Rozwiązywanie równań dla OGE. Rozwiązanie równania oznacza...

Czwarte zadanie w module algebry sprawdza wiedzę na temat stosowania potęg i wyrażeń pierwiastkowych.

Wykonując zadanie nr 4 OGE z matematyki, sprawdzana jest nie tylko umiejętność obliczania i przekształcania wyrażeń liczbowych, ale także umiejętność przekształcania wyrażeń algebraicznych. Może zaistnieć potrzeba wykonania operacji na potęgach z wykładnikiem całkowitym, na wielomianach i identycznych przekształceniach wyrażeń wymiernych.

Zgodnie z materiałami egzaminu głównego mogą pojawiać się zadania wymagające wykonania identycznych przekształceń wyrażeń wymiernych, rozkładu wielomianów na czynniki, stosowania procentów i proporcji oraz testów podzielności.

Odpowiedzią w zadaniu 4 jest jedna z liczb 1; 2; 3; 4 odpowiadający numerowi proponowanej odpowiedzi na zadanie.

Teoria do zadania nr 4

Z materiału teoretycznego, którego będziemy potrzebować Zasady postępowania ze stopniami:

Zasady pracy z radykalne wyrażenia:

W moich analizowanych wersjach prezentowane są te zasady – w analizie pierwszej wersji zadania trzeciego prezentowane są zasady postępowania ze stopniami, natomiast w wersji drugiej i trzeciej analizowane są przykłady pracy z wyrażeniami radykalnymi.

Analiza typowych opcji dla zadania nr 4 OGE z matematyki

Pierwsza wersja zadania

Które z poniższych wyrażeń dla dowolnych wartości n jest równe iloczynowi 121 · 11 n?

1. 121n
2. 11n+2
3. 11 2n
4. 11n+3

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać ten problem, musisz pamiętać o następujących kwestiach zasady postępowania ze stopniami :

• Po pomnożeniu potęgi się sumują
• przy dodawaniu stopnie są odejmowane
• Podnosząc potęgę do potęgi, potęgi mnożą się
• podczas wyodrębniania korzenia stopnie są dzielone

Ponadto, aby go rozwiązać, konieczne jest przedstawienie 121 jako potęgi 11, czyli dokładnie 11 2.

121 11 n = 11 2 11 n

Uwzględniając zasadę mnożenia, dodajemy stopnie:

11 2 11 n = 11 n+2

Dlatego druga odpowiedź nam odpowiada.

Druga wersja zadania

Które z poniższych wyrażeń ma największą wartość?

1. 2√11
2. 2√10

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać to zadanie, musisz sprowadzić wszystkie wyrażenia do ogólnej postaci - przedstawić wyrażenia w postaci wyrażeń radykalnych:

Przenieś 3 do katalogu głównego:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

Przenieś 2 do katalogu głównego:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

Przenieś 2 do katalogu głównego:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

Podnosimy do kwadratu 6,5:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Spójrzmy na wszystkie wynikowe opcje:

1. 3√5 = √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Dlatego poprawna odpowiedź jest pierwsza

Trzecia wersja zadania

Która z tych liczb jest wymierna?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. wszystkie te liczby są niewymierne

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać ten problem, musisz postępować w następujący sposób:

Najpierw obliczmy, jakiej mocy liczba jest brana pod uwagę w tym przykładzie - jest to liczba 9, ponieważ jej kwadrat wynosi 81, a to jest już nieco podobne do wyrażeń w odpowiedziach. Następnie przyjrzyjmy się formom liczby 9 - mogą to być:

Rozważ każdy z nich:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Zatem liczba √0,81 jest wymierna, natomiast pozostałe liczby

chociaż są podobne do kwadratu 9, nie są racjonalne.

Zatem prawidłowa odpowiedź jest trzecia.

Czwarta wersja zadania

Na prośbę subskrybenta mojej społeczności Spadło Diano, oto analiza zadania nr 4:

Która z poniższych liczb jest wartością wyrażenia?

Rozwiązanie:

Zauważ, że w mianowniku znajduje się różnica (4 - √14), której musimy się pozbyć. Jak to zrobić?

Aby to zrobić, pamiętaj o wzorze na skrócone mnożenie, a mianowicie o różnicy kwadratów! Aby poprawnie zastosować go w tym zadaniu, należy pamiętać o zasadach postępowania z ułamkami. W takim przypadku pamiętaj, że ułamek nie zmienia się, jeśli licznik i mianownik zostaną pomnożone przez tę samą liczbę lub wyrażenie. Dla różnicy kwadratów brakuje nam wyrażenia (4 + √14), co oznacza, że ​​mnożymy przez to licznik i mianownik.

Następnie w liczniku otrzymujemy 4 + √14, a różnicę kwadratów w mianowniku: 4² - (√14)². Następnie łatwo obliczyć mianownik:

W sumie nasze działania wyglądają następująco:

Piąta wersja zadania (wersja demonstracyjna OGE 2017)

Które wyrażenie jest liczbą wymierną?

1. √6-3
2. √3 √5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

Rozwiązanie:

W tym zadaniu sprawdzane są nasze umiejętności działania na liczbach niewymiernych.

Przyjrzyjmy się każdej opcji odpowiedzi w rozwiązaniu:

√6 samo w sobie jest liczbą niewymierną; aby rozwiązać takie problemy, wystarczy pamiętać, że pierwiastek można racjonalnie wydobyć z kwadratów liczb naturalnych, na przykład 4, 9, 16, 25...

Odejmując od liczby niewymiernej jakąkolwiek inną liczbę niż ona sama, ponownie doprowadzi to do liczby niewymiernej, a zatem w tej wersji uzyskuje się liczbę niewymierną.

Mnożąc pierwiastki, możemy wyodrębnić pierwiastek z iloczynu wyrażeń pierwiastkowych, czyli:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Ale √15 jest irracjonalne, więc ta odpowiedź nie jest właściwa.

Podnosząc pierwiastek kwadratowy dostajemy po prostu wyrażenie radykalne (a dokładniej wyrażenie radykalne modulo, ale w przypadku liczby, jak w tej wersji, nie ma to znaczenia), zatem:

Ta opcja odpowiedzi nam odpowiada.

Wyrażenie to stanowi kontynuację punktu 1, ale jeśli √6-3 jest liczbą niewymierną, to nie można jej przekształcić w liczbę wymierną żadnymi znanymi nam operacjami.

Uzupełnij zdania: 1). Równanie jest następujące... 2). Pierwiastkiem równania jest... 3). Rozwiązanie równania oznacza...

I. Rozwiąż równania ustnie: 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 =10x5x - 12=8x

Które z poniższych równań nie ma rozwiązań: a). 2 x – 14 = x + 7 b). 2 x - 14 = 2(x – 7) c). x – 7 = 2 x + 14 g). 2 x- 14 = 2 x + 7?

Które z równań ma nieskończenie wiele rozwiązań: a). 4 x – 12 = x – 12 b). 4 x – 12 = 4 x + 12 c). 4(x – 3) = 4 x – 12 g). 4(x – 3) = x – 10?

RÓWNANIA O POSTACI kx + b = 0, gdzie k, b są danymi liczbami, NAZYWAMY SIĘ LINIOWYMI. Algorytm rozwiązywania równań liniowych: 1). otwórz nawiasy 2). przesuń wyrazy zawierające nieznane na lewą stronę, a wyrazy niezawierające nieznanego na prawą stronę (odwrócony jest znak przenoszonego wyrazu); 3). przyprowadź podobnych członków; 4). podziel obie strony równania przez współczynnik niewiadomej, jeśli nie jest on równy zero.

