykonaniu prostych obliczeń możemy dojść do wniosek, że szereg dla f(x) = sin x będzie wyglądał następująco:

3. Spróbujmy teraz rozważyć funkcję f(x) = cos x. Dla wszystkich niewiadomych ma pochodne dowolnego rzędu oraz |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Wymieniliśmy więc najważniejsze funkcje, które można rozwinąć w szereg Maclaurina, ale dla niektórych funkcji są one uzupełnione szeregiem Taylora. Teraz je wymienimy. Warto również zauważyć, że szeregi Taylora i Maclaurina stanowią ważną część praktycznych prac nad rozwiązywaniem szeregów w matematyce wyższej. Zatem szereg Taylora.

1. Pierwszy będzie szeregiem dla funkcji f(x) = ln(1+x). Podobnie jak w poprzednich przykładach, dla danego f(x) = ln(1+x) możemy dodać szereg korzystając z ogólnej postaci szeregu Maclaurina. jednak dla tej funkcji szereg Maclaurina można uzyskać znacznie prościej. Całkując pewien szereg geometryczny otrzymujemy szereg dla f(x) = ln(1+x) takiej próbki:

2. Drugim, ostatnim w naszym artykule, będzie szereg dla f(x) = arctan x. Dla x należących do przedziału [-1;1] obowiązuje rozwinięcie:

To wszystko. W artykule zbadano najczęściej stosowane szeregi Taylora i Maclaurina w matematyce wyższej, w szczególności na uniwersytetach ekonomicznych i technicznych.

16.1. Rozwinięcie funkcji elementarnych na szereg Taylora i

Maclaurina

Pokażmy, że jeśli na zbiorze zdefiniowana jest dowolna funkcja
, w pobliżu punktu
ma wiele pochodnych i jest sumą szeregu potęgowego:

wtedy możesz znaleźć współczynniki tego szeregu.

Podstawmy w szeregu potęgowym
. Następnie
.

Znajdźmy pierwszą pochodną funkcji
:

Na
:
.

Dla drugiej pochodnej otrzymujemy:

Na
:
.

Kontynuując tę procedurę N gdy otrzymamy:
.

W ten sposób otrzymaliśmy szereg potęgowy postaci:

który jest nazywany obok Taylora dla funkcji
w pobliżu punktu
.

Szczególnym przypadkiem szeregu Taylora jest szereg Maclaurina Na
:

Pozostałą część szeregu Taylora (Maclaurina) uzyskuje się poprzez odrzucenie szeregu głównego N pierwszych członków i jest oznaczony jako
. Następnie funkcja
można zapisać jako sumę N pierwsi członkowie serii
i reszta
:,

Reszta to zwykle
wyrażone w różnych wzorach.

Jeden z nich ma postać Lagrange’a:

, Gdzie
.
.

Należy zauważyć, że w praktyce częściej stosuje się szereg Maclaurina. Zatem, aby napisać funkcję
w postaci sumy szeregów potęgowych konieczne jest:

1) znajdź współczynniki szeregu Maclaurina (Taylora);

2) znaleźć obszar zbieżności otrzymanego szeregu potęgowego;

3) udowodnić, że szereg ten jest zbieżny do funkcji
.

Twierdzenie1 (warunek konieczny i wystarczający zbieżności szeregu Maclaurina). Niech promień zbieżności szeregu
. Aby ten szereg zbiegł się w przedziale
funkcjonować
,konieczne i wystarczające aby był spełniony warunek:
w określonym przedziale.

Twierdzenie 2. Jeśli pochodne dowolnego rzędu funkcji
w pewnym odstępie
ograniczona w wartości bezwzględnej do tej samej liczby M, to jest
, to w tym przedziale funkcja
można rozwinąć w szereg Maclaurina.

Przykład1 . Rozwiń szereg Taylora wokół punktu
funkcjonować.

Rozwiązanie.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Region konwergencji
.

Przykład2 . Rozwiń funkcję w szereg Taylora wokół punktu
.

Rozwiązanie:

Znajdź wartość funkcji i jej pochodne w
.

,
;

...........……………………………

,
.

Ułóżmy te wartości w rzędzie. Otrzymujemy:

Lub
.

Znajdźmy obszar zbieżności tego szeregu. Według testu d'Alemberta szereg jest zbieżny, jeśli

Dlatego dla każdego granica ta jest mniejsza od 1, zatem zakres zbieżności szeregu będzie wynosił:
.

Rozważmy kilka przykładów rozwinięcia podstawowych funkcji elementarnych w szereg Maclaurina. Przypomnijmy, że szereg Maclaurina:

zbiega się na przedziale
funkcjonować
.

Należy pamiętać, że aby rozwinąć funkcję w szereg, konieczne jest:

a) znajdź współczynniki szeregu Maclaurina dla tej funkcji;

b) obliczyć promień zbieżności otrzymanego szeregu;

c) udowodnić, że otrzymany szereg jest zbieżny do funkcji
.

Przykład 3. Rozważ funkcję
.

Rozwiązanie.

Obliczmy wartość funkcji i jej pochodne w
.

Wówczas współczynniki liczbowe szeregu mają postać:

dla kazdego N. Podstawiamy znalezione współczynniki do szeregu Maclaurina i otrzymujemy:

Znajdźmy promień zbieżności otrzymanego szeregu, a mianowicie:

Zatem szereg jest zbieżny na przedziale
.

Szereg ten zbiega się do funkcji dla dowolnych wartości , ponieważ w dowolnym przedziale
funkcjonować a liczba jego pochodnych wartości bezwzględnych jest ograniczona .

Przykład4 . Rozważ funkcję
.

Rozwiązanie.