Rozwiąż w zeszytach Grupa I: Nr 681 s. 63 6(4 -x)+3 x=3 Grupa III: Nr 767 s. 67 (x + 6)2 + (x + 3)2 = 2 x 2 równania : II grupa: nr 697 s. 63 x-1 +(x+2) = -4(-5 -x)-5

Równanie w postaci aх2 + bх + c =0, gdzie a≠ 0, b, c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywa się kwadratowym. Równania niepełne: aх2 + bх =0 (c=0), aх2 + c =0 (b=0).

II. Rozwiązuj ustnie równania kwadratowe, wskazując, czy są one kompletne, czy niekompletne: 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25=0 4). -x2 +9 =0 5). -x2 - 16 =0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

PYTANIA: 1). Jaką właściwość równań wykorzystano do rozwiązania niekompletnych równań kwadratowych? 2). Jakie metody rozkładu wielomianu zastosowano do rozwiązania niepełnych równań kwadratowych? 3). Jaki jest algorytm rozwiązywania pełnych równań kwadratowych?

1). Iloczyn dwóch czynników jest równy zero, jeśli jeden z nich wynosi zero, drugi nie traci na znaczeniu: ab = 0, jeśli a = 0 lub b = 0. 2). Podstawienie wspólnego czynnika i a 2 - b 2 =(a – b)(a + b) to wzór na różnicę kwadratów. 3). Uzupełnij równanie kwadratowe ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, jeśli D>0, 2 pierwiastki; D = 0, 1 pierwiastek; D

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety: Jeśli liczby a, b, c, x 1 i x 2 są takie, że x 1 x 2 = x 1 + x 2 =, a x 2 są pierwiastkami równania a x 2 + bx + c = 0

ROZWIĄŻ RÓWNANIA: Grupa I: nr 802 strona 71 x2 - 5 x- 36 =0 Grupa II: nr 810 strona 71 3 x2 - x + 21=5 x2 Grupa III: x4 -5 x2 - 36 =0

III. ROZWIĄŻ RÓWNANIA: Grupa I i II: Nr 860 Grupa III: =0 =0 Jak nazywają się takie równania? Jaka własność jest używana do ich rozwiązania?

Równanie wymierne to równanie postaci =0. Ułamek jest równy zero, jeśli licznik wynosi zero, a mianownik nie jest zerem. =0, jeśli a = 0, b≠ 0.

Krótko z historii matematyki Matematycy starożytnego Egiptu potrafili rozwiązywać równania kwadratowe i liniowe. Perski średniowieczny naukowiec Al-Khorezmi (IX w.) jako pierwszy przedstawił algebrę jako niezależną naukę o ogólnych metodach rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych oraz podał klasyfikację tych równań. Nowy wielki przełom w matematyce wiąże się z nazwiskiem francuskiego naukowca Francois Vieta (XVI wiek). To on wprowadził litery do algebry. Jest odpowiedzialny za słynne twierdzenie o pierwiastkach równań kwadratowych. A tradycję oznaczania nieznanych wielkości ostatnimi literami alfabetu łacińskiego (x, y, z) zawdzięczamy innemu francuskiemu matematykowi - Rene Descartesowi (XVII).

Praca domowa Praca z witrynami: - Otwarty bank zadań OGE (matematyka) http: //85. 142. 162. 126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - „Rozwiążę OGE” D. Gushchina https: //oge. sdamgia. ru/ ; - Strona internetowa A. Larina (opcja 119) http: //alexlarin. internet/. Podręczniki: - Podręcznik Yu. M. Kolyagina „Algebra 9. klasa”, M., „Oświecenie”, 2014, s. 10-13. 308 -310; - „3000 zadań” w pkt. pod redakcją I. V. Yashchenko, M., „Egzamin”, 2017, s. 23. 5974.

Informacje dla rodziców System przygotowania do OGE z matematyki 1). Towarzyszące powtórki z lekcji 2). Przegląd końcowy na koniec roku 3). Zajęcia do wyboru (w soboty) 4). System zadań domowych - pracując ze stronami ROZWIĄZAM OGE, OPEN BANK FIPI, SITE A. LARINA. 5). Konsultacje indywidualne (w poniedziałki)

Toylonov Argymai i Toylonov Erkei

Edukacja matematyczna zdobywana w szkole ogólnokształcącej jest istotnym składnikiem edukacji ogólnej i kultury ogólnej współczesnego człowieka. Prawie wszystko, co otacza współczesnego człowieka, jest w jakiś sposób powiązane z matematyką. A ostatnie postępy w fizyce, inżynierii i technologii informacyjnej nie pozostawiają wątpliwości, że w przyszłości stan rzeczy pozostanie taki sam. Dlatego rozwiązywanie wielu praktycznych problemów sprowadza się do rozwiązywania różnego rodzaju równań, których rozwiązywania trzeba się nauczyć.

A od 2013 roku certyfikacja z matematyki na zakończenie szkoły podstawowej prowadzona jest w formie OGE. Podobnie jak Unified State Exam, Unified State Exam ma na celu przeprowadzenie certyfikacji nie tylko z algebry, ale także z całego kursu matematyki w szkole podstawowej.

Lwia część zadań w taki czy inny sposób sprowadza się do sporządzania równań i ich rozwiązań. Aby przejść do studiowania tego tematu, musieliśmy odpowiedzieć na pytania: „Jakie typy równań występują w zadaniach OGE? ” i „Jakie są sposoby rozwiązania tych równań?”

Istnieje zatem potrzeba badania wszystkich typów równań występujących w zadaniach OGE. Wszystko to determinuje

Zamiar Praca polega na uzupełnieniu wszystkich typów równań występujących w zadaniach OGE według rodzaju oraz analizie głównych metod rozwiązywania tych równań.

Aby osiągnąć ten cel, ustaliliśmy co następuje zadania:

1) Zapoznaj się z głównymi zasobami przygotowującymi do głównych egzaminów państwowych.

2) Uzupełnij wszystkie równania według typu.

3) Analizować metody rozwiązywania tych równań.

4) Skompiluj zbiór zawierający wszystkie rodzaje równań i metody ich rozwiązywania.

Przedmiot badań: równania

Przedmiot badań: równania w zadaniach OGE.

Pobierać:

Zapowiedź:

Miejska budżetowa instytucja oświatowa

„Szkoła średnia Chibitskaya”

PROJEKT SZKOLENIOWY:

„RÓWNANIA W ZADANIACH OGE”

Toylonowa Erkeya

Uczniowie klasy 8

promotor: Nadieżda Władimirowna Toilonova, nauczycielka matematyki.

Harmonogram realizacji projektu:

od 13.12.2017 do 02.13. 2018

WSTĘP

Edukacja matematyczna zdobywana w szkole ogólnokształcącej jest istotnym składnikiem edukacji ogólnej i kultury ogólnej współczesnego człowieka. Prawie wszystko, co otacza współczesnego człowieka, jest w jakiś sposób powiązane z matematyką. A ostatnie postępy w fizyce, inżynierii i technologii informacyjnej nie pozostawiają wątpliwości, że w przyszłości stan rzeczy pozostanie taki sam. Dlatego rozwiązywanie wielu praktycznych problemów sprowadza się do rozwiązywania różnego rodzaju równań, których rozwiązywania trzeba się nauczyć.

A od 2013 roku certyfikacja z matematyki na zakończenie szkoły podstawowej prowadzona jest w formie OGE. Podobnie jak Unified State Exam, Unified State Exam ma na celu przeprowadzenie certyfikacji nie tylko z algebry, ale także z całego kursu matematyki w szkole podstawowej.

Lwia część zadań w taki czy inny sposób sprowadza się do sporządzania równań i ich rozwiązań. Aby przejść do studiowania tego tematu, musieliśmy odpowiedzieć na pytania: „Jakie typy równań występują w zadaniach OGE? ” i „Jakie są sposoby rozwiązania tych równań?”

Istnieje zatem potrzeba badania wszystkich typów równań występujących w zadaniach OGE. Wszystko to determinujeznaczenie problemu wykonywanej pracy.

Zamiar Praca polega na uzupełnieniu wszystkich typów równań występujących w zadaniach OGE według rodzaju oraz analizie głównych metod rozwiązywania tych równań.

Aby osiągnąć ten cel, ustaliliśmy co następuje zadania:

1) Zapoznaj się z głównymi zasobami przygotowującymi do głównych egzaminów państwowych.

2) Uzupełnij wszystkie równania według typu.

3) Analizować metody rozwiązywania tych równań.

4) Skompiluj zbiór zawierający wszystkie rodzaje równań i metody ich rozwiązywania.

Przedmiot badań: równania

Przedmiot badań:równania w zadaniach OGE.

Plan prac nad projektem:

1. Formułowanie tematu projektu.
2. Wybór materiału z oficjalnych źródeł na zadany temat.
3. Przetwarzanie i systematyzacja informacji.
4. Wdrożenie projektu.
5. Koncepcja projektu.
6. Ochrona projektu.

Problem : pogłębij swoje zrozumienie równań. Pokaż główne metody rozwiązywania równań przedstawione w zadaniach OGE w pierwszej i drugiej części.

Niniejsza praca jest próbą uogólnienia i usystematyzowania badanego materiału oraz poznania nowego. Projekt obejmuje: równania liniowe z przeniesieniem wyrazów z jednej części równania do drugiej i wykorzystaniem własności równań, a także problemy rozwiązywane za pomocą równania, wszelkiego rodzaju równania kwadratowe oraz metody rozwiązywania równań wymiernych.

Matematyka... ukazuje porządek, symetrię i pewność,

i to są najważniejsze typy piękna.

Arystoteles.

Odniesienie historyczne

W tych odległych czasach, kiedy mędrcy po raz pierwszy zaczęli myśleć o równościach zawierających nieznane ilości, prawdopodobnie nie było monet ani portfeli. Były jednak stosy, a także garnki i kosze, które doskonale nadawały się do roli skrytek do przechowywania, mogących pomieścić nieznaną liczbę przedmiotów. „Szukamy kupy, która razem z dwiema trzecimi, połową i jedną siódmą daje 37…”, nauczał egipski pisarz Ahmes w II tysiącleciu p.n.e. W starożytnych problemach matematycznych Mezopotamii, Indii, Chin, Grecji nieznane wielkości wyrażały liczbę pawi w ogrodzie, liczbę byków w stadzie i ogół rzeczy branych pod uwagę przy podziale majątku. Uczeni w Piśmie, urzędnicy i kapłani wtajemniczeni w wiedzę tajemną, dobrze wyszkoleni w nauce rachunków, radzili sobie z takimi zadaniami całkiem skutecznie.

Źródła, które do nas dotarły, wskazują, że starożytni naukowcy dysponowali pewnymi ogólnymi technikami rozwiązywania problemów z nieznanymi wielkościami. Jednakże ani jeden papirus czy gliniana tabliczka nie zawiera opisu tych technik. Autorzy jedynie sporadycznie opatrywali swoje obliczenia numeryczne skąpymi komentarzami w rodzaju: „Patrz!”, „Zrób to!”, „Znalazłeś właściwy”. W tym sensie wyjątkiem jest „Arytmetyka” greckiego matematyka Diofantusa z Aleksandrii (III wiek) - zbiór problemów do układania równań z systematyczną prezentacją ich rozwiązań.

Jednak pierwszym podręcznikiem rozwiązywania problemów, który stał się powszechnie znany, było dzieło naukowca z Bagdadu z IX wieku. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Słowo „al-jabr” od arabskiej nazwy tego traktatu – „Kitab al-jaber wal-mukabala” („Księga restauracji i opozycji”) – z czasem przekształciło się w dobrze znane słowo „algebra”, a al- Sama praca Khwarizmi stała się punktem wyjścia w rozwoju nauki o rozwiązywaniu równań.

Jakie jest więc równanie?

Istnieje równanie praw, równanie czasu (przełożenie prawdziwego czasu słonecznego na średni czas słoneczny, przyjęty w społeczeństwie i nauce; astr.) itp.

W matematyce jest równaniem matematycznym zawierającym jedną lub więcej nieznanych wielkości i zachowującym swoją ważność tylko dla pewnych wartości tych nieznanych wielkości.

W równaniach z jedną zmienną niewiadomą zwykle oznacza się literą „ X ". Wartość „x” ", spełniający te warunki, nazywany jest pierwiastkiem równania.

Istnieją różne równania gatunek:

topór + b = 0. - Równanie liniowe.
topór 2 + bx + c = 0. - Równanie kwadratowe.
topór 4 + bx 2 + c = 0. - Równanie dwukwadratowe.

– Racjonalne równanie.

– Równanie irracjonalne.
Są takiesposoby rozwiązywania równań Jak: algebraiczne, arytmetyczne i geometryczne. Rozważmy metodę algebraiczną.

Rozwiązać równanie- polega to na znalezieniu takich wartości X, które po podstawieniu do pierwotnego wyrażenia dadzą nam poprawną równość lub udowodnią, że nie ma rozwiązań. Rozwiązywanie równań, choć trudne, jest ekscytujące. W końcu jest to naprawdę zaskakujące, gdy cały strumień liczb zależy od jednej nieznanej liczby.

W równaniach do znalezienia nieznanego należy przekształcić i uprościć oryginalne wyrażenie. I w taki sposób, że gdy zmienia się wygląd, nie zmienia się istota wypowiedzi. Takie przekształcenia nazywane są identycznymi lub równoważnymi.

Rozdział 1 Rozwiązywanie równań

1.1 Rozwiązywanie równań liniowych.

Teraz przyjrzymy się rozwiązaniom równań liniowych. Przypomnijmy, że równanie postacinazywa się równaniem liniowym lub równaniem pierwszego stopnia, ponieważ ze zmienną „ X » stopień starszy jest na pierwszym stopniu.

Rozwiązanie równania liniowego jest bardzo proste:

Przykład 1: Rozwiąż równanie 3 x +3=5 x

Równanie liniowe rozwiązuje się poprzez przeniesienie wyrazów zawierających niewiadome na lewą stronę znaku równości, wolne współczynniki na prawą stronę znaku równości:

3 x – 5 x = – 3

2x=-3

x = 1,5

Nazywa się wartość zmiennej, która przekształca równanie w prawdziwą równość pierwiastek równania.

Po sprawdzeniu otrzymujemy:

Zatem 1,5 jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: 1,5.

Rozwiązywanie równań metodą przeniesienia wyrazów z jednej części równania do drugiej, w której znak wyrazów zmienia się na przeciwny i stosuje się nieruchomości równania - obie strony równania można pomnożyć (podzielić) przez tę samą niezerową liczbę lub wyrażenie, można je uwzględnić przy rozwiązywaniu poniższych równań.

Przykład 2. Rozwiąż równania:

a) 6 x +1 = − 4 x ; b) 8+7 x = 9 x +4; c) 4(x −8)=− 5.

Rozwiązanie.

a) Rozwiązujemy metodą transferu

6 x + 4 x = ─1;

10x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Badanie:

Odpowiedź: –0,1

b) Podobnie jak w poprzednim przykładzie rozwiązujemy metodą przelewu:

Odpowiedź: 2.

c) W tym równaniu należy otworzyć nawiasy, stosując rozdzielność mnożenia w odniesieniu do operacji dodawania.