Łatwo zauważyć, że pochodne rzędu parzystego
, a pochodne są rzędu nieparzystego. Podstawiamy znalezione współczynniki do szeregu Maclaurina i uzyskujemy rozwinięcie:

Znajdźmy przedział zbieżności tego szeregu. Według znaku d'Alemberta:

dla kazdego . Zatem szereg jest zbieżny na przedziale
.

Szereg ten zbiega się do funkcji
, ponieważ wszystkie jego pochodne ograniczają się do jedności.

Przykład5 .
.

Rozwiązanie.

Znajdźmy wartość funkcji i jej pochodne w
:

Zatem współczynniki tego szeregu:
I
, stąd:

Podobnie jak w poprzednim rzędzie, obszar zbieżności
. Szereg zbiega się do funkcji
, ponieważ wszystkie jego pochodne ograniczają się do jedności.

Należy pamiętać, że funkcja
rozwinięcie nieparzyste i szeregowe w potęgach nieparzystych, funkcja
– parzyste i rozwinięcie w szereg do potęg parzystych.

Przykład6 . Seria dwumianowa:
.

Rozwiązanie.

Znajdźmy wartość funkcji i jej pochodne w
:

Z tego widać, że:

Podstawmy te wartości współczynników do szeregu Maclaurina i uzyskajmy rozwinięcie tej funkcji w szereg potęgowy:

Znajdźmy promień zbieżności tego szeregu:

Zatem szereg jest zbieżny na przedziale
. W punktach granicznych o godz
I
szereg może być zbieżny lub nie, w zależności od wykładnika
.

Badany szereg jest zbieżny na przedziale
funkcjonować
, czyli suma szeregu
Na
.

Przykład7 . Rozwińmy funkcję w szereg Maclaurina
.

Rozwiązanie.

Aby rozwinąć tę funkcję w szereg, używamy szeregu dwumianowego w
. Otrzymujemy:

Bazując na własności szeregów potęgowych (szereg potęgowy można całkować w obszarze zbieżności) wyznaczamy całkę lewej i prawej strony tego szeregu:

Znajdźmy obszar zbieżności tego szeregu:
,

oznacza to, że obszarem zbieżności tego szeregu jest przedział
. Wyznaczmy zbieżność szeregu na końcach przedziału. Na

. Szereg ten jest szeregiem harmonijnym, czyli rozbieżnym. Na
otrzymujemy szereg liczbowy ze wspólnym wyrazem
.

Szereg jest zbieżny według kryterium Leibniza. Zatem obszarem zbieżności tego szeregu jest przedział
.

16.2. Zastosowanie szeregów potęgowych w obliczeniach przybliżonych

W obliczeniach przybliżonych niezwykle ważną rolę odgrywają szeregi potęgowe. Za ich pomocą opracowano tablice funkcji trygonometrycznych, tablice logarytmów, tablice wartości innych funkcji, które są wykorzystywane w różnych dziedzinach wiedzy, na przykład w teorii prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej. Ponadto rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy jest przydatne do ich badań teoretycznych. Głównym problemem przy stosowaniu szeregów potęgowych w obliczeniach przybliżonych jest kwestia oszacowania błędu przy zastępowaniu sumy szeregu sumą jego pierwszego N członkowie.

Rozważmy dwa przypadki:

funkcja jest rozwinięta w szereg ze zmiennym znakiem;

funkcja jest rozwinięta w szereg znaków stałych.

Obliczenia przy użyciu szeregów przemiennych

Niech funkcja
rozwinął się w przemienny szereg potęgowy. Następnie przy obliczaniu tej funkcji dla określonej wartości otrzymujemy szereg liczbowy, do którego możemy zastosować kryterium Leibniza. Zgodnie z tym kryterium, jeśli sumę szeregu zastępuje się sumą jego pierwszego N kategoriach, to błąd bezwzględny nie przekracza pierwszego wyrazu reszty tego szeregu, to znaczy:
.

Przykład8 . Oblicz
z dokładnością do 0,0001.

Rozwiązanie.

Będziemy korzystać z szeregu Maclaurina
, zastępując wartość kąta w radianach:

Jeśli porównamy pierwszy i drugi wyraz szeregu z zadaną dokładnością, to: .

Trzeci termin rozwinięcia:

mniejsza niż określona dokładność obliczeń. Dlatego do obliczenia
wystarczy pozostawić dwa wyrazy szeregu, tj

Zatem
.

Przykład9 . Oblicz
z dokładnością do 0,001.

Rozwiązanie.

Będziemy korzystać ze wzoru na szereg dwumianowy. Aby to zrobić, napiszmy
Jak:
.

W tym wyrażeniu
,

Porównajmy każdy wyraz szeregu z określoną dokładnością. Jest oczywiste, że
. Dlatego do obliczenia
wystarczy pozostawić trzy wyrazy szeregu.

Lub
.

Obliczenia z wykorzystaniem szeregów dodatnich

Przykład10 . Oblicz liczbę z dokładnością do 0,001.

Rozwiązanie.

Z rzędu dla funkcji
zamieńmy
. Otrzymujemy:

Oszacujmy błąd powstający przy zamianie sumy szeregu na sumę pierwszego członkowie. Zapiszmy oczywistą nierówność:

czyli 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

W zależności od problemu musisz znaleźć N taki, że zachodzi nierówność:
Lub
.

Kiedy to łatwo sprawdzić N= 6:
.

Stąd,
.

Przykład11 . Oblicz
z dokładnością do 0,0001.

Rozwiązanie.

Należy zauważyć, że do obliczenia logarytmów można użyć szeregu dla funkcji
, ale szereg ten zbiega się bardzo powoli i aby osiągnąć zadaną dokładność należałoby przyjąć 9999 wyrazów! Dlatego do obliczania logarytmów z reguły stosuje się szereg funkcji
, który jest zbieżny w przedziale
.