Odpowiedź: 6,75.

1.2 Równania kwadratowe

Równanie postaci zwane równaniem kwadratowym, gdzie A – współczynnik seniora, B – współczynnik średni, с – termin dowolny.

W zależności od szans a, b i c – równanie może być pełne lub niekompletne, dane lub nie.

1.2.1 Niekompletne równania kwadratowe

Rozważmy sposoby rozwiązywania niekompletnych równań kwadratowych:

1) Zacznijmy rozumieć rozwiązanie pierwszego rodzaju niepełnych równań kwadratowych dla c=0 . Niekompletne równania kwadratowe postaci ax2 +bx=0 pozwala ci podjąć decyzjęmetoda faktoryzacji. W szczególności sposób nawiasu.

Oczywiście możemy, znajdując się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy wyjąć wspólny czynnik z nawiasów X . Pozwala nam to przejść od pierwotnego niepełnego równania kwadratowego do równoważnego równania w postaci: x·(a·x+b)=0 .

A to równanie jest równoważne kombinacji dwóch równań x=0 lub ax+b=0 , z których ostatni jest liniowy i ma pierwiastek x=− .

a x 2 +b x=0 ma dwa pierwiastki

x=0 i x=− .

2) Przyjrzyjmy się teraz, jak rozwiązuje się niekompletne równania kwadratowe, w których współczynnik b wynosi zero i c≠0 , czyli równania postaci ax2 +c=0 . Wiemy, że przeniesienie wyrazu z jednej strony równania na drugą z przeciwnym znakiem, a także podzielenie obu stron równania przez liczbę niezerową daje równanie równoważne. Dlatego możemy przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 +c=0 :

• przenieść z po prawej stronie, co daje równanie a x 2 =−c ,
• i podziel obie części przez a, otrzymujemy.

Otrzymane równanie pozwala nam wyciągnąć wnioski na temat jego pierwiastków.

Jeśli numer – jest ujemna, to równanie nie ma pierwiastków. To stwierdzenie wynika z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną.

Jeśli jest liczbą dodatnią, wówczas sytuacja z pierwiastkami równania jest inna. W tym przypadku trzeba pamiętać, że istnieje pierwiastek równania, jest to liczba. Pierwiastek równania oblicza się według następującego schematu:

Wiadomo, że podstawiając do równania zamiast X jego pierwiastki zamieniają równanie w prawdziwą równość.

Podsumujmy informacje zawarte w tym akapicie. Niekompletne równanie kwadratowe ax2 +c=0 jest równoważne równaniu, Który

3) Rozwiązania niepełnych równań kwadratowych, w których stosowane są współczynniki b i c są równe zeru, to znaczy z równaniami postaci a x 2 = 0. Równanie a x 2 = 0 wynika z x 2 = 0 , który otrzymuje się z oryginału poprzez podzielenie obu części przez liczbę niezerową A . Oczywiście pierwiastek równania x2 =0 wynosi zero, ponieważ 0 2 =0 . To równanie nie ma innych pierwiastków.

Zatem niekompletne równanie kwadratowe a x 2 = 0 ma jeden korzeń x=0 .

Przykład 3. Rozwiąż równania: a) x2 =5x, jeśli równanie ma kilka pierwiastków, wskaż w odpowiedzi najmniejszy z nich;

B) , jeśli równanie ma kilka pierwiastków, wskaż w odpowiedzi największy z nich;

c) x 2 −9=0, jeśli równanie ma kilka pierwiastków, w odpowiedzi wskaż najmniejszy z nich.

Rozwiązanie.

Otrzymaliśmy niepełne równanie kwadratowe, dla którego nie ma wyrazu wolnego. Rozwiązujemy metodą nawiasów.

U Równanie można wykonać z dwoma pierwiastkami, z których mniejszy wynosi 0.

Odpowiedź: 0.

B) . Podobnie jak w poprzednim przykładzie stosujemy metodę nawiasów

Odpowiedź musi wskazywać większy z pierwiastków. To jest numer 2.

Odpowiedź: 2.

V) . To równanie jest niepełnym równaniem kwadratowym, które nie ma średniego współczynnika.

Najmniejszym z tych pierwiastków jest liczba – 3.

Odpowiedź: –3.

1.2.2 Pełne równania kwadratowe.

1. Dyskryminacyjny, podstawowy wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Istnieje formuła korzenia.

Zapiszmy to wzór na pierwiastki równania kwadratowego krok po kroku:

1) D=b 2 −4 a do - tak zwana.

a) jeśli D

b) jeśli D>0, to równanienie ma jednego korzenia:

c) jeśli D nie ma dwóch pierwiastków:

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

W praktyce przy rozwiązywaniu równań kwadratowych można od razu skorzystać ze wzoru na pierwiastek w celu obliczenia ich wartości. Ale jest to bardziej związane ze znalezieniem złożonych korzeni.

Jednak na szkolnym kursie algebry zwykle nie mówimy o zespolonych, ale o rzeczywistych pierwiastkach równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego najpierw znaleźć dyskryminator, upewnić się, że jest on nieujemny (w przeciwnym razie możemy stwierdzić, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), i dopiero wtedy obliczyć wartości pierwiastków.

Powyższe rozumowanie pozwala nam pisaćalgorytm rozwiązywania równania kwadratowego. Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 +b x+c=0 , potrzebujesz:

• zgodnie ze wzorem dyskryminacyjnym D=b 2 −4 za do obliczyć jego wartość;
• wywnioskować, że równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych, jeśli wyróżnik jest ujemny;
• oblicz jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru jeśli D=0;
• znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego, korzystając ze wzoru na pierwiastek, jeśli wyróżnik jest dodatni.

2. Dyskryminator, drugi wzór na pierwiastki równania kwadratowego (z parzystym drugim współczynnikiem).

Aby rozwiązać równania kwadratowe postaci, z parzystym współczynnikiem b=2k jest inna formuła.

Nagrajmy nowy wzór na pierwiastki równania kwadratowego w:

1) D’=k 2 –a do - tak zwanadyskryminator równania kwadratowego.

a) jeśli D’ nie ma prawdziwych korzeni;

b) jeśli D’>0, to równanienie ma jednego korzenia:

c) jeśli D' nie ma dwóch pierwiastków:

Przykład 4. Rozwiąż równanie 2x 2 −3x+1=0.. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

Rozwiązanie. W pierwszym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a=2 , b=-3 i c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 . Ponieważ 1>0

Mamy Mamy dwa pierwiastki, z których większy to liczba 1.

Odpowiedź 1.

Przykład 5. Rozwiąż równanie x 2-21=4x.

Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

Rozwiązanie. Analogicznie do poprzedniego przykładu przesuwamy 4h na lewą stronę znaku równości i otrzymujemy:

W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a=1, k=-2 i c=-21 . Zgodnie z algorytmem należy najpierw obliczyć dyskryminator D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Liczba 25>0 , czyli dyskryminator jest większy od zera, wówczas równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdźmy je za pomocą wzoru na pierwiastek

Odpowiedź: 7.

1.2.3 Szczególne metody rozwiązywania równań kwadratowych.

1) Związek między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Twierdzenie Viety.

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania poprzez jego współczynniki. Na podstawie wzoru pierwiastkowego można uzyskać inne zależności między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znanym i mającym zastosowanie wzorem jest twierdzenie Viety.

Twierdzenie: Niech - pierwiastki danego równania kwadratowego. Następnie iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu, a suma pierwiastków jest równa przeciwnej wartości drugiego współczynnika:

Korzystając z już napisanych wzorów, można uzyskać szereg innych powiązań między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Można na przykład wyrazić sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego za pomocą jego współczynników.

Przykład 6. a) Rozwiąż równanie x 2

b) Rozwiąż równanie x 2

c) Rozwiąż równanie x 2

Rozwiązanie.

a) Rozwiąż równanie x 2 −6x+5=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

Wybór najmniejszego z pierwiastków

Odpowiedź 1

b) Rozwiąż równanie x 2 +7x+10=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

Stosując twierdzenie Viety piszemy wzory na pierwiastki

Logicznie myśląc dochodzimy do takiego wniosku. Wybór największego z korzeni

Odpowiedź: ─2.

c) Rozwiąż równanie x 2 ─5x─14=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

Stosując twierdzenie Viety piszemy wzory na pierwiastki

Logicznie myśląc dochodzimy do takiego wniosku. Wybór najmniejszego z pierwiastków

Odpowiedź: ─2.

1.3 Równania racjonalne

Jeśli otrzymasz równanie z ułamkami formyze zmienną w liczniku lub mianowniku, wówczas takie wyrażenie nazywa się równaniem wymiernym. Równanie wymierne to dowolne równanie, które zawiera co najmniej jedno wyrażenie wymierne. Równania wymierne rozwiązuje się w taki sam sposób, jak każde równanie: te same operacje wykonuje się po obu stronach równania, aż zmienna zostanie wyodrębniona po jednej stronie równania. Istnieją jednak 2 metody rozwiązywania równań wymiernych.

1) Mnożenie krzyżowe.Jeśli to konieczne, przepisz podane równanie tak, aby po każdej stronie znajdował się jeden ułamek (jedno wyrażenie wymierne); tylko w tym przypadku można zastosować metodę mnożenia krzyżowego.

Pomnóż licznik lewego ułamka przez mianownik prawego. Powtórz tę czynność z licznikiem prawego ułamka i mianownikiem lewego.

• Mnożenie krzyżowe opiera się na podstawowych zasadach algebraicznych. W wyrażeniach wymiernych i innych ułamkach można pozbyć się licznika, mnożąc odpowiednio liczniki i mianowniki obu ułamków.
• Przyrównaj powstałe wyrażenia i uprość je.
• Rozwiąż powstałe równanie, to znaczy znajdź „x”. Jeśli „x” znajduje się po obu stronach równania, wyodrębnij je po jednej stronie równania.

2) Aby uprościć to równanie, zastosowano najniższy wspólny mianownik (LCD).Metodę tę stosuje się, gdy nie można zapisać danego równania z jednym wyrażeniem wymiernym po każdej stronie równania (i zastosować metodę mnożenia krzyżowego). Metodę tę stosuje się, gdy podane jest równanie wymierne zawierające 3 lub więcej ułamków (w przypadku dwóch ułamków lepiej jest zastosować mnożenie krzyżowe).

• Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków (lub najmniejszą wspólną wielokrotność).NOZ to najmniejsza liczba, która dzieli się równomiernie przez każdy mianownik.
• Pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez liczbę równą wynikowi dzielenia NOC przez odpowiedni mianownik każdego ułamka.
• Znajdź x. Teraz, gdy sprowadziłeś ułamki do wspólnego mianownika, możesz pozbyć się mianownika. Aby to zrobić, pomnóż każdą stronę równania przez wspólny mianownik. Następnie rozwiąż powstałe równanie, to znaczy znajdź „x”. Aby to zrobić, wyizoluj zmienną po jednej stronie równania.

Przykład 7. Rozwiąż równania: a); pne) .

Rozwiązanie.

A) . Stosujemy metodę mnożenia krzyżowego.

Otwieramy nawiasy i przedstawiamy podobne terminy.

mam równanie liniowe z jedną niewiadomą

Odpowiedź: ─10.

B) , podobnie jak w poprzednim przykładzie, stosujemy metodę mnożenia krzyżowego.

Odpowiedź: ─1,9.

V) , używamy metody najmniejszego wspólnego mianownika (LCD).

W tym przykładzie wspólnym mianownikiem będzie liczba 12.

Odpowiedź: 5.

Rozdział 2 Równania złożone

Równania należące do kategorii równań złożonych mogą łączyć różne metody i techniki rozwiązywania. Ale w ten czy inny sposób wszystkie równania metodą logicznego rozumowania i równoważnych działań prowadzą do równań, które były wcześniej badane.

Przykład 7. Rozwiązać równanie( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Rozwiązanie. Korzystając ze skróconych wzorów na mnożenie, otworzymy nawiasy:

Przenosimy wszystkie terminy poza znak równości i wprowadzamy podobne,

Odpowiedź: 5,5.

Przykład 8. Rozwiąż równania: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Rozwiązanie.

a)(- 5 x +3)(- x +6)=0; Otwórzmy nawiasy i przedstawmy podobne terminy

otrzymaliśmy pełne równanie kwadratowe, które rozwiążemy za pomocą pierwszego wzoru dyskryminacyjnego

równanie ma dwa pierwiastki

Odpowiedź: 0,6 i 6.

b) (x +2)(- x +6)=0, dla tego równania dokonamy logicznego rozumowania (iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero). Oznacza

Odpowiedź: ─2 i 6.

Przykład 9. Rozwiąż równania:, B) .

Rozwiązanie. Znajdźmy najniższy wspólny mianownik

Napiszmy w kolejności malejącej stopni zmiennej

; otrzymano pełne równanie kwadratowe z parzystym drugim współczynnikiem

Równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki

Odpowiedź: .

B) . Rozumowanie jest podobne do a). Znalezienie NPD

Otwieramy nawiasy i przedstawiamy podobne terminy

rozwiązać całe równanie kwadratowe za pomocą wzoru ogólnego

Odpowiedź: .

Przykład 10. Rozwiąż równania:

Rozwiązanie.

A) , Zauważmy, że po lewej stronie wyrażenie w nawiasach reprezentuje wzór na skrócone mnożenie, a dokładniej kwadrat sumy dwóch wyrażeń. Przekształćmy to

; przesuń wyrazy tego równania na jedną stronę

wyjmijmy to z nawiasów

Iloczyn wynosi zero, gdy jeden z czynników wynosi zero. Oznacza,

Odpowiedź: ─2, ─1 i 1.

B) Rozumujemy w ten sam sposób, jak na przykład a)

, według twierdzenia Viety

Odpowiedź:

Przykład 11. Rozwiąż równania a)

Rozwiązanie.

A) ; [po lewej i prawej stronie równania można zastosować metodę wyjmowania nawiasów, a po lewej stronie wyjmiemy, a po prawej stronie umieszczamy liczbę 16.]

[przesuńmy wszystko na bok i jeszcze raz zastosujmy metodę nawiasów. Wyciągniemy wspólny czynnik]

[iloczyn wynosi zero, gdy jeden z czynników wynosi zero.]

Odpowiedź:

B) . [To równanie jest podobne do równania a). Dlatego w tym przypadku stosujemy metodę grupowania]

Odpowiedź:

Przykład 12. Rozwiązać równanie=0.

Rozwiązanie.

0 [równanie dwukwadratowe. Rozwiązane poprzez zmianę metody zmiennej].

0; [Stosując twierdzenie Viety otrzymujemy pierwiastki]

. [powrót do poprzednich zmiennych]

Odpowiedź:

Przykład 13. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie. [równanie dwukwadratowe, pozbywamy się parzystych potęg, używając znaków modułu.]

[otrzymaliśmy dwa równania kwadratowe, które rozwiązujemy wykorzystując podstawowy wzór na pierwiastki równania kwadratowego]

żadne równanie pierwiastków rzeczywistych nie ma dwóch pierwiastków

Odpowiedź:

Przykład 14. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie.

OZ:

[przenieś wszystkie wyrazy równania na lewą stronę i wprowadź wyrazy podobne]

[otrzymaliśmy zredukowane równanie kwadratowe, które można łatwo rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety]

Liczba – 1 nie spełnia ODZ danego równania, więc nie może być pierwiastkiem tego równania. Oznacza to, że tylko liczba 7 jest pierwiastkiem.

Odpowiedź: 7.

Przykład 15. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie.

Suma kwadratów dwóch wyrażeń może być równa zero tylko wtedy, gdy wyrażenia te są jednocześnie równe zero. Mianowicie

[Rozwiązujemy każde równanie osobno]

Z twierdzenia Viety

Zbieżność pierwiastków równa –5 będzie pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: – 5.

WNIOSEK

Podsumowując wyniki wykonanej pracy, możemy stwierdzić: równania odgrywają ogromną rolę w rozwoju matematyki. Usystematyzowaliśmy zdobytą wiedzę i podsumowaliśmy przerobiony materiał. Wiedza ta może przygotować nas do nadchodzących egzaminów.

Nasza praca pozwala inaczej spojrzeć na zadania, jakie stawia przed nami matematyka.

• pod koniec projektu usystematyzowaliśmy i uogólniliśmy badane wcześniej metody rozwiązywania równań;
• zapoznał się z nowymi sposobami rozwiązywania równań i własnościami równań;

• Przyjrzeliśmy się wszystkim typom równań występujących w zadaniach OGE zarówno w pierwszej, jak i drugiej części.
• Stworzyliśmy zbiór metodologiczny „Równania w zadaniach OGE”.

Wierzymy, że osiągnęliśmy postawiony przed nami cel - uwzględnienie wszystkich typów równań w zadaniach egzaminu głównego z matematyki.

Lista wykorzystanej literatury:

1. B.V. Gnedenko „Matematyka we współczesnym świecie”. Moskiewskie „Oświecenie” 1980

2. Tak.I. Perelmana „Zabawna algebra”. Moskiewska „Nauka” 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Aneks 1

Równania liniowe

1. Znajdź pierwiastek równania

2. Znajdź pierwiastek równania

3. Znajdź pierwiastek równania

Załącznik 2

Niekompletne równania kwadratowe

1. Rozwiąż równanie x 2 =5x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

2. Rozwiąż równanie 2x 2 = 8x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

3. Rozwiąż równanie 3x 2 =9x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

4. Rozwiąż równanie 4x 2 =20x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

5. Rozwiąż równanie 5x 2 =35x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

6. Rozwiąż równanie 6x 2 =36x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

7. Rozwiąż równanie 7x 2 =42x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

8. Rozwiąż równanie 8x 2 =72x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

9. Rozwiąż równanie 9x 2 =54x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

10. Rozwiąż równanie 10x2 =80x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

11. Rozwiąż równanie 5x2 −10x=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

12. Rozwiąż równanie 3x2 −9x=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

13. Rozwiąż równanie 4x2 −16x=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

14. Rozwiąż równanie 5x2 +15x=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

15. Rozwiąż równanie 3x2 +18x=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

16. Rozwiąż równanie 6x2 +24x=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

17. Rozwiąż równanie 4x2 −20x=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

18. Rozwiąż równanie 5x2 +20x=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

19. Rozwiąż równanie 7x2 −14x=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

20. Rozwiąż równanie 3x2 +12x=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

21. Rozwiąż równanie x2 −9=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

22. Rozwiąż równanie x2 −121=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

23. Rozwiąż równanie x2 −16=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

24. Rozwiąż równanie x2 −25=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

25. Rozwiąż równanie x2 −49=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

26. Rozwiąż równanie x2 −81=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

27. Rozwiąż równanie x2 −4=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

28. Rozwiąż równanie x2 −64=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

29. Rozwiąż równanie x2 −36=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

30. Rozwiąż równanie x2 −144=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

31. Rozwiąż równanie x2 −9=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

32. Rozwiąż równanie x2 −121=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

33. Rozwiąż równanie x2 −16=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

34. Rozwiąż równanie x2 −25=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

35. Rozwiąż równanie x2 −49=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

36. Rozwiąż równanie x2 −81=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

37. Rozwiąż równanie x2 −4=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

38. Rozwiąż równanie x2 −64=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

39. Rozwiąż równanie x2 −36=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

40. Rozwiąż równanie x2 −144=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

Dodatek 3

Uzupełnij równania kwadratowe

1. Rozwiąż równanie x2 +3x=10. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

2. Rozwiąż równanie x2 +7x=18. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

3. Rozwiąż równanie x2 +2x=15. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

4. Rozwiąż równanie x2 −6x=16. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

5. Rozwiąż równanie x2 −3x=18. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

6. Rozwiąż równanie x2 −18=7x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

7. Rozwiąż równanie x2 +4x=21. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

8. Rozwiąż równanie x2 −21=4x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

9. Rozwiąż równanie x2 −15=2x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

10. Rozwiąż równanie x2 −5x=14. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

11. Rozwiąż równanie x2 +6=5x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

12. Rozwiąż równanie x2 +4=5x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

13. Rozwiąż równanie x2 −x=12. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

14. Rozwiąż równanie x2 +4x=5. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

15. Rozwiąż równanie x2 −7x=8. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

16. Rozwiąż równanie x2 +7=8x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

17. Rozwiąż równanie x2 +18=9x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

18. Rozwiąż równanie x2 +10=7x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

19. Rozwiąż równanie x2 −20=x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

20. Rozwiąż równanie x2 −35=2x. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

21. Rozwiąż równanie 2x2 −3x+1=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

22. Rozwiąż równanie 5x2 +4x−1=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

23. Rozwiąż równanie 2x2 +5x−7=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

24. Rozwiąż równanie 5x2 −12x+7=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

25. Rozwiąż równanie 5x2 −9x+4=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

26. Rozwiąż równanie 8x2 −12x+4=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

27. Rozwiąż równanie 8x2 −10x+2=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

28. Rozwiąż równanie 6x2 −9x+3=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

29. Rozwiąż równanie 5x2 +9x+4=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

30. Rozwiąż równanie 5x2 +8x+3=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

31. Rozwiąż równanie x2 −6x+5=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

32. Rozwiąż równanie x2 −7x+10=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

33. Rozwiąż równanie x2 −9x+18=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

34. Rozwiąż równanie x2 −10x+24=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

35. Rozwiąż równanie x2 −11x+30=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

36. Rozwiąż równanie x2 −8x+12=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

37. Rozwiąż równanie x2 −10x+21=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

38. Rozwiąż równanie x2 −9x+8=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

39. Rozwiąż równanie x2 −11x+18=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

40. Rozwiąż równanie x2 −12x+20=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

Dodatek 4.

Równania racjonalne.

1. Znajdź pierwiastek równania

2. Znajdź pierwiastek równania

3. Znajdź pierwiastek równania

4. Znajdź pierwiastek równania

5. Znajdź pierwiastek równania

6. Znajdź pierwiastek równania.

7. Znajdź pierwiastek równania

8. Znajdź pierwiastek równania

9. Znajdź pierwiastek równania.

10. Znajdź pierwiastek równania

11. Znajdź pierwiastek równania.

12. Znajdź pierwiastek równania

13. Znajdź pierwiastek równania

14. Znajdź pierwiastek równania

15. Znajdź pierwiastek równania

16. Znajdź pierwiastek równania

17. Znajdź pierwiastek równania

18. Znajdź pierwiastek równania

19. Znajdź pierwiastek równania

20. Znajdź pierwiastek równania

21. Znajdź pierwiastek równania

22. Znajdź pierwiastek równania

23. Znajdź pierwiastek równania

Dodatek 5

Złożone równania.

1. Znajdź pierwiastek równania (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Znajdź pierwiastek równania (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Znajdź pierwiastek równania (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Znajdź pierwiastek równania (x+10)2 =(x-9)2 .

5. Znajdź pierwiastek równania (x−5)2 =(x-8)2 .

6. Znajdź pierwiastek równania.

7.Znajdź pierwiastek równania.

8. Znajdź pierwiastek równania.

9. Znajdź pierwiastek równania.

10. Znajdź pierwiastek równania.

11. Rozwiąż równanie (x+2)(− x+6)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

12. Rozwiąż równanie (x+3)(− x−2)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

13. Rozwiąż równanie (x−11)(− x+9)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

14. Rozwiąż równanie (x−1)(− x−4)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

15. Rozwiąż równanie (x−2)(− x−1)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

16. Rozwiąż równanie (x+20)(− x+10)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

17. Rozwiąż równanie (x−2)(− x−3)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

18. Rozwiąż równanie (x−7)(− x+2)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

19. Rozwiąż równanie (x−5)(− x−10)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

20. Rozwiąż równanie (x+10)(− x−8)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

21. Rozwiąż równanie (− 5x+3)(− x+6)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

22. Rozwiąż równanie (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

23. Rozwiąż równanie (− x−4)(3x+3)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

24. Rozwiąż równanie (x−6)(4x−6)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

25. Rozwiąż równanie (− 5x−3)(2x−1)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

26. Rozwiąż równanie (x−2)(− 2x−3)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

27. Rozwiąż równanie (5x+2)(− x−4)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

28. Rozwiąż równanie (x−6)(− 5x−9)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

29. Rozwiąż równanie (6x−3)(− x+3)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź zapisz większy pierwiastek.

30. Rozwiąż równanie (5x−2)(− x+3)=0. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, jako odpowiedź wpisz mniejszy pierwiastek.

31. Rozwiąż równanie

32. Rozwiąż równanie

33. Rozwiąż równanie

34. Rozwiąż równanie

35. Rozwiąż równanie

36. Rozwiąż równanie

37. Rozwiąż równanie

38. Rozwiąż równanie

39. Rozwiąż równanie

40 Rozwiąż równanie

41. Rozwiąż równanie x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Rozwiąż równanie (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Rozwiąż równanie x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Rozwiąż równanie (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Rozwiąż równanie x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. ​​​​Rozwiąż równanie (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Rozwiąż równanie (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Rozwiąż równanie x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Rozwiąż równanie (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Rozwiąż równanie (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Rozwiąż równanie (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Rozwiąż równanie (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Rozwiąż równanie (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Rozwiąż równanie (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Rozwiąż równanie (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Rozwiąż równanie (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Rozwiąż równanie (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Rozwiąż równanie (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. Rozwiąż równanie (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Rozwiąż równanie (x−2)4 +3(x-2)2 −10=0.

61. Rozwiąż równanie x3 +3x2 =16x+48.

62. Rozwiąż równanie x3 +4x2 =4x+16.

63. Rozwiąż równanie x3 +6x2 =4x+24.

64. Rozwiąż równanie x3 +6x2 =9x+54.

65. Rozwiąż równanie x3 +3x2 =4x+12.

66. Rozwiąż równanie x3 +2x2 =9x+18.

67. Rozwiąż równanie x3 +7x2 =4x+28.

68. Rozwiąż równanie x3 +4x2 =9x+36.

69. Rozwiąż równanie x3 +5x2 =4x+20.

70. Rozwiąż równanie x3 +5x2 =9x+45.

71. Rozwiąż równanie x3 +3x2 −x−3=0.

72. Rozwiąż równanie x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Rozwiąż równanie x3 +5x2 −x−5=0.

74. Rozwiąż równanie x3 +2x2 −x−2=0.

75. Rozwiąż równanie x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Rozwiąż równanie x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Rozwiąż równanie x3 +4x2 −x−4=0.

78. Rozwiąż równanie x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Rozwiąż równanie x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Rozwiąż równanie x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Rozwiąż równanie x4 =(x-20)2 .

82. Rozwiąż równanie x4 =(2x−15)2 .

83. Rozwiąż równanie x4 =(3x−10)2 .

84. Rozwiąż równanie x4 =(4x−5)2 .

85. Rozwiąż równanie x4 =(x-12)2 .

86. Rozwiąż równanie x4 =(2x-8)2 .

87. Rozwiąż równanie x4 =(3x-4)2 .

88. Rozwiąż równanie x4 =(x-6)2 .

89. Rozwiąż równanie x4 =(2x-3)2 .

90. Rozwiąż równanie x4 =(x-2)2 .

91. Rozwiąż równanie

92. Rozwiąż równanie

93. Rozwiąż równanie

94. Rozwiąż równanie

95. Rozwiąż równanie

96. Rozwiąż równanie

97. Rozwiąż równanie

98. Rozwiąż równanie

99. Rozwiąż równanie

100. Rozwiąż równanie

101. Rozwiąż równanie.

102. Rozwiąż równanie

103. Rozwiąż równanie

104. Rozwiąż równanie

105. Rozwiąż równanie

106. Rozwiąż równanie

107. Rozwiąż równanie

108. Rozwiąż równanie

109. Rozwiąż równanie

110. Rozwiąż równanie

ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ

przygotowanie do OGE

9. klasa

przygotowane przez nauczyciela matematyki szkoła GBOU nr 14 rejonu Newskiego w Petersburgu Putrova Marina Nikolaevna

Uzupełnij zdania:

1). Równanie jest...

2). Pierwiastkiem równania jest...

3). Rozwiązanie równania oznacza...

I.Rozwiąż ustnie równania:

• 1). 6x + 18=0
• 2). 2x + 5=0
• 3). 5x – 3=0
• 4). -3x + 9=0
• 5). -5x + 1=0
• 6). -2х – 10=0
• 7). 6x – 7=5x
• 8). 9x + 6=10x
• 9). 5x - 12=8x

Które z poniższych równań nie ma rozwiązań:

A). 2x – 14 = x + 7

B). 2x - 14 = 2(x - 7)

V). x – 7 = 2x + 14

G). 2x- 14 = 2x + 7?

Które równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań:

A). 4x – 12 = x – 12

B). 4x – 12 = 4x + 12

V). 4(x – 3) = 4x – 12

G). 4(x – 3) = x – 10?

RÓWNANIA RODZAJU

kx + b = 0

NAZYWAJĄ SIĘ LINIOWYMI.

Algorytm rozwiązywania równań liniowych :

1). przesuń wyrazy zawierające nieznane na lewą stronę, a wyrazy niezawierające nieznanego na prawą stronę (odwrócony jest znak przenoszonego wyrazu);

2). przyprowadź podobnych członków;

3).podziel obie strony równania przez współczynnik niewiadomej, jeśli nie jest on równy zero.

Rozwiązuj równania w swoich zeszytach :

Grupa II: nr 697 s. 63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

Grupa I:

№ 681 strona 63

6(4x)+3x=3

III grupa: nr 767 s. 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2x 2

Równanie postaci

aha 2 + bх + c =0,

gdzie a≠0, b, c – wszelkie liczby rzeczywiste nazywane są kwadratami.

Niekompletne równania:

aha 2 + bх =0 (c=0),

aha 2 + c =0 (b=0).

II. Rozwiązuj ustnie równania kwadratowe, wskazując, czy są one kompletne, czy niekompletne:

1). 5x 2 + 15x=0

2). -X 2 +2x = 0

3). X 2 -25=0

4). -X 2 +9 =0

5). -X 2 - 16 =0

6). X 2 - 8x + 15=0

7 ) . X 2 + 5x + 6=0

8). X 2 + x - 12 =0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

PYTANIA:

1). Jaką właściwość równań wykorzystano do rozwiązania niekompletnych równań kwadratowych?

2). Jakie metody rozkładu wielomianu zastosowano do rozwiązania niepełnych równań kwadratowych?

3). Jaki jest algorytm rozwiązywania pełnych równań kwadratowych ?

1). Iloczyn dwóch czynników jest równy zero, jeśli jeden z nich jest równy zero, drugi nie traci na znaczeniu: ab = 0 , Jeśli a = 0 Lub b = 0 .

2). Zastępując wspólny mnożnik i

A 2 - B 2 =(a – b)(a + b) - wzór na różnicę kwadratów.

3). Pełne równanie kwadratowe ah 2 + bх + do = o.

D=b 2 – 4ac jeśli D0, 2 pierwiastki;

D = 0, 1 pierwiastek;

X 1,2 =

ROZWIĄŻ RÓWNANIA :

Grupa I: nr 802 s. 71 X 2 - 5x- 36 =0

Grupa II: nr 810 s. 71 3x 2 -x + 21=5x 2

III grupa: X 4 -5x 2 - 36 =0

III. ROZWIĄŻ RÓWNANIA :

Grupa I i II: Nr 860 = 0

III grupa: =0

Jak nazywają się takie równania? Jaka własność jest używana do ich rozwiązania?

Równanie wymierne to równanie postaci

Ułamek jest równy zero, jeśli licznik wynosi zero, a mianownik nie jest zerem. =0, jeśli a = 0, b≠0.

Krótka historia matematyki

• Matematycy starożytnego Egiptu potrafili rozwiązywać równania kwadratowe i liniowe.

• Perski średniowieczny naukowiec Al-Khorezmi (IX w.) jako pierwszy przedstawił algebrę jako niezależną naukę o ogólnych metodach rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych oraz podał klasyfikację tych równań.

• Nowy wielki przełom w matematyce wiąże się z nazwiskiem francuskiego naukowca Francois Vieta (XVI wiek). To on wprowadził litery do algebry. Jest odpowiedzialny za słynne twierdzenie o pierwiastkach równań kwadratowych.

• A tradycję oznaczania nieznanych wielkości ostatnimi literami alfabetu łacińskiego (x, y, z) zawdzięczamy innemu francuskiemu matematykowi - Rene Descartesowi (XVII).

Al-Khwarizmi

Francois Viet

Rene Descartes

Praca domowa

Praca ze stronami internetowymi :

- Otwarty bank zadań OGE (matematyka) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- „Rozwiążę OGE” D. Gushchina https://oge.sdamgia.ru/ ;

- Strona internetowa A. Larina (opcja 119) http://alexlarin.net/ .

Poradniki:

- Podręcznik Yu.M. Kolyagina „Algebra 9. klasa”, M., „Oświecenie”, 2014, s. 10-13. 308-310;

- „3000 zadań” w pkt. pod redakcją I.V. Yashchenko, M., „Egzamin”, 2017, s. 59-74.

! Od teorii do praktyki;

! Od prostych do złożonych

MAOU „Szkoła Średnia w Platoshin”,

nauczyciel matematyki, Melekhina G.V.

Ogólna postać równania liniowego: topór + B = 0 ,

Gdzie A I B– liczby (współczynniki).

• Jeśli a = 0 I b = 0, To 0x + 0 = 0 – nieskończenie wiele pierwiastków;
• Jeśli a = 0 I b ≠ 0, To 0x + b = 0– brak rozwiązań;
• Jeśli a ≠ 0 I B = 0 , To topór + 0 = 0 – jeden pierwiastek, x = 0;
• Jeśli a ≠ 0 I B ≠ 0 , To topór + B = 0 – jeden korzeń,

! Jeśli X jest do pierwszej potęgi i nie występuje w mianowniku, to jest to równanie liniowe

! A jeśli równanie liniowe jest złożony :

! Wyrazy z X idą w lewo, bez X - w prawo.

! Te równania są również liniowy .

! Główna właściwość proporcji (poprzeczna).

! Otwórz nawiasy, z X po lewej stronie i bez X po prawej.

• jeśli współczynnik a = 1, wówczas nazywa się równanie dany :

• jeśli współczynnik B = 0 albo i c = 0, wówczas nazywa się równanie niekompletny :

! Podstawowe formuły

! Więcej formuł

Równanie dwukwadratowe- zwane równaniem postaci topór 4 +bx 2 + c = 0 .

Równanie dwukwadratowe sprowadza się do równanie kwadratowe w takim razie stosując podstawienie

Otrzymujemy równanie kwadratowe:

Znajdźmy korzenie i wróćmy do zamiennika:

Przykład 1:

Rozwiąż równanie x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Rozwiązanie:

Podstawienie: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Pierwiastkami równania są t 1 = -9 i t 2 = 4.

x 2 = -9 lub x 2 = 4.

Odpowiedź: W pierwszym równaniu nie ma pierwiastków, ale w drugim: x = ±2.

Przykład 2:

Rozwiązać równanie (2х – 1) 4 – 25(2x – 1) 2 + 144 = 0.

Rozwiązanie:

Podstawienie: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25 t + 144 = 0. Pierwiastkami równania są t 1 = 9 i t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 lub (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 lub 2x – 1 = ±4.

Pierwsze równanie ma dwa pierwiastki: x = 2 i x = -1, drugie również ma dwa pierwiastki: x = 2,5 i x = -1,5.

Odpowiedź: -1,5; -1; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 = 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Rozwiązuj równania, wybierając z lewej strony pełny kwadrat :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Zapamiętaj kwadrat sumy i kwadrat różnicy

Racjonalne wyrażenie jest wyrażeniem algebraicznym składającym się z liczb i zmiennej X wykorzystując operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania z wykładnikiem naturalnym.

Jeśli r(x) jest wyrażeniem wymiernym, to równanie r(x)=0 zwane równaniem wymiernym.

Algorytm rozwiązywania równania wymiernego:

1. Przenieś wszystkie wyrazy równania na jedną stronę.

2. Zamień tę część równania na ułamek algebraiczny p(x)/q(x)

3. Rozwiązać równanie p(x)=0

4. Dla każdego pierwiastka równania p(x)=0 sprawdź, czy spełnia warunek q(x)≠0 albo nie. Jeśli tak, to jest to pierwiastek danego równania; jeśli nie, jest to obcy korzeń i nie powinien być uwzględniany w odpowiedzi.

! Przypomnijmy rozwiązanie ułamkowego równania wymiernego:

! Aby rozwiązać równania, warto przypomnieć sobie skrócone wzory mnożenia:

Jeżeli równanie zawiera zmienną pod pierwiastkiem kwadratowym, to równanie nazywa się irracjonalny .

Metoda podniesienia obu stron równania do kwadratu- główna metoda rozwiązywania równań irracjonalnych.

Po rozwiązaniu powstałego racjonalnego równania konieczne jest sprawdzać , odchwaszczanie ewentualnych obcych korzeni.

Odpowiedź: 5; 4

Inny przykład:

Badanie:

Wyrażenie nie ma żadnego znaczenia.

Odpowiedź:żadnych rozwiązań